（应用数学专业论文）一类非线性四阶波动方程的初边值问题.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第i 页 摘要 对于一类非线性四阶波动方程的初边值问题 ”，i + a 2 u + “= j “i ”“ u ( x ，f ) = 0 u ( x ，0 ) = o ( x ) ，“，( x , 0 ) = u 1 ( x ) x eq f 0 工施 x q ( 0 1 1 ( 0 2 ) ( 0 - 3 ) 其中qcr ”为边界充分光滑的有界区域。 研究了其整体弱解的存在性、唯一性、光滑性和爆破性质。所得的四 个主要结果如下： 1 、运用g a l e r k i n 方法结合势井理论构造稳定集证明了： 定理( 存在性) ：设1 p ；n j + 4 ，疗5 ；p o o , 1 h 4 “。e w ， 虬l 2 ( f 】) ，( o ) d 则问题( o 1 ) 一( o 3 ) 存在整体弱解z f 满足： “er ( o ，r ；联( q ) ) “，r ( o ，r ；l 2 ( q ) ) 2 、若p 满足更强的条件时，运用能量方法结合不等式技巧证明了： 定理( 唯一性) ：设l p i ，盯5 ；p ，1 4 “。w ， “l 2 ( q ) ，e ( o ) d n ( 0 1 ) ( o 3 ) 的整体弱解是唯一的 3 、运用g a l e r k i n 方法、稳定集和不等式技巧证明了： 定理( 光滑性) ：设l p i ， 5 ；p m ，1 h 4 “0 w nh 4 ( q ) ，“h ：( q ) ，e ( o ) d 则问题( o 1 ) 一( o 3 ) 存在唯一整体弱解 西南交通大学硕士研究生学位论文第i i 页 ”满足 “( o ，7 1 ；h ：( q ) n 日4 ( q ) ) “，r ( o ，r ；h ；( q ) ) “。上? ( 0 ，7 ；r ( q ) ) 4 、运用凸性分析方法结合势井理论构造不稳定集证明了 定理( 爆破) ；u o v ，“l z ( q ) ，e ( o ) d ，u 为问题( 0 1 ) - ( o 3 ) 的局部解，则存在有限常数于，使得当f 斗f 一时成立i 甜i ：斗。，即“在 2 ( q ) 范数意义下在有限时刻发生b l o w - u p 关键词：四阶波动方程：整体弱解：g a l e r k i n 方法：势井：凸性分析方法 爆破 a b s t r a c t f o rt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a lu ep r o b l e mo f lak i n do fn o n l i n e a r f o u r t h o r d e rw a v ee q u a t i o n s ： h + 2 “+ ”= “ u ( x ，) = 0 j ( z ，o ) = d o ( z ) ，甜，( 省，o ) = “l ( z ) x 乍q t 0 x a q x q ( o 1 ) ( 0 2 ) ( 0 3 ) w h e r eq 匕月”i sb o u n d e d d o m a i nw i t h s u f f i c i e n t l ys m o o t hb o u i l d a r y w h a ts t u d i e di nt h i sp a p e ra r et h e g l o b a le x i s t e n c e 、u n i q u e n e s s 、 s m o o t h n e s sa n d b l o w u po f t h ew e a ks o l u t i o n so f ( o 1 ) ( 0 3 ) 0 u r i o u r m a i nr e s u l t sa r es t a t e da s f o l l o w s ： 1 、b yu s i n gt h eg a l e r k i nm e t h o da n dc o n s t r u c t i n gs t a b l e s e t a c c o r d i n gt ot h ep o t e n t i a lw e l l t h e o r y ，i ti sp r o v e d ： t h e o r 硼( e x i 8 t e n ) ；l e t l p i n + 4 ，刀5 ；p 。，l _ n 5 4 “o w ，“l f ( q ) ，e ( 0 ) d t h e np r o b l e m ( 0 1 ) 一( o 3 ) h a s g l o h a w e a k s o l u t i o n s “s a t i s f y i n g ： “r ( 0 ，r ；h2 0 ( q ) ) 甜，三。( o ，t ；l 2 ( q ) ) 2 、i f ps a t i s f i e sa p p r o p r a t e l y s t r o n g e rc o n d i t i o n s ，b yu s i n g t h ee n e r g ym e t h o da n dt h e t r i c ko f i n e q u a l i t y ，i t is pr o v e d ： t h 嗍“q 啪哪s ) ： l e p 击， 5 ：p ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第i v 页 1 - - - - - 4 “oe w ，“i l 2 ( q ) ，e ( o ) d t h e nt h eg l o b a lw e a ks o l u t i o n o fp r o b l e m ( 0 1 ) 一( o 3 ) i su n i q u e 3 、b y u s in gt h eg a l e r k i nm e t h o d 、s t a b l es e ta n dt r i c ko f 、 i n e q u a l i t y ，t t is p r o v e d ： t h 吲伽( s t h 怕s b ) l e t 1 p 刍，n 5 ：p 锄，1 n 4 “o w r 、日4 ( q ) ，群i h j ( q ) ，占( o ) d f b e n t h ep r o b l e m ( o 1 ) 一( o 3 ) h a su n i q u eg l o b a lw e a ks o l u t i o n “s a t i s f y i n g ： ”z ? ( o ，r ；联( q ) n 片4 ( q ) ) “，r ( o ，t ；t t ；( q ) ) “。p ( o ，；r ( q ) ) 4 、b y t h e e o n v e x i t ym e t h o da n dc o n s t r u e r i n gu n s t a b l e s e t a e c o r d i n gt ot h ep o t e n t i a lw e l lt h e o r y ，i t isp r o v e d ： l h o o r u ( b i o - u p ) ：l e t “o v ，“1 l 2 ( q ) ，e ( 0 ) a st 斗t 一，i e u b l o w su pi nf i n i t e ti m eu n d e rt h e 上2 ( q ) n o r m y 臀o r d s ：f o u r t h o r d e rw a v ee q u a t i o n ：g l o b a lw e a k s o l u t i o n ： t h eg a l e r k i nm e t h o d ：p o t e nl i a lw e l l ：t h ec o n v e x i t ym e t h o d ：h 】o wu p 西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 第一章绪论 随着现代自然科学和工程技术的发展，出现了大量的非线性问题，而 许多非线性问题在数学上表现为一些非线性高阶发展方程。例如在弹塑性 力学中提出的四阶非线性波动方程“1 ：在现代材料科学中对具有灵敏材料 中结构的弹性体的研究提出的具阻尼的非线性双曲方程“1 ；考虑扭转力矩 以及材料密度依赖于速度的粘弹性l o v e 方程。“，在浅水波理论及等离子 体物理中提出的描述非线性色散波传播的b o u s s i n e s q 型方程及与之相关 的i b q 型方程和i m b q 型方程”1 ；在研究d n a 分子中的非线性波传播时提 出的i m b q 型方程组”1 ；描述非线性粘弹性梁振动的k i r c b h o f f 型方程”。 等等这些非线性高阶发展方程( 组) 日益受到数学界的高度重视 本文考虑如下四阶非线性波动方程的初边值问题： + 2 “+ ”= 一“ u ( x ，t 1 = 0 u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，“，( x , o ) = “1 ( x ) x q t 0 x 铀 x o f 1 1 1 ( 1 2 1 ( 1 - 3 ) 其中qcr ”为边界充分光滑的有界区域 方程( 1 1 ) 是一类梁方程( b e a me q u a t i o n ) 【7 i 梁是房屋、铁路、桥 梁、隧道、水库、堤坝等工程建筑中基本的至关重要的构件梁在外力作 用下产生振动，梁振动方程的研究具有十分重要的实际用途和理论价值， 近年来受到国内外数学、物理、工程技术工作者的广泛关注”。“ 对( 0 1 ) 的c a u c h y 问题已有一定的结果l e v a n d o s k y 在 7 中研究了 方程( 】1 ) 的线性方程的一估计和时空估计，并利用这些估计证明了 ( 1 1 ) 的c a u e h y 问题的局部解的存在性及渐近性质和低能量散射状态的 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 存在性对于线性方程的l ”一估计，当初值( “( o ) ，“，( 0 ) ) 位于 2 一( 月“) o 。( 尺”) 中，2 q 2 ”，( 其中2 “表示f 1 5 时取 鲁，l n 4 时取。，吉+ 亭= 1 ) ，方程( 1 ，1 ) 的线性方程的解在空间 ( 晨”) o 形。v ( 胄”) 中对时间是一致有界的，解在此空间中的范数具有最 理想的衰减率t ( n 2 q 卜“4 1 ：对于时空估计，当初值位于能量空间 x = h 2 ( r ”) 0 上2 ( r ”) ，对所有的在2 + 8 n 到2 + 1 2 ( n 一4 ) 之间的q ，方程 ( 1 1 ) 的线性方程在空间f ( r “1 ) ow 。( r ”1 ) 中有解：对于( 1 1 ) 的 c a u c h y 问题的局部解的存在性，当l p 2 “一t ，对x 中的任意初值，存在强 连续有限能量的局部解，其中局部的含义针对时间而言的：对于低能量散 。 射理论，当1 + 旦 p 2 ”一l ，则存在低能量散射状态，即给定g 一x 充分小， 玎 则存在( 1 1 ) 的一个解w ( r ) = ( u ( t ) ，u ，( f ) ) 和g + x ，使得当，_ o o 时，j j ( f ) g 一w ( f ) 肌斗o l e v a n d o s k y 在 8 中研究了( 1 1 ) 的c a u c h y 问题的行波解，得到了孤 波稳定和不稳定的波速判定条件所用的分析方法依据于基态的变分刻划 而非线性化算子的信息证明了当行为函数d ，( c ) 为下凸函数时，速度为c 的孤波是稳定的：而d ( c ) 为上凸函数时，速度为c 的孤波是不稳定的发 现了问题( 1 1 ) 的有趣的特征，即孤波满足一个四阶椭圆型方程，不能利用 基态的节点分析去获得线性化算子的谱的信息，极大化原理已不再适用， 基态不可能一定是正的，而事实上可以是振荡的，以前标准的分析稳定性 的方法不能再运用，代之以完全依赖于孤波的变分刻划利用l i o n se l 的 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 集中紧性方法去求解一个i ：i i n 的极小化问题，利用纯粹的幂非线性的标度 性质检验了次可加性条件并去掉l a r a n g e 乘子，证明了孤波的存在性，并指 出此结果可应用于更一般的一类齐次非线性项如果p o 和( 1 1 ) 的唯一解开，使得磊( o ) = 舌，e ( f f ( t ) ) = e ( 口) ，并对所有的f o ，r 。) 有苏打( f ) ) = 耍( 矿) ，l e v a n d o s k y 利 用基态的变分性质结合s h a t a h 凸性引理和利用l y a p u n o v 泛函的构造分别 得到了以下两个结果：( 1 ) 、又假设i p 2 + 1 ，d 在c 附近的一个区间内严 格下凸，那么基态集s ，是稳定的；( 2 ) 、又假设存在一个c 映射 c 卜吼f - - 霞，( 纯) ， 使得吼是具有速度c 的基态，l p 2 l l ，卅( c ) o ， 那么s ，是不稳定的l e v a n d o s k y 在文 8 最后还研究了( 1 1 ) 的驻波 l e v a n d o s k y 研究方程( 1 1 ) 的c a u c h y 问题，本文则研究方程( 1 1 ) 的 d i r i c h l e t 问题，采用完全不同于文 7 8 所用的工具从弱解”的角度来 研究问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) ，涉及四个方面的问题，即：存在性、唯一性、光滑 性和爆破 本文的结构安排如下： 在第二章中，利用势井理论得到了解的先验估计，利用g a l e r k i n 方法 证明了整体弱解的存在性： 在第三章中，利用能量方法结合一些不等式技巧证明了在p 满足的条 件适当加强时，所得的整体弱解是唯一的： 在第四章中，利用g a l e r k i n 方法证明了整体弱解的光滑性，即当初值 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 的可积性提高时，解的可积性相应有所提高： 在第五章中，依据势并理论，通过构造不稳定集，结合凸性分析方法 证明了初值属于不稳定集，初始能量为正但有确定上界时解在r ( q ) 范数 意义下发生爆破 在进入论文的主体部分以前对下文将用到的一些符号给出说明： 日：( q ) 、p ( q ) 、；( q ) 、h4 ( q ) 为通常的s o b o l e v 空间；函数“的 h ；( q ) 范数记为：，函数“的h 4 ( q ) 范数记为。，函数”的( q ) 范 数记为l , 4i 。：w 、v 和d 分别表示稳定集、不稳定集和势井深度，其含义 将在下文详细给出。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第二章整体弱解的存在性 本章将采用g a l e r k i n 方法结合势井理论证明问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在 整体弱解，为此先对g a l e r k i n 方法和势井理论作一个简单介绍 1g a l e r k i n 方法 g a l e r k i n 方法1 2 9 - 3 2 是证明非线性发展方程存在整体解的常用方法 它的实质在于用有限维空间上的常微分方程组代替无限空间上的变分方 程，得到近似解序列，对近似解做各种估计，在相应空间上取弱收敛极限， 最后证明在适当意义下满足方程和初边值条件其证明步骤如下： ( i ) ：构造近似解 在一适当的可分的空间中选取一组标准正交基，然后在有限个向量 张成的子空间中构造线性组合形式的近似解，利用常微分方程组局部解存 在性定理证明局部解存在 ( i i ) ：作先验估计 一般采用乘以近似解或其关于时间变量的某阶导数然后关于空间变 量在给定空间区域积分而获得先验估计，往往在非线性项可能为负数时结 合势井理论获得先验估计 ( i i i ) ：取极限 利用泛函分析b a n a c h 空间内一个有界集合的弱紧性与弱+ 紧性原理 取弱极限或弱极限 ( i v ) ：说明 说明所得的极限函数满足初边值条件 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 2 势井 1 9 6 8 年，$ a t t i n g e r 首先提出势并理论9 此后人们用此方法研究了 一系列双曲型或抛物型方程的整体解的存在性或不存在性【3 4 - 6 1 1 例如： t s u t s m i 在文 3 5 中研究了一类带p - l a p l a c e 算子的抛物性方程初边值问 题的解的存在性和爆破；i k e h a t a 在文 3 6 1 q 6 研究了一类半线性热方程和带 耗散项的双曲型方程的初边值问题得到了关于存在性和爆破的条件， k o s u k e 在文 4 0 1 郴9 究了一类退化的双曲型方程；y o d o r o v a 在文【4 6 】中研 究了带耗散和阻尼的双曲方程；a l f r e d o 在 4 4 1 q b 研究了一类k i r c h h o f f 型 双曲方程 杨晗在 4 6 d f 用势井理论结合算子半群理论研究类半线性热 传导方程不仅得到了解的存在性还得到了其解的增长性质。目前郑9 、i , i 大学 的张宏伟、厦门大学的谭忠等一批学者活跃于研究用势并理论来解决非线 性发展方程解的存在性和不存在性。g a l e r k i n 方法在研究方程的整体解 的存在性时往往难于得到先念估计，而势井理论常常能起弥补作用，二者 结合使用在处理解的存在性时比较有效。势井理论的基本思想例如下： 对于非线性波动方程 f 材= a u + ，( 龆)工f l , t 0 “( x ，o ) = b l o ( x ) ，“，( x , o ) = “l ( x ) x q ( 2 2 1 ) i “= 0 x 铀 其中qcr “为边界充分光滑的有界区域 我们考虑与( 2 2 ，1 ) 相似的一维动力系统： 戈= x + 厂( x )( 2 2 2 ) 其中x 在实数范围取值 ( 2 2 2 ) 描述的动力系统具有一个自由度，而( 2 2 1 ) 可以看作自由度为 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 无穷的 设，o ) = f 厂o ) a s ，方程( 2 2 2 ) 的势能就是 m ) = 等川x ) 假设v 具有如图2 2 1 所示的形状：在x = 0 有局部最小值，在 x = x 具有局部最大值 v 。 。、。 图2 2 1 集合w = x i 矿( x ) d ，x x 。成立解不会穿入，因为倘若如此，总能量将大于 d 现在让我们额外假设x f ( x ) c jx p ，始终x x ，c o ，p 1 这个假 设只是为了保证对于x 五方程( 2 2 2 ) 是严格非线性的在这个假设下， 易知在有限时间x ( f ) _ 栅这个结果对方程( 2 2 2 ) 有整体有界解和在 有限时刻趋于无穷的初值要求给出了精确描述 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 3 整体弱解的存在性定理及证明 1 整体弱解的存在性定理的内容 设l p 忑n + 4 ， 5 ；p ，1 ”兰4 “。w ，“1 三2 ( q ) ， e ( o ) 0 给出引理2 3 i 的证明之前先给出一个下面证明中将用到的引理 弓i 理2 3 2 t 6 2 】 1 p 0 因此d o 引理2 3 1 得证 现在引进稳定集w ： w = “l “仨h ；( q ) ，( ”( f ) ) o ，j ( “( f ) ) ， ) ，扣1 睁圳1p 而1 ( 制眇 2 赫舢砺：) 从而川i i ：等d 引理2 3 3 得证 引理2 3 4 ：设“o w ，“1 r ( q ) ，e ( 0 ) d ，u ( x ，f ) 为问题( o 1 ) 一 ( 0 3 ) 在 0 ，t ) 上的局部解，则对任意的t 0 ，t ) 有u ( x , t ) w 证明：假设存在f ， 0 ，t ) 使得对t 乍 0 ，有u ( x ，f ) ew 而 u ( x ，f 1 ) 芒w 则由w 的定义及j ( ”( f ) ) 和j ( ( f ) ) 关于f 的连续性知j ( u ( t ，) ) = d 西南交通大学硕士研究生学位论文第l l 页 因j ( u ( t ) ) e ( t 1 ) = ( o ) d 显然j ( u ( t ) ) = d 是不可能的 若l ( u ( t i ) ) = 0 则 盖，( 硼m 1 。_ o 嘉_ ，( 枷) ) k = ( 1 刊；水。( 纠) 而z s u 2 p u j ( a u ( ) ) 2 j ( a u ( ) ) k 2 m ( f ) ) 配) 2 e ( o ) d ，这 与d 的定义矛盾，那么不可能有i ( u ( t 。) ) = o 因此对任意的f 0 ，t 有( x ，t ) w 引理2 3 4 证毕 为下文证明有关收敛和说明解满足初值条件的需要介绍下面两个引 理 引理2 3 5 1 设q 为r ”r 的有界区域，g u 和g 为( q ) 中的函数 ( 1 q 0 ，有“。，( f ) e w 于是由( 2 3 7 ) 知： “。，( f ) r ( o ，r ；( q ) ) u 2 o r ( o ，t ；l 2 ( q ) ) ( 2 3 8 ) f 2 3 9 1 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 “。，( f ) ( o ，f ；”。 0 为任意常数 ( i i i ) ：取极限 由( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) 及弱紧性原理知存在“。( f ) 的子列仍 记为“。( ，) 使得： “。( ，) _ “( ，) 于r ( o ，丁；h ；( q ) ) 中弱收敛( 2 3 1 2 ) “：，( f ) 斗“7 ( f ) 于r ( o ，t ；l 2 ( q ) ) 中弱收敛( 2 3 1 3 ) 掰。0 ) “( f ) 于砷( o ，f ；2 ( q ) ) 中弱收敛( 2 。3 1 4 ) 又由引理2 3 2 及a u b i n 紧性引理得： “。( f ) 斗“( f )于l p + l ( o ，t ；l 川( q ) ) 中强收敛且几乎处处收敛( 2 3 15 ) 进而i “。( f ) r “。( f ) _ l “( ，) r “( f ) 于q 几乎处处收敛 ( 2 3 1 6 ) k p ) r “。( ，) z 于r ( o ，t ；l c p * o e ( q ) ) 中弱收敛 ( 2 3 1 8 ) 再由引理2 3 5 得 k ( f ) r “。( f ) 斗l u ( t ) l 川甜( f ) 于l ( p + b p ( o ，r ；口p + 1 ) l p ( q ) ) 中弱收敛( 2 3 1 9 ) 由( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 ，】9 ) 知： ：( 咄国，) = 丢( 以( r ) ，q ) 寸丢( “砸) ，q ) = ( “，( f ) 一，) ( 2 3 2 0 ) 于d7 ( 0 ，t ) e e ， 其中d7 ( 0 ，t ) 为( ? ( 0 ，r ) 上的泛函空间 ( a 2 u 。( f ) ，) 斗( a 2 u ( t ) ，国，) 于r ( o ，r ) 上弱收敛 ( 2 3 2 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 ( “。( f ) ，) 一( “( f ) ，珊，) ，于r ( o ，丁) 上弱收敛 ( 2 ，3 2 2 ) ( 陋。( ，) i ”1 “。，o ) ，) ( h u ) l ”1 “( f ) ，) 于o p + 1 ) p ( o r ) 中弱收( 2 3 2 3 ) 由( 2 3 2 0 ) ( 2 3 2 1 ) ( 2 3 ，2 2 ) ( 2 3 2 3 ) 知固定j ，在( 2 3 2 ) 中取极限有： ( “”( f ) ，( o j ) + ( a 2 “( f ) ，国，) + ( “o ) ，珊，) 一( 渺( 叫”一“( ，) ，国，) = o 又因 国，0 ) ：，2 1 ，2 ，3 ) 为月；( q ) 一组标准正交基，则对v v h g ( n ) 有： ( “( f ) ，v ) + ( 2 “( f ) ，v ) + ( “( f ) ，v ) 一( k r “u ) ，v ) = 0 即“( f ) 在弱意义下满足方程( 0 1 ) ( i v ) ：说明 由“r ( o ，丁；：( q ) ) “，z - ( o ，l r ( 固) 及引理2 3 6 知“。为 【0 ，t 】斗l 2 ( q ) 上的连续函数 而“。( o ) _ “( o ) 于三2 ( q ) 中弱收敛又在h ；( q ) 中，“。( o ) 一 所以u ( o ) = “o 由( 2 3 1 3 ) 知：( “：，( ，) ，0 3 ，) _ ( “m ) 一，) 于r ( 0 ，丁) 中弱收敛 所以 ( “：，( o ) ，甜，) 斗( “7 ( f ) ，国，) l ，= 02 ( “7 ( o ) ，国，) 又由( 2 3 4 ) 对v j ，有 ( “：( o ) ，脚，) 叶( 一，) 于是t _ f ( o ) = “。 证毕 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 第三章整体弱解的唯一性 本章利用能量积分的方法和g r o n w a i l 不等式，证明当p 所满足的条 件适当加强时，第二章所得的整体弱解是唯一的 本章所得的主要结果是： 1 整体弱解的唯一性定理的内容 定理( 唯一性) ：设1 p i 与，5 ；p 。，1 - 胛4 “。w “。( 【动，e ( o ) 矗则( o 1 ) ( o 3 ) 的整体弱解是唯一的 2 整体弱解的唯一性定理的证明 证明：设甜，v 为方程的两个解令w = d v 则w 满足 w i ，+ 岔w + w = “一阿v ( 3 2 1 ) w ( o ) = 0 ，w 7 ( 0 ) = 0( 3 2 2 ) 在( 3 2 1 ) 两边同乘以后在q 上关于x 积分得 n w , d x + d 2 w w , d x + w w d x = ( 鲜i ”- u - fv h w f 出( 3 2 3 ) 整理为 三丢( 川+ 眦州) 2 如i - u - i v h w ，出 ( 3 2 4 ) ( 3 2 4 ) 式的右边的绝对值不超过 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 6 页 p s u p ( i “i p - , , lv ) 1 w l l w ，t a x 由h d l d e r 不等式 ( 3 2 5 ) - c ( 1 l “川。：+ 川k ) ) l 。h ( r ) 1 ： 其中三+ ! + 委：l n口z 由定理已知假设及s o b o l e v 嵌入定理得 ( 3 2 6 ) c ( i a u ( t ) + l a v ( t ) ) i a w ( t ) 1 2 i w ，( r ) 1 2 又由 “，v r ( o ，r ；1 4 ao n ) ) 得 ( 3 2 。7 ) 的右边c l a w ( t ) j 2j ( f ) 1 2 再用y o u n g 不等式 i a w ( t ) ：fw ( 圳：i 1 ( f w e + f w e ) 于是( 3 2 4 ) 将导致 1 w , i ；+ m ；+ 1 w l ：s c f ( n i w 睦+ 1 w 1 2 2 ) d t 从而由6 r o n w a i l 不等式知w i 0 这就证明了唯一性 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 第四章整体弱解的光滑性 在第二章整体弱解的存在性基础上，利用g a l e r mn 方法证明了当初 值的可积性提高时，相应地整体弱解的可积性有所提高，换言之，由 s o b o l e v 嵌入定理，当初值的光滑性提高时，解的光滑性得到提高 本苹所得到的主要结果是： 1 整体弱解的光滑性定理的内容 定理( 光滑性) t 设l p i ，n 5 ：p ，1 ”4 若 “。w nh 4 ( q ) ，“h ：( q ) ，e ( o ) d 则问题( o 1 ) - ( o 3 ) 存在唯一解“满 足： “r ( o ，t ；h ；( q ) nh 4 ( q ) ) ( 4 1 1 ) “，r ( o ，t ；h ：( 锄) ( 4 1 2 ) 材，三。( o ，t ；三2 ( n ) ) ( 4 。i 3 ) 注：w 、e ( o ) = e ( “( 0 ) ) 和d 分别为第二章定义的稳定集、初始能量和 势井深度 2 整体弱解的光滑性定理的证明 证明：h ：( q ) n 日4 ( q ) 是可分的b a n a c h 空间“1 ，设 珊，( 工) ；j 2 1 ，2 ，3 ) 为一组标准正交基 构造问题( o 1 ) 一( 0 3 ) 的近似解为： 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 l l j 。( f ) = g ，( ，( x ) ，g ，( ，) c2 ，g ，( f ) 由下面方程组确定： r “：( f ) ，出，) + ( 2 “。o ) ，) + ( “。p ) ，) 一( 陋。o ) j ”。“。 ) ，c o ，) = 0 ( 4 2 1 ) 非线性常微分方程组( 4 2 1 ) 满足如下条件 “。( o ) = “，。= 口p ，_ “。， i = i 在h ：( 锄n h 4 ( q ) 中强收敛，当m - + o o 时 “：( o ) 2 材。，2 。国，_ 珂 j = l 在h ；( q ) 中强收敛，当，2 时 e ( u 。( o ) ) 0 使得( 4 2 1 ) 一( 4 2 5 ) 在区间 0 ，f 。 存在唯一局部解 由( 4 2 1 ) 可得 ( “：( o ) ，出，) + ( 2 “。( o ) ，) + ( “。( o ) ，0 ) t ) 一( 1 u 。( o ) 1 9 一“。( o ) ，彩，) = 0 ( 4 2 6 ) 进而 ( “。1 ( o ) ，“：( o ) ) = ( 一a 2 u 。( o ) 一“。，( o ) 十l “。( o ) l ”“。( o ) ，“：( o ) ) ( 4 2 7 ) 对( 4 2 7 ) 由h dl d e r 不等式和m i n k o v s k i 不等式知 “：( o ) i ；( 1 ，“。，( o ) i ：+ l “。( o ) ：+ m 。r “。( o ) ：) i “：( o j i ： 即l ”：( o ) 1 ：钏“。( o ) l l 。+ lu m ( o ) l ：十i “。( 0 1 一p ， f 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 由假设对( 4 2 9 ) 式运用s o b o l e v 嵌入定理知： i “：( o ) i ：帆( o ) 1 1 。+ i “。，( o ) j ：+ ( o ) 峨 ( 4 2 i o ) 由于f 4 2 2 ) ，则有： i “。t ( o ) l2 c ( 4 2 1 1 ) 将( 4 2 1 ) 对t 求导得： ( “。 7 ( r ) ，国，) + ( 2 “：( r ) ，) + ( “知) ，0 3 ，) 一p ( k ( f ) r “：( f ) ，国，) = 0 ( 4 , 2 1 2 ) 将( 4 2 1 2 ) 两边同乘以g 二，( f ) 然后关于求和得： 圭芸( 1 “：+ i i 啪) 吐小；) 2 p ( 1 u g ( r ) n ，“( 4 2 由h 5l d e r 不等式( 4 2 1 3 ) 右端不超过 p i i “。( f ) l 一li 。，。i “：( f ) i 。i i l , i ，x i ： ( 4 2 1 4 ) 其中三+ 三+ ；= 1 月口z 由假设及s o b o l e v 嵌入定理和引理可知： ( 4 2 1 4 ) 式c 怫( ，) | f 0 ：( f ) f ： ( 4 ，2 1 5 ) 再由( 4 2 3 ) ( 4 2 1 1 ) ( 4 2 1 3 ) ( 4 2 i 5 ) 和y o u n g 不等式有： i “。8 u ，i ：2 + i l “：( 4 1 ：+ i “：( f ) 1 ； c ( 1 + i ( i ”：( 仃) + 卜。tl 盯j 2 ：+ r 一；伽2 ，d 盯) ) ( 4 2 】6 ) 于是由o r o n w a l l 不等式可得： “：( ，) r ( o ，t ：r ( q ) ) ( 4 2 1 7 ) “：，( ，) er ( o ，t ：h j ( q ) ) ( 4 2 1 8 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 ( 1 页 “：，( f ) er ( o ，t ：l 2 ( q ) ) f 4 2 1 9 ) 余下类似第二章存在性定理的证明知存在整体弱解“满足 ( 0 。1 ) ( 0 2 ) ( 0 3 ) ( 4 1 ，2 ) ( 4 1 3 ) 又由( 0 1 ) 有： a 2 u = u ”“一“一“。 从而2 “r ( 0 ，t ：l 2 ( c a ) ) 所以“l 。( 0 ，t ：h 4 ( q ) ) 因此“p ( o ，t ：联( q ) nh 4 ( 锄) 证毕 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 第五章弱解的爆破 本章依据势井理论。”1 ，通过构造不稳定集，利用凸性分析方法。“1 证明了当初始值属于不稳定集时，问题( 0 1 ) 一( 0 3 ) 解在有限时刻在 l 2 ( q ) 范数意义下发生爆破到目前为止，结合第二章的结果，得到了问题 ( 0 1 ) 一( 0 3 ) 的弱解的整体存在性的关于初值的一个充分必要条件，即当 初值属于稳定集弱解整体存在，当弱解属于不稳定集时弱解发生爆破 本章所得到的主要结果是： 1 弱解的爆破定理的内容 定理( 爆破) ：v ，“l l 2 ( q ) ，e ( o ) d 。“为问题( 0 1 ) 一( 0 3 ) 的局部解，则存在有限常数f ，使得当t - + f 一时成立1 “i ，一m ，即“在 有限时刻发生b l o w u p 。 注：v 是不稳定集，其具体含义稍后详细给出e ( 0 ) 和d 分别为第二 章所定义的初始能量和势井深度。 在给出定理的证明之前先作一些准备工作。 2 准备工作 引进不稳定集v v = “h ；( q ) ， ( f ) ) o ， ( ，) ) d 对于不稳定集v 有如下性质： 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 引理5 2 1 ：设“o v ，“l l 2 ( q ) ，f ( o ) d ，u ( x ，f ) 为问题( o 1 ) 一 ( 0 ，3 ) 在 0 ，t ) 上的局部解，则对任意的t “o ，t ) 有u ( x , t ) v 证明：假设存在t 0 ，t ) 使得对， 0 。f ) 有u ( x ，f ) v 而 u ( x ，t 。) 仨v 则由v 的定义及，( “( ) ) 和，( h ( f ) ) 关于，的连续性知j ( u ( t ) ) = d 因j ( u ( t 1 ) ) e ( t 1 ) = e ( 0 ) d 显然j ( u ( t 1 ) ) = d 是不可能的 若l ( u ( t ) ) = 0 则 面d ，( 砌( f 1 ) ) l 。2 0 ， 鲁，( 枷) ) - ( 1 刊；： o ，那么对所有 l f 。，f ( f ) 严格单调递增，对口7 0 而言f ( ，) 1 严格单调递减 由( 5 3 6 ) ( 5 3 7 ) 及h 6l d e r 不等式知： f ，o ) f u ) 一( ( p + 3 ) 4 ) f p ) 2 ( p + 3 ) ( ( f o ) l “，1 2 2 - ( “，d x ) 2 ) o 因( f 1 ) ，= - a v ( t ) 一1f ( t ) ( f 一8 ) 。= 一( c t f ( t ) “_ 2 ) ( f ，( ，) f ( f ) 一( 口+ 1 ) f r ( t ) 2 ) 从而对口= ( p 一1 ) 4 0 有( f “) 。 0 ，即f ( f ) 1 是上凸函数，再结 合它的严格单减性，所以存在有限的于，使得当t 寸于一时，有 f ( f ) 一“斗0 ，即f ( t ) 斗+ o 。 证毕 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 5 页 致谢 我衷心感谢我的导师杨晗