（概率论与数理统计专业论文）基于极值方法的var和cvar评估.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 随着大部分金融机构的组合交易资产数目的剧增，金融市场呈现出前所未有的 波动性和脆弱性，市场风险成为金融风险的主要形式，使得金融监管当局、金融机 构不断强化市场风险的管理与监管。v a r ( v a l u e - a t - r i s k ) 风险计量方法自1 9 9 3 年提出 以来，己成为金融机构和金融管理机构衡量市场风险的标准方法。 尽管v a r 方法近年来非常流行，但研究结果和实践经验都表明，过于单纯的 v a r 风险计量方法存在严重缺陷。但是，c v a r 的提出，又弥补了畎的缺陷。论 文同时考虑这两种风险计量方法，以更全面地刻画尾部风险。 尽管v a r 和c v a r 提出以后，有不少的计算方法出现，但它们都有各自的缺陷。 因为几乎所有的传统方法采用的观测值都集中在分布中部，实际上，分布尾部才是 v a i l 和c v 擞计算所最关心的。分布在尾部的点都是一些极少发生又具有显著影响 的观测值，或者称为极值，而极值理论正是对这些极值提供统计分析的模型。 论文介绍了极值方法的理论基础，极值方法根据极值的选取方式分为峰值法和 阅值法，论文研究评估v a r 和c v a r 的阈值法和峰值法，并将极值方法结合异方差 模型来评估v a r 和c v a r 。由于阈值法在阈值的选取上有一定的难度，于是，论文 提出用峰值法来评估尾部风险v a _ r 和c v a r ，论文中用峰值法来评估c v a r 的研究 还属首次。 论文先从理论上推导了由峰值法计算v a r 和c v a r 的公式，再对s & p 5 0 0 指数 用此方法进行实证分析。实证结果表明：峰值法能很好地刻画金融回报的分布尾部， 得到较精确的v a r 和c v a r 估计值。最后由返回检验的结果来确定最佳的分组方式 及其v a r 和c v a r 值。 关键词：风险价值，条件风险价值，极值理论，广义极值分布，广义帕累托分布 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t n 圯l a r g ei n c r e a s ei nt h en u m b e ro ft r a d e da s s e t si nt h ep o r t f o l i oo fm o s tf i n a n c i a l i n s t i t u t i o n sh a sm a d et h er f l e a s l n e m e n to f m a r k e tr i s kap r i m a r yc o n c e r nf o rr e g u l a t o r sa n d f o ri n t e r n a lr i s kc o n l r 0 1 a f t e rb e i n gp r o p o s e di n1 9 9 3 ，v a l u e a t - r i s k ( v a r ) a p p r o a c hh a s b e c o m et h es t a n d a r df o rr i s km a n a g e m e n ti n d u s t r y b u tv a rh a sv a r i o u st h e o r e t i c a l d e f t e i e n c i e sa sam e t s u r eo fm a r k e tr i s k c o n d i t i o n a lv a rf c v a r ) i sa na l t e r n a t i v er i s k m e ：r $ 1 1 r e t o t h e q u a n t i l e w h i c h o v l e i c o m e s t h e t h e o r e t i c a l d e f i c i e n e i e s o f v 擞i n p a r t i c u l a r , t h i sr i s km e a , 5 1 u g i v e ss o r i l ei n f o r m a t i o n a b o u tt h es i z eo f t h ep o t e n t i a ll o s s e sg i v e nt h a ta l o s sb i g g e rt h a nv rh a so c c u r r e d n d sp a p e re s t i m a t e sa n da s s e s s e st a i l - r e l a t e dr i s ku s i n g 诈暖a n d c 泼t o g e t h e r n l o a g h v a ra n dc v a rh a v e m a n yc o m p u t em e t h o d s , t h e y h a v e1 i m i t a t i o n s b e c ；b i i s e a l m o s ta l lo f t h et r a d i t i o n a lm e t h o d s e s t i m a t i n gt a i l r e l a t e dr i s k 蹦ca n dc 伲田f o c u so n t h ec e n t r a lo b s e r v a t i o n so r , i no t h e rw o r d s ，0 1 1r e t l l n l su n d e rn o r m a lm a r k e tc o n d i t i o n s h o w e v e r , 眙ra n dc 垤氓a 腰r i s km e a s u r e st h a tr e l a t e ss o l e l yt ot h et a i l so ft h e d i s l r i b u t i o n n 他e x t r e n l ev a l u e sw h i c h1 i e si nt h et a i la i es o m e r a r e l yh a p p e n e d e v e n t st h a t h a v es i g n i f i c a n ti n f l u e n c e e x t r e m e u et h e o r y ( e v ni st h es t a t i s t i c a lm o d e lt os t u d y t h eb e h a v i o ro fa 由嘞ev a l u e s 佻p a p e ri n t r o d u c e st h eb a s i ck n o w l e d g eo fe v ta n d e s t i m a t e sv a ra n dc 嗽u s i n g e v c o m b i n i n g w i t hh e t e r o s c e d a s t i cm o d e l e e , i j t r l e s t i m a t e 妇ra n dc 垤田m o l e a c c u r a t e l y t h ea p p l i c a t i o nm e t h o d so fe v th a v eb l o c km a x i m u mm e t h o da n dp e a ko v c l t h r e s h o i dm e t h o d a c c o r d i n g t or e l a t e dw a y so f i d e n t i f y i n ge x t r e m e si nr e a ld a t a b e c a u s e p e a k o v e rt h r e s h o l dm e t h o dh a sd i f f i c u l t i e si nc h o o s i n gt h r e s h o l d , t h i s p a p e rs t u d y sb l o c k 脚a d m mm e t h o df o re s t i m a t e 诈l ra n dc 垤暖。i n d e e dt h er e s e a r e t aa b o u t b l o c km a x i m u m m e t h o df o re s t i m a t ec 叹h a sn o tb e e nf o u n d t h i s p a p e rg a i n st h ef o r m u l a sc o m p u t i n g v 喂a n dc v 水u s i n gb l o c km a x i m u mm e t h o d b a s e d0 1 1t h es t o c kd a t ao fs & p5 0 0i n d e x t h i sp 粕e l - m a k e sa l le m p i r i c a la n a l y s i so f 惦淑a n dc 谨叹e s t i m 4 d o nu s i n gb l o c km a x i m u mm e t h o do fe ；7 fe m p i r i c a lf i n d i n g s c o n c l u d et h a tb l o c kn l 【i m 嘲m e t h o dc a r tw e l la p p r o x i m a t et h et a i lo ff m a n c i a lr e t u r n d i s t r i b u t i o n b a e k t e s t i n gi n d i c a t e sb l o c km a x i m u mm e t h o d c a l la c c u r a t e l ye s t i m a t ev 搬 a n dc 垤rf o r h i g hp r o b a b i l i t yi ： x c e s s9 5 。 k e yw o r d s ：v a l u e a t - r i s k , c o n d i t i o nv a l u e - a t r i s k , e x t r e m ev a l u et h e o r y , g e n e r a l i z e d e x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ，g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承 担。 学位敝作者签名孑；z 音 日期：砌咿年月拥 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于术保密口。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：彳 q 醐游细节日 弓易名 指导教师签名： 剐弋，茯 日期：2 卅年牛月卵日 华中科技大学硕士学位论文 1 1v a r 产生的背景 1 综述 二战后，随着全球经济活动的日益国际化，各微观主体所处的经济、政治、 社会环境日趋复杂，其运作也面临着多样且增大的风险。其中金融市场表现尤为 突出。所谓金融风险，是指因经济活动中的不确定性而导致资金在筹措和运用中 产生损失的可能性。金融风险主要包括市场风险，信用风险，操作风险及流动风 险等。自7 0 年代初布雷顿森林体系崩溃以来，浮动汇率制下汇率，利率等金融产 品价格的变动日益趋向频繁和无序。由于分散金融风险的需要，金融市场衍生工 具应运而生并得到极大的发展。而西方主要发达国家奉行的“放松金融管制”浪 潮又为金融创新提供了良好的环境，在各种因素影晌下，金融市场呈现出前所未 有的波动性和脆弱性。市场风险成为金融风险的最主要形式。 近年来像巴林银行、日本大和银行这样的金融机构或跨国公司由于市场风险 管理不善而导致巨额亏损或者倒闭的例子比比皆是。针对这种情况，金融监管当 局、金融机构一直在不断强化市场风险的管理与监管。三十国集团在1 9 9 3 年发表 的衍生产品：惯例与原则风险报告中竭力推荐各国银行使用v a r 分析方法。 随后。这一建议被银行业广泛接受，并己成为该行业风险管理的标准。v a r 作为 金融市场风险测量的主流模型，目前己被全球各主要银行、投资公司、证券公司 及金融监管机构广泛采用很多金融机构都开始开发内部使用的模型和系统。其 中最著名的是j em o r g a n 集团所开发的r i s k m e t r i e s 风险管理系统。 v a r 方法是用概率统计原理估计金融风险的方法。其英文全称是v a l u e a t - f i s k ， 一般译为“风险价值”。其含义是指在未来定时期内，在给定的概率置信水平a ( 通 常比较大) 下，任何一种金融工具或投资组合所面临的潜在的最大损失其数学定 义为：p r ( sv a r , ) ) = t 2 其中令r t = - l o g ( p t p t - i ) 为某项金融资产在时刻，的负对 数回报，当为正代表损失，为负时代表收益只为时刻t 某项资产的价格，置信水 平为窿( o 9 ) v a r 关心市场风险，它是金融头寸风险的一种度量，此度量用来评 估或被管理委员会用来设置资本保证金，v a r 保证金融机构在一次灾难性的事件 后不致于破产 v a r 具有信息披露、资源配置、绩效评价等功能，国内外学者对此进行了深 入的研究与探讨【1 - 9 1 。 1 2v a r 的优缺点及c v a r 的产生 v a r 是一种用规范的统计技术来全面综合地衡量风险的方法，较其它主观性、 艺术性较强的传统风险管理方法能够更加准确地反映金融机构面艋的风险状况， 华中科技大学硕士学位论文 大大增加了风险管理系统的科学性。其优点主要包括州： 1 v a r 把对预期的未来损失的大小和该损失发生的可能性结合起来，不仅让 投资者知道发生损失的规模，而且知道其发生的可能性。通过调节置信水平，可以 得到不同置信水平上的v 承值，这不仅使管理者能更清楚地了解到金融机构在不 同可能程度上的风险状况，也方便了不同的管理需要。 2 v a r 适用于综合衡量包括利率风险、汇率风险、股票风险以及商品价格风 险和衍生金融工具风险在内的各种市场风险。因此，这使得金融机构可以用一个具 体的指标数值t w a r ) 就可以概括地反映整个金融机构或投资组合的风险状况，大 大方便了金融机构各业务部门对有关风险信息的交流，也方便了机构最高管理层 随时掌握机构的整体风险状况，因而非常有利于金融机构对风险的统一管理。同时， 监管部门也得以对该金融机构的市场风险资本充足率提出统一要求。 3 可以事前计算风险，不像以往风险管理的方法都是在事后衡量风险大小； 不仅能计算单个金融工具的风险，还能计算由多个金融工具组成的投资组合风险， 这是传统金融风险管理所不能做到的。 尽管v a r 方法近年来非常流行，且具有如上所述的优点。但这些并不意味着 v a r 是一种合理有效的风险计量方法实际上，研究结果和实践经验都表明，过 于单纯的v a i l 风险计量方法存在严重缺陷。文 1 1 - 1 2 中都指出了v a r 存在如下的 缺陷： 1 v a i l 不是一致性风险度量因为它不满足次可加性。这就意味着用v a r 来 度量风险时，证券组合的风险不一定小于各证券风险之组合，这与风险分散化的 市场现象相违背，从经济意义上讲是不合理的： 2 v a r 不一定满足凸性，故在基于v a r 对证券组合进行优化时，可能存在多 个局部极僮，对整体优化，在数学上难以实现，这是将v a r 模型用于投资组合研 究时的主要障碍； 3 v a r 只依赖于单一的损失函数，虽能以较大的概率保证不超过它，但不能 表明损失一旦超过v a r 这种极端情况发生时的潜在损失的大小( 尤其是在肥尾时) ， 并且容易通过特定的、狡诈的交易策略操纵和篡改要报告的v a r 值 所以，许多学者认为，欲弥补v a r 的缺陷须另辟蹊径 为了克服v a r 的不足，r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v “l 提出了条件风险价值一c v a r 的风险计量技术，并因下列原因，被学术界认为是一种比v a r 风险计量技术更为 合理有效的现代风险管理方法。 1 c v a r 是指损失超过v a r 的条件均值，也称为期望短缺e s ( e x p e c t e d s h o r t f a l l ) 、平均超额损失( m e a ne x c e s sl o s s ) 、平均短缺( m e a ns h o r t f a l l ) 或尾部 v a r ( t a i lv a r ) ，其数学表示为：c v a r 。= e ij v a r a ，x 表示损失( 即负的收 益) c v a r 代表了超额损失的平均水平，反映了损失超过v a r 阈值时可能遭受的 平均潜在损失的大小，较之v a r 更能体现潜在的风险价值； 2 c r 满足平移不变性、正齐次性、次可加性和单调性，因而是一致性的 风险度量； 3 c v a r 的计算可通过构造一个功能函数而化为一个凸函数的优化问题，在 数学上容易处理，如用样本均值逼近总体均值，凸规划还可化为线性规划问题， 计算更加简便易行； 华中科技大学硕士学位论文 4 计算c v a r 的同时，相应的v a r 值也可同时获得，因此可对风险实行“双 限”监管，这比用单纯的v a r 更加保险，更不易遭受非法操纵与篡改 正因为具有如此优良的性质，c v a r 自提出后，在金融风险度量中也得到t n 入的研究和广泛的应用。 1 3 国内外研究现状 v a r 的概念最早由3 0 国集团于1 9 9 3 年7 月在其研究报告衍生产品：惯例 与原则 1 3 】中提出，1 9 9 4 年1 2 月j p m o r g a n 银行公开发展其开发的风险计量模型 m s k m e 砸c ，1 9 9 5 年4 月巴塞尔银行监管委员会同意具备条件的银行以内部 v a r 模型为基础，计算市场风险的资本金要求，此后，v a r 方法被广泛采用，有 关v a r 模型的计算方法和应用研究如雨后春笋般蓬勃发展起来。国外学者侧重研 究v a r 模型和组合优化问题，如文 1 4 1 讨论了v a r 约束下的最优组合问题；文 1 5 】 研究了荷兰基金组合的v a l l 模型；文 1 6 研究了v a r 框架下组合的最优选择问题； 文【1 7 】研究了在不稳定的金融条件下均值v a r 的组合选择及尾部估计问题；文【18 讨论了利率交换组合的v a i l 估计的综合因子方法。 国内的研究主要侧重于v a r 的计算方法，如文【1 9 综述了v a r 的主要计算方 法，但没有讨论极值方法；文 2 0 提出了v a r 的一种随机模拟方法；文 2 l 】中提出 用矩匹配方法来处理基于d e l t a - g a m m a 正态模型的v a i l 计算；文 2 2 1 研究基于分 布拟合法的v a i l 估计，通过极大似然估计猜测最佳的分布参数，然后用 l e v e n b e r g m a r q u a r d t 方法优化极大似然函数，从而得到最佳的参数估计，找出与样 本数据拟合程度最好的分布形式；文【2 3 】考虑用j o h n s o n 分布族来计算非线性v a r ， 采用分位点估计法来估计j o h n s o n 分布参数，使计算量大大减少：文 2 4 1 对中国股 市动态进行了v a r 计量模型的分析，介绍了利用g a r c h 模型的v a r 计算方法， 并比较了基于不同分布假设的4 种g a r c h 模型计算的v a r 值，并得出结论：证 券市场收益率具有强烈的。嫒c h 效应和非正态分布性。 目前比较常用的v a r 计算方法包括：方差协方差法、参数法、历史模拟法、 m o n t ec a r l 模拟法以及近来发展并流行的极值方法。 由于v a r 在理论和实践中存在缺陷【1 1 。“j ，国外学者又掀起了一股研究一致风 险度量c v a r 的热潮。如文 2 5 1 讨论了一致性风险度量；文 2 6 】研究了c v a r 的一 致性：文 2 7 】具体研究了一般损失分布下的c v a r 的性质；文 2 8 1 是有关v a r , 和 c v a r 的评论；文 2 9 】考虑了c v a r 的组合优化问题；文 3 0 1 讨论了c v a r 的优化算 法及应用；文 3 1 】研究了v a r 在投资组合应用中存在的缺陷与c v a r 模型。 目前计算c v a r 的方法主要有两类：通过线性规划技术来优化c v a r 和极值方 法估计c v a r _ 。r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v 当初提出c v a r 时，就是采用线性规划技术 来优化c v a r 的。近年来国内外学者开始考虑用统计极值理论来估计v a r 和c v a 艮 从统计观点来看，r 和c v a r 关注的是尾部损失，研究v 狃和c v a r 最主要的 挑战，就是对基础的损失或收益分布尾部拟合个好的模型以及对模型产生一种 好的估计，使得在该估计下，v a r 和c v 攫都容易计算。另外，由于在计算v a r 和 c v a r 时存在着两个问题：数据太少以及由此导致的难以挑选适当分布函数，尤其 华中科技大学硕士学位论文 是考虑到实际收益的肥尾特征时，更加如此。因为即使利用1 3 0 0 个数据( 约为股票5 年的收益数据) 来估计一个实际分布的9 9 分位数也是不够的。这样就使得一般的 计算方法或多或少地存在缺陷。如一般的参数方法无法估计高分位数；历史模拟 法虽然无需对收益率的统计分布做任何限制，但是它假定金融时间序列的未来变 化与历史变化一样，这在金融市场上是不合理的；蒙特卡洛模拟方法无分布假定， 处理非线性和非正态问题有强大能力，但它依赖于选定的随机模型，而且计算量 非常巨大，计算效率低下。 由于评估风险所考虑的事件通常都是具有极大损失或带来巨大灾难的事件， 丽这些事件都是极少发生却又具有重大影响的，因而反映这些事件的观测值通常 都是非常稀少而又远离正常观测值的极值，即是说，这些观测值位于分布的尾部。 而极值理论正是对这些极值提供统计分析的模型，所以有关极值理论在金融风险 测度和管理中的应用已经成为近几年研究的热点。由于极值理论方法有以下两个 特点，使得它们对尾部估计具有极大的吸引力。其一，它以一个合理的统计理论 即极值理论为基础。其二，它为分布的尾部提供一个参数形式的分布，因而允许 数量范围外的插值和样本外的估计。 因为极值方法是研究分布尾部行为的一种功能强大却相当稳健的框架。尽管 极值理论以前就在气候学和水文学方面有广泛应用，但直到近年来才应用于金融 风险度量和管理。d e h a a n 等c 弛】运用极值理论研究了分位数估计，m c n e i l c 3 3 】运用极 值理论研究损失分布的尾部估计，在 3 4 1 d p r 研究金融时序风险度量的分位数估计， e m b r e c h t s 等p 5 】综述了作为风险管理工具的极值理论并研究了极值理论的潜力及局 限i j “，m c n e i l n f r e y h7 j 研究了异方差金融时序的基于尾部风险度量的极值估计方 法。这些研究都表明：极值方法是一种极为精确的，并且有效可行的处理尾部风 险的好方法。 1 4 本文所作工作及创新之处 本文所作工作： 本文主要论述了极值理论在尾部风险度量v a r 和c v a r 中的应用。尾部风险 度量v a r 和c v a r 主要应用在高波动的金融领域如股票，汇率，利率等。极值理 论的方法有峰值法和闽值法。本文分别研究了评估v a r 和c v a r 的阈值法和峰值 法。又因为金融回报时序除了具有尖锋肥尾性外，通常都具有异方差性，因此我 们考虑将极值理论与异方差模型结合起来度量尾部风险，这样既能刻画回报分布 的肥尾性叉能体现金融时序的动态波动。因此本文也研究了极值理论结合异方差 模型来评估v a r 和c v a r 。具体考虑的模型有g a r c h g p , g a r c h g e v , s v m g p 。 由于极值理论的方法是参数方法，在用极值方法评估v a r 和c v a r 的过程中 需要估计分布参数及异方差模型参数。因此，本文也介绍了用极值方法评估v a r 和c v a r 的过程中要用到的各种参数估计方法。 本文创新之处： 尽管极值理论在金融风险领域的应用是近年来的研究热点，但绝大部分的研 究都采用阅值法，对峰值法的应用缺少关注。然而阈值法在选择阈值方面还很不 华中科技大学硕士学位论文 一致，因此，为了避免这个问题，本文研究用峰值法来评估尾部风险v a r 和c v a r 。 本文的创新之处在于，首次提出用峰值法来估计c v a r ，并求出了计算c v a r 的公式。最后用实证分析的方法证明了，峰值法能很好地拟合金融回报的分布尾 部，对高置信概率的v a r 和c v a r 值估计较精确。 因此，本文首先对峰值法从理论上推导出v a r 和c v a r 的计算公式，然后将 该方法用于s & p 5 0 0 指数3 3 年共8 3 6 0 个数据的实证分析。实证结果表明，广义极 值分布能有效拟合金融回报分布尾部。返回检验也表明，用峰值法估计的v a r 和 c v a r 值在高置信概率比较准确。 另外，本文还论述了将极值方法结合异方差模型一起来估计尾部风险，提出 将峰值法与g a r c h 模型结合来评估v a r 和c v a r ，即先对金融时序进行g a r c h 建模，再对其修正项进行g e v 分布拟合，最后可得到更糟确的动态的v ，i r 和c v a r 估计。又因为随机波动模型比g a p , c h 模型能更好地刻画实际数据 3 8 1 ，本文还提 出将s v 模型结合极值方法来评估v a r 和c v a r ，即s v - g p 模型和s v - g e v 模型。 这样既考虑了金融回报序列的条件异方差性，又充分考虑了极值事件对金融风险 的影响。通过这种模型估计出来的v a r 和c v a r 比其它方法的结果更合理有效。 1 5 本文结构 本文第1 章综述了v a r 和c v a r 的产生背景及国内外研究现状。另外提出了 本文所做的工作以及本文创新的内容。第2 章介绍了v a r 和c v a r 的现有计算方 法，并进行了比较评价；并且指出极值方法是一种有潜力且有效可行的更精确估 计尾部风险的方法。第3 章介绍了用极值方法中的阈值法来评估v a r 和。c v a r 的 过程，以及将阈值法与异方差模型结合一起来评估v a r 和c v 。r 的方法。第4 章 提出并研究了将极值方法中的峰值法用于评估v a r 和c v a r ，并将峰值法与异方差 模型结合来评估v a r 和c v a r 。第5 章介绍了极值方法中要用到的参数估计方法、 阈值的选取方法及v a r 和c v a r 的返回检验。第6 章对本文提出的评估v a r 和c v 承 的峰值法进行实证分析，并将得出的v a r 和c v a r 值用返回检验来验证。第7 章 是结论和展望，对本文的结论进行总结，并提出进一步研究的方向和思路。 华中科技大学硕士学位论文 2 评估v a r 和c v a r 的现有方法 2 1 计算v a r 的现有方法 计算v a r 的方法很多，其中主要的有四种：参数方法、历史模拟、蒙特卡罗 模拟和极值理论。极值理论从本质上说也是一种参数方法，但没有对收益率分布 强加某个特定模型，而是由数据本身来说明尾部分布，降低了模型风险，因此我 们把它从参数方法中分离开来这些方法应用都比较广泛，各个金融机构可阻根据 自己的需求选择合适的方法 1 参数方法 参数方法假设收益率服从一定的分布，因为在计算过程中往往需要估计参数 的值，所以被称为参数方法。参数方法运用比较方便，计算相对来说比较简单， 但结果依赖假设的正确与否。当假设不正确时，参数方法可能会有较大误差。通 常假设收益率序列服从正态分布，如r i s k m e t r i c s 的指数加权移动平均 f e x p o n e n t i a l l yw e i g h t e dm o v i n ga v e r a g e 简e y a e w m a ) 预测模型就是在正态假设下 做的见 3 9 】但是大量文献表明金融序列不是正态的，而是有偏的、肥尾的。正如 z a t l g a r 讨旨出的1 4 0 - 4 3 ，在正态分布假定下所计算的v a r 值，常常是低估实际风险。 为了描述金融序列的肥尾性，人们使用了多种肥尾的分布来计算v a r ，如h u l l a n d w h i t e 用混合正态分布1 4 4 、g u e r m a ta n dh a r r i s 用l a p l a c e 分布1 4 5 】等。黄海提出了一种 结合有偏性的稳健e w m a 方法【4 6 1 。但这些方法只能估计中等的分位数，只有极值 方法能较精确地估计高分位数。 2 历史模拟法 历史模拟法和蒙特卡罗法都是非参数方法。历史模拟法不需要对收益率的统 计分布做任何限制，它从历史的收益率序列中取样，例如可以选取过去的9 0 天历 史样本。历史模拟法使用真实的价格，不需要对市场的随机结构做任何假设。它 允许非正态分布，能够说明肥尾问题 4 7 , 4 9 】，避免模型风险。正因为其稳健性和直 观性，巴塞尔扔议1 9 9 3 年条款采用历史模拟法作为市场风险的基本度量方法i l “。 但是，历史模拟法也遭到了很多批评。首先，它的基本假设是过去，只能反 映不远的将来。但是e n g l e 已经指出【4 9 l ，波动率有着显著而且可以预测的时变性。 当波动率在短期内变化较大时，历史模拟法将估计不准。其次，这个方法给予所 有的观测值相等的权重，这与现实不符。一般来说，离现在越近的观测值对未来 的影响越大。通常当去掉一个旧的观测值后，用该方法算出的v a r 值变化很大。 最后该方法结果的准确性依赖于样本区间的长度。如果样本容量太小，v a r 将 估计不准。当置信水平很大时，样本容量必须足够大才能算出v a r ，这样的效率 就比较低了，特别是涉及到结构很复杂的投资组合时，计算量就更大了。 3 蒙特卡罗法 和历史模拟法一样，蒙特卡罗法也是通过获得大量的样本来计算v a r 。所不同 的是，历史模拟法是从历史数据中抽样，丽蒙特卡罗法则假定了收益率的分布， 华中科技大学硕士学位论文 再从这个分布抽样。所以采用蒙特卡罗法可以产生那些我们认为将要发生，但历 史观测值中没有出现的事件，例如1 9 9 7 年亚洲金融危机。这个方法首先要求风险 管理者设定金融变量服从的随机过程，并指定相应参数。经常使用的一个模型是 几何布朗运动。 蒙特卡罗法是计算v a r 最有效的一种方法，能说明大量风险，包括非线性价 格风险，波动性风险，甚至模型风险 4 7 , 4 8 1 。它还考虑了波动率的时变性、肥尾和 极端事件等。蒙特卡罗法的最大缺陷是计算量太大。如果是1 0 0 0 0 条价格路径， 每条路径有1 0 0 个时间段，计算价格的总次数将达n l o o 万。如果是投资组合，计 算量就更大。当然在计算机技术日新月异的今天，这个问题变得越来越小，这也 是蒙特卡罗法受青睐的原因。蒙特卡罗法还有一个不容忽视的弱点是，它依赖于 选定的随机模型。当然如果模型做的正确的话，这个方法很可能是度量市场风险 最全面的方法，甚至可用来度量信用风险。 蒙特卡洛模拟方法1 4 9 l 可以较好的处理非线性、非正态问题。其主要思路是反 复模拟决定金融工具价格的随机过程，每次模拟都可以得到组合在持有期末的一 个可能值，如果进行大量模拟，那末组合价值的模拟分布将收敛于组合的真实分 布。这样通过模拟分布可以导出真实分布，求出v a r 。 蒙特卡洛模拟计算步骤： 第一步：选择随机过程和随机变量分布，并估计相应参数： 第二步：产生伪随机序列“f _ 1 ，, 0 n 用随机过程求出靠1 ，品* ； 第三步：在该价格序列下估计组合价值只+ 。= ，r 及变化只+ 。= j p r ，可采用 定价公式进行全值估计，也可采用一阶灵敏或高阶灵敏度进行近似估计； 第四步：重复第二、三步直至达到模拟要求。这样得到组合价值变化分布 碍，牟，可估计v 水。 4 评估v a r 的极值方法： 评估v a i l 的极值方法就是将极值理论用于v a r 计算。由于一般的参数方法通常 假定金融数据服从对数正态分布或正态分布的和，以刻画金融数据的肥尾。虽然 它们的峰度超过正态分布的峰度。然而在实际应用中，这些分布可能适合中等分 位数的经验分布，但在高的分位数处如9 5 或9 9 ，它们就无能为力了。 联系极值理论和风险管理的纽带就是，对肥尾数据而言，极值方法比常规方 法更适合极端分位数。因而更适合用来计算v 球和c v a r 。 极值理论方法分为阈值法和峰值法。下面分别介绍估计v a r 的这两种方法。 阈值法：选定一个高的阈值”，有定理证明，超过“的数据近似服从一个广义 帕累托分布，见式( 1 ) ，同样要求尾部指标大于0 以刻画肥尾性。在确定了分布参 数和闽值后，由式( 2 ) 得到v a r 值。 峰值法：对整个时序数据按时间分段，每段取最大值而组成的序列渐进地服 从一个广义极值分布，见式( 9 1 ，由于金融数据具有肥尾性，我们要求尾部指标大 于0 ，即f r e c h e t 分布，见式( 8 ) ，估计了分布参数以后，从分布函数中求出相应置 信度的分位数，即式( 1 1 ) 就得到v a r 的值。 由于极值方法是对数据的尾部拟合一个极值分布函数，一旦知道尾部参数， 华中科技大学硕士学位论文 我们就能扩展样本外的分析，来考虑历史上尚未观察到的，但有可能出现的极值 运动。正因为极值方法只考虑分布的尾部，因而能够精确地估计极端分位数。详 细论述见第3 章。 2 2 计算c v a r 的现有方法 评估v a r 和c v a r 的方法可以分为两大类：一类是线性规划方法一类是极 值方法。 c v a r 的最初提出者r o c k a f e l l e r 和u r y a s e v 就是运用优化方法来得到v a r 和 c v a r 的【i “。他们把求解v a r 和c y a r 的过程当作优化问题来处理通过引入一个 业绩函数，并将最小化业绩函数等价于最小化c v a r ，而同时得到v a r 和c v a r ， 并且通过适当的处理，使得优化问题成为一个线性的凸规划问题。 由v a r 和c v a r 的定义知，若知道回报的分布( 假设为n ，则： f a r , 心j = f 1 ( 口) ， 弋 c 砌心= e x z 玩心】ix d f ( x i x v a r a ) 赢 所以计算它们的关键在于对金融回报拟合一个合适的分布。又因为这两种风 险度量只是与回报分布的尾部，而与分布的中心无关，故必须找到一个对尾部拟 合非常成功的分布，才能精确估计唧c v a r 的值对尾部拟合非常成功的分布， 我们自然想到统计极值理论，因为它能很好地描述分布尾部特征，具有尖锋肥尾 和幂指特征，能够很好地刻画极值事件。统计极值理论在描述灾害性自然现象与 材料的疲劳性试验中，特别在水利学中早已有广泛的应用。近年来开始应用于金融 领域，在金融风险度量和管理中发挥了重要作用。 下面分别介绍这两类方法： 1 线性规划方法 令：f i x , y ) 表示损失，其中x 是决策向量，x e x c r ”，可代表组合头寸。y 是 随机向量，y r ”代表不确定性，如影响损失或收益的市场参数。，可令随机向 量y 的联合密度为p ( y ) ，则损失m 不超过一闽值a 的概率为 甲( 而口) =lp ( y ) d y 。对固定的决策向量x ，孕职，o 。是a 的函数。烬，仅) 是金融 f ( x ，y ) g a 工具损失的分布函数，它完全决定了随机变量的行为，是定义v a r 和c v a r 的基 础。 假定妖x ，a ) 对d 是处处连续的，则蚬x ，d ) 对口是非降的。对任何指定的概率 水平夕( o ，1 ) ( 一般大于0 9 ) ，决策向量x 对应的金融工具的v a r 和c v a r 风险值 分别定义为哆舡) 和办( x ) ，即： 华中科技大学硕士学位论文 a d x ) = m i n a r ，地，a ) 卢) 办( x ) = ( 1 一卢) 。j f ( x ，y ) p ( y ) d y ，( j ，y ) h t p 【x ) a a ( x ) 包含吐的非空区间的左端点t 它使得妖x ，吐) 2 卢。p r f ( x ，y ) ) ) = i - 因而，九( x ) 是损失的条件期望，此损失不小于嘶) 。 优化方法的关键就是用下面的业绩函数来刻画即和c p ( x ) 的性质 f p ( 工，口) 口+ ( 1 一卢) q l 厂( t 一口丁+ p ( ，) d y ，如 乃的关键性质如下： 定理1 ：f p ( x , 吐) 作为a 的函数是凸的、连续可微的，且损失的伊c v a r 满足： 啦( x ) 5 鼍紧乃( a ) 注释：包含伍的集合( 此集合包含最小值) 如( x ) = a r g m i n 易( z ，口) 是一非空有界 口e 闭区间( 可能收敛到一点) ，肛v a r 为吼x ) = 4 鼬) 的左端点。特别地总有： ( x ) = a r g m i n 昂心口) ，办( z ) = 易( x ，即( 砷) 。因为胁，是凸函数，这一优化 中的关键性质，消除了局部极值与全局极值的差异。 定理2 ：最小化卢- - v a r 等价于最小化磁x ，a ) ，即： 唧办( x ) 5 。m 制i n 。易( 五口) 注释：0 + ，矿) 达到右边最小，当且仅当矿达到最小。因而特别地，当区间 上爿舡) 收敛到一点时，。m 啦i 。n 。易( x ，口) 产生一对0 + ，盘+ ) ，使得x + 最小化户p a r ， 且d + 给出相应的肛v a r 。而且，当m ) 对z 是凸时，磁x ，取) 对( x ，口) 凸，且愀) 对x 凸，在这种情况下，若约束使得z 为凸集，则联合最小化问题m i 骢( z ，口) iz d i e 也是凸规划。 下面具体考虑对上述风以a ) 进行优化的样本近似计算问题： 决策向量x 代表一个投资组合，x = 0 l i ) ，巧为第_ ，种金融工具的头寸，对 产1 ，咒，有弓o ，且有x ，= l 。随机向量_ y = ( y l ，撕) 表示决策向量x 的相应 j = l 回报。则损失函数为：氕x = - i x l y i + + x , y n 】= 一x l y 。且业绩函数可表示为： 9 华中科技大学硕士学位论文 乃( x ，d ) = 口+ ( 1 一) f - x r y 一口 + p ( y ) 砂 v ” 令f 0 ) 和啾) 分别表示头寸x 的损失的均值和方差，即：4 x ) = x t m ，o - ( x ) 7 v x ， 其中卅和v 分别为y 的均值和方差。很明显，弘是x 的线性函数，a ( 砷是x 的二 次函数。另外，我们要求期望回报至少为一给定的数量r ，则有线性约束：p r 。于是，组合的可行集为： 黔 沪( 五，) ：x 满足_ 2 0 ，对= 1 ，n ，且有一= 1 ；卢( z ) 兰一r a j = l 可知集合x 是凸的。 现在开始考虑通过y 的概率抽样而得到f j 0 ，的逼近。抽样集合m ，y 。产 生逼近函数：昂( 毛口) = 口+ 示而1 善q _ z 7 虬一口】+ 为了得到在x x r 上最小化，舡，n ) 的逼近解，只要最小化岛( x ，搿) 就行了，它 实际上可以转化成一个线性的凸规划问题。 下面我们考虑三种常用风险度量的风险优化问题。 ( p 1 )m i n o 2 ( x ) ： ( p 2 1 m “i n ( x ) ： ( p 3 ) 鼍野办( x ) ； 对上述三个优化问题，有如下命题： 命题：假定决策向量x 对应的金融工具的损失是服从正态分布的，例如y 为正 态时该假定成立。若0 5 ，且约束条件掣0 ) 求对问题( p 1 ) 、( p 2 ) 、口3 ) 都在边 界处达到。则这三个问题有相同的解z + ，且这三问题在其共同的决策向量x + 下都 是最优的。 结合上面的定理和命题，便可通过优化只( 工，口) 来求得最小的c v a r 值和对应 的v a r 值。详细论述参见 1 1 】 2 评估c y a r 的极值方法 评估c v a r 的极值方法与评估v a r 的极值方法相似，只是现有的评估c v a r 的极值方法只有阈值法，如5 0 5 2 1 等人都应用闽值法进行了v a l t 和c v a r 估