（数学专业论文）基于contourlet变换的图像去噪与增强应用研究.pdf

垦堕型堂垫查奎兰堕窒生堕兰堡笙茎 摘要 近年来，多尺度几何分析的兴起，超越了经典小波变换的局限，取得了一系列令人瞩 目的成就，吸引了越来越多的研究者投入这一新兴的充满前景的领域。 论文对多尺度几何分析在利用图像本身的几何特征，构建最优逼近意义下的高维函数 表示方法进行深入研究；对多尺度几何分析方法中重要的c o n t o u r l e t 变换进行了详细讨论， 深入分析了c o n t o u r l e t 变换后含噪图像中同层相同位置不同方向的系数之间的关系，得到 系数的最大后验概率估计式，结合b i v a s h r i n k 去噪方法，得到基于c o n t o u r l e t 变换的一种 新的图像去噪方法，与基于小波的b a y e s h r i n k 去噪方法以及基于小波的b i v a s h r i n k 去噪的 方法比较，试验结果表明本文方法在提高峰值信噪比的同时，有效地保持了图像纹理信息， 视觉效果更好；另外，本文还研究了c o n t o u r l e t 变换在图像增强中的应用，分析了变换后 弱边缘系数与噪声系数的特征区别，增强效果明显优于传统的小波方法。 关键词：小波多尺度几何分析c o n t o u r l e t 变换图像去噪图像增强 旦堕型堂垫查奎兰竺至竺堕兰生丝奎 a b s t r a c t r e c e n ty e a r s ，t h ed e v e l o p m e n to fm u l t i s e a l eg e o m e t r i ca n a l y s i sb e y o n dt h ew a v e l e t t r a n s f o r m ，w h i c hh a st a k e nag r e a td e a lo f s u c c e s s m a n ys c h o l a r sa r es t u d y i n gt h i st o p i c t h i sp a p e rs t u d yt h ei d e ao fm u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ，w h i c hc o u l dc a p t u r et h ei n t r i n s i c g e o m e t r i c a ls t r u c t u r et h a ti sk e yi nv i s u a li n f o r m a t i o n , f i n d i n gak i n do f o p t i m a lr e p r e s e n t a t i o no f h i g hd i m e n s i o nf u n c t i o ni nt h es e n s eo fn o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o n t h e nw es t u d yt h ee o n t o u r l e t t r a n s f o r mt h o r o u g h l y t h ep a p e rb e g i n sw i t had e t a i l e ds t u d yo i lt h es t a f i s t i co fc o n t o u r l e t c o e f f i c i e n t s w h i c hr e v e a l st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec o e f f i c i e n t sw i t hs a m es c a l es a m es p a c e a n dd i f f e r e n td i r e c t i o n , w ee o n c l u d et h em a pe s t i m a t o r , d e v e l o p i n gt h em e t h o do fi m a g e d e n o i s i n gb ye o n t o u r l e tw i t hc h a n g e db i v a r i a t es h r i n k a g e c o m p a r et ot h eb a y e s h r i n ka n d b i v a s h r i n kb a s e do nw a v e l e t ，t h er e s u l t sr e v e a lt h a tp r o p o s e dm e t h o dc a ng e th i g h e l p s n ra n d t h eb e t t e rv i s u a l m e a n t i m e t h i sp a p e rs t u d i e st h ep r o b l e mo fi m a g ee n h a n c e m e n tw i t l lt h e e o n t o u r l e t 。t h er e s u l t ss h o wt h a ti ti sb e t t e rt h a nt h em e t h o dw i t hw a v e l e t k e yw o r d ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；m u l t i s e a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ；c o n t o u r l e tt r a n s f o r m ，i m a g e d e n o s i n g , i m a g ee n h a n c e m e n t 国防科学技术大学研究生院学位论文 图表目录 图1 1 小波分解后保留部分重要系数的重构图像一2 图2 1 二维信号的小波分解8 图2 2 具有光滑边缘的图像模型1 0 图2 3l e n a 图小波分解1 1 图2 4 二维实数小波变换的脉冲响应1 l 图3 1 小波变换和新型变换的比较，1 2 图4 1l p 分解重建过程2 0 图4 2 方向滤波器2 1 图4 3 扇形滤波器2 2 图4 4 剪切运算2 2 图4 5 使用h a a r 滤波器6 层d f b 的一半对应冲激响应2 3 图4 6 塔式方向滤波器组的多分辨率多方向分解2 3 图4 7 二维谱空问子带和近似支撑函数2 6 图4 8c o n t o u r l e t 变换2 8 图4 9 抛物线尺度和曲线近似关系2 9 图4 1 0 满足抛物线尺度关系的c o n t o u r l e t 框架2 9 图4 1 1 小波变换m 点近似试验3 l 图4 1 2 对应的m 点c o n t o u r l e t 变换近似结果3 2 图5 1 试验测试b a r b a r a 和l e n a 图3 6 图5 2 几种去噪方法在盯= 3 0 时试验结果3 7 图5 3 图像增强数值实验4 0 表5 1b a r b a r a 图几种去噪方法的p s n r 值比较3 6 表5 2l e n a 图几种去噪方法的p s n r 值比较3 7 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表和撰写过的研究成桌，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材辑与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目： 学位论文作者签名： 学位论文版权使用授权书 rt 婚 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允 许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题日 学位论文作者 作者指导教师 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 图像构成了我们现实世界的缤纷多彩，据统计，人类接受外界的信息中有7 0 是来自 于图像。为了有效地理解这些图像，更清晰的了解社会，接受信息时代的到来，人们寻找 了许多有用的工作来帮助我们。经典的f o u r i e r 变换将图像信息处理带入了一条快车道，而 f o u r i e r 变换的不足和信息图像处理的需要推动了新技术的发展，二十多年前出现的小波分 析使得信息处理领域风起云涌，还在人们担心小波是否只是昙花一现时，小波分析却在飞 速发展，迅速完成了理论构建并将应用领域不断拓广，从数学、信号处理拓展到物理、天 文、地理、生物、化学等其他各个学科，并作为一个有效的工具渗入到科学的各个领域。 小波变换由于其优秀的多分辨分析的特性，以及同时具有时频局部性从而超越于傅立叶分 析的众多优点，多年来依然并且无疑将继续在各学科领域中发挥非常重要的作用，其已成 为继傅立叶分析之后的又一有力分析工具，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题， 从而小波变换被誉为“数学显微镜”，成为最近数十年来一个热门的研究课题，众多的研究 者投身到这一充满活力的领域。 信息领域的发展是迅捷无比的，新技术新变革是随着信息的发展不断涌现的。当喧嚣 的小波尘埃落定，随着小波应用和研究的深入，人们也发现了经典小波的一些不足，在图 像处理等方面存在局限性。自然物体拥有光滑边界，图像间断点通常是沿着光滑的曲线， 而经典二维小波是由可分离一维小波张量得到的，可以很好的检测图像边缘上的间断点， 但是不能看到这些间断点沿着边缘轮廓的光滑性。另外，可分离小波只能抓住有限的方向 信息，而方向信息是多维信号的重要而独特的性质。例如，如图1 1 所示，对5 1 2 x 5 1 2 的圆 盘灰度图像作四层小波分解并保留其中绝对值最大的3 2 x 3 2 个系数重构后的结果，为显示 清晰起见，( b ) 图中对所有小波分解系数均放大了4 倍。由图可见，各层分解后均有一些 相对较大的系数出现，且这些小波系数在各层之间存在很大的相关性，它们均对应于原图 像中连续的圆环边缘位置，也即奇异性位置。当只保留少数重要系数( 将其它次要系数置 为o ) 时，重构图像在边缘处存在显著失真，同时也反映了小波对图像并不能实现最“稀 疏”表示。正是这些不足促使研究者寻找比小波更加有效的工具，推动了又一次新浪潮的 酝酿和产生多尺度几何分析( m g a ：m u l t i s e a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ) ，这场变革同样深 远地影响着各个学科领域，其深度和广度甚至超过小波分析。 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( a ) 原图像( b ) 4 层小波分解后的系数( c ) d w t 重构图像 图1 1 小波分解后保留部分重要系数的重构图像 多尺度几何分析，克服或改进了经典小波的一些不足，在理论和应用中都取得了长足 的发展，在各个应用领域取得了超越小波的优良性质，如图像去噪、增强和图像压缩等。 所谓“工欲善其事，必先利其器”，跟随科技的最前沿，掌握多尺度几何分析思想，利用 这一有效而先进的工具，将拓展我们在许多方面的应用。c o n t o u r l e t 变换是多尺度分析中十 分重要的一种方法，可以有效地实现图像的多分辨率的、局部的、多方向的展开，能够有 着利用图像几何本质特征，具有十分广阔的理论意义和研究前景。 1 2 研究历史与现状 小波起源于二十世纪八十年代，小波分析的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 j m o r l e t 宅e 1 9 8 1 年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公 式。1 9 8 4 年，m o r l e t 和g r o s s m a n 对地质信号的分界提出了伸缩、平移的概念，第一次提出 了“w a v e l e t s ”一词。1 9 8 6 年著名数学家m e y e r 偶然构造出一个真正的小波基，并与m a l l a t 合作建立了构造小波基的统一方法一多尺度分析【1 1 之后，小波分析从这时起才开始蓬勃 发展起来，进入小波分析热潮，其中比利时女数学家d a u b e c h i e s 撰写的小波十讲( t e n l e c t u r e s o n w a v e l e t s ) ) ) 1 2 对小波的普及起了重要的推动作用。1 9 9 0 年，a w a r e 公司首次制成 小波硬件，2 0 0 0 年，完全由小波分析构成的静止图像世界标准j p e g 2 0 0 0 标准形成。小波与 f o u r i e r 变换、短时f o u r i e r 变换相比，是一个时间和频率的局域网变换，因而能有效的从信 号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析( m u l t i s c a l e a n a l y s i s ) ，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微 镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。小波分析经过数十年的发展，已经建立了较 为完善的理论体系框架，在许多科学、工程领域取得了巨大的成功应用，现在仍然是研究 的热点问题之一，众多研究者驰骋在小波的殿堂里。 小波多分辨分析的思想和方法并非尽善尽美，大量实践表明，小波主要是用于表示具 国防科学技术大学研究生院学位论文 有各项同性奇异的对象，对于各向异性的奇异性，如数字图像中的边界以及线状特征等， 小波并不是最优的选择，从而引起了多尺度几何分析这场变革。也正是小波分析发展的先 驱d a u b e c h i e s 、m a l l a t 、d o n o h o 、v e t t e r l i 、c o i f m a n 等人意识到经典小波的不足，引导了多 尺度几何分析这场变革。目前，人们提出的多尺度几何分析方法很多，主要分为自适应和 非自适应两类。m e y e r 与c o i f m a n 于1 9 9 7 年提出了适于纹理表示的b r u s h l e t s 3 1 ；c a n d 6 s 和 d o n o h o 于1 9 9 8 年提出的适于表示各向异性奇异性的脊波变换闱( r i d g e l e t t r a a s f o r m ) 和单尺 度脊波变换【5 1 ( m o n o s c a l ef i d g e l e tt r a n s f o r m ) 并在脊波变换的基础上，e jc a n d 6 s 于1 9 9 9 年 提出性能更好的c u r v e l e t 变换 6 1 ；1 9 9 9 年，d o n o h o 提出了w 甜g e l e t s 变换方法【7 】；1 9 9 9 年， c o i f h l 锄和m e y c r 等提出n o i s e l e t 变换嗍；2 0 0 0 年，p e n n e e 和m a l l a t 提出能够自适应地跟踪图 像几何正则方向的b a n d e l e t 变换1 9 ；2 0 0 1 年，h u x i a o m i n g 和d o n o h o 提出的b e a m l e t 变换【1 0 】； 2 0 0 2 年，m n d o 和m v e t t e r l i 基于c u r v e l e t y 应用于数字图像的不足，提出的c o n t o u r l e t 变换“， 继承- j c u r e v l e 变换t 的各项异性尺度关系，实现“真正”的图像二维表示方法；g o p i n a t h 于 2 0 0 3 年提出p h a l e t 变换【1 2 1 ；v e l i s a v l j e v i e 和v e t t e r i 等于2 0 0 4 年提出t d i r e c t i o n l e t 变换【1 3 】。 多尺度几何分析是一个新的思想，刚刚兴起不久，随着更多的研究者深入这一领域和信息 技术发展的推动，这领域将日新月异，将会出现更多的好方法从而更有效的表示图像。 国内的小波研究工作起步较晚，起初主要是跟随国外的研究工作与方向，做出一定的 工作，近些年已经蓬勃发展起来，研究群体逐渐壮大，已取得了一些不错的成绩。多尺度 几何分析是一个崭新的领域，在国外也是起步不久，正在发展中；国内的许多研究者已经 意识到了这个领域的广阔前景，投身于这场变革中。 1 3 研究目的 小波的应用领域广泛，在图像处理的很多方面取得了很好的结果，在此基础上发展的 多尺度几何分析在理论和应用上，相较于经典小波有哪些改进和发展，怎样将小波在工程 实际中应用的方法拓展到多尺度几何分析中，应用效果取得怎样的进步都是我们需要进一 步研究的。正是基于此，论文研究了新型多尺度几何分析方法，并对其中十分重要的一种 方法o n t o u r l e t 变换进行深入研究，将其与经典小波比较异同，从c o n t o u r l e ! t 变换的理 论研究出发，了解多尺度几何分析的思想，研究c o n t o u r l c t 变换在图像处理中的典型应用， 探讨出多尺度几何分析与经典小波在实际应用方法的不同，体现多尺度几何分析应用优于 小波的实验结果和广阔应用前景。 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 4 文章组织结构 第一章，绪论。介绍了本文研究背景，讨论了小波变换的不足和多尺度几何分析的发 展，介绍了本文的研究目的。 第二章，小波变换。介绍了经典小波的多分辨思想，研究小波变换的近似性和方向选 择性，阐述了经典小波变换的不足之处。 第三章，多尺度几何分析。介绍了多尺度几何分析的概念，多尺度几何分析能够充分 利用图像几何特征，有效地实现图像稀疏表示。同时研究了几种主要的多尺度几何方法， 讨论各自的特点。 第四章，c o n t o u r l e t 变换。研究c o n t o u r l e t 变换的理论依据和实现过程。阐述了c o n t o u r l e t 变换如何实现图像的多分辨率、局部的、多方向表示，展现出c o n t o u r l e t 变换超越经典小波 变换的优点。 第五章，c o n t o u r e l e r 变换的应用。研究了图像经过c o n t o u r l e t 变换后的系数关系。内容 包括c o n t o u r l e t 变换在图像去噪和图像增强中的应用。阐述了如何将小波在图像处理中的思 想推广到多尺度几何分析方法中，取得更好的结果。 第六章，总结与展望。探讨了多尺度几何分析方法发展的方向和c o n t o u r l e t 变换方法在 实际应用的前景和问题。 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章小波变换 小波经过数十年的发展，已经建立了一套完整的理论系统并日趋完善，其应用领域也 越来越广。其中，m e y e r 、m a l l 砒和d a u b e c h i e s 等人在小波理论的形成、发展及其在工程中 的应用等方面做出了重要贡献，特别是i d a u b e e h i e s t 】在1 9 8 8 年与1 9 9 2 年关于正交与双正 交紧支撑小波的构造这一杰出性的工作使得小波得到了更加广泛的应用。本章2 1 节主要介 绍小波的多分辨率分析思想，阐述了小波的优良性质。同时由于现在信息技术的发展和科 学的进步，伴随着小波应用的深入，研究人员又发现了经典小波变换的不足，2 2 节和2 3 节阐述了小波变换在非线性近似和方向选择性方面的不足。 2 1 小波多分辨率分析 小波最初在工程应用中取得了成功，但其理论发展反而经历曲折，最终由s m a l l a t 于 1 9 8 8 年在总结前人的工作基础上引入了多分辨率分析思想。他从空间的概念上形象地说明 了小波的多分辨特性，并将在此之前所有小波变换理论统一起来，并由此给出t d , 波的构 造方法与小波变换快速算法，即著名的m m l m 算法【1 5 1 。小波分析能够为r 空间提供一个有 良好局部性质的结构及其简单的正交基，从而可以在不同分辨率上分析信号局部性质。 这一节简要介绍一维和二维的信号的正交小波变换的多分辨率分析。一般说来用来构 造正交小波变换的多分辨率分析具有下面的理论框架： 定义2 1 空间f 似) 中的一列闭子空间以 。称为r ( r ) 的一个多分辨分析( m i 认) ， 如果该序列满足下面的条件 ( 1 ) 单调性：一c “g v j f ：s ：意j z ； ( 2 ) 逼近性：n 一= o ，d = r ) ； j e z j e z ( 3 ) 伸缩性：厂( 功营f ( 2 x ) 巧+ l ，j z 。伸缩性反映了尺度变化、逼近正交 小波函数的变化和空间的变化具有一致性； ( 4 ) 平移一致性：对于任意k z ，有f ( x ) j f ( x k ) ； ( 5 ) r i e s z 基存在性：存在g ( x ) ，使得k 一七) ik z 构成的r i s e z 基。 从上面的定义可以证明，存在函数伊( x ) e 使它的整数平移系2 j , 2 烈2 婵j 一膏) 构成巧 里堕型兰茎查奎兰里茎竺坚兰竺丝苎 的规范正交基，称烈z ) 为尺度函数，于是函数n ( x ) = 2 j 2 9 ) ( 2 i a x 一后) ，- ，k z 构成l 2 ( r ) 的标准正交基。 m r a 的概念给出了人类视觉系统对物体认识的数学描述。尺度越大，距离目标越近， 观察到的信息越丰富。反之，尺度越小，距离越远，含有的信息量越少。类似的，( x ) 是 函数，( x ) 在一上的投影，也是，( d 在分辨率j 上的平滑近似。随着，的增大，近似程度越 高。相邻近似间的差距g ，( x ) = + 。( 功一乃( 功表示信号在小波空间上的细节部分。事实 上，我们可以将近似空间一+ 。分解为： 巧“= 一o ( 2 1 ) 这里。表示直和，考虑如何刻画小波空间非常重要，下面介绍m a l l a t 在1 9 8 9 年的工作。 定理2 1 ( s m a l l a t ) 设眈；刀z 为一个具有尺度函数妒( 力的正交多分辨分析，则 存在魄 ，2 使得下面的双尺度方程成立： 妒( 力= h , 伊( 2 x - k ) ( 2 2 ) k 其中= 2 e 妒( x ) 歹( 2 z 一七) 矗，并且利用( 2 1 ) 式得到的尺度函数妒( x ) 构造函数 y ( x ) = g 。p ( 2 x - k ) ( 2 3 ) k ( 砂的伸缩、平移构成r ( r ) 的正交基，其中繇= ( - 1 ) 五。进一步地，当 杉= 面碓巧砸瓦丽万弦 时上，j j r , 巧“= _ o 。 m a l l a t 定理主要包含3 个主要方面的内容： ( 1 ) 集合砂 一七) ；七z 构成的标准正交基，因此妒 o ) = 2 j “g t ( 2 1 x 一七) ；| i z 构 成的标准正交基。 ( 2 ) k = v o 。可以保证：r ( r ) = 戛冗，从而保证的基向量的并可以表示r ( r ) 中的任意函数。 ( 3 ) 上，j j ，可以保证在彼此正交的前提下当且仅当地表示信息。 根据m a l l a t 定理，可以进一步讨论在多分辨分析框架下利用小波变换表示信号的问题。 国防科学技术大学研究生院学位论文 根据上面的讨论显然有： l 2 ( r ) = 职= 巧0 0 ，z ” ，v 2 1 1 一维信号的多分辨分析 其中 根据( 2 4 ) 式，一维信号，( 曲r ( r ) 可以展开表示为： ( 2 4 ) 厂( x ) = a j 纺 c x ) + e e b ，( x ) ( 2 5 ) i e z 乞，i z n h = l f 吼k ( x ) d x b j = ， ) 妒j ) d x b i 妨 分别称为低频系数和小波系数。注意到，( 2 5 ) 式中第一项是厂( x ) 在子空 间巧上的投影p j f ( x ) ，表示八力的低频部分( 或主体部分) ；第二项是八砷在子空间 ，j 上的投影，表示( x ) 的高频部分( 或细节部分) 。 2 1 2 二维信号的多分辨分析 一维多分辨分析和m a l l a t 算法很容易推广至u - - - 维情况。设f ( x ，y ) 为r ( 屁2 ) 中的二维 能量有限信号，根据一维空间l z ( r ) 中多分辨率逼近空间矿，构造r ( r 2 ) 中的多分辨逼近 空间呼。 设e ，_ ，z 是p ( r ) 中的一个多分辨分析，巧。= 巧o ，缈( 功为尺度函数，妒( 石) 为 相应的正交小波函数。令 吁= 巧。巧，盱= ( 巧p ) o ( o ) o ( 圆巧) ( 2 6 ) 其中，o 为张量积运算，0 为直和运算，则 ( 1 ) 吁c 哆。，吆= 呀。吁，形2 上孵，f ，； ( 2 ) 旦哆= o ，旦霹= r ( 且2 ) ，从而豆霄= r ( r 2 ) ； ( 3 ) 令 o ( y ) = 伊( x ) 妒( y ) ，甲6 ( 毛y ) = 妒( x ) 缈( y ) t f ”( x ，力= f ，( 力妒( 力，甲4 ( 五力= ) y ( y )( 2 7 ) j ( x ，) = 仍j ( 工) 仍，t y ) ，、r & ，( x ，y ) = 纺j ( x ) ( y ) 鼍：l | b ，n = i f ，j l ( x ) q b l ，鼍：l j 缸，协= y j l l f ，j 办 则 巩函数系扣 ，( x ，y ) l 七，z 构成哆的规范正交基。 b - 函数系阮j 化力，似力吆j ( x , y ) i k ，z 构成孵的规范正交基，从而， 陬，( x ，力，力_ 矗( x ，y ) l j ，k ，z z 构成r ( r 2 ) 的规范正交基。 因此，( 工，y ) 上2 2 ) 可以分解为 f ( x ，y ) = 口巾川( x ，力+ 6 六屹( 训) + 喜，甲a ，似y 茬略，吧瓜棚 ( 2 8 ) ，似y ) + 略，吧，( x ，y ) 其中，d j k | = s s f ( x , y ) 巾h | ( x , y ) d x d y b ! k j = ll f q ，炉：l | 缸，y ) d x d y 哝= jj 厂 y ) ，( x , y ) d x d y 6 , 5 ，= 少( x ，y ) v l j ( x ，y ) d x d y 上式的几舸意义如下图所示 水舭i ，| 八 i 。 。 图2 1 二维信号的小波分解 小波由于具有上面的多分辨率分析的性质，在图像处理的很多领域取得了重要的应用 和很好的效果。小波的优良性质主要可以从其作为基函数近似的效果上可以体现。下面探 讨一下小波基的近似性质。 复堕型望茎查奎堂竺垄竺堕堂焦丝兰 2 2 小波近似性 2 2 1 一维近1 以 在下面的讨论中，为了方便，将信号包括下面的二维图像情形都归一化到单位区间 【0 ，1 】和【0 ，l 】2 中。 定义2 2 ：函数，称为有界变差的，如果满足下式 i l s l l ，= f l 厂7 ( t ) l a t 佃 ( 2 9 ) 在一维情形下，通常大多数一维信号，如连续可导的光滑信号和具有有限不连续点的 不连续信号，都属于有界变差函数8 v o ，1 】范畴。故考虑小波对这类函数的非线性近似效 果。 假设 纺，i 哟。一， ，) 。，。一 构成上2 【0 1 】中的一组紧支撑规范正交的小波基。为 了简化记号，记纺。= 蚧椰。用m 个小波对，疥o ，1 】所作的最佳非线性逼近为 丘= ( 厂，) 竹， ( 2 1 0 ) 其中，k 是具有最大幅度值l ( j r ，) l 的m + d 、波系数的下标集。逼近误差为 ：o t m ：i i i - i 。1 1 2 i ( 厂，) 1 2 ( 2 1 1 ) u 拦” 假设所提供的小波基具有g 阶消失矩。对有界变差函数f b v o ，1 】小波的非线性近似有下 面的结论： 定理2 2 1 1 6 1 存在常数b 使得对所有的，8 r i o ，1 】，有 矗【 明曰0 厂瞄朋。2 ( 2 1 2 ) 在研究傅立叶变换在对函数非线性近似时，可以发现傅立叶分析的近似误差毛【时】只有 肘。1 的衰减阶。无疑，小波分析比傅立叶分析能更“稀疏”的表示一维光滑或者有界变差 函数，这是小波分析在众多学科和工程应用领域取得巨大成功的一个关键原因。 2 。2 2 二维近似 经典二维小波是由一维小波扩张生成，对图像的非线性近似就不能保持在一维情形下 的优良性质了。在考虑小波近似效果之前，必须事先确定小波近似的函数类型。为方便计， 国防科学技术大学研究生院学忙论文 这里考虑简单的几何正则图像，除去一条连续边缘线外，图像是光滑的。 图2 2 具有光滑边缘的图像模型 同样归一化二维图像函数，设图像f ( x ，y ) 的支撑区域为【o ，1 y ，其中存在唯一的一条连续 边缘一，厂- 的几何长度为l ，可以表示成如下形式 r = o ，y ( s ) ) i o s l ( 2 1 3 ) 令q = 【o ，1 】2 一f ，y ( j ) = c 4 0 ，朋且有厂( x ) c “( 固。称这样的图像为几何正则图像。通常 的研究都是基于这样的一个图像模型。 和一维信号的非线性近似定义相同，对上面的几何正则图像模型，小波的非线性近似 有下面的结论： 定理2 8 c , j 若l l f l ， 佃，则存在常数垦使得 岛【m 】b ： i f l l ：m 。 ( 2 1 4 ) 其中厂的全变差定义不同于一维情形( 2 9 ) 式，变为： i f l ，= ff i 移( x ，y ) l d x d y ( 2 i s ) 从上面的结论可以看出，在一维信号下，小波变换可以达到最优非线性近似，其近似逼近 误差衰减达到m 2 阶。遗憾的是，这个优异特性不能推广到二维情形。对几何正则化图像 非线性近似逼近的误差衰减降为肘- 1 阶。 2 3 小波方向选择性 小波变换作用于图像类似于滤波器的作用，由于对非张量积二维小波基函数方法的研 究取得的进展相当有限，因此，实d w t 的基函数大多由一维实小波函数按照张量积生成， 在图像进行小波变换时，即分别在行和列方向做一维小波变换，如图2 3 一幅l e n a 图小波 变换的结果，可以看出一次小波变换后产生4 个子带图像；l l 表示原图像的最佳逼近，反 映了原图像的基本特性；h l ，l h 和h h 分别表示水平高频分量、垂直高频分量和对角线 国防斟学技术大学研究生院学位论文 高频分量，反映图像信号水平方向、垂直方向和对角线方向的边缘、轮廓和纹理。 图2 3 l e n a 图小波分解 由于小波变换基函数大多由一维实小波函数按照张量积生成，从滤波器的角度可以看 出经典二维小波变换相当于3 个二维滤波器，其中只有两个有方向选择性。如图2 4 所示 二维小波变换的脉冲响应，反映了二维小波变换的方向选择特性。 图2 4 二维实数小波变换的脉冲响应 前面总结t d 波变换的多分辨率分析特性，研究了小波对信号和图像近似性质，在对 一维信号小波的非线性近似达到最优，而二维可分离张量小波对图像非线性近似时就无法 保持一维情形的优良性质。同时在方向选择性上，可分离张量小波只能提供水平、竖直和 对角线方向的信息，方向选择性有限。而真实图像信息纹理丰富，变换的方向选择性对图 像处理十分重要。经典小波变换的这些不足促使了对其研究的进一步深入，从而引入了多 尺度几何分析这场变革，弥补经典小波变换的这些不足与缺陷。 里堕型堂塾查盔兰竺茎生堡堂簦丝苎 第三章多尺度几何分析 3 1 研究背景 小波较f o u r i e r 分析更擅长的是表示局部奇异特征，但是由可分离一维小波张量产生的 经典二维小波变换在实际应用中的局限性也越来越明显。自然图像拥有光滑边缘，图像间 断点通常是沿着光滑的曲线，小波可以很好的检测图像边缘上的间断点，但是不能看到这 些间断点的连续性，另外小波只能抓住有限的方向信息，从丽对具有方向性的几何奇异特 征表示不稀疏。即总的说来，存在这样的事实：在高维情形下，小波不能充分利用数据本 身的几何特征，并不是最优或者说是“最稀疏”的函数表示方法。近年来，为了克服以上 缺陷、同时保持小波多尺度分析和局部化时频分析能力，d a u b e c h i e s 、v e t t e f l i 、m a l l a t 、d o n o h o 等引入了一场新变革，称之为多尺度几何分析【r 丌。 为了说明怎样提高二维可分离小波变换在表示具有光滑轮廓的图像的能力，考虑下面 的情形。想象有两个画笔，一个是具有类似小波的，另一个是满足多尺度几何分析要求所 希望的新型变换，用这两个画笔去画自然场景，都应用精细技术从粗到细提高分辨率，这 里，有效性就是指怎样用最少的笔画更快的如实反应原图像。 考虑描绘光滑轮廓的时候，如图3 1 所示，因为二维小波是由一维小波张量积的结果， 小波类型的画笔被局限只能用不同大小的正方形的刷子画轮廓。随着分辨率的加细，可以 看到小波类型的画笔的局限性，需要许多更细的点来描述轮廓。另一方面，新型变换类型 的画笔，通过沿着轮廓不同方向产生不同大小的长方形，可以更有效的抓住轮廓光滑性的 特征。这些最初是由c a n d e s 和d o n o h o 在研究多尺度几何分析方法之的c u r v e l e t l 6 1 1 1 砌变 换中定义的。 户汐 小渡新型变换 图3 1 小波变换和新型变换的比较 国防科学技术大学研究生院学位论文 众所周知的，人类的视觉系统中的视觉感应皮层的接受区域应该具有局部、有方向、 带通的特征。最近，在o l s h a u s e n 和f i e l d t l 9 1 的关于研究自然图像的稀疏组成部分的实验中 产生比较近似于前述的视觉皮层特征的基图像。这个结果支持了关于人类视觉系统是通过 调制用最少的活动视觉细胞来抓住自然图像的主要信息的假设。更重要的，这个结果表明 了有效表示图像需要基于局部的、方向的、多分辨率的展开。基于此，根据应用实践的需 要，通常期望图像表示方法包含下面的主要特征”1 1 ： 1 ) 多分辨率性。图像表示应该让图像从租分辨率到细分辨率层连续的近似。 2 ) 局部性。表示图像的基函数在空间和时间域上应该是局部紧支撑的。 3 ) 严格采样。在一些实际应用中( 如压缩) ，基函数或框架的图像表示应该具有小冗 余。 4 ) 方向性。图像表示应该具有不同方向性的基函数，比可分离的小波提供更多的方 向。 5 ) 各向异性。为了抓住图像中的光滑轮廓，图像表示的基函数应该具有不同方向比 例的拉伸形状。 在这些希望得到的性质中，可分离小波能够提供前三个性质，而最后两个性质不具备， 需要构造新的方法。在多尺度几何分析中，为了突破经典小波的局限，实现更有效的图像 稀疏表示方法，出现了一系列新型方法，已在第一章中提及。方法的种类很多，而且这个 领域刚刚兴起不久，还在日新月异的发展中。随着更多的研究者的进入，和研究的进步 深入，多尺度几何分析理论将越来越丰富，家族将越来越庞大，这里选取了几种比较具有 代表性的多尺度几何分析方法，根据提出的年代顺序列表如下所示： 新型小波提出者时间 b r u s h l e t f r a n g o i sg m e y e r r o n a l dr c o i f m a n 1 9 9 6 r i d g e l e t e n n a n u e lj c a n d 6 s ，d a v i dd o n o h o1 9 9 8 c u r v e l e te n n a n u e lj c a n d 6 s ，d a v i dd o n o h o1 9 9 9 n o i s e l c t r c o i f m a n , y m e y e r 1 9 9 9 b a n d e l e te r w a nl ep e n n e c ，s t 6 p h a n em a l l a t2 0 0 0 b e a m l e td a v i dl d o n o h o , x i a o m i n g h u o2 0 0 1 c o n t o u r l e tm n d o m a r t i nv e t t e d i2 0 0 2 d i r e e t i o n l e tv l a d a nv e l i s a v l j e v i c ，m a r t i nv e t t e r i2 0 0 4 国防科学技术大学研究生院学位论文 3 2 几种主要的多尺度几何分析方法 3 2 1b r u s h l e t ” b r u s h l e t 最初由f g m e y e r 和r r c o i f m a n 等人于1 9 9 6 年提出。图像中的边缘和纹理在所 有可能的位置、方向和尺度存在。因此，有效地分析和描述纹理模式的能力在图像分析和 图像压缩中至关重要。小波分解仅在f o u r i c r 平面进行基于倍频程的分解而角分辨率很弱。 b r u s h l e t 是特殊的双正交小波基，在频域上只有一个峰值，将f o u r i e r 平面进行分割以得到 图像在所有可能的方向、频率和位置的方向纹理的精确表示。直接作用于f o u r i e r 域，从而 能提供精确的时频定位，能有效地分析和描述纹理模式。对含丰富纹理的图像的处理有着 很大的潜力。目前已经将压缩算法应用于具有丰富纹理图像的压缩，取得了很好的效果， 目前正在进一步研究用b r u s h l e t 基设计一种纹理分割方法。 3 2 2r i d g e l e t 5 1 脊波理论由e j c a n d 6 s 在1 9 9 8 年提出，这是一种通过构造脊函数得到的非自适应高 维函数表示方法。由于脊波本质上是通过对小波基函数添加一个表征方向的参数得到的， 所以它不但和小波一样有局部时频分析的能力，而且还具有很强的方向选择和辨识能力， 可以非常有效的表示图像中具有方向性的奇异特征。e j c a n d 6 s 在其博士论文及文献 4 1 给 出了脊波变换的基本理论框架。同年，d o n o h o 给出了一种正交脊波的构造方法【2 0 】。脊波 变换对于具有直线奇异的多变量函数有良好的逼近性能，但是，对于含曲线奇异的多变量 函数，其逼近性能只相当于小波变换，不具有最优的非线性逼近误差衰减阶。为了解决含 曲线奇异的多变量函数的稀疏逼近问题，1 9 9 9 年，c a n d 6 s 又提出了单尺度脊波变换【5 】，并 给出了相应的构造方法，就是为了解决旱曲线奇异的多变量函数的稀疏逼近问题。单尺度 脊波变换的构造是利用剖分的方法，用直线来逼近曲线。 单尺度脊波变换对几何正则图像模型的非线性逼近误差的衰减阶为m a x ( m - , m 圳2 ) 。 可以看出单尺度脊波变换对于具有曲线奇异的多变量函数的逼近性能无疑比小波有明显 的提高。 3 2 3c u r v e l e t 嗍 c u r v e l e t 变换f h c a n d 6 s 和d o n o h o 在1 9 9 9 年提出，是由脊波理论衍生而来的。单尺 国防科学技术大学研究生院学能论文 度脊波变换的基本尺度是固定的，而c u r v e l e t 变换则不然，其可以在所有可能的尺度s 邳 上进行分解，实际上c u r v e l e t 变换是由一种特殊的滤波过程和多尺度脊波变换( m u l t i s c a l e r i d g e l e tt r a n s f o r m l 组合而成。多尺度脊波字典( m u l t i s c a l er i d g e l e td i c t i o n a r y ) 是所有可能的 尺度s 卸的单尺度脊波字典的集合。曲波综合了脊波擅长表示直线特征和小波适于表现点 特征的优点，并充分利用了多尺度分析独到的优势，理论上优势明显，并在实在应用中已 取得了相当好的结果。 曲波本质上是多尺度局部化脊波，它的基本思想就是首先对信号作小波变换将其分解 为一系列不同尺度的子带信号，然后对每个子带再作局部脊波变换。局部脊波变换中子块 的大小