（应用数学专业论文）自回归模型的平稳性研究.pdf

摘要 摘要 单位根检验是基于动态数据建立a r m a 模型和a r i m a 模型、变量间的协整 分析、因果关系检验等的基础。单位根检验作为一种特殊的假设检验方法，其可 靠性的研究以及如何寻求可靠性较高的检验方法和统计量多年来一直是时间序列 分析中的重要课题。 2 0 0 6 年日本学者f u k u d a 提出了建立在信息准则基础上a r m a 模型的单位根 检验方法，通过模型选择而达到时间序列的平稳性检验之目的。本文在研究了a r ( 1 ) 模型的统计性质的基础上对经典的d f 单位根检验方法和信息准则基础上的模型 选择法的单位根检验进行了比较，并用这两种方法中国农村居民家庭人均纯收入 时间序列数据进行了单位根检验的实证研究。通过研究发现信息准则基础上的单 位根检验法具有方法简单计算量小的优点，该方法和d f 检验法相比，具有较高的 可靠性，它还克服了传统的单位根检验方法的局限性。 对于由随机差分方程描述的非线性时间序列模型，在什么样的模型结构及参 数条件下模型存在平稳解，这一问题的研究对非线性时间序列模型的建模、参数 估计及模型性质分析等具有重要的意义。非线性自回归模型的稳定性常常由该模 型确定的马尔可夫链的遍历性决定，在某些条件下，又可把马氏链的遍历性直接 视为相应离散随机系统的稳定性。 在非线性自回归模型的平稳性与遍历性研究中，运用一般状态空间马尔可夫 链的有关知识对可加噪声模型和函数型随机条件方差模型的( 几何) 遍历性进行了 研究，得到丰富的研究结果；此外对一些特殊的非线性自回归模型如a r c h 和 g a r c h 模型的几何遍历性问题也得到了系统的研究。 本文在前人研究工作的基础上，将非线性自回归模型遍历性和几何遍历性的 研究推广到了一般形式的非线性自回归模型上，得到了一般形式的非线性自回归 模型在压缩和非压缩条件下的几何遍历性条件，这一工作推广和丰富了前人在这 一领域的研究工作。 关键词：自回归模型，平稳性，单位根检验，信息准则，几何遍历性 a b s t r a c t a b s t r a c t au n i tr o o tt e s ti st h eb a s eo fb u i l d i n gt h ea r m am o d e l ，a r i m am o d e la n dt h e c o i n t e g r a t i o na n a l y s i sa m o n gv a r i a b l e s a sas p e c i a lh y p o t h e s i st e s t ，t h er e l i a b i l i t y s t u d y i n go ft h eu n i tr o o tt e s ta n dh o wt of i n dar e l i a b l et e s tm e t h o do rs t a t i s t i c sh a s b e c o m eo n eo fai m p o r t a n c ei s s u ei nt i m es e r i e sa n a l y s i s i n2 0 0 6 ，aj a p a n e s es c h o l a rp r o p o s e dap r o c e d u r eo fu n i tr o o tt e s t i n gb a s e do nt h e m i n i m u mi n f o r m a t i o nc r i t e r i o n t h i sm e t h o dt e s tu n i tr o o tt h r o u g ht h em o d e ls e l e c t i n g u n d e rt h ed i s c u s s i o no fs t a t i s t i c a lp r o p e r t yo fa r ( 1 ) m o d e l ，t h i sp a p e r p r o p o s e da d e t e c t i n gp r o c e d u r ef o rt m i tr o o t t e s to fa r ( 1 ) m o d e lb yu s eo ft h em i n i m u m i n f o r m a t i o nc r i t e r i o nm e t h o d t h em e t h o di nt h i sa r t i c l eh a ss o m ea d v a n t a g e sc o m p a r e t ot h ec o n v e n t i o n a lm e t h o do fh y p o t h e s i st e s t a tt h es a m et i m et h em e t h o do f i n f o r m a t i o nc r i t e r i o na n dd ft e s tm e t h o dh a v eu s e di ns i m u l a t e ds t u d y t h er e s u l t s h a v es h o w e dt h em e t h o do fm o d e ls e l e c t i n gb a s e do nt h em i n i m u mi n f o r m a t i o n c r i t e d o n i si sa ne f f e c t i v em e t h o di n u n i tr o o tt e s t f u r t h e r m o r e ，t h em e t h o do fu n i tr o o t t e s tb a s e do nt h em i n i m u mi n f o r m a t i o nc r i t e r i o ni ss i m p l e ra n dm o r er e l i a b l et h a nt h e d f t e s t f o rt h en o n l i n e a ra u t o r e g r e s s i v em o d e ld e n o t e db ys t o c h a s t i c a ld i f f e r e n c e e q u a t i o n ，t h em o d e le x i s tas t a b l es o l u t i o nu n d e rw h a tm o d e ls t r u c t u r ea n dp a r a m e t e r c o n d i t i o n ，t h i sq u e s t i o nh a si m p o r t a n ts i g n i f i c i e n c ei nm o d e l i n g , e s t i m a t i n go f p a r a m a t e ra n dp r o p e r t ya n a l y s i s i n go fn o n l i n e a rt i m es e r i e sa n a l y s i s b yt h er e s u l t st h a t h a v ep r o v e dw ek n o wt h a tt h es t a t i o n a r i t yo ft h en o n l i n e a ra u t o r e g r e s s i v em o d e l w a sd e t e r m i n e db yt h ee r g o d i c i t yo fc o r r e s p o n d i n gm a r k o vc h a i no fw h i c hw a s d e f m e d e db yt h en o n l i n e a rt i m es e r i e si nr e l e v a n t i ns o m ec o n d i t i o n ，t h ee r g o d i c i t yo f m a r k o vc h a i nc a nb ec o n s i d e r e da st h es t a t i o n a r i t yo fc o r r e s p o n d i n gs t o c h a s t i c a l s y s t e m i nt h es t u d yo fs t a t i o n a r i t ya n de r g o d i c i t yo fn o n l i n e a ra u t o r e g r e s s i v em o d e l ，i t h a sb e e no b t a i n e dt h ep l e n t yo ft h es t u d yr e s u l t sf o rt h ea d d i t i v en o i s em o d e la n d r a n d o mc o n d i t i o n a lv a r i a n c em o d e lo ff u n c t i o n a lt y p eb yu s et h ek n o w l e d g eo fm a r k o v i i a b s t r a c t c h a i ni nag e n e r a ls t a t es p a c e i na d d i t i o n ，t h eq u e s t i o no fg e o m e t r i c a le r g o d i c i t yh a s b e e ns t u d i e dt h o r o u g h l yf o rs o m es p e c i a ln o n l i n e a ra u t o r e g r e s s i v em o d e l ，s u c ha s a r c ha n dg a r c hm o d e l t h i sp a p e rc o n s i d e rt h ee r g o d i c i t ya n dg e o m e t r i c a le r g o d i c i t yo fag e n e r a l n o n l i n e a ra u t o r e g r e s s i v em o d e l u n d e rt h es t u d yo f t h en o n l i n e a ra u t o r e g r e s s i v em o d e l w i t ha d d i t i v en o i s em o d e la n dr a n d o mc o n d i t i o n a lv a r i a n c em o d e lo ff u n c t i o n a lt y p e ， a u t h o rg e n e r a l i z e dt h es t u d yr e s u l t so fe r g o d i c i t ya n dg e o m e t r i c a le r g o d i c i t yt ot h e g e n e r a ln o n l i n e a ra u t o r e g r e s s i v em o d e la n do b t a i n e dt h et h es u 伍c i e n tc o n d i t i o no f g e o m e t r i c a le r g o d i c i t yu n d e rt h ec o m p r e s sc o n d i t i o na n dn o n c o m p r e s sc o n d i t i o n t h e w o r kg e n e r a l i z et h es t u d yr e s u l t so ff o r m e ri nt h i sf i e l d k e y w o r d s ：a u t o r e g r e s s i v em o d e l ，s t a t i o n a r i t y , u n i tr o o tt e s t ，i n f o r m a t i o nc r i t e r i o n , g e o m e t r i c a le r g o d i c i t y i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特另t l d h 以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 签名：蔺凌孥 日期：珊年斗月彳日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：满猡鸡 导师签名：络彦龟 ， 日期：, 2 0 - o8 年4 月z 6 日 第一章引言 1 1 选题的背景及意义 第一章引言 数据变量的平稳性是经典时间序列分析的基本要求之一。只有模型中的参数 满足平稳性要求时，传统的时间序列分析法才是有效的，而当序列不满足平稳性条 件时，基于传统的时间序列分析法进行的估计和检验的统计量将失去通常的性质， 从而得出的结论可能是错误的【惦】，因此在根据动态数据进行统计分析之前有必要 检验数据序列的平稳性。在很长的时间里，学者们在分析经济和金融时间序列数据 时都假定所分析的数据满足平稳性要求。然而近几十年来，尤其是n e l s o na n d p l o s s c r i 习( 1 9 8 2 ) 开创性的论文发表以后，学者们对经济时间序列数据尤其是宏观经 济数据的看法发生了根本性的变化。许多经验分析表明，多数宏观经济变量都是非 平稳的，由此引发了宏观经济分析法，尤其是周期分析法的一场革命，即单位根革 命。2 0 多年来，出现了不少检验数据平稳性的检验方法，每一种方法在单位根检验 中各有其特点和优点。 以上的单位根检验工作主要是针对线性时间序列模型进行的。然而随着实践 和理论研究的深入发展，非线性时间序列分析日益受到普遍的重视。而非线性时 间序列分析也是一个极其广泛的研究范畴，有着极其广泛的应用和丰富深刻的研 究内容。况且，非线性时间序列分析与许多非线性科学领域有着密切的联系，例如 与混沌、分形和神经网络等领域有着密切的关系，这说明了非线性时间序列能表现 出更丰富、更复杂的客观现象，比线性时间序列有更广阔的应用背景。另外，非线 性时间序列的研究对丰富和拓宽线性时间序列的理论知识、内容和研究方法都有 深刻的意义【4 j 。和线性时间序列模型的平稳性研究一样，对由随机差分方程描述的 非线性时间序列模型，在什么样的模型结构及参数条件下模型存在平稳解，这一 问题的研究对非线性时间序列模型的建模、参数估计及模型性质的分析等都具有 重要意义。因此研究非线性时间序列的平稳性具有重要的理论和实践意义【5 】。 综上所述，本人在攻读硕士学位期间，将毕业论文的研究方向选定为自回归 模型的平稳性分析的研究。 电子科技大学硕士学位论文 1 2 本文的主要研究内容及论文的结构 1 2 1 本文的研究内容 随机系统稳定性的研究有着十分丰富的内容，针对不同类型的随机系统，稳 定性的讨论可在不同的意义下进行。由于线性自回归模型和非线性自回归模型在 模型结构和研究方法上的本质差别，使得对它们所研究的平稳性内容也不相同。 对线性自回归时间序列来讲其平稳性的研究主要是研究序列的宽平稳，而非线性 时间序列平稳性的研究主要是研究序列的严平稳；线性自回归模型的平稳性则采 用模型分析的办法最后归结为线性自回归模型的单位根检验，而非线性自回归模 型的平稳性则由与之相应的马尔可夫链的遍历性决定。如果模型确定的马氏链是 遍历的，那么当模型的初始分布取为其不变概率测度时，它的任意有限维分布在 有限时间推移下将保持不变，即表明此时相应的非线性时间模型具有平稳解【5 1 。因 此在本文中我们主要研究如下内容： 1 线性自回归模型的单位根检验方法研究； 2 线性自回归时间序列模型的单位根检验的实证研究； 3 一般形式的非线性自回归模型的遍历性与几何遍历性条件的研究。 具体的，对线性模型讲，任意一个a r m a ( p ，q ) 过程 y f 。+ 办y r - l + + # p y f - p + 8 t +g t l + + o q c t 一口 都等价于： d y ，2 + p y 卜l + 6 , v y f 一，+ q + 幺q l + + 巳占卜口 j = l 其中s ，是白噪声过程，p = 办+ + 矽p ，万，= 一( 矽，+ l + + p ) ，j = 1 , 2 ，p - 1 ，因此， 我们将单位根过程设定为一阶自回归a r ( 1 ) 过程的形式，即 y f2 + , o y 卜i + u f ， 其中u 为均值等于0 的平稳可逆的a r m a 过程3 1 。 对a r ( 1 ) 过程的线性自回归时间序列，我们利用d f 检验法和建立在信息准则 基础上的通过模型选择的单位根检验法进行了单位根检验的实证研究，并比较了 这两种检验方法的优缺点。 本文第二部分内容主要研究如下一般形式的非线性自回归模型： 2 第一章引言 墨+ l = ( z ，i ) ，f l 其中 x ，) 在r ，中取值，：r p r ，一r p 为b o r e l 可测映射，p ，) 为独立同分布 的随机向量序列。本文主要研究了该模型在压缩和非压缩条件下的遍历性与几何 遍历性条件，所用到的数学工具主要是马氏链的遍历性漂移准则。 1 2 2 论文的结构 本文共分五章，结构安排如下： 第章是引言。首先介绍了选题的背景及意义，其次介绍了本文的研究内容 和论文的结构，然后对线性自回归模型的单位根检验和非线性自回归模型的遍历 性与几何遍历性的国内外研究现状进行了概述。 第二章首先给出了经典单位根检验法所用到的知识背景，然后详细介绍了经 典单位根检验的d f ( a d f ) 检验法、p p 检验法、k p s s 及l m c 检验法。 第三章本人详细介绍了建立在信息准则基础上的单位根检验法的检验步骤并 且研究了a r ( 1 ) 模型的统计性质，此外在本章中本人还利用日本学者f u k u d a 提出 的建立在信息准则基础上的单位根检验法对中国农村居民家庭收入时间序列数据 进行了单位根检验的实证研究，并且把该检验方法与经典的d f 检验方法进行了比 较。 第四章介绍了可加噪声的非线性自回归模型和函数型随机条件方差模型的几 何遍历性的研究结果，同时还给出近年来在经济和金融领域受到广泛应用的a r c h 模型和g a r c h 模型的几何遍历性的研究结果。最后给出了些具体的几何遍历 的非线性自回归模型的例子。 第五章首先介绍了对一般形式的非线性自回归模型的几何遍历性的研究现状 及所取得的成果，然后给出了本人在这一方向所做的在压缩和非压缩条件下的一 般形式的非线性自回归模型的( 几何) 遍历性的充分条件。 最后是本文的参考文献及读研期间的研究成果。 1 3 线性自回归模型的平稳性一单位根检验的研究概述 在经济和金融时间序列问题的研究中，由于非平稳时间序列的统计特征随着 时间的变化而变化，判断这些序列是差分平稳还是平稳或趋势平稳已成为研究工 作的一个基本出发点，这等价于回答时间序列是否存在单位根【6 】) 。自n e l s o n 和 电子科技大学硕士学位论文 p l o s s e r ( 1 9 8 2 ) 禾0 j 用a d f 检验法研究了美国名义g n p ( n o m i n a lg n p ) 等1 4 个宏观经 济时间序列的平稳性以后，平稳性研究或单位根检验业已成为分析经济和金融时 间序列变化规律和预测的重要组成部分，其中随机游走假设检验在验证理性预期 理论中起着重要作用 见k a n t o r ( 1 9 7 9 ) 。在建模理论和实践中，单位根检验是建立 a r m a 模型或a r i m a 模型，变量之间的协整分析，因果关系检验的基础【3 】。 所谓单位根检验【_ 7 】就是以单位根过程为原假设，以平稳过程或含有趋势项的平 稳过程为各择假设，检验数据生成过程的特征方程是否存在单位根的一种统计推 断方法。自d i e k e y 和f u l l e r ( 1 9 7 6 ) 弓i 入时间序列平稳性的检验方法- d f 单位根 检验法以来，涌现出大量单位根检验法及其应用的研究成果。在方法论上，有延 伸d f 检验容许误差项存在序列相关的a d f 检验 d i c k e y 和f u l l e r 9 , 1 0 1 ( 1 9 7 9 ，1 9 8 1 ) ， s a i d 和d i c k e y 【1 1 ( 1 9 8 4 ，1 9 8 5 ) 容许误差项是弱相依的p p 检验 p h i l l i p s 【1 4 1 ( 1 9 8 7 ) ， p h i l l i p s 和p e 仃0 n ( 【1 3 d ( 1 9 8 8 ) ，基于g l s 模型的d f g l s 检验 e l l i o t t 等( 1 9 9 6 ) ，基 于加权对称最小二乘法的w s 检验 p a r k 和f u l l e r ( 1 9 9 3 ) ，p a n t u l a 1 5 j 等( 1 9 9 4 ) ， g o n z a l e z f a r i a s ( 1 9 9 2 ) ，d i c k e yg o n z a l e z f a r i a s ( 1 9 9 2 ) 建议的利用极大似然估计量的 a d f 检验法，避免多余趋势变量的v o nn e u m a n n 比检验，利用先验信息的b a y e s i a n 单位根检验等 见s i m s ( 1 9 8 8 ) ，k o o p ( 1 9 9 2 ) 等 ，大量学者研究了单位根检验的有限 样本性质，如p h i l l i p s ( 1 9 8 7 ) ，s c h w e r t 1 6 1 ( 1 9 8 7 ，1 9 8 9 ) ，d e j o n g ( 1 9 9 2 a ，1 9 9 2 b ) ，n g 和 p e n - o n 1 7 , 1 8 ( 1 9 9 5 ) 等。另外，还有一些优秀的评论文章，如s t o c k ( 1 9 9 4 ) ，p h i l l i p s 和 x i a o ( 1 9 9 8 ) 等发表的不少文章。此外，还有以趋势平稳模型为原假设的k p s s 检验 法( 1 9 9 2 ) ，在趋势平稳假设下，l e y b o u r n e 和m c c a b e 提出增加滞后差分项的方法 处理序列相关性的问题，该方法称为l m c 检验法【2 0 ( 1 9 9 3 ) ，相应地，r i c a r d o g i m e n o ( 1 9 9 7 ) 等运用k p s s 和l m c 检验法对西班牙金融时间序列的平稳性进行了 实证研究。 d f 方法全称为迪基富勒检验法，因迪基和富勒提出而得名。该方法主要针对 一阶自回归模型，其中扰动项是独立同分布过程，平稳性检验的零假设为：单位根 模型，即差分平稳过程，备择假设为：趋势平稳过程。在零假设下，一阶自回归模型 的普通最d x - 乘估计不符合传统分布，为此，迪基和富勒利用维纳过程理论和在此 基础上建立起来的泛函中心极限定理构造了两种检验统计量，并且基于蒙特卡罗 试验给出了假设检验的临界值。若统计量的实际值小于临界值，则拒绝单位根零假 设，反之则接受单位根零假设。在实际检验时还要判断自回归模型是否需要加入漂 移项和时间趋势项。d f 检验假定扰动项独立同分布，但扰动项事实上多序列相关， 此时检验结果就会失效；但是如果放宽扰动项条件，引入滞后差分项，就可以使扰 4 第一章引言 动项服从独立同分布，称这种方法为增广的迪基富勒检验法，简记为a d f 法。 使用a d f 检验法有一个基本的假定：那就是扰动项的方差必须为常数，这导致 a d f 检验法主要适用于方差齐次的场合，它对异方差序列的平稳性检验效果不佳。 因此，菲利浦斯和佩荣于1 9 8 8 年对a d f 检验法进行了非参数修正，提出了p h i l l i p s p e 仃0 n 检验法。该检验法中的检验统计量既可适用于异方差场合的平稳性检验， 又服从相应的a d f 检验统计量的极限分布。由于p p 检验统计量不含任何未知参 数，所以p p 检验法是一种非参数检验法。在对误差项分布的假设上，a d f 检验法和 p p 检验法比d f 检验法更具一般性；a d f 检验模型中存在滞后差分项，这会导致自 由度损失，降低检验效力，而p p 检验不存在滞后差分项，且采用非参数的一致估计 校正异方差。因此，从理论上讲，p p 检验法优于a d f 检验法；但p p 检验法中长期 方差的一致估计取决于滞后截断的选取，同时一致估计不易证明，因而获得一致估 计较为困难。在实际检验时，主要是根据检验模型的结构判断应该选择p p 检验法 还是a d f 检验法；若模型包含差分项，需要反映动态结构，一般用a d f 检验法，若 模型只描述了水平变量的关系，对随机干扰只做了一般假设，那么可选用p p 检验 法。 前面三种平稳性检验方法都是把单位根模型作为零假设，把含有趋势项的平 稳模型作为备择假设，这样做的优点在于：第一，忽视单位根比过度差分的后果严 重的多，因此宁愿多做差分而不希望忽略事实存在的单位根；第二，单位根模型只 对应一种情形，趋势平稳则有很多种情形，把单位根作为零假设相对容易设计检 验。但是，有时我们可能对含有趋势的模型感兴趣，这时把它作为零假设的检验方 法就应运而生。k w i a t k o w s k i 、p h i l l i p s 、 s c h m i d ta n ds h i n 于1 9 9 2 年提出k p s s 检验法。k p s s 检验用类似于p p 检验的非参数修正方式来解决趋势平稳下的序列 相关问题，因而属于非参数检验；在趋势平稳假设下，k p s s 检验法用非参数修正方 式来解决序列相关问题；后来，l e y b o u m ea n dm c c a b e 提出了一种类似于a d f 检 验法增加滞后差分项的方法处理序列相关性的问题，我们称这种方法为l m c 检验 法。l m c 检验统计量与k p s s 检验统计量不同；l m c 检验统计量的渐近分布可借 助k p s s 检验法推断出来，临界值也可根据有关表达式计算出来，与k p s s 检验结 果对滞后阶数的选择比较敏感不同，l m c 检验的结果比较稳健【2 0 】。 上述几种检验方法存在着一些相同点和不同点。他们的相同点是：基于维纳过 程理论和在此基础上建立起来的泛函中心极限定理，构造检验统计量并进行检验。 不同点是，在不同的零假设和备择假设下对扰动项可能的相关特性的处理方法不 同。对零假设和备择假设的选择，有的选择差分平稳模型，有的选择趋势平稳模型。 电子科技大学硕士学位论文 对于d f 检验中扰动项可能的相关特性的处理，有的使用增加滞后差分项的估计方 法，有的使用工具变量估计方法，有的使用广义最小二乘估计方法，也有的不改变 估计方法，使用非参数修正方法。这些不同的选择和处理直接导致上述检验方法在 模型形式、统计量的构造、使用要求等方面存在着较大的不同。在实际检验中，特 别是小样本情形下，使用这些检验方法可能会得出不同的结果。因此，实际检验时， 有必要根据数据特征选择合适的方法 2 0 】。 单位根检验作为一种特殊的假设检验，它与其它假设检验一样，可能犯两类 错误。第一类错误( t y p eie r r o r ) t i p 拒绝真实的单位根过程的错误；第二类错误( t y p e ne r r o r ) 臣o 接受平稳过程或趋势平稳过程为单位根过程的错误，不同的检验方法犯 错误的概率一般是不一样的，而且对于同一种检验方法，采用不同的统计量或对 同一统计量采用不同的参数估计方法，犯错误的概率也不尽相同。因此单位根检 验可靠性的研究以及如何寻求可靠性较高的检验方法或统计量一直是时间序列分 析中单位根检验的重要课题；有关这方面的工作，已经由靳庭良在他的博士论文【3 】 中对最常用的a d f ( d f ) 检验法和p p 检验法的可靠性和稳健性，从统计量的选择、 初始值的设置以及检验程序的改进三个方面进行了系统的研究，得到了丰富的成 果，可以说单位根检验理论就是在探求少犯错误的过程中逐步发展起来的。 1 4 非线性自回归模型的平稳性研究概述 近几十年中，非线性时间序列分析受到较多的关注，无论在理论研究方面还是 在应用方面，都有较迅速的发展。其中非线性自回归模型具有重要地位，它是线性 自回归模型的自然推广，有着极普遍的应用背景。在近几年中，由于受到经济、金 融中广泛应用的推广，具有条件异方差性的时间序列模型更有普遍性，如a r c h 和 g a r c h 模型。 在讨论非线性自回归时间序列模型的平稳性、遍历性以及高阶矩的存在性问 题时，可以借助于一般状态空间马氏链的相关知识来进行研究( 【5 】) 。因为对于非线性 自回归模型来说，从初始值出发而得到的迭代序列是一个马氏链，以( 欠p ，b 。) 为 状态空间，其中b 。为r ，中一些子集所生成的o r 一代数，时间指标t 取自然数。在这 里起着重要作用的是一般状态马氏链的遍历漂移性准则以及判断马氏链的平稳 性、遍历性的相关定理和在此基础上建立起来的非线性自回归模型( 简记为n l a r 模型) 的平稳分布、遍历性和几何遍历性等概念。如果n l a r 模型没有不变概率分 布，显然它没有平稳解，如果模型有不变概率分布，但是不唯一，于是n l a r 模型有 6 第一章引言 多个平稳解。但是目前主要感兴趣的是n l a r 模型有唯一不变概率分布的情况； 在这种情况下，x t 的概率分布向其不变概率分布收敛，这个特性就是n l a r 模型的 遍历性和几何遍历性的概念。 近几年中，非线性时间序列模型平稳性的研究主要集中在可加噪声的n l a r 模型和随机条件方差的n l a r 模型的平稳性问题的研究上。在这一方面最早是由 c h a r t 和t o n g ( 1 9 8 5 ) 研究了可加噪声的非线性自回归模型的几何遍历性条件，接下 来t j 庐s t h e i m ( 19 9 0 ) ，t o n g ( 19 9 0 ) ，b h a t t a c h a r y a 和l e e 2 6 1 ( 19 9 5 a ) ，a n 和h u a n g ( 2 2 , 2 3 1 ) ( 1 9 9 6 ) ，l u ( 2 8 1 ) ( 1 9 9 7 ) 等对该模型的几何遍历性条件进行了一系列的研究。对函数型 随机条件方差模型几何遍历性的研究，主要由b h a t t a c h a r y a 和l e e 2 7 1 ( 1 9 9 5 b ) ，a n 和 c h e n t 2 4 ，2 5 3 1 1 ( 1 9 9 7 ) 等人在这一方面做了大量工作，得到了一些结果。对于在经济 和金融学领域受到普遍关注和广泛应用的的a r c h 和g a r c h 模型的几何遍历性 的研究中，n e l s o n ( 1 9 9 0 ) 给出了a r c h ( 1 ) 模型严平稳遍历的充要条件，但是他的结 果很难推广到a r c h ( p ) ( p i ) 的情形，b o u g e r a l 和p i e a r d ( 1 9 9 2 ) 给出了g a r c h ( p ，q ) 模型的几何遍历性的充要条件，g u e g a n 和d i e b o u t ( 1 9 9 4 ) 讨论了, 8 - a r c h ( i ) 模型的 几何遍历性条件，l 0 2 9 1 ( 1 9 9 6 ) ，a n e 3 2 3 3 1 和c h e n 3 4 ，3 5 ( 1 9 9 7 ) 等人给出了f l - a r c h 模型 的几何遍历性的判定条件。 平稳解【4 , 3 6 】的研究主要针对压缩条件和非压缩条件的非线性自回归时间序列 模型进行；然而，对于一般形式的非线性自回归模型的遍历性和几何遍历性的相 关结论却相对较少。本文所要做的工作正是要把有关遍历性和几何遍历性的研究 推广到一般形式的非线性自回归模型上。 7 电子科技大学硕士学位论文 2 1 预备知识 第二章线性自回归模型平稳性研究 2 1 1 单位根过程检验中常用的基本知识 记q o ，1 表示定义在区间 0 ，1 】上的有界连续函数空间，其距离定义为 d ( f ，g ) = s u pl 厂( z ) - g ( x ) l ，v f ( x ) ，g ( x ) q o ，1 】 x e - o ，lj 定义2 1 1 8 1 对v 万 o ，当丁专o o 时，若随机函数缶d o ，1 】满足 p d ( 六，孝) 万) j0 则称六一致收敛于孝，记为舅3 孝。 定义2 i 2 8 1 设後，t 1 ) 是空间q o ，1 】上的随机函数序列，随机函数 孝q o ，1 】，且万，和万分别为毒和孝的导出概率测度。当且仅当对v f ：q o ，1 】一r ， 有j 伽，专j 伽成立， 则称乃依分布收敛于石，记为六j 孝( 见p a r t i c k b i l l i n g s l e y ( 19 6 8 ) ) 。 不变原理，又称为泛函中心极限定理( f u n c t i o n a lc e n t r a ll i m i tt h e o r e m ，f c l m ) ，是将传统的随机变量的中心极限定理推广到随机函数序列。 定理2 1 1 嘲不变原理( s t o c k ( 1 9 9 4 ) ，1 1 1 e o r e m l ) 设h 是一个鞅差序列，满足 e ( t i r ) = o ；t - 萋e ( 占引。，) 言e 彳- - - - 0 2 ；e ( g ? i ，) k 4 ，口jf o ，v t t ：( 2 - 1 ) 令 1 r7 、 缶( 厂) = ( 盯2 r ) 2 q + 一 t r e i m + , ) r e o ，1 】，则 l t = l j 六w ( ，) ， o ，1 其中w ( r ) 是定义在 o ，l 】上的一维标准布朗运动。 定理2 1 2 8 1 连续映射定理( 1 1 1 ec o n t i n u o u sm a p p i nt h e o r e m ，c m t ) ，若泛函 h 是c o ，1 】至l jd o ，1 】的连续映射，茧善，则j l z ( 六( ，- ) ) 矗( 孝( 厂) ) ， o ，1 】 第二章线性自回归模型平稳性研究 定义2 i 3 1 8 1 设墨， 是鞅差序列，满足( 2 1 ) ，令 v t = c ( b ) q = c ：b 7 毛， i = i ( 2 2 ) 其中b 为滞后算子，e ：l c , l 若c ( 1 ) 0 ，则称l ，是零阶整的，记为 ，j ( 1 ) 。 定义2 1 4 【8 】设随机变量占满足 雕小，= 舞唧唰= p c 扣背 则称彰为服从参数为v ，均值为0 ，方差为1 的广义误差分布( g e n e r a le r r o rd i s t r i b u t i o n ，g e d ) ，记为乞g e d ( o ，1 ) 。 广义误差分布有如下性质【8 】： ( 1 ) 当0 l ， 2 时，g 的分布将有比正态分布更薄的尾部； ( 3 ) 当l ，= 2 时，名= 1 且f ，的分布为正态分布。 2 1 2 单位根过程检验中常用的收敛结果 在本小节中，用p ， 表示不相关的序列或鞅差序列，而且满足( 2 1 ) ，的定义 如( 2 2 ) ，并记彩= c o ) o 。 t 命题2 1 1 8 1 设序列”，= v j ，= o ，则 i = 1 1 i t r l 丁2 “ 开】= r2 ，fj c o w ( , - ) ，v re o ，1 】( 2 3 ) 命题2 1 2 【8 1 设序列“，( o ) ，且眈； o o ，则 丁一：善t 咋j 上以j 灿；z 一；喜以jl j 以j 灿；r 一；善t 吩- - 彩c “j 蹿；( 2 - 4 ) 命题2 1 3 i s 若x ，满足= j l l ，+ 1 ，其中_ ，( o ) ；分别用和表示从x ，中 除去常数和线性趋势成分后的数据，即 x ：= x t t _ 艺x s ；x t = x t 一声。一良 9 电子科技大学硕士学位论文 则 其中 一三 丁2 锰】兮a l w ( 厂) ， 一! 丁2 靠】jf i l w 7 ( ，) ( 2 5 ) ( ，) = w ( ，) 一f 以s 陟， w 7 ( ，i ) = w ( ，) 一( 4 6 r ) f 以j ) a s 一( 1 2 ，一6 ) f j 以j ) 出( 2 - 6 ) 2 2d f 、a d f 单位根检验概述 2 2 1d f 检验法概述 设数据生成过程【3 】为： y ，= t + p y , 一l + u f ( 2 7 ) 根据误差项l , i 的性质将其分为四类，独立同分布的白噪声过程，存在条件异方 差的白噪声过程，存在相关性的a r m a 过程和a r m a g a r c h 类过程。d f 检验是 一种基于o l s 的单位根检验方法，根据单位根原假设和检验式的不同分为四种情 形；根据统计量的不同分为基于标准化偏差统计量的磁验，基于传统t 统计量的f 检验和基于w a l d 统计量的飚验。式( 2 7 ) 中砧，为均值为零的平稳可逆的a r m a 过 程。容易验证，当l p i = 1 时， 为单位根过程；当l 纠 1 时，) 为强非平稳过程。d f 检验是以误差项为独立同分布的单位根过程( 2 7 ) 为原假设，平稳过程或趋势平稳过程为备择假设，基于o l s 估计的单位根检验。根 据单位根过程的漂移项是否为0 ，d f 检验分为不含有漂移项，含有漂移项但是却 不含有趋势的单位根检验，具体可以分为以下四种情形 见f u l l e r ( 1 9 7 6 ) 或 h a m i l t i o n ( 19 9 4 ) 等 。 情形1 ：回归模型为y ，= p y f - l + 原假设h o ：p = 1 ，备择假设h 一：p 1 ； 情形2 ：回归模型为y ，= + 俄一l + 咋 原假设h o ：p = 1 ( = 0 ) ，备择假设日一：p 1 情形3 ：回归模型为只= + 矶一l + “， 原假设h o ：p = l 0 ) ，备择假设h 月：p l l o 第二章线性自回归模型平稳性研究 情形4 ：回归模型为：y ，= + + 舀+ f - 1 + 蚝 原假设风：p = 1 ( 占：o ) ，备择假设日爿：p 1 ，其中“，i i d 。( 0 ，仃2 ) 根据统计量的不同，d f 检验分为基于回归系数估计量的k 检验，基于t 统计 量的f 检验和针对联合假设的f 检验。其中舷f 检验采用的统计量分别为： k = r ( b 一1 ) r = ( p 一1 ) 屯 其中t ，p ，占6 分别为样本容量，回归参数p 的o l s 估计量及p 的标准差估计量。 在原假设成立的条件下，除情形3 的f 统计量以正态分布为极限分布，对其他 三种情形d i c k e y 和f u l l e r ( 1 9 7 9 ，1 9 8 1 ) 以独立同分布的标准正态分布变量或其平方 后的无穷项的线性组合构成的函数形式给出了d f 统计量的极限分布。 p h i l l i p ( 1 9 8 7 ) 、p h i l l i p s 和p e r r o n ( 1 9 8 8 ) 利用泛函中心极限定理给出了这些极限分布 等价的函数空间上的随机过程表示，从而使a d f ( d f ) 检验与p p 检验统计量的极限 分布统一起来。 情形1 中d f 统计量的极限分布： 后与卫蚌；f 3 j 幽吐 2 l 形( ，) 】2 d r 2 f 【形( r ) ：d r ；2 土 形( ，) 】拼c 形( r ) 2 j 情形2 中d f 统计量的极限分布： ，吾 矿( 1 ) 】2 一i - 形( 1 ) f 形p ) d r 可而两而；上 形( 厂) 】2 办一 1 形( ，) 办】2 吉 矽( 1 ) 】2 一i - 形( 1 ) f 形( r ) d r l