（理论物理专业论文）多人博弈模型的合作现象研究.pdf

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1j 应用约翰纳什的理论进行分析，a a 应该选择他的二号策略，而j w 应该选择他的一 号策略，即得到矩阵元( 2 ，1 ) 对应的收益 1 6 】，这是单轮囚徒困境的均衡态。但是在 实验中研究者们发现，二个代理人得到收益( 1 ，2 ) 的轮数占多轮博弈经历的总轮数 的六成 5 】。关于这个结果，纳什在对实验的评论【5 】中说，有限次的多轮博弈并不能 使博弈双方放弃利用灵活的策略得到更多收益的企图，因而博弈过程也不能达到平衡 态。为了进一步观察矩阵( 1 1 2 ) ，我们可以将矩阵元看作二维矢量，绘出下图 5 ： 1 2 卜( 1 ，2 2 。1 )，| i i 、| ， 一1 时 一1 、( 2 2 ) a a 图1 3 矩阵( 1 1 2 ) 的矢量形式，四边形的顶点 由代理人从和j w 所使用的策略编号来标记 4 多人博弈模型的合作现象研究第一章引言 观察图1 3 我们可以发现，顶点( 2 ，1 ) 是稳妥的选择，可以使双方都不会得到最差收 益。顶点( 1 , 2 ) 是更好的选择，双方都能得到更好的收益；但是同时，代理人a a 可以改变策略而达到对自己更有利的顶点( 2 ，2 ) ，代理人j w 也可能背叛a a 的好意 而试图到达顶点( 1 ，1 ) 。在非合作博弈的情形下，单轮博弈是一锤定音的，但是在 多轮博弈中代理人有余地可以在交锋中影响对方的策略。这点可以从代理人a a 与 j w 在实验过程中的想法记录 5 ，9 里看到。仔细观察矩阵( 1 1 2 ) 可以看到，对代理 人a a 来说，一号策略有利于j w 获得高收益；而对于代理人j w 来说，他的二号策 略有利于代理人从获得更高的收益。这说明代理人a a 的一号策略和代理人j w 的 二号策略实际上可以看作“合作”策略，他们的另一条策略可以看作“背叛”策略。这说 明当单轮的囚徒困境博弈变为多轮博弈的情形时，双方必然背叛却都只能“损人不利 己”的“困境”似乎消失了。这个现象在后来被称为叠代的囚徒困境( i t e r a t e dp r e s o n e r s d i l e m m a ) 。 在八十年代初，有研究者通过计算机模拟对这个现象做了进一步研究 6 】。他们 向五个领域的十四组研究者征集了选择策略的方案，并写成程序使得计算机可以代替 真人作为代理人进行博弈。在这些方案的捉对博弈中，“一报还一报( t i tf o rt a t ) ” 方案最终胜出，成为了实验和理论方面新的研究热点 1 7 1 9 ，4 2 。在这些研究的基础 上，有研究者将可以引入博弈模型并进而改变代理人合作行为的因素，总结为 1 7 ： 亲缘选择( k i ns e l e c t i o n ) 2 0 2 2 】；群体选择( g r o u ps e l e c t i o n ) 【2 0 ，2 1 ，2 3 ，2 4 】直接 互惠( d i r e c tr e c i p r o c i t y ) 2 0 ，6 1 ；间接互惠( i n d i r e c tr e c i p r o c i t y ) 【2 0 ，2 6 - 2 8 ；网络互 惠( n e t w o r kr e c i p r o c i t y ) 2 0 ，2 9 1 。同时，为了对这些实验或者计算机模拟的结果进 行分析，有研究者将处理逾渗现象和跃迁现象的物理工具用来分析博弈现象 7 】，例 如复制动力学( r e p l i c a t o rd y n a m i c s ) 3 6 或者主方程( m a s t e re q u a t i o n ) 3 2 ，3 5 等。 至此，在对以囚徒困境博弈为主的关于博弈现象的研究过程中，研究者们发展出 了一套博弈论的研究框架，可以用来方便的分析和研究分布于各种关系网络上的代理 人群体中的博弈过程。有研究者将这一套框架用于研究现实世界中的生物进化现象， 也有研究者转而研究雪堆博弈模型在网络上的演化行为【3 7 4 0 或在叠代博弈中的合 作现象 4 2 】。在本文的研究中，我们也将注意力集中在这个方向，研究了雪堆博弈模 第一章引言多人博弈模型的合作现象研究 型和变化的雪堆博弈模型在全局耦合网络( w e l l m i x e dn e r o ) 3 1 】和动态的e z 网 络 4 l 】上的合作现象，并且得到了一些很有意思的结论。 1 2 本文的主要工作 我们从2 2 雪堆博弈模型着手，按照实际情形修改收益矩阵，并采用不同的代 理人关系网络和不同的演化机制，提出了多种变化的雪堆博弈模型，并分别进行了模 拟和理论分析。具体工作如下： 一、多人演化雪堆博弈模型及其变化模型在两种演化机制下合作行为的特点 我们在原始的2x2 雪堆博弈模型基础上，可以得到考虑时间收益 ( t i m e i n v o l v e d ) 的多人二策略雪堆博弈模型。这个模型里，采取合作( c o o p e r a t e 或c ) 和不合作( d e f c c t 或d ) 【7 】的代理人在博弈中获得的收益分别定义为砟( n ) 和 r ( 甩) ，是人群中c 代理人数量，z 的函数。我们假定人群中的合作代理人越多，“雪堆” 越快被铲走，因而被雪堆所阻的代理人们能越快上路。我们在收益函数只( 珂) 和r ( 甩) 中引入参数w ，来反映这种提前所带来的好处。这就是“考虑时间收益的多人博弈” ( t i m e i n v o l v e dm u l t i p e r s o ns n o w “f lg 锄e 或t m s g ) 3 3 ，3 4 模型。我们将这个模 型与原始的雪堆博弈模型的合作行为进行比较，并分析了系统中合作行为产生与增强 的原因。 在演化博弈模型中，需要引入演化机制来确定群体中的代理人如何选择策略来应 对每一轮博弈。这些演化机制包括“模仿”和“反省”等机制【3 4 】。我们研究了在这两种 机制下，上述原始的雪堆博弈和变化的雪堆博弈模型中，代理人之间的合作行为。我 们发现在这些模型中，在代理人可以“模仿”他人的行为或者决策来做出决定的演化机 制下，相互竞争的代理人组成的集团将最终演化到所有成员都不合作的状态。而如果 这些代理人能够根据自己的既得利益进行“反省”，做出比当前的行为或决策更有利的 选择，那么在由这样的代理人组成的集团中总是存在合作行为。同时，考虑时间收益 的多人雪堆博弈模型中的参数比w b 对其行为有重要影响。多人雪堆博弈模型可以看 6 多人博弈模型的合作现象研究 第一章引言 作考虑时| 白j 收益的多人雪堆博弈模型中w - - 0 时的情形。而当w 0 时，我们发现系统 中的合作频率增强，并得到了代理人全合作的状态。 二、考虑时间收益的多人雪堆博弈模型在动态网络中的行为 在第一部分研究中，代理人群体之间的关系是静态的，并且只包含较少数量的代 理人。在这部分研究中，我们将考虑时间收益的多人雪堆博弈模型放置于动态的e z 网络中进行研究。通过从不同的参数( 解散集团与集团合并的概率) 出发改变构造 e z 网络，我们可以控制群体中的合作频率。这个过程可以定性的用第二章的研究得 到的结论来解释。我们利用动力学方程计算了合作频率在不同参数组合下的演化终止 条件，并将此时系统的状态与计算机模拟的结果做了对照。 三、考虑时间收益的多人博弈模型中的合作加强与群体协作现象 我们考虑规模比较大的群体，研究其中由小部分代理人之间的互相博弈引起的合 作行为。每轮从整个群体中选出数量为的一组代理人，称为取样组( s a m p l i n g g r o u p ) 。在这样的取样组中，所有成员进行一轮代理人博弈，并决定是否改变策 略。这罩所用的模型为考虑时间收益的多人雪堆博弈模型，代理人通过“反省”决定是 否改变策略。由于取样组成员是随机抽取的，所以其策略比例应当近似于系统内各策 略的比例。同时，由前一部分的定性研究可知，在一个全局耦合的集团中合作频率的 演化行为由参数比w b 决定，也受到集团尺寸也就是这里的取样组大小的限 制。这样，小集团中的博弈过程，最终影响到了整个人群中的合作频率。作为对照， 我们通过复制动力学( r e p l i c a t o rd y n a m i c s ) 的方法，解析的研究了这个系统的性质。 当合作频率的数值变化速率为零时，系统达到平衡态，合作频率取值为不动点。通过 分析我们发现随着系统参数的变化，如取样组大小、模型中参数之比w b 和c b 等 取不同的值，平衡态可能从稳定态变为不稳定态，合作频率受n d , 的扰动后系统便会 开始向其它稳定态演化；反之不稳定态可能变为稳定态，吸引合作频率向其接近。 四、考虑“直接惩罚的雪堆博弈模型 我们对考虑“惩罚”效应的雪堆博弈模型进行了研究。在这个模型中，竞争取样组 被取为二人情形，相应的描述博弈过程的收益矩阵由原始二人雪堆博弈模型中的包括 “合作”、“背叛”的二阶矩阵变为包括“合作”、“背叛”和“惩罚”的三阶矩阵。这里的“惩 罚”策略是指，“合作”代理人中的一部分在遇到同样“合作”的代理人时仍然与之合作； 7 第一章引言 多人博弈模型的合作现象研究 而遇到不合作者的代理人时，会通过承担收益损失口，使“不合作”的代理人遭受收益 损失声( 口 c 0 时合作的行为才是有利可图的。本文中我们将参与竞争的选手 称为代理人( a g e n t ) 。某个代理人的收益与其它代理人采取何种策略的有关。收益 矩阵( 2 1 ) 就是原始二人雪堆博弈模型的数学表达式。当有多人参加博弈竞争时， 模型演变为多人雪堆博弈模型。具体过程可以描述为：如果被同一堆雪阻挡的司机有 n 个，其中至少有一个出力铲雪，所有参与者才能得到收益b ；而如果参与合作铲雪 者的数量为门，则每个合作者付出代价为c n 。于是多人雪堆博弈( n s g ) 模型中合 作者与不合作者的收益为： 犀= b c n ，n 1 ( 2 2 ) 弓2 6 刀 1 ，n 0 n 0 一l 】 i= 由公式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可知，在一轮多人雪堆博弈中， 略就能保证自己得到的收益不少于他人。从这点上说， ( 2 3 ) 代理人只要采取不合作的策 多人雪堆博弈有可能抑制合 第二章演化霄堆博弈模型中的合作行为多人博弈模型的合作现象研究 作现象的产生。然而合作的人越多，合作得到的收益越高，这又有可能增加合作频率。 当考虑在一个大人口群体中随机抽取以个代理人进行博弈时，动态复制( r e p l i c a t o r d y n a m i c s ) 演化的研究表明在给定b 、c 参数时总人口的合作频率随”的增大而减小。 即人数越多，合作频率便越被抑制 3 】。 然而以上的模型并没有考虑完成一个任务所需的时间效应。我们知道，在现实生 活中完成某些种类的工作需要的人力小时数可以认为大致为定值，合作者的数量和 完成工作需要的时间大致有反比关系，比如铲雪。据此我们提出这样的假设：只要任 务提前完成，所有人都会因为节省时间而得到额外收益。于是多人雪堆模型可以进一 步变异为有时间收益的多人雪堆模型，其中代理人合作铲雪或者不合作地等待雪被铲 走所获得的收益如下： p c = b c 疗+ w w 以刀1 ( 2 4 ) 和 p ：0 以= 0 ( 2 5 ) p d2 16 + w w ，l，l 1 旺5 其中的额外收益因子w w n 表示提前完成工作带来的附加收益( 比如可以提前回家 休息等) 。这里我们假定，当只有一个代理人在铲雪时，所有代理人都没有得到额外 收益；而合作铲雪的代理人越多，铲走雪堆所需要的时间便越少，附带的额外收益便 越大。我们把这种模型称为有时间收益的雪堆博弈模型( t i m e r e w a r d i n gs n o w d r i f t g a m e ) 。将这样的博弈模型与某种演化机制相结合，可以得到演化博弈模型。 演化机制通常为“反省”机制和“模仿”机制等。模仿机制是指，在一轮博弈完成后， 当代理人f 要决定以什么策略参与下一轮博弈时，他会将自己在这一轮得到的收益p 与随意选出的代理人的收益e 做比较。如果e 只，代理人f 会以正比于收益差额 的概率缈跟从代理人歹的策略。多人雪堆博弈模型中，代理人可以选择的策略为合作 与不合作，于是可能导致代理人改变策略的收益差p 为 b a t = 品( 胛) 一t o ( n ) ， ( 2 。6 ) 1 2 多人博弈模型的合作现象研究第二章演化雪堆博弈模型中的合作行为 或 a p = p o ( n ) 一p c ( n ) 。 ( 2 7 ) 在反省机制中，代理人会假设自己以不同的策略参与当前一轮博弈，并以之为参考来 决定下一轮采取什么策略。例如当代理人在本轮竞争中采取合作行为，并得到真实的 收益p 之后，他将假设自己采用不合作行为( 虚拟的策略) ，则本轮竞争可能得到虚 拟的收益只。通过对比只与只，如果只 e ，那么这个代理人将以正比于收益差的 概率国，用虚拟策略参加下一轮博弈；如果 0 ( 2 1 0 ) 国2 1 u7 【0 a p 0 ，这个策略变化过程才可能发生。 在图2 1 ( a ) 的模型中我们采用多人雪堆博弈模型与模仿机制构成演化模型。这时， 只要初始时刻系统中存在不合作的代理人，那么最终系统会达到代理人全都不合作的 状态。在图2 1 ( b ) 表示的演化模型中，我们采用了有时间收益的多人雪堆博弈+ 模 仿机制。由于在这个博弈模型中，因为提前完工而得到的额外收益对于所有代理人都 是相同的，这个额外收益项不会影响收益差额的取值。因而图2 1 ( b ) 的结果和图 2 1 ( a ) 的结果应当是相同的，稳定态均为所有代理人都不合作的状态。图中所示的 模拟结果也验证了这一点。图2 1 ( c ) 的演化模型由多人雪堆博弈模型与反省机制构 成。图2 1 ( d ) 的演化模型则由有时间收益的多人雪堆博弈和反省机制。使用反省机 1 4 ，协十i_ t i i ￥r ， 一 多人博弈模型的合作现象研究 第二章演化雪堆博弈模型中的合作行为 制时，收益差额关于合作代理人数量的曲线发生了变化。反省机制实际上是在系统中 不断引入扰动，因而系统不会稳定于代理人采取一致策略的状态。此外，由于反省机 制中，计算虚拟收益时考虑的合作代理人数量与计算真实收益时的不同，在这二个博 弈模型中收益差额关于合作代理人数量的曲线也不相同。图2 1 ( c ) 和图2 1 ( d ) 的 结果说明了这些特点。观察图2 1 ( c ) ( d ) 我们可以看到，图中的实线( 不合作代 理人转而采取合作策略时的收益差额) 和虚线( 合作代理人转而采取不合作策略时的 收益差额) 均存在使a p 0 的区间，这说明这两种演化博弈模型中存在稳定态，即在 这样的状态下，所有代理人都不能通过单独地改变自身策略而得到更高的收益。其中 图2 1 ( c ) 的稳定态存在于只有一个代理人采取合作策略的情况下；而图2 1 ( d ) 的 稳定态也出现在合作代理人为特定数量的情况下。与图2 1 ( c ) 不同的是图2 1 ( d ) 中稳定态时的代理人数量与参数w c 的取值有关。我们以计算机模拟进一步研究这个 情况。模拟的结果见图2 2 。 我们在模拟中考虑了一个全局耦合系统。这个系统包含的代理人数量为，并 且在初始时刻既有合作者也有不合作者。我们首先以不同的合作者频率作为初始的合 作者频率，让系统分别按照图2 1 ( c ) 与图2 1 ( d ) 所描述的演化模型依据的给定参 数进行演化，并观察了演化过程的时间序列和确定了弛豫时间。然后我们取合作者频 率与不合作者频率相同的情况作为初始状态，参照上述弛豫时间进行了模拟。模拟结 果绘制于图2 2 中，图中横坐标为整个系统代理人的个数，纵坐标表示在整个系统中 合作代理人出现的频率。图中的结果分为三个部分：区域a 、区域b 和曲线c 。 我们对图2 1 ( d ) 中的有时间收益的雪堆博弈+ 反省机制的演化模型，取w c = 1 0 进行模拟，得到了在图2 2 的坐标系中这个模型的稳定态区域。这个区域由相邻的一 对虚线和实线分别标出上边界和下边界，称为区域a 。三角形标志为计算机模拟的演 化过程所达到的稳定态。由于代理人数量为整数，所以当w c 也取为整数时，稳定态 正好位于区域彳的上下边界处。而模拟过程最终稳定于上边界处还是下边晃处，还与 最初的合作者频率有关。 类似地，当w c = 5 时，我们得到了区域曰。这个情况下的模拟结果与取w c = 1 0 时的结果有相同形状。通过比较彳、b 区域，我们发现w c 的取值确实影响稳定态的 第_ 二章演化雪堆博弈模型中的合作行为多人博弈模型的合作现象研究 范围，但是这个范围同时也受到系统中代理人总数的约束。图2 2 中的曲线c ，由图 2 1 ( c ) 所对应的模型得到。这时的稳定态确实对应于只有一个代理人采取合作策略 的情况。 z 、u 0 5 c w , - - u 0 0 1 01 0 0 n 图2 2 不同模型下，终态合作频率与系统大小的关系 彳) 有时间收益的雪堆博弈模型+ 反省机制，w c = 1 0 b ) 有时间收益的雪堆博弈模型+ 反省机制，w c = 1 0 c ) 多人雪堆博弈+ 反省机制 7 5 ，。、 五5 0 2 5 11 010 0 w ，c 图2 3 稳定状态下合作者数量与w c 的关系 比较图2 2 中的区域彳和区域b ，可以粗略地看出参数比w c 对“有时问收益的 1 6 多人博弈模型的合作现象研究 第二章演化雪堆博弈模型中的合作行为 多人雪堆模型 + “反省机制”构成的演化模型的稳定态的影响。在图2 3 三中，我们去 掉了系统尺寸对稳定态的限制，将满足p 0 的合作代理人的数量与w c 的关系表示 了出来。若根据系统中代理人的总数加上水平的辅助线，则这条辅助线在曲线右 侧的部分和曲线在辅助线下方的部分构成了系统稳定态关于w c 的变化关系曲线。 在不考虑系统尺寸所加的限制的时候，我们可以将公式( 2 。2 ) ( 2 5 ) 代入公式 ( 2 8 ) 和公式( 2 9 ) ，得到满足a p s p ，这是原始雪 堆博弈的情形 1 。而当 1 时有r t s p ，这是围猎牡鹿( s t a gh u n t ) 1 】的情 形。观察公式( 3 1 ) 和公式( 3 2 ) 可以看到，在包含较多的代理人的群体中，当合 作代理人数量已经达到较大值时( 例如咒一1 0 0 ) ，即使有更多的代理人进行合作劳动 也不能明显地增加时间收益。这样的群体，使整个系统很难达到全合作状态。 为了构造演化模型，我们假设系统中的代理人在e g u 1 u z z i m m e r m a n n 网络【2 上 1 9 第三章耦合动态网络中的博弈模型 使用这个博弈模型按照“反省”机制演化。 通常在实际情况中，并不是群体中所有的代理人 只涉及一部分代理人。我们假设代理人群体分布于e 络) 上。e z 模型定义了一个随时间变化的动态人群分布系统。在初始时刻，这个网 络处于个体均相互孤立的状态，整个系统可以看作由大量只包含一个代理人的小集团 组成；在时刻，在所有集团中以正比于集团所含代理人数量的概率选出一个集团， 然后以概率u 。将这个集团解散为个体，或以概率将这个集团与按同样方式选出的 另一个集团合并为更大的集团，或以概率1 一d ，一保持原有的网络结构。在此基础 上，我们将每个集团中的代理人看作是在本集团中全局耦合，即一个集团中的代理人 将共同参与同一轮多人博弈。在每一轮博弈中，以正比于集团大小的概率在所有集团 中挑选出一个集团，这个集团中的所有成员共同进行一次多人博弈并更新各自的策 略；而同时随着时间演化，e z 网络中的集团也在不断的解散成个体或聚合成更大的 集团，但是在这些过程中代理人保持自己的策略。实验中进行博弈过程的速率，与 e z 网络散团的速率取为在一个数量级。二个过程相对速率的不同会影响到实验结果。 由第二章中的研究可知，当群体中的代理人分布于全局耦合网络上时，合作频率 的稳定值可以表示为：厶= m i n i n t ( f l + 1 ) n ，1 】( 可见图2 3 、公式2 1 l 和相关说明) 。 这个稳定态合作频率表达式说明，在每一轮博弈过程里，包含少于个合作者的集团 中不合作代理人会转而采取合作策略，而在包含多于+ 1 个合作者的集团中合作的 代理人会转而采取不合作策略。这二个过程影响着系统的合作频率，直到系统达到稳 定状态。于是可以得到合作频率丘的演化动力学方程： 盟d t = 姜号暑毗 七) - k c o t g ( k - f l - 1 ) + ( s - k ) c o o ( f l - k ) ( 3 3 ) 表示整个系统中个体的总数。c o 表示代理人改变策略的概率，这里我们将这个概 率取为常数。网络演化时间足够多时，包含j 个代理人的集团的数量，l ，满足幂律分布 【3 j ： 磐掣 ( 3 4 ) ( 2 + u ，) 2 川 一 q ( 石一，七) 表示在系统中挑选出一个大小为j 的集团，这个集团中包含尼个代理人的 概率。我们以二项式分布规律来表示这个值： q ( 而 七) 2 石二! 击两( 石) ( 1 一五) ”。 ( 3 5 ) 阶跃函数的性质为当x 0 时，臼( x ) = 1 ；当工o 时，秒( x ) = o 。于是在动态演化的e z 网络上，整个群体中的合作频率由系统中所有集团之间的动态重组和考虑时间效应的 多人雪堆博弈过程的共同演化来决定。如果令公式( 3 3 ) 的值为零，则可以解得这 个演化过程的稳定态合作频率。 3 2 结果和分析 图3 1 合作频率关于收益成本比的变化关系 = = 0 5 ，w = 0 5 2 l 第三章耦合动态网络中的博弈模型多人博弈模型的合作现象研究 图3 1 表示合作频率尼随成本收益比三t c 的变化关系。这罩我们取e z 网络的 散团概率为y 。= o 5 ，组团概率为i , p r n = 0 5 ，而t m s g 中的参数w = o 5 ，整个群体的 代理人数量为n = 1 0 0 0 0 。对应的理论曲线与模拟结果见图3 1 上半部分中的曲线。 同时我们也将在n = 1 0 0 0 0 的全局耦合网络中得到的f c 一关系绘出以作为对照( 理 论曲线与模拟结果见图3 1 下半部分) 。由第二章中的分析可以知道，当代理人通过“反 省”机制来选择策略时，小集团内部的合作代理人数量趋向于：f t c ，t c + 1 1 。于是在 所含代理人数量小于p = t c 的集团中，合作代理人数量到达这个范围前，集团中的 代理人已经都选择了合作策略，即出现全合作状态；而在较大的团中，不合作代理人 则会滋生。于是我们可以这么解释图3 1 中e z 网络上尼一曲线的成因：当 7 0 ) 数 量较小，相应的厅5 的取值有比较大的随机性。 第三章耦合动态网络中的博弈模型多人博弈模型的合作现象研究 图3 3 合作频率关于e z 网络组团、散团概率的分布 ( a ) = o 1 ，( b ) = 1 ，( c ) = 1 0 。 在图3 3 中，我们给出了系统合作频率尼关于关于e z 网络组团概率和散团概 - 率1 9 p 的分布。显然，这个分布受到收益成本比的影响。由公式( 2 1 1 ) 可知在一个 完全耦合的集团中，合作代理人数量有刀o _ ) 【，p + 1 】。当博弈过程进行的速率与 e z 网络散团速率相当时，给定的越大，不合作代理人转而选择合作策略的情况便 越多。这样，整个系统中合作的代理人越来越多，合作频率增大，并出现代理人全合 作状态。此外，观察图3 3 中单独一张相图可以看到，散团概率d 。较大能够促进合作， 而组团概率d 。比较大则会抑制合作。这是因为在有时间收益的雪堆博弈模型中，每 个小集团中“铲雪”的代理人数量不多于+ 1 个便可以使集团成员获得最好的收益， 并且这个参数是不随集团大小变化的。这就是说一个集团包含的代理人越多，有机会 不劳而获的代理人数量便可能越多，从而抑制合作。而当u 。较小或较大时，系统 中包含较多代理人的集团的数量便会增加，从而出现相图中所示的分布。 3 3 小结 虽然e z 网络上的组团散团过程复杂，相同大小的集团的形成历史也可能是不同 多人博弈模型的合作现象研究第三章耦合动态网络中的博弈模型 的，但是通过比较计算机模拟结果和基于二项式分布的理论计算可知，在这个动态网 络上竞争集团形成的过程和博弈过程，可以看作是从体统中随意挑选出一些只包含一 个代理人的集团，然后直接组成一个竞争集团并进行博弈的过程。在此基础上，我们 可以利用动力学方程的方法准确的得到这个模型的演化行为。 参考文献 a x e l r o dr a n dh a m i l t o nw d ，s c i e n c e ，19 81 ，211 ，13 9 0 ；a x e l r o dr ，t h e e v o l u t i o no fc o o p e r a t i o n ( b a s i cb o o k s ，n e wy o r k ，19 8 4 ) e g u i l u zv m a n dz i m m e r m a n nm g ，2 0 0 0 ，c o n d - m a t 9 9 0 8 0 6 9 v 4 f u n gy k ，a g e n t - b a s e dm o d e l so fc o m p e t i n gp o p u l a t i o n ，( f o rf u l f i l l m e n to