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第8章不定积分,不定积分概念与基本积分公式换元积分法与分部积分法有理函数和可化为有理函数的不定积分,第8.3节有理函数和可化为有理函数的不定积分,有理函数的不定积分三角函数有理式的不定积分某些无理根式的不定积分,两个多项式的商表示的函数称为有理函数.,定义,一、有理函数的不定积分,1.预备知识,为有理真分式；,为有理假分式.,有关结论,(1)任何一个假分式都可化为一个多项式与一个真分式之和(利用多项式除法),例如,(2)在实数范围内,任何一个多项式均可分解为一次因式与二次质因式的乘积.,分母中若有因子,(3)真分式总可以唯一地分解为部分分式(最简真分式)之和.,分母中若有因子,分解式中含有因子,分解式中含有因子,例如,待定系数可以通过如下方式确定：(i)去分母,比较同次幂的系数；(ii)给x以特定值.如,2.解题步骤,第1步若是假分式,则化为多项式与真分式之和.,第2步把分母分解为一次因式与二次质因式的乘积.,第3步把真分式分解为部分分式之和.,第4步求多项式及各部分分式的积分，并求和.,*问题归结为求以下五种类型的不定积分：,解决是容易的,如,而要复杂些,要作适当的换元：,同理，有,解得,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,而,由于,由递推公式，得,于是,定义,由三角函数及常数经有限次四则运算构成的函数，称为三角函数有理式.,二、三角函数有理式的不定积分,从而,例4,解,解(2),方法2,方法1,方法3,注,例5,解,三、某些无理根式的不定积分,做法利用代换化为有理函数的积分式,类型,解,例6求积分,例7,解,练习,解,型不定积分,时也可直接化为有理函数的不定积分.,可用多种方法化为三角函数有理式的不定积分,有,把它们转化为三角函数有理式的不定积分.,方法2(欧拉变换),例8,解用方法1（a=10）,用方法2,因此,注1对于本题来说,方法2显然比方法1简捷.,但实质上只相差某一常数而已.,注2由以上两种方法所得的结果,形式虽不相同,注3虽然初等函数在定义区间都存在原函数,但,都无法用初等函数来表示,因此都不可能用我们介绍的方法把它们的原函数求出来.,例如,并非初等函数的
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