（应用数学专业论文）带有微扰动的schrodinger方程的解析解和数值解的比较.pdf

摘要 这篇论文主要给出了带有小的扰动摄的非线性s c hr 6 d i n g e t 方程的近似解析解，与 用多辛r m g k u t t a n y s l i r 6 n 方法算得的数值结果做了比较，得到如下规律： 1 近似解析解和数值解的实部和虚部具有相同的对称趋势 2 二阶近似解析解和数值解的误差比一阶近似解析锯和数值解的误差小。 3 随着非线性场强e 变小，二阶近似解析解和一阶近似解析解的差别也会变小； 当非线性场强r 小到一定程度时，计算机算得的结果没有差别。特别地，在e = o1 附 近误差将非常小。 4 随着非线性场强e 变小，解析解和数值解的误差也变小；当非线性场强一小到 一定程度时，炭差不会变化。 5 随着非线性场强e 变小，实部和虚部的振动幅度会变小；当非线| 生场强e 小到 一定程度时，汁算机算出的实部和虚部的震动幅度都不再变化。 整篇论文由三章构成第一章简述了问题产生的历史背景，本文的主要框架第二 章中，在21 节，简单介绍了渐近方法它是后面研究的基础在22 节，给出了非线性 s c h c 6 d i n g er 方程一阶近似解析解，在2 , 3 节，给出了非线性s c h r 6 d i n g e r 方程二阶近似解 析解第三章中，在3 - 1 节，简述了h o n g 与l i u 采用多辛方法来求解1 e 线性s c h r 6 t t i n g e r 方程的工作。在3 9 节，将本文的近似解析解同h o n g 与l i u 的数值解进行比较。 关键词：s c h r 6 d i n g c r 方程；多辛r u n g e k u t c an y s t r 6 m 方法；渐近方法 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r 、w ei n 3 ，i n l yd i s c u s s e dt h ea p p r o x i m a t ea n m y t i cs o l u t i o no fn o n l i n e a r s c t u 。5 d i n g e re q u a t i o nw i t ht i n yd i s t u r b a n c e w eg o tt h ef o l l o w i n gr u l e sw h e nw eo ( ) i n p a r e dt h ea n a l y t i cs o l u t i o nw i t ht h en u m e i c a lr e s u l tw h i c hi sc f r e p u t e db yt h ei n e t h o d o fr u n g e k u t t a - n y s t r 6 mw i t hm u l t i s y m p l e e t i c 1 ，t h er e a lp a r ta n d i m a g i n a r yp a c to fn u m e i c m s o l u t i o na n da n a l y t i c ：s o l u t i o np o s - 8 e s st h es & i t l es y m m e t r y t e n d e n c ? y t 2t h ee r r o rb e t w e e nt h en u i n e r i c a s o l u t i o na n dt h et w o o r d e i a p p r o x i m a t ( ja n a y t i c s o l u t i o ni ss m a l l e rt h a nt h ee r r o rb e t w e e nt h en u m e r i c s ls “1 1 t i o n a n dt h eo i l e o r d e r a p p r o x i m a l ；ca n a l y t i cs o t u t i m 3 w l i e net u r n st os m a l l ，t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h et w o - o r d e ra p p r o x i m a t ea i l a l y t i cs o l u t i o ns a dt h eo n e o r d e ra p p r o x i m a t ea n a l y t i cs o l u t i o nb e c o m e ss m m i ；w h e ne e c o l n e ss m a l lt os o n k ) d e g r e e 。t h e r ei sa l m o s tn od i f i e r e n g e 4 w h e n t u r n st os 瑚a 1 1 ，t h ed i f r c ie n c eb e t w e e ni l l l m e r i c a ls o h l t i o na n da n a y t i ( 、 s o u t i o nb e c o n e ss m a l l ；w h e neb e c o m e ss i t l 8 1 1t os o m e d e g r e e t h ee r r o rh a sn oc h a n g e 5 w h e nft n r n st os m a l l ，t h e r a n g eo fv i b r a t i o no fr e a lp a 。r t a n di m a g i n a r yp a r t b e c o m e ss m a l l ；w h e n b e c o h l e ss m a l lt os o n l ( ! d e g r e e ，t h ea m p l i t u d eh a s r a ) c h a n g e 。 t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ep a r t s ，h it h ef i r s t , c h a p t e r ：w ei n t i e d u c et h eh i s t o r i c a lb a e k g r o u n do ft h ep r o b l e m sw h i c hw i i lb ei n v e s t i g a t e da n dt h em a i nf i a m e b i t h es o c o n dc h a p t e r ，i ns e c t i o n2 1 ，w ei n t r o d u c ea , p p r o x i m a t em e t h o do fw h i ( - hi s f u n ， d a m e n t a 1f o rt h es u b s e q u e n td e v e l o p m e n t s i ns e c t i o n2 2 ；w e c o m p u t et h eo n e - o r d e r a p p r o x i m a t ea l l a t y t i cs o l u t i o no fn o n l j n e a s c h r e d i n g e re q u a , t i m l 。h is e e t i o n2 3 、w e c o m p u t et h et w o o r d e r p p r o x i m a t ea n a l y t i cs o l u t i o no fn o n l i n e a rs c h r e d i n g e re q u a 。 t i o n 。i ns e c t i o n3 。1w ei n t r o d t i e et h ei i l l ，i nn u m e r i c a lm e t h o do fn o n l h e a rs c h r 酞l i n g e 。 e q u a t i o n ，l ns e c t i o n3 2 ，w eg o ts o m em a i nr u l e sw h e n c o m p a r e dt i ea t a y t i es o h l t i o n w i t ht h en u i i i e i e a 1r e s u l t ； k e yv 吸) r d s ：s c h r s d i n g e re q u a t i o n ；r l l n g 睁薹 0 ( 312 ) 砂i b o = s c c h ( x i 2 ) c x p 一2 i ( x + 2 ) 】-( 3 1 , 3 ) 这个问题的准确解 砂( zt ) = r p r h ( z + 2 4 t ) e z p i ( 2 x + 43 ) ( 31 4 ) 在空间方向上用系数为c 1 = 0 ，c 2 = 1 ，n l l 6 t 1 2 ( t 2 2 = o ，a 2 1 = j 岛= 国= 0 ，6 l b 2 的二阶辛n y s t r s m 方法，在时间方向上用隐中点格式。计算了数值的概率密度 叫= f 妒j 1 2 ， 和准确的概率密度 妒( 。小”) i 其中。f = 一z l 十l a x t ”= n a t 计算了离散电荷的误差 g 。，( n ) = c ( n ) 一c ( o ) 其中c ( n ) = 拦0 1 南：b 。j 妒1 2 计算的结果表明数值结果能够很好的模拟准确解；离散的的电荷保持的很好，与理 论分析一致 5 32 解析解和数值解的比较及结论 通过m a t l a h 编程，把算出的解析解的结果和数值解用图形米比较，从而得出些 结沦。从图0 和图1 叮以看出实部和虚部的对称趋势以及图形特征。结论l ：在e 相 同，并且_ 二阶近似解析解和一阶近似解析解有区别的情况f i ，_ 阶近似的解析解和数值 解的误差要比一阶近似解析解和数值解的误差小，特别地，在r = 0l 附近误差将非常 小。见图2 、3 、4 、5 。结论2 ：解析解和数值解的实部和虚部具有相同的对称趋 势，见图6 、7 、8 、o 。图、1 l ，1 2 、1 3 、1 4 。验证r 上面的结沦。结论3 ：当 q b 。删 一 。d 非线性场强一取很小的值时，由计算机算出的一阶近似解析解和二阶近似解析饵结果 本身足没有差别的，而且误差也没有变化。见图1 7 、1 8 、1 9 、2 0 。结论4 ：随着非 线性场强e 变小，误差也会变小，但是当非线性场强e 小到一定程度时误差就不会变化 了，见图2 l 、2 2 、2 3 、2 4 、2 5 、2 6 。结论5 ：非线性场强随着e 的变小，解析解 的波动也会变小，而且解的值也有变小的趋势。当非线性场强e 变小到一定程度时，解 析解就没有变化了，见图2 7 、2 8 、2 9 、3 ( ) 、3 1 、3 2 、3 3 、： 4 。 图( ) e = l 时阶近似解析解的实部三维圈 吲1 e = 1 时一阶近似解析解的虚部i 维图 下面观察随着e 的变化，一阶近似解析解和数值解的误差与二阶近似解析解和数 值解的误差之间的大小关系： 下而的两个图分别是t = 1 时，一阶近似解析解和数值解的实部误差图和一阶近似 解析解和数值解的虚部误差图， ( j 图2e = 1 时一阶近似解析解和数值解的实谋差 f l1 ii j fii j 1o n 7j1 i1 l | i f f ，y 图4f = 1 时，阶近似解析解和数值解的虚谋差 f 面的两个图形是e = 1 时，分别是与二阶近似解析解和数值解的实部误差图和二 阶近似解析解和数值解的虚部误差图， 圈3f = 1 时，二阶近似解析解和数值解的宴部酿差 l 剥5e = l 时二阶近似解析解和数值解的虚部洪差 通过下面的图形观察一阶近似解析解和数值解的二维图形，可以看出实部和虚部 的变化趋势： 卜图分别是e = l 时，一阶近似解析解的实部和虚部 忒a 瓜钐 _ 呵留圈。 图6e = - l 时，一阶近似解析解实部 瓜尽愿 目留潮 k 图8f = 1 时，阶近似解析解虚部 下图分别是一= l 时，数值解的实部和虚部 规律 图7f = 1 时，数值解实部 引9 ( = 1 时，数值解虚部 为了验证结论1 和结论2 可以看下面的图形，当e = 0 5 时，可以看到同样的变化 厂 2 t。川f1 jn j i八川 ! 。辽一蔓 女，y l! 图1 0f = o5 时，阶圩似解析解和数值解的宴部谋差 阿1 2 ( = 05 时，一阶近似解析解和数值解的虚部误差 ：f 一一j 。1 0厂1 1 、；! ：型。 一v y l! 图1 3 f = 05 时，二阶近似解析解和数值解的虚都误差 为了能够清楚的看出虚部误差的区别，可以看下面的图形 图l , i 一( ) 5 时，虚部的误差比较 当c 取更小值时，由计算机计算卅的解析解的值，一阶和_ 阶近似解析解的结果几 乎是样的，在这里我们只举一个简单的例子f 图是e = ou l 时，阶近似解析解的二 维实部的网形， 图1 5f = 00 1 时，一阶近似解析解的吏部的图形 罔i 6 f = _ 00 l 时，二阶近似解瓠解的实部的图彤 由此q 。以验证上面的结论，我们也可以通过观察计算机算m 的数值得到上而的结 论。 h 酊观察c = u o l 时，一阶近似解析解和数值解的误差与_ 二阶近似解析解和数值解 的误差会如何变化? 15 下面的图是e = ( ) o l 时实部的误差 ? 1 ”f 。4 、 。! 。甜 阶近似解析解和数值解的蛮部误差 h 厂、 n 厂、fi ?ffl i i j iiif 圆1 8f = u0 1 时，二阶近似解柄鸺和数值解的实部洪差 下面的图是e = o 0 1 时虚部误差： u p 一7 f 州f 一 ，、i ， v l 。 图1 9f = 0 叭时，一阶近似解析解和数值解的虚韶误差 盛 八 图2 0f = = 00 1 时，二阶近似解析解和数值解的虚部谋差 所以随着e 变得更小，只考虑一种近似解析解的变化情况就可以j ，接下来看误差 会如何变化? 下图足e = ( ) 0 0 5 时， 下图足r 解析解和数值解的实部误差 图2 lf100 0 5 时，解析解和数值解的实部误差 罔2 2 e 一( 】叭1 l 时，解析解和数值解的塞音【i 麟差 下冈是r n0 0 0 1 时，解析解和数值解的实部误差 jjll4i二ii j1 j一 二二川训一 r 、|二二一。 ， 亩、二二0矿 、 南，“v。v。蟛 阿2 3 = 00 0 0 1 时、懈析解和数值解的变部误差 下图足一( ) 0 0 5 时，解析解和数值解的虚部误差 图2 4e = 【】0 0 5 时解析解和数值解的虚郫误差 一= 0 , 0 0 1 时，解析解和数值解的虚部误差 图2 jf = 00 0 l 时，解析解和数值解的虚部洪差 c = 0 , 0 0 0 1 时，解析解和数值解的虚部误差 图2 6e = 0o o o l 时，解析解和数值解的虚部误蔗 下而观察随着非线性场强r 的变化，解析解的实部和虚部的变换规律 下图是e = o0 1 时，实部的图形，分别是二维和三维的： 博i2 7e = 00 i 时，实部的图形 刚2 8e 二00 1 时，实部的国形 实部的图形，分别足二维和二维的 ! lj - 悔i2 9 f = 00 0 0 1 时，实部的劁形 洲3 0 f = 一= 0u 0 0 1 时，宴部的斟形 下图是c oo l 时，虚部的图形，分别足二维和三维的 图3 1 ( = 0 ( ) l 时，虚部的图形 圈3 2 ( = 00 1 时，虚部的图形 下图是e = ( ) 0 0 0 1 时，虚部的图形，分别是二维和三维的 i 剐3 3 e = 00 0 0 1 时，虚都的图形 吲3 4 = 00 0 0 l 时，虚部的图形 通过观察图形的变化，很好的验证了本节开始给出的结论 1_叫i_m 参考文献 ah m s e g a w a ，o p t i c a ls o l i l i o n si nf i b e r s ，s p r i n g e r v e l a g ，1 9 8 9 f 2 】j t l o n g ，y l i u ，a n dcl i ，m u l t i s y m p l e c t i c i t y o fr u n g e k u t t a - n y s t r 6 mm e t h o d sf o r n o n i i n e a a s e h r s d i n g e re q u a t i o n 。 s u b m i t t e d f 3 】et l a i r e r ，c l u b i c ha n dgw a n n e r ，g e o m e t r i cn u m e r i c a ll n f e g r u t i o n ，s p r i n g e r v e r l a g b e r l i nh e i d e l b e r g ，2 0 0 2 【4 】q c h a n g ，e 1 i a ，a n dws u n ，d i f f e r e n c es c h e m e sf o rs o l v i n gt h eg e n e r a l i z e du o n l l n e a r s c h r 6 d i n g e le q u a t i o n ，jc o m p u tp h y s1 4 8 ( 1 9 9 9 ) ，3 9 7 4 1 5 【5 】v i c t o r m a n dy l i u ，n u m e r i c a lm e t h o d s f o rt h es i m u l a li o no ft ia p p e dn o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e rs y ac e l l i s ，a p p l m ac h | , e t t 1 4 4 ( 2 0 0 3 ) ，2 1 5 - 2 3 5 f g md e l f o u r ，mf o r t i n g p a y r e ，f i n i t e d i f f e r e n c es o l u t i o n so fan o n i h l e a r s c h t n l i n g e r e q u a t i o n 、jc o m p 1 1 h y s4 4 ( j9 8 1 ) 2 7 7 2 8 8 7 1 x u e s h e nl i ua n dp e i z h ud i n g d y n a m i cp u o p e a t i e so fc u b i cn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o nw i t hv a r y i n gn o n l i n e a rp a r a m e t e r s ，j p h y sa 3 7 ( 2 0 0 4 ) 1 5 8 9 16 0 2 8 x u e s h e nl i ua n dp e i z l md i n g ，b e h a , i o u l o ic u b i cl l o l l l ir l e a r s c l u 6 d i n g e re q u a t i o nb y u s i n g h es y m p l e c t i cm e o l o d s ，c h i n p y sl e t t 2 1 ( 2 ) ( 2 0 0 4 ) ，2 3 0 - 2 3 2 f 9 1j i l o n ga n dy l i u ，an o v e ln u m e r i c a la p p r o a c ht os i m u l a t i n gn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o nw i t h 、r a i ) i n gc o e f f i c i e n t s ，a p p l m a t h l e t l 1 0 ( 5 ) ( 2 0 0 3 ) 7 5 97 6 5 1 0 】jt l o n g ，yl i u ，h a n sm u n t h e k a a aa n d a n t o n e l ! a z a n n & ，c l o b a ! l y c o n s e lv a t r , ep r o p e lt i e s a n de r r o re s t i m a t i o no f a m u l l i s y m p l e c t i cs c h e n l ef o rs c h t 6 d i n g e re q u a t i o n sw i t hv a r i a b l e c o e f f i c i e n t s 1 i t e p r i n t ，2 0 0 2 1 1 ) ok a r a k a s h i a n ，c m a k r i d a k i s as p a c e t i m e f i n i t ee l e m e n t m e t h o d sf o rt h e1 1 0 1 1 l i n e s r s c 。h r 6 d i n g c re q u a t i o n ：t h ed i s c o n t i n u o u sg a l e l k i n n l e l h o t d m a thc i i n l i ) l i t6 7 0 9 9 8 ) 4 7 9 一 , t 9 9 j2 】a t i s l a s ，dak a r p e e va n dcm s c h o b e r ，g e o m e t r i ci n t e g r a t o r sf o rt h en o n l i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o n ，jc o n l p t l i p h y s 1 7 3 ( 2 0 0 1 ) 1 1 6 1 4 8 1 3 】b m i e r b s t ，f v a r a d i ，m j a b l o w i t z ，s y m p l e c t i c m e t h o d sf o rt h en o l l l i n e a r s c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n m a t hc o m p u t 。3 ：1 1 1 1 1 。1 13 7 ( i9 9 4 ) 3 5 3 3 6 9 1 41 t kd o ( t ( 1 ，jce i l b e c k ，jd g i b b o n hcm o r r i s s o l i t o n sa n dn o n l i n e a r 、r a v e e q u a t i o n s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k 1 9 8 2 ali s l a sa n i tc ms c h o b ero nt h ep i e s e r v a t i o no fp h a s es p a c es t r u c t u r eu l t d e rm u l t i s y m p l e c t i cd i s c r e t i z a t i o n jc o m p u t p h y s 1 9 7 ( 2 0 0 1 15 8 5 6 0 9 1 6 】s r e i c h ，m u l t i s y n l p l e c t i ci l u l g e k u t t ac n l l o c a l j 0 1 il n e l l i o ( t sf 0 1 1 1 a nj i l t o t i i a uw a v ee q t l a lj o n j c o i l l p u tp h y s 1 5 7 ( 2 0 0 0 1 4 7 3 4 9 9 i7 iasd a v y d o v ，s o l i t o n si nm o l e c u l a rs y s t e m s r e i d e l d o r d r e c h t 1 9 8 5 3 8 1 c s l d e m ，ps n l e m l h en o n l i n e a rs c h t 6 d i n g e re q u a t i o n ，s p r i n g e r i ；目l i n 2 0 ( 1 0 i 9tb n s d l 11 j a t l g l i l i ，1 ) a ik l , l g i l ls f d i t o n si n i n l o n l o g t 、n c ( h i s b ，h p e hj s t , ：、i 1 f i i i ( 1 0 1 l r a l l ，h ，p 1 l r sb p 、ri ，a f f8 7 f 2 0 0 1 ) 0 1 0 4 0 l ：j 一4 2 0 2 1 2 2 常微分方程东北师范大学数学系微分方程教研室编高等教育出版社( 1 9 8 2 1 0 ) xl i u ，x l i u ，zz h o u ，p d i t g s p a n ，n u m e r i c a l s o l u t i o no fo n e d i m e n s i o n mt i m e - i n d e p e n d e n ts c h r 6 d i n g e re q u a t i o nb yu s i n gs y m p l e e t i cs c h e m e s ，i n tjq u a n t c h e m7 9 ( 2 0 0 4 ) 3 4 3 3 4 9 d p a t h r i a jllm o r r i s p s e u d o s p e c t r a ls o l u t i o n o fn o n l i n e a r s c h r o d i n g e re q u a t i o n s ，j c o m pp h y s8 7 ( 19 9 0 ) 1 0 8 1 2 5 2 3 1z q r a n g ，e x i s t e n c e a n ds y m m e t r yo fm u l t ib u m ps o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n s ，1 d i f f e q 1 5 9 ( 1 9 9 9 ) 1 0 2 1 3 7 2 4 1 谢定裕渐近方法在流体力学中的应用友谊出版公司， 1 9 8 3 2 5 1 何吉欢工程与科学 卜算中的近似非线性分析方法河南科学技术出版社，2 0 0 2 1 2 6 1 k f e n g o nd i f f e r e n c es c l m m e sa n ds y m p l e c t i cg e o m e t r yi np r o c e e d i n g so ft h e1 9 8 4 b e i j i n gs y m p o s i u m o dd i f