（应用数学专业论文）时滞系统混杂状态反馈控制和切换系统的研究.pdf

摘要 本文主要研究t - - 类时滞系统的混杂状态反馈控制和一类切换系统具有玩。拢动衰 减度的二次稳定，主要问题有三个 第研究了类非线性时滞系统的混杂状态反馈保性能控制，对切换系统的控制增益 均已知的情况，基于单l y a p u n o v 函数法，给出了混杂状态反馈保性能控制的充分条件及 切换律的设计方案；对于切换系统的控制增益均未知的情况，利用多l y a p u n o v 函数法，给 出了混杂状态反馈保性能控制的充分条件数值倒子说明了设计方法的有效性和可行性 第= 研究了一类含时变时滞非线性系统的混杂状态反馈保性能控制问题，对切换系统 的控制增益均已知的情况，基于单l y a p u n o v 函数法，给出了混杂状态反馈保性能控制的 充分条件及切换律的设计方案；对于切换系统的控制增益均未知的情况，利用多l y a p u n o v 函数法，给出了混杂状态反馈保性能控制的充分条件数值例子说明了设计方法的有效性 和可行性 第兰研究了一类线性切换系统具有风。扰动衰减度的二次稳定问题，这类切换系统 是由多个子系统组成，每个子系统都不是具有l k 扰动衰减度的二次稳定的利用单l y a - p u n o v 函数法，得到了线性切换系统具有塌。扰动衰减度的二次稳定的充要条件和必要 条件同时由凸缀合系统设计出确保线性切换系统二次稳定的且具有日。扰动衰减度的 切换律，最后的仿真实倒表明了结论的有效性 关键词混杂状态反馈，保性能控制，线性矩阵不等式( l m i ) ，线性切换系统 a b s t r a c t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st w ok i n d so fh y b r i ds t a t e - f e e d b a c ka n dg u a d r a t i cs t a b i l i t yw i t h h i n f i n i t yd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nf o rad 棚o fl i n e a l s w i t h e ds y s t e m s t h e r ea l et h r e e p r o b l e m s ： f i r 8 t l y t h eh y b r i ds t a t e - f e e d b a c kg u a r a n t e e dc o n t r o lp r o b l e mf o rac l a s so fu n c e r t a i n n o n l i n e a rs y s t e r g bw i t hd e l a yi sd i s c u m e d w h e nt h ec o n t r o l l e r9 8 i ni su n k n o w n ，b a s e do n s i n g l el y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，s u f h c i e n tc o n d i t i o nf o rh y b r i ds t a g e - f e e d b a c kg u a r a n t e e d e x i tc o n t r o li sg i v e na n dt h es w i t h i n gl a w sa l ec o m t m e t e d w h e nt h ec o n t r o l l e rg a i n i su n k n o w n ，as u m c i e n tc o n d i t i o nf o rh y b r i ds t a t e - f e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o li s a l s od e r i v e db ym e a n t 8o fm u l t i p l ef u n c t i o nt e c h n i q u e t h es i m u l a t i o nr e s u l ts h o w st h e e f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d s e c o n d l y , t h eh y b r i ds t a t e - f e e d b a c kg u a l a n t e e dc o n t r o lp r o b l e mf o rac l a s so fu n g e r - t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m s - v a r y t n gd e l a yi s 毗u d i e d w h e nt h ec o n t r o l l e rg a i ni s u n k n o w n ，b a s e do ns i n g l el y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d , s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rh y b r i ds t a t e - f e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o li 8g i v e na n dt h e 耐t h i n gl a w sa l ec o n s t r u c t e d w h e n t h ec o n t r o l l e rg a i nj 8u n k n o w n 。as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rh y b r i ds t a t e - f e e d b a c kg u a r a n t e e d c o s tc o n t r o li sa l s od e r i v e db ym e a l o fm u l t i p l ef u n c t i o nt e c h n i q u e t h es i m u l a t i o nr e s u l t s h o w 8t h ee f f e c t i v e n e mo ft h ep r o p o s e dm e t h o d a tl a s t t h ep r o b l e mo fg u a d r a t i cs t a b i k 礼yw i t hh - i n f i n i t yd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nf o ra c l a s s o f l i n e u r s w i t h e d s y s t e m s i s s t u d i e d t h es y s t e m s u n d e r c o n s i d e r a t i o nc o n s i s t o f m a n y s u b s y s t e m sa n dn o n eo fw h i c hn e e d bt oh eg u a d r a t i c a l l ys t a b l e 奶t hh - i n f i n i t yd i s t u r b a n c e a t t e n u a t i o n b a s e do n 日i n g kl y a p u n o vf u n c t i o nt e c h n i q u e ，as u f l i d e 玎tc o n d i t m na n da n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h es w i t c h e dl i n e a rs y s t e m si nt h i sc l a s st ob eg u a d r a t i c a l l ys t a b l e w i t hh - i n f i n i t yd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o ni sd e r i v e d a n dt h eg u a d r a t i c a l l ys t a b l es w i t h i n g i i l a wi sd e s i g n e di nt e r m so ft h ec o n v e xc o m b i n a t i o ns y s t e m s f i n a l l y , as i m u l a t i o ne x a m p l e i se m p l o y e dt oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo ft h er e s u l t s k e yw o r d sh y b r i ds t a t e - f e e d b a d t , g u a r a n t e e dc o n t r o l ，l i n e a rm a t r i xi n q u a l i t y , l i n e a r s w i t h e ds y s t e m i l i 独创性声明 本人郑重声明，所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 弥趔臁丝z 盎h 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即。有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被蠢随和储耀本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 酶丑巡、摊备主型啉丝碰 第一章绪论 1 1 混杂状态反馈控制与线性切换系统简介 对于一个复杂系统的研究，其动态演化过程通常是由其连续时何的物理过程来描述， 即微分方程和差分方程。而实际物理系统的动态过程除了连续动态以外。还存在基于事件 驱动的离散动态行为，而且连续动态和离散动态相互影响相互作用这就屉近十余年来控 制理论研究领域的热门课题一一混杂动态系统 1 - 1 4 ，混杂动态系统的研究为解决一类复 杂的，非线性的大系统提供了一个很好的理论框架 1 q 该理论框架将一个复杂非线性系 统简化为舍乎物理规律的，不同层次的多个线性子系统来处理，可以降低处理复杂非线性 系统的复杂性，在实际控制过程中比直接处理非线性系统更能够解决问题【l l l ，目前对于混 杂系统的研究主要集中在以下几个方面。混杂系统建模，混杂系统的分析( 系统验证，稳 定性，鲁棒性，可控性。可达性，活性，安全性以及系统的复杂度等) ，混杂系统综合以及 混杂动态系统的优化控制等1 1 1 q 切换系统屉一类典塑的混杂动态系统，它由若干个子系统构成并且受切换律控制这 些切换律或者技监控或者不被监控。也i 莘受时间或拳件驱动这种系统的稳定性的分析弓l 起了研究者的越来越多的兴趣 i s - 捌文 i i 证明了由有限多个非线性连续予系统组成的切 换系统的稳定性l 文使用多l y a p u n o v 函致分析了m - 切换系统的定性行为。文【2 1 l 则 阐述了利甩线性矩阵不等式( l m i ) 技术研究稳定性和鲁棒稳定性问题文【篮l 提出了一种 研究一类特殊的非线性切换系统的方法已有的结论均是针对定常切换系统进行研究的。 面对于线性时变切换系统研究尚不多见与定常系统相比较，时变系统更具有般性，处 理起来也比较复杂 另一方面，j 5 矗控制理论是近年来相对较热的个研究方向，它涉及到工程控制中 的扰动衰减度问题在文献嘲中首次将一类确定性系统的蜴。控制爨的设计转化为代数 r i c c a t i 方程的求解问题 基于r i c c a t i 方程的风。控制方法，对参数不确定线性系统二 次稳定控制器的设计取得了许多成果其中文献得到了参数不确定线性系统鲁棒磊k 设计f 司题可解的充要条件它提出的控制律保证了闭环系统的二次稳定和上k 扰动衰减 l 第一章绪论 2 度同切换系统的稳定性的结果及凰。控制方面的成果相比，关于切换系统的风。控制 问题却报道很少。本文的第四章在已有的线性切换系统稳定性的研究的基础上。与凰。控 制理论相结合，研究了类线性切换系统具有风。扰动衰减度的二次稳定问题，采用的方 法依赣于点k 扰动衰减度的二次稳定的概念【衢j ，并将这一概念推广刭切换系统 1 2 研究课题简介 近年来，不确定时游系统的稳定性分析与控制问题引起了人们的极大关注f 4 t l 明而这 些文章里没有考虑到现实中控制器由于其复杂性，实现困难另外，有许多控制问题的控 制行为由有限个指定的控制器之间的切换所决定这种控制器切换的典型实例包括步迸电 动机电机驱动装置，计算机磁盘驱动器，某些机器人控制系统嘲等。所以在有限个备选 的控制器之间设计个切换律使得受控系统渐近稳定足既有理论意义又有实际意义的文 献两指出线性时不变控制系统可由混杂输出反馈镇定文献研进步利用混杂输出反馈 研究了这类系统的镇定问题，但文献川没有考虑系统具有外部扰动的情形 目前混杂状态反馈控制仅考虑了稳定性，很少考虑其它动态性能指标，本文的第二章 和第三章就是考虑的这类问题在状态反馈控制器集合中每个控制器的增益矩阵全部已知 或全部未知的情况下，研究了一类系统的混杂状态反馈保性能控制同题，通过切换律的设 计，即可求得满足设计要求的混杂状态控制器 本文的第二章是在文献1 1 】的基础上考虑了常时滞问题，利用单l y a p u n o v 函数法给 出了控制器增益矩阵全部已知时的切换律，j f 畦甩多l y a p u n o v 函数法给出了控制器增益矩 阵全部未知时的切换律，并且证明了系统足渐近稳定的且满足给定的性能指标 本文的第三章屉在第二章的基础上考虑了时变时滞问题，利用l y a p u n o v 函数法给出 了控制器增益矩阵的切换律，并且证明了系统是渐近稳定的且满足给定的性能指标 混杂系统( h s ) 是连续时间动态和离散时间动态交换作用的复杂动态系统。切换系统 ( s s ) 作为混杂系统的一个重要模型，其理论价值和实际意义日益得刭人们的认同切换 系统是由一组连续微分方程描述的子系统和个描述子系统间如何切换的切换律组成，人 们对切换系统的稳定性进行了广泛的研究【鲳一3 嘲，其中就包括切换系统二次稳定性的研究 捌，与线性定常系统相比，切换系统具有一定的复杂性，切换系统的性质与切换有关，在 星= 童缝堡 3 不同的切换规则下，切换系统可能有不同的性质对于线性系统，渐近稳定和二次稳定是 等价的，但足对于线性切换系统，即使它是渐近稳定的，也不一定足二次稳定的，因此有 必要单独研究切换系统二次稳定问题，关于线性切换系统二次稳定的研究，一个重要的方 法就尾凸组合方法，即利用各个子系统组成的凸组合系统来研究原来切换系统的性质 本文的第四章所考虑的线性切换系统由多个子系统组成，并且每一个子系统都是不具 有风。扰动衰减度二次稳定的，第四章里证明了子系统的某个凸组合具有风。扰动衰减 度二次稳定的条件，就是线性切换系统具有风。扰动衰减度二次稳定的充分条件，同时由 凸组合系统所设计的切换律保证了线性切换系统的二次稳定。进步，给出了线性切换系 统具有日。扰动衰减度二次稳定的必要条件 第二章一类非线性时滞系统的混杂状态反馈保性能控制 2 1 系统的描述与控制目的 本文的第二章是在文献 1 1 的基础上考虑了常时滞问题，并在系统中加入了非线性项， 在存在时滞和非线性项的情况下，利用单l y a p u n o v 函数法给出了控制器增益矩阵全部已 知时的切换律，利用多l y a p u n o v 函数法给出了控制器增益矩阵全部未知时的切换律，并 且分别证明了系统的稳定性和满足的性能指栝 考虑如下一类系统t 圣( t ) = a x ( 0 + s z ( t d ) + ，p ( 。) ，) + g ( 霉。一d ) ，) + 工m 一( o ，( 2 - 1 ) iz ( ) = = v ( 0 ，z ( o ) = z 0 t f - d ，0 】 其中z ( t ) p 足状态，“州i ) 舻为输入a ，b ，工舻。”足已知适当维数常矩阵， d 0 足常时滞，妒( t ) 表示从【一d ，o l 到舻的连续初始函数l g 舻，是满足y ( 0 ，t ) = 0 和g ( 0 ，t ) = 0 的未知时变非线性函致，表示模型中的参数摄动或不确定性，并满足 l i f ( z c t ) ，t ) l lsa o z ( t ) h ，j i g c z ( t d ) ，t ) s 芦。o d ) l i 其中d o ，p 0 为已知常数 a ( t ) ：f o ，+ o 。) 一m 一 1 ，2 m 为一个依赖于时间t 和状态z ( t ) 的分段常值函数 由有限个状态控制器“l ，u z u m 之间切换产生，且有 m t ) = 配( t ) ，蚝 炳，k 2 a 肘) 是全部未知或全部已知的常数矩阵 对于系统协1 ) 定义二次型性能指标t ( 其中q 和矗为正定加权矩阵) ，十 j = 酽( t ) q z ( t ) + t o ) r u 一( 0 d t ( 2 - 2 ) ，0 4 第二章一类非线性时滞系统的混杂状态反馈保性能控制 5 下面给出系统( 2 1 ) 混杂状态反馈保性能控制的定义 定义2 1 对于系统( 2 - 1 ) ，若存在一个混杂状态反馈控制律u ：m ，使对所有不确定性 闭环系统足渐近稳定的，且其性能值满足j j ，则称j 一为切换控制器系统( 2 - 1 ) 的性 能上界。虻( 。，为系统( 2 - 1 ) 的个混杂状态反馈保性能控制律，并称t ：( t ) 能使系统( 2 - i ) 满足混杂状态反馈保性能控制 洼2 1 当口( z ) ii 时，即控制器不进行切换时，混杂状态反馈保性能控制即为一般 意义下的保性能控制文中假设单一的控制器均不能使系统渐近稳定。也不能使其满足性 能上界为证明方便，首先给出如下记号，初始状态为勒的切换序列表示为 e = z o ；( i o ，t o ) ，( i l ，t 1 ) ，( i 。，如) ，缸l 彳；k n = l ，2 ，) u o 其中( t k ) 表示当k t so 杆1 时，切换系统第i k 个子系统被激活。在笫t + l 时离开 对于任意1 j m ，定义 马= ，t j l + 1 ) ，+ 1 ) ，t j 。+ 1 ) ，( t ) = 丘sts + l ，) 为第j 个子系统的切换时间序列，第j 个子系统在时刻进入激活状态，在+ 1 时刻 离开 令。，。( a l ，a 2 ，厶。) ，表示由参数口l ，a 2 ，a m 所确定的a l ，也，凸组合构成的 矩阵柬 2 2 单l y a p u n o v 函数法 对于已知的控制增益凰，霹冗砥为已知半正定矩阵，因厩存在矩阵日，使 h 一礁r k 2 0 ( 2 - 3 ) 下面给出使系统协1 ) 满足混杂状态反馈保性能控制的充分条件 定理2 1 在切换系统的控制增益均已知的情况下，对于不确定系统( 2 - 1 ) 和性能指 标( 2 - 2 ) ，给定满足( 2 - 3 ) 的矩阵甄若存在p t = p 0 ，常数日 0 “一1 ，2 ，3 ) 和矩阵 耳。衄，。( 硒，配，k 。) 使如下矩阵不等式组成立其中( 才= a + l k ) 讣肌m 办诎“塥i ) p 2 + 如舻“百伽聊 o ， ( 刎 ie t l + z 3 p 2 i r 0 第二章类非线性时滞系统的混杂状态反馈保性能控制 6 则存在一个混杂状态反馈保性能控制律，使系统( 2 - 1 ) 满足混杂状态反馈保性能控制，且 系统的个性能上界为j = x ；p z o + d 矿( 8 ) r 妒( s ) 矗s 证明因为耳e ，。，。( 甄，k 2 ，k 。) ，所以存在口2 a m 【o 1 j ，使得曼仉= 1 l ；l 且 m 耳= n t k ( 2 - 5 ) 将( 2 - 5 ) 式代入( 2 - 6 ) 有 ”lm q + p 啦( a + l 尬) + a d a + 工k ) r p 1i = 1 丑+ 冗+ 忙i 1 + 6 1 ) p 2 + z 2 a 2 i + f 1 p b b t p 0 由于对于任意啦满足 所以有 即 其中 0 0 4 啦 i = 1 1 ， = 1 m a i q + h + p ( a + 工垃) + ( a + l k i ) r p t f f i l + r + ( 巧1 + ；1 ) p 2 + 旬 a 2 i + s f l p b b t p 0 啦珥 0 i ；l 巩= q + 日+ p ( a + l k ) + ( a 十三k ) t p + r + ( 巧1 + 巧1 ) p 2 + e 2 a 2 ，+ i 1 p b b r p ( 2 - 7 ) 甄 l + a 啦 m 目 = 硷 l 啦 m： + a =厨 卜a = 一 以 所 箜三童= 耋i e 垡壁堕煎墨丝丝堡壅鉴查垦堕堡丝丝蕉型 7 设任意z ( t ) 尼1 o ，则有 令 所以 构造集合 有 n i = q “ m ，( 磅( 啦r t ) x ( o 0 扛= l 哦= z l x r ( t ) 巩x ( t ) 0 ，1 1 + 3 俨 r 有 识( t ) x r ( t ) p - , x ( t ) 0 由i 的任意性和单l y a p u n o v 函数法知系统( 2 1 ) 渐近稳定 下面证明系统( 2 - 1 ) 有性能上界， 因为 巩 0 ( m ) ， 所以 城( ) s2 7 t ( ) i 4 x ( t ) o o = i ，2 ，3 ) ，使如下矩阵不等式组 ， l 口+ r + 只a + 只+ ( 百1 + 百1 ) 只2 + 2 n 2 ，+ i 1 p i b b 7 只十岛( 最一易) 0 ， ( 2 - 1 4 ) l l f + 岛伊j 一r o ( i ，j i ，) 存在正定解只，那么一定存在切换律口( ) ：【o + ) 一 t 且存在- - , i - 混杂状态反馈保性 能控制律，控制增益丘= 一2 r - 1 二r 只 当岛0 时，性能上界是 ，o ，= m a x t 只知， m + ，( 。) r 妒( 8 ) 幽 第二章一类非线性时滞系统的混杂状态反馈保性能控翩 l o 当岛0 时，性能上界足 j = m i n 碚p i x o ，i m ) + f 矿( 8 ) r 妒( s ) d s ，o j d 证明令t ；= 口+ 冗+ 最a + a r l , i + ( 啄1 + s i l ) 砰+ 2 舻j + f 1 只口b ? 只 不失般性，假设0 由s - p r o e e d u r e 可知，如果 ：e t ( f ) ( 只一弓净( ) 20 ，扛0 ) 那么由( 2 - 1 4 ) 式知t ，( t ) 暑z ( t ) 0 ( 2 - 1 5 ) 令 = z 0 ) 兄“ o ) l l ，( ) ( 只一易) 。0 ) o ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 6 ) 式中；对于每个固定的i ，i 中的元素x ( t ) 为m 一1 个不等式 护( t ) ( 只一b ) z ( ) 0 ， x r ( t ) ( p i p z ) x ( t ) o z 7 ( f ) ( 只一只一l 如( t )之o ， z 7 0 ) ( 只一只+ 1 ) 霉( t )o 茹r ( t ) ( 只一j ) z ( t ) 0 的公共解 按定理1 方法构造瓦显然 仇 u 酉= 舻 o ，酉n 酉= ag j ) = l 第二章类非线性时滞系统的混杂状态反馈保性能控制 l l 切换律设计如下 口( ) = i ，z ( f ) j 写 设计混杂状态反馈保性能控制器为 t ( ) = i ) z t ) ( 2 - 1 7 ) 下面证明所构造的混杂状态反馈保性能控制器可以使系统( 2 - 1 ) 渐近稳定 同定理1 ，当z 面时定义。 ( t ) = ，( ) f ：z ( t ) + 7x t ( t ) r z ( t ) d 8 ，l j t - d 玩( t ) = z t ( t ) ( a r p i + 最a + r + 赢? 矿只+ 只l 反) 。( t ) + ，o a ) b r e t x ( t ) + x t ( t ) p i b x ( t 一回+ s t ( z 0 ) ，t ) p z ( t ) + z ( t ) r 只，( z ( t ) ，) + g t ( z 0 一d ) ，t ) p i x ( t ) + x t ( t ) p l g ( x ( t d ) ，t ) 一z 丁o d ) r z ( t d ) ， z t ( t ) a t p i + 只a + 矗+ 扁t l t p t + a l l ( , + ( i 1 + 6 1 ) 只2 + e 2 0 t 2 + i 1 只b b 7 e d x ( t ) 一z r ( t d ) ( e l l + e s 俨一r ) z ( t 一田 匿为 s l j + s 3 胪 r 有 仍o ) sz r ( ) q + r + p a + a t p t + 或，l r p + 只厶扁 + 日+ ( 巧1 + 丐1 ) p 2 + 觯2 i + i 1 p b b t p i x ( t ) 令 h + 蟊? pp + r l 霞t ：0 得 或= 一2 r 一1 l r 只 所以 优( t ) s2 t ( t ) e i x ( t ) 0 ( 2 - 1 8 ) 第二章类非线性时滞系统的混杂状态反馈保性能控制 1 2 注意当，( f ) ( 只一只) z ( ) 0 ，x ( t ) 0 时，有式( 2 - 1 8 ) 成立 则对任何切换时刻有k ( z ( 岛) ) = l i mk ( z ( t ) ) ， 由多l y a p u n o v 函数法可知- 在所设计的切换律下，系统仁1 ) 是渐近稳定的 下面证明系统( 2 1 ) 有性能上界，不妨假定如0 当z t ( 最一b ) 0 时 玩( z ) + x t ( t ) ( q + h ) x ( t ) ，( t ) 己z o ) 0 ， 玩( z ) - - x t ( t ) ( q + 日) z ( ) ， 玩( z ) 一。r ( t ) q x ( t ) 一a c t o ) 群兄置z ( ) 由i 的任意性 谚( z ) - x r ( t ) q x ( t ) 一u 五t ) 舷，( i ) 所以 ，= 酽( 亡) q z 0 ) + “。t ( t ) 冗“，( t ) 】蹴， ，0 ，十 一v ( s ) d s ， 一矿( o ) m a x 霹只知，i 朋】+ ，( 8 ) 却( s ) 如 当岛0 类似的可证明存在混杂状态反馈保性能控制律使系统倍1 ) 满足混杂状态反馈 保性能控制，且系统的个性能上界为j = m i n 鳝最，te f + 巴矿( s ) 甄p ( 8 ) 幽。 注2 3 对于= 0 ，切换信号将固定在第i 个稳定的子系统上，不必进行切换这是 一种平凡的情形 2 4 系统仿真 考虑系统( 2 - i ) ，它的参数如下 a = ( 1 2 二) ，b = ( ：曼) ，工= i ：) ，$ c = ( - ：1 ) 第二章一类非线性时滞系统的混杂状态反馈保性能控制 ，( ( 蚺归fn 5 咖扛( t ”h ( 球- 1 ) t ) ：f o 3 咖扛“卜”1 o 5 s i n ( 现( ) ) ，0 3 s i n ( x 2 ( t 一1 ) ) 绯，2 ，一舷脚s 设系统( 2 - 1 ) 有两个备选的状态反馈控制器一 t = j z c t ) = ( ： ) 。( t ，u 。= k 卫c ) = ( 二l ：) z c 。 当a l = 叻= 1 2 时 阳麒硷圳= ( 三 由日砰r k “= 1 ，2 ) ，可取 ：) 一( 苫二) 日= 5 2 5 3 0 7 25316)；q一125316 3 22 7 7 9 0 。1 ) ，冗一( 0 6 0 3 2 90 6 。3 2 9 ) 、 将r i c c a t i 方程 口+ 日+ p 再+ 才p + 冗+ ( i 1 + 丐1 ) p + 如一j + i 1 p b b r p 0 转化为l m i b 求解得t (q+日+冗+。尸三+再p+如n2。二手：毒，一三，)。； 一囟u u - 幸 一s ， u l 事 一a “， 9 8 0 2 00 6 1 8 8 、 p = ll ，e 1 = 0 2 0 5 9 ，旬= 1 0 6 6 6 6 ，旬一4 0 0 3 2 、0 6 1 韶6 2 9 1 1 ， 整三童二耋i e 堡壁堕煎墨笪塑望壅丛奎星堡堡壁丝蕉墅 1 4 根据定理2 1 的证明，可得控制器的切换域为 n l 砷旧f 1 1 8 2 懈嘲5 7 ) o ) 、0 8 1 5 77 3 2 6 2 2 ， 啦砷iz t ( t ) f 1 1 6 国8 1 2o 8 1 5 7 k ) o ， 、0 8 1 5 7- 7 7 7 2 4 2 ， 进而 石= f z l ，蕊= 啦一_ 设计切换律，口( ) 一i 当? ( t ) 既( i = 1 ，2 ) 设计混杂状态反馈控制律 u e ( 0 = 配【t ) z ( z ) 下面的状态轨线圈说明混杂状态反馈控制律的控制效果尾显然的，并且系统倍1 ) 的个 性能上界为 ，= x 吾p x o + ，( s ) 却( s ) d s ；1 5 2 7 7 4 系统在控制u 1 ( t ) 下的状态曲线 箜三童= 耋j e 堡丝堕受墨丝塑堡壅鉴查医堡堡壁鱼墼型 1 5 系统在控制( t ) 下的状态曲线 系统在混杂状态控制( t ) 下的状态曲线 第三章含时变时滞非线性系统的混杂状态反馈保性能控制 3 1 系统的描述与控制目的 本文足在第二章的基础上考虑了时变时滞，并在系统中加入了非线性扰动硬，也足利 用单l y a p u n o v 函数法给出了控制器增益矩阵全部已知时的切换律，利用多l y a p u n o v 函 数法给出了控制器增益矩阵全都未知时的切换雒，并且分别证明了系统的稳定性和满足的 性能指标 考虑如下一类系统 j 士( ) = a l z o ) + a 2 x ( t d 0 ) ) + ，扛o ) ，t ) + 9 ( z 0 一d ( ) ) ，t ) + b l u 。( t ) + 日和( ) i 善t ) = 识t ) ，z ( o ) = 知t 卜6 k ，o 】 ( 3 - 1 ) 其中z ( t ) 即是状态，锄( 1 ) r e 为输入a l ，a 2 ，b l ，岛，舻“足已知适当维数常矩 阵，妒( ) 表示从卜正o 】到舒的连续初始函数 0 0 为已知常数, 4 t ) 伊是夕卜部干扰并满足t “尸( t ) ，o ) 饥矿( t ) x c t ) + 7 2 x t ( t d ( t ) ) 岳( f d ( t ) ) 其中饥 0 ，蚀 0 为已知常数 盯( ) ：【o ，+ ) 一m = l ，2 m 为个依赖于时间t 和状态( t ) 的分段常值函数 ”邢 由有限个状态控制器u l ，t 2 t ，之间切换产生，且有 t ，( i ) = j 0 ( o ，j 瓴o k l ，鲍) ，g m ) 是全部未知或全部已知的常数矩阵 1 6 第三章含时变时滞非线性系统的混杂状态反馈保性能控制 1 7 对于系统( 孓1 ) 定义二次型性能指标，( 其中q 和矗为正定加权矩阵) e + o o j = 矿( t ) q z ( ) + t t r 僻1 d ( 3 - 2 ) j 0 下面给出系统p 1 ) 混杂状态反馈保性能控制的定义 定义3 1 对于系统( 3 - 1 ) ，若存在一个混杂状态反馈控制律u ：，使对所有不确定性 闭环系统足渐近稳定的，且其性能值满足，s ，则称，为切换控制器系统( 3 - 1 ) 的性 能上界，( 。) 为系统( 3 - 1 ) 的一个混杂状态反馈保性能控制律，并称t ：( t ) 能使系统( 3 - 1 ) 满足混杂状态反馈保性能控制 注3 1 当口( t ) 三t 时，即控制器不进行切换时，混杂状态反馈保性能控制即为一般 意义下的保性能控制，文中假设单一的控制器均不能使系统渐近稳定，也不能使其满足性 能上界 为证明方便。首先给出如下记号，初始状态为知的切换序列表示为， e = 知；( 而，t o ) ，( t 1 ，t 1 ) ，“。，k ) ，缸m ；k n = l ，2 ，) u o 其中陬，t ) 表示当“st 曼t k + l 时，切换系统第缸个子系统被激活，在第i + l 时离开 对于任意1 sj m ，定义 马= ，t 矗十1 ) ，t j 2 + 1 ) ，+ 1 ) ，矿( f ) 一j ，ts 坟+ l ，n 为第j 个子系统的切换时间序列，笫j 个子系统在时刻进入激活状态，在+ 1 时刻 离开 令。，。( 蜀，岛，e ) ，表示由参数a l ，a 2 ，所确定的e l ，岛，互k 凸组合构成的 矩阵柬 3 2 单l y a p u n o v 函数法 对于已知的控制增益k ，k t r k , 为已知半正定矩阵，因而存在矩阵日，使 日一砰r k i o ( 3 - 3 ) 下面给出使系统p 1 ) 满足混杂状态反馈保性能控制的充分条件 箜三童鱼堕窒堡进i 垡丝墨丝塑堡銎鉴查医堡堡丝丝丝墅 1 8 定理3 1 在切换系统的控制增益均已知的情况下，对于不确定系统p 1 ) 和性能指 标( 3 - 2 ) ，给定满足( 3 - 3 ) 的矩阵嚣，若存在尹田= p o 常数t o ( i = l ，2 ，3 ，4 ) 和矩阵 霄。( j g ，j b ，j o ) 使如下矩阵不等式成立其中( 石= a l + b i 两 ， 一 l 尸两+ 石p + ( i 1 + 1 ) p 2 + i 1 p b 2 b 参p q + 嚣+ r + 钇8 2 i + e 4 饥j + i 1 p a 2 霹p 0 ， ( 孓4 ) i e l ，+ 岛俨，+ e 4 3 i 一( 1 一p ) r 0 则存在一个混杂状态反馈保性能控制律，使系统( 3 - 1 ) 满足混杂状态反馈保牲能控制，且 系统的一个性能上界为= 菇p x o + ，矿( s ) r 妒( s ) 西 证明因为霄，m ，d 。( k l ，玛，k 。) ，所以存在0 , 1a , 2 岛。【o ，1 】，使得啦= 1 且 将( 3 击) 式代入( 孓4 ) ，得 其中 霄= 啦k ( 3 - s ) t = l ( 3 - 6 ) n l 0 ( 3 - 7 ) b l i i 一口+ p ( a l + 曰1 甄) + ( a l + b i k ) t p + 仁i 1 + 1 ) p 。 + 日+ r + 白口2 ，+ “饥，+ f 1 p a 2 a ；户+ 百1 p 岛霹p 设任意x ( t ) j ， o ) ，_ 跫 有 矿( t ) ( a t n j z ( t ) 0 t = l 令 啦一 卫i 矿( t ) n t z ( t ) 0 ，e l l 4 - 3 卢2 4 - 7 2 1 ( 1 一p ) 只 ( ；( t ) ，( t ) n i z ( ) 0 ( 3 - 1 4 ) 由i 的任意性和单l y a p u n o v 函数法知系统睁1 ) 游近稳定 下面证明系统( 3 - 1 ) 有性能上界， 因为 窿( t ) sx r ( t ) i l i x ( t ) 0 所以 1 = ；( t ) 碴r 稻 故而 ，= 7k r ( f ) q z ( t ) + 嵋t ) 冗( t ) j 出， j 0 ，+ o ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使如下矩阵不等式组 ， lr + 最a l + a 1 只+ ( g i l + 6 1 ) 砰+ 1 p b 2 霹只 + q + 包( 一i 十e 4 7 1 1 + e i 1 p i a 2 艇只+ 比( 最一b ) 0 ， ( 3 - 1 6 ) l l f + 3 口2 j + e 4 7 2 1 一( 1 一p ) 只 0 存在正定解最，邵么一定存在切换律矿( ) ：f o ，+ o o ) 一 疋且存在个混杂状态反馈保性 能控制律，控制增益成。一2 厅一1 砑只 当如20 时，性能上界是 ，o j 一m a x z o r a o ，i m 、+ | 扩( s ) r o ( s ) d s 当如0 时，性能上界是 ，= m i n x t 只x 0 ，i m + ，( s ) 冗妒( 3 ，o ，一r 证明令 昌= 口+ 只a l + a 1 只+ ( e 2 1 + 丐1 ) 砰+ e 2 n 2 j + r + e 4 7 1 1 + e 1 1 只如霹只+ 巧1 最易霹只 整三茎宣堕堑堕塑韭垫焦墨笙笪堡壅鉴查星堡堡壁丝蕉塑 2 2 不失一般性z 假设20 同定理1 ，定义 k ( z ) = z 7 ( t ) 只z ( ) + f x t ( t ) r x ( t ) d s (3-17t ) ， j i d ( t ) 由s p r o c e d u r e 可知，如果x t ( t ) ( p i b ) z ( t ) 20 ，( x ( t ) o ) ，那么 x r ( t ) 已x ( t ) 0 玩f ) s ，( t ) 口+ 只a + a 1 只+ h + 最局茸+ 毯。b 1 只+ ( 彳1 + 石1 ) 砰 + r + 勖2 i + s 4 7 1 1 十；1 p i a 2 蟹只+ 巧1 只b 2 尽 只扣( t ) 令 h + r b l k j + 碴b l p = 0 得 最= 一2 r - 1 b f 最 所以 识( t ) s ，0 ) q + 只a l + a 1 只+ ( i 1 + ；1 ) 砰+ 露 + s 2 0 t 2 i + e 4 7 l i + e i l 最如鬈只+ 筲1 只易霹p o x ( o ， ，( f ) 暑z ( f ) 0 ( 争2 2 ) 注意当x t ( t ) ( b 一弓) z ( t ) 0