（计算数学专业论文）矩阵和与差的特征值及奇异值不等式.pdf

中文摘要 摘要 矩阵特征值、奇异值的不等式的研究是矩阵论及矩阵扰动分析的主要课题之一 它研究的问题一般包括单个矩阵的特征值及奇异值之间的关系，多个矩阵之间的特 征值奇异值及它们界的估计问题等在早期，w e l y , f i s h e r ，w i e l a n d t 和h o f f a m a n 等人在此领域做了大量的工作1 9 5 3 年，a j h o f f a m a n 和h w w i e l a n d t 给出 了两个对称矩阵差的特征值不等式，即著名的w i e l a n d t h o f f a m a n 定理它将特征 值的摄动与摄动矩阵的e n c l i d 范数联系起来，是对以浮点算术运算的正交变换为基 础的误差分析是最有用的结果 1 5 】 本文是在w i e l a n d t h o f f a m a n 定理的基础上，给出了它的反向不等式，作出了 比较简洁的证明，然后给出了两个矩阵和的特征值关系，它的结论与h w 定理的形 式几乎一样完美，最后把它推广到奇异值的情形，通过构造对称阵的方法巧妙的证明 了奇异值不等式，同样得到了两个矩阵和与差的奇异值不等式，它的形式与w h 定 理也黝的 本文可以分以下四个部分，第一节主要介绍相关的问题背景，并概述文章的主 要内容在第二节里，引进了文章中要用到的些定义，引理及基本定理第三节给 出了w - h 定理的对称形式并推广到矩阵和的形式第四节得到了任意mxn 阶实 矩阵和与差的奇异值不等式 关键词：特征值、奇异值、不等式、矩阵的和与差 英文摘要 a b s t r c t t h es t u d y i n go ft h ei n e q u a l i t i e so fe i g n v a l u e sa n ds i n g u l a rv a l u e si st h em a i n i s s u eo ft h et h e o r yo fm a t r i c e sa n dp e r t u r b a t i o na n a l y s i s ，w h i c hc o u l db ed i v i v d e d i n t ot h r e em a i na s p e c t s ：( 1 ) ，t h er e l a t i o n so ft h ee i g n v a l u e sa n ds i n g u l a rv a l u e so f s i n g l em a t i x ，( 2 ) ，t h er e l a t i o n so fe i g n v a l u e sa n ds i n g u l a rv a l u e so fs e v e r a lm a t r i o c e s ，( 3 ) ，t h ee s t i m a t i o no ft h e i rb o u n d s e a r l y , w e l y , c o u r a n t ，f i s h e r ，w i e l a n d ta n d h o f f a m a nh a v ea l r e a d yd o n em a n yw o r k si nt h e s ei s s u e s i n1 9 5 3 ，a j h o f f a m a n a n dh w w i e l a n d tp r o p o s e dt h ef a m o u sw i e l a n d t h o f f a m a nt h e o r e m ，w h i c hd e - s c r i b e dt h er a l a t i o n so fe i g n v a l u e so ft h ed i f f e r e n c eo ft w os y m m a t r i cm a t r i c e s c o n c r e t e l y , i ta s s o c i a t e dt h ep u r t u r b a t i o no fe i g n v a l u e sw i t ht h ee n c l i dn o r mo f t h ep u r t u r b a t i o nm a t r i c e s ，a n di tw a st h eb e s tc o n c l u s i o nf o rt h ee r r o re s t i m a t i o n w h i c h b a s e do nt h ef l o a to p e r a t i o no ft h eo r t h o n o r m a lt r a n s f o r m s o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e db y 9 】， 1 2 】i nt h ep a p e rw e s t r e n g t h e nh w sa n dw u sr e s u l t s ，c o n s i d e r a b l y , w eg i v et h e i ri n v e ri n e q u a t i o n a n dt h e i rc o n v e n i e n tp r o o f ，t h e nw ee x t e n di tt ot h ei n e q u a l i t yo fs i n g u l a rv a l u e s o fa r b i t r a r ym a t r i c e s f o u rs e c t i o n sa r ef o l d e di nt h i st h e s i s s e c t i o n1g i v e s1 1 8a l li n t r o d u c t i o no f t h eb a s i cc o n c e p t i o no fh - wt h e o r e ma n dl o o k sb a c kt h ef o r m e rw o r k so ft h i s a r e a i ns e c t i o n2 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ec l a s s i c a lh wt h e o r e ma n ds o m e o t h e rd e f i n i t i o n s w ed i s c u s st h es y m m e t r i cf o r mo fh wt h e o r e ma n dg e n e r a l i s e i tt ot h es u m m a t i o no fm a t r i xi ns e c t i o n3 t h el a s tp a r tp r e s e n tt h es i n g u l a r i n e q u a l i t i e sf o rt h er a n d o mm a t r i c e sw h i c hi n c l u d et h ed i f f e r e n c ea n ds u m m a t i o n o ft h em a t r i c e sa n dt h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ep r e s e n t e d 英文摘要 k e yw o r d s ：s i n g u l a rv a l u e s ，e i g e n v a l u e s ，i n e q u a l i t y , s u m m a t i o na n d d i f f e r e n c eo fm a t r i x e s 1 u 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ： 年 杆裙科呜 月 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密() ( 请在以上相应括号内打” ) 篡鬻 导师签名：审抛“励 1 j ， ，汐 月月 ，6 o 年年 矽钉厂 磁 纱 羽朝期期 第一节引言 第一节引言 1 一研究背景 矩阵有着悠久的发展历史和极其丰富的内容，作为一种基本的数学工具，矩阵 在数学学科与其它科学技术领域，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、 运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用，甚至在经济管理、社会科学等方 面，矩阵也起着十分重要的作用现代科学技术的发展，特别是电子计算机技术的发 展，为矩阵的应用开辟了更广阔的前景 矩阵的奇异值和特征值的估计问题始终在数值代数和矩阵理论中占有十分重要 的地位而矩阵最小奇异值和矩阵最大特征值的估计是矩阵分析中的重要课题之一， 对其研究具有重要的理论意义和应用价值它们研究的问题般包括：单个矩阵特征 值( 奇异值) 之间的关系问题，多个矩阵之间特征值( 奇异值) 关系的问题，矩阵范 数与特征值的关系问题，矩阵特征值( 奇异值) 的界的估计问题等等；例如在迭代求 解线性方程组时，我们往往需要估计矩阵的谱条件数特别地，在线陛方程组的解 的扰动分析，特征值问题的扰动分析等问题中都会遇到矩阵的条件数因此给出矩 阵条件数的估计对研究各种矩阵问题的扰动问题的扰动分析有重要意义，其中对奇 异值的下界估计是个估计矩阵谱条件数的关键的数奇异值的下界估计在其他许 多领域中也是个极重要的课题，因而有很重要的理论和实际应用价值，因此最小 奇异值下界的估计一直是普遍关注的问题16 0 多年来，矩阵特征值( 奇异值) 问题 的研究已经取得了许多丰硕的成果，文【1 7 】、 1 8 】、【1 9 】、 2 0 】、 1 5 】、 1 6 】等 著作都对矩阵特征值问题的理论和方法进行了总结 1 9 6 4 年，a s h o u s e h o l d e r 在t h et h e o r yo fm a t r i c e si nn u m e r i c a la n a l y s i s 文中作了详细的论述，主要讨论了些基本工具，从矩阵分裂和模的理论 的角度来分析特征值的局部化理论，并给出了值域的般结果及若干不等式1 9 6 5 年，j h w i l k i n s o n 在t h ea l g e b r a i ce i g e n v a l u ep r o b l e m 中作了系统而又精 第一节引言 2 辟的阐述，作为本专门研究特征值的著作，作者用摄动理论和向后误差分析方法 系统地论述代数特征值问题以及有关的线性代数方程组的各种解法，并对方法的性 质用了透彻的分析接下来，c h a t e l i n ，g h g l o u b ，c f v a n l o a n 等人又进步 完善了该理论 矩阵特征值的计算与估计在理论和应用上都是十分重要的，但要精确计算特征 值并非总有可能代数特征值问题一直以来都具有很重要的地位，虽然特征值问题 具有貌似简单的提法，而且其基本理论多年来已为人们所熟知；然而欲求其精确解 就会遇到各种挑战性问题即使在某些特殊情况下有可能，付出的代价也会太大 而在很多应用方面往往不必精确计算特征值，只需有个相略的估计就够了，或者 给出它的个上界或下界，以达到我们预期的目的例如，当研究个迭代法的收敛 性时，便要判断迭代矩阵的特征值是否都落在单位圆内关于特征值界的估计，已有 些经典的结论，1 9 0 2 年，h i r s c h 给出了特征值的模、实部和虚部的范围，1 9 0 9 年，s c h u r 又提出了特征值估计的s c h u r 不等式 2 】，还有众所周知的f r o b e n i u s 估 计式【3 】3 等等这些估计式都是从矩阵的元素结构上给出了特征值的范围，般范围 并不十分明确，需要些值的最大( 小) 值，且估计的范围较大另外，应用矩阵的迹 来估计特征值的界，自2 0 世纪8 0 年- 4 t ：以来，国内外已有大量的成果，【1 】、【2 】、 3 】， 4 】是从矩阵特征值的均值的标准差与矩阵迹的关系来确定特征值的简单实用 的上、下界； 5 】、 6 】、 7 】等是从矩阵的秩与迹的关系式来讨论问题的，由于前 者没有后者那么多限制条件，因而其结果的使用范围很广；在文献【3 1 】、【3 3 】中对 非负阵的p e r r o n - r o o t s 的上下界作了比较精确而又简单的估计等等 以上研究的都是单个矩阵的特征值问题，而对于多个矩阵特征值、奇异值关系 问题也有了大量的研究在早期，w e l y ，c o u r a n t 和f i s h e r ，w i e l a n d t 和h o f f a m a n 等为相关的研究做了大量的工作；另外文献 3 2 】等也讨论了两个对称矩阵积的奇异 值与特征值的上下界1 9 5 3 年，a j h o f f a m a n 和h w w i e l a n d t 给出了两个 矩阵差的特征值关系，即著名的w - h 定理 第一节引言 3 定理1 1 文献【9 】w - h 定理： 设a ，b ，e 都是n n 实对称阵，它们的特征值似大到小的次序排列夕分别为 q 1 q 22 q n ，风岛风，饥饱柏若b = c - a ，则 ( m 一啦) 2 群= i i b i i 刍 ( 1 1 ) i = li = 1 a j h o f f a m a n 和h w w i e l a n d t 是基于线性规划的理论证明了这一定理， 后来j h w i l k i n s o n 在t h ea l g e b r a i ce i g e n v a l u ep r o b l e m 文中用纯代 数的方法证明了这一定理，该方法虽然不甚巧妙但较为初等，它实际上应该归功于 g i v e n s ( 1 9 5 4 ) ；蒋尔雄在文【1 0 】中给出了w - h 定理的个简化证明，孙继广在矩 阵扰动分析也给出了另一种证明方法 这一定理很陕的成为数值代数和计算数学的中心内容之一，并引起许多学者的 兴趣，它有着比较广泛的应用，特别是在误差估计方面设a 是个方阵，a + b 是它的扰动矩阵，a 是a 的特征值，页是a + b 的特征值，关于特征值的传统误差 界是估计l a 一天i 的上界，对此上界的估计有多种类型，而其中一种就是w i e l a n d t - h o f f a m a n 型的，具体的如下： 1 ) b a u e r - f i k e 型：用谱范数界定矩阵特征值与其扰动矩阵特征值的误差界即 m i n a a i 2 ) w i e l a n d t h o f f a m a n 型：用f r o b e n i u s 范数界定矩阵特征值与对应的按一定 顺序排列的其扰动矩阵特征值的所有距离的平方的平方根即： 也就是若记c = a + b ，b 的特征值为m 则有 ( 1 2 ) ( a - x ) 2s 督= | i b i l 刍 ( 1 3 ) i - - - - 1i = 1 3 ) w e y l 型：用谱范数界定所有的矩阵与其扰动矩阵的第i 个特征值之间距离的 最大者，即m a x 入一天i ，其中矩阵的特征值按非减的顺序排列 第一节 引言4 以上的测量误差的方法统称为绝对扰动界，绝对扰动界可以转化为相对扰动界， 相对扰动界通常用以下三槲来度量：吲，若翥，赫另外在【2 1 】中， 孙继广研究了正规矩阵的谱扰动，给出了个h o f f m a n - w i e l a n d t 型不等式， 2 2 】 将 2 1 】中结果加以推广，得到了可对角化矩阵的相应扰动定理后来，这方面的研 究工作又取得了一些新的成果【2 3 】【2 4 在文【2 5 中，建立，11 个矩阵范数不等 式，然后将它们用于可对角化矩阵( 正规矩阵) 的谱扰动，导出几个新的h w 型扰 动因j 比这个定理在矩阵扰动方面有着广泛的应用，文【2 7 】孙继广关于w i e l a n d t - h o f f a m a n 定理和文【2 6 】伍俊良关于w i e l a n d t h o f f a m a n 定理的些结果等也推广 了、矶h 定理的结果 本文所作的研究主要是在w - h 定理的基础上，找出它的对称形式，并推广到 了奇异值的情形首先，在h w 定理及文【1 2 】的基础上，更进步的得到了h w 的反向不等式，即它的对称形式，并结合控制论的知识给出了相当简洁的证明，同时 把文 1 2 】中矩阵和的特征值不等式推广，同样得到了它的对称形式，即它的下界 最后，把原先讨论的对称阵的特征值的不等式推广到任意的m 死阶矩阵的奇异值 不等式，在原有的不等式上利用构造对称阵的方法巧妙的证明了奇异值不等式的成 立，并给出了数值例子 第二节定义及预备知识 5 第二节定义及预备知识 在本节开始之前，我们先引入以下几个常用也是最基本的概念，然后给出了几 个必要的引理和定理 定义2 1 a = ( a i j ) 是实对称的，如果a i j r ，且a i j = i ，i = 1 ，死；j = 定义2 2 h e r m i t e 矩阵a 的特征值的非负平方根称为矩阵a c m x n 的 奇异值 定义2 3 设矩阵a c 肌，使得a x = 入z ，则入叫a 的特征值，z 叫做a 的属于特征值a 的特征向量a 的所有特征值的全体，叫做a 的谱仰e c 化叫， 记作入a 定义2 4 对于a = ( ) c m n ，令| i a 怯= 丽，则它是一种范 数，称作矩阵a 的f r o b e n i u s 范数 定义2 5 对任意的q = ( a 1 ，q 2 ，q 3 ，q n ) t 舻，记它按从大到小的j l 颐序 排列为q 【1 1 q 【2 】q 【n 】设q ，p 舒，且向量p 中的元素按从大到小的顺序 排列为1 1 f l 2 2 p n 若满足 七七 fq 【司f 以k = 1 h 2 一，n ( 2 1 ) z 一 一z ， 、7 i - - - 1i = 1 则称p 弱控制q ，记为q 三卢若q5p ，且 则称p 控制q ，记为q p f in fq 嘲：f ：一二一。 t = 1i - - - 1 在引入了上述的几个定义之后，我们来看h o f f a m a n - w i e l a n d t 定理 ( 2 2 ) 第二节定义及预备知识 6 定理2 1 ( h w 定理) 设b = c - a ，a ，b ，e 都是仡扎实对称阵，它们的特征值似大到小的次序排 列j 分别为q t ，屈，m ( i = 1 ，2 ，佗) 则a ，b , c 的特征值之间有如下的关系成立。 ( 2 3 ) 证明：可参见文献【9 】；【1 0 】；【1 5 ，另外在文献 3 5 】中给出了它的一种简化证明， 其证法将在定理3 1 ，3 2 中得以体现 口 另外在文献【1 2 】伍俊良，刘飞实对称矩阵和与差的一j 些特征值与f 一范数不 等式_ 文中，给出了两个矩阵和的特征值不等式 定理2 2 ( 参见文献【1 2 】) 设4 ，b ，g 都是礼n 实对称阵，它们的特征值纵大到小的次序排列j 分别 为q 1 q 2 q n ，n 侥2 风， f l 7 2 舶如果b = c + a ， 则a ，b ，c 的特征值之间有如下的关系成立； ( 2 4 ) 证明：对于本定理可分为两种情况加以证明，即a 为正定的特殊情况和a 为 非正定的情况 1 ) 假设a 是正定的，由于a ，b ，c 都是n n 实对称阵，则分别存在正交 阵只，岛，b ，使得：a = p d i a g o q ，a 2 q n 】r ；b = p d i a g 屏，仍风】尼； c = 可d i a g y 1 ，他】尼由于a 是正定的，则有啦0 ，( i = 1 ，2 ，n ) 显 然有 t r b 2 = t r ( p d i q 9 【钟，鹾熊】p 2 ) = 群 ( 2 5 ) 2 f b= 砰 n 甜 一 2 q 一 依 n 甜 尸 啦 + 仉 n 试 0 ，使得a 十出为正定阵( j 为 n n 阶的单位阵，b + d i 可为正定阵也可为非正定阵) ，则由1 ) 有 n t ln ( 屈+ d ) 2s ( 竹+ q i + d ) 2 = ( m + q t ) + d 】2 ( 2 1 1 ) i = li = 1 i = 1 nn 将屈= t r b = t r ( c + a ) = ( + 啦) 2 代入( 2 1 1 ) ，有 i = li = 1 口 故结论成立 本定理的证明过程可参见文献【1 2 】( 伍俊良，刘飞实对称矩阵和与差的一些特 征值与f 范数不等式) 不难看出这结果与w i e l a n d t h o f f a m a n 的结果具有某 叱+ 仉 住试 一 绔 n 汹 第二节定义及预备知识 9 种形式上的对称性，其意义是直观的前者为两个矩阵差的特征值不等式，它表明 了两个实对称矩阵差的特征值平方和的下界，而后者为两个矩阵和的特征值的不等 式，它表明了两个实对称阵和的特征值的上界 第三节实对称阵和与差的特征值不等式 1 0 第三节实对称阵和与差的特征值不等式 在第二节介绍的两个定理的基础上，我们得到了两个矩阵差的特征值平方和的 上界即w h 定理的对称形式，并对它进行了比较简洁的证明；另外又得到了两个 矩阵和的特征值的下界，这与文献 1 2 】的结论形成了个对称形式的结论，在引入 结论之前我们先来看如下定义及几个引理 定义3 1 伶见文献砂设p = ) 为nx 佗矩阵，满足 p = ) 0 ，i ，j = 1 ，佗 ( 3 1 ) p i j = 1 ，i = 1 ，n ( 3 2 ) j = l p i j = 1 ，j = 1 ，佗 ( 3 3 ) t = 1 则称p 为双随机矩阵由定义知双随机阵有如下几个性质： 若只，尼为两个双随机阵，且b 与马可乘，那么p x 最也是双随机阵； 砂若q = ( ) 为正交阵，则它的h a d m d m r d 乘积p = q oq = ( 磅) 是双随机 阵 圳双随机阵全体构成一个凸集，即设只，p 2 为任意的两个双随机阵，0 q l ， 则q 只+ ( 1 一q ) p 2 也是双随机阵 为了应用双随机阵特征向量的受控关系，我们还需要t 一变换的概念个线性 变换t 的矩阵如果具有形式 t = a 厶+ ( 1 一a ) q ，a 【0 ，1 】( 3 4 ) 则称该变换为t - 变换，其中q 为恰好对换两个坐标的置换阵因为t 是两个 双随机阵厶和q 的组合，所以t 也是双随机阵 易见，当q 是对换第j 和第k 个坐标的置换时0 七) ， t x = ( z 1 巧一1 ，, x x j + ( 1 - , x ) x 七，巧+ l ，z 七一1 ，a x 七- t - ( 1 - a ) x j ，x k + l ，x n ) t 第三节实对称阵和与差的特征值不等式 1 1 引理3 1 设z y i 现在 选择歹和易使得 协 巧x k y k 记d = r a i n ( y 1 一巧，钆一纨) 和a = 1 一志，显然0 入 1 则向量 歹= ( y l 协一1 ，y 1 一d ，协+ 1 ，弧一1 ，玑+ d ，y 七+ 1 ，) t 可表为歹= a y + ( 1 一a ) q 可= ( 入，+ ( 1 一入) q ) 可= t y ，其中q 为交换第j 和第k 个坐标的置换阵现在我们证明；x 一 珧 。汹 l i 玑 。汹 第三节实对称阵和与差的特征值不等式 1 2 综合以匕三式知：z 矿 对任意两个佗维向量p 和”，我们用( p ，u ) 表示地协的i 的个数因为当 d = y l q 时歹= 吻，而当d = x h 一玑时，蟊= x k ，于是n ( x ，刃n ( x ，y ) 一1 即对可施个p 变换后，既有x 多= t y ，又使歹与z 的对应分量不相等的分 量个数少了j 个故将经有限次弘变换之后，可得到矗( 本定理的证明是参考 文献 8 1 ) 口 引理3 2 对任意的z ，y 舻，z y 兮存在双随机阵只使得x = p y 证明：参见文献 s l ，p 1 8 9 ，定理8 1 4 必要性因为t 矩阵是双随机阵，因 此瓦t 1 也为双随机阵故由引理3 1 立得必要性 充分性由受控的置换不变性，我们不妨设x l x 2 z n ，y 1 y 2 y n 因 x 产p i j y j = 如协， i = 1i = 1j = z j = z 其中 kn 0 t j = 1 ，t j = k i = 1 j = z 于是 x i 一y i = 屯犰一犰 i = 1i = li = 1i = 1 nkn = 如犰一饥+ y k ( k 一t i ) i = li=l扛=l kn = ( 岛一1 ) ( 犰一可知) + t i ( y i 一可七) i = 1i = k + 1 k 2 ，把七1 ，尼2 ，k ， 换成乜，k 1 ，k ，则 a l b k l + a 2 b k 2 + + 口n 6 七。 - ( a l b k 2 + a 2 b k l + + o n b k 。)= n l k l + a 2 b k 2 一a l b j , 2 一a 2 b k l = ( a l n 2 ) ( 玩。一k 。) 0 因此， ( 3 8 成立 再由( 3 6 ) 证明( 3 7 ) 因为 口l 口2 ，一6 1 一6 2 一k 第三节 实对称阵和与差的特征值不等式 1 4 即由( 3 6 ) 可得 a ，( - b j 。) + + a i 。( - b j 。) 0 1 ( 一k ) + + a n c - h ) 把匕式两边除以一1 ，即知( 3 7 ) 成立 口 引理3 4 设x l x 2 x n ，y l y 2 玑，且z 一 弘则对任意实 数组”12 让2 仳n ，有 讲1 u 2 - i + 1 i = 1 i = l 证明：参见( 文献【1 1 】控制不等式基础，只5 ，定理1 2 3 ) 有了以上的四个引理之后，我们得到了如下的两个定理： ( 3 9 ) 口 定理3 1 设a ，b ，g 都是nxn 阶实对称阵，它们的特征值纵大到小的次序 排列j 分别为o r l q 2 o t n ，角2 侥风，y 1 仇竹如 果b = c + a ，则a ，b ，c 的特征值之间有如下的关系成立： ( 讲1 + ) 2 i = 1 i = 1 ( 3 1 0 ) 证明：定理的右端就是定理2 2 的结论，在这不再作证明；这里通过控制论的知 识对它的左端作出了比较简洁的证明由于以，e c 都是n x n 实对称阵，则分别存在 正交阵只，马，b ，使得：a = p t d i a g a 1 ，o r 2 q n 】p 1 ；b = 可以a 9 慨，岛风】岛； c = p a m d i a g ? x ，仇】岛显然有 t r b 2 = t r ( p ，出。夕 所，鹾穰】恳) =( 3 1 1 ) p +仉 n 汹 一 q + 叫矗 n：l 一 q n 试 j ie ar 尸 瓴+ 仉 n 斟 一辟 n 曲 一 户 叱+h叶 n：l 成立，具体可参见文献 2 8 】 定理3 2 设a ，b ，g 都是nx 礼阶实对称阵，它们的特征值似大到小的次序 排列j 分别为0 l l q 2 o t n ，尻仍风，饥他仇如 果b = c - a ，则a ，b ，c 的特征值之间有如下的关系成立： ( 3 1 4 ) 其中不等式的左端就是著名的w - h 不等式，具体可参考文献【9 】 1 0 】 1 5 】，在文 献【9 】中有了详细的证明，【1 5 】给出了纯代数的证明，文献【l o 给出了它的个简 化证明；同样这里仅仅对该不等式的右端给予证明，其证明方法与定理3 1 类似 证明：对不等式的右端给予证明，因a ，b ，c 都是死n 实对称阵，则分别存在正 交阵只，恳，b ，使得。a = p d i a g q l ，0 1 2 q n 】只；b = 夏d i n 9 慨，岛风】恳； c = p ：；r d i a g h ，仇】b 显然有 同理 又 t r b 2 = t r ( p ；r d i a g 所，鹾穰】b ) = t r a 2 ： 竹 q ； t r c 2 = 曾 t r b 2 = t r ( c a ) 2 = t r ( c 2 + 印一2 a c ) = i - - - - 1 n i = l曾+ 2 2t = 1 n 从而欲证( 3 1 4 ) 式成立，只需证明t r ( a c ) ( q t 一件1 ) 即可，而 i = 1 t r ( a c ) = ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) f l ( a c ) i = l t r ( p d i a g ( a 1 ，o r 2 ，口n ) p 1 可击0 9 【7 1 ，仇】b ) = t r ( d i a g ( ( ，q 2 ，q 。) 】p 1 可比n 夕h ，7 2 】b 可) d件一 一 陋 n ! i 一 q +叫靠 n 汹 一 q n 汹 = c ar 第三节实对称阵和与差的特征值不等式 所以 即： n ( 屈) 2 t = 1 t r ( b 2 ) t r ( a c ) 2 t r a 2 + t r 俨一2 t r a c q t ) 2 + ( 一件1 ) 2 2 a l 钿 t = 1t = 1 n n q t ) 2 + ( 一t + 1 ) 2 2 ( 一件1 啦) i = 1i = 1 一一件1 ) 2 口 至此，我们得到了矩阵和与差的特征值不等式，接下来我们来看如下个数值 实例，以5 阶的实对称矩阵作为例子，其中a ，b 都是对称阵，c ，d 是a 的扰动 矩阵，即c = a + b ；d = a - b 仞1 - 7 - 3 1 设 a= 3 0 0 0 0 9 0 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0 0 0 04 0 0 0 0 9 0 0 0 0 3 0 0 0 0 9 0 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0 0 0 0 6 0 0 0 0 9 0 0 0 0 3 0 0 0 0 9 0 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0 0 0 0 6 0 0 0 0 9 0 0 0 0 3 0 0 0 0 9 0 0 0 0 4 0 0 0 0 7 0 0 0 0 6 0 0 0 0 9 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 9 n学兽汹 n 厂 - 一 啦 n：i 一 辟 。汹 一 尸 仉 一 n：i 第三节实对称阵和与差的特征值不等式 则 b= - 1 0 0 0 0 0 0 7 3 5 0 3 2 11 - 0 9 8 0 8 0 3 3 2 4 - 0 0 7 3 50 9 8 8 10 8 111一o 3 0 0 5 一o 4 4 3 8 - 0 3 2 1 10 8 1 1 10 8 0 3 3- 0 3 5 1 50 1 4 5 4 - 0 9 8 0 8 - 0 3 0 0 5 0 3 5 1 5 - 0 2 3 2 50 7 2 4 7 0 3 3 2 4 - 0 4 4 3 8 0 1 4 5 4 0 7 2 4 70 2 0 8 2 c = a 上b = d = a b = 2 0 0 0 0 8 9 2 6 5 5 6 7 8 9 6 0 1 9 2 3 6 6 7 6 8 9 2 6 5 3 9 8 8 19 8 1 1 15 6 9 9 5 6 5 5 6 2 5 6 7 8 99 8 11 13 8 0 3 3 8 6 4 8 5 6 1 4 5 4 6 0 1 9 2 5 6 9 9 5 8 6 4 8 5 2 7 6 7 5 9 7 2 4 7 3 6 6 7 6 6 5 5 6 2 6 1 4 5 4 9 7 2 4 7 3 2 0 8 2 4 0 0 0 0 9 0 7 3 56 3 2 117 9 8 0 8 4 3 3 2 4 9 0 7 3 52 0 11 98 1 8 8 9 6 3 0 0 5 7 4 4 3 8 6 3 2 118 1 8 8 9 2 1 9 6 7 9 3 5 1 5 5 8 5 4 6 7 9 8 0 8 6 3 0 0 5 9 3 5 1 5 3 2 3 2 5 8 2 7 5 3 4 3 3 2 4 7 4 4 3 8 5 8 5 4 6 8 2 7 5 3 2 7 9 1 8 我们可以通过m a t l a b 很快的算出矩阵a ，b ，e d 的特征值伸小到大排列) 分别 为， q ( a ) = ( - 9 2 2 2 0 ，- 4 2 3 6 1 ，- 3 7 1 7 6 ，o 2 3 6 1 ，3 1 9 3 9 6 ) ； 7 ( b ) = ( - 1 7 7 0 4 ，- 0 5 6 8 2 ，o 1 1 4 8 ，1 0 6 6 6 ，1 9 2 4 3 ) ； z ( c ) = ( - 9 2 0 1 9 ，- 4 9 6 2 8 ，- 3 3 3 1 4 ，1 4 7 1 7 ，3 1 7 9 1 6 ) ； z ( d ) = ( - 9 2 6 1 2 ，- 4 7 2 9 6 ，- 3 3 6 9 4 ，- 0 6 1 6 9 ，3 2 2 0 9 9 ) ； 可以算出( q 5 一+ 1 + 他) 2 = 9 8 6 6 ，呢= 1 1 3 3 3 ，( 啦+ ) 2 = 1 3 0 5 4 i = li = 1i = 1 555 ( 一m ) 2 = 9 8 5 3 ，藤i = 1 1 5 7 4 ，( q 5 一件1 一m ) 2 = 1 3 0 4 1 第三节实对称阵和与差的特征值不等式 2 1 计算的结果显然满足( 3 1 0 ) ，从实验的结果来看，我们得到的界都比较接近，这 个结论还是比较好的至此，我们在h w 定理及文献 1 2 】的基础上得到了对称特 征值和与差的完整的不等式，更进步的完善了w h 不等式有了上述的不等式作 为基础，在下一章节中，我们把对称矩阵的推广到对任意mx 礼阶矩阵和与差的奇 异值不等式 第四节任意mxn 阶矩阵和与差的奇异值不等式 2 2 第四节任意n 阶矩阵和与差的奇异值不等式 本节我们用构造对称阵的方法，巧妙的把原来对称矩阵和与差的特征值不等式 推广到任意mxn 阶矩阵和与差的奇异不等式它们的形式与( 3 1 0 ) ( 3 1 4 ) 的结论 的形式几乎是一样的 定理4 1 设a ，b ，c 为佗阶实矩阵，它们的奇异值从大到小排列为1 已 2 矗，o 1 0 2 a n ，r h 啦，如果b = a + c ，则有 a 7 = ( 三等) 显然它是个2 n 阶的实对称阵，且它的2 n 个特征值从大到小排列为 6 已靠2 一厶一厶一1 一1 ， 同样，对于任一礼阶的实矩阵b ，g 可构造各自的实对称阵b 7 ， b 7 = ( 三：)c 7 = ( 三：) 口l 盯2 一一一1 - - u 1 ， 叩1 啦2 一一一1 - r h ， ( 4 1