（应用数学专业论文）广义时滞系统的保性能控制研究.pdf

哈尔滨t 程大学硕十学位论文 摘要 对于实际系统来说，仅能保证系统的稳定性是不够的，还要保证系统的 动态响应满足一定的性能指标，由此提出了保性能控制问题本文利用 l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩阵不等式的理论方法研究了两类广义时滞系 统的保性能控制问题即非线性广义时滞系统的保性能控制，随机广义时滞 系统的保性能控制 首先，介绍保性能控制问题的研究现状以及目前存在的问题，然后给出 本文中需要的基础知识和预备引理，最后给出了本文的主要研究工作内容： ( 1 ) 利用线性矩阵不等式和l y a p u n o v 稳定性的理论给出了非线性项范数 有界的广义时滞系统保性能控制器存在的充分条件和设计方法然后，利用 l m i 工具箱举例说明了设计方法的有效性 ( 2 ) 对正常的非线性时滞系统的保性能控制研究进行推广，利用构造一 个新的矩阵不等式，讨论非线性项范数有界的广义时滞系统的鼠保性能控 制问题，并给出其也保性能控制器存在的充分条件和设计方法最后举例 说明了设计方法的有效性 ( 3 ) 对线性随机广义时滞系统的玩保性能控制进行初步讨论，先给出 随机广义时滞系统也保性能控制的定义，并利用随机分析理论与现代控制 方法得到了随机广义时滞系统见保性能控制器存在的充分条件和设计方 法，最后用一个实际算例说明了设计方法的实效性 关键词：广义时滞系统；l y a p u n o v 稳定性；i t 6 公式；保性能控制；线性矩 阵不等式 哈尔滨工程大学硕+ 学位论文 a b s t r a c t i ti s i n a d e q u a t et h a tt h eg e n e r a ls y s t e mg u a r a n t e e si t ss t a b i l i t y , s ot h e d y n a m i cr e s p o n s eo fg e n e r a ls y s t e ms a t i s f i e st h ed e m a n do fs o m ef u n c t i o ni n d e x t h e r e f o r e ，t h eq u e s t i o no fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rs y s t e m si sp u tf o r w a r d i n t h i s p a p e r , b yu s i n gl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dt h et h e o r yo fl m i ，w e s t u d i e dt h e p r o b l e m so fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l f o rt o wk i n d so fs i n g u l a r t i m e d e l a ys y s t e m s ，n a m e l y , t h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rn o n l i n e a rs i n g u l a r t i m e - d e l a ys y s t e m s ，a n dt h eg u a r a n t e e d c o s tc o n t r o lf o rs t o c h a s t i c s i n g u l a r t i m e - d e l a ys y s t e m s f i r s t l y , t h ep r e s e n ts i t u a t i o na n dt h ee x i s t e n tp r o b l e m so fg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o la r e i n t r o d u c e d s e c o n d l y , t h ef u n d a m e n t a lk i l o w l e d g ea n dp r e p a r e d l e m m a sa r ec o n s i d e r e d f i n a l l y , t h em a i nr e s e a r c ht a s ki ss t u d i e d ： ( 1 ) t h i sp a r tg i v e st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fc o r r e s p o n d i n gc o n t r o ll a w b a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y t h e n ，t h e n u m e r i c a le x a m p l es h o w st h ev a l i d i t yo fo u rc o n c l u s i o nv i at h el m i - b o x ( 2 ) i nt h i sp a r t ，w ep r o m o t et h ec o n c l u s i o n sb a s e do nt h eg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o lo fn o n l i n e a rn o r m a ls y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y i nt e r m so fan e wm a t r i x i n e q u a l i t y , t h ep r o b l e mo fg u a r a n t e e dc o s th 。c o n t r o li sd i s c u s s e df o rs i n g u l a r t i m e - d e l a ys y s t e m s 谢t i ln o r m - b o u n d e dn o n l i n e a rt e r m ，t h ee x i s t e n c eo f g u a r a n t e e dc o s th 。c o n t r o l l e ri sg i v e na n dt h ec o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o di sa l s o d e r i v e d ，g i v e na n u m e r i c a le x a m p l es h o w st h ev a l i d i t yo fo u rc o n c l u s i o n ( 3 ) i nt h et h i r d ，t h eg u a r a n t e e dc o s t 鼠c o n t r o lo fs t o c h a s t i cs i n g u l a r t i m e - d e l a ys y s t e mi sc o n s i d e r e d f i r s t l y , w eg i v eo u tt h ec o n c e p t i o no ft h e g u a r a n t e e dc o s th 。c o n t r o l ，a n dt h e nu s i n gt h e o r e m1 p r e s e n t st h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n t h e o r e m2i st h ef o r mo fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yo ft h et h e o r e m1 哈尔滨t 群人学硕十学位论文 t h en u m e r i c a le x a m p l es h o w st h ev a l i d i t y k e y w o r d s ：s i n g u l a rt i m e - d e l a ys y s t e m ，l y a p u n o vs t a b i l i t y , i t 6f o r m u l a , g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ，l m i 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：施烈k 日期：7 力7年月培日 j ， 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 口在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后 口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字) ：讫缎 导师( 签字) ：同，厂敏 日期：纠年月弓日矽c 年6 月罗日 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 1 1 论文的研究背景 第1 章绪论 随着现代控制理论研究的不断深入，以及向其他学科诸如航天、航空、 机械、能源、网络和通讯等应用领域的渗透，人们发现了一类更具广泛形式 的动力系统，这就是广义系统人们发现，用广义系统来刻划和描述实际应 用中经常遇到的一些问题比用正常系统更为自然、方便、精确；并且，对于 不少实际系统而言，比如核反应堆、受限机器人等，只能用广义系统来描述 而不能用正常系统来刻划，从而，广义系统因理论上的学术价值和广泛的应 用前景吸引了国内外众多的研究人员的关注和重视此外，在客观世界及实 际工业系统中，由于变量的测量、物质及信号的传递等客观因素，时滞现象 是普遍存在的，其特点是事件发展的趋势不仅与当前状态有关，而且还和事 件过去的信息有关在通常情况下，系统中的时滞对系统的影响非常显著， 时滞的存在往往导致系统的性能指标下降，甚至可以造成系统的不稳定，但 人们为了使系统具有所期望的性能，往往会人为地在系统设计中引入时滞作 用，因此在过去几十年里，关于时滞系统的研究引起了国内外学者的广泛关 注，并涌现了许多优秀成果由于广义系统更为一般性，加之时滞是影响系 统稳定和系统性能的重要因素之一，因此在许多实际系统中，要对其准确地 描述，从而对其更精确地设计、分析和应用，就必须同时考虑时滞的影响和 奇异现象，即需要研究广义时滞系统 对一个实际系统而言，仅仅具有稳定性不足以反映系统的本质特征，还 必须考虑其他的性能指标，即系统的保性能控制( 亦保成本控制) 问题该 问题最早是由c h a n g 和p a n g 于1 9 7 2 年在自适应控制中首次提出的，其基本 思想就是针对系统的不确定性设计一个反馈控制器，使得其闭环系统不仅是 稳定的，而且对于所有容许的不确定性，其相应的性能指标不超过某个确定 1 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 的上界这样就保证了由系统的不确定性引起的恶化后的性能指标仍小于事 先估计的性能指标上界，使得人们对系统性能的恶化程度有了一定程度的了 解近几年，随着时滞系统鲁棒控制研究所取得的进展，时滞系统的保性能 控制问题也得到了深入的研究，取得了丰硕的成果，然而，迄今为止，主要 的研究工作大都局限于正常时滞系统，对于广义时滞系统，由于其自身所具 有的特殊性，即不仅要求系统是鲁棒渐近稳定的，而且要求系统是正则、无 脉冲的，使得广义时滞系统的保性能控制研究相对于正常时滞系统并不多见， 仍有待于进一步深入探索，这正是本文选题的实际依据和动机 1 2 研究现状 2 0 世纪9 0 年代以来，广义系统的研究成果已经贯穿控制系统的各个领 域，例如文献 1 涉及到从连续到离散，文献 2 - 5 涉及到从无时滞到时滞， 文献 6 - 7 涉及到从线性二次型最优控制到h ，和玑控制，文献 8 - 9 涉及到 从线性到非线性，文献 1 0 涉及到从确定性到不确定性等各个专题，硕果颇 丰文献 1 卜1 3 对广义时滞系统解的存在唯一性进行了研究，这是对广义时 滞系统进行分析和综合时需要解决的一个难点问题，另一个难点是广义时滞 系统的稳定性有关广义时滞系统稳定性方面的成果可分为两类：一类是时滞 独立型结论，一类是时滞相关型结论，般来说，时滞独立的稳定性条件比 较保守，特别是对于滞后时间较小的情形文献 1 2 将传统意义下的 l y a p u n o v 稳定性定义推广到了广义时滞系统，给出系统渐近稳定的定义文 献 1 4 将文献 1 5 - 1 6 的方法推广到了广义时滞系统，给出广义时滞系统一个 正则、无脉冲且鲁棒稳定的时滞相关的充分条件，文献 1 7 在此基础上构造 广义l y a p u n o v 泛函，得到广义时滞系统正则、无脉冲且鲁棒稳定的时滞相关 判据，以及鲁棒镇定状态反馈控制器存在的时滞相关充分条件，结论具有明 显的较小保守性，并且控制器的设计也相对简便此外，文献 1 8 - 1 9 研究了广 义时滞系统的时滞相关也控制问题，文献 2 0 基于一个新给出的二次型积 2 哈尔滨丁程大学硕七学位论文 分不等式，采用l y a p u n o v 泛函分析的方法，结合l m i 技术，使广义时滞系统 在不需要进行模型变换的情况下，得到保守性较小的结果此外，近年来对于 随机系统的保性能控制研究也有所发展，例如文献 2 1 对一类不确定线性随 机时滞系统的保性能控制进行初步讨论，利用线性矩阵不等式处理方法和伊 藤公式，导出了状态反馈保性能控制器存在的条件据此，通过建立和求解 一个凸优化问题，给出了最优保性能控制的设计方法；文献 2 2 讨论了一类 i t 6 类型不确定随机时滞系统的鲁棒风保性能控制问题，通过选取指数形式 的l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函将系统的鲁棒随机保性能指数控制器及鲁棒随机 矾保性能指数控制器的设计表示为具有l m i s 约束的凸优化问题文献 2 3 研究了马尔可夫跳变参数随机时滞系统的鲁棒保性能控制问题，通过构造一 个l y a p u n o v 函数并应用i 仿微分公式求微分，利用线性矩阵不等式( l m i ) 的 性质和广义i t 6 公式，给出了此类系统保性能控制律存在的充分条件，估计了 其保性能值 1 3 存在问题 经过多年来的研究，保性能控制问题已经取得了长足的进展，并正处于 快速发展之中，但由于实际应用情况的复杂性以及相应应用工具的有限性， 依然存在广大的研究空间，广义系统保性能控制在今后的发展趋势大致分为 以下几个方面： ( 1 ) 非线性系统是最为一般的系统，由于科学技术及各方面的实际要求， 非线性控制理论正受到极大的重视，而非线性系统理论远非完善，很多问题 尚待研究，因此，非线性广义系统的保性能控制问题的发展也受到了限制 ( 2 ) 实际存在于现实系统的外部干扰，使得在系统控制器的设计中必须同 时考虑闭环系统的鲁棒性和抗干扰能力，也就是说要实现系统控制的多目标 设计，其中一种有效的方法就是系统的玩保性能控制方法 ( 3 ) 弹性保性能控制是保性能控制的一个新兴研究方向，由于它比正常的 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 保性能控制的设计具有更强的条件和要求，可能使得性能函数的上界值增大， 因此这方面的工作举步维艰，目前对弹性保性能控制的设计多局限于线性正 常系统，在广义系统中的研究成果还相当少见 ( 4 ) 由于构造状态反馈控制器需要知道系统的全部状态信息，而不确定性 又是一个普遍存在的因素，这使得控制器的设计非常困难，此现象推动了具 有不确定性广义系统保性能控制的发展 ( 5 ) 在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，故难以应用 状态反馈控制器来对系统进行控制，输出反馈控制是解决状态反馈控制所存 在的问题的一种有效方法，但其设计的复杂性及计算量浩大使得这方面的工 作显得非常困难，尚需进一步的研究 ( 6 ) 保性能控制器中的鲁棒性分析与综合方法，是在不确定性范数有界的 假设条件下，利用不等式放大技术得到闭环系统保性能控制鲁棒界，其结论 往往存在相当大的保守性，有待改进 1 4 本文的主要内容 全文结构安排如下： 第一章为绪论部分较为详细介绍了广义时滞系统理论的研究背景、国 内外研究的现状、广义系统保性能控制的发展前景和本文研究的主要内容 第二章为广义时滞系统与预备知识给出本文研究的系统所涉及的概念、 稳定性分析等一些相关预备知识，给出本文常用不等式和引理等，为本文的 后继研究打下了理论基础 第三章为非线性广义时滞系统的保性能控制该部分针对一类非线性项 范数有界的连续广义时滞系统，给定一个二次性能指标和状态反馈控制器， 研究了闭环系统的正则、稳定和无脉冲问题，并且使闭环系统的性能指标不 超过一个确定的上界利用线性矩阵不等式给出了保性能控制器的参数化表 示，并给出实际例子来说明设计的有效性 4 第四章为非线性广义时滞系统的也保性能控制利用一个新给出的二 次型积分不等式，推出该系统风保性能控制器存在的充分条件和设计方法， 并给出算例说明其有效性，进而将线性广义时滞系统的保性能控制推广到非 线性系统当中 第五章为随机广义时滞系统的风保性能控制，在此章节中，利用一个 广义i t 6 微分公式，将已有的随机时滞系统保性能控制结果在广义系统上进行 推广，从而给出了该系统此保性能控制器存在的充分条件和设计方法，最 后由实际数值算例说明其设计方法的有效性 本论文创新点为： ( 1 ) 在第三章中针对非线性系统的常见非线性项i i 厂( x ( f ) ) l l o ) 然后基于一个新的积分不等式，把线性广义系统的保性能控制结论推广到非 线性系统上 ( 3 ) 在第五章中针对随机过程具有如下特性： s 趔( ，) ) = o ；g 拟o ) 2 = d t 的随机广义时滞系统，给出其状态反馈以保性能控制器的新定义，在假设 系统正则与无脉冲的条件下，讨论系统的保性能控制问题 哈尔滨工程大学硕十学何论文 第2 章广义时滞系统与预备知识 在许多实际系统中，要对其准确地描述从而对其更精确地设计、分析和 应用，就必须同时考虑时滞的影响和奇异现象广义时滞系统又常被称为时 滞微分一代数方程、隐式时滞系统和奇异时滞系统，本质上是由矩阵时滞微 分方程和矩阵微分代数方程构成的系统广义时滞系统在宇宙飞船姿态控制、 大型化工系统、大型电网控制及无线传输线路等各种工程系统中有着非常广 泛的应用，它是比正常时滞系统更加广泛的一类系统，在某种条件下，正常 时滞系统可以视为广义时滞系统的一个特例本章将对广义时滞系统做简要 介绍，具体给出本文所要研究的系统模型、与系统有关的概念和引理等，最 后给出一些常用矩阵不等式，为本文的研究打下了理论基础 2 1 广义时滞系统 2 1 1 系统及其相关概念 l 、考虑广义时滞系统的标称系统( u ( t ) = 0 ) ： je i ( ) = 出o ) + 以x ( 一办) ( 2 1 ) 【x ( f ) = 缈( ，) ，t 【- h ，0 】 其中x ( t ) r ”，x ( o ) = 是系统的状态向量：e r ，a r 舢， 4 r 删”为实数矩阵，e 为奇异矩阵即r a n k e = ， 0 ，存在标量8 ( e ) 0 ，使得对任意满足 s u p 物( f ) i | 0 ，当罂! _ i 伊( s ) 2 瞎 0 及正定阵q ，使得 s 爿l p + s p a l l + 2 p 7p + q 0 ，q o 使得以下矩阵不等式成立： p a + a 7 尸+ q + m7 p m 0 2 2 预备知识 2 2 1 线性矩阵不等式 定义2 2 1 1 ，如下形式的矩阵不等式称为线性矩阵不等式( l m i ) f ( x ) = 磊+ 而e + + 巴 0 ( 2 - 8 ) 其中而，是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式( 2 8 ) 的决策变量， z = ( 毛，) r r ”是由决策变量构成的向量，称为决策向量， 互= f r “一，f _ o ，l ，l 是一组给定的实对称矩阵，( 2 8 ) 式中的不等号 “ 指的是矩阵f ( x ) 是负定的，即对所有非零的向量，r ”，v r f ( x ) l , , o 或 者f ( x ) 的最大特征值小于零 若下式成立 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 f ( x ) = f o + 五巧+ + 吒o ( 2 9 ) 则称不等式( 2 - 9 ) 为非严格线性矩阵不等式 显然，对多个l m i 可以用一个l m i 来表示，即： e ( x ) 0 ，e ( x ) 0 ，吒( x ) 0 等价于o 互( x ) e ( x ) 吒( x ) 0 通常，在控制理论研究中所遇到的二次非线性矩阵不等式，可以用下面 的s c h u r 补引理将其转化为线性矩阵不等式，这也是l m i 在控制理论研究中 得到广泛应用的主要原因之一 引理2 2 1 1 ( s c h 蝻引理) ：对于给定的对称矩阵s = 陵乏 ， 其中墨。是，维的以下三个条件是等价的： ( 1 ) s 0 ： ( 2 ) s i l 0 ，2 一s l t 2 0 l - 1 1 s 2 0 。 ( 3 ) s 2 2 0 ，s i i - s 1 2 s 2 - 2 i ) l t 2 0 2 2 2m a t l a bi _ mi 工具箱 在控制系统的分析设计中，许多特殊的约束条件可以化为线性矩阵不等 式的可解性来处理，无需参数调节，从而给应用带来方便l m i 工具箱就是 为求解一般的线性矩阵不等式而设计的高性能工具箱，它支持面向结构，因 此各种约束都可以用原来的块矩阵形式描述下面仅对三个常见的问题介绍 如何利用l m i 工具箱中的求解器进行求解 1 、可行性问题考察是否存在决策向量x 满足以下线性矩阵不等式 哈尔滨工程大学硕士学位论文 彳( x ) b ( x ) 此问题由求解器r f e a s p 0 来求解如果有解，则给出决策变量的值，从而 可以得出l m i 中各个变量的值 2 、具有线性矩阵不等式约束的一个线性目标函数的最小化问题，即 m i n c 7 x j s j 么( x ) b ( x ) 其中x 为决策向量，c 为一个行向量，用来定义决策向量中需要最小化 的目标此时，用求解- 器m i n c x 0 来求解 3 、广义特征值最小化问题在下面的约束条件下最小化名 m i n a 工 s j c ( x ) d ( x ) 0 0 则有 2 u r m v “7 脚一1 m r u + v r g v 其中”，v 为适当维数的向量 引理2 2 3 3 m ，对于v x 尺”，以及适当维数的常数矩阵m ，日，有 m a x ( x r h f m x ) 2i f ( f ) 7 f ( ，) ，) = ( x r h h r x ) ( ，m r m x ) 引理2 2 3 4 m 1 对于具有适当维数的矩阵x ，】，和正定矩阵r ，总有 y 了】，+ 】，r x x 丁r x + ，r 一1 】， 1 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 引理2 2 3 5 m ，给定适当维数的矩阵】，、d 和e ，其中】，是对称矩阵， 则 】，+ d f e + e7 f r d r 0 ，使得 】，+ e d d r + ! e r e 0 ，标称自治系统( 3 - 5 ) 对任意满足0 h h 的 时滞常数h 是正则、无脉冲且渐近稳定的，如果存在常数6 0 及矩阵s 0 ， x 0 ，z ，非奇异矩阵尸，使得以下矩阵不等式 e 7 p = p 7 e 0 吾e 讣。 er a d 卑s h ；h 2 - s ， 彳r 0 以 - 6 1i 一古x 一 成立，其中：f = a7 p + p r a + h z + 占研目+ s ( 3 - 6 ) ( 3 - 7 ) 0( 3 - 8 ) 证明：首先，证明标称自治系统( 3 - 5 ) 是正则并且无脉冲的， 容易推知：f 0 ，从而可得： 彳7 p + p r a 0 因为r a n k e = ， ，故存在非奇异矩阵m 和使得 1 6 由式( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) 哈尔溟i 程大掌坝士学位论文 m e n = 确 一叫乏乏 旷l ，7 匮p 吃2 2 h j 由式( 3 - 6 ) 可得墨：= 0 ，即 7 匮乏 _ l 在式( 3 - 9 ) 两边分别左乘7 和右乘，通过计算可以得到 砭足：+ 如 0 及矩阵u 0 ，w ，x ， 1 9 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 z ，非奇异阵v ，使得以下矩阵不等式 e v = v 7 e r 0 言矗】 0 ( a v + b r v ) r u t 麓 6 1 一七x _ ( 3 - 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) 0 ( 3 1 8 ) 成立，其中 q = ( a v + b w ) r + ( 么y + b w ) 则广义时滞系统( 3 1 ) 对任意满足0 h h + 的时滞常数h 都是正则、无脉冲且 渐近稳定的，且甜( f ) = w