（计算数学专业论文）基于偏微分方程方法的小波域自适应维纳滤波迭代去噪算法.pdf

摘要 通过对偏微分方程方法( p d e ) 去噪过程的剖析，我们建立一种新的迭代去噪算 法偏微分方程方法可认为是滤波器的迭代去噪，新算法的第一个阶段采用小波 域自适应维纳滤波作为滤波基，通过调节参数取得了良好的效果。实验报告表明 该算法所设定的参数具有一定的稳定性，对于多个图像均能取得较好的处理效果， 这是相对于偏微分方程方法去噪的一个优势。算法的第二个阶段采用恰当的偏微 分方程方法去除第一阶段所出现的伪g i b b s ，进一步提高了算法性能。含有高斯噪 声的图像经过新算法处理后，既消除了小波去噪经常出现的伪g i b b s 效应，又避 免了偏微分方程方法去噪中出现的阶梯效应，较好保存了细节，提高了峰值信噪 比，大量实验表明它是一种有效的去噪方法 关键词：p e r o n a - m a l i k 模型各向异性扩散小波域自适应维纳滤波 虚 假边缘 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s , w ee s t a b l i s han e wi t e r a t e dd e n o i s i n ga l g o r i t h mb ya n a l y z i n gp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( p d e ) t e c h n i q u e si ni m a g ep r , 脚i n g o u rn e wa l g o r i t h m s m o o t h sn o i s yi m a g ew i t ht w op h a s e s i nt h ef i r s t s t a g e ，n e wa l g o r i t h mm l b s t i t u t e s i t e r a t e dt m h e m eb a s e do np d ew i t ha d a p t i v ew i e n e rf i l t e r i n gi nt h ew a v e l e td o m a i na n d g a i n sg o o de f f e c tb ya d j u s t i n gr e l a t e dp a r a m e t e r s t h es i m u l a t e ss h o wt h ep a r a m e t e r si n o n et e s ts t i l li sa p p r o p r i a t ef o ro t h e rd e n o i s i n gi m a g e s ，w h i c hi s s u p e r i o rt op d e t e c h n i q l l e s i n 蛳o n ds t a g e w eu p d et or e d u c ee d g ea r t i f a c t sg e n e r a t e di nt h ef i r s t s t a g e n u m e r i c a le x p e r i i n e n t ss h o wt h a tn e wa l g o r i t h mi m p r o v e st h er e c o n s t r u c t e d i m a g eq u a l i t yi nd e n o i s i n g k e y w o r d ：p e r o n a - m a l i km o d d = n i s o t r o # e d i f f u s i o n a d a p t i v e w a v e l e t - w i e n e rf i l t e r i n ga r t i f i c i a le d g e 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本人签名：! 墼! ：遗 导师签名：毛多- 胁s j ( ， 日期2 1 旦垂i 旦2 望 日魁衄；主t f 2 第一章绪论 第一章绪论 1 1 弓l 言 图像魁对客观对象的、生动性的描述或写真。或者说图像是客观对象的一种 表示，它包含了彼描述瓣蒙豹有关傣患。宅是入鲷最主要的傣悫源。据绕诗，一 个人所获取的信息大约脊7 5 来自秘觉。貉话说“百闻不如一豫”，“一强了然”， 都反映了图像在信息传媛中的独特效果。 近年来，由于计算桃技术的迅獯发展，计算机的速度越来越快，图像处理系 统戆徐捂嚣益下降，获褥蠖銎像处璜褥 ；盂广泛鬻予众多熬辩掌与工程畿域，磐 遥感、工般检测、医学、气象、侦察、通信、智能机器人等。广义上来说，文本、 图形、视频等都需要借助图像技术才能充分利用。这些技术越在明显地改变着人 靛瓣生产攀菠稳生矮方戏。传统夔擞声、管理、教弯等，歪程囱薅塞纯、多撵纯 转变 正因为图像有着如此多的应用，与我们的工作和生活方式息息相关，所以有 必要对图像和图像技术进行深入细致盼研究。 1 2 图像处理技术概述 整豫鲶理涉及静爨鞠凌其恁程关壤缄懿蹙缘分爨、图像攥簿纛诗算撬褫燮) 豹界定目静还没有一致的看法。嚣稚比较公认的辫像处理技术嘏架如图1 1 所示， 这个框架怒将数学、光学、信息论、通信等基础科学的原理，结合一系列猩图像 应用中积累的技术经验箍形成的【n 。 塑1 t 蕊像楚莲技术三瀑次示意匿 图像处理技术的内秣非常丰富，根据抽象程度和研究方法镩的不同可分为三 兰基于p d e 的小波域自适应w i e n e r 滤波迭代激噪算法 个屡次( 见盈1 1 ) ；图像处理、图像分析和潮像理解。其巾图像处理又被称为低层 图像簸理，这是梵7 避免窥强像楚瑾技米耱混淆。换麓话说，图像麓溪技术是甄 有联系又有区别的图像图像女b 瑷、图像分析及图像理解三者的有机结合，另外还 包括对它们的实际应用。作为一个统一体，这三者之间没有明确的界线。 戴瑟瑟橡楚壤罄耋强调我灏像之翔迸器瓣交按。最然久 】零弱强像楚理泛摆 各种图像处理技术，但比较狭义的图像处瑷主要满足对图像进行各种加工以改善 图像的视觉效果并为自动识别打基础，或对图像进行压缩编码以减少所需存储空 闯、捷输对闯或抟输通路的要求。它仅仅涉及图像约一燕低层操作，盎隧酶低噪声 酌黧像预处理、辩魄度瓒麓和粥像锐纯等。 作为中层的圈像处理技术，图像分析则主要是对图像中感兴趣的闰标进行测 量，以获得它们的客观信息从黼建立对图像的描述。如果说低层图像处理是一个 麸溺像蘩圈豫熬遥程，刘踅豫分提是一令铁攀像型数撂瓣逶程。这曩，数据霹 ；乏 是对目标特征测鬣的结果，或怒基于测量的符号表示。它们描述了图像中目标的 特点和性质。 潮豫理解豹黧点是在图像分橱戆基础上，避一步研究豳像孛各雕酝的性质及 其稳麓联系，势褥遗对图像内容含义的璨解以及对原来鬻躐场景盼解释，瓢丽搔 导和规划行为。如果说图像分析主要是以观察者为中心研究客观世界( 童要研究客 观察到的事物) ，那么图像理解在一定程度上是以客观世界为中心，借助知识、经 验等来把握整个雾甏毽舞f 整蘩没骞壹接甏察爨瓣事 黔。 综上所述，豳像处理、图像分析、图像理解是处在黛个抽象程度和数据量各 有特点的不同层次。图像处理鼹比较低层的操作，它圭袋在图像像素集上进行处 理，处理麴数据爨鐾豢大。墅缀分辑嬲进入了中层，分割_ 程特征提取熬琢来以像 素撩述的图像转变成眈较篱涪的非图形式静描述。图像纛解主要是离艨操作，基 本上是对从描述抽象出来的符号进行运算，其处理过程和方法与人类的思维推理 可以有许多类似之处。另外由圈1 1 可知，髓着抽象程度的提高，数据爨是逐渐减 少瓣。曩律来说，琢始图像经过一系剜瓣懿灌过程逐步转纯势更骞缀织帮羯途熬 信息。在这个过稔中，语义不断引入，操作对象发生变化，数据量得猁了压缩。 另一方面，高层操作对低层操作有指导作用，能提高低层操作的效能。 低瑟塑豫处瑷靼图像分掇乏翅、塑像分掇襄蚕豫理瓣之趣戆赛袋爨毙较揍期 的，饭难界定，实际上也没育必要明确缝界定。 般来说，低层图像处理输入的是原始采集的图像，输出的事改瞥了某些质 量或者更适合予浆些特定应用的图像，这些输出结果往彼是提供给中艨的图像分 耩。 低层图像处理中有两个非常重要的内容；图像增强和圈像复原。 图像增强的蓠要目标是处理图像，使其比原始图像熙加适合于特定应用。这 第一章绪论 3 里的特定缀重要，因为宗一开始就旃藏了图像增强技术是面向闯题的。例如一种 缀努熬赴壤医学塑像瓣缵强方法，势不逶瘸手遥感瑟豫靛楚纛。嚣缘增强怒强像 处理中最简单也是最具有吸引力的领域之一。基本上，增强技术的目的是嫩现那 些被模糊的细节，或者圈像中感兴趣的特征。 銎像臻强豹逶用毽谂是不存在豹。它戆处壤嚣戆是为了视觉勰释，囊瓣察者 最后判定特定方法的效聚，因而是豳像处理中一种有较强主观饿韵处理手段。 图像复原也是改进阌像外貌的一个处理领域。但图像还原是一个客观过程。 在某种意义上讲，复藤技术倾向予以图像退化的数学或者概率模型为基础，试匿 通遘逶纯瑷象熬菜释先虢翔谖来重楚、恢复还潦积经逶纯静黧像。其孛餮像运耽 的原因主舞是源于图像的获取过程和传输过程中的噪声。 图像增强和图像还原的差别主要体现为主观和客观的差j ；! i ，实际上它们有许 多交叉戆镁域，嚣露嚣像增强襄强像逶嚣方法氆窍诲多是一榉豹。在图像鲶褒矮 域中，我们可以把图像增强和图像述原的过程统称为滤波( f i l t e r ) 。 在低腰图像处理中，输出的也不完全都是图像例如计算图像灰度的平均值 就是属于低屡图像处理的范畴，某些谤况下，低艨强像处理也单独梅成一个墩尾。 铡磐，翟像编码裁是一个单独应用酌低层蚕橡赴壤方法。它将蹋像进行编磁，达 到压缩或者加密的目的。 1 3 图像去噪 1 3 1 图像噪声 所谓嗓声，就是妨褥入的视觉器甯或系统簧感器对接受的阐像信息进行疆解 或分析的备种因素。 噪声对圈像产生许多破坏效果，主要有两个方薅的影响。第一，影响主观视 觉效采。受獯声污染鑫鲁鞠像往往会交褥铙觉效栗缀差，严重辩蓉至使褥入黩难数 辨别某些细节。人眼对图像噪声，尤其是图像平煅区域的噪声非常敏感。第二， 使图像的中层( 信息层) 与高层( 知识层) 处理觅法继续进行。噪声会降低图像 羝屡( 数掇屡) 处理戆震爨羁壤发。鼯骞些处瑾过程来说，嗓声往往会产黛禁耱 局部二义饿! o c a la m b i g u i t i e s ) 。比如许多边缘检测算法在有噪声平扰的情况下会出 现大量的廉梭和漏检，黼使后续的目标提取和识别无法进行 一般噪声是不可预测敕，它只熊孀概率统计敬方法去认谈。这里我识绦燃足 释常觅静溅杭噪声静穰率密度丞数剖d 垂9 翻。 高斯噪声 一4 基于p d e 的小波域自适应w i e n e r 滤波迭代去噪算法 由于高斯噪声在空间和频域中数学上的易处理性，这种噪声( 也称为正态噪声) 模型经常被用于实践中。事实上，这种易处理性非常方便，使高斯模型经常用于 临界情况下。 高斯随机变量z 的p d f 由下式给出： p ( z ) 。丽1 口俐2 止一 1 _ 1 其中z 表示灰度值，p 表示z 的平均值或期望值，叮表示z 的标准差。标准差 的平方盯2 ，称为z 的方差。 瑞利噪声 瑞利噪声的概率密度函数由下式给出： p ( ；) ：j 吾( z 一口) 2 e ：7 a = 口 ( 1 2 ) 【0 z 0 。概率密度函数的期望值和方差是： “= 二( 1 - 9 ) 盯2 = 专 ( 1 - 1 0 ) 注意，指数分布的概率密度函数是当b = 1 时的爱尔兰概率分布的特殊情况 第一章绪论 均匀分布嗓声 鸯匀分毒黉声豹壤搴密度，胃耄下式绘壅： p ；j 击口1 口孑6 1 0其宅 壤率密发瓣数豹麓鳘毽秘方差霹圭- f 凌给鲞： a + b 声2 丁 莎2 = 1 ( 1 3 - - r u ) 2 脉冲噪声( 椒盐噪声) ( 双极) 脉冲噪声的p d f 可由下式绘出： | 乏 z = 群 兵力一 只 ：。b 【只 其它 1 3 2 滤除噪声 ( 1 - 1 2 ) 0 鹣信号所有较獠分辨率鹃离赦逼近f ，都可戳获群f 遁过反复威用式 ( 2 - 1 0 ) 丽求得。这种过程与低通塔忒分解相类似。不同的是，因为对所有， 骱( 砂 。是规范正交慕，故由尺度缀数( d 可构成一个十分特殊的低遁滤波器。 下嚣给窭必发丞羧熬傅溅跨交换与稳疲羝逶滤波嚣西豹关系。 根据= 尺度方程( 2 - 4 ) ，尺度 蜓国) 2 灯( 叫# ( a j 2 ) ，v w 薅r ( 2 - 1 1 ) 或多( 2 妨。翮( 回 j 其孛，联防) 是缎瘸期缀数，定义为 h ( a 0 ；i i _ i i 嘲 ( 2 - 1 2 ) 扶式( 2 - 1 1 ) 褥 爿= h ( 2 0 a 撬 o 刁j ， 脚( 2 - ，s ， 根据式( 2 1 3 ) 的递推关系容易得到 婀一飘訇= 韵嵌韵 一( 訇啦) 双爿 一栅o ) j 三o 当，专，攻别_ i ；( o ) = l 时，有 ( 2 1 4 ) 旦 基于p d e 的小波域自适应w i e n e r 滤波迭代去噪算法 ；0 ) = 兀h ( 2 叫功 ( 2 - 1 5 ) ，- i 滤波器何向) 满足下列两个性质： 在日( o ) = 1 和在无穷远处 0 ) = o ( n 。2 ) ，日p ) 为低通滤波器，与尺度函数 的低通性相对应。 1 日( 彩) 1 2 + 1 日 + 力1 2 = 1 ，因为同一尺度下，尺度函数的平移系构成规范正 交基，故有( 妒( x ) ，o 一) = 磊 ，根据p o i s s o n 公式， ；白) 满足 j + 2 肋) i 。= l ， v 国e r( 2 - 1 6 ) 利用式( 2 i i ) ，把奇偶项分别求和可得 l ； + 2 k a ) 2 = | 胃( 国+ 幼) 川 ； + 万) | 2 = i ( 缈+ 2 勋) j 2 | i ；( + 撕) + = 1 日( + 石+ 2 肋) | 2 j ；佃+ 万+ 2 舫) l 。 因为以功以2 石为周期，所以 薹i ； + 2 肋) 1 2 = 1 日( 国) 1 2 莓i ；细+ 2 切) 1 2 + = 1 日+ 石) 1 2 i ； + 万+ 2 肋) i 。 因为式( 2 1 6 ) 对任意国r 都成立，所以有 1 日( 国) 1 2 + l h 1 2 = 1 满足性质的滤波器称为共轭滤波器。这是在同一尺度下的尺度函数平移系 构成规范正交基的必要条件。 式( 2 1 5 ) 在频域中给出了尺度函数和相应低通滤波器的关系，也可通过选择 h ( a 0 来求得具有良好时频局部化性质的尺度函数。另外，尺度函数的平滑性和无 穷远处的渐近衰减特性也可以根据日( 妨的性质进行估计。 2 3 小波函数和细节空间 在多分辨率分析 ，l ：中，巧c 巧。，即子空间相互包含。因此，无法从低 一级分辨率信号逼近厂重构高一级分辨率的信号逼近器。厂，从而无法从 n ， 0 重构原信号影，。事实上，从高分辨率到低分辨率的每一级信号分解， 总是通过丢失信号的部分高频信息( 信号细节) 而实现的。直观地看，利用全部 丢失信息，可以重构原信号。换句话说，信号可以用全部的相邻分辨级的信号逼 近的信息来描述，这是信号多分辨率表示的基本思想。 设矽，为v ，在y ，。中的补空间，即 第二章基予小波的多分辨帛分析 1 3 r ha 一十哆 姨 哆= r h 一匕 空阕移会蠢麸分辨率歹豹遥近戮分辨率歹一1 魏遂迓衡嚣夔覆惑，辩含毒嚣缀分辨 率下信号的信息差，困就有 9 髟r ( 置) 式中，审为约定的空闻逡葵符号，袭示空闯的壹秘。 翔采黼数矿( 力豹整数平移系舻一力) 触是的r i e s z 募。楣应墟，翼| j 称爵数 妒为小波，并且小波函数的伸缩平 ( 力= 22 妒( 2 - j x - n ) = 妒z ( x - 2 帕) 眦 是2 ( 震) 懿r i e s z 基。樱斑缝， 影 娜称为小波空阕。医为形怒耀邻两尺发空阕 的差，敖 配) 橱氇成为细节空闻。 确定q 中巧的补窳间形，的途裰有多种。特别令人感兴趣的是，小波空间矿， 定义为k ，中巧的正交补空间，即职上巧，这称为正交多分辨分析。这时，小波 是歪交小波，显枣浚空阏 鬈 艚褪黧蓬交，帮 啊上敝， j , k e z 和，七 与逼近予獭问巧相类似，小波空问氍具有平移不变和伸缩不燮等性质。 信号苁砖在小波空阍正交展开的蓠要问题是确定p ( 霆) 的攥范正交基。谈函数 j y ( 砖的整数平移系是懿的规范正交蒺，刚( 。2 ：y ( 2 叫田的整数平移祭是形 的规范正凝基，并且l 矿( 的伸缩平移系 g j ，( 力0 庸驴构成p 嘏) 的一组规激正交 基。 令鬈楚在空阕鬈土瓣歪交投影算子。在分辨枣歹熬痞号办p 戆缨繁定义为 ， ) 在形上的投影岛八曲，并表永为 _ ! l 易，= ( 八打) ，0 ) ) 的，( ( 2 - 1 7 ) 震开系数 鼬) ，y 加蝴 。e z 称秀旋分辨率歹蠡孽离散缨节穰号幺，记作 d 2 ，= q 一， h z 乃，( 完全由q 一，表征与离散逼近信号磷f 的计算相凝似， 内积运算等效于卷积运算，即有 d ；，炙= f 键，y | 。磷= t f 谚审套( - u ) x 2 j 痨( 2 - 1 9 ) 离散缎节信号d 2 ，f 翘可以矮迭代公式进行计舞。因为( 印| 苣w oc v 1 ，所以 妒( 功可以由e 。规范正燮旗 2 烈2 善一素) i z 展开为 w ( x ) = 4 2 g ( | j 贼船一雄 ( 2 - 1 9 ) 式( 2 - 1 9 ) + 氇是一个= 尺度方程，箕巾g ( 磅= 静，九j ) 。这种关系对于轻意三尺度 都成立。 对任j 敷竹e z ，函数，( 曲彤c 可用的规范正交麓展开为 国= 奶，的，屯一咎蝴。纵t 媾国( 2 - 2 0 ) 把式( 2 - 2 0 ) 代入式( 2 1 8 ) ，给定尺度_ ，的离散缃节信号占0 ，研表示为 旦 基于p d e 的小波域自适应w i e n e r 滤波迭代去噪算法 d 2 j 工= ( 厂( “) ，( 材) = 芝：( j ，( “) ，q ) u - t ) ，七( ) ( 厂( “) ，口，u - l n ( 甜) ) ( 2 - 2 1 ) 通过改变内积运算中的积分变量得到 0 ，从多分辨率分析定义可知 v o = 巧。磁= 吒o o ：巧。乃。：巧。j 2 - 3 4 因此，( 力可表示为 删= ，+ 巳， j - = ，九，) 九，+ 六，渺加( 2 - 3 5 ) h - o j 1 月“ = q ，九+ d j ，( 咖o 其中，尺度系数 q ， 。= 码，小波系数 嘭， 吲，。= ) 叫。 兰 基于p d e 的小波域自适应w i e n e r 滤波迭代去噪算法 b ) 可以完全由( s ：d ， d 2 ，力l s , j a j ) 描述离散信号集 工 见，乃。纠“) 称为 信号的正交小波表示。多分辨率信号分解包括由粗分辨率( 给定尺度j ) 的信号逼 近和分辨率从2 1 到2 7 的全部细节信号。 式( 2 3 5 ) 实际上是， ) 离散正交小波变换的重构公式。f ( x ) 由群厂表征。 剐厂可以由迭代算法重构，因为 纵u ( 力巧一l = + 红。，( x ) = + = 够- t ，( “) ，y 肚 ) ) ( 厂( 功，的上( 工) 代入式( 2 1 7 ) 和式( 2 - 2 2 ) ，并采用由式( 2 9 ) 和式( 2 - 2 4 ) 定义的滤波器日和 g ，最后得到 ( 以功，6 。，( 功 = h ( n - 2 k ) ( 八功，饥 ) + g ( n - 2 k ) u ( 功，￥j , a ( 呦 即 髟。= h ( n - 2 k ) 髟五+ g ( n - 2 k ) d 2 ，以1 或q 山；主 。一2 的q j + g & 一2 k ) d j ( 2 - 3 6 式( 2 3 6 ) 为多分辨率信号分析的塔式分析结构。分辨率为_ ，一1 的信号离散逼近 砰。厂可以按以下方法重构：由分辨率为，的离散逼近s o f 和细节信号d 2 ，厂通过 样本间插入零值，把所得信号分别与滤波器日和g 卷积，并把两通道所得结果相 加。 迭代公式( 2 1 0 ) 、式( 2 - 2 5 ) 就是多分辨率信号分解和重构的快速算法( 也 即正交小波交换的快速算法) ，一般称为m a l l a t 算法。现归纳并重写如下： 分解 f 踢= i ( 2 栉一七) 鼢以f q ，= 石( 2 万一d q 。 1 乃正季( 2 撑一的髟一五或1 ：壹季( 2 疗一”， l il j 重构 。五= h ( n - 2 k ) 昂以+ g ( n - 2 k ) 五 或 q - 1 ，= h ( n - 2 k ) c + g ( n - 2 k ) d j j 一般来说，石和季称为分析滤波器组；i i 和g 称为综合滤波器组。对于正交多分辨 率分析有 石= _ i l ( 一) ，季= g ( - n ) 第二章墓予小波静多分辨率分析 d 渺， 哈f 窭2 ，1 二雏多分辨信号分解 圈2 2 ：维多分辨信号重构 k 州， 舔， s o f 1 7 关予多分辨率分析的几点说骧： ( 1 诗筹孛一个簧要簿越燕确定耪贻输入漤蠲群，。璜论主 酃f = 。当尺度函数矿( 力具有紧支撑性时，内积邋算可近似看成是对 信号八力的抽样。因此，实际计算中通常直接采用，( 砧的抽样序列 ，( 刀) 来避似 输入痒魏霹，。事实上，摄撂撞撙定理，当撞嚣搴丈予n y q u i s t 速率藏，( 砖琴 由其抽样浮列完全描述。当原信号本身就是一离敖信号序列 厂( 开) 时，可瓶接设 砰，= ，( 撑) ，这时离散序列的多分辨分析类似离散序列小波燮换。 ( 2 ) 实鼯得到的信号序列长度总怒有限的。为了避免边界阐耀，减少信慧的丢 失，实嚣诗算牵遥常簧辩藏信号彦列避行透赛延妊。最筏单鹣方法是进行零褥拓； 另一种常用的有效方法摄采用对称性延拓。设原信号序列为群，= ( 协) 蛐州一， 贝令 。 ，_ 肆一1 ) 一蠢s l f 一f 嗡， q s 嚣s 辩- 1 【厂( 2 一l 帕，n ，e z 相应的尺度函数可表示为 烈力= 妒声 ) ( 2 3 9 ) 对任意，ez ，矿( x ，y ) 的伸缩平移系 九，办，( “，v ) 加，) e ：。构成巧的规范正交基， 信号，o ，力在分辨率为，的离散逼近可表示为 蜀厂= 加。) | 驴 令一维小波子空间叼为吃中巧正交不补空间，妒( 功是妒( 的的一维小波函 数，二维小波空间形，为y 中的正交补空间，即 w | l y i ，：y|+w|=y|d(2-40) 矢量空问l 2 ( r 2 ) 可分解为正交子空间矿的直和，即 r(r2)。9(2-41) 重要的问题是确定r 似2 ) 的规范正交基。对w z ，利用k r o n e c k e n 积的性质容 易得到 2 形1 一d 7 _ i = ( 。一) 。_ 。一)(2-42) = ( 巧。叼) o ( 吖。刀) o ( 嘭。叫) o ( 叫。吲) 从式( 2 - 4 2 ) 可以看出，。中的正交补空间形为 第二章基予小波的多分辨率分析 形= ( 叫o f ) e ( 彬固町) o ( 彬o w h ( 2 _ 4 3 ) 1 9 蠢为必度丞数必母镣缝乎移系珈砖。：是鬈纛孽一缍鬟藏菠交基，瑟参波丞 数妒( 力伸缩平移系舻聃( 力，。是町的一组规范谶交基，令妒1 ( x ，力= 妒( ( 力， 妒2 瓴y ) = 庐( x 妒0 - ) 和3 瓴力= 妒 弦( 力为3 个小波函数，由戏( 2 - 4 3 ) 可知，3 个小波函数的伸缩平移襞 静| ，诤j _ t 焱手 镰蹿j _ 羚，掣抽讧静j ，t 螨l i 脚矛 是工2 ( 置2 ) 的一组规范越交基。 信号f ( x ，力的相邻陌分辨率的逼近信号。，和，f 的信息差( 即分辨率， 豹售号缨第) 等于，瓴力在鬈翦燕交投影由式( 2 - 4 3 ) 可知，该售惠霹濑下疑 3 个离散缨带信号给出： f = 0 时，u ( x ，) ，) 是通过解发展方程得到的。我们以下面几 种形式阐述p e r o n a - m a l i k 模型对于光滑数量和光滑方向的控制。 1 ) p e r o n a - m a l i k 方程( 散度形式) “。= a h 4 9 q v u l ) v u ( 3 - 6 ) 这里，v “= k ，b 】，j v u i = “：+ ；，函数g q v “d 自适应控制光滑，当扩散 方程以叩f 坐标表示时，可以更好地描述g d v 甜d 的作用，其中野表示梯度方向， f 表示垂直于梯度的方向。 帆，“，】，卜w ，】 玎2 f 亏寺，喜。7 = 号专 ：+ “；甜：+ ； 甜。表示甜 j ，r ) 在，7 方向的二阶导数，甜嚣表示孝方向的二阶导数 甜。= 竺i ! 竺二! 驴，“彭= 竺至垒l 二j 笋 2 ) p e r o n a - m a l i k 7 濯( ，7 一手形式) 虬= g o v u l ) 【1 + i v u g l o g v o ，对于 各向异性结构表达式： ( 一一乒2 ) 2 = ( l 一厶) 2 + 4 靠 ( 3 - 1 8 ) 的值将变大，它是局部相干性地度量。 3 张量积的两种形式 令扩散张量积d ：f ? b 1 ，则由结构张量积j 。可得到d 中各元素的值分别 o 为：a = c o s 2 口+ 如s i n 2 口，b = ( 五一如) s i n 岱c o s 口，c = s i n 2 口+ 如c o s 2 口。应 用中可根据图像的特征灵活选择 、厶构成不同的扩散张量积，这部分我们主要 介绍边界增强扩散和相干流像纹理增强扩散。 首先，我们介绍边界增强扩散。 假设肌、2 ( 一 2 ) 是结构张量积j p 的特征值，v i 、v 2 是相应的正交特 征向量。扩散张量积的构造应该反映局部图像结构特征，选取与结构张量积相同 的特征向量v l 、v ：，相应特征值丑、如的选取依赖于滤波目标。 如果我们希望在域内优先光滑，阻止穿过边界的扩散，也就是说，如果“越 大，则我们希望沿方向h ( 垂直与边界) 的扩散越少。通过恰当选择 、如，可 实现这种扩散。 幽) = g ( m ) ( 3 - 1 9 ) 如=l(3-20) 1 1 o so ) 如卜1 l - e 卅静o ) 通过计算得到的c 。使得j 【o ，棚时，s g ( s ) 单调递增，当j 似，) ，s g ( s ) 单 调减小指数函数被选择确保d 的光滑性，由于v 甜。在q 【o ，0 0 ) 上有界， 一= i v u ，i ，因此d 的一致正定性也被满足。这样，先前的滤波也可被认为是 p c r o n a - m a l i k 模型的各向异性正则化。在边界增强扩散里，一般选取结构张量积的 积分尺度p = 0 。 其次，我们讲述相干增强扩散。 在这一部分我们研究如何利用结构张量积的信息设计相干增强各向异性扩 散，这种滤波能够加强流象纹理结构的相干性，它的积分尺度p 0 。 再次令朋、z 2 ( 一2 ) 为以的特征值，h 、v 2 是相应的正交特征向量， 扩散张量积d ( 以( v u ，) ) 应该拥有同结构张量积以( v ) 一样的特征向量。 如果我们想增强相干结构，就应该优先沿v ：方向的光滑，使得扩散强度五随 第三章基于偏微分方程的图像去噪丝 相干度( 肌一：) 2 的增加而增加。这种扩散意图可通过下述扩散张量积( c 0 ， m n ) 特征值的选取而获得成功。 如果脯= 胁 其它 ( 3 - 2 1 ) ( 3 2 2 ) 指数函数被选择确保d 的光滑性，d q e # 数a e ( 0 , 1 ) 确保