（应用数学专业论文）智能控制中层次结构优化与网络算法研究.pdf

西南交通大学研究生硕士学位论文 摘要 y 3 1 8 8 19 智能控制系统被誉为是二t 一一世纪的核心技术。它的技术原理与手段不 同于经典控制理论，是一一种新的控制机理。智能控制系统更认为星县直垒层 魄的复盘组塑盟搀因此，鞋塑簦 攀! 墨篓墼堡堕塑盟垡也雹堕建：睦蕉煎塾 燃_ 堕墨塑自鱼篓镌! 系红跫超硒窥的燕尘j i 鉴之二。本文主要在智能控制 系统的层次结构优化及网络学习算法上进行了探索。( 具体包括： l 、二层系统是多层系统的最基本形式，多层系统可认为是多个二层系 统复合而成的。对于一个多层系统，其决策过程为：上层决策昔作出一个决 策，下层的决策者根据上层给出的决策作出各自的最优决策并反馈给上层， 上层决策者再根据此信息，在权衡整体利益的情况下作出符合全局的决策。 在决策过程中，问题会变的非线性化并且情况越来越复杂。为此，本文提出 二层系统的一种模糊解法。该解法利用隶属函数，把求解复杂的二i 层系统问 题转化为求解一个单层线性规划，使问题得到了简化。 2 ) 模糊神经网络的一种混合递推学习算法。神经网络和模糊数学是智 能控制的数学工具，由于它们各自的优点，使= 二者在很多领域得到了应用。 本文提出的混合递推学习算法是对二者结合方面的研究。这种算法充分利用 模糊规则的规则强度调整模糊神经网绍中的模糊规则前件隶属函数的中心和 宽度，i 司时，借鉴逆g i v e n s 晟小二乘算法调整后件隶属函数的中心。使用 该算法，可以提高模糊神经网络的学习速度。 3 ) 基于双模糊神经网络的变结构控制。变结构控制是自适应控制的 西南交通大学研究生硕士学位论文 1 1 种，针对本文提出的混合递推学习算法，构造了一种基于模糊神经网络的变 结构控制。这种变结构控制由两个模糊神经网络构成，一个用于自适应跟踪 控制；另一个取代滑动模控制，这种控制方法可以有效地减弱传统变结构控 制中的高频颤动。y 关键词：二层系统模糊神经网络 变结构控制 1 7 j 毒。，r ：；j ：_ i l 。珑澄j 。j 。秒 堕塑奎塑奎堂堕窒生塑主兰堡堡窒 ! ! ! a b s t r a c t i n t e l l i g e n tc o n t r o ls y s t e m sa r en a m e d a sc o r et e c h n o l o g yi nt h e21s tc e n t u r y i t s h a n d i n gp r i n c i p l ea n d m e a s u r ei sd i f f e r e r i tf r o mt h o s eo fc l a s s i c a lc o n t r o lt h e o r y i ti sa n e wk i n do f c o n t r 0 1 i n t e l l i g e n tc o n t r o ls y s t e m sh a v eo r g a n i z a t i o ns t r u c t u r ew i t hm u l t i l e v e l t h es t u d ya b o u to p t i m i z a t i o np r o c e s s i n go fs t r u c t u r ea n dl e a r n i n gn e t w o r ki s a l w a y sac o r ep r o b l e mi ni n t e l l i g e n t c o n t r o ls y s t e m s t h ep a p e rm a i n l yc o n t a i n s o p t i m i z a t i o no fb i l e v e ls t r u c t u r ea n dt h es t u d y o f l e a r n i n ga l g o r i t h mf o rf u z z yn e u r a l n e t w o r k 1 ) t h es t u d yo faf u z z ya p p r o a c hf o rb i l e v e lp r o g r a m m i n gp r o b l e m s b i - l e v e l p r o g r a m m i n gs y s t e mi st h eb a s i cf o r mo f m u l t i l e v e ls y s t e m s i ti s t h o u g h tt h a tt h e m u l t i l e v e ls y s t e mi sc o m b i n e db ym a n yb i l e v e ls y s t e m s s o ，t h es t u d yo fb i l e v e l s y s t e mi so fg r e a ti m p o r t a n c ef o rt h er e s e a r c ho f m u l t i - l e v e lp r o g r a m m i n g t h eb a s i c c o n c e p t so f b i - l e v e lp r o g r a m m i n g t e c h n i q u e sa r ea sf o l l o w s ：a nu p p e r - l e v e ld e c i s i o n m a k e ro ft h eo r g a n i z a t i o ns e t si t s g o a la n dt h e na s k se a c hs u b o r d i n a t el e v e l o ft h e o r g a n i z a t i o n f o rt h e i ro p t i m aw h i c hi sc a l c u l a t e di ni s o l a t i o n ，t h ed e c i s i o n so ft h e l o w e r - l e v e lm a k e ra r et h e ns u b m i t t e da n dm o d i f i e db yt h eu p p e r l e v e ld e c i s i o nw i t h c o n s i d e r a t i o no ft h eo v e r a l lb e n e f i tf o rt h eo r g a n i z a t i o n ；a n dt h ep r o c e s si sc o n t i n u e d u n t i las a t i s f a c t o r ys o l u t i o ni sr e a c h e d i nd e c i s i o np r o c e s s ，t h ep r o b l e mb e c o m e sn o n l i n e a ra n dt h ed e c i s i o ni n f o r m a t i o ni sa l s o i m p l i c i t i n t h i s s t u d y , an e wf u z z y a p p r o a c h i sp r o p o s e df o ru p p e r - l e v e lw i t hc o n s t r a i n t so fb i l e v e lp r o g r a m m i n g w eu s e t h e c o n c e p t s o f m e m b e r s h i pf u n c t i o n sa n dm u l t i p l eo b j e c t i v eo p t i m i z m i o n t od e v e l o pa f u z z ya p p r o a c hf o rs o l v i n g t h ea b o v e p r o b l e m s 2 、an e wh y b r i dr e c u r s i v e l e a r n i n ga l g o r i t h m f o rf u z z yn e u r a ln e t w o r k si s p r o p o s e d f o rf u z z yn e u r a ln e t w o r k s ，t h es t u d yo fn e u r a l n e t w o r ka n df u z z ys e t st h e o r y a r et w oi m p o r t a n tm a t h e m a t i c a lt o o l sf o rt h es t u d yo fi n t e l l i g e n c ec o n t r o l s y s t e m b e c a u s eo fe a c ho ft h e mh a s m a n ya d v a n t a g e ，t h e y a r eu s e d w i d e l y i n m a n y a p p l i c a t i o nf i e l d s n o w a d a y s ，t h er e s e a r c ho fi n t e l l i g e n tc o n t r o ls y s t e m sf o c u s e so n f u z z y s e t sa n dn e u r a ln e t w o r k i nt h i s p a p e r , an e wh y b r i dr e c u r s i v el e a r n i n g a l g o r i t h mf o rf u z z yn e u r a ln e t w o r k si st h e i rc o m b i n a t i o n 3 ) v a r i a b l es t r u c t u r es y s t e m sw i t hs l i 5 l i n gm o d ea r ed i r e c ta d a p t i v ec o n t r 0 1 i n t h i sp a p e r , t w of u z z yn e u r a ln e t w o r k sa r ep r o p o s e df o rv a r i a b l es t r u c t u r es y s t e m s o n e 西南交通大学研究生硕士学位论文 f u z z yn e u r a ln e t w o r kp e r f o r m sa st r a c i n gc o n t r o l ，a n dt h eo t h e ra ss l i d i n gm o d ec o n t r o l t h es t r u c t u r er e d u c e s q u i v e ri nv a r i a b l ej ；t r u c t u r ec o n t r 0 1 k e y w o r d s ： b i l e v e l p r o g r a m m i n g ，f u z z yn e u r a ln e t w o r k ，v a r i a b l es t r u c t u r e c o n t r 0 1 西南交通大学研究生硕士学位论文 第一章概述 智能控制是人工智能和自动控制相结合的产物，也是当i j 人工智能与自 动控制领域中，国际和国内学术界、工程界和企业界共同关注的“热门”课 题。 在人工智能领域中，智能控制是人工智能堕围受究曲重要对象。例如t 专家系统、人工神经网络和模式识别等在控制方面的应用研究，发展成为专 家控制、神经控制和模式控制等智能控制新技术。 在自动控制领域中，智能控制是控制技术向智能化发展的成果。它为传 统的控制技术带来了新的生机，为解决控制领域的难题，摆脱常规数学模型 的困境，突破现有控制理论的局限，提供了新的途径。 因此，智能控制不仅受到学术界的重视，而且，也引起了国家科委、自 然科学基会委以及控制工程部门、技术市场的重视。 第一节智能控制的背景和概念 最近三十多年来，控制理论以科学史上少有的速度经历了现监控制理论 和本丕统蕉型堡诠两个重要的发展阶段。这方面的理论方法都是以，格精确 的系统数学模型为基础的，在被控对象与环境之间只存在弱相互作用的过程 任务( 追求目标) 的控制中得到了成功的应用，如航天航空，航海中的一 些控制问题。但是，当控制对象与环境之间存在着具有强相互作用的不确定 性时，传统的常规控制理论就不足以对付这种不确定性的挑战，如大规模 复杂工业生产过程的控制等。所以，有必要面对与控制对象存在强相互作用 的复杂环境和任务的非结构化和不确定性，建立新的理论方法，这就是智能 控制所要研究解决的问题。 智能控制研究工作最初是以机器人控制为背景而提出的，这首先起源予 k s f u 在七十年代初期所阐述的以自动控制和人工智能相结合为主体的智 能控制概念1 2 l 。在此基础一k ，g n 萨里迪斯又将其发展为以人工智能、自动 控制和运筹学三学科的交叉融合为内涵的三级递阶智能控制结构模式。gn 萨罩迪斯对智能控制的发展作出了重要贡献他在1 9 7 7 年m 版了“随机系 西南交通大学研究生硕士学位论文 2 统的自组织控制”一书( 4 】，1 9 7 9 年发表了综述文章“朝向智能控制的实现” 。在这两篇著作中他从控制理论发展的观点，论述了从通常的反馈控制到 最优控制、随机控制、再到自适应控制、自学习控制、自组织控制，并最终 向智能控制这个更高阶段发展的过程。他首次提出了分层递阶的智能控制结 构形式。 在国内，文献【6 】中曾以智能机器人和大规模复杂工业控制系统为背景， 在对一类智能控制系统进行分析总结的基础上，利用信息科学的一种方法( 学 习分析与综合) 、两个准则( 功能准则和整体优化准则) 的方法论原理，提 出了一类智能控制系统的八元组结构模式。在这个系统模型中，将灵活推理 决策单元i d 作为一个专门的部件引入系统，通过i d 来实现信息集成和协 调管理，处理有关学习推理和决簧等知识信息过程问题，从而克服了传统数 学描述方法的局限性，能够全面地表达智能控制系统的功能结构和动念行 为。 在智能控制的发展阶段，对智能控制系统的概念和定义的理解有所不 同，我们赞成文献【7 】中对智能控制系统的定义：“智能控制袤统是以各种在 复塑盟丕强窒焦竖撞生鲍二仝蘑多尘常塑蕉剑丕绝塑! 热伍一蛐，以这种 环境为控制对象的面向任务( 追求目标) 的闭环自动控制系统。”从这 种意义上讲，传统的常规控制系统的环境对智能控制系统而占则相当于“控 制对象”。所以，智能控制系统的体系结构是“递阶嵌套”式的，其下层控 制系统是其上级系统的“执行机构”，而上层控制系统的控制对象是其下级 系统的“环境”。文献【6 ，8 所给出的一类八元组智能控制系统的结构模型胡i 反映了这种功能结构关系。 在八元组结构模型中，系统的灵活推理决策单元i d 代表了上层决策结 构，其以环境任务集e 中的元及其不确定性变化为基本对象，根据系统当 前的运动状态信息和反映所追求目标的性能指标函数信息，通过对这些定性 和定量信息的综合集成，适时地在线给出定解： z = a r gj d 删，x ，e 。，z 、 并在：u x _ x 的约束条件下，从容许控制集合m t 优选出控制 u + ( z + ，z + ) 使系统的性能指标达到广义最优( 满意解) 。其中u 和分别为 系统的控制变量集和状念变量集，爵为系统当前的环境任务集，z 为i d 的 堕童奎鋈查堂堡窒竺堕主兰焦笙窒 ! 解集，西：为在定解为z + 的条件下，系统的状态映射算子。 第二节智能控制中的几个关键性的问题 在对智能控制研究的背景与概念描述的基础上，对智能控制研究中几个 关键性的问题作简要的论述1 9 1 。 ( 1 ) 结构模式 智能控制系统属于w e a v e r 意义下的复杂组织结构系统，t b 了二其基本控 制对象的开放性，复杂性，多层次多目标，信息模式的多样性，模糊性承f 不 确定性特点，这就决定了智能控制系统结构模式的多样性。从基础理论研究 着眼，应当结合实际背景和多方面的应用需要，从功能结构上对智能控制系 统进行分类。在分类的基础上，就可针对具体的模型类，研究多个层次上系 统模型的结构表达，学习，自适应，自组织等概念的软分析数学描述。 ( 2 ) 模型化方法 对于智能控制系统而言，出于其环境任务的复杂性和不确定性，并与控 制对象的强相互作用。有关“对象一环境”的知识很难用传统的分析数学及 统计数学方法进行精确的描述，必须探讨新的建模工具和方法。“对象一 环境”的知识表达就是通常所蜕的“世界模型”，它是一种包括数学表示， 符号表达及其它目前未知形式表示的非纯一( h e t e r g e n e o u s ) 知识库。所以，关 于智能控制系统的模型化应该着重于这种非纯知识库的建立和操作，其建模 方法应是多方面的。可以将d e d s 的建模方法和a l 中的知识获取与表达相 结合以寻求有效的建模方法。也可以在层次划分的基础 二，建立反应系统层 次藕合关系和作用机制的各类知识模型，并将其集成为一体。关于非纯一知 识库的集成，接口与操作等，则是智能控制系统本身需要研究的专门课题。 ( 3 ) 氇拯缝丕 出于智能控制系统的结构复杂性和目标的多样性，在传统的控制系统 中，表征系统整体结构特征的具有决定意义的概念和评价指标体系已不完全 适用。必须应用综合集成技术将传统的硬分析( h a r da n a l y s i s ) 方法和知识工 程的软分析( s o f ta n a l y s i s ) 方法结合起来，进行智能控制系统的分机、综合 和设计，真正通过定性知识达到对系统整体特性的定量认u l 。所以，如何从 全局和整体出发把握系统的结构特征则是十分关键的，这就涉及建j 7 ：智能控 制系统的指标体系问题。 ( 4 ) 结构性质分析 西南交通大学研究生硕士学位论文4 在传统的现代控制理论中，系统的能控性，能观性和稳定性等结构性质 都是具有决定意义的概念，因为其它控制性能指标的实现都是以此为l j 提 的。然而，对于具有复杂组织结构的智能控制系统，其结构性质方面的问题 的提法和概念的定义都将有所不同，需要针对具体的模型类提出问题，给出 定义，并研究其判据。毫无疑问，在智能控制系统的分析和设计中，尤其足 对有关规划，推理和控制等一系列的问题的处理中，把握和利用系统结构方 面的信息则是十分重要的。文献【6 】针对一类具有八元组结构模式的智能控 制系统，研究了系统的结构能控性，结构能观性，稳定性以及协调和经济信 息结构问题。在文献【1 0 】【l l 】中又对这类智能控制系统的稳定性进行了专门 讨论。文献【1 2 】研究了智能控制系统的稳定性的监控问题。在文献 13 1 中， 对基于规则的专家控制系统的稳定性问题进行了较深入的研究，提出了分析 型的稳定性指标。 ( 5 ) 面向智能闻题的智能信息的处理 在智能控制问题中，不但包括一般的模拟信号和数字信号的处理，而大 量的则是知识信息的处理。所以，必须应用智能化的方法针对智能控制的特 点，研究有效的信息处理方法，亦即面向控制问题的智能信息处理。这晕面 将包括智能采样理论和技术，多传感器的信息集成与融合，基于模式识别方 法的状态估计，智能化预报控制，基于信息过程的学习策略和算法等方面的 内容。需要将知谚 工程方法、人工神经元网络的连接机制、信号重构、遗传 算法和集值测度分析方法等同传统的常规控制中的优化决策方法相结合，从 基本决策到具体算法进行系统的研究。这方面研究工作的进展将会为智能控 制理论体系的建立打下孥实的基础。 ( 6 ) 反馈生优化的综合集成 在控制理论研究中，反馈和优化一直是引人注目的两大中心主题。在复 杂控制系统中，反馈与优化总是相关联的，因为在不确定性因素存在的条件 下，反馈控制总是优于时序控制，而且对于要完成任何给定任务并具有任何 给定性能的控制系统，在反馈控制中总存在优化问题。那么，在具有复杂组 织结构的智能控制系统中，情况更是如此。 ( 7 ) 系统的整佳垅毡和品质评价 智能控制系统是具有多层次的复杂组织机构，所以系统的优化过程也是 多层次的。然而，在多层次优化的基础上，如何实现系统的整体优化就成为 智能控制研究中一个十分重要的命题。系统品质和整体优化性质n 0 评价也应 从整体上去衡量。文献【1 2 针对一类具有八元组结构模式的智能控制系统， 以包含信息的语法、语义和语用三个层次的广义综合信息熵为测躞，研究了 西南交通大学研究生硕士学位论文 5 整体综合优化问题。给出了分析结果和相应的优化指标与方法。在此基础上， 还可以进一步进行一些基础算法的研究开发工作，为理论与实际应用的结合 铺平道路。当然，系统的整体优化和品质评价也应和一定的模型类和指标体 系相结合，才能取得更有效的方法和更好的结果。 以上七个方面的问题在智能控制研究中具有重要意义，对这几个方面的 问题及其所派生的一系列问题进行深入研究，必将丰富和发展智能控制的基 础理论方法，使智能控制走向真正的繁荣。 第三节智能控制研究的数学工具 传统的控制理论主要采用微分方程、状态方程以及各种数学变换作为研 究工具，它们本质上是种数值计算的方法；而人工智能则主要采用符号处 理、一阶谓词逻辑等作为研究的数学工具，两者有着根本的区别。智能控制 研究的数学工具则是上述两个方面的交叉和结合。它主要具有以下几种形 式： ( 1 ) 符号处理与数值计算的结合。如专家控制便是这种情形的典型例 子，它的上层是专家系统，采用人工智能中的符号推理方法，卜层是传统意 义下的控制系统，采用的仍是数值计算方法。因此，整个智能控制系统所用 的数学工具是两种方法的结合。 ( 2 ) 离散事件系统与连续时问系统分析的结合。如计算机集成制造系统 ( c i m s ) 和智能机器人就属于这样的情况。 ( 3 ) 神经元网络以及模糊数学理论。神经元网络可以通过许多简单的关 系实现复杂的函数关系，这些简单的关系往往是非0 即l 的简单逻辑关系， 通过这些简单关系的组合可实现复杂的分类和决策功能。因此，它是一种介 于符号推理和数值计算之间的方法。模糊数学是另外一种介寸二两者之间的方 法，它形式上利用模糊规则进行推理，但其逻辑取值可在0 与1 之问连续变 化。它们都成为智能控制研究的主要数学工具。 众所周知，神经网络具有很好的适应能力和学习能力。本质上看，它是 一种不依赖模型的自适应函数估计器，即给定一个输入，可以得到一个输出， 无需知道输出和输入之问存在着怎样的数学关系。其缺点足0 ；具有知识表达 和推理能力，网络的学习速度慢。 自1 9 6 5 年z a d e h 提出模糊集合的概念以柬，模糊集理论发腱f - 分迅速， 在许多领域中获得了应月j 。模糊系统也可看成是无模型仙汁器，n r 岜与神经 西南交通大学研究生硕士学位论文 6 网络不同，主要依靠模糊规则和模糊语言变量的隶属函数完成对模型的估 计。其缺点是难以学习，造成推理过程的模糊性增加。 由于它们各自的优点，使得模糊数学和神经网络的研究得到了越来越多 的关注和重视。如果两者相结合，就能各取所长，共生互补，更好地服务于 智能控制系统。当前，国内外已掀起了一股研究模糊神经技术的热风。两者 相结合的方式可以多种多样，其中，模糊神经网络就是其中的一种方式。关 于模糊神经网络的具体内容我们在第三章中将作详细的介绍。 第四节本文的主要内容 本文在内容上主要包括如下几个部分： 第一章概述中主要介绍了智能控制系统的背景和概念，并对智能控制系 统中的几个关键性问题作了详细介绍，同时指出，模糊数学和神经网络在智 能控制中的重要性智能控制理论研究的数学工具。 第二章主要介绍了二层线性规划的内容，并结合模糊数学的知识，给出 了一种三层缝壁规划的模糊解法，这种解法的本质在于把一个二层线性规划 通过隶属函数转化为一个单层线性规划从而得解。 第三章给出了模糊神经网络的一种混合遂堆学习算法，这种算法包括两 个步骤，第一步通过模糊规则的规则强度来调整前件隶属函数的中心和宽 度：第二步通过逆g i v e n s 最小二乘算法调整后件隶属函数的中心。 第四章结合第三章的学习算法，给出了拱塑趣经圈蟹在銮结翅控制生的 蛆主要构造了两个模糊神经网络，个用于自适应跟踪控制，另一个取 代滑动模控制。在本章中给出了一种平滑切换函数的具体形式，通过此函数， 两个网络进行平滑切换从而实现对变结构系统的控制。 本人的主要工作集中在第二章、第三章和第四章。 第五章是总结与展望。 亘童窒塑查兰堕壅竺塑主兰垡迨塞 ! 第二章二层规划的模糊解法 第一节引言 2 1 1 递阶系统的决策 具有上下层次关系的结构称为递阶，一切管理系统都具有递阶特性。递 阶系统的决策行为是在满足上层控制的条件下，实现自己的利益。各层的决 策行为影响自己同时也影响整个系统。人类行为的组织管理形式是递阶系统 最基本的原形。在人类社会开始有组织地进行社会实践时就形成了递阶形式 的管理系统。中国唐代著名文学家思想家柳宗元在他杰出的政治论文封建 论中就已描述了人类社会组织管理递阶系统的形成过程f 1 ”。在柳宗元看 来，人类社会管理系统递阶结构的合理构成应该是善于对不同大小的问题作 出决策或裁决的“德者”成为递阶系统不同层次的决策者。“德”愈大，所 在的层次愈高。但他没有说“德者”作出的决策或裁决是最好的。可以相信， 其决策行为至少从主观上反映了决策者希望达到某种理想。然而，系统的实 际行为很可能并不在决策者希望的理想中，其原因就在于“德”者的决策没 有明确定量的优化概念。因此，“德”，者定性的决策总是与以数量变化的系 统的实际行为相去甚远。 在当今具有递阶特征的社会形式的组织管理系统中，除很少几个问题引 入了定量的优化决策的概念外，多数问题的决策仍是种凭经验和知识的定 性决策。随着科学技术的发展，生产过程越来越复杂，大量具有递阶特征的 系统决策必须依靠定量的科学决策才能使决策者的愿望与系统的实际行为达 到一致。 2 1 2 二层系统的决策 对一般递阶系统( 层次系统) 进行研究是一个十分广泛的问题，我们把 研究的范围限制在二层系统中。很多问题的决策是由多个具有层次性的决策 者共同决策完成的，即是 兑上层决策者的决策只是通过自己的决策去指导( 引 导) 下层决策者的决策，不直接干涉下层的决策；而下层决策者只需把上层 西南交通大学研究生硕士学位论文8 决策作为参数或约束，他可以在自己可能的范围内自由决策。如果这种上下 层关系不只一个时，这样的系统称为多层递阶决策系统，如果只有一个上下 层关系时，这样的系统称为二层系统。由此可见，二层系统虽然是多层递阶 决策系统的特殊情形，但它是最基本的递阶系统形式，可以认为多层递阶系 统由多个二层系统复合而成。 二层系统有时也称为二层规划，= 层系统的决策实际上就是求解一个二 层规划。把二层系统说成二层规划，包含这么两个内容：1 ) 实际生活中的 二层系统通过合理的抽象转化为精确的数学模型；2 ) 对于这种数学模型寻 求一种数学解法。对于二层规划，依照数学模型中的指标函数的个数分为二 层单目标规划和二层多目标规划，依照指标函数和约束条件的不同分为线性 的和非线性的等。其中的一些概念将在第二节中介绍。 2 1 3 二层线性规划 二层线性规划是人们发现的最早的二层规划。二层线性规划的出现有其 历史必然性。决策科学总是企图在对人的思维和行为方式及实际问题作出描 述的基础上，通过分析再作出决策。在作决策过程中，人们总是希望在现有 实际条件下，达到他所认为的“最好”的结果。但往往行为的结果并非如此， 而是主观愿望与实际效果相背离。事后，有些人可以找到原因，有的则找不 到原因。为了作出“好”的决策，人们认识到需要对实际问题和人们希望达 到的目标作一个确切的描述。科学家们在寻找这种描述方式的过程中，首先 找到了线性规划这一简单而实用的数学工具。 随着大规模经济活动和生产活动的出现，线性规划很快找到了它在现实 生活中的更多的模型。例如，如何组织生产活动：如何分配资源以取得最好 的效益。这些问题最终都可描述成求个线性函数在一组线性等式( 或不等 式) 约束下的极值问题，即求解线性规划。除此之外，运输问题、食谱问题、 网络问题等都是线性规划应用的领域。 虽然线性规划描述了很多问题，但它只能插述单层问题。当系统卜分复 杂，出现层次性时，这种线性规划就失去了作用。为了解决这个问题，科学 家们又找到了二层线性规划及多层线性规划等。随着问题的深入，规划的数 学模型的复杂程度增大，表现为指标函数及约束条件的非线性性约束域的 一般化等。 二层线性舰划问题虽然从形式上看目标函数和约束条件都是线性的，仍 由于在下层求解过程中是以上层的决策变量为参数的，再将其参数解和参数 西南交通大学研究生硕士学位论文 9 最优值代入上层求解一个线性规划问题，上层可能已经不是一个线性规划问 题了。因此，求解线性规划的单纯形方法不适合于二层线性规划问题。 针对不同的问题，二层线性规划有不同的解法。大多数方法都是基于顶 点枚举和变换法，目前尚无一种统一的解法。考虑到社会组织、管理系统中 众多的定性知识，很多人尝试用模糊数学的方法求解二层线性规划，在这种 思路的指导下，本人提出了一种二层线性规划的模糊解法，具体内容在第三 节介绍。第二节我们给出二层线性系统的数学模型及有关概念。 第二节二层线性规划的数学模型 二层线性规划的数学模型的描述形式很多6 】，我们给出两种经常用到 的模型及其有关概念。 ( b l p ) i m m a x f l ( x l , x 2 ) = c i i x i + c 1 2 x 2 a j x ls 口 x 2 是如下问题的解 m a x ( 札x 2 ) ：嘲+ c 2 2 r 2 ( 2 1 ) 靶 a 2 x i + b x 2s b x l 0 x 2 0 这罩x ，是上层决策变量，是上层目标函数，x 。是下层决策变量，正是 下层目标函数，其中的不等式是约束条件。系数在实际应用中都有具体的实 际意义。( b l p ) 中的各个变量根据实际需要可能是向量。 ( b l p ) ，虽然源于资源控制问题，但很多实际问题都可描述为( b l p ) ，的形 式。为了求解( b l p ) 。，我们给出如下一些概念。 1 ) ( b l p ) ，的约束区域： t、 s = x 1 ，x 2 ) ，x i 尺，x 2 r ”2 a i x i a ，a 2 x i + b x 2s 6 ，x 12 0 ，x 2 o ； 2 ) ( b l p ) 的上层决策空间： f、 z = 扛1 r 川l a t x l 口，x l o ，存在x 2 o ，使爿2 r l + b x 2 方 ； 西南交通大学研究生硕士学位论文 1 0 3 ) ( b l p ) 的下层决策空间： s ( x 1 ) = 扛2 r “i 一2 x l + 恐x 2 - b ，z 2 o 4 ) ( b l p ) ，下层最优解集( 参数解集) ： x 2 ( x 1 ) = a r g m a x c 2 2 x 2i x 2 s ( x 1 ) j 即x 2 ( x 1 ) 是以x l 为参数的线性规划问题m “扛2 2 x 2 i x 2 s ( x 1 ) 的最优解集。 5 ) ( e l p ) 1 的可行解集： 9 = z 2 ( x 1 ) 定义2 1 若( i ，而) 满足如下条件，称( 五，羁) 是( b l p ) l 的最优解。 ( a ) ( i ，i 2 ) q ； ( b ) 对任意x i 2 ( i ) ，有c 2 l x t + c 2 2 x 2 c 2 1 i + c 2 2 x ! ( c ) 对任意( x j ，x 2 ) z x 2 ( x 1 ) ，有c l i x l + c 1 2 x 2 c 1 1 xj 十c 1 2 x 2 定义2 1 中并不要求下层参数线性规划问题解的唯一性，但它要求上层 目标函数在可行域内是具有确定意义的，即与下层最优解z ：x ：( i ) 的选择 无关。虽然它允许下层参数线性规划的解不唯一，但也要求其解在以i 为 参数的两个超平面交上( d l 丽) 和d 2 ( 石) 为以一x i 为参数上下层最优解集) ，即 x 2 ( i ) c k ：胄m i x ：o ，x ：面( i ) j n k 。k ：o ，z ：d 2 ( i ) 可以看出，用下层的任何一个最优解代替上层的岛都不会出现上层目 标函数的不确定性。 如果对任意。2 x 2 ( 却) ，c l i x l + c 1 2 x 2 是唯一确定的，目j j ( b l p ) 在定义2 1 下的最优解等价于如下问题的最优解 m a x c l i x l + c 2 x 2 i ( x i ，工2 ) z x x 2 ( 工i ) ( 2 2 ) 定义2 1 使( b l p ) ，的适用范围非常广泛，但它对下层参数线性规划问题 的解有较强的限制，并且要求下层只有一个决策者。对于递阶系统，上层有 个中心决策机构，下层有多个相对独立的决策机构的情况更为普遍。下层 各个子系统只受约于上层，在上层决策给定后，下层各单元按线性规划问题 作出各自的反应，然后上层再根据各单元的最佳反应( 最优值) 作出最终的 西南交通大学研究生硕士学位论文 决策。因此，人们又给出另一种形式的求解二层线性规划的方法，其基本思 想是把下层参数线性规划问题的最优值函数( 以参数为变量) 作为下层对上 层决策的反应代入上层，这样就完全克服了对下层参数线性规划解集的限 制；同时，也增加了下层决策单元( 决策者) 个数。 考虑如下二层线性规划： ( b l p ) 2 m a x k 十舷( x ) x 0 ，a x g ，：( x ) = ( z l ( x ) ，z ( x ) ) ， z ( x ) 是o o tj 亩7 题的最优解 ( 2 3 ) f z i ( z ) = m a ) 【 c ，x + d ，y ， 【a l x + b i y f b f ，y ，0 此模型中上层决策向量为x r ”，下层有个决策单元，第i 个单元的决策 向量y ，r “，i = 1 , 2 ，n 。其中，系数分别为对应的向量或矩阵。 ( b l p ) ：有两个特点：1 ) 上层目标函数只与上层决策变量x 和下层的最优 值有关，与下层决策变量弘的最优解无关，即不同的最优解弘对应同一最 优值；2 ) 下层决策单元不是一个，而是个。与( b l p ) l 相比较，( b l p ) ：更 符合实际情况。 为了求解- ( b l p ) ：，我们也给出如下概念 1 。) t b l p ) ：的约束集s s = x ，y ) k 月”，y = ( _ y 1 ，y ，) ，y ，r “，a j 茎叮，a i x + b ，y ，6 ，x o ，y o j i = 1 ，2 ， 2 ) ( b l p ) 2 下层的可行集k 俐 x ( x ) = k l x ，一) s 3 ) ( b l p ) ：下层的最优决策集y f ，y 似 r ( x ) = a r g m a x ”d i y ，k i ( 工) 一y i ( x ) = b ，y ，r 4 ，y o ，a ，工+ b i y ， - b ， y ( x ) 专k ( x ) y 2 ( x ) k ( x ) 4 ) ( b l p ) ：上层的决策集( 可行集) x 西南交通大学研究生硕士学位论文1 2 工= x f a x - q ，“) 妒，x o 5 。) ( b l p ) 2 的可行集p 尸= ( j ，y ) l x x ，y y ( x ) ) 定义2 2 若( ；，了) 满足下列条件，称( ；，歹) 为印，的最优解 ( a ) ( ；，歹) p ； ( b ) 对任意( x ，y ) p ，有o x 一+ b z ( x ) a x + b z ( x ) 定理2 1 t 若；是如下问题的解 m a x 舀x + 6 曙( z ) f x ) ，( 2 ，4 ) 则对任意歹y ( ；) ，( ；，歹) 是俾上纠，的最优解。 证明 因为；是m a x a x + b z ( x ) i xz 的最优解，所以；x ，且j ，( ；) 妒 显然歹y ( j ) ，所以( ；，了) p 又对任意( z ，y ) p ，即任意x e x ，任j 勘l ，( 工) ，出已知有， a x + 娩( x ) a x + b z ( x ) ( 2 5 ) 所以( z ，y ) 是似印，的最优解。 定理2 2 1 ( ；，歹) 是似彤。的最优解当且仅当它是如下问题的解 m a x h + b ( c i x + d i y l ，c x + d y _ ) 7 i ( x ，y ) p ，y ：( ，l ，y 2 ，一，y ) ( 2 6 ) 证明( 仁) 设( z ，y ) 是佃彤，的最优解，则( ；，歹) p ，且对任意( x ，j ，) p 有 日；+ 把( ；) a x + b z ( x ) ( 2 7 ) 西南交通大学研究生硕士学位论文 因为歹，( 两，z i ( ；) = c i x + d ，万，所以 a x + b ( c l ；+ 矾万，c ；+ 办万) r a x + b ( c l x + d l m 一，c ，x + d n y ) r 即( ；，歹) 是( 2 3 ) 的最优解。 ( j ) 设( ；，歹) 是( 2 3 ) 的解，则对任意( j ，y ) p ，有 a x + b ( c l x + d j y l ，c x + d 石) r a x + b ( c i x + 函一，f i x + d x y n ) r 因为x x ，；x ，y y ( x ) ，y y ( ；) ，所以 从而，对任意x x ：( ；) = ( q x + a l 订， c 一x + d 万) 7 z ( x ) = ( c l x + d l y l ，c n x + d n y ) r a x + b z ( x ) a x + b z ( x ) 所以，；是问题m a ) ( 础+ 把( x ) 卜e ) 的解。 定理2 1 和定理2 2 分别给出了求解俾彤。的两种不同的方法( 思路) ， 定理2 2 是在p 上求一个目标函数是线性的规划问题，但p 不一定是由线性 约束条件组成。因此，它不一定是线性规划：定理2 1 则表达了一个求目标 函数是非线性的，但约束集是由线性函数组成的规划问题。 第三节 二层线性规划的模糊解法 从第一节的内容中我们知道，规划问题是源于社会组织、管理系统的， 在没有通过合理的抽象转化为数学模型之前，n 有- x c g 系统的决策都是定 性的。这种定性的特点说明决策具有模糊性，具体来说，1 ) 模型本身具有 模糊性，2 ) 决策过程具有模糊性。本节我们分别给出模型( 口p ) ，7 f i i ( b l p ) ， 的模糊解法。 西南交通大学研究生硕士学位论文 1 4 2 3 1模型俾三一，的模糊解法 ( b l p ) m a x ；( 卸，x 2 ) = c 1 1 x l + c 1 2 x 2 j 1 & x l 口 x 2 是如下问题的解 i m a x o i ，x 2 ) = c 2 i 川+ c 2 2 x 2 【a 2 x l + b x 2 6 ，x i o ，x 2 0 其中，z