（理论物理专业论文）纠缠与量子相变关系及量子控制的理论研究.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 量子信息学是量子理论与信息学交叉而产生的新兴学科，它的出现给未来的科技发 展带来了美好的前景。量子信息学的发展与完善离不开对量子纠缠和量子控制等相关问 题的深入研究。本文就量子纠缠与量子控制的一些问题进行了理论探讨，并得到了一些 有意义的结果。 本文大体可分为四个部分。第一章和第二章构成本文的第一部分，第一章里较为系 统的介绍了研究量子纠缠、量子控制的重要意义，以及目前的研究进展。第二章中我们 介绍了与本文相关的量子信息学的基本知识。 本文的第二部分由第三章和第四章构成，主要讨论了量子多体系统中量子纠缠与量 子相变的关系。在第三章中，我们对狄克模型进行了简单的介绍，并研究了在具有偶极 相互作用的狄克模型中子系统的纠缠性质，以及量子相变现象。研究表明，子系统间的 纠缠性质可以很好的反应量子相变的发生，原子间的偶极相互作用对子系统间的纠缠 有重要影响。在第四章里，我们介绍了x y 自旋链，通过研究与自旋链耦合的中心粒子 间的纠缠性质，讨论了自旋链环境相交及温度对中心粒子间纠缠的影响。我们的研究表 明，中心粒子间的纠缠性质和系统的初态有着密切的联系。在自旋链温度接近绝对零度 时，中心粒子间的纠缠能够反应自旋链的相交现象，当自旋链温度升高时，自旋链自身 的量子相变现象被热力学涨落淹没，温度还会引发中心粒子出现退纠缠现象。 第五章是本文的第三部分，在这一章里，我们研究了量子纠缠在量子信息里的一个 重要应用一一量子隐形传态，着重讨论了利用量子多体纠缠完成多量子比特的传送任 务。通过一种矩阵符号，我们得到了一个描述量子隐形传态中量子通道和测量基之间关 系的判据方程，并给出了方程的一些特解，这对寻找和利用多体系统纠缠资源实现多比 特量子隐形传送具有一定的帮助。 本文的第四部分是第六章，我们介绍了量子控制的基本概念，回顾了前人的一个非 相干量子控制方案，在前人的工作基础之上，提出了一个新的非相干控制方案，这个方 案不仅可实现两能级系统控制，并且可以成功实现对有限维量子系统的控制。 文章的最后，给出了全文的总结和展望。 关键词：量子纠缠；量子控制：量子相变；量子隐形传态；x y 自旋链：狄克模型； 大连理工大学博士学位论文 t h e o r e t i c a ls t u d yo nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nq u a n t u m e n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o na n d q u a n t u mc o n t r o l a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y , ac o m b i n a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c sa n di n f o r m a t i o n t h e o r y , i sab r a n d n e ws u b j e c t ，w h o s ea p p e a r a n c eb r i n g sa b o u tab r i g h tf u t u r ef o rt h ed e - v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y a n dt h ed e v e l o p m e n ta n di m p r o v e m e n to fq u a n t u m i n f o r m a t i o ni sd e p e n d e n to nt h ep r o f o u n dr e s e a r c ho nq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u m c o n t r 0 1 t h i sd i s s e r t a t i o nm a i m yd i s c u s s e ss o m ep r o b l e m sr e l a t e dt oq u a n t u me n t a n g l e m e n t a n dq u a n t u mc o n t r o li nt h e o r y , a n do b t a i n ss o m ei m p o r t a n tr e s u l t s t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rp a r t s t h ef i r s tp a r ti n c l u d e sc h a p t e r1t oc h a p t e r 2 c h a p t e r1i n t r o d u c e st h es i g n i f i c a n tm e a n i n go fq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u m c o n t r o ls y s t e m a t i c a l l ya sw e l la st h e i rc u r r e n ts t u d i e s a n dt h er e l a t e dt h e o r i e st oq u a n t u m i n f o r m a t i o na r ep r e s e n t e di nc h a p t e r2 p a r tt w oi sc o m p o s e do fc h a p t e r3a n dc h a p t e r 4 ，w h i c hc h i e f l yd i s c u s s e st h er e l a t i o n - s h i p sb e t w e e nq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o ni nm u l t i - p a r t i c l es y s t e m c h a p t e r3b e g i n sw i t hb r i e fi n t r o d u c t i o no ft h ed i c k em o d e l ，a n dt h e nd e m o n s t r a t e st h e r e s e a r c ho nt h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e sb e t w e e ns u b s y s t e m sa sw e l la sq u a n t u mp h a s et r a u - s i t i o ni nt h ed i c k em o d e lw i t ht h ed i p o l e - d i p o l ei n t e r a c t i o n s t h er e s u l t sd e m o n s t r a t et h a t t h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e sb e t w e e ns u b s y s t e m sc a nw e l ls i g n a lt h eo c c u r r e n c eo fq u a n t u m p h a s et r a n s i t i o n ，a n dt h ed i p o l e - d i p o l ei n t e r a c t i o n sh a v eag r e a ti m p a c to nt h ee n t a n g l e m e n t b e t w e e nt h es u b s y s t e m s t h ex ys p i nc h a i ni sp r e s e n t e di nc h a p t e r4 ，a n dt h ee n t a n g l e - m e n te v o l u t i o no fb i p a r t i t es p i n 一；s y s t e mc o u p l e dt oac o m m o ns u r r o u n d i n gx yc h a i ni n t r a n s v e r s ef i e l d sa tn o n z e r ot e m p e r a t u r ei ss t u d i e d t h er e s u l t si n d i c a t et h a tt h ep r o p e r t i e s o fe n t a n g l e m e n tb e t w e e nc e n t r a lp a r t i c l e sa r ec l o s e da s s o c i a t e dw i t ht h ei n i t i a ls t a t eo ft h e s y s t e m w h e nt h et e m p e r a t u r eo ft h es y s t e mi sn e a ra b s o l u t ez e r o ，t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e n c e n t r a lp a r t i c l e sc a r lr e f l e c tt h eq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o ni ns p i nc h a i n a st h et e m p e r a t u r e i n c r e a s e s ，t h eq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o ni sw a s h e do u tb yt h e r m o d y n a m i c a lf l u c t u a t i o n s i n a d d i t i o n ，t h et e m p e r a t u r ec a nl e a dt od i s e n t a n g l e m e n tb e t w e e nc e n t r a lp a r t i c l e s c h a p t e r5a l o n ec o n s i s t so ft h et h i r dp a r t ，i nw h i c hq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ，a ni m p o r t a n t a p p l i c a t i o no fq u a n t u me n t a n g l e m e n ti nq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，i ss t u d i e d a n de m p h a s i si s i 一 纠缠与量子相变关系及量子控制的理论研究 p l a c e do nt h es t u d yo fm u l t i - q u b i tt e l e p o r t a t i o nb ye m p l o y i n gq u a n t u mm u l t i - p a r t i c l ee n t a n - g l e m e n t b yi n t r o d u c i n gm a t r i xo p e r a t o r ，t h ej u d g m e n te q u a t i o nr e f l e c t i n gt h er e l a t i o n s h i p s b e t w e e nq u a n t u mc h a n n e la n dm e a s u r e m e n tb a s i si nq u a n t u mt e l e p o r t a t i o ni sd e s c r i b e da n d s o m es p e c i a ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o ni sg i v e n ，w h i c hc a l lh e l pt os e e ka n du s em u l t i - p a r t i c l e s e n t a n g l e m e n tr e c o u r s e si no r d e rt or e a l i z et h eq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n c h a p t e r6i st h ef o u r t hp a r t ，w h i c hp r e s e n t st h ec o n c e p t so fq u a n t u mc o n t r o l ，a n dr e v i e w s ap r e v i o u si n c o h e r e n tq u a n t u mc o n t r o ls c h e m e b a s e do nt h ef o r m e rs c h e m e ，an e ws c h e m e i sp u tf o r w a r d ，w h i c hc a nn o to 山r e a l i z et h ec o n t r o l l i n go ft w o - l e v e lq u a n t u ms y s t e m ，b u t a l s oc a nb ee x t e n d e dt oc o n t r o lt h ef i n i t e - d i m e n s i o n a lq u a n t u ms y s t e m f i n a l l y , t h er e s u l t sa r es u m m a r i z e da n ds u g g e s t i o n sa r eg i v e nf o rf u t u r er e s e a r c hw o r k k e y w o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；q u a n t u mc o n t r o l ；q u a n t u mp h a s et r a n - s i t i o n ；q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n ；x ys p i nc h a i n ；d i c k em o d e l ； 一一 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作 所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或其他 用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做 了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：纠缠与量子相变关系及量子控制的理论研究 作者签名：丑年月三日 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文 工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有权保留论 文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复 制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：纠缠与量子相变关系及量子控制的理论研究 作者签名： 导师签名： 日期： 婴4 年月立日 掣p 月上日 大连理工大学博士学位论文 1引言 本章简要介绍量子信息学的产生与发展，及其目前面临的主要问题，并由此而引出 了我们所要研究的问题和研究意义 1 1 量子力学的发展及量子信息理论的诞生 量子理论诞生在二十世纪初，是随着人们对微观物质世界认识的不断深入而逐渐发 展起来的，它无疑是二十世纪最深刻、最有成就的科学理论之一。微观物质世界中有很 多奇特的物理现象都与常理相违背，并且很难用经典物理的理论进行解释，一些现象在 量子力学诞生之前曾一度被称为物理学蓝天上的几朵”乌云 ，但是在量子理论的诞生之 后，这几朵”乌云”被一扫而光，所有这些新奇的微观物理现象都能够很好地在量子力学 的框架下得到解释。随着研究的深入，人们逐步认识到，量子理论不仅可以解释微观领 域的一系列奇特现象，同时通过变换还可以利用它完美地解释宏观物体的运动规律，比 如从s c h r s d i n g e r 方程出发可以推导得出牛顿定律等经典物理中的基本定律【1 】。因此可 以说量子理论的规律不仅支配着微观物质世界，而且也支持着宏观物质世界。长期以来 一直被人们用来描述宏观物质运动规律的经典物理从本质上来说也不过是量子力学规 律的一种近似而己。在量子理论发展过程中，人们将量子理论的核心一量子力学广泛应 用于不同的物理领域，比如原子分子物理、光学等物理领域中，不仅在理论上取得了很 多突破性的进展，而且带来了许多划时代的技术创新( 如半导体和激光器的发明) ，直接 推动了社会生产力的发展，从根本上改变了人类的物质生活。量子理论和同时期诞生的 相对论一起，让人们逐渐突破了研究经典物理时形成的传统的时空观和物质观，引导人 们发现了微观世界的更多奇妙性质。 量子理论虽然取得了极大的成功，但并不意味着它是一个彻底的、完善的物理学 理论。自量子力学诞生以来，关于量子力学的思想基础和基本问题的争论，从来就没有 停止过。在这些争论的问题中，最著名的就是e i n s t e i n - p o d o l s k y - r o s e n ( e p r ) 佯谬【2 】和 s c h r 6 d i n g e r 死猫一活猫”佯谬【3 】。实际上无论是e p r 佯谬还是”死猫一活猫”佯谬，它 们都展示出了量子力学所特有的物理现象一量子纠缠。可以说，量子纠缠是量子力学非 定域性质最完美的体现，但也是量子理论中最难理解和接受的概念之一。量子纠缠概念 的提出和发展是人们对量子力学非定域性质认识不断深入的必然结果，是量子力学特有 的性质之一。在1 9 6 4 年之前，人们对量子纠缠的认识仅仅停留在理论以及思辩上对量 子力学基本理论完备性的争论，b e l l 基于隐变量理论【4 】的工作【5 】的出现才使得这些理 论的思辩成了可以通过实验来检验的具体问题。此后，大量精巧的实验进一步证明了量 纠缠与量子相变关系及量子控制的理论研究 子力学基本原理的正确性，同时也激发了人们对量子理论的进一步探讨和应用的研究， 人们开始想到把量子世界的奇特性质应用于信息科学和计算机科学中，从而诞生了量 子信息科学这门学科f 6 l 。早在1 9 8 2 年，诺贝尔奖获得者美国著名物理学家f e y m a n n 就 提出了量子计算机的概念【7 l ，但是这在当时并没有引起人们的足够重视。直到1 9 9 3 年 b e n n e t t 等人在p h y r e v l e t t 上发表一篇开创性的论文，提出了利用量子纠缠来实现量 子态隐形传递的方案【8 l ，这个方案的提出立即引起了量子计算和量子信息的研究热潮， 特别是p s h o t 大数分解算法f 9 】以及g r o v e r 搜索算法f 1 0 1 的提出，向人们展示了利用量 子规律实现计算和信息处理的巨大优越性。目前的理论研究已经表明，人们可以利用微 观量子世界这些奇妙性质进行计算机的设计，应用于信息绝对保密的传递，信息的处理 等等【6 】，这些设计将会实现传统计算机所无法做到的事情，它成为激发人们近年来对量 子信息理论研究的主要动力。 迫使科学家们在量子信息科学这一新兴领域投入大量精力的另一个主要原因是 现有信息处理系统的功能已接近于极限。信息加工、存储与处理等各个环节的核心 部件是芯片，不断提高芯片的集成度是计算机乃至整个信息科学的核心问题。根据摩 尔( m o o r e ) 定律，每十八个月计算机微处理器的速度就增长一倍，其中单位面积( 或体 积) 上集成的元件数目随时间呈指数增长。可以预见，在不久的将来，计算机存储单元 将是单个原子及单个电子。芯片元件就会达到它能以经典方式工作的极限尺度。如果芯 片集成单元达到原子量级，将不可避免的出现量子效应，由此带来的量子噪声将严重影 响信噪比的提高，逻辑运算过程中的热耗散将达到极限值，无法再提高芯片的集成度。 考虑到量子信息的实现需要充分的利用微观世晃的量子效应，它的诞生刚好为突破传统 计算机这种尺度极限提供了可能。 正是基于以上两个原因，量子信息学已经引起各国政府、科技界、和信息产业界的 高度重视。量子信息学在经过近二十年的蓬勃发展后，也已经逐步发展成为一门多学科 相互渗透的综合性交叉学科。人们坚信随着研究的进一步深入，量子信息学必将展现其 巨大的应用价值。 1 2 量子纠缠 如前所述，人们对量子纠缠的认识，起源于上世纪s c h r s d i n g e r 提出的”s c h r s d i n g e r 猫假象实验。之后以e i n s t e i n 和b o l u 为代表的一些伟大物理学家对此问题进行了长期 争论。e p r 佯谬以及”s c h r s d i n g e r 猫佯谬这两个质疑量子力学的反例恰恰反映出量子 纠缠是量子力学区别于经典力学的一个重要特征。量子纠缠完美体现了量子力学非定域 一2 一 大连理工大学博士学位论文 性质，但这也使量子纠缠成为了量子理论中最难理解和接受的概念之一。简单的说，如 果两体或多体系统的量子态不能写成其子系统量子态直积的形式，那么这个系统就处于 一个纠缠态，它是复合系统的子系统之间一种奇妙的关联，不同于经典的关联，对于其 中一个子系统的量子操作将影响到其它的子系统。量子纠缠具有如下三个基本性质【1 1 】， 即复杂的数学结构( 尤其是多体纠缠) ；在环境中非常脆弱：局域操作和经典通信无法使 纠缠增加。量子纠缠在复合量子系统中是普遍存在的，而且也非常复杂，它与信息的传 递、系统的耗散、量子测量等等许多问题都有密切的联系。 虽然我们对量子纠缠的理解更多的是停留在其数学意义上，但量子纠缠也已经向我 们展示出其巨大的应用潜力。量子纠缠是量子信息处理过程中最重要的物理资源，它是 量子计算相对经典计算加速的主要因素。量子纠缠成为了联系多个不同物理学科的桥 梁，人们试图通过量子纠缠的概念，利用量子信息的方法研究统计物理、凝聚态物理中 多体系统的性质。反过来，由于量子纠缠在量子信息中的重要性，以及对物理其他分支 发展的意义，也极大的推动了人们对量子纠缠理论本身的理解和研究。 1 2 1 量子纠缠与量子信息 量子纠缠不但是量子力学区别于经典物理学的重要的特征之一，它也是量子信息理 论产生的重要基础。量子信息学是指以量子力学基本原理为基础、通过量子系统的各种 相干特性( 如量子并行、量子纠缠和量子不可克隆等) ，以全新方式进行计算、编码和信 息传输的一门学科。量子信息学在提高计算机速度、确保信息安全、增大信息容量、和 提高检测精度等方面将突破经典信息的极限，而这正是因为有了量子纠缠。量子纠缠在 量子信息中的代表性的应用包括：基于b e l l 态的量子密码【1 2 】、量子稠密编码【1 3 】、在量 子隐形传态【8 】任务中利用纠缠态作量子信道。这些利用纠缠资源完成的量子信息处理任 务都己经在不同的实验系统中成功演示。此外，量子纠缠对量子计算的重要性已经得到 充分的体现。单向( o n 争w a y ) 量子计算模型【1 4 ，1 5 】表明只需要一种特殊的量子纠缠态一簇 态加上单比特的测量就能完成量子逻辑门电路所能完成的所有任务。量子纠缠已经成为 量子信息处理过程中不可或缺的物理资源，人们对量子信息处理任务的研究在某种意义 上来说也是对量子纠缠的研究。 1 2 2 量子纠缠与量子相变 一切宏观物体都是由具有量子力学特性的微观粒子按照一定的结构组成的，对于 一些特殊的微观结构，微观粒子之间会有特定的相互作用，而这些相互作用的整体又 决定了这个物体的宏观性质。一般环境下，由于热力学涨落等诸多原因的影响，量子世 一3 一 纠缠与量子相变关系及量子控制的理论研究 界的很多奇妙性质会被掩盖而不易让人察觉到。随着低温技术的不断提高，这些被热 力学涨落所掩盖的微观量子现象更清晰地向我们展现出来。量子相变( q u a n t u mp h a s e t r a n s i t i o n ) 现象【1 6 】便是其中之一，它是发生在绝对零度条件下不同于经典相变的另一种 相变现象，完全是由量子涨落引起的。 研究表明，一些物质在绝对零度时可以处于不同的相，而且不同的相之间不能够平 稳的过渡，物质从一个相转变到另一个相必须要经历一个临界过程。这是因为在不同的 条件下，不同种类的量子涨落都试图以各自独特的方式来决定和影响系统的基态。在临 界状态的时候，这些不同种类的量子涨落的竞争处于平衡状态。此时，即使一个外部参 量或耦合系数生很小的变化，也会引起系统微观特性发生根本性变化，即系统正经历着 量子相交【1 6 】。量子相变具体表现在多体系统的基态性质出现一个剧烈变化。在参数空 间中，基态能量的奇异点一般被定义为相变的临界点。量子相变现象在很多物理体系里 面都可以发生，如熟知的自旋链系统，狄克( d i c k ) 模型【1 7 】，l m g 模型【1 8 】等等。 和经典相变相同，在量子相交中，最重要的物理量仍是关联长度。在临界点处，关 联长度是发散的。由于量子系统中存在经典系统中没有的量子关联一纠缠，人们很自然 地想到，可以利用多体系统内部粒子之间的量子纠缠性质来研究量子相变现象。对于强 关联系统来说，粒子之间的关联不仅仅限于近邻关联，甚至会有全局关联，因而量子纠 缠在这里非常复杂，它应该会反映强关联系统的物理性质，尤其是量子相变。 2 0 0 2 年，o s t e r l o h 及o s b o r n e 等人【1 9 , 2 0 l 是先研究了一维磁性系统中两近邻粒子之间 的量子纠缠在相变点附近的标度律行为，其中的两体纠缠采用了并发度( c o n c u r r e n c e ) 【2 l 】来度量。他们的研究表明，量子粒子之间的并发度能够很好的反映整个系统发生的 量子相变，并且并发度在临界点附近的标度性质可以用来区分不同的量子相变类型，这 个研究揭示了量子非定域性质与量子多体系统性质之间的联系，也激发了人们研究量 子纠缠现象与量子多体系统性质之间关系的兴趣。2 0 0 3 年v i d a l 等人【2 2 l 用块 熵( a r e a e n t r o p y ) 研究了自旋系统的量子纠缠，发现其临界行为与共形场论中的熵非常类似，从 而建立了量子信息、凝聚态物理和量子场论之间的联系。 在o s t e r l o h 和v i d a l 等人的开创性工作之后，人们用各种各样的纠缠度量，研究了 在更普遍的模型中量子纠缠与量子相变的关系【2 s - 2 9 。但是由于没有很好的刻划多体系 统中的长程关联、全局关联的物理量，目前的研究大都集中在两体纠缠上面。为进一步 找出量子纠缠与量子相变的关系，人们一方面积极发展多体纠缠度量方法；另一方面， 通过建立薪的多体模型，利用现有的成熟的纠缠度量去获得量子相变的信息。相信在量 子信息的平台上，量子力学、凝聚态物理和统计物理中不同思想、方法的融合将会有更 多有关基本物理问题的重要进展。 - 4 大连理工大学博士学位论文 1 2 3 量子纠缠与退相干 量子纠缠和退相干是量子信息中最重要的两个基本概念。量子纠缠是几乎所有量子 信息处理任务中都不可缺少的物理资源，而量子退相干则是用来解释量子理论中最基本 的“量子一经典 跃迁问题的，同时也是实现量子信息处理的主要困难。退相干同量子 纠缠，尤其是多体量子纠缠有着紧密的联系。 量子退相干是指由于环境的影响，系统由量子叠加态演变为经典混合态的过程。在 现实中，不存在真正孤立的量子系统，任何一个实际的量子系统都不可能与其环境隔 绝，总是不可避免地要与它的环境发生相互作用【3 0 l ，特别是与多体环境的相互作用，这 些作用导致的结果都是系统量子相干性的消失。在量子信息理论中，量子退相干泛指一 切使得系统的末态偏离理想态的过程。量子退相干按其理论上的描述大致可分为耗散 ( d i s s i p a t i v e ) 和退相位( d e p h a s i n g ) 。前者的特征是系统和环境之间有能量的交换，而后 者，系统与环境虽有相互作用，但系统能量确保持不变，和环境之间没有能量的交换。 系统与环境相互作用都将强烈地影响量子系统的稳定性，在应用量子体系的量子特性来 实现某种设计的时候，必须考虑它与外界系统的相互作用。 实际上，对量子体系的测量过程也是量子体系发生退相干的过程。量子测量过程是 通过测量装置和被测系统的纠缠实现的。量子体系的状态会因为系统与测量装置耦合而 改变，从纯的叠加态转变成了混态，而测量的结果也是该量子体系退化为纯态以后所表 现的一方面信息。当非对角项退化消失的时候，量子态也就失去了它的量子特性，成为 和经典统计物理性质无异的混态。要想实现量子计算和量子信息处理，首先要解决的就 是克服退相干的不利影响，所以说量子退相干问题是目前量子计算和量子信息处理理论 和实验面临的最困难的问题 3 1 】。 作为量子信息过程中的重要物理资源，量子纠缠在环境中，由于退相干也会发生退 纠缠( d i s e n t a n g l e m e n t ) 的过程。近年来，随着量子信息理论研究的深入发展，从最初的 单体或者少体量子系统，逐步发展到目前，人们越来越关注多体量子体统的消相干性 质。一方面，大规模量子计算使得研究如何抑制多体量子系统的退相干更加具有实际的 物理意义：另一方面，多体量子系统的退纠缠行为展示了许多值得研究的新的特征。可 以说，量子纠缠和退相干的研究，不但是量子力学和量子信息理论的基本问题，而且更 是联系不同领域的重要桥梁。 1 3 量子控制 当编码信息的态从经典物理领域过渡到量子物理领域时，由于量子态具有根本不同 一5 一 纠缠与量子相变关系及量子控制的理论研究 于经典物理态的性质，对经典物理为基础的信息论和计算机科学不可避免地要重新加以 审视。量子态奇妙特性，如量子态的完备性、不可克隆性、相干性、纠缠性和非局域性等 已成为宝贵的物理资源不仅被用到信息科学中去，为信息科学提供了崭新的原理和方 法，在提高运算速度、确保信息安全、增大信息容量和提高检测精度等方面突破现有的 经典信息的极限提供可能，同时也为实现对量子力学系统的有效控制，从而实现真正意 义上的量子计算机带来了极大的困难，这是因为目前的工程控制技术远远不能达到这一 要求，传统的控制理论已经无法胜任这一工作，急需量子控制论来指导微观系统量子态 的主动控制。 其实，早在量子理论诞生之时，如何对量子系统进行有效的操纵和控制就是一个很 重要的实验问题。然而，直到上个世纪八十年代初，才有学者从工程和系统科学的角度 对量子系统的控制问题进行了探索。最早在理论上提出量子系统控锘l 土的是美国华盛顿大 学谈自忠( t a r n ) 教授等学者于1 9 8 3 年在数学物理杂志上发表的名为“量子力学系 统的可控性 的论文 s 2 】。该文从基本的系统控制理论出发，对线性量子系统的可控性进 行了详细的讨论，并对量子系统控制进行了一系列的展望。紧接着，谈教授等学者又接 连发表两篇文章对量子控制系统可逆性【3 3 】以及可观性【3 4 】等问题进行了理论分析。这三 篇文章为量子系统控制做出了奠基性工作，被誉为量子系统控制的一个里程碑。自此之 后，关于量子系统控制的研究蓬勃地开展起来，并成功应用于量子信息、量子化学、激 光冷却、新型纳米技术和生物制药等领域。 在量子控制发展的早期，理论工作主要集中在对简单的量子系统进行讨论。从系统 模型的角度来看，所讨论量子系统主要是封闭系统，即不考虑被研究系统与周围环境的 相互作用；从系统复杂度来看，主要集中在低维简单系统；从控制方法的角度来说，这 一阶段主要采用开环控制。这一时期的理论研究主要关注两个问题：其一是讨论简单量 子系统的控制设计。8 0 年代末美国的l i n 在拉格朗日和哈密顿系统的框架内讨论了通过 量子化获得量子控制系统的数学模型方法( 3 5 j ，并给出了经典控制系统能被量子化为量 子力学控制系统的条件。与此同时，一些科学家通过建立量子系统的数学模型，从不同 角度分析量子控制系统的特性。其中d a l e s s a n d r o 与d a h l e h 通过对两能级量子系统建 模研究了双态系统能量最优控制问题 3 6 】，并证明了在横截条件等假设条件下能量最优 控制是正弦驱动信号；而k h a n e j a $ 口b r o c k e t t 对控制脉冲幅度不受限情况下的封闭量子 系统时间最优控制问题进行了研究并将所得结果推广到多比特情形【3 7 ，3 8 】。在这一时期， 另一个关注的问题是对于有限维封闭量子系统可控性【3 9 ，4 0 1 的讨论，这个问题和量子计 算中的量子逻辑门的通酉性( u n i v e r s a l ) 问题【4 1 】是等价的，并且经过近十年的研究，这 个问题已经得到了解决【4 2 喇】。 一6 一 大连理工大学博士学位论文 近年来，随着人们对量子系统控制研究进一步深入，人们的研究重点也发生了显著 的变化。在系统模型方面，从有限维封闭系统转向了开放量子系统或无穷维量子系统； 在控制方法方面，从开环控制转向了反馈控制。封闭系统的研究相对较简单，这是量子 控制研究的基础。但是在实际量子系统中，系统与环境间的相互作用往往不能忽略，因 此需要进一步考虑开放系统的控制问题。在本论文中我们提出了一个利用可控辅助系实 现二维开放系统控制的方案，并将此方案推广到有限维。 1 4 本文主要研究的内容 本文在理论上研究了量子信息学中两个非常重要的问题：复合系统量子纠缠和量子 控制。量子纠缠和量子控制分别是实现量子信息传送的重要物理资源和物理过程。研究 复合系统量子纠缠和量子控制对加深物理本质的理解，甚至解决未知的问题都有十分重 要的意义。本文通过两种方法研究量子纠缠与量子相变之间的关系，其一研究能够发生 量子相变物理体系内部子系统纠缠性质；其二研究与具有量子相变性质物理体系相耦合 的中心粒子间的纠缠性质。同时，讨论了环境温度对量子相变及退纠缠的影响。本文还 给出了一个关于量子隐形传态判据方程和一个实现有限维量子系统控制的方案。 本论文的主要内容安排如下： 、 第二章介绍了量子比特、量子态、量子纠缠等一些量子信息学中的基本概念，以及 文章中涉及的纠缠度量公式，量子测量、量子隐形传态等量子信息处理过程中的任务。 第三章首先介绍了狄克模型理论与实验的发展情况，研究了具有偶极相互作用狄克 模型量子相变与子系统间纠缠性质之间的关系，即原子光场纠缠和原子原子纠缠。其 中原子一光场纠缠用v o nn u e m a n n 熵度量，原子间纠缠使用并发度测量。讨论了原子间 偶极相互作用对子系统间纠缠的影响。 第四章介绍了x y 自旋链哈密顿量的对角化过程，以及其量子相变现象。研究与有 限温度x y 自旋链环境耦合的两粒子系统的量子纠缠性质，讨论了在不同初态条件下， 中心粒子间纠缠性质与自旋链量子相变之间的关系，并着重讨论了自旋链温度对量子相 变和中心粒子退纠缠的影响。 第五章利用一种矩阵符号重新描述了两量子比特隐形传态的过称，得到了描述量子 通道道与投影测量基关系的一个判据方程，并给出这个方程的几组特解，利用这些特解 找到一些可以用来传送两量子比特信息的量子信道，以及对应的测量基。 第六章我们先介绍了量子控制理论中的基本概念，回顾了前人的一个非相干控制方 案，在前人工作的基础之上，我们提出了一种新的控制方案，这个方案中利用了满足一 一7 一 纠缠与量子相变关系及量子控制的理论研究 定条件的辅助系统，不但可以实现两维量子系统的控制，而且可以实现对任意有限维量 子系统完全控制。 最后，我们对本文的工作做出总结并对今后的工作做出一些展望。 一8 一 大连理工大学博士学位论文 2 量子信息学的基础知识 2 1 量子比特 在经典信息理论中，比特( b i t ) 是信息的基本单元，从物理学的角度讲，比特是一 个两态物理系统，它可以制备为分立的、可识别的两个状态中的一个，比如二极管的两 种状态，可以用o 或1 来表示。在量子信息理论中，量子信息的基本单元称为量子比 特( q u b i t ) ，它也是一个两态物理系统，两态分别用i o ) 和1 1 ) 表示，和经典比特不同的 是，量子比特可以处在这两个态的相干叠加态上，即： 口口 i 矽) = c o s 丢i o ) + e 。ps i n 丢1 1 ) ，( 0 p 7 r ，0 妒2 7 r ) ( 2 1 ) 二 量子比特的物理载体是任何两态的量子系统，如二能级原子、自旋为1 2 的粒子、具有 两个偏振方向的光子等。在数学理论中，量子比特是定义在二维希尔伯特( h i l b e r t ) 空 间中的一个矢量，i o ) 和1 1 ) 就是量子比特所在二维希尔伯特空间中正交、归一、完备的 两个基矢。 因为量子信息采用量子态来描述，所以有关量子信息的的问题就要遵从量子力学的 基本原理：信息的演化遵从薛定谔方程，量子信息的传输就是量子态在量子通道中传输， 量子信息的处理就是量子态的有控制的么正演化，信息提取就是对编码量子态的测量。 2 2 纯态和混态 像量子比特这种能用希尔伯特空间中的一个矢量表示的量子系统的态称之为纯 态( p u r es t a t e ) 【4 5 】。对于纯态我们可以得到这个态的最大信息。 有的时候量子系统所处的状态无法用一个希尔伯特空间的矢量来描述，系统并不是 处于某一个确定的态，而是以某一种几率分布的量子纯态的经典混合。我们把这时量子 系统所处的状态叫做混合态( m i x e ds t a t e ) 。混合态一般用密度矩阵表示，记为算符p ， 它可以具体的表示为 p = 鼽l 他) ( 他l ( 2 2 ) 其中a 表示分布几率，i 诹) ( 眈l 表示投影算符。混合态p 还满足下面三个条件，即厄米 性，p = p i ( p t 表示p 的转置复共轭) ：半正定，p 芝0 ：迹为1 ，t r p = 1 。 一个二维量子体系( 量子比特体系) 的密度矩阵为2x2 维的厄米矩阵，有三个独立 的实参量，可以用 ，吒) 展开，其中吼 = z ，y ，z ) 为p a u l i 矩阵。这样可以将密 一9 一 纠缠与量子相变关系及量子控制的理论研究 图2 1 布洛赫球。球上及球内的点描述两能级系统所处的态。图像选自g y x i a n g ，e t 甜p h y s r e v a 7 2 ，0 1 2 3 1 5 ( 2 0 0 s ) 。 f i g 2 1t h eb l o c hs p h e r e t h ep o i n t so i la n di ni tr e p r e s e n tt h es t a t eo f as i n g l eq u b i t t h ef i g u r e i sf r o mg y x i a n g ，p h y s r e v a 7 2 ，0 1 2 3 1 5 ( 2 0 0 s ) 。 度矩阵p 写为 胴= 1 f ( 1 + r x a x + r 可a v + r z a z ) = j 1 l + r z 。 ( 2 3 ) 根据密度矩阵的性质，我们可得0 7 1 。描述系统状态的每一个密度矩阵都与布洛 赫( b l o c h ) 球体( 如图2 1 所示) 上的点一一对应：纯态对应布洛赫球面上的点，混态对 应着球体内部的点。 2 3 量子纠缠的定义与度量 量子纠缠是量子力学区别于经典力学的重要特征之一，做为一种新类型的资源，纠 缠在量子信息学中起着举足轻重的作用，许多量子信息处理过程都离不开纠缠。然而什 么是纠缠? 怎样区分一个量子态是否纠缠? 在本节，我们将介绍量子纠缠的定义、纠缠 度量，以及大家熟知的b e l l 态。 一1 0 一 、llj， 岘吃 一 一l 大连理工大学博士学位论文 2 3 1 纠缠态的定义 首先，考虑一个由a 和b 两个子系统构成的复合体系。复合系统所在希尔伯特空间 可表示为两个子系统希尔伯特空间的直积，即巩固风。设l 妒) a 和l ) b 分别为描述子 系统a 和b 的纯态。如果复合系统的状态可以由一个纯态i 里) a b 来描述，并且这个纯 态可以写成两个子系统的直积形式，即 i 皿) a b = l 妒) aol 妒) b ，( 2 4 ) 则复合系统处于直积态或可分态。相反的，如果这个纯态l 、x j a b 不能写成方程( 2 4 ) 的形 式，则量子态i 雪) a b 就是纠缠态或不可分离态。如果其约化密度矩阵对应着最大混合 态，则这个两体纠缠态为最大纠缠态。我们将上述纠缠态的定义加以推广，如何复合系 统是由n 个子系统构成，l ) t 是描述第i 个子系统的纯态，当符合系统的纯态i 里) 不能写 成子系统纯态的直积形式： i 皿) = o 愀， ( 2 5 ) 则符合系统纯态l 皿) 为纠缠态，否则为直积态。 如果描述复合系统的一个混合态p 是可分的，它总可以写成如下形式 m p = 只i 妒) 尹( 矽io i ) 尹( io pi x ) y ( x i ( 2 6 ) 如果混态p 不能写成方程( 2 6 ) 的形式，则这个混合态就是纠缠的。方程( 2 6 ) 中的n 表示构成复合系统的子系统个数，m 通常没有明确的限制，当m = 1 时对应着纯态的 情况。 2 3 2 纠缠的度量 纠缠在