（应用数学专业论文）复杂网络的自适应控制与同步研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 近年来复杂网络已受到科学界和工程界各个领域的广泛关注，随着计算机 技术和网络理论高速发展，复杂网络已成为一个新的研究热点。在现实生活中 存在着大量的复杂网络，如i n t e m e t ，万维网，新陈代谢网，社会网，能源供应 网络，交通网，信息网，金融网等，这些网络与我们的日常生活密切相关。研 究复杂网络的动态行为，如稳定性和同步等，对于人们深刻理解和应用复杂网 络具有重要的理论和实际意义。本文的工作是围绕复杂网络的自适应控制与同 步展开的。本文主要包括以下几方面内容： 第一章简单介绍本课题的研究背景、意义、现状及主要内容。 第二章介绍了复杂动态网络的相关概念，分析了近年来国内外关于复杂动 态网络同步问题的相关研究结果。 第三章研究了一类具有非时滞耦合的复杂动态网络的自适应控制与同步问 题，利用l y a p u n o v 稳定性理论以及动力系统理论中著名的l a s a l l e 不变原理给 出了复杂网络实现同步状态的条件，数值模拟的结果表明这种控制方法的正确 性和有效性。 第四章基于时滞动力系统的稳定性理论，对于同时具有时滞耦合和非时滞 耦合的复杂动态网络设计了两种全新的自适应控制器，同时给出了复杂网络自 适应同步的一系列实用的准则。对由三个节点组成的动态网络的同步化进行了 数值模拟，使得理论分析与数值模拟得到了相互验证。 关键词：复杂网络，自适应控制，同步，非时滞耦合，时滞耦合 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t c o m p l e xn e t w o r kh a sc a u s e dac o n s i d e r a b l ei n t e r e s ti nt h es t u d yo fs c i e n c ea n d e n g i n e e r i n g , w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t e rs c i e n c ea n dn e t w o r kt h e o r y , w h i c hb e c o m e san e wr e s e a r c h i n gf o c u si nr e c e n ty e a r s b e c a u s eal o to fc o m p l e x n e t w o r k se x i s ti no u rd a i l yl i f e ，s u c ha si n t e r n e t ，w 州m e t a b o l i cn e t w o r k ，s o c i a l n e t w o r k ，e n e r g y s u p p l y i n gn e t w o r k ，t r a n s p o r t a t i o nn e t w o r k ，i n f o r m a t i o nn e t w o r k ， f i n a n c en e t w o r ka n ds oo n ，a l lo ft h o s ea r eg r e a t l ya s s o c i a t e dw i t hd a i l yl i f e s t u d y o nt h ed y n a m i cb e h a v i o ro fc o m p l e xn e t w o r k ss u c ha ss t a b i l i t ya n ds y n c h r o n i z a t i o n i sh e l pf o rp e o p l et oc o m p l e t e l yu n d e r s t a n da n da p p l yi ti na s p e c to ft h e o r ya n d p r a c t i c e i nt h i sp a p e r , m yd i s s e r t a t i o nm a i n l yf o c u s e so nt h ea d a p t i v ec o n t r o la n d s y n c h r o n i z a t i o no ft h ec o m p l e xn e t w o r k t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n d ，s i g n i f i c a n c e ，c u r r e n ts i t u a t i o na n dc o n t e n to ft h e r e s e a r c ha r ei n t r o d u c e db r i e f l y i nc h a p t e r2 ，t h ec o n c e p t i o n so fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r ka r ei n t r o d u c e d c o r r e l a t i v er e s e a r c h i n go u t c o m e sr e c e n t l ya th o m ea n d a b r o a d c o n c e r n i n g s y n c h r o n o u si s s u e sa b o u tc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r kh a v e b e e na n a l y z e d i nc h a p t e r3 ，a d a p t i v ec o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no ft h ec o m p l e xd y n a m i c a l n e t w o r kw i t hn o n d e l a y e dc o u p l i n gi ss t u d i e d b yu s i n gt h el y a p u n o vs t a b i l i t y t h e o r ya n dt h ew e l l k n o w nl a s a l l ei n v a r i a n tp r i n c i p l eo nd y n a m i c a ls y s t e mt h e o r y , s o m es y n c h r o n o u sc o n d i t i o n sw e r ed e r i v e d n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sp r e s e n t e dt o d e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h et e c h n i q u e s i nc h a p t e r4 ，b a s e do ns t a b i l i t yt h e o r yo nd e l a y e dd y n a m i c a ls y s t e m s ，t w o d i f f e r e n tk i n d so fn e wa d a p t i v ec o n t r o l l e r sh a v eb e e nd e s i g n e df o rt h ec o m p l e x d y n a m i c a ln e t w o r kw i t hn o n - d e l a y e da n dd e l a y e dc o u p l i n g s o m eg e n e r i cc r i t e r i a a r ed e r i v e df o rs y n c h r o n i z a t i o no fs u c hd y n a m i c a ln e t w o r k i l l u s t r a t i v es i m u l a t i o n s a r ep r o v i d e dt ov e r i f yt h es y n c h r o n i z a t i o no fad y n a m i c a ln e t w o r kc o m p o s i n go f t h r e en o d e s t h er e s u l t so ft h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ec o m p a t i b l ew i t ht h e t h e o r e t i c a la n a l y s i s k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ，a d a p t i v ec o n t r o l ，s y n c h r o n i z a t i o n ，n o n - d e l a y e d c o u p l i n g ，d e l a y e dc o u p l i n g i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密团。 学位论文作者签名：程燕 洳o 年6 月- 7e l 指导教师签名：乱嘶 邳年6 月7 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：木星燕 加| o 年毛舄1 e t 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第一章绪论弟一早珀 下匕 近年来，复杂网络作为非线性科学研究的一个重要分支引起了许多相关领 域研究人员的关注。从i n t e m e t 到w w w ，从大型电力网络到全球交通网络， 从生物体中的大脑到各种新陈代谢网络，从科研合作网络到各种经济、政治、 社会关系网络等，可以说，人们已经生活在一个充满各种各样的复杂网络的世 界中。 复杂网络自1 9 6 0 年由e r d o s 和r e n y i ( e r ) 作为一种随机网络拓扑结构研究 以来，一直受到人们的关注n q l 。近几年由w a t t s 和s t r o g a t z ( w s ) 提出的小世界 网络模型h 5 1 ，b a r a b a s i 和a l b e r t ( b a ) 提出的规模自由网络模型7 1 ，为复杂网络 模型的研究揭开了新的篇章，为复杂网络新的一轮研究建立了坚实的基础。到 目前为止，复杂网络的研究在不同领域已经取得了重大进展：对w w w 网、电 力网、神经网络、蛋白质折叠、食物链、细胞内物质反应链、电话网络、科研 合作网、河流网、人际关联网等几十个实际网络进行了统计分析，得到了几项 标志网络拓扑结构特征的最重要统计性质：顶点度分布律、分支系数和平均路 径长度；发现了大部分实际网络显示无标度性质的幂律顶点度分布，称为“无 标度网 ；同时有大部分显示相当小的、基本上与网的大小无关的平均路径长度， 称为“小世界网 ；提出了一大批网络演化模型以便探讨小世界网或无标度网的 拓扑结构的发展形成机制。1 9 9 8 年以后提出的模型大部分都包括：“完全规则 演化部分”和“完全随机演化部分 ，与传统的完全规则或完全随机的模型比较， 这种位于规则与随机之间的模型也许可以说是具有划时代的意义，许多模型在 不同程度上成功地再现了许多实际网络的部分统计性质，并能够显示产生这些 性质的核心动力学机制。 随着科学技术的发展，人们的生产、生活对网络运行的安全性、可靠性提 出了更高的要求。比如说，通讯网络的鲁棒性、交通网络的拥塞控制、以及互 联网的信息流的稳定性等等都是备受关注的热点问题。众所周知，相继故障不 仅在电力网络中可能出现，而且在通信网络、交通网络、经济全球化网络以及 生物网络中都有类似的现象，它们都面临着由于局部故障而导致整个网络崩溃 江苏大学硕士学位论文 的巨大风险，并且由于不同网络之间联系的不断加强，发生在一个网络中的故 障还会蔓延到其它网络。比如2 0 0 3 年的美国和加拿大电力网故障就对互联网和 金融网络都产生了巨大影响。因此如何控制网络、保障网络安全运行就显得尤 为重要。 随着小世界效应和无标度特性的发现，最近几年来，其中一个很受关注的 问题就是复杂网络的同步。同步是自然界中常见的群体行为现象，是一种非常 普遍而重要的非线性现象。同步现象广泛存在于生活中，人们已观测到的现象 包括夏日夜晚青蛙的齐鸣、萤火虫的同时发光、大脑中神经网络的同步陋1 、剧 场中观众鼓掌逐渐整齐田1 等都是同步现象发生的结果。有些同步是有益的，如 能够促进调和振子的生成、实现保密通讯、促进组织管理高效、协调的运行等， 那么我们就实现或加强这种同步，否则就消除或削弱这种现象的发生，因为并 非所有的同步都是有益的。比如2 0 0 0 年6 月1 0 日伦敦千年桥落成时，成千上 万的人开始通过大桥时，共振使这座6 9 0 吨的钢铁建造的大桥开始振动，桥体 的s 形振动引起的偏差达到了2 0 c m ，迫使大桥不得不临时关闭，对于这种有害 的同步，我们就弱化直至消灭它。 1 2 研究现状 近年来，对复杂网络的同步研究取得了一定的进展。国际上，1 9 9 9 年w a t t s 对相振子在小世界网络中的同步进行了研究n0 | ；l a g of e r n a n d e z 等人于2 0 0 0 年 对神经网络的同步进行了研究n ；此外还有g u a r d i o l a 等人研究了脉冲耦合振子 系统的同步规律，尤其是拓扑结构的不规则性和网络同步之间的相互影响；j a l a n 和a m r i t k a r 研究了无标度网络上耦合映像振子的同步现象；m o r e n o 和p a c h e c o 采用k u r a m o t o 模型研究了无标度网络上振子之间的耦合，实现全局相同步的条 件以及系统的动力学特征；r e s t r e p o 等人利用主稳定性函数方法研究网络上节 点动力系统不完全相同时的同步情况，他们发现在某些参数值下，系统会出现 不同步的爆发，形成斑图。我国学者对于复杂网络同步也给出了一些出色的结 果，汪小帆和陈关荣给出了一个一般的复杂动力网络模型，并研究了具有小世 界和无尺度特性的网络模型的同步与控制问题陋一2 1 3 1 4 1 ；m 和c h e n n5 1 6 1 基于这个 模型引入了一个时变动力网络模型并研究了它的同步问题；吕金虎对复杂动力 2 江苏大学硕士学位论文 网络的数学模型与同步准则进行了研究，给出了几个网络同步的充分和充分必 要条件n5 1 7 1 ：蒋品群和汪秉宏等研究了确定性小世界网络的超混沌同步问题； 文献 1 8 1 和 1 9 1 研究了小世界网络模型上带时滞的振子和藕合映像格子的同步 问题。另外，c h c n 和z h o u 啪1 等研究了一般的带藕合时滞的神经网络模型的鲁 棒同步问题。迄今为止，对动力网络控制同步的研究主要基于线性反馈控制技 术，如文献f 2 1 1 及 2 2 1 将反馈控制应用到了无尺度网络的部分节点上，并研究了 对于不同动力节点上网络系统的控制同步稳定效果；文献 2 3 1 研究了不确定的 复杂动态网络的同步问题。 截止目前，虽然各领域的科学家关于同步做了很多研究，取得了不少有意 义的成果，极大的推动了复杂网络同步研究的进程，但是还有许多问题没有彻 底解决，仍然需要我们进一步的学习、研究。 1 3 本文结构与主要研究内容 本文主要研究了复杂网络的自适应控制与同步问题。论文内容总体上分为 五章。 第一章为绪论，总结了复杂网络的主要研究背景及意义，简要阐述了复杂 网络的研究现状。 第二章介绍了本论文中涉及的一些相关概念及理论，并介绍与分析了几类 典型的复杂动态研究网络同步问题的研究成果。 第三章研究了一类具有非时滞耦合的复杂动态网络的自适应控制与同步问 题，利用l y a p u n o v 稳定性理论以及动力系统理论中著名的l a s a l l c 不变原理给 出了在一定条件下的稳定结果，并用m a t l a b 进行数值仿真，给出了系统的同步 误差图。 第四章以时滞动力系统的稳定性理论为基础，对于同时具有时滞耦合和非 时滞耦合的复杂动态网络设计了两种全新的自适应控制器，同时给出了一系列 的同步化准则。对由三个节点组成的动态网络的同步化进行了数值模拟，使得 理论分析与数值模拟得到了相互验证。 第五章为本文的总结以及展望。 3 江苏大学硕士学位论文 第二章复杂网络同步问题的有关基本概念和相关结果 2 1动力系统的相关理论 2 1 1 自治系统与非自治系统乜帕 定义2 1 微分方程 鲁= 厂( x ) ， c ( 。贮r 4 ) ( 2 1 1 ) 称为自治系统。 定义2 2 微分方程 鲁= 巾，x ) ，厂c ( g = ，xd r 删，r ”) ( 2 1 2 ) 称为非自治系统。 2 1 2 稳定性概念 设微分方程 戈= ( r ，z ) ，x ( t o ) - - - - x o ，x r 4 ， ( 2 1 3 ) 满足解的存在唯一性定理的条件，其解x ( ，) = x ( f ，t o ，：c o ) 的存在区间是( 一，佃) ， h f ( t ，0 ) = 0 。 定义2 3 若对任意给定的6 0 ，都能找到万= 万( 占，t o ) ，使得当i l x 。i i o ，总能找到一个丁= r ( 占，t o ，) 使得当f f o + r 时，有忙( ，t o ，) 0 0 ， ( 1 ) 若对所有的戈e ，矿g ) 0 ，则方程( 2 1 4 ) 的。解是稳定的。 ( 2 ) 若对所有的z e ，矿g ) 0 ，则方程( 2 1 4 ) 的。解是不稳定的。 此定理中的函数y g ) 称为l y a p u n o v 函数。寻找和建立这样的函数y ，实际 江苏大学硕士学位论文 上需要高度的技巧。l y a p u n o v 和他的后继者已经提供了一些建立l y a p u n o v 函 数的方法，他们可以成功的解决许多具体问题，常用的方法有：类比法、能量 函数法、变量分离法、变梯度法、广义能量法、首次积分线性组合和加权法等。 2 1 4 l a s a i | e 不变性原理蝴 定义2 7 一个集合曰称为一个动态系统的不变集。如果从8 中一个点出发的轨 线永远留在曰中。 定理2 2 ( 局部不变集定理) 考查一个形如( 2 1 1 ) 的自治系统，这里，是连续的。 设y g ) 为一个有连续一阶偏导数的标量函数，并且 对任何的z 0 ，由v ( x ) 0 ，存在万 0 ，使得对于系统戈= r ( x ) 的任意解x ( f ) ，如果在f = o 时刻它到r 的距离小于万，则对t 0 的所有时刻它到r 的距离小于s ，则称丁一 周期解s ( f ) 是轨道稳定的。若x ( f ) 到r 的距离随着fjo o 而趋于o ，则s ( f ) 称为 是轨道渐近稳定的。若存在正常数口，和实数h ，使得对于t 0 ，有 0 x ( t h ) - s ( t ) t i e 一，则称s ( f ) 是一个具有渐近相的轨道渐近稳定的周期解。 江苏大学硕士学位论文 2 3 复杂动态网络同步研究的几个典型结果 2 3 1 规则网络中的同步研究结果 汪小帆和陈关荣研究了耦合振子是连续系统的复杂网络的同步稳定性问 题，设网络的状态方程为 毫= 厂( 薯) + c 一，i = 1 , 2 ，n ， ( 2 3 1 ) 这里薯( f ) = ( t 。( f ) ，葺：( f ) ，( ，) ) re 只”是节点f 的状态变量，c o 表示网络的 耦合强度，f r 蹦“是一个恒定的0 1 矩阵，用以连接耦合变量。为了研究简单， 这里设r = d i a g ( r 。，吃，) 为一个对角矩阵，且对于特定的f ，r j = 1 ；r e l e 于r - i j ， 0 = o 。若两个耦合节点是通过第f 个状态变量进行连接的，则= 1 ；否则， = o ( f ，) 。 复杂动态网络( 2 3 1 ) 中每个节点相同，但在一定的网络拓扑结构下或节点 间耦合强度很低的情况时，各节点会在各自的轨道上运动，则网络不会同步。 通过改变网络的拓扑结构或调节节点间的耦合强度，使得各节点会在相同的轨 道上运动，这时它们之间就会形成同步，并且是精确同步。显然，网络同步时 满足 x l ( f ) = x 2 ( f ) = = h ( ，) = s ( 札 其中j ( ，) 为单个振子的的解，即j ( f ) = ( s ( ，) ) 。 汪小帆和陈关荣基于网络矩阵的特征值得到下面的定理： 设o = a 如五厶为网络( 2 3 1 ) 的外部耦合矩阵a 的特征值，若存在对 称的正定阵p ，以及两个常数孑 0 和万 0 ，使得 厂( s ) + d 丑g ( s ) rp + p f ( s ) + d 五g ( s ) 一万厶， f = 2 ，n ， ( 2 3 2 ) 对d 孑成立，l 只舢为单位阵。若 c 如孑，( 2 3 3 ) 那么网络( 2 3 1 ) 的同步状态是渐近稳定的。 1 江苏大学硕士学位论文 因为如 0 和孑 0 ，所以不等式( 2 3 3 ) 相当于 c 将 ( 2 3 4 ) 一个较小的如值对应于一个较大的l 如i 值，说明网络( 2 3 1 ) 可以在一个很小的耦 合系数下同步。在特定的耦合方式下，耦合矩阵a 的第二大特征值表明了网络 ( 2 3 1 ) 1 1 | 勺i n 步能力。最近邻耦合网络，星形网络以及完全网络的耦合矩阵分别 为 a = 誊1 - 2 10小10 1-20 11 0121 1 ii i ，a = l l 11 1 10 0 01 0 0 o一1 1 i 1 l l 0 i ， i l 一+ 1l ( 1 ) 首先考虑最近邻耦合网络 其耦合矩阵a 的第二大特征值是：如= 一4 蔷k 2s i n 2 ( 等) ，对任意给定的节点 度k ，当网络规模一0 0 时，第二大特征值无单调上升趋近于零。可以看到无 论同步区域无界或有界，随着节点数目的增加，网络的同步能力逐渐减弱，动 力学网络的同步稳定性逐渐降低，直至失稳，脱离同步状态。即随着网络规模 的不断增大，网络越来越不容易达到同步。这是因为由于网络规模的不断增大， 网络中的每一个节点都要受到与之相邻的两个节点的束缚。但是网络中的每一 个节点与其相距较远的节点之间是通过它们之间的节点进行耦合的，所以大大 的增加了它们在空间中的自由度，这样网络中的每一个节点受到与它相距较远 的那个节点的束缚就很微弱。所以在适当规模的最近邻耦合网络中，可以通过 增大耦合强度使网络达到同步。不过网络规模大到一定程度时，它的同步将变 得十分困难，最终失去同步。 1 3 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 再考虑完全耦合网络，其耦合矩阵的特征值只有0 和一。当网络规模 专0 0 时，耦合矩阵a 的第二大特征值凡= 一n 是单调下降趋于无穷大。因此， 对于同步区域有界的动力学网络，无论节点的数目是多少，选择恰当的艿，总 可以使网络的同步状态稳定。对于同步区域无界的动力学网络，当选定了耦合 系数时，只要节点数目足够大，网络都会同步。因为完全耦合网络中任意两个 节点都是耦合的，随着网络规模的增大，网络中的每一个节点相耦合的节点数 目也将随之增大，则网络中每个节点在空间中的自由度大大减小。即网络中节 点间的束缚程度随着网络规模增大而变强。 ( 3 ) 最后考虑星形网络，它的耦合矩阵a 的特征值除了零之外只能取两个值 y l = 圪= = h 一2 = 一1 和= 丸一。= - n ，它的第二大特征值为如= - 1 。也就 是说网络的同步化能力与网络的规模无关。当同步区域有界，随着节点数目的 增加，网络的同步能力减弱，直至引起动力学网络同步状态的失稳。当同步区 域无界，只要耦合强度万l d f ，网络就达到同步。当耦合强度大于某一临界值 时，系统达到同步，且同步所需的耦合强度与网络的大小无关。这是因为，在 星形耦合网络中，其同步需要的耦合强度是由中心节点决定的。这是它区别于 最近邻耦合网络和完全耦合网络的地方。最近邻耦合网络和完全耦合网络的同 步是受到其若干节点影响的，所以它们的临界耦合强度与网络规模大小有很大 关联。 综上所述，可以得出这样的结论：一个动力学网络是否能实现同步，取决 于节点上动力学系统的特性，网络结构以及节点的耦合方式。在这里我们更关 心的是网络结构对动力学网络同步稳定性的影响。具体来说，对于同步稳定区 域有界的动力学系统而言，耦合矩阵的特征值比越小，它就越能实现更多的动 力学系统同步，即同步能力强。此外，对于同步稳定区域无界的情况，耦合矩 阵次最大特征值的绝对值越大，网络的同步能力越强。 2 3 2 无标度网络的同步研究结果 汪小帆和陈关荣研究了b a 无标度网络的同步现象。b a 网络开始有个 节点，随之每加入一个节点的同时增加聊条边，设= m = 历，如盯( 历，) 是耦 江苏大学硕士学位论文 合矩阵第二大特征值，是总的节点数目。对于确定的历，五盯( 历，) 是的 有界减函数，则有 l i m 。五矿( 历，) = 五矿( 历) 0 时，度大的点具有更大的耦合强度；当口 1 ，其它h i 1 ，对所有 的f = 1 ，2 ，n - 1 都成立。因此，只要耦合矩阵的非凡的绝对值最大的特征值小 于某一常数，即l 以l 0 ； 否则，q = g = o ( i - ) ，矩阵g 的对角线上的元素为： r 瓯= 一q ，f = l 2 ，n ， ( 3 1 2 ) 卢1 叫 我们假设网络( 3 1 1 ) 是连通的，那么g 是一个对称不可约矩阵，它的特征值 o = 五 如乃厶翻。 我们说系统( 3 1 1 ) 达到同步，如果有： ! i mi x , ( t ) 一s ( f ) 0 = o ，i = 1 2 ， ( 3 1 3 ) 其中| | j i 表示欧几里德范数，同步状态s ( ，) 为单个节点的的解，即满足： j ( f ) = 厂( s ( f ) ) 1 8 江苏大学硕士学位论文 这里s ( ，) 可以是一个平衡点，一个周期轨道，或一个混沌吸引子。 假设3 1 对于所有的江1 2 ，n ，存在非负常数以，使得 0 厂( 誓) 一厂( s ) 0 0 ，i = 1 ，2 ，n 为任意常数。 定义同步误差为： e j ( t ) = 薯( f ) 一s ( f ) ，i = 1 2 ，n 则得到同步误差系统动力学方程： 幺= ( _ ) 一厂( s ) + c q 巳+ 电q ( 3 2 4 ) 很明显，对于所有f = 1 2 ，n ，网络( 3 2 3 ) 的同步解麓( t ) 的稳定性等价于误 差q ( f ) 的零解的稳定性。我们有如下的结果： 定理3 1 令7 2 m 。a x y z ) ，如果存在可选择的正常数z 满足厂 z ，那么在自适 应控制器( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 的作用下，受控复杂动态网络( 3 2 3 ) 可以全局 渐近同步到解s ( f ) 。 证明：构造l y a p u n o v 函数如下 1 9 一 江茎垄堂塑主堂堡笙查 _ _ - - - _ _ _ _ - _ _ _ 一 一 + y ( f ) 主兰q r + 互1 - n 扩i e j i - k + 矿， (32i=l i = 1 i 5 ) y ( f ) 去q r + 弓- a 、。+ 矿， ( 3 2 5 ) 厶- 、， 其中z 为可选择的正常数。 首先验证y ( o ) ：o ：定义丢兰( t + z ) 2 ：o ，则易知y ( o ) = o 成立。 首先验证y ( o ) = o ：定义专( t + z ) 2 = o ，则易知y ( o ) 5 o 成立。 二i = 1u f 计算y ( ，) 的导数，得到： 矿= 静t + 善n 瓦1 ( w ) 卮 根据假设3 1 ，有 = 芸q r 厂( _ ) 一( j ) + c 姜g ! f 勺+ 向q 一善( 岛+ z ) i i q ：羔矿- 厂( t ) 一厂( s ) + c 羔g e 1 一，羔o e ，u 2 i = l l j = l j i = 1 矿nq rf ，乃q + c 羔q e 门一z 兰2 i = 1 j = l i = 1 又因为项兰e i r 羔p ，的最大特征值为零，再令厂= m k 刚a x ( ) ，则可以得到如下 i = 1 = 1 的不等式 因为厂 ，所以有： 2 = ( r - o i l e , i l i = l y 0 显然，当且仅当e ，= o ( i = 1 ，2 ，) 时，v = o 。故运用l a s a l l e 不变性原理，误 差系统( 3 2 4 ) 的任意解渐近收敛到最大不变集e = ( p ，占) i p = o ，g = 岛) 中，其 中岛为常数，即rj 时，e 一0 。从而网络达到完全同步。证毕。 2 白 鲥 ，一 岛 r 巳 m 厂 - 0 为时间延迟，a 和a 是内部连接矩阵，耦合矩阵 g l = ( g 1 ) 。r 肌，g 2 = ( q 2 ) 。r x 分别表示在，时刻具有非时滞耦合 和时滞耦合的网络的拓扑结构，若节点，和节点i ( i _ ) 之间有连接，那么 q 一o ；否则q p = o ( f j ) ，p = l 2 。u 是为了使网络尽快达到同步所设 计的控制器。 本章所用到的假设和引理给出如下： 假设4 1 对于时滞微分方程 戈( f ) = 厂( x ( ，) ，x ( f f ) ) ( 4 1 2 ) 这里x ( r ) r 4 ，：尺”r ”j 尺“为连续函数，对任意初值( 气，工。) 都存在唯一解， 这里，为玎维向量。 在本章中，定义向量范数为： 愀f ) 0 = 6 2 ( f ) + 屯2 ( ，) + + 2 ( f ) ， 矩阵q 的谱范数定义为： i i q 0 = 以。( 9 7 q ) 假设j ( ，) 为方程( 4 1 2 ) 的解，即有： j ( f ) = 厂( s ( 嗅, 0 - 0 ) ( 4 1 3 ) 这里s ( f ) 可以是一个平衡点，一个周期轨道，或一个混沌吸引子。 一般地，如果时滞耦合动态网络( 4 1 1 ) 的所有解t ( f ) ，i = l 2 ，n ，满 足： l i mx ，( t ) 一s ( , ) 1 - - o ，i = l 2 ，n ( 4 1 4 ) 我们称动态网络( 4 1 1 ) 是完全同步的，也称s ( f ) 为这个网络的同步态。 定义同步误差为： e i ( ，) = t ( t ) - s ( t ) ， e i ( f f ) = 一( t - r ) - s ( t - r ) 江苏大学硕士学位论文 则可以得到如下的同步误差系统动力学方程： 色( f ) = 厂( 薯( ，) ，t ( f f ) ) 一厂( s ( f ) ，s ( ，一f ) ) + q n 嘭4 _ ( ，) + c ：ng ：f ，z 4 _ ( 卜f ) + u j = ij = i ：m ( ，) q ( ，) + ( f ) q ( f f ) + q 兰q m 4 巳( f ) j = i + c ：兰q 4 巳( 卜f ) + ( 4 1 5 ) j = i 这里江1 ，2 ，n 。m ( ，) 和( f ) 分别为厂( s ( r ) ，j ( ，一f ) ) 在s ( f ) 点和s ( r f ) 点的 雅可比矩阵。 引理4 1 对任意变量五y r ”以及正定矩阵a 尺雕“，有如下的矩阵不等 式成立： 2 x r y x t - i - y r q q y 引理4 , 2 h 铂假设q 和尺为两个正定对称矩阵，那么 ；： 0 等价于 4 2 同步化准则一 r 0 ，a s r 一1 s r 0 以及正定对称矩阵p 使得 m 7 ( t ) p + p m ( t ) + 2 c l p q l + c 2 p p r 一8 1 。 ( 4 2 5 ) 这里的q l = ( g lo4 ) ，其中。为k r o n e c k e r 积。 证明：构造l y a p u n o v 泛函： y = 静( ，心( 小瓦1 分 ( 4 2 6 ) 首先验证y ( o ) = o ：定义壶c 2 2 = o ，则易知y ( o ) = o 成立。 计算l y a p u n o v 泛函v 的导数，可以得到 矿= i = 1 批如( f ) + 彰( ，心( r ) + 码 c 2 亡z 2 善嘭7 ( ，鹏( f ) + 善q 7 ( f 户色( f ) + 百1 c z 之 ni = i 肘( ，) q ( f ) + ( f ) 乞( f f ) + c l q ( ) 4 e j ( t ) + c 2 g j 2 ) a 2 e j ( t f ) + le e , ( t ) 江苏大学硕士学位论文 ， + i = iq r ( ，) p m ( ，) q ( ，) + ( r ) q ( ，一f ) + q 1。 + 了c 2 c 2 啊 j v 2 i = 1 + i = l e f ( f ) ( m r ( f ) p + 删( ，) ) q ( ，) + f = l g ：f ，1 4 e j ( t ) + 巳e j = xj = t e ft - - f ) n r ( t ) p e , ( r ) e t r ( f 炒( f ) q ( 卜f ) + 丁( t ) p e ，( f ) + e e i r ( t ) p u ，( t ) n i = li = i e i t ( ，) 尸q 1 e j ( f ) + 2 乞 j = li = ly = t k ( 2 ) 兰q r ( ，一f ) q ( ，一f ) f = 1 i = 1 e f ( ，) ( m7 ( f ) p + 肼( 州乞( ，) + j | v + f = le f ( f 炒t ) e i ( t - r ) 一 + 2 c l i = l f = l e f ( t ) p g v 2 a 2 e s ( t - r ) e l7 1 ( t - r ) n 7 1 ( t ) p e , ( f ) g 。o ) a 2 e j ( 叫 e f ( t - r ) n7 t ) p e , ( f ) 一e e i r ( f 眇t ) e i ( 卜f ) v ze , 7 ( t ) p g o 1 4 e j ( t ) + 2 c 2 ，= 1 一乞k 2 q r ( 卜f ) q ( f f ) i = l f = 1 nn i = 1 j = l e f ( ，) ( m7 1 ( f ) p + 肼( f ) ) q ( ，) + 弘 nn + 弛j _ _ - j i = lj = l i = 1 e f ( t ) p g o 2 a 2 e j ( t f ) n e ee , r ( r ) p g ：f ，1 a l e j ( ) i = lj = l q r ( t ) p g j ：4 巳( f f ) 一c ：k ( nq r ( 卜f ) q ( f f ) i = 1 ( 4 2 7 ) 令p ( f ) = ( q r ( ，) ，乞7 ( f ) ，7 ( ，) ) r ，g = ( g l0 4 ) ，q = ( g 2 圆4 ) ，这里的 圆为k r o n e c k e r 积。根据引理4 1 ，有 所以 2 c 2 e r ( t ) p q 2 e ( t - r ) c 2 e 7 ( r ) 即r e ( t ) + c 2 e r ( 卜f ) q 皱7 1 e ( t f ) ( 4 2 8 ) m c2 ：e 江苏大学硕士学位论文 即： 矿羔q r ( f ) ( m r ( f ) p + p m ( f ) ) q ( f ) + 奶p 7 ( f ) p q l p ( f ) + c z e r ( t ) p p 7 1 e ( t ) + c 2 e r ( 卜f ) q 2 q 2 7 e ( t f ) 一c ：k r ( t - r ) e ( t - r ) 矿，( f ) ( m r ( t ) p + p m ( t ) + 2 c , p q l + c ：即7 ) e ( t ) + c 2 e r ( f f ) q q 2 r e ( t f ) 又因 所以 那么 一c ：k r ( ，一r ) e ( t r ) q 2 r q 钆( q7 1 q ) = k 2 c 2 p r ( f f ) q 2 q 27 口( r f ) 一巳九。2 p 7 1o r ) e ( t - r ) o 矿 e r ( 州m r ( t ) e + p m ( t ) + 2 c 。p q + c ：胛，) p ( f ) - b e 丁( t ) e ( t ) ( 4 2 9 ) 根据( 4 2 5 ) 式知矿 0 ，从而复杂动态网络( 4 1 1 ) 可以达到完全同步。证 毕。 4 3 同步化准则二 为了达到目标( 4 1 4 ) ，对系统( 4 1 1 ) 中具有非时滞耦合的网