（理论物理专业论文）一种依赖于额外维的宇宙加速机制和六维rs模型.pdf

摘要 捅要 本文综述了标准宇宙学模型从2 0 世纪初到现在的发展历程和 r a n d a l l - s u n d m m 模型的提出及发展。在总结前人研究的基础上，我们沿着前入的 道路进行了迸一步的探讨，对当前宇宙的加速膨胀问题提出了我们的看法，对r s 模型在六维时空中的情况进行了研究 。 本文包含两部分的内容，在第一部分里，对f r w 模型做了推广和修正，目 的是希望修正后的f r w 模型可以不需要暗能量就能解释宇宙的后时加速；在第 二部分里讨论了6 维时空中的r a n d a l l - s u n d r t m a 模型。 第一部分：首先，基于额外维的思想，我们计算了n + 1 维椭球流形的度规。 随后的三章都是这一思想的具体运用第三章，通过令宇宙标度因子r 是额外 维坐标毛的函数我们推广了f r w 模型，这样我们就得到了一个5 d 度规。当 弓是对闻的函数对，这个5 d 度规就目到了4 1 9 形式。这个4 ) 度规的号差随着 宇宙的演化会发生改变，导致度规由洛仑兹形式变成欧几里得形式但是从这个 4 i ) 度规导出的e i n s t e i n 方程具有一种对偶性，即存在一个变换，在保持e i n s t e i n 方程不变的情况下能把欧几里得形式的度规变成洛仑兹形式。正是这种对偶性给 我们提供了一条缓解宇宙的后时加速问题的道路。 第二部分：考虑推广了的双膜r a n d a l l s u n d m m 模型。在一般的r b 模型 中卷曲因子般只依赖于个变量，在本文的情形中卷曲因子依赖于两个变量。 即两个额外维坐在做了这种推广后，得到了两个有趣的结果：第一个结果是， 宇宙学参数不再是一个常数，而是依赖于额外维坐标并且在没有膜存在的情况 下宇宙学参数在额外维空问中的等值分布曲线是一簇同心圆。这些圆方程可以从 e i n s t e i n 方程中导出，并且这些圆的半径和宇宙学参数的平方根的倒数成正比。第 二个结果是，在有膜存在的情况下，由于对称性的要求，只有四个膜能够存在， 并且对称地分布在一个圆上，膜的张力满足如下关系k = 巧= 吒= - r , = 3 m 。 关键词：膜宇宙，r a n d a l l s u n d r u m 模型，f r w 模型，宇宙后时加速，对偶。 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i st h e s i s , f i r s t l y , w er e v i e w e dt h eh i s t o r ya n dt h ep r o g r e s so ft h es t a n d a r d c o s m o l o g y , a n dt b em o t i v a t i o nw h yt h er a n d a l l - s u n d r u mm o d e lw i t sp r o p o s e da n dt h e d e v e l o p m e n to fi t b a s e do nt h er e s u l t so ft h ef o r m e re x p l o i t e r s , w em a d ef t l t 0 1 e l r e a s e a c ho nt h ep r o b l e mo f t h ea c c e l e r a t i o no f 纰u n i v e r s e , a n dg a v ep r o p o s eo f u s w e r e s e a r c h e dt h eg t n a l oo f6 - dr a n d a l l s u n d r u mm o d e l ，a n df o u n ds o m es i g n i f i c a t i v e r e s u l t s t h i st h e s i sc o m p r i s e st w op a r t s , i nt h ef i r s tp a r t , i no r d e rt od e a lw i t ht h ep u z z l eo f t h el a t t e r - t i m ea c c e l e r a t i o no ft h eu n i v e r s e w ef i n dan e wm e c h a n i s m ；i nt h es e c o n d p a r t , t h e6 - d i m e n s i o n a lr a n d a l l s t m d r u mm o d e l w a sd i s c u s s e d p f i r ti ：w em o d i f yt h ef r wm o d e lb ym a k i n gt h ec o s m o l o g i c a ls c a l ef a c t o rrb e af u n c t i o no ft h ec o o r d i n a t eo ft h ee x t r ad i m e n s i o n 而，t h e n , w eo b t a i nak i n do f 5 d - m e t r i c s w h e n 而i saf u n c t i o no ft i m e ，t h e5 d - m e t r i c sr e d u c et o4 df o r m t h e s i g n a t u r e so f t h i s4 d - m e d i c sc a n b ec h a n g e di nt h ee v o l v e m e mo f t h eu n i v e r s e a n dw e s h o wt h a tt h e r ee x i s t sad u a l i t yb e “嗍lt h ec h a n g e d4 d - m e t r i c sa n dl o r e n l z i a no b e s a n d t h ec u r v a r u - e s o f t h e t w o k i n d s o f m e t r i c sa l er e v e r s e d ( 嘉一七) i t i s t h i s d u a l i t y t h a tg i v e su sa w a yt oa l l e v i a t et h ep r o b l e mo fl a t e r - t i m ea c c e l e r a t e de x p r 璐i o no ft h e u n i v e r s e w e # v en o to r g yt h es o l u t i o n so fe i n s t e i ne q u a t i o n so f t h sm o d e lb u ta l s o d i s c u s s i o no f t h es o l u t i o ni nd i f f e r e n tc a s e s p a r t ：o u rs c e n a r i oi sag e n e r a l i z a t i o no ft h et w o - b r a h er a n d a l l - s u n d r u m m o d e l hr s sm o d e lt h ew a r pf u n c t i o no n l yd e p e n d0 1 1o n ev a r i a b l e ，i no u rs c e n a r i o t h ew a r pf u n c t i o nh a st w ov a r i a b l e s i c t h et w oe x t r ad i m e n s i o n s t h e r ea r et w o d r a m a t i cd i s c o v e r i e sa f t e rt h i sg e n e r a l i z a t i o n t h ef i r s to n ei st h a tt h ec o s m o l o g i c a l p a r a m e t e rd i s t r i b u t e si nt h et w oe x t r ad i m e n s i o n si naf o r mo f a c l u s t e ro f c i r c l e s , w h e n t h e r e8 n ob r a n e s t h e s ec i r c l e sa l en o ta d d e db yh a n db u td e r i v e d 矗o mt h ee q u a t i o n s ， a n dt h em d i n s e so ft h e s ec i r c l e sa r ep r o p o r t i o n a lt ot h er e c i p r o c a lo ft h er o o to ft h e a 北京工业大学理学硕士学位论文 。 c o s m o i o g i c a lp a r a m e t e r t h eo t h e rd i s c o v e r yi st h a tf o u rb r a n e sw h o s et e n s i o n sh a v e t h er e l a t i o n s h i p k = 巧v 2 一巧= 3 m d i s 蛹b u l eo nt h ec i r c l es y m m e t r i c a l l y k e y w o r d s ：b r a h eu n i v e r s e ，r a n d a l l - s u n d m mm o d e l , f r wm o d e l ，l a t t e r - t n n e a c c e l e r a t i o no f t h e u n i v e r s e ，d u a l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外。论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：雌 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签期： 犁m c t , a t m tl t a t r o d a c c i o a c h a p t e r 1i n t r o d u c t i o n 1 1s t a n d a r dc o s m o l o g i c a lm o d e l w h e r ei so u ru n i v e r s ef r o m ? i ti sa l la r c h a i cq u e s t i o n t h e r ea r em u l t i f a r i o u s a n s w e sa b o u tt h i sq n o s t i o nf r o mo f o l d b u t , c o s m o l o g yw a sn o tak i n do f r e a ls c i e n c o , u n t i l1 9 1 7e i n s t e i ne s t a b l i s h e dh i sg e n e r a lr e l a t i v i t ya n da p p l i e di tt oo r u n i v e r s e t h em o d e lo fu n i v e r s eo b t a i n e db ye i n s t e i n w a sak i n do fs t a t i cu n i v e r s e , i no r d e rt o m a k et h eu n i v e r s ek e e ps t a t i c , e i n s t e i ni n t r o d u c e dc o s m o l o g yp a r a m e t e ri n t oh i sm o d e l s u b s e q u e n t l y , e d d i n g t o n , e t c ，p r o v e d t h e i n s c a b n 姆o f t h e s t a t i c t m i v e r s e , f r o m t h e n o n , p e o p l er e c o g n i z e dt h a tt h eu n i v e r s ee v o l v i n gw i t ht i m e i n1 9 2 2 ，a ne x p a n d i n gu n i v e r s e m o d e lw a sd e r i v e db yf r i e d m m a n , i nt h i sm o d e l ，t h ec o s m o l o g yp a r a m e t e ri sn o tz e r o a n dt h ec u r v a t u r eo ft h es p a c ei sp o s i t i v e t w oy e a r sl a t t e r , a l lo p e nu n i v e r s em o d e l w i t hn e g a t i v ec u r v a t u r eo f t h es p a c ew a sd i s c u s s e db yf r i e d m m a na g a i n b u th ed i dn o t c o m p a r e h i sm o d e lw i t ht h eo b s e r v a t i o n so f t h ea s 臼o n o m y i n1 9 2 9 , r o b e r t s o ns t u d i e d t h ef l a tu n i v e r s em o d e l , i e t h ec u r v a l u r eo ft h es p a c ei s 玉e r o a tt h e 截m 地y e a r , a m e r i c a na s t r o n o m e rh u b b l ef o u n dt h a tp u tu n i v e r s ei sd i l a t i n p ，t h e r e f o r e ，t h e r e c o g n i t i o nt h a tt h ee v o l u t i o no ft h eu n i v e r s ei se x p a n d i n g 啊懈a c c e p t e dw i d e l yb y p e o p l e t h em o d e l so ff r i e d m m a n a n dr o b e m o nw g r oa d m i t t e d 坶m o r ea n dm o r e p e o p l e n o wp e o p l ec a l lt h e s em o d e l sf r i e d m m a n - r o b e r t s o n - w a l k e rm o d e l 删 m o d e l ) ，i e s t a n d a r dc o s m o l o g y m o d e l a c c o r d i n gt ot h ec o s m o l o g i c a lp r i n c i p l e , o nl a r g el o a l e ，t h es p a c e f i m em a n i f o l d o ft h eu n i v e r s ei sh o m o g e n e o u sa t i si s o t r o p i c w h i c h 咖b ed e s c r i b e db yt h e f r i e d m m a a - r o b e r t s o n - w a l k e rm e t t l e s 面2 = 鼬舻= 磁2 十口2 睁+ r 2 甜2 + 厂2 咖2 彬 c ，由 w h e r ea 2 ( di st h ec o s m i cs c a l ef a c t o r ，| j 铷b ec h o s e nt oh e + 1 ，0 1f o rs p e c e so f c o n s t a n tp o s i t i v e ，z e r oa n d n e g a t i v es p a t i a lc u r v a t u r er e s p e c t i v e l y 北京工业大学理学硕士学位论文 ii i t h es t a n d a r dc o s m o l o g yb a s e do ng e n e r a lr e l a t i v i t ya n di n f l a t i o nh a sb e e n r e m a r k a b l ys u c c e s s f u l i tr e s t su p o nt h r e es t r o n go b s e r v a t i o n a lp i l l a r s ：t h ee x p a n s i o no f t h eu n i v e r s e ；t h ec o s m i cm i c r o w a v eb a e k g r o u n dr a d i a t i o n ( c b r ) ；a n dt h ea b u n d a n c e p a t t e r no f t h el i g h te l e m e n t s ，d ，3 h e , 4 h e ，a n d7 l i ，p r o d u e 划s e e o n d sa f t e rt h eb i gb a n g b a tt h e r ea l es o m es e r i o u sa n d b a f f l i n gf e a t u r e s t l 胡o f t h e s ec o s m o l o g i c a lm o d e l s w i t h i nt h ef r a m e w o r ko f c l a s s i c a lg r a v i t a t i o nt h e o r y t h es i n g u l a r i t yp r o b l e m i ne i n s t e i nf i e l de q u a t i o nt h e r ei ss m g u l 妇t ya tt h eb i gb a n g 砸sf a c tw a sp o i n t e d b yp e n r o s ea n dh a w k i n g i ts e t sa t i c k l i s hq u e s t i o nb e f o r ea l lo f c o n t e m p o r a r ys c i e n c e ： w h e t h e ra n y t h i n ge x i s t e db e f o r et = o ；i f n o t , t h e nw h e r ed i dt h eu n i v e r s ec o l l l ef r o m ? t h eb i r t ho ft h eu n i v e r s ei so n eo ft h em o s tw o r r i s o m ep r o b l e m s ，a n di th a sb e e n p r o v e dt h a ti tw a sh i g h l yd i f f i c u l tt h a tt h i sp r o b l e mc o u l db es o l v e d t h ef l a t n e s $ p r o b l e m a c c o r d i n g t ot h ef r i e d m a n nm o d e l ，w eh a v et h i se q u a t i o n q l ：p ( o - p , ( i - 2 ) 成 w h e r epi st h e 铣湖d e n s i t yo ft h eu n i v e r s e , a n d 钆i st h ec r i t i c a ld e n s i t yf o r 氆 f l a tu n i v e r s ew i t ht h es a m ev a l u eo ft h eh u b b l ep a r a m e t e r 日( r ) 嘁t h e d o m i n a t i o no fr a d i a t i o n , as p a t i a l l yf i a tu n i v e r s ei su n s t a b l e ：i fq 一1i se x a c t l y 姗， t h e nt h i sv a l u ew i l lr e m a i nz e r o ；b u tf li ti so n l yc l o s et oz e r o t h i sv a l u ew i l li n e m a 船 w i t ht i m e i fw ee x p e c tn os i g n i f i c a n tc u r v a t u r et o d a y , w em u s ta d j u s tq - 1e n o u g h s m a l ln e a rt h ep l a n e kt i m e , i e i q - 1 1 o a n d t h ee x ( r e m u mo f 6 a sr a p p r o a c h e si n f i n i t y i nc h a p t e r4 ，w es o l v et h ep r o b l e mo f t h ec h a n g e b i l i t yo f t h es i g n a t u r et h r o u g ha k i n do fd u a l i t , i nt h em o d i f i e df r wm o d e l 1 1 l ed u a l i t ym e s l 够t h a tt h e r ee x i s ta t r a n s f o r m a t i o nw h i c ht r a n s f o r m se u c l i d e a ns p a c e 6 m et ol o r e n t z i a no n e ，w h i l e 娜 e i n s t e i ne q u a t i o n si n v a r i a n t i ti st h i sd u a l i t yt h a tg i v e su 8aw a yt oa l l e v i a t et h e p r o b l e mo f l a t e r - t i m ea c c e l e r a t e de x p a n s i o no f t b eu n i v e r s e i nc h a p t e5 ，b ym a k i n gt h ec o s m o l o g i c a ls c a l ef a c t o r rb eaf u n c t i o no ft h e c o o r d i n a t eo ft h ee x t r ad i m e n s i o n x 5a n dt i m e ，w em o d i f yt h ef r wm o d e l ，t h e n , w e o b m i nak i n do f5 d - m e t r i c w ea s s u m et h a tt h e r ei sn o h i g h e r - d i m e n s i o n a lm a t t e r ， u s i n gt h ek a l u z a - k l c i nt h e o r y , w eo b t a i nt h ei n d u c e dm a t t e r 1 1 1 ee f f e c t i v ee q u a t i o no f s t a 把o f t h ei n d u c e dm a t t e ri sd e s c r i b e db y 孤i n v a r i a b l ep a r a m e t e r 0 9 = 一号 i nc h a p t e r6 ，w eg e n e r a l i z er a n d a l l - s u n d r u mm o d e lt o6d i m e n s i o n s i nl 璐s m o d e lt h ew a r pf u n c t i o no n l yd e p e n do no n ev a r i a b l e ；i no u rs c e n a r i ot h ew a r pf u n c t i o n h a st w ov a r i a b l e s ，i e t h et w oe x t r ad i m e n s i o n s t h e r ea l et w od r a m a t i cd i s c o v e r i e s a f t e rt h i sg e n e r a l i z a t i o n t h ef i r s to n ei st h a tt h ec o s m o l o g i c a lp a r a m e t e rd i s t r i b u t e si n t h et w oe x t r ad i m e n s i o n si naf o r mo fac l u s t e ro fc i r c l e s , w h e nt h e r ea r e1 1 0b r i n e s t h e s ec i r c l e sa r en o ta d d e db yh a n db u td e r i v e df r o mt h ee q u a t i o n s ，a n dt h er a d i u s e so f t h e s ec i r c l e sa r ep r o p o r t i o n a lt ot h er e c i p r o c a lo f t h er o o to f t h ec o s m o l o g i c a lp a r a m e t e t h eo t h e r d i s c o v e r y i st h a tf o u rb r e n e sw h o s et e n s i o n sh a v et h e r e l a t i o n s h i p v j = 巧= = - v , = 3 m 4 c h a p t e r 2n d i m e n s i o n a l e i l i p s o i d a l m e , t i c s i i c h a p t e r 2n d i m e n s i o n a le l l i p s o i d a lm e t r i c s 2 1d e r i v a t i o no ft h en - d i m e n s i o n a le l l i p s o i d a lm e t r i c s a na r c h a i cb mp o w e r f u la n de x c i t i n gi d e ai st oa l l m et h a tw ol i v e0 1 1ab r a h e w h i c hw a se m b e d d e di naf u n d a m e n t a l l yh i g h e rd i m e n s i o n a lb u l ks p a c e t i m e , a n ds o m e p a p e r s l 2 1 互，3 5 】b a s e do nt h ee x t r ad i m e n s i o na n d b r a h eu n i v e r s eh a v e b e e np r e s e n t e dt o s o l v et h ep r o b l e m so ft h eu n i v e r s e , s ow ec o n c 既l t 阳t eo nt h eh i g h e rd i m e n s i o n a l s p a c e t i m et o o f o r 蛐n - d i m e n s i o n a lb u l ks p a c e t i m em a n i f o l d , t h e i 弓i sa ne l l i p s o i d a l c o n f i g u r a t i o n 生蔓嘉茎垡+ 丢。1 ，口：弧， ) r 2 筇 7 一 、 i no r d e rt of i n dt h ei n f i r f i t e s i m a ls q u a r el i n ee l e m e n t , w e 峨i n t r i n s i cc o o r d i n a t e s t ot h i sc o n f i g u r a t i o n 五= r s i n 张n s i n n - 2 n - ! 而= g c o s 吼n s i n w - 2 n r - i x 3 = r c o s 移2 n s i n 够( 2 - 2 ) 目 - i ；r c o s 绝n 血 _ n - i = s o c o s _ , n s i n f i r s t , l e t sc o n s i d e rt h ec a 辩= 6 。t h e n 北京工业大学理学硕士学位论文 i i i x i2 矗s i l l 仍s m 仍s m 仍s i l l 纯s i n 伤 而= r c o s 仍ls i n 妒2s i n 口3 s i n q 4s i n 妒5 而2 rc05仍8m伤8m效sin讫(2-3)r 五= e o s 够3s i n 识s i n e , s 而2 芘c o s 仍s m 仍 毛= 玩c 0 s 纯 t a k e d i f f e r e n t i a l t 0 ，而，吒，w e h a v e 幽= d ( r s i n 鲲s i n 仍s 证伤s 访纯) ：r 4c o s 卉s i n d q j ( 2 - 4 ) d = d ( 足c o s 许s h 仍s i l l 仍s i l l 钆s i n 讫) = - r s i n 9 , i 丌s i n 彰d 碉l ( 2 - 5 ) + r c o s p c o s 谚ns h 妃， 如= d ( r c o s q 0 2s i n q n 3s n 伊4s i n 够5 ) = - r s i n p 2 兀s i n 识慨( 2 - 6 ) + 足c o s 仍c o s 兀s i n 仍d 呶= d ( 蜀c o s 仍s i n 移4s i n 够s ) 2 ，咖伤妇纯守纯，( 2 - 7 ) + 瓯c o s 仍s 红s i n 讫却i + 蜀s 纯s i n 纸c o s 纯d 丸三鬻s i 蝴n 伊s s i n 血毋，动d , p 4 i 脚纸瞄编 ( 2 - 8 ) = 乜+ 墨s 纸c o s 纯d 伤 。7 吨刮缝? 3 2 ) ( 2 - 9 ) = 也s i n 红妃 t h ep u r es p a c ei n f i n i t e s i m a ls q u a r el i n ee l e m e n ti n6d i m e s i q n a ls p a c ec a l lb ew r i t t e n - l m d 2 = 6 ( 瓯) 2 。：f 碴螂纯矗s 一。纯蛾1 2 + - r s i n 妒，f s i 。纯锄+ r 宝c o s 毋j c o s 卉。h 瓴1 2 + 、时n 纯锄+ 。盟咖妃- jw“l z o + f - r s i i i 仍矗。i n 吼妃+ r 壹湖讫c o s 矗s i n 依d 1 2 ( 2 - 1 0 ) 目目# 3 , m t m 一墨2 ( s i i i 仍s i l i 吼s i n 毋s d 够，+ c o s 仍c 死s i n 伊s d 够j + c o s s i i i 3 传咖) 2 + ( 一墨s i n 吼s i n 讫妃+ 墨c o s 吼c o s 讫d 仍) 2 + ( 一瓯s i l l 纯却；) 2 面2 = ( 丸) 2 = 五2c o t 2 仍+ x 2 2 t a n 2 张 d 开 + ( x a z + x a 2c o t 2 够z + x 3 2t a n 2 仍 喇 + f ( 而2 + 而2 + x 3 2 ) e o t 2 伤+ r 伽2 仍 d 疗 + f ( 墨2 + # + # + 2c o t 2 屯2 t a r , 2 吼 她2 + r ( 而2 + 而2 + 而2 + - 2 + 毛2 c o t 29 5 + 毛2t a n 2 伤 觑2 + 2 c o t 仍o o t 仍一霹t a n 鲲) 嘞锄 + 2 c o t 魏件o o t 砚一# t a n b ) 如嘞 + 2 c o t 仇( 毛2o o t 砚一# t a n 毋) 锄瓴 + 2 c o t 讫( x t 2 c o t c l - x 2 2 t a n 仍) 锄妃 + 2 c o t 仍 c o t 镪似+ # ) 一分t a n 仍 撅妃 + 2 c o t 吼c o t q ，2 ( x t 2 + x 2 2 ) 一毛2t a n 仍 锄妃 芸黑搿高：尝未觑 t ， + 2 c o t 纯c o t 仍( 寸+ # + 寸) 一砰t a n 伤 d 鸭觑 ”一7 + 2 c o t 妒sc o t 伤( x a ：+ # + 哿) 一砰t a n 仍 训讫。 + 2 c o t 红 c o t 纯( 而2 + 而2 + 弓2 + 2 ) 一毛2 t a n 纯 d 纯妃 a f t e rr e d e n o t i n gs i n 仍, = ，仍= 只仍。仍s 缸锈= a , s i n g a ，= 蚕a n ds i m p l i f i c a t i o n w e h a v e 北幕工业天罕埋罕坝z 午性w x 积：6 ( 丸) 2 列粕： 苦脚2 础2 西2 ，汁2 n 跏2 啬卜乃 + r 2 a 2 + 墨2 ( 1 - a 2 ) ) 前啬l 锄2 + 2 曲( 船墨2 ) 砌 s i i i l i h d y ，w eo b t a i nt h ep u r es p a c ei n f u j t e s i m a ls q u a r ei i r i ee l e m e n ti n 7d i m e s i o n a l 2 娶7 毗j 2 列批2 悔+ ，2 幽2 榭脚2 1 ) 叫肌鼯剖扩 陋2 + 是2 ( 1 - a 2 ) ) 前剖面2 十陋扔2 耐( 1 。妒2 ) ) 耐专 如2 + 2 a b 2 c ( r 2 - s s 2 ) d a d c + 2 1 ，c ( r 2 矿+ s ，2 ( 1 一口2 ) 一s ，) 龇 f i n a l l y w cw r i t et h ep u r es p a c ei n f 础e s i ：m a ls q u a r el 谶e 5 - e m e n ti n n 妇栅蜘n a l 舻；妻( 丸) 2 烈箭m - i 茹 , l _ a2 j - r + 熟氨q 2 ) 旧咖薯( 耻德q 2 ) 耐丘k0 + 篓 2 去酬阳i - i 咖鼢i - 1 w ，苴。计砰卜 ，1 2 - 拶= 一定2 f k 行e 1 2 侉缈+ 甜耐0 一( 弘1 - i ) 嘲冉鼢2 ，f i q 2 ) + s 2 毒 砰g 一1 5 ) k - j + l i q 2ir 2 n q 2 + ls 2 ( 1 一q 2 ) n q 2i + 了! ，l c i 砰 ( 2 一 l 儿f 1 j l l 一j ( 2 去斛阳审+ 磐让咚2 世妒) 智 蛾 t h em e t r i c sh a v et h ef o l l o w i n gs t r u c t u r e 踟= r 三) ( 2 - 1 6 ) i e t h ei n t c r s c c t a n te l e m e n t so n l ya p p e a ri nt h ee x t r ad i m e n s i o n s , l i u - j il ia n dp r o i a n gh a dc a l c u l a t e dt h ee i n s t e i ne q u a t i o na b o u tt h i sk i n do f m e t r i c s w ei t e r a t eh e r ei n t h en e x ts e c t i o n 2 2e i n s t e i ne q u a t i o n sa b o u tt h en de l l i p s o i d a lm e t r i c s l i u - j il ia n dp r o f h u a n gh a dc a l c u l a t e dt h a tf o ran d i m e n s i o n a ls p a c e t i m ew i t hs u c h m c t 眇2 ( 譬： ，恤慰耐妇曲咖e h a s 位触 置州；孟+ 震+ a ( 2 - 1 7 ) w h e r e r = g ”( 瞄一一唯，+ 唯哆一珞吃) f ；矿( 一瞄+ 屹略一聪屹) a = g ”( _ ，+ 珞哆一瞄磁一吒咳) g 曲( 聪，+ 咳屹一咒吃+ 咿一吃) t h e nw ch a v et h eg r a v i t a t i o na z t i o no f n - d i m e n s i o n a ls p a c e t i m ei s s = l d 4 x d 删y 瓜 t a k i n gv a r i a t i o nt ot h i sa c t i o n , w eh a v e a i = f a x d 8 一y 一【艿小i 两+ ( 蹦一) + ) + f ；如1 - 1 3 ( 2 - 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 t ) w h e r e _ 一j 悃) = 北蚌，一g p a “p ，声】，1 斤+ ( 墨，一知，r ) 厣 听= 。岳= 一等= 粤 沁尝一0 飞 9 0 掣a 矿 = - r l r 一+ 吃曙+ 譬屹筇) + 譬略硼 一譬吃l n 西 + - 譬- 0 似以 + 譬聪刚+ 孚鼍l 硼 一譬似以l 一昙丸( g 卵髟，略) 一丢丸( 一甜1 ) + 三a 。( 暑耐g r ：) 】妇妒 w e c a n , g e n e r a l l y , v a n i s ht h es u r f a c et e r m ，t h e n , w ed e d u c et h e4 - d i m e n s i o n a le i n s t e i n e q u a t i o nf x o ma nn - d i m e n s i o n a ls