（无线电物理专业论文）轴对称柱坐标fdtd网格剖分技术及其在天线辐射中的应用.pdf

摘要 1 摘要 时域有限差分( f d t d ) 方法是计算天线辐射的一种有效方法。为了提高二维 轴对称柱坐标系中f d t d 方法的有效性和准确性，本文在网格剖分方面研究了亚网 格技术和曲面共形技术。给出了粗细网格尺寸比为2 、3 的两种亚网格技术的理论 分析，完成了相应程序并给出相应算例。为了更糖确的模拟二维轴对称柱坐标系 中的曲面导体，本文研究了二维轴对称柱坐标系中的曲面共形技术并计算了球底 面和平底面的圆锥天线的辐射特性。实际应用中等离子体和吸波材料等都具有色 散介质特性。本文还应用移位算子方法研究二维柱坐标系中等离子体覆盖的单极 子天线的辐射特性。 关键词：时域有限差分方法轴对称亚网格技术曲面共形技术等离子体 摘要 a b s t r a c t t h ef i n i t e - d i f f e r e n c e t i m e - d o m m n ( f d t d ) t e c h n i q u e h a sb e e n e f f e c t i v e l y a p p l i e dt ot h ea n a l y s i so fr a d i a t i n gp r o b l e m s i no r d e rt oi m p r o v e t h ev a l i d i t ya n dt h e a c c u r a c yo ff d t dm e t h o d i nc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t ew i t hr o t a t i o n a ls y m m e t r y , t w o k i n d so fs u b g r i d d i n gm e t h o d sw i t hm e s hr e f i n e m e n tb yaf a c t o ro ft w oa n dt h r e ea r e d i s c u s s e d t h es u b g r i d d i n gt h e o r i e sa r eg i v e na n dt h ep r o 酽a m sa r es e tu p t os i m u l a t e t h ec u r v e p e r f e c t l yc o n d u c t i n go b j e c ti nc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t ew i t hr o t a t i o n a ls y m m e t r y m o r ep r e c i s e l y , w ep r e s e n tas i m p l ey e ta c c u r a t ec o n f o r m a la l g o r i t h mf o rt h ef d t d a n a l y s i s o fa n t e n n a r a d i a t i n gp r o b l e m s a c c u r a c yo ft h i s m e t h o di si l l u s t r a t e d b y c o m p a r i n g t h er e s u l t sd e r i v e df r o mt h i sm e t h o dw i t ht h ee x p e r i m e n t a ld a t a f i n a l l y ，t h e r a d i a n tc h a r a c t e r i s t i co f m o n o p o l ec o v e r e dw i t hp l a s m a ，w h i c hi sad i s p e r s i v em e d i u m ， i sd i s p o s e db yas h i f to p e r a t o rm e t h o d k e yw o r d s ：f i n i t e - d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( f d t d ) m e t h o da x i a ls y m m e t r y s u b g r i d d i n g m e t h o dc o n f o r m a l t e c h n i q u e p l a s m a 创新性声明 本文声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 所取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗 列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究或成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 善豳，荔 日期： 2 竺! ：! ! ：耳 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规 定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西安 电子科技大学。本人保证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果 时署名单位仍然为西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印 件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部内容或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解 密后遵循此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书 本人签名：塞捆差 翩虢觐鲤 日期：2 1 1 21 丛12 日期：羔! ! z ：fz ! 丑 第一章前言 ! 第一章前言 1 1时域有限差分方法发展和现状 1 9 6 6 年k s y e e 首次提出了一种电磁场数值计算的新方法时域有限差分 方法f f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，简称f d t d ) 。在其著名论文“n u m e r i c a l s o l u t i o no fi n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n v o l v i n gm a x w e l l se q u a t i o ni ni s o t r o p i c m e d i a ”中提出对e 、h 场分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，应用 这种离散方式将带时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程，并在时间 轴上逐步推进地求解空间电磁场。y e e 提出的这种抽样方式后来被称为y e e 氏网 格。 f d t d 方法经过三十多年的发展已成为一种成熟的数值方法【2 ”。近十几年 来，随着计算机性能的提高和价格的下降，使f d t d 方法更具吸引力，应用范围 也越来越广，如计算天线辐射、分析周期性结构、研究微波器件和导行波结构的 问题等。三十多年来国内、国际刊物上发表的论文数目可以充分说明这一点口l 。 前十年中，每年仅有几篇和f d t d 有关的论文发表，此后十年中，每年都有十几 篇相关的研究论文见诸各种刊物。近十几年来，每年发表的论文几乎按指数增长。 随着f d t d 被人们广泛接受和应用，f d t d 方法本身也在不断完善和发展， 主要表现为： f d t d 区。对于散射问题，通常在f d t d 计算区域中引入总场边界( 即 连接边界) ，如图1 1 所示。f d t d 计算区域划分为总场区和散射场区。这样做的 好处是：一、应用惠更斯( h u y g e n s ) 原理，可以在连接边界处设置入射波，使入 射波的加入变得简单易行；二、可以在截断边界( 即吸收边界) 处设置吸收边界 条件，利用有限计算区域就能够模拟开域的电磁过程；三、根据等效原理，应用 数据存储边界( 即输出边界) 处的近区场便可以实现远场的外推计算。对于辐射 问题，激励源直接加到辐射天线上，整个f d t d 计算区域为辐射场，如图1 2 所 示，不再区分总场区和散射场区。 吸收边界条件( 截断边界条件) 吸收效果提高。为了在有限的计算区域模 拟自由空间中的电磁问题，必须在计算区域的边界上设置吸收边界条件，将计算 区域截断。吸收边界从开始简单的插值边界，到后来广泛采用的m u r 吸收边界， 以至近几年发展起来的完全匹配层( p m l ) 吸收边界，其吸收效果越来越好。 凿1t 散射计算时f d t d 区域的划分 图12 辐射计算时f d t d 区域的划分 近一远场变换。f d t d 的模拟只能限于有限空间，为了获得计算域以外 熬教鬈场，必须詹助等效琢理应翔诗算嚣域疆肉豹遥场散射数据实现诗舞区蠛以 外远场的外推。 潮格削分。在网格剖分方面新技术髂殿用提高了f d t d 方法的肖效性和 准确性。这些新技术包括：直角坐标系中的亚嘲格技术 8 卜 1 2 1 ；直角坐标系中的姻 面共形技术3 “j ，广义正交坐标系中的差分格式和非正交变形网格技术等。这 些薪技术匏应震大大辐宽了f d t d 方法翁应鼹慈罄。 时域有限差分( f d t d ) 方法是计算天线辐射的一种有效方法。决定f d t d 方法精发斡一个因素是掰取溺格豹尺寸。通常情况下，离散两格尺度矗鞭决于入 射波长，即满足d s 1 0 。但在很多情况下。需疆对于感兴趣的部分进行细分，如 染采弼均匀两格，列需要对整个计算区域都采用小尺寸网格，这样嚣受到计算机 内存及运行时间的限制。鉴于这荦申情况，在直角坐标系孛，我嬲应用妻楚坐撂系 中的亚嘲格技术 8 j f 1 “。即对于感兴趣的部分再进行细分，应用亚网格，而其它区 域仍采腰粗网按：丽在二维辅霹称柱坐黎系中，与直焦坐标系中相似，巍可采用 楗坐标系中的溉网格技术。这样既能保诞计算的精度，又节约内存及运行时间。 键统f i ) t d 建模在应用台阶近儆模拟簸瑟时会葶i 入误差，在煮焦坐标系中，出现 第一章裁富! _ s 一i u t u m t t t ! l t 目_ 目_ 目目 术邮哪来减少误差，其中有：非正交坐标系f d t d 法，曲线坐标系法，回路积分 法等。在二维轴对称柱坐标系中，也可以采用= 维轴对称柱嫩标系中的曲丽共形技 术来减少误差。色散分质是一类复杂介痰，等离子体、生物体、土壤等都具有色敖 特性。在直角嫩标系中，色散介质时域递推方法已经商时域卷积方法m 】，时域微分 方程方法 僻 ，z 变换方法f 2 j f 。2 。在二维辘对称柱坐标系中，当西与盖的频瑶本 构关系可以表示为有理分式函数时，将该本构关系首先过渡刘时域，再转换到时域 的离散形式，进而导出从西到五的递推计算公式，即可实现色散介质在二维轴对称 犍坐撼系中的时域遴接。褥该方法建来毳 究等离予体覆盖熬单极子天线豹辗慰特 性。 1 2 论文的安排及主要贡献 本论文共分先五章。 第二章研究粗细网格尺寸比为2 的二维轴对称柱坐标系中的f d t d 娅网格技 术。绘爨了二维辘对称壤况下耀缨网格尺寸比必2 的溅网格技术蛉理论分析，完成 了相应程序并进行了天线辐射的计算。本章所介绍的皿网格技术，是通过仿照直角 攫檬系中耍隧捂技术靛捶擅方法愀”1 来楚理耀缎露格速器。该方法密予特殊的阐捺 排布，可以应用于亚网格边界穿越介质的情况。 第三章讨论粗细网格尺寸眈为3 的二维辅对称聿主艇标系中的f d t d 腰网格技 术。给如了二维轴对称情况下粗细网格尺寸比为3 的弧网格技术的理论分毫厅，完成 了相应程序并进行了天线辐射的计算。本章所介绍的溉网格技术，是通过与直角坐 振系中瓣插值方法m 瓷织豹方法采处瑗耀细网格边界兹。该方法不需要特殊的耀格 排布，但可以应用于粗细网格边界穿越金属介质的情况。 第疆牵f d t d 曲蟊共形按术。本章绘出了= 维轴对称坐标系中的萄面共形技 术的理论分析，完成相应程序并计算了平底圆饿天线和球底两圆锥天线的反射电 压。该筵形技术( m c f d t d 方法) 参照直角坐标系中采用局部紧缩交形网格的共形 技术肿州7 l ，也采用局部紧缩变形阙格。农这些变形网接中，从积分形式麦克颠奄 方程出发得到修改后的f d t d 递推公式，丽在非变形网格中仍使用一般的递摧公 式。越乡 ，还讨论了变形瘸格癍当满跫静筵形条穆。该技术操作琵较篱荜，计算稳 定。该算法可用于模拟二维轴对称柱坐标系中的任意曲面形状的导体， 第五章醑究了等离予俸覆盖酌筚极予天线的辐射祷往。本牵先介绍了二维轴对 称柱坐标系中常用的一类色散介质的f d t d 计算方法。该方法具有可行性。应耀 此方法分析了等离子体覆盖的单极子天线的辐射特性。 4 轴对称柱坐栝f d t d 剐搀剖分技术及其在天线辐射中的应用 一一 第二耄粗细网格尺寸比为2 的轴对称f d t d 亚网格技术 2 1 亚网格技术原理 2 1 1 亚网播送的划分 辐射许冀对，f d t d 计算送域为辐射场区；有两个边并，即输出边界，设收 边界。现在，我们在辐射搦区划分出亚网接区，如蹙2 1 鼹示。 图2 1 具有甄网格分区的辎射计算时f d t d 区域的划分 2 1 2 强网臻森局 令粗维瓣格静灵寸毙餐矽= 2 ，并置畜一个缨舞格娃子糖鼹褡静孛心，露格 布局如图2 2 所示。这种布周是仿照直角坐标系中的妲网格方案的然础上提出昀 l ；璐8 ”，它能保证在辍缨瓣硌逑赛获褥最低鹤反射系数。并置虢自动满足留l 蠲场连 绫。 选梅网椿布局时的标礁是在秘细网格边界产生最小的葳射率。为了歌得这 效果，在网揍布羼土箕有以下甄个特点 。0 1 oo 。0 1 图3 4 同轴线馈电单极子天线的几何模型 图3 5g a u s s 脉冲激励下圆柱天线在同轴线内的反射电压 【例2 1 计算平底面圆锥的天线反射电压。如图3 6 天线参数取6 。：2 3 ， a 2 0 o l m , 口2 2 3 l ， 肛= 0 0 8 6 3 ，a = 3 0 。定义一个特征时间r 口： c ，它表示 以自由空间中光速传播的信号穿越锥高 所需的时间。在下面时间域的分析中， 第三章粗细网格尺i j + 比为3 的轴刈称f d t d 弧恻格技沭旦 用l 来度量。取r 。如= o 2 2 9 。激励电压仍采用高斯脉冲。圆锥天线的圆锥部分 用亚网格，其余计算区域用粗网格瓯= o 3 2 5 c m 。亚网格的大小j ，= o 1 0 8 a m 。亚网 格区含有4 0 6 1 个粗网格。计算得到同轴线内某处反射电压以如图3 7 所示。作 为比较，图中也给出了全部为粗网格j ，= o 3 2 5 c m 的f d t d 计算结果及实验值1 2 ”。 由图可见，在波形的峰值和谷值附近，数据表l 粥弛网格结浆与实验值符合衙更好。 图3 6 平底面圆锥天线几何模型 o24 68l o1 21 41 61 8 2 02 22 42 6 价。 图3 7 g a u s s 脉冲激励下平底圆锥天线在同轴线内的反射电压 2 1 o 0 ， 垫轴对称柱坐标f d t d 网格剖分技术及其在天线辐射中的应用 3 5 本章小结 本文介绍了一种既高效，反射系数又非常低的亚网格技术。用本文介绍的测 量反射系数的方法，粗细网格界面反射系数可以达到( 8 0 d b ) 以下。该方法可 以用于亚网格边界穿越金属介质界面的情形。采用本文的方法既可以获得精确的 场分布，又节约计算机内存和计算时间。 第四章二维轴对称柱坐标系中的曲面共形技术 型 第四章二维轴对称柱坐标系中的曲面共形技术 4 1 曲面共形原理 4 1 1 曲面共形算法 图4 1 是二维柱坐标系中一个理想导体的四分之一截面示意图。区域l ( 空心 点网格) 为理想导体，区域2 ( 实心点网格) 为需要计算的区域，其中阴影部分为变 形网格，需要对其进行共形处理。以柱坐标系中的t m 波为例；对于非变形网格 的电场e ，、e z 和磁场矾，用一般的f d t d 递推公式进行处理；对于变形网格， 其电场的递推公式不变，仍按照一般的f d t d 进行计算，而对于其磁场，则需特 殊处理。首先假设该磁场仍处于相应的非变形网格的中心，不管该中心是否处于 导体内或导体外。对于此假设可做以下分析：一般情况下，由法拉第感应定律， 磁场的计算需考虑沿网格边界切向电场的贡献；对于共形网格，由于处于理想导 体内的电场为零，因此在处理该变形网格时，仅需考虑该网格中处于理想导体以 外的电场贡献。由m a x w e l l 方程的积分形式 nd f 一争f 【豇d i ( 4 - 1 ) 可得到二维柱坐标系中f d t d 的递推公式 日( f ) = h ；- i 2 ( ) + 南 。j e ? ( ) - d ，一e ? o ，j 1 ) d ，o ，一1 ) l 4 - 2 l 一彤o ，办d ：o ，) + 霹o l ，办d z o i ，j ) j ( 4 - 2 ) 式中，当d ，= a r ，d z = a z ，而s g ，j ) = 甜a z ，即网格为正常网格时，该式为标准 的理想导体的磁场递推公式；而当d ，= l r , d ：= ，：时，s ( f ，) 为变形网格的面积，这 时公式( 4 - 2 ) 为理想导体的磁场共形递推公式。对于共形网格，式( 4 2 ) 重写为 嚣f ) = + 赢 。弦，彤o ，一帆( f ，卜1 ) 1 4 3 ) 【一e ；g ，) 1 ：o ，力+ e ：( f 一1 ，) ，：o 1 ，) j 2 2 轴对称柱坐标f d t d 网格剖分技术及其在天线辐射中的应川 图4 1f d t d 共形网格结构 当磁场h 。计算完以后，电场e ，、e ：仍然按照一般的f d t d 递推公式进行计算， 不做任何修改。如 e m ，班f 一豢把州o ，+ 0 - h 2 ( f ) ( 4 4 ) 黜 在这种变形网格处理方案中，因为所有场值的计算不采用插值和最近邻近 似，因此该技术不存在由于插值和最近邻近似所导致的稳定性变差。但是，仿照 直角坐标系中的共形技术5 】，变形网格应该满足以下两个条件： 1 变形网格的面积应该大于正常网格面积的5 。 本文程序中取正方形单元格，即取廿= 垃= j ，则正常网格面积s ：占：。条 件1 要求一r e 口变形 o 0 5 6 2 。 2 变形网格中的最长相对边长与该网格相对面积的比率应小于1 2 。 在此条件中我们引入了相对长度和相对面积的概念。变形网格的边长和面积 写为 l ( i ，) = ，7 0 ，办占， s o ，) = s q ，办j 2( 4 - 5 ) 式中t 0 ，) = ，o ，凇，s o ，) = s o ，j ) 8 2 分别称为变形网格的相对长度和相对面积。 相对长度和相对面积为无量纲量。当引入相对长度和相对面积后，共形网格磁场 递推公式( 4 3 ) 可写为以下形式： 片；+ l ，2 0 ，) = 汀2 0 ，) + 兰 。e ? ( ，) 非o ，) s 一e ? o ，- 0 c o ，一1 ) s 1 4 - 6 【一彤0 ，办e ( f ，j g s + 彤( f l ，办，；o 一1 ，j g s j 从( 4 6 ) 式可看出，当r s 的值过大时，电场和磁场的数量级就会相差很大，从而 第四章二维轴对称牲坐标系中的曲蕊兆形技术 丝 影响程序的稳定性。通过验证，当竺圄丛卫丛咚去舞曼幽 0 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 1 0 一0 1 5 图4 3g a u s s 脉冲激励下球底面圆锥天线在同轴线内的反射电压 o 1 。 0 0 图4 4g a u s s 脉冲激励下平底圆锥天线在同轴线内的反射电压 2 6 轴对称柱坐标f d t d 网格剖分技术及其在天线辐射中的应用 4 3 本章小结 本章研究了轴对称柱坐标系中一种曲面共形技术，包括共形网格的生成，以 及根据积分形式的m a x w e l l 方程所得到的算法叠代式和用后向加权平均技术来提 高稳定性。将该方法应用于天线辐射的计算，计算值与实验结果吻合很好，表明 m c f d t d 算法的可行性，并可适用于研究柱坐标系中的复杂目标的电磁问题。 第五章等离子体覆盖的单极子天线的辐射特性研究 5 1 引言 实际应用中等离子体和吸波材料等都具有色散介质特性。色散介质的介电系 数是频率的函数。以二维柱坐标系中的t m 波为例，其m a x w e l l 旋度方程的时域 形式为 鲁一季o r 叫警吨如出口 o h p ：o d rf 5 1 ) ，、o t 1 a p fjo d ： 取网格尺寸为，z ，时间步为m ，对( 5 一1 ) 式进行离散得到 豆n + l o + l 2 ，j 十t z ) = “，n o + l ，2 ，j + l 2 ) + f i l l 1 f ：”啦( i + 1 ，+ l 2 ) 一e z n + 9 2 ( f ，j + l ，2 ) j f i l l e r t l a v 2 0 + 1 2 ，j 十1 ) 一e r n + 1 1 2 0 + 1 2 ，彤删o d ，”+ v2 ( f + 矽2 ，) = f e i 珥”v2 ( f + l 2 ，) ( 5 _ 2 ) 一f e 2 1 百；o + l 2 ，+ 1 2 ) 一再；o + 1 2 ，j 1 2 ) v r a t i o d ：”1 2 0 ，+ 1 2 ) = f e l - d z ”- v2 g ，+ 1 2 ) 一f e 2 i + v 2 詹；o + 1 2 ，+ l 2 ) 1 一v 2 豆；o l 2 ，+ l 2 彬_ 鼠f h l 盖( z o f e 为1 篡f 的e 2 篓c a r g o 舭。等 洚， ：竺，；1 ， ： l l 。& a r 翌 轴对称柱坐标f d t d 网格剖分技术及其在天线辐射中的应用 5 2f d t d 移位算子方法原理 5 2 1 频域及时域中含算子的d ：与e ：的本构关系 对二维柱坐标系中的t m 波，考虑西和营的z 分量( r 分量也是如此) ，设频域( 时 间因子为e 倒) 中介质的本构关系为 d z = e o e r 0 玻( 5 - 4 ) 若介电系数占，) 可以写为有理分式函数形式 p 。咖) “ q 0 ) = 号l 一( 5 5 ) 吼咖) ” 可利用频域到时域的算子转换关系【，国专昙) ，将( 5 _ 4 ) 式变换为时域形式 叫 砌b 竹( 珈( ，) ( 5 - 6 ) 其中 拟甜 纠昙 ” ( 5 - 7 ) 为介电系数的时域算子形式。由( 5 6 ) 式及( 5 7 ) 式可得 羹q 。( 昙 ” z ，：o ，= 占。 薹，。( 昙 ” z r ：o ， c s s ， 上式是d ：与e ：在时域中的本构关系，含时间导数算子，是一个微分方程。 5 2 2 时域中含移位算子的d ：与e ：的本构关系 为了得到( 5 - 8 ) 式在时域的递推计算式，下面讨论时间导数算予在时域中的离 散形式。设函数 y ( r ) = 掣 取上式在0 + 1 2 ) a t 时刻的中心差分近似，可得 y 吼舡= 乞 对上式的左端取平均值近似，得到 ( 5 9 ) ( 5 一1 0 ) 第五章等离子体覆盖的单极子天线的辐射特性研冗 一2 9 蛛必b = 华( 5 - 1 1 ) 引入离散时域的移位算子孙即令 z , f ”= f “+ 1 r 5 1 2 ) 并合并( 5 - l o ) 、( 5 - 11 ) 可得 ( 孕卜( 等i f ”( 5 - 1 3 ) 或者 y ”= 2z t - i ，” ( 5 1 4 ) 比较( 5 9 ) 、( 5 - 1 4 ) 式可得 妄一怯等j ( 5 - 1 5 ) a t 1西 i= + j 上式给出了从时间导数算子过渡到离散时域时的移位算子表示式1 2 2 i 。n ( 5 1 5 ) 式 代a ( 5 - 8 ) 式，得到d ：和e ：在时域的离散本构关系 烈n 丢矧咖怪，2z - 1 7 卜 p 将上式两边乘“+ 1 ) ”得 荟,va 八面2 ) g ，+ ，”。g ，一t ， 。；= n ；p ，( 丢 g ，+ t ，”。g 一， e ；c s ， 上式称为d ：与e ：在时域中含移位算子的本构关系。 5 2 3 盯城甲从d z 剑e ：明递推计算公式 考虑两种简单情况，即有理分式( 5 5 ) 式中的最高幂次= 1 和n ：2 的情形。 【情况1 】当：1 ，( 5 1 7 ) 式变为 a 。g ，+ t ) + a 。( 云 g ，一) 。；= s 。 p o ( z ，+ ) + p ( 古 g 一) e ? c s 一s ) 整理得 ( a 。+ 。，丢) 刁+ ( 。一a 。z ，1 1 。；= ( 胁+ p 。云 z ，+ ( p 。一p 。吾) 1 e ? c s ， 根据( 5 1 2 ) 式，可将上式写为 掣1 = 荆剖怕附叩刁 p z 其中 叫0 + 吼石q 邓。叫1 丐2 at(5-21) 6 0 2p o + p l 石6 1 2 仇一p l 石 ( 5 - 2 0 ) 、( 5 - 2 1 ) 删n = 1 时二维柱坐标系中从d ：到e z 的递推计算公式。 特例：对于相对介电系数为s 、电导率为a 的普通导电介质( s 为实数、 a 0 ) ，在m a x w e l l 旋度方程( 5 1 ) 式中，西和雷的z 分量在频域( 日i j 问因子为e ，一) 中的本构关系为 见强卜去户 p z z ， 令q 白) ：占+ 罢鱼，与( 5 5 ) 比较，可知n = i 及 吼= o ，g l = 1 ，p 。= 三，p l = s ( 5 2 3 ) 将上式代入( 5 2 1 ) x - 式，可得 2 石2 ，。t2一石2，60=詈+2。，6-=昙一吾(5-24)a0- f f 2 石q 一石2 i +，“2 i 一言 将上式代入( 5 2 0 ) 可得 掣1 = 三趸i 目a t 。掣e o ) 一言一 珈 p z s ， 将上式与( 5 2 ) 式结合进行编程，可用于二维柱坐标系中普通导电媒质的f d t d 计 算。 【情况2 】当n = 2 时，( 5 - 1 7 ) 式变为 i l g 。g ，+ ) 2 + g t ( 丢) 。，+ 比，一，) + g ：( 丢) 2 g ，一) 2 。? = 占。 p 。g ，+ - 尸+ p ，( 丢) g 。+ ，一t ，+ p ：( 石2jg ，二，r e ；5 - 2 6 整理后得 盯 2 ”叼1 石岬2 f 2 2 胪岬1 石+ z a 。一：a ： 云 2 刁+ 卜。一。吾+ 。：( 云 + 2 p 。一z p ：( 云 2 z t + p 。一p 。丢+ p ：( 彰 硝二1 弘训 + # krj中 vl， 2 一心 2一出，弋 一一。一。l 塑耋翟鲨琶型鲨翟鍪篮型鲨型二- 。一型 根据( 5 一1 2 ) 式，上式可写为 弘小降m 争口：) 呐弘僻 其中 口。2 a 。+ 口，五2 7 + a ：l 石2j 2 ；口t = z g 。一z g ：l 石2j 2 ：口：5 9 。一g 一主；+ 碍z ( 云 2 。，一：， a 。一岛+ p 主；+ 仍( 云) 2 ，岛= z p 。一z p ： 云) 2 ，屯= p 。一p ，吾+ ，：( 砉) 2 、。 ( 5 2 8 ) 、( 5 - 2 9 ) 郴 1n = 2 时二维柱坐标系中从砬到e ；的递推计算公式。 对于n 3 的一般情况，根据( 5 一1 7 ) 式及( 5 一1 2 ) 式，从取到疋的递推计算公式 可写为 = 谁q ( 等心僻“ 侉s 。， 其中嘶、岛( ，= 蹦) 可分别由p ，、q ，( ，= o ，i j 表示。 从d ，到昱，的时域递摧公式也可以通过类似的方法得到。从雨实现了二维柱 坐标系中t m 波情形下，场分量的时域推进。 5 3 算例 【例l 】处于真空中的同轴线馈电单极子天线，如图5 1 所示，天线模型及所取 参数与2 3 节中例l 完全相同，取巧- - - - 0 ，3 2 5 c m ，a t = 艿( 2 c ) ：5 4 1 9 1 0 、1 25 。图5 ，l 中d ，、如为等离子体的覆盖厚度，本例中矾、d 2 均为0 ，即无等离子体覆盖。使用 移位算予方法，取相对介电常数s = l ，用( 5 2 ) 式及( 5 2 5 ) 式进行编程。图5 2 给出 了t m 情况下同轴线内某处的反射电压以的示意图。作为比较，图中也给出了通 常f d t d 计算结果。两种计算结果完全符合，验证了n = i 的移位算子方法计算公 式。 图5 1 同轴线馈电单授予天线的几 司；攘型 丝轴对称柱坐标f d t d 网格剖分技术及其在天线辐射中的应用 0 5 0 4 0 3 妻 。1 。 - 。1 0 2 图5 2 同轴线馈电单极子天线的反射电压 【例2 】非磁等离子体的相对介电系数为 僻( i + 名 错 泠，t ， 其中为等离子体频率，r 。为电子平均碰撞频率。与( 5 5 ) 式比较可得：n ：2 ， 及 将上式代入( 5 - 2 9 ) 式可得 铲警+ ( 丢 2 ，铲一素，铲一等+ ( 割2 ：m ；+ 等+ 2 ，：。；一素，。：。；2 一百2 k c + 怯 2 q 3 3 低空电离层中冷等离子体的有效电子碰撞频率为1 0 m 1 0 u 胁，能实现的电子密度 一般为1 0 ”1 0 1 8 m - 3 ，即取。= 1 0 1 0 ”，；i o g h z 。则等离子体的固有频率 = 1 薏景_ 1 7 8 10 l ，即厶= 2 8 4 g 舷。用上述均匀等离子体覆盖单极子天线， 该单极子天线的模型及所取参数与例1 完全相同。将咋，厶f 的值代入( 5 3 3 ) 式， 动o f i 引 ，吼 ， = p | l ，g 2 p 仉 = j 所吼 。一。誓垂彗翟型誊篮警卫型盥塑誊监一翌 再应用( 5 2 ) 、( 5 2 8 ) 式即可编程计算同轴线内的反射电压及远区的辐射场。 在本例中，图51 中单极子天线的等离子体覆盖厚度分别取为：( a ) d ，= 2 ，2 7 5 c m ，d ，= 1 6 2 5 c m ；( b ) d i = 3 9 0 c m ，d 2 = 3 2 5 c m 。 图5 3 给出了激励电压的波形，其中图5 3 ( a ) 为时域波形，图5 3 ( b ) 为频 域波形。由图5 3 ( b ) 可知，入射波的上限频率为2 5 0 0 m h z ，在研究同轴线内的反 射电压的频率特性及单极子天线远区辐射场的频率特性时，仅考虑0 1 5 0 0 m h z 的有效频宽。 图5 4 给出了单极子天线外无等离子体介质覆盖、及等离子体覆盖两种不同 厚度的三种情形下同轴线内的反射电压。图5 4 ( a ) 为时域结果，图5 4 ( b ) 为频域 结果。由图5 4 ( a ) 可见：当无等离子体覆盖单极子天线时，同轴线内的反射电压 曲线有两个峰值，其第一个峰值来自口径处的反射，第二个峰值来自单极子天线 顶部棱角处的反射，这两个峰值之间的时间间隔为2 f 。，对应于脉冲在天线上的 往返时间；当有等离子体覆盖天线时，由于等离子体的损耗作用，使得电磁波在 天线口径处就被吸牧，出现低谷，只有少量的波到达天线顶部棱角处被反射，并 且等离子体覆盖厚度越大时，反射电压的幅值就越小。由图5 4 ( b ) 可见，当无等 离子体覆盖单极子天线时，反射电压曲线具有谐振特性：当口径面上的反射电压 与天线顶部的反射电压在反射电压接收点叠加对相位相反，就会出现低谷；如叠 加时相位相同则反射加强，就会出现峰值。当有等离子体覆盖天线时，等离子体 吸收电磁波，使得口径面上的反射电压减弱，所以没有明显的谐振特性。等离子 体覆盖厚度越大时，反射电压在频域的谐振特性越不明显。 图5 5 给出了等离子体覆盖厚度大小不同时，该单极子天线在不同角度的远 区辐射的频域结果。其中图5 。5 ( a ) 及图5 5 ( b ) 的幅值未归一化，图5 5 ( c ) 及图5 5 ( d ) 的幅值己归一化。由图5 5 ( a ) 可知，对于被等离子体覆盖的单极子天线，由于天 线本身的辐射方向性，使得从1 0 0 到7 0 0 ，辐射场逐渐加强，但波形相似。由图5 5 ( c ) 可知：在不同角度接收到的辐射场，第一个波峰处所对应的频率相同，未出现第 一波峰所对应的频率的移动。图5 5 ( ”、图5 5 ( d ) 的分析分别与图5 5 ( a ) 、图5 5 ( c ) 相同。 图5 6 给出了接收角t h e t a = 4 0 0 时，单极子天线外无等离子体覆盖、等离子体 覆盖厚度大小不同时的远区辐射的频域结果。由图5 6 可知，当天线被等离子体 覆盖时，等离子体层越厚，第一峰值就越小。 幅值归化的图5 7 给出了不同接收角度，单极子天线外无等离子体覆盖、 等离子体覆盖厚度大小不同时的远区辐射的频域结果。由图5 7 可知，当天线被 等离子体覆盖时，频域中的辐射场在高频部分被吸收较多，峰值对应的频率向低 频方向移动：天线表面覆盖的等离子体层越厚，向低频方向移动得也越多。由于 峰值的移动，使得在某些频段辐射场的幅值，在有等离子体覆盖时反而比没有等 离子体覆盖时大，或者出现覆盖的等离子体厚度越大，辐射场的幅值反而越大的 情形。 兰 轴对称柱坐标f d t d 网格剖分技术及其在天线辐射中的应用 10 0 8 o 6 o 4 0 o 10 0 8 06 0 4 01 t ( a ) 激励电压时域波形 f ( m h z ) ( b ) 激励电压频域波形 图5 3 激励电压波形 2 第五章等离子体覆盖的单极子天线的辐射特性研究 篁 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 芦_ 0 1 。02 。03 0 4 0 5 6 5 4 。 0 - i c 3 e 、- ， 。2 1 o 024 681 01 21 41 6 t h ( a ) 反射电压时域波形 f ( m h z ) ( b ) 反射电压频域特性 幽5 4 同轴线内的反射电压 堑轴对称柱坐标f d t d 网格剖分技术及其在天线辐射中的应用 6 5 6 0 5 5 5 0 4 5 4 0 乙3 5 基3 o 山。2 5 2 0 1 5 10 o 5 0 0 f ( m h z ) ( a ) d l = 2 2 7 5 c m ，d 2 = 1 6 2 5 c m ，幅值末归一化 f ( m h z ) ( b ) d l = 3 9 0 c m ，d 2 = 3 2 5 c m ，幅值未归一化 8 7 6 5 4 3 2 ， 0 ；。e 。| | 第五章等离子体覆盖的单极子天线的辐射特性研究塑 e c ， 、 山 三 o 、- 台 l u 0 f ( m h z ) ( c ) d l = 2 2 7 5 c m ，d 2 = 1 6 2 5 c m ，幅值归一化 ( d ) d l = 3 9 0 c m ，d 2 = 3 2 5 c m ，幅值归一化 图5 5 单极子天线有等离子体覆盖时在不同角度的远区辐射图 0 8 6 4 1 0 0 0 仙 啦 ，否。些o)。|f 塑 轴对称柱坐标f d t d 网格剖分技术及其在天线辐射中的应用 8 6 p b ：- 荟4 苴 2 0 03 0 06 0 0 9 0 01 2 0 01 5 0 0 f ( m h z ) 图5 6 单极子天线在t h e t a = 4 0 。的远区辐射场的频率特性( 未归一化) j e 山。 s 山。 f ( m h z ) ( a ) 接收角t h e t a = 1 0 。，幅值已归一化 第五章等离子体覆蔫的单极子天线的辐射特性研究 翌 10 0 8 云s 06 i l l 甓0 4 i l l 0 2 0 0 箍 e _ i l l e u j 0 ( b ) 接收角t h e t a = 3 0 。，幅值已归一化 f ( m h z ) ( c ) 接收角t h e t a = 6 0 6 ，幅值已归一化 图5 7 单极子天线在不同接收角的远区辐射场的频率特性( 已归一化) 竺轴对称柱坐标f d t d 网格剖分技术及其在天线辐射中的应用 i i i i i i i 5 4 本章结论 在二维轴对称柱坐标系中，当西与丘的频域本构关系可以表示为有理分式函 数时，可使用移位算子导出西与丘的本构关系的时域离散形式，从而得到适用于 普通媒质及常用的一类色散介质的f d t d 计算方法。该方法具有可行性。应用此 方法计算了被等离子体覆盖的单极子天线的辐射特性。此方法也可推广到三维情 况。 结束语盟 结束语 时域有限差分方法经过三十多年的发展，已成为一种有效的数值方法，被广 泛用于处理电磁散射与辐射，波导问题，电磁干扰与兼容，生物电磁学等许多领 域。传统f d t d 建模在应用台阶近似模拟曲面时会引入较大误差。为了更精确的 模拟曲面物体，在网格剖分方面，发展了亚网格技术，网格共形技术等。这些新 技术的应用提高了f d t d 方法的有效性和准确性，拓宽了f d t d 方法的应用范围。 本文研究二维轴对称柱坐标系中的亚网格技术，给出了二维情况下粗细网格 比为2 亚网格技术的理论分析，完成了相应程序并给出圆柱形天线的反射电压及 球底面圆锥天线远区辐射场。同时，还给出了二维情况下粗细网格比为3 的亚网 格技术的理论分析，完成了相应程序并计算了圆柱形天线及平底面圆锥天线的反 射电压。 本文还研究了二维轴对称柱坐标系中的曲面共形技术，进行了理论分析，完 成了相应程序并计算了球底面圆锥天线及平底面圆锥天线的反射电压。 最后本文介绍t - 维柱坐标系中色散介质的一种f d t d 时域递推方法，并用 该方法研究了等离子体色散介质覆盖的单极子天线的辐射特性，完成了相应程 序。 由于时间限制，在讨论柱坐标系中的亚网格和共形网格技术时，仅讨论了二 维情况，对于三维情况有待进一步讨论。 4 2 致谢 致谢 光阴似箭，日月如梭，紧张而充实的硕士学习阶段就要结束了。本论文能够 顺利完成，离不开诸多良师益友的指导与帮助、家人的鼓励和支持，在此我衷心 地向他( 她) 们表示感谢。 首先，非常衷心的感谢我的导师葛德彪教授对我的关心、爱护和培养。我始 终觉得成为葛老师的学生是我一生中的转折点，同时也是我一生中最幸运的事。 本文的研究和写作工作自始至终都是在葛老师的悉心指导下完成的，其中的每一 点成绩都凝聚着葛老师的心血和汗水。葛老师在课题组内为我们营造了一个宽 松、和谐、互助的研究环境，使我能够全身心的投入到科研工作中，同时葛老师 渊博的学识、严谨的科学态度、无私奉献的学者风范更成为我毕生的追求。 衷心感谢师母丁素霞老师在生活、学习上给予我的关心、指导和帮助。 感谢师兄弟阎玉波博士、田春明博士生、魏兵博士生、杜九林博士、邓威硕 士、郑奎松博士生、杨陵霞硕士生，作者不断从与他们的交流和探讨中得到启迪， 和他们在一起学习的时光将成为作者最珍贵的回忆。 特别感谢吴跃丽硕士生，作者在与她交流、合作的过程中获益匪浅。 最后，感谢父亲、母亲对我的支持和鼓励，作者的每一点进步都饱含着他们 的汗水和期望。 参考文献竺 参考文献 【1 】k s y e e ，“n u m e r i c a l s o l u t i o no fi n i t i a l b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s i n v o l v i n g m a x w e l l s e q u a t i o n i n i s o t r o p i cm e d i a ”，i e e e t r a n s a n t e n n a s p r o p a g a t i o n ， v 0 1 1 4 ，n o 4 ，3 0 2 - 3 0 7 ，m a y1 9 6 6 【2 】k l s h l a g e r , j b s c h n e i d e r , “as e l e c t i v es u r v e yo ft h ef d t dl i t e r a t u r e ，i e e e a n t e n n a sa n d p r o p a g a t i o nm a g a z i n e ”，v 0 1 3 7 ，n o 4 ，3 9 5 7 ，a u g 1 9 9 5 【3 】葛德彪，闫玉波，“电磁波时域有限差分方法”，西安电子科技大学出版社， 2 0 0 2 年4 月 4 】王长清，祝西里，“电磁场计算中的时域有限差分方法”，北京大学出版社，北 京，1 9 9 4 【5 】高本庆，“时域有限差分法”，国防工业出版社，北京，1 9 9 5 6 】r l u e b b e r s ，d r y a n ，j b e g g s ，“at w o - d i m e n s i o n a lt i m e - d o m a i nn e a r z o n et o f a r - z o n et r a n s f o r m a t i o n ，”i e e et r