（应用数学专业论文）复等角紧框架的若干结果.pdf

河南大学硕士论文 中文摘要 1 9 5 2 年，d u f f i n 和s c h a f f e r 在研究非调和傅立叶级数时提出了h i l b e r t 空间框 架的概念当今框架己经广泛应用于小波分析、信号处理、图象处理、数据压缩、抽 样理论、数值计算、函数空间理论等领域的研究 本学位论文主要讨论h i l b e r t 空间上复等角紧框架理论内容由四章组成 第一章综述框架和等角紧框架理论的产生、发展，并简介论文的主要工作和论 文结构 第二章给出一般框架和g r a s s m a n n i a n 框架的概念及它们的一些基本性质 第三章主要研究h f l b e r t 空间上复等角紧框架的一些问题首先给出了等角紧 框架的一些性质和判定的方法；其次把一些实等角紧框架的结果推广到了复等角紧 框架 最后一章是对本文的总结和展望 关键词：框架，紧框架，等角紧框架 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i n1 9 5 2 ，d u f f i na n ds c h a f f e ri n t r o d u c e dt h ec o n c e p to ff r a m ef o rh i l b e r ts p a c ei no r d e r t os t u d ys o m ef u r t h e rp r o b l e m si nn o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e s t o d a y , f r a m eh a sb e e n w i d e l yu s e di nw a v e l e ta n a l y s i s ，s i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g ep r o c e s s i n g ，d a t ac o m p r e s s i o n ， s a m p h n gt h e o r e m s ，n u m b e r i c a lc a l c u l a t i o n ，t h e o r yo ff u n c t i o ns p a c e ，a n ds oo n t h i st h e s i si sm a i n l yt od i s c u s st h et h e o r yo fc o m p l e xe q u i a n g u l a rt i g h tf r a m ef o r h i l b e r ts p a c e t h ec o n t e n tc o n s i s t so ff o u rp a r t s c h a p t e r1s u m m a r i z e st h ee m e r g e n c ea n dd e v e l o p m e n to ff r a m ea n de q u i a n g u l a r t i g h tf r a m e ，a n ds k e t c h e st h em a i nw o r ka n dt h es t r u c t u r eo ft h et h e s i s c h a p t e r2i n t r o d u c e st h ec o n c e p t sa n ds o m eb a s i cp r o p e r t i e so fg e n e r a lf r a m ea n d g r a s s m a n n i a nf r a m e c h a p t e r3 s t u d i e ss o m ep r o b l e m so ft h ec o m p l e xe q u i a n g u l a rt i g h tf r a m ef o rh i l b e r t s p a c e a tf i r s t ，s o m ep r o p e r t i e sa n dj u d g i n gm e t h o d so fe q u i a n g u l a rt i g h tf r a m ea r eg i v e n s e c o n d l y , s o m er e s u l t so fr e a le q u i a n g u l a rt i g h tf r a m ea r ee x t e n d e dt oc o m p l e xe q u i a n g u l a r t i g h tf r a m e t h ef i n a lc h a p t e ri sas u m m a r yo ft h i st h e s i sa n dp u t sf o r w a r dt h ev i s i o nf o rf u t u r e k e yw o r d s ：f r a m e ，t i g h tf r a m e ，e q u i a n g u l a rt i g h tf r a m e i i 关子学位论文独立完成和内容创新的声明 本人向河南大学提出硕士学位中请。本人郑重声明：所呈交的学位论文是 本人在导师酌指导下独立完成台勺。对所研究备勺课题有新的见解。据我所知，除 文中特别加以说明、标注和致谢的地方外，论文中不包括莫他人已经友耒或撰 写过奇勺研究成果也不包括其他人为获得任何教育、科研机构的学位或证书而 使用过的材料。与栽一同工作的同事对奉研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意j ， ；j ? 。- 牝手轰j 葶毒麓- 笼乏蓝企 寸。：、一r ， ，。 o jr 、 学住孝请冬 0 ，使对任意f h 有 i ( ， ) 1 2 b i i f l l 2 ， ( 2 1 ) k e n 则称【 ) 七n 是日上的一个b e s s e l 点列，其中b 称为b e s s e l 点列 ) k n 的 b e s s e l 界 定义2 1 2 设点列 a k n h 如果存在常数a 和b 满足0 a b o o ， 且对任意的，h 都有 a l l 1 1 25 ) 1 2 驯川2 ，( 2 2 ) k e n 则称 a ) 七n 是日的一个框架满足上述不等式的a ，b 称为框架 ) 七n 的框架 赛；满足不等式的a 的上确界和b 的下确界，分别称为 a k n 的最优框架下界 和上界特别，当a = b 时，称 ) 挺n 为紧框架；当a = b = 1 时，称 ) 七n 为 规范紧框架( 或p a x s e v a l 框架) 当i i = l ( k n ) 时，称 a k n 为一致框架 4 河南大学硕士学位论文 注1 ( 1 ) 显然框架 a k n 一定是b e s s e l 点列当 a k n 是日上的框架 时， ) n 一定在日中稠密这是因为 日= s p a n ) 凫n 所以v ，( s p a n a k n ，从( 2 2 ) 式立且p , - j - 得，= 0 ，即h = s p a n a k e n 如果【f k k n 是它自身线性闭包s p a n a k e n 上的框架，则 称 ) 七n 是框架点列 研究框架时，人们总是把它和算子结合起来与框架有关的算子主要是准框架 算子( 或重构算子) 和框架算子，其定义如下 定义2 1 3 设【 ) 七n 是日上的框架，定义( ) 七n 的准框架算子t 为 t ：1 2 ( n ) 一h ， ( 2 3 ) k n t c 七k n = c 七 t 的定义是合理的，t 是线性有界的，且l i t i l 循( 见定理2 1 4 ) 若 a k n 是日上的框架，则对任意的，日， ( ， ) 】k n 1 2 ( n ) 所以 对任意的_ c 七) 知n 1 2 ( n ) 及，h ，有 ( t c ) j c n ，) = ( c 七 ，) = 钆( a ，) = ( c 七) 血n ， ( ) ) 七n ) ， 从而可知算子t 的共轭算子r ：日一1 2 ( n ) 为 r ，= ( ( ，a ) ) j c h ，v ，h ( 2 4 ) 注2 由上述过程可知，对b e s s e l 点列也可定义其准框架算子且也有i i t i f 佰 实际上，算子t 可以用来判断b e s s e l 点列或框架，下面给出的两个定理就说 明了这些问题 5 河南大学硕士学位论文 定理2 1 4 ( ( 3 】)设 0 ，使得v ，e d ，a l l 1 1 2 l ( ， ) 1 2 七= 1 7 河南大学硕士学位论文 对于有限维空间上的框架的框架算子s 有 定理2 2 2 假设 ) 丝1 是h 上的框架，s 为其框架算子， a j c ) 2 ：1 是s 的 特征值，那么 ( 1 ) 这个框架的最优下界为s 的最小特征值，最优上界为s 的最大特征值； d ( 2 ) l i 1 1 2 = 丸，从而l l 1 1 2 收敛 定理2 2 3 设 ) 篷1 是日上的一致紧框架且界为a ，那么a = n d 定理2 2 4 给定n d ，那么日中存在由个元组成的一致框架 2 3 g r a s s m a n n i a n 框架及相关性质 本节主要介绍g r a s s m a n n i a n 框架的概念和定理，详细见f 1 0 ，l7 】 定义2 3 1 设 ) 丝1 是e d 中的一致框架，则 ) 怎1 的最大相关 性m ( a ) 怨1 ) 定义为 m ( 【a ) 丝1 ) 。七m f a 七x 1 【i ( ，f ) i ) ( 2 7 ) 定义2 3 2 e d 中的一列向量 让血) 丝1 称为g r a s s m a n n i a n 框架，如果它满足： m ( u k ) 丝1 ) = 血n m ( 【 】丝1 ) ) ， ( 2 8 ) 其中最小值m i n 取遍e d 中的所有一致框架 换句话说，一个g r a s s m a n n i a n 框架是将全部具有同样冗余度的一致框架的框架 元素之间的最大的相关性减到最小显然，最小值在( 2 8 ) 式只依赖于参数和d 定义2 3 3 设n ，d n ，d n ， ) 丝1 是e d 的框架，l l i | = 1 如果满足 m ( a ) 冬1 ) = n - d 万， 则称 ) 磐1 是最佳g r a s s m a n n i a n 框架 河南大学硕士学位论文 g r a s s m a n i l i a n 框架总是存在的( 证明参见【17 】附录) ，但构造g r a s s m 锄1 i a n 框 架却是相当困难的( 1 5 ，2 5 ，2 6 ) 事实上，g r a s s m a 衄i a n 框架与一些数学和工程学的 其它领域联系甚多，例如，g r a s s m a n n i a n 空间的填充，球形码和球设计，等角线的 构造，强正则图，和减少相关基于通信系统包的损失( 8 ，1 1 】) 等 9 第三章等角紧框架 等角紧框架最先出现于离散几何学方面( 【2 7 ) ，但是今天具有很广泛的应用， 例如，在信号处理、数字通信、编码理论等方面都有应用( 【1 0 一1 1 ，2 6 ，2 8 2 9 ) 在本章中，我们将对有限维h i l b e r t 空间上复等角紧框架的存在性问题进行研 究，得到复等角紧框架的若干结果 3 1 等角边 定义3 1 1 如果点列 ) 怎1 具有性质：v k ，i i | i = 1 ，且存在常数c 使 得i ( a ，f z ) l = c ( 2 ) ，则称 】丝l 是一个角度为c 的等角边 我们想要构造等角紧框架，首先需要等角边，即，在e d 中需要一组条边 在某种意义上是等角的在e d 中构造任何个数的等角边问题( 尤其是最大个数) 是 一个基本的和困难的数学问题记e d 中等角线最大个数为m ( d ) 1 9 6 6 年，p n e u m a n n ( 【27 】) 给出了如下结论，即 定理3 1 2 ( p n e u m a n n )如果在r d 中有一个以q 为角度的等角边且m ( d ) 2 d ，则石1 是奇数 在1 9 7 3 年，l e m m e n s 和s e i d e l ( 3 0 】) 对等角边的个数做了广泛的研究，给出了最 大等角边个数的一个上界，即 定理3 1 3 ( f 3 0 】) 如果在r d 中有m ( d ) 个等角边，则 m ( d ) 掣掣 定理3 1 4 ( 【3 0 ) 如果在c d 中有m ( d ) 个等角边，则 m ( d ) d 2 1 0 河南大学硕士学位论文 3 2 等角紧框架的概念及基本性质 本节介绍等角紧框架的概念及基本性质 定义3 2 1 设f 是一个d n 的矩阵，其列向量为 ，止，瓜，则矩阵f 称 为等角紧框架( 简称e t f ) ，如果满足下列条件： ( 1 ) 每一列都是单位模：v 七= 1 ，2 ，i i a | | = 1 ； ( 2 ) 列向量是等角的，即，存在某一常数a ，使得 v k l ，i ( ，五) i = a ； ( 3 ) 歹0 向量形成一个紧框架，也r p 是，f f + = 鲁j 条件( 2 ) ，( 3 ) 等价于i ( ，五) l = 、茹焉，所以等角框架且角度为q = 、书焉时，该框架是紧的 等角紧框架具有下列性质 命题3 2 2 ( 不变性) 假设f 是一个e t f ，则下面的变换保持砑f 的性质 ( 1 ) 用一个酉阵左乘f ； ( 2 ) 重排f 的列向量； ( 3 ) f 的每一列都乘以一个绝对值为1 的数 命题3 2 3 ( ( 2 4 】)设 ) 丝1 是e d 的一个紧框架如果v 七，l i h l l 0 且存在一 个常数c ，使得v k z ，i ( 翻，旆) i = c ，则v k z ，i i i i = i i i i 下面的定理表明每个等角紧框架都具有双重性，同时引出补等角框架的概念 先看实的情形 定理3 2 4 ( 【2 0 】)若 ) 怨1 是r d 的e t f ， p = 斋a ， 其 中 ) 知n ：1 是r 的就范正交基，p 是正交投影算子， 则【、凼( j p ) ) 怎1 是r _ d 的e t f ，称为 ) 挺1 的补等角紧框架 复的情况也有类似的结论，参见1 2 2 河南大学硕士学位论文 3 3复等角紧框架的若干结果 已经知道，对大多数整数对( ，d ) ，e t f 不存在( 15 】) 本节研究复等角紧框 架的一些问题，得到若干结果 显然，e d 中就范正交基是等角紧框架首先我们有 定理3 3 1 ( 【1 0 】) 设 a ) 冬1 是e d 中的一个框架，且vk ，l i i i = 1 ，则 m ( 怨1 ) ( 3 1 ) 且等号成立当且仅当 ) 怎1 是一个等角紧框架更多地，若e = r ，则仅当n 业2时，( 3 1 ) 式中等号能成立；若e = c ，则仅当n d 2 时，( 3 1 ) 式中等号 能成立 我们的第一个结果为 定理3 3 2 在c d 中，( n d + 1 ) 元e t f 存在的必要条件为 n m i n d 2 ，( n d ) 2 ) ， 或等价地 2 d + 1 + x 五d + 亘1 d 2 2 一一 且 证明由定理3 3 1 和定理3 2 4 知， 后面的不等式变形为 即 n d 及这n 元 边线性张成e d ，那么 茎高d 更多地，等号成立当且仅当这个元形成e d 的e t f 证明由定理3 3 1 知。 a 1 4 河南大学硕士学位论文 因此 即 注意到 所以 o l 2 d n d a 2 n d ， ( 1 一a 2 d ) d ( 1 一q 2 ) 1 1 d ， a 1 一a 2 d 0 因此 而1 - - 口2 d 由定理3 3 1 知，等式成立当且仅当这n 个元形成e t f 对于某些特殊的( n ，d ) ，我们可得到复e t f 存在的另外几个必要条件首先 给出一些必要的代数背景( 【3 1 ，3 2 ) 一个代数整数是一个复数o l ，它是一个多项式p ( x ) = 0 的根，其中p ( z ) 是 整系数的首一多项式( 又称为最小多项式) ，首一是指最高幂次项的系数是1 因此， 所有代数整数都是代数数，但并非所有代数数都是代数整数 两个代数整数的和、差及积是代数整数，但他们的商就不一定是一个以代数 整数为系数的首一多项式的根也是代数整数换句话说，代数整数构成一个环，并 且在任何代数扩张下是整闭的有理的代数整数是一般整数 引理3 3 6 ( 1 6 】) 假设矩阵b 为实对称矩阵，且b 的元素为代数整数，那 么b 的特征值为实代数整数此外，若b 的元素属于复数的子域f ，且b 的 一个特征值a 的重数不同于其它的特征值的重数，那么入f 1 5 河南大学硕士学位论文 定义3 3 7 ( 3 2 ) 设是线性空间y 的一个线性变换，衫的全体象组成的 集合称为的值域，用y 表示所有被变成零的向量的向量组成的集合称 为的核( 零空间) ，用一1 ( o ) 表示y 的维数称为的秩，一1 ( o ) 的维数 称为的零度 定义3 3 8 ( 【3 2 ) 设是数域p 上线性空间y 的线性变换，w 是y 的子 空间如果w 中的向量在下的象仍然在中，换句话说，对于w 中任一向 量，有w ，我们就称是的不变子空间，简称为子空间 的值域和核都是一子空间的属于特征值知的特征子空间玖。也 是的不变子空间子空间的和与交还是子空间 设f 是e d 中d n ( n d ) 的砑f ，q 是其列向量内积的绝对值，即 v k 2 ，q = i ( ， ) i = 下面构造矩阵a = 丢( f f j ) ，a 称为符号差矩阵或s e i d e l 矩阵这个矩阵 是对称的，主对角线元素为0 ，非主对角线元素均为士1 因为 a = i q ( f f n 所以 f + f = q a4 - i 又因为一个e t f 满足f f + = 等，所以 1 6 河南大学硕士学位论文 q 2 a 2 = ( f + f j ) ( f + f 一，) = f + f f + f 一2 f + f + j = f 【t 。t ”) 上一2 f f + i ：望f tf 一2 f f + i ：n - ，2 d f f + j = ，+ f ：n - 2 d ( q a + ，) + j 。 口 q a + ) + = 丁n - 2 d q a + 孚， = 7 一q a 十一 口口 由于n d ，所以q 0 因而 a 2 ：n - 2 d 三a + n - d 1 i dqdu ( 3 5 ) ( 3 6 ) 设入为a 的一个特征值，u 为入的特征向量，则灿= 儿( 3 6 ) 式两边同 时对u 作用得 也即 所以 心= _ n - r 2 d 壶灿+ t n - d 万1 0 l u ， 口q n ( a 2 一_ n - 厂2 d 三o l 入一丁n - d 壶) u = o ， 、 dd口z 7 入2 一丁n - 2 d 三入一_ n - 广d 孑1 = o dq口口 一元二次方程( 3 7 ) 因式分解为 c 入一掣扣+ 扣o ， 1 7 ( 3 7 ) 河南大学硕士学位论文 a 1 ：一一1 ，入2 ：n - - 一d ，一 o t a q 也即a 有两个不同特征值： 入1 = 一否1 ，, k 2 - 1 n - _ d ( 3 8 ) q口q 几1 a 1 竹h ，- n + 2 礼a 2 2 = ：0 , c 3 9 ， 引理3 3 9假设n 2 d ，n d 若f 是e d 中一个元e t f ， 则入1 和入2 都是整数 证明由于n 2 d ，n d ，故a 的两个特征值有不同的重数 由 于a 的元素为整数，即a 属于域z ，因此由引理3 3 6 知，a 1 和入2 属于域z 故入1 和入2 是整数，即结论成立 定理3 3 1 0 假设n 2 d ，n d ，则在e d 中存在元e t f 的必要条件为 ( 一2 d ) z 证明假设n 2 d ，且在e d 中存在一个元等角紧框架，角度为q ，则q = 1 8 河南大学硕士学位论文 、蒜禹由于 、研旺可田o a 1 + 入2 ：一一1 + n 1 - 一d ol口q 1 一2 d o ld 又由引理3 3 9 知，入1 和入2 是整数，所以( i v 一2 d ) 丽z 定理3 3 1 1 假设n 2 d ，则在e d 中存在n 元e t f 的必要条件为 z 证明假设n 2 d ，且在e d 中存在一个元等角紧框架，角度为o l ，则o l = 根跞由于 a 2 一入1 ：n _ - d + 一1 a o lo l = 三o l ( 掣a + 1 ) = 一l 一+ i l n d = n 又由引理3 3 9 知，入1 和入2 是整数，所以丽n - 1 z 定理3 3 1 2 设1 d n 一1 ，n 2 d ，那么在e d 中存在元e t f 的必 要条件为 1 q 都是奇数( 即入1 ，入2 是奇数) 1 9 i，、，孵腼 翌 纪 二d 一 一 孵蕊 河南大学硕士学位论文 证明假设n 2 d ，且在e d 中存在元e t f 我们定义一个新的矩 阵m 使它的所有元素均为0 或1 ， m = 三( j - j 叫， 其中j 的元素全为1 的n 阶方阵设j 的特征值为，则 j j i = “一1 1 1 一l p 一1 1 = v n - 1 ( 入一) 一1 1 p 一1 所以1 2 1 = 耽= = v n 一1 = 0 ，v n = n 因此j 的核( 零空间) 为一1 维 因为1 d n 一1 ，所以a 的特征值a 1 的几何重数至少为2 因 此，j 的l 维零空间一定与a 的属于特征值入1 的特征子空间相交，这个 相交子空间中的任一向量是m 的特征值p 1 = 一( 1 + 入1 ) 的特征向量 同理， p 2 = 一；( 1 + a 2 ) 也是m 的特征值 由引理3 3 9 知，a 1 ，入2 是整数，故p 1 ，p 2 一定是有理数又m 的元素是代 数整数，所以由引理3 3 6 知，m 的特征值为代数整数，从而p 1 ，p 2 是一般整数 故a 1 ，a 2 必须是奇数，即结论成立 根据上面的一些结果，我们发现入1 ，入2 满足一定的倍数关系，进一步研究得 出等角紧框架存在时，等角紧框架的角度q 、空间的维数d 和任意整数k 存在一 定的关系因此我们有下面结论： 。 定理3 3 1 3 设1 d n 一1 ，n 2 d ，那么在e d 中存在元e t f 的必 要条件为n = 2 k d ，k z ，且在r d 中，等 k 学；在c d 中，哿 k 1 这时，角度q = 磊 河南大学硕士学位论文 证明假设1 d n 一1 ，n 2 d ，且在e d 中存在元e t f 由( 3 8 ) 式 知， 枷一等h 再由定理3 3 1 2 知，入1 ，入2 是奇数，因此掣是奇数，所以存在k z ，使得 所以 即 即 n-d：2k一1d - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ 一， n = d + ( 2 k 一1 ) d = 2 k d 由定理3 3 1 知，在r d 中，n 必2 故 川 2 k d 掣， 在c d 中，n d 2 ，故 这时， 因此结论成立 口5 等 七竿 d + 1 2 k d d 2 ， 等 惫罢百 惫s 互 n d2 七一1 v 莉。v 丽可 定理3 3 1 4 设1 d d + 1 ，则在c d 中存在个元的e t f 的必要条件为 2 d + l + = 瓜一l d + l ，2 d ，且在e d 中存在元e t f ，那么厨， 巫平都是奇数 设1 d n 一1 ，n 2 d ，且在e d 中n 元e t f 存在，那么 河南大学硕士学位论文 = 2 k d ，k z ，且在r d 中，等 k 学；在c d 中，等 k g 这时，角度q = 磊 对于复等角紧框架，我们认为下面几个问题值得将来进行研究 ( 1 ) 最大等角紧框架的存在性及构造，即对于任意的正整数d ，在r d 中是否 存在掣元的等角紧框架? 在c d 中是否存在舻元的等角紧框架? ( 2 ) 对等角紧框架的角度的研究。我们得到对于一些特殊的( ，d ) ，石1 是奇 数，那么对于一般的( n ，d ) ，角度a 满足什么结论? ( 3 ) 对调和等角紧框进行研究调和等角紧框架的元素是单元根，从应用的角 度看，调和等角紧框架有可能比一般的等角紧框架具有更多的价值因此对调和等 角紧框架的存在性及其构造的研究有一定的意义 参考文献 【l 】r j d u f f ma n da c s c h a e f f e r ，ac l a s sd ，n o n h a r m o n i cf o u r i e rs e r i e s ，t r a n s a i d e r m a t h s o c ，1 9 5 2 ，7 2 ：3 4 1 3 6 6 【2 】2 0 c h r i s t e n s e n ，a ni n t r o d u c t i o nt o 加m e sa n dr i e s zb a s e s ，b o s t o n ，b i r k n 茂u s e r ，2 0 0 2 【3 】3 李登峰，薛明志，b a n a c h 空间上的基和框架，北京，科学出版社，2 0 0 7 【4 】v k g o y a l ，j k o v a 正e v i da n dj a k e l n e r ，q u a n t i z e df r a m ee x p a n s i o n zw i t he r a s u r 6 $ ，a p p l c o m p u t h a r m o n a n a l ，2 0 0 1 ，1 0 ( 3 ) ：2 0 3 2 3 3 【5 】b h a s s i b i ，b h o c h w a l d ，a s h o k r o u a h ia n dw s w e l d e n s ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o r yf o r 劬一 r a t em u l t i p l e a n t e n n ac o d ed e s i g n ，i e e et r a n s i n f o r m t h e o r y , 2 0 0 1 ，4 7 ( 6 ) ：2 3 5 5 2 3 6 7 f 6 】r h c h a n ，s d p d e m e n s c h n e i d e r ，l s h e na n dz s h e n ，t i g h tk a m e ：a ne f f c i e n tw a y 加r 九缸晚- r e s o l u t i o ni m a g er e c o n s t r u c t i o n , a p p l c o m p u t h a r m o n i ca 且a 1 ，2 0 0 4 ，1 7 ( 1 ) ：9 1 1 1 5 【7 】j j b e n e d e t t oa n dm f i c k u s ，f i n i t en o r m a l i z e dt i g h t 加m ，a d v a n c e si nc o m p u t m a t h ， 2 0 0 3 ，1 8 ( 2 4 ) ：3 5 7 3 8 5 【8 8 p g c a s a z z aa n dj k o v a 芒e v i d ，e q u a l - n o r mt i g h tb 忆m e sw i t he r a s u r e s ，a d v a n c e si n c o m p u t m a t h ，2 0 0 3 ，1 8 ( 2 4 ) ：3 8 7 4 3 0 【9 】9 y c e l d a ra n dd d f o r n e y , o p t i m a lt i g h tk a m e sa n de q u a n t u mm e a s u r e m e n t , i e e e t r a m i n f o r m t h e o r y ，2 0 0 2 ，4 8 ( 4 ) ：5 9 9 - 6 1 0 【10 】t s t r o h m e ra n dr w h e a t h ，g r a s s m a n n i a ni r a m e sw i t ha p p l i c a t i o n st oc d d 饥9a n dc o r n 。 m u n i c a t i o n a p p l c o m p u t h a r m o n i ca n a l ，2 0 0 3 ，1 4 ( 2 ) ：2 5 7 - 2 7 5 【1 1 】r b h o l m e sa n dv i p a u l s e n ，o p t i m a l 加m e 8 加e 脚t 彻，l i n e a ra l g a p p l ，2 0 0 4 ， 3 7 7 ( i ) ：3 1 5 1 2 5 河南大学硕士学位论文 f 1 2 】b b o d m a n na n dv 。p a u l s e n ，月r a m e s ，g r a p h sa n de r a s u r e s ，l i n e a ra l g a p p l ，2 0 0 5 ， 4 0 4 ( 1 ) ：1 1 8 - 1 4 6 1 3 jj a t r o p p ，g r e e di sg o o d a l g o r i t h m i cr e s u l t s 如rs p a r s ea p p r o x i m a t i o n ，i e e et r a n s i n f o r m t h e o r y , 2 0 0 4 ，5 0 ( 1 1 ) ：2 2 3 1 2 2 4 2 【1 4 】r w h e a t h ，t s t r o h m e ra n da j p a u l r a j ，o nq u a s i - o r t h o g o n a ls i g n a t u r e s ，0 rc d m a s y s t e m s ，i e e et r a m i n f o r m t h e o r y , 2 0 0 2 ，5 2 ( 3 ) ：1 2 1 7 1 2 2 6 【1 5 】j a t r o p p ，i s d h i u o n ，r w h e a t ha n dt s t r o h m e r ，d e s i g n i n gs t r u c t u r e dt i g h t 加m e s v i aa na l t e r n a t i n gp r o j e c t i o nm e t h o d , i e e et r a m i n f o r m t h e o r y , 2 0 0 5 ，5 1 ( 1 ) ：1 8 8 2 0 9 【1 6 】m a s u s t i k ，j a t r o p p ，i s d h i u o na n dr w h e a t h ，o nt h ee x i s t e n c eo ye q u i a n g u l a r t i g h t f 忆m e s ，l i n e a ra l g a p p l ，2 0 0 7 ，4 2 6 ( 2 3 ) ：6 1 9 - 6 3 5 【17 】j j b e n e d e t t oa n dj k o l e s a r ，g e o m e t r i cp r o p e r t i e so fg r a s s m a n n i a n 加r u e s ，d 7 r 2 a n dr 3 ，e u r a s i pj 。a p p l i e ds i g n a lp r o c e s s i n g ，2 0 0 6 ，1 1 7 。 【1 8 】j m r e n e s ，e q u i a n g u l a rt i g h t 加m f r o mp a l e yt o u r n a m e n t s ，l i n e a ra l g a p p l ，2 0 0 7 ， 4 2 6 ：4 9 7 - 5 0 1 【1 9 】t s t r o h m e r ，an o t eo ne q u i a n g u l a rt i g h t 加m e s ，p r e p r i n t ，2 0 0 8 【2 0 p g c a s a z z a ，d r e d m o n da n dj c t r e m a i n ，r e a e q u i a n g u l a rl 屯m ，p r e p r i n t ，2 0 0 8 f 2 l 】o o k t a y , f r a m eq u a n t i z a t i o na n de q u i a n g u l a rt i g h t 鼻m 路p h 。d t h e s i s ，d e p a r t m e n to f m a t h e m a t i c s ，u n i v e r s i t yo fm a r y l a n da tc o n e g ep a r k ，2 0 0 7 2 2 】j a t r o p p ，c o m p l e xe q u i a n g u l a rt i g h t f r a m e s ，w a v e l e t sx i ，p r o c e e d i n g so fs p i e ，2 0 0 7 ， 5 9 1 4 ：1 1 4 【2 3 】d k a l r a ，c o m p l e xe q u i a n g u l a rc y c l i ck a m e sa n de r u r ，l i n e a ra l g a p p l ，2 0 0 6 ，4 1 9 ：3 7 3 - 3 9 9 【2 4 b g b o d m a n n ，v i p a