（运筹学与控制论专业论文）若干非线性问题本质连通区的存在性.pdf

摘要 本文讨论若干非线性问题解的通有稳定性及其解集的本质连通区的存在性 全文共分三章： 第一章，预备知识其中，集合知识介绍了拓扑空问中集网的收敛性及其极限集、集合问的 h a u s d o r f f 距离、以及集合的b a i r e 分类等三个方面；凸分析部分简单介绍了凸集和凸函数及其 性质；集值分析部分主要介绍单值映射的半连续性以及集值映射的半连续性、闭性和紧性；而 不动点部分则介绍了单值映射和集值映射的若干著名的不动点定理及其等价形式 第二章，先给出拟变分不等武本质连通区的存在性，然后以此为出发点，证明集值映射 不动点集本质连通区的存在性、f a nk y 点集本质连通区的存在性和广义对策平衡点集的本 质连通区的存在性；接着由不动点集本质连通区的存在性导出最佳回应拓扑下n a s h 平衡点 集和广义对策平衡点集本质连通区的存在性，而最佳回应拓扑与一致拓扑是不等价的、不能 从一种推出另一种；最后由f a nk y 点集和广义对策平衡点集本质连通区的存在性推出一致 拓扑下n a s h 平衡点集本质连通区的存在性。 第三章，考虑向量值非线性问题。先给出向量拟平衡问题解集本质连通区的存在性结果， 融此为基础分别导出多目标广义对策弱p a r e t o - n a s h 平衡点集和向量平衡问题解集本质连通 区的存在性，然后由此二者导出一般多目标对策p a m m n a s h 平衡点集本质连通区的存在性。 关键词：h a u s d o r f f 距离，本质连通区，拟变分不等式，n 人非合作对策，n a s h 平衡点，向 量拟平衡问题，广义多目标对策 a b s t r a c t t h i st h e s i si sa i m e dt od i s c u s s t h eg e n e r i cs t a b i l i t ya n de x i s t e n c eo ft h e e s s e n t i a l l yc o n n e c t e dc o m p o n e n t sr e l a t i v et os e v e r a ln o n l i n e a rp r o b l e m s i tc o n s i s t so f t h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1 i st h ep r e l i m i n a r i e s f i r s t l y , w er e c a l ls o m en o t i o n sa n dr e s u l t sa b o u t s e tt h e o r y , i n c l u d i n gc o n v e r g e n c eo fs e tn e ta n di t sl i m i ts e t i nt o p o l o g ys p a c e ， h a a s d o r f fd i s t a n c eb e t w e e ns e t sa n db a i r e sc a t e g o r ya b o u ts e t s s e c o n d l y , i nc o n v e x a n a l y s i s ，c o n v e xs e t ，c o n v e xf u n c t i o na n di t sp r o p e r t ya r es i m p l yi n t r o d u c e d t h i r d l y , t h es e m i c o n t i n u i t y , c l o s u r e ，c o m p a c t n e s so fs e t v a l u e dm a p sa r ei n t r o d u c e di n s e t - v a l u e da n a l y s i s f i n a l l y , s o m ef a m o u sf i x e dp o i n tt h e o r e m sa r er e c a l l e d i nc h a p t e r2 ，w es t a r tw i t ht h ee x i s t e n c eo ft h ee s s e n t i a l l yc o n n e c t e dc o m p o n e n t o fq u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , d u et ot h i sr e s u l tw ep r o v e dt h a to ff i x e dp o i n ts e to f s e t - v a l u e dm a p s ，o fk yf a n sp o hs e ta n do fe q u i l i b r i u ms e to fg e n e r a l i z e dg a m e s t h e n , b yt h ee x i s t e n c eo ft h ee s s e n t i a l l yc o n n e c t e dc o m p o n e n t o ff i x e dp o i n ts e t i n b e s t - r e p l yt o p o l o g yc a s e ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo f t h ee s s e n t i a l l yc o n n e c t e dc o m p o n e n t o fn a s he q u i l i b r i u ms e ta n do fe q u i l i b r i u ms e to fg e n e r a l i z e dg a m e s ，w h i l et h e b e s t - r e p l yt o p o l o g yi sd i f f e r e n tf r o mt h eu n i f o r mt o p o l o g y , i e t h e yc a n ti n c l u d ee a c h o t h e r f i n a l l y , d e d u c e df r o mt h ee x i s t e n c e so f t h ee s s e n t i a l l yc o n n e c t e dc o m p o n e n to f k yf a n sp o i n ts e ta n do fe q u i l i b r i u ms e to fg e n e r a l i z e dg a m e ，w eg e tt h a to fn a s h e q u i l i b r i u ms e ti nu n i f o r mt o p o l o g yc a s e i nc h a p t e r3 ，w ec o n c e n t r a t eo u rc o n s i d e r a t i o n so ns o m ev e c t o r - v a l u e dn o n l i n e a r p r o b l e m s w ef i r s tg i v et h ee x i s t e n c eo ft h ee s s e n t i a l l yc o n n e c t e dc o m p o n e n to f s o l u t i o ns e to fv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，t h e nb yt h i sr e s u l tw eg e tt h e e x i s t e n c eo ft h ee s s e n t i a l l yc o n n e c t e dc o m p o n e n to fs e to fw e a kp a r e t o - n a s h e q u i l i b r i u mp o i n t so fg e n e r a l i z e dm u l t i o b j e c t i v eg a m e s a n do fs o l u t i o ns e to f v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m , f r o mw h i c ht h ee x i s t e n c eo ft h ee s s e n t i a l l yc o n n e c t e d c o m p o n e n to f g e n e r a lm u l t i - o b j e c t i v eg a m e si sf i n a l l yd e d u c e d k e y w o r d s ：h a u s d o r f fd i s t a n c e ，e s s e n t i a l l y c o n n e c t e d c o m p o n e n t ， q u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , n - p e r s o n a ln o n c o o p e r a t i v eg a m e s ，n a s he q u i l i b r i u m ， v e c t o rq u ，函- e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，g e n e r a l i z e dm u l t i o b j e c t i v eg a m e s i i i 前言 早在d a n t i g z 提出线性规划的单纯形方法时，就有人指出“世界是非线性的”胸确，现实 世界中非线性问题现象比比皆是大到日月星辰等天体的运行是非线性的，生物的繁衍和进化 是非线性的，甚至连社会和经济的发展与衰退，股市的升跌，天气的变化都是非线性的，小到人 的心理与生理变化，人与人之间的关系，光的传播都是非线性的正因为非线性现象如此普遍， 概括为非线性分析的数学问题的内容也日益丰富，非线性分析学研究对象和方法的发展表明 非线性分析的地位日益重要 非线性问题的分析和解决大多会围绕两个突出的问题：1 泛函的极值；2 方程的解变分 方法已将这两个问题紧密地联系在一起，而变分不等式与不动点方法则成为研究这两个中心 问题的重要工具泛函的极小值问题可以通过泛函的梯度和g a t e a u x 微分转化为变分不等式 问题，这就莫定了包括由s t a m p a e c h i a , l i o n s ，f a n k y , 和e k e l a n d 所提出的变分不等式作为基本 形式的变分不等式理论的基础同时一些泛函的极值在一定条件也可以转化为不动点的存在 性和唯一性问题而方程的解，除了可通过变分法转化为泛函的极值外，与不动点更是具有最 直接的关系因此不动点理论与变分不等式理论已成为非线性分析的重要内容，它们已经在偏 微分方程、力学、控制论、凸分析、经济平衡理论以及对策论等领域获得了极为成功的应用 在非线性理论的结果不断涌现的同时，对策论( 也称博弈论) 也取得了突飞猛进的发展。 并逐渐成为经济学的重要组成部分著名经济学家保罗- 萨缪尔森( p a u l s a m u e l s o n ) 强调说： “要想在现代社会作一个有文化的人，你必须对博弈论有一个大致了解”而另一位著名经济 学家泰勒( j t i r o l e ) 则说：“正如理性预期使宏观经济发生革命一样，对策理论广泛而深入 地改变了经济学家的思维”实际上，经济学家将对策理论应用于经济学已经取得了巨大的 成功，以下的事实可以让我们窥一斑而知全貌1 9 9 4 年，n o b e l 经济奖授予哈萨尼( h a r s a n y i ) 、 纳什( n a s h ) 、泽尔腾( s e l t e n ) ，主要是因为他们在非合作博弈平衡的分析的研究中做出了 开创性的贡献1 9 9 6 年, n o b e l 经济奖授予马尔利斯( m i r r l e e s ) 和威克瑞( v i c k r e y ) ，主要是 因为他们在非对称信息条件下激励理论的研究中，做出了开创性的贡献2 0 0 1 年，阿克洛夫 ( a k e r l o f ) 、斯班思( s p e n c e ) 、斯蒂格利斯( s 堍l i t z ) n 为他们在非对称信息市场的研究中的 开创性的贡献而获得n o b e l 经济奖1 9 9 6 年和2 0 0 1 年两次获奖的工作都属于信息经济学的领 域，而从本质上讲，信息经济学是非合作博弈理论在经济学中的一个重要应用而在2 0 0 2 年，史 密斯( s m i t h ) 则因实验经济学的开创性研究而获得n o b e l 经济奖实验经济学的产生是与对 策论联系在一起的，涉及以人为研究对象来支持和反驳经济模型和理论的理性预测能力对策 论是运筹学的一个重要分支，而非合作理论在其中处于基础和核心的地位非合作对策中最重 要、最核心的概念是n a s h 平衡 严格地说，对策论作为数学的一个分支并不是指在经济学中得到应用，事实上它是种科 学方法，应用范围不仅包括经济学、政治学、外交、国际关系，甚至还有犯罪学、公共关系学、 心理学以及生物进化论等都涉及到对策论而对策论逐渐被视为经济学的一部分，主要是因为 经济学是对策论应用最广泛、最成功的典范总之，经济学与对策论已经变得越来越密不可分 了 为什么说对策论及数理经济学与非线性分析有密切联系呢? 这是因为非线性分析中的 不动点定理和变分不等式理论是数理经济学中许多重要结果证明的关键事实上，经济学中学 多平衡的存在性和稳定性都依赖于不动点理论有关方法这不仅限于b r o u w e r 不动点定理，许 多无限维形式的不动点定理，如t y c h o n o v - s c h a u d e r 、k a k u t a n i 、f a n - b r o w d e r 、f a n - g l i c k s b e r g 等不动点定理均在这一领域取得了极其成功的应用 无论是变分不等式还是b r o u w e r 、k a k u t a n i 不动点定理都不能保证其解的唯一性，因此以 其为基础的对策平衡点、经济平衡一般也不满足唯一性，这就涉及平衡点如何选取的问题，即 平衡点的精炼问题1 9 5 0 年，f o r t 首先引入了本质与非本质不动点的概念以讨论映射不动点 集的稳定性之后日本学者k i n o s h i t a 于1 9 5 2 年又对映射的不动点集引入了本质连通区的概 念上世纪6 0 年代，我国学者吴文俊、江嘉禾将本质平衡的概念引入到对策理论，接着江嘉 禾又对不存在本质平衡的对策引进了本质连通区的概念，并得出了若干重要结论在国外针 对对策的n a s h 平衡点的精炼，自从s e l t e n 于1 9 6 5 年、1 9 7 5 年考虑了某种“颤抖”或“扰动” 之后，又有许多学者提出了不同的精炼方法1 9 8 6 年，k o h l b e r g 和m e r t e n s 提出了这样的问题： 一个稳定的n a s h 平衡点应该满足哪些公认的条件? 这是公理化的方法，经过深入研究他们 指出：恰当的平衡概念应该是集合值的，即所谓的本质连通区上世纪未，俞建教授及其研究小 组把本质解和本质连通区的概念广泛地引入各种非线性问题的研究，取得了丰硕的成果 鉴于非线性分析研究的日益重要以及与之密切相关的对策理论的应用日趋广泛，本文将 采用不同的技术路线，整合以往的研究成果，挖掘各个问题彼此间的联系，重新建立若干非线 性问题本质连通区的存在性体系 2 本论文结构图如下 拟变分 不等式 本质连 通区 向量拟平 衡问题解 的本质连 通区 若干非线性问题解集本质连通区的存在性 集值映射不动点 集本质连通区 f a n k y 点集 本质连通区 广义对策平衡点 集本质连通区( 一 致拓扑) 多目标广义对策 弱p a r c t o - n a s h 平 衡点集本质连通 区 向量平衡问题解 集的本质连通区 4 广义对策n a s h 平衡点 本质连通区( 最佳回应 拓扑) n 人非合作n a s h 平衡 点集本质连通区 ( 最佳回应拓扑) n a s h 平衡点本质 连通区( 一致拓扑) 多目标对策弱 p a r c t o - n a s h 平衡点集 本质连通区 第一章预备知识 1 1 集台的看干知识 集合论是现代数学的基础，其中包含了极其丰富的内容本节只选择了与本论文密切 相关的几个方面作简单的介绍，主要包括：拓扑空间中集网的收敛性及其极限集、集合间 的h a u s d o r f f 距离、以及集合的b a i r e 分类等三个方面本节中包含了若干引理，它们大多是 很经典的结果( 可参见【4 】【8 【1 5 】【1 7 】【2 6 【2 8 4 1 】) ，有些本文仍给出了证明，是因为我们认为 此处的证明方法与文献上的证明或多或少有些不同另外本节中还给出了很多例子用以使 抽象的概念找到应用的温床，其中比较复杂的都给出了证明 1 , 1 1 拓扑空间中集网的收敛性与极限集 设x 为拓扑空间，2 。表示x 的所有非空子集构成的族a 是一个指标集，每个从a 到x 的映射称为x 中的一个网，记为 h ，兄人) ；每个从人到2 。的映射称为x 中的一个集网， 记为 a ， a ) 定义1 1 1 a 是一个指标集，设 ，) 显然有日3 e 23 3 e 3 而 且得到l i r a 。e n = n ：l 缸：l ( x ) t ) = 缸：f ( x ) 0 ，也即 l i m 。 苫：工( j ) ，) = z ：f ( x ) ，) 对于一般的集网，可以借助单调集网来定义其极限集 定义1 1 3 设 以) 。； 为拓扑空间x 中的一个集网，令b p = u 。口以，( a ) ，显然有 易 b ，( v 卢，y a ，y ) ，我们称1 i m 邬= n p “b p = n 肚 u 。；口以为集网的上极 限集，简称上限集，记为l i m s u p a , ，= n 肚 u 。邛a 。类似地，称集合u 口。n 。：口以为集网 4 。 。a 的下限集，记为l i m i n f 以= u ，。a n 。邛a 。若集网 爿。) 。 的上限集等于下限集， 则称的极限集存在并等于上( 下) 限集，记为l i r a 以 例1 1 2 ( 可见【2 6 】) 设e , f 是两个集合，作集合列 铲怪麓我舻啦， 4 2 1 f ，i 为偶数，婶2 1 ) 于是l i r a s u p a t = e u f ，l i m i n f a k = e n f 引理1 1 1 设 以) 。 为拓扑空间x 中的一个集网，则 ( 1 ) l i m s u p a 。= ( x 工：v e a ，j 口o a ，口o ，x a 嘞) ； ( 2 ) l i m i n f a 。兰 x x ：3 a o 八，v g a ，口口o ，x a 口) 证明：以( 1 ) 为例，若x l i m s u p a 。= r k 。 u 。口a 。，则叩a ，z u 。印a 。，从而 3 仃o 人，甜o 使x 厶 i f y _ ，若即e a ，| a ，使x a ，则得到x u 。口a 。，由声a 的任意 性知x n 口。a u 。口a 。，即z l i m s u p 以 注：易知，对于拓扑空间工中任一个集网 以) 。n ，l i m i n f 以c l i m s u p 丸 例1 1 3 ( 可见【4 】 2 6 ) 设 工( x ) ) 。以及俐都是r 上的实值函数，且有 1 i m z o ) = ，( z ) ，x r ，则对任何t r 有 取r ：，( 工) 吩= n ：。u ：。n ：。缸月： ( x ) t 一士) 证：设膏r 且( 功，则对v k n ，( 工) ，一因l i m 工( 曲= 厂( 力，故 3 m n ，当n m 时 o ) ，( x ) 从而n m 时 o ) 卜一士，从而 x e n ：。缸r ： ( 功 t - - * 于是 x u ：。，n ：。缸r ： ( 功 t 一 ) 由k n 的任意性知x n ：。u ：，n ：。缸e r ：正q ) 卜- ) 反之，设x n 二u ：。r 已缸r ：厶( x ) t * ， 则v 七e n ，x e u ：；l n ：，缸r ：以 ) t - - 静于是j 肼n ，使当刀m 时 x n ：。缸r ： ( 功 f 一苗， a i m i v n 所有0 ) r 一 因。l i m 。工( x ) = m ) ，所以八z ) 卜 ，再由k 的任意性 知， ) f ，所以x 缸r ：，o ) r ) 证毕 如果( x ，d ) 为度量空间， 4 。) 。是z 中的集列，当然也为x 中的集网，所以定义1 1 2 各 条对集列 以 。也适用，并有如下结论： 命题1 1 2 ( 可见【4 】 1 5 】 2 6 】) 设 a 。) 。为度量空间( x ，d ) 中的集列，则 ( 1 ) l i m s u p a 。= n ：；lu 畸- ，a 。= 协f ：v n j 聊e 所刀仗a 。) 2 ( 2 ) l i m i n f a 。= u ：；1 n ：。a 。= 扛z ：3 m n ，使v 卅葡爿。) ( 3 ) l i m i n f 以cl i r as u p a 。 例1 1 4 设( ，( z ) ，；是定义在r ”上的函数列，则 缸r ”：l i r a s u p ，乃( x ) o = u 1 n ：u ：缸r ”：乃 ) 苗 证：设x 缸e r ”：l i m s u p j + 。f j ( x ) 0 ) ，n 3 k ，使l i r a s u p 。f l ( x ) ，从而 v i n ，习o ，j o i 使l ( 曲 ，即x 讧t ”：乃。( x ) 2 * ，当然有 x u 2 扫仨r ”：乃( x ) 如由f e n 的任意性知，z n 三。u ：，缸e r ”：( x ) 2 上) 从 而x u ：n ：。u ：。 x r “：f a x ) 上) 反之，设x u 田- 。n 三u ：似r “：乃( 曲上) ，f j 3 k o n 使 x n 二u ：，扛r ”：f a x ) 古 ， 于是v f n 都有工悦，缸r ”：f j ( x ) 去) ，从而砜，j o i ，使 z 扛r ”：0 ) 古 ，即厶 ) 亡由i n 的任意性知l i m s u p p 。力0 ) 古 o ，从而x p r “：l i m s u p ，。乃( 力 o ) ，证毕 1 1 2t t a u s d o r f f 距离 设矽为度量空间，4 ，b c x 是两个子集，工e x ，通常地，点x 到集合4 的“距离”和集 台一到口的距离分别定义为 d ( 墨a ) ；i n f ，。a ( x ，力，d ( 彳，b ) = i n f y e 口ba ( y ，z ) ， 但是这种定义并不能真正反映两个集合的“接近程度”，例如舴尼a = ( m ，o ) ， b = ( 0 ，+ o 。) ，d ( a ，b ) = o ，但这两个集合甚至没有公共点且一个集合中的点到另一个集合的 距离可以无穷大，即这两个集合的“贴近程度”并不好事实上，这种定义并不满足距离公理， 也就是说这种“距离”并不是真正意义上的距离为了真正的反映集台间的接近程度，h a m d o r f f 引进了一种满足距离公理、并以其名字命名的距离 为介绍h a u s d o r f f 距离，先引进一些记号 设刃为度量空间，爿c j 是一个子集，工x ，定义a ( x ，彳) = i n f 。a ( x ，y ) v 五e r + ，记兄+ a = 缸算：d ( x ，彳) o ，依日的定义ac f - i - b ，同 时b cs + a 由a 亡s + b 得v x a ，x s + b ，即a ( x ，丑) 0 ，a c 百亡占+ b ，b c j c 占+ a 由h 的定义得 1 - i ( a ，占冷s _ 0 得日( a ，口) = 0 ( 2 ) v a ，b 亡x ，日( 彳，b ) = i n f t ：彳c 五+ b n bc - + a ) = i n f 兄：b c z + 4 上( 2 2 丑+ b ) = h ( b ，彳) ( 3 )v a ，b ，c c x 设h ( a ，功；d l ，h ( b ，c ) = d 2 ，v 譬 0 ，我们证明 ac d ，+ d 2 + 占+ c 事实上由q ，丑) = d l ，得ac d l + 号+ b ，由日( b ，c ) = 如得 b c d 2 + 号+ c ，v x a ，砂b ，a ( x ，力d x + 号对y b ，a ( y ，c ) d 2 + 号，从而 a ( x ，c ) s a ( x ，力+ a ( y ，c ) d l + d 2 + 占，所以x d 1 + d 2 + 占+ c ，由x 的任意性得 a ( e 2 d 1 + d 2 十s + c ，同理可证c c d l + d 2 + + a ，所以i - i ( a ，c ) 蔓d l + d 2 + f ，令 占斗0 ，得日( 彳，c ) 兰d l + 畋= h ( a ，b ) + 日( b ，c ) 引理1 1 5 ( 可见【2 8 】【4 1 】) 设x 是度量空间，x ( x ) 表示x 的所有闭子集构成的族，则： ( 1 ) ( 足( z ) ，日) 也是度量空间；( 2 ) 若z 完备，则( 足( z ) ，日) 也完备 证明：( 1 ) 只须证日是k ( x ) 上的度量空间即可，这由引理1 1 4 和k ( x ) 的元是x 的 闭子集立即可知日满足距离公理 ( 2 ) 设集列 以) 。c k ( x ) 是c a u e h y 列，即v 占 0 ，3 m 0 ，当胛，m m 时，h ( a 。，一。) 2 ”1 ，记鼠= u ：。a 。，a = n ：1 或，则a 是闭的，即a e 置( 并) ，要证 ( k ( x ) ，哪完备，只须证日( 彳。，4 ) jo ，n 专即可 第一步：我们证明a 非空且当一m 时，4c s + a v n m ，固定肌v a 。a 。，所 以h ( a 。，以+ i ) 2 ”1 ，所以3 a a ，使a ( a 。，n ) 2 ”1 ，同样因 1 4 ( 4 n + l 以+ 2 ) 2 ”2 ，所以j 吒+ 2 以+ 2 ，f f d ( a + l ，a ) 工 d ( a n + ja n + i ) d ( a n + j , a n + j + 1 ) + 口( 吒+ j + i ，口。+ j + 2 ) + + a ( a 。+ 一l ，a n + i ) s ：h 2 ”1 三2 ”1 = 2 ”号， 因此( a n + j ，。_ 是z 中的c a u c h y 列，因z 完备，所以存在a z ，使 口。j 口，- ，一o 。v m ，口u 盖。a ，+ jc u j ；。a ，= b m ，由的任意性知 口n ：1 巩= a ，所以4 非空，由前面知w n ，d ( ，口。，) 号，从而 a ( a ，q ) a ( a ，a n + ，) + d ( 口w ，口。) a ( a ，口w ) + 号，令，jo o ，则a ( a ，a 。j ) _ o ，从而 a ( a ，a 。) 号，所以p ( a 几a ) 号 p ，口。f + 爿，由a 。a 。的任意性知彳。c 占+ 1 4 第二步：证明v n m 时，ac 占+ 以v x a ；n 二l u ：，。a 。，v n m 由于 z 以= u ：。a 。， 所以3 m 力和x 。e 以 使d ( x ，x 。) 号 因 为 h ( a 。，a 。) 衫2 ”1 号，所以对于x 。a 。存在x 。a 。使d ( x 。，x 。) o ，即得结果 c a 。芒a n ，则 吒) 。是z 中的序列，因z 是紧的， 故存在子列扣) 。使口m 一目x ，从而枷n ，口u t ：。c u 帕_ ，a k = 巩，由t i i 的任意性知a n ：1 最= a 假设对任意子列 以) h ，h ( a 。，彳) 不趋于0 ，则了 0 使 对任意的有h ( a 矿_ ) 氏成立- 这表明3 a 。气使d ( a 。4 ) ，或3 a ”e a 使 d ( 矿，a k ) ( 1 ) 如果3 a 。厶使d ( a 。彳) 岛，则得到z 中的序列 d ，因x 紧，不妨设 a 。斗a 。，前面知a i a ，但由d ( a 。a ) 岛，却得d ( ，a ) ，a 萑a 矛盾 ( 2 ) 如果3 a ”a 使d ( ，以。) ，由于子列 ) 。的任意性d ( 口”，a 。) c o 对 v n n 成立，从而v m n ，b 。= u 。以，d ( 口”，b ，) ，当a = n ：；l b 。时 d ( 4 ”，a ) d ( 口“，b 。) 2 ，从而a ”诺a 矛盾 由( 1 ) ( 2 ) 知必存在子列 心 i 。使日( 厶，一) o ，即k ( x ) 紧 例1 1 5 设z 是紧度量空间，c ( 柳是上连续函数全体，芷c x ) 是z 的所有闭子集构 成的族，在空间c ( z ) 足( 上定义距离如下： v p l = ( ，4 1 ) ，p 2 = ( 厂2 ，a 2 ) c ( x ) x ( x ) 矿( p i ，p 2 ) = m a x ；。x i a ( x ) 一五( x ) l + 日( 爿i ，a 2 ) 容易证明f c ( x ) 芷( x ) ，刃是一个完备度量空间，于是空间c ( ) k ( x ) 中的一个点 p = ( f ，一) 就定义了一个最优化问题m a x 。( x ) 这就提供了一种统一的研究最优化问题 的一种方法 1 1 3b a i r e 分类 定义1 1 5 设一是拓扑空间x 中的一个集合， i n t ( a ) = m ，则称彳为x 中的疏子集； 若一可以表示成至少多个可数个疏子集的并集，则称一是中的第一个纲集；z 的子集a 如果不是第一纲的则称为第二纲的；如果a 是x 中的第二个纲集，则称a 包含了盖中大多 数点( 在b a i r e 分类意义下) 注意到在b a i r e 分类意义上的大多数与在测度论意义上的几乎处处是两个不同的概念， 不能从其中一个成立推出另一个成立下面是俞建教授提供的例子 例j 1 6 ( 2 2 】) 设o 0 ，存在x 的一个邻域n ( x ) ，使当v x n ( x ) 时，f ( x ) 0 ，存在x 的一个邻域( 功，使当v x 。n ( x ) 时，f ( x ) 八x ) 一s ，则 称厂在x 下半连续； ( 3 ) 如果，在x 既上半连续又下半连