（运筹学与控制论专业论文）等式约束复系数fir滤波器chebyshev设计.pdf

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- ， 6 2 x 船h ( c o ，口+ ) | 口 在滤波器设计过程中对幅值频率响应函数加上一些等式约束，记为： h 。l 南j ，：叠i 、j = 、，m ， 其中的壶= 西，j = l ，m ) 为约束频率点集， 疗， 7 - - ，为对应的约束幅值， 定义2 2 ：带有等式约束实系数f i r 滤波器c h e b y s h e v 设计问题就是寻找一 组系数口( 七) ，t = 0 ，r 一1 ，使得在满足所有等式约束的前提下，对期望幅值频率 响应函数d ，。( ) 的加权误差函数。( c o a ) 的c h e b y s h e v 范数( 2 1 1 ) 最小，设计 问题描述为： 呀“嘴h ( 国，日) | ( 2 1 3 ) 5 ，乩。( 西，口) = 力，j = 1 ，m ，m r ， ( 2 ，1 4 ) 在 2 j 中，对带等式约束的实系数f i r 滤波器c h e b y s h e v 设计问题，给出并 证明了一个推广的交错点组定理： 定理2 2 ：对于等式约束实系数f i r 滤波器设计问题( 2 8 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ，假 设当鱼壶，满足d 卅。( 色) = 或实函数以。( c o ，口) 为对期望幅值频率响应函数 d o ，。( ) 的唯一最优逼近的充分毖要条件是：在q u 壶中( 至少) 存在r + 1 个频率 点， qc 0 为定义在q 上的实值加权函数 定义2 3 ：复系数f i r 滤波器c h e b y s h e v 设计问题就是在所有可能的系数中 寻找一组系数 ( 女) ) ：，使得加权误差函数( 搿，a ) 的c h e b y s h e v 范数( 2 1 7 ) 最 小，无约束复系数f i r 滤波器设计问题描述为： 叩豁l e ( c o ，h ) l - ( 2 1 8 ) 在 1 6 1 7 中将实系数f i r 滤波器设计中的交错点组定理推广到复系数f i r 滤波器设计当中推广的交错点组定理叙述如下： 定理2 3 ：对于复系数f i r 滤波器c h e b y s h e v 设计问题( 2 1 8 ) 。h ( 国，h ) 为对 期望频率响应d ( c o ) 的最优逼近的充分条件是：加权误差函数s ( 甜，h ) 在q 中( 至 少) 存在月+ 1 个极值频率点 ( - 0 1 。，使得在这些频率点上满足： ( 以。h ) = ( 一1 ) “l 占。i = 0 1 ， ， = m m a x js ( 甜一h ) ；， 其中占为复数 口 定义2 4 ：等式约束复系数f i r 滤波器设计问题就是在所有可能的系数中寻 找组系数 a ( k n - 未，使得h ( c a ，a ) 在满足所有等式约束的前提下在n 上逼近期 望频率响应d ( c o ) 的加权误差函数s ( ，h ) 的c h e b y s h e v 范数( 2 1 7 ) 最小问题描 述为： 嚼“嘴i s ( 国，h ) l ( 2 - 1 9 ) s f ( 西， ) = 疗，j = 1 ，m ，m 月， ( 2 2 0 ) 定义2 4 给出了等式约束复系数f i r 滤波器设计问题的一般性描述，这类滤 波器的设计问题j l 是本论文所研究的主要对象 0 山东大学硕士学位论文 第三节理论基础和逼近定理 对于等式约束复系数f i r 滤波器的c h e b y s h e v 设计问题，本节给出并证明一 个逼近定理，作为判断所得到的滤波器是否为最优滤波器的充分条件 3 1 理论基础 定义2 4 中给出了等式约束复系数f i r 滤波器设计问题的一般性描述，为简 化滤波器设计过程，我们对定义在q c 一疗，厅) 上的期望的滤波器频率响应d ( o j ) 和实际的滤波器频率响应日( 珊，h ) 傲相同的相位变换： 爿( ) = er e ( n - i ) 2 d ( ) 和 日。( c o ， ) = e j ”l n - 1 ) , 2 h ( 0 9 ，矗) ( 3 1 ) 可以验证：当滤波器长度 为奇数时， 。( c o ， ) = = ”2 吼c 。s 国+ 掣2 屈s i n k 0 9 ， ( 3 2 ) f 盘。= ( ( 肝一1 ) 2 ) ， 其中： 口i = ( ( n 1 ) 2 + 女) + h ( ( n - 1 ) 2 一i ) ，k = 1 ，2 ，- 一，( 一1 ) 2 ， 【以= 一j * h ( ( n - 1 ) 2 + k ) 一h ( ( n - 1 ) 2 - k ) ，k = 1 2 ，( n - 1 ) 2 ， 当滤波器长度肛为偶数时， h 。( ， ) = ： 吼c 。s ( 一去坳+ 屈s i n ( k 一去) ， ( 3 3 ) 其中： o 屏t k = ：一h ( ，n + 。2 。+ 。k ，- ：1 + ) 。+ 一h ( 。n ，一2 。- 。k ，) ：, 一。，：i ：；i ： 将( 3 2 ) 和( 3 3 ) 式写为统一的形式： h n c ( 0 0 ，c ) = 套( ) 惋( 脚) ， ( 3 4 ) 其中c ( 女) ，k = 0 ，l 1 一，h 一1 为复值的滤波器系数，h k ( c o ) ，k = 0 l ，1 ，n 一1 为线性无关 的基函数组当滤波器长度h 为奇数时，对应的基函数组 吩) ) = 为： 曩( 脚) ) 葛= 1 , c o s 0 9 , s i i i ( 0 , c o s 2 珊，s i n 2 ，c 。s 旦 国，s i n n ：- - 1 ) 滤波器系数c ( ) ：c ( o ) = ，c ( 2 k - 1 ) = ，c ( 2 k ) = 屈，k = 1 ，2 ，一1 ) 2 ， 当滤波器长度 为偶数时，对应的基函数组 曩洄) ) = 为： 川硼：= c o s 扣s i n c 。s s i n 吾0 9 , , c o s f f - 叫i n 丁n - 1 咄 滤波器系数c ( k ) ：c ( 2 k 一2 ) = ，c ( 2 k 一1 ) = 鼠，k = 1 ，2 一，h 2 山东犬学硕士学位论文 记k 为由上述的基函数组 ) 篇张成的n 维线性空间则复系数f i r 滤波 器设计问题( 2 1 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 等价于在空间k 中寻找函数一。( ，c ) 在满足所有 等式约束的前提下在点集q c - x ，石) 上逼近a ( c o ) ，重新定义误差函数e 。( ，c ) ： 邑。( c o ，c ) = 一( o ) 一日。( c o ，c ) ， ( 3 5 ) 和加权误差函数矗。( c o ，c ) ： ( c o ，c ) = w ( c o ) 瓦。( c o ，c ) ， ( 3 6 ) 及加权误差函数毛。( c a ，c ) 的c h e b y s h e v 范数： 慨( c o ，c ) l l = m a x i “，c ) l ， ( 3 7 ) 则对应的等式约束复系数f i r 滤波器c h e b y s h e v 设计问题可以描述为： m i n m a 。x m e 珊，c ) | ( 3 8 ) 5 ，风。( 西，c ) = 疗，= l 州2 - ，m ， ( 3 9 ) 其中盎= 击，= 1 ，m ，壶c 【一万万) 为约束频率点集， 膏，_ ，= l ，吖) 为约束 幅值的集合 则等式约束复系数f i r 滤波器设计问题( 3 4 ) ( 3 ，8 ) ( 3 。9 ) 可以描述为在空间 k 中寻找函数巩。( ，c ) 在满足所有等式约束的前提下在q c 卜玎，丌) 上逼近 a ( c a ) ，使得加权逼近误差( c o ，c ) 的c h e b y s h e v 范数( 3 7 ) 最小 记等式约束复系数f i r 滤波器设计问题( 3 8 ) ( 3 9 ) 的容许解集为： r = c i m , 。( 哆，c ) = 曰，= 1 ，m j 并假设容许解集r 非空 本节将给出和证明一个逼近函数一，。( ，c ) 为最优逼近的充分条件，首先引用 文献 2 中的一个关于三角多项式零点数目的定理，并描述为更一般的形式 引理3 1 ：对于每个形如下式的三角多项式7 1 ( x ) ，在宽度为2 t o 的带上， 丁( x ) = 叩肛= e - j m l x 黔e ”， 其中： j r 。：a r e x a + 2 t t ，( a 为实数) ， 三角多项式t ( x ) 零点的个数( 包括重数) ，恰好与代数多项式p ( 毒) 尸( 善) = ：。孝， 山东大学顿上学位论文 的不为零的零点的个数( 计算重数) 一样 口 ( 引理3 1 的详细证明可以参考 2 中第五章的定理i 的证明过程) 在这个引理的基础上，我们给出并证明了一个推论，以引理的形式描述如下： 引理3 2 ：下列形式的三角多项式函数： 五( m ) = 了g o + 2 。 a kc o s k w + 鼠s i n 女功】， ( 3 1 0 ) 和： 正( ) = 2 ， c 。s ( i 一与+ 屏s i n ( 女一丢) ， ( 3 1 1 ) 如果具有性质： + 成0 ， ( 3 1 2 ) 则在区间 一石，石) 上，考虑零点重数，三角多项式z 旧) 有2 m 个零点，正( ) 有 2 ，7 j 一1 个零点，若性质( 3 1 2 ) 不满足，则五( ) 的零点个数少于2 m ，疋( ) 的零点 个数少于2 m 一1 证明：应用欧拉公式，得到： 2 c o s k c o = e “+ e 舳 。 2 j s i n k o j = e “一e 。“， 2 c 。s ( k - + ) c o = e j j ：- i ) c o + e - y o ：- i ) 。，2 ，s i n ( 女一= 1 ，_ e i k - j 。- - e 一，f 一；j m ， 从而可以将( 3 】0 ) 改写为： 五( 脚) = 吒。p “哥一。”。， 其中c 。= 华，c 一。= 华，定义代数多项式弓( 毒) ： 异( 善) = 三c 一手， 由( 3 1 2 ) 得到：a 。2 + 成= 4 c 。c _ 。0 ，多项式系数的常数项c 。和最高次项都不 为零，考虑零点的重数，多项式鼻( 善) 有2 所个非零的零点由引理3 1 ，多项式 z ( ) 在区间卜丌，丌) 上也有2 州个零点当c 一。c 。= 0 时，若常数项c 一。为零，则零是 只( # ) 的零点；若最高次顼f 。为零t 则号( 告) 的次数低于2 坍所以只( # ) 的非零的 零点个数在不满足( 3 1 2 ) 时少于2 m ，即多项式z ( ) 的零点个数少于2 m 将( 3 1 1 ) 式改写为： 疋( ) = e 1 尹2 一，。q e 一。= e - ) 2 w e - ) n , - t ) o , 三1 c 。+ ，e 。， 其中e ，= 华，t 卅。= 华，定义代数多项式最( 善) ： 山东大学硕士学位论文 最( 孝) = i c 。手 由( 3 1 2 ) 得到：口：+ 厩= 4 c c，0 ，多项式系数常数项c ，和最高次项都不 为零，考虑零点的重数，三角多项式( 古) 有2 m 1 个非零的零点由引理3 1 ， 三角多项式正( ) 在区间【一万，石) 上有2 m 一1 个零点当c _ 。= 0 时，若常数项 c - 。为零，则零是b ( 手) 的零点；若晟高次项巳，为零，则b ( 善) 的次数低于2 m 一1 所以最( 善) 的非零的零点个数在不满足( 3 1 2 ) 时少于2 m - 1 ，即多项式正( 曲) 的零 点个数少于2 一1 口 当”为奇数时，由( 3 1 0 ) 取m 为( ”一1 ) 2 ，则对应得到( 3 2 ) 式：当n 为偶数时 由( 3 1 1 ) 取m 为 2 ，则对应得到( 3 3 ) 式由引理3 2 ，无论n 为奇数或偶数， 空间k 中任何一个函数在q 上至多有 一1 个零点下面给出逼近定理及其证明 3 2 逼近定理 定理3 1 ：对等式约束复系数f i r 滤波器设计问题( 3 4 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 假设当 玉，壶n q 时，满足爿( 白，) = h ，函数圩。( c o ，c ) 为对爿( 叫的最优逼近的充分条件 是：在q u 壶上存在( 至少) 含有”十1 个不同频率点的频率点组五= q ，6 0 n ) ， 满足壶c 五， q q ，在这些频率点上： f h 。( q ，c 。) = 膏， e ，。( q ，c ) = ( 一1 ) ”d ， = 螂) 1 1 ， c o i = 0 3 e 壶 以五一壶，( 3 1 3 ) 其中的j + 为复数，并称西为极值频率点组 证明：假设有c r 和极值频率点组五，使得h 。( c o c ) 满足条件( 3 1 3 ) 但 日。( ，c ) 不是最优逼近则由容许解集合r 非空，存在一个c o r ，在点集q u 6 的所有频率点上满足1 ( c o ，c o ) i | 占 定义实值的辅助函数： h r ( m ) = r e 乜。( 0 2 ，c 。) 一只，。( 国，c + ) p 1 ， ( 3 1 4 ) 其中的以表示占+ 的相角由c o 尺，c + r 以及( c o ，c ) 的定义( 3 6 ) 可以得到： 1 0 ，q ， 胁( ) 2 r e 三竺兰；掣e - ) 卟) ，q q n 壶， l 、 彤( ) “ 。 山东大学硕士学位论文 由在点集q u 壶所有频率点上满足1 ( c o ，c 0 ) 1 o ，i = 1 ，2 ，满足l i r a q = o o ，f 为序号，f ( c ) 定义为： 厂( c ) 。豁( m ) l 蛾c ( c o ，c ) 一a ( c o ) l ( 4 6 ) 在这里给出等式约束复系数f i r 滤波器设计问题( 3 8 ) ( 3 9 ) 和序列无约束 复系数f i r 滤波器逼近问题( 4 j ) ( 4 6 ) 之间的关系将 2 5 中的引理推广到复系 数滤波器设计问题中并叙述如下： 引理4 3 对于q “，i = 1 ，2 ，满足0 q q ”“，并且l i m q 7 = o o ，记c 为 对应序号i 的序列无约束f i r 滤波器设计问题( 4 5 ) ( 4 6 ) 的最优逼近解， c 7 = a r g m i n g 1 ( c ) ， 并且记c 为序列 c 1 ) 的收敛子序列 c “) ，在_ o o 时的极限： c = l i r ac 【， - + 则c 是等式约束复系数f i r 滤波器设计问题( 3 8 ) ( 3 9 ) 的最优逼近解 口 本节利用引理4 1 和引理4 3 来寻找满足推广的交错特性的极值频率点组， 以得到等式约束复系数f i r 滤波器设计问题的最优逼近解通过定义辅助函数： lr 旷( ) ：j 形( ) ，q 一? n q ， ( 4 7 ) l c o ，= 0 5 ( 2 ， 如) ：j 癸奶， 艇卧2 陋，( 4 8 ) 钗奶2 滢：西。盎 h 8 得到了定义在点集h u r l 上的无约束复系数f i r 滤波器c h e b y s h e v 逼近问题： 叩g ( c ) _ 。m a 。x 。w ( c o ) ，h r ( 础) 一爿( 脚) j ( 4 9 ) 假设逼近问题( 4 9 ) 通过点组交换过程收敛得到的极值频率点组西，满足定 理2 3 所描述的推广的交错特性，并包含所有约束频率点盎 a 记最优逼近误 差函数为j 艿+ j m ，由( 4 7 ) 在约束频率点上的加权函数值矿( 击，) = m ， j = 1 ，m ，得到所有约束频率点上的约束条件成立： 乩。( 匆，c ) 一h j = 0 ，= 1 ，m ， 则极值频率点组五为满足条件( 3 1 3 ) 的的极值频率点组由引理4 3 和定理3 1 ， 无约束复系数f i r 滤波器c h e b y s h e v 逼近问题( 4 9 ) 的最优逼近解也是等式约束 复系数f i r 滤波器设计问题( 3 8 ) ( 3 9 ) 的最优逼近解 而在求解无约束f i r 滤波器c h e b y s h e v 逼近问题( 4 9 ) 的过程中，由于辅助 函数矿) 中对应约束频率点的加权值取为无穷大，从而保证了每一次点组交换 都会将所有的约束频率点作为极值频率点选取到当前的极值频率点组中只要无 约束复系数f i r 滤波器设计问题( 4 9 ) 收敛到最优逼近解，则得到等式约束复系 数f i r 滤波器设计问题( 3 8 ) ( 3 9 ) 的最优逼近解 4 2 算法描述 由( 3 4 ) 和引理4 2 ，对等式约束复系数f i r 滤波器设计问题，在第女次迭代 过程中，极值频率点组磊= q 二，当n 为奇数时，通过求解方程组： 1 c o s s m c o s t n - 1 吼s 抽t n - 1 q 万- 丽1 c o s q 咖q c o s 孚qs 抽字q 磊丽 t 哪鸭s m ”c o s 等q 血掣皑焉 c 。( o ) c ( ( 1 ) c 。一1 ) 铲) 州吼) 趔) 斌) 硝鸭) ( 4 1 0 ) = ：= ： ；：竺至奎兰矍圭兰篁兰兰 得到复系数c 。和五上的最优逼近误差函数值j “当n 为偶数时，求解方程组： 8 j 锦5 1 n j 。0 8 互8 m 丁i 手i i 锄j q 8 1 n j q 咖5 q 8 m 丁q 瓦石 i；!；i 113h 一1 r 一1 、”“ c 0 8 j 峨锄j q c 0 8 互鸭8 m r q ；东西 ( o ) c i k ) ( 1 ) 一1 ) 分2 ) 彳( 如) 4 ( q ) a ( r o 一1 ) a ( c o ) ( 4 ，1 1 ) 得到复系数c ( 。和五上的最优逼近误差函数值占“。并把占代入式子 矿( q ) 【只。( q ，c ) 一j ( q ) = ( 一1 ) 占“，f = 0 ，1 ，”， 来得到在n + 1 个极值频率点上的函数值h , c ( ，c ) 由复系数c 得到在所有的 频率点c o q u 盎上的函数值以。( c o ，c ( 1 0 ) 用下面的公式计算在q u 壶中所有频 率点上的加权逼近误差值： 最。( 0 2 ，c ) = 矿 ) 【巩。( c o ，c ) 一j ( ) ， ： ? ? ，”卜小叻】，雌鼍也帕， ( 4 1 2 ) i 。( 嘭，c 耻) ，面，壶，= 1 ， 其中约束频率点上的函数值毛。( 西，c 似) 根据约束条件是否满足丽取为： 弛忙雠姜篡蕊暑a 糕黧精，。， 并进一步计算实值的辅助误差函数： r ，( c o ，c ) = r - e 。( t o ，c 2 弦叫+ 其中以。为j 件的相位对r ( ，c o ) 应用r e m e z 多重交换算法中的点组交换过程， 寻找n + 1 个新的频率点组成极值频率点组q ，( 4 1 3 ) 保证了所有约束频率点都能 在频率点组交换的过程中作为极值频率点选取到新的极值频率点组矗中 对于一般的等式约束复系数f i r 滤波器设计问题将g c r e m e z 算法描述如下： 算法一：一般的等式约束复系数f i r 滤波器的设计算法 步骤1 ：滤波器长度n ，离散后的逼近频率点集q c 一7 1 ，y ) ，约束频率点集壶， 约束幅值，j = 1 ，一，m ，期望函数a ( r o ) 和加权函数w ( r o ) 在q 上的值由 ( 4 7 ) ( 4 8 ) 计算辅助函数j ( 印) 和矿( 脚) 在离散频率点集q u 壶上的函数值 2 0 竺尘奎兰竺兰兰竺兰兰 步骤2 ：选取初始极值频率点组五= ，( - 0 - ，。) ，满足壶c 西设置迭代次数 初值k ：= 1 步骤3 ：通过求解方程组( 4 1 0 ) 或( 4 1 1 ) 来得到滤波器系数c 和在磊上的最优 加权逼近误差占“，应用c t k ) 得到q u 逊中所有频率点上的函数值h 。，c 1 ) 将在五中的”+ 1 个极值频率点上的逼近函数值h 。，c ) 以磊，依下式 取值： 矿( q ) 【，。( t o i ，c 。) 一j ( 国，) 】：( 一1 ) j t “，i ：o 1 ，一 ， 步骤4 ：并应用公式( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 计算q u 壶中所有频率点上的加权逼近误差值 g n 。( c o ，c 汁) ，进一步计算实值的辅助误差函数： r ，( c o ，c ) = r e 乞( n ) ，c ) p 一。) 步骤5 ：对r ( 吐，c ”) 应用r e m e z 多重交换算法中的点组交换过程，寻找 + 1 个新 的频率点组成极值频率点组壶，满足盎c a 如果矗= 西，转到步骤6 ；否 贝“七= 女+ 2 ，转至h 步l 聚3 ， 步骤6 ：判断得到的逼近解的最优性如q u 盎中所有频率点上的加权误差函数 值都满足i ；。( c o ，c ) i - i 占；，则得至f j 最优逼近，否则为一个良好的逼近解 步骤7 ：算法结束口 根据滤波器长度 的奇偶性，我们对风。( 珊， ) 进行分析得到( 3 2 ) ( 3 3 ) 进 步，当脉冲响应系数 ( 女) 也具有不同的对称性时也。( ， ) 可以分别描述为： 情况l ：h 为奇数，h ( k ) 满足偶对称，记，= ( n + 0 2 ， 峨。( 甜，f ) - - x 2 o c ( 七) c o s k e a ， 其中：c ( 0 ) = h ( r 一1 ) ，c ( k ) = 2 h ( r k ) ，k = 1 ，一，l ， 情况2 ：n 为偶数，h ( k ) 满足偶对称，记r = n 2 ， 比( 出，c ) = o ( 是) c o s ( k 一妄) 出， 其中：c ( k ) = 2 h ( r k ) ，= 1 ，r ， 情况3 ：n 为奇数，h ( k ) 满足奇对称，记r = 0 - 1 ) 2 ， 也。( c o ，c ) = ：c ( k ) s i n k w ， 兰至奎兰竺圭兰堡鎏三 其中： c ( 七) = 2 j ，h ( r k ) ，k = 1 ，一，r ， 情况4 ： 为偶数，矗( j ) 满足奇对称，记，= n 2 ， h 。( 国，c ) = ：= l c ( t ) s i n ( 一去) 出， 其中： c ( k ) = 2 j + h ( r k ) ，k = 1 ， 对脉冲响应系数满足对称性的复系数f i r 滤波器设计问题，仅在正频带上通 过逼近过程得到逼近函数以。( c o ，c ) ，然后由。，c ) 的奇偶对称性得到在整个频 带上的逼近函数值应用与第二节中所介绍的实系数f i r 滤波器设计中相似的方 法来求解加权逼近误差，以减小中间过程的计算量以第一种情况为例，设计滤 波器在第k 次迭代过程中，极值频率点组为孬= q ) 厶，由公式 ，：；鬯婺訾生，q 匾瑚，l ， ( 41 4 ) ：。( 一1 ) 矿( q ) 。口( q ) 一 一 ” b ( q ) = 兀( c o s 0 3 一c 0 5 q ) 】，啦，q 磊， 直接求得极值频率点组上的最优逼近误差j ”1 ，代入下式来计算r 十1 个极值频率 点上的逼近函数值h ，。( q ，c ) o ) j 壶， 妒( q ) 【螺。( 够，c 。，) 一l ( 移) 】- ( 一l “，；- o ，1 ， ( 4 1 5 ) 应用下面的拉格朗日插值公式插值得到所有频率点q u h 上的逼近函数值 如( 0 9 ，c ( k ) ) - c ( 甜) 善如( t t ) 面丽丙1 ，哆氤( 4 。1 6 其中： c ( 国) = 兀( c o s t 0 一c o s 0 ) ) ，e ( q ) = 兀( c o s 0 ) 一c o s 国j ) 对于对称脉冲响应系数得等式约束f i r 滤波器设计问题，将g c r e m e z 算法描 述如下 算法二：脉冲响应系数满足对称性的等式约束f i r 滤波器设计算法 步骤1 ：滤波器长度”，离散频率点集q c 0 ，石) ，约束频率点集盎，约束幅值 膏，；1 ，m ，期望函数爿( ) 和加权函数( 甜) 在q 上的值由( 4 7 ) ( 4 8 ) 计算辅助函数五沏) 和驴 ) 在离散频率点集q u 盎上的函数值 步骤2 ：选取初始极值频率点组五= 钆，q ，q ，满足壶c 五设置迭代次数的 l “东大学颤士学位论文 初值k ：= 1 并根据滤波器长度h 的奇偶性，计算r 的值 步骤3 ：由公式( 4 1 4 ) 求解在a 上的最优加权逼近误差万“，并代入( 4 1 5 ) 式得 到在r + 1 个极值频率点上的逼近函数值峨。( q ，c 。) ，甜，五，进而用( 4 1 6 ) 式插值得到在q u 壶中所有频率点上的逼近函数值一。( ，c ) 步骤4 ：应用公式( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 计算q u 龟中所有频率点上的加权逼近误差值 邑。( c o ，c 忙) ，进一步计算实值的辅助误差函数： r ，( c o ，c 。) = r e 六。( c o ，c 。1 ) p 1 ) 步骤5 ：对r , ( c o ，c ) 应用r e m e z 多重交换算法中的点组交换过程，寻找r + 1 个新 的频率点组成极值频率点组q ，满足盎c 矗如果q = 西，则转到步骤6 ； 否m o k = k + 1 ，转至4 步9 聚3 步骤6 ：判断所得到的逼近解的最优性如所有频率点上的加权误差函数值都满 2 = 1 矗。( c o ，c 1 ) 占l ，则得到最优逼近，否则为个良好的逼近解 步骤7 ：算法结束 口 山东大学硕士学( 立论文 第五节实例与数值分析 在声音和图象等信号处理应用领域中，希望信号经过滤波处理之后，不会出 现太大的失真这时具有严格线性相位的f i r 滤波器成为首选，因为其线性相位 所产生的群延迟仅和滤波器长度n 有关系，大小为( h t ) 2 ，但严格线性相位会 产生较大的群延迟应用复系数f i r 滤波器c h e b y s h e v 设计方法可以设计比严格 线性相位f i r 滤波器群延迟要小的滤波器，其相位接近严格线性相位我们也可 以固定滤波器群延迟的大小，这样在增加滤波器阶数并未增大群延迟，而是仅仅 增加了逼近的精度也可以设计具有严格线性相位但在正频带和负频带上的幅频 特性不满足对称性的复系数f i r 滤波器，容易证明这些滤波器的脉冲响应系数具 有共轭对称性，且在实例中得到了验证 可以对复系数f i r 滤波器添加各种类型的等式约束，如：约束通带的截止频 率点上的频率响应函数的幅值，来限制在通带边界点上信号的衰减；将频率点0 上的频率响应函数幅值约束为l ，以限制直流分量的改变：设计点阻滤波器以约 束某些频率点上的频率响应函数幅值严格为0 作者用m a t l a b 6 1 编制了g c r e m e z 算法的实现程序g c r e m e z0 本节中所有 实例和结果都是应用m a t l a b 程序g c r e m e z0 ，在c p u 为2 o g h z 的奔腾四机器上 运行得到的 5 - 1 对称脉冲响应系数等式约束f i r 滤波器设计实例 1 设计一个低通滤波器：滤波器的阶数取为5 4 ，设计要求： d ( 功) ：p ”。，o “n 2 5 以( 脚) ：l ， o 一仝 ，、；一_ 0 、- f r e c 删( e x ) 图五：滤波器的幅值频率响应，图六：在通带 0 ，0 2 57 l 上的群延迟 2 设计点阻滤波器：滤波器的阶数为6 6 ，设计要求： 口 。c ，= 吾p 。脚m ：e 。o ：, o 丌，1 6 玎1 u n 2 4 厅，刀1 0 ，0 1 0 r u o ，2 4 z r 刀 = o 2 a 约束频率点0 22 l ，约束幅值为0 1 【 自e 印e r 叫( ， ) ln ， r ji uvv阳：咖 、一二aaan 峨 v v。u 。l - 。 怕嗥啊( ，n ) 图七：滤波器的幅值频率响应，图八：在通带上的群延迟， 期望的群延迟大小为3 0 经过5 次点组交换，收敛到最优解幅值频率响应 最大误差为0 0 3 7 2 ，在约束频率点0 2 石上，约束幅值为0 同样设计要求线性 相位实系数f i r 滤波器的最大幅值误差为0 0 3 8 1 图八为滤波器通带上的群延迟 大小，在靠近通带边界的频率点上群延迟较大，在其余频率点上较小 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 5 - - 2 一般等式约束复系数f i r 滤波器设计实例 首先设计一个满足严格线性相位，但在正频带和负频带上的幅值频率响应不 满足对称性的等式约束复系数f i r 滤波器 3 设计一个满足线性相位的低通滤波器：滤波器阶数为3 2 ， d ( ) ：”，艇 - 0 2 5 ；r , 0 3 叻】， 、。 c 0 ，国 一厅，一o 3 5 7 r j u 0 4 0 z ，玎) ， w 洄) 。j 1 ， 国5 - 0 2 5 玎，o3 0 z ， 。 1 1 ，彩【一石，0 3 5 ，r l u o 4 0 ；r 刀) ， 约束频率点集 - - 0 3 07 ，0 3 5 7 - ，约束幅值( 0 5 ，0 5 ) 一 勺 曼 一 皇 _ 表一：线性相位滤波器的脉冲响应系数 七 以女) k 矗( 七) 1- 0 0 0 2 5 + 0 0 5 7 6 i3 30 0 0 2 5 - 0 0 5 7 6i 20 0 0 3 4 0 0 0 8 l i3 20 0 0 3 4 + 0 0 0 8 “ 30 0 0 6 l 一00 1 1 9 i3 10 0 0 6 1 + o ，0 1 1 9 i 40 0 0 5 l 一0 0 0 8 4 i3 00 0 0 5 i + 00 0 8 4 i 50 0 0 2 5 + 0 0 0 3 4 i 2 90 0 0 2 5 - 0 0 0 3 4 1 60 0 11 6 + 0 0 1 3 6 i2 80 0 1 1 6 - 00 1 3 6 i 7一o 0 1 1 0 + 0o l l o i2 700 1 1 0 o 0 i l o i 80 0 0 4 8 0 0 0 4 1 i2 60 0 0 4 8 + 0 0 0 4 l i 90 0 2 4 6 0 0 1 7 8 i 2 50 0 2 4 6 + 0 0 1 7 8 l 习1 笺一一_ 一_一一一一一一一 _一-|_ 一_ 一 n。节4辫弘“斟。 山东大学硕士学位论文 1 000 2 4 9 0 0 1 5 2 i 2 40 0 2 4 9 + 0 0 1 5 2l l l 一00 0 6 6 + 0 0 0 3 4 i2 30 0 0 6 6 0 0 0 3 4 i 1 200 4 9 9 + 0 0 2 0 7 i 2 2- 0 0 4 9 9 0 0 2 0 7 i 1 3 0 0 5 8 0 + 0 0 1 8 8 i2 l- 0 0 5 8 0 0 0 1 8 8 i 1 40 0 0 7 9 0 0 0 1 9 i 2 00 0 0 7 9 + 0 0 0 1 9 i 1 50 1 3 8 2 00 2 1 9 i1 9 0 1 3 8 2 + 0 0 2 1 9 i 1 60 2 6 9 0 - 0 0 2 1 2 i1 80 2 6 9 0 + 0 0 21 2 i l 70 3 2 4 9 表一验证了具有严格线性相位的等式约束复系数f i r 滤波器脉冲响应系数 满足共轭对称性质 下面给出更为一般的等式约束复系数f i r 滤波器设计情况，滤波器不仅不具 有严格的线性相位，其脉冲响应系数也不满足对称性 4 设计一个阶数为4 4 的低通滤波器，设计要求： 脚心0 ”兰i ：7 r 鬈4 0 2 2 流u o3 4 z ，硪 、 ，彩卜，一o 】 ，万) ， ( ) = ：! ) ：。 - 一0 厅，2 8 。z 4 , 0 。厅2 2 】u z , 。3 4 厅，万) ， 群延迟的期望值f 取为2 0 ，约束频率点集 一0 3 0 石，0 2 6 z ，约束幅值 0 5 ，0 5 j 经过8 次点组交换，收敛到最优解约束频率点一o 3 0 z ，0 2 6 石上的幅值频 率响应函数值均为0 5 ，约束条件满足 1 f u _ i 1 。 。 风 f k 夕 f m q u e r c y ( n )均f 呵( ，) 图十一：滤波器的幅值频率响应，图十二：通带 - o 2 8 z ，0 2 2 z 】上的群延迟， 图十一为滤波器幅值频率响应，最大的幅值误差为0 2 2 1 3 6 5 而具有同样等式约 山东大学硕二学位论文 束的严格线性相位复系数f i r 滤波器”1 的最大幅值误差为0 2 2 5 2 3 1 在图十二为 通带上的群延迟，相对于期望群延迟2 0 的最大误差为0 5 3 1 4 图十三描述了加 权误差函数的幅值，在4 6 个极值频率点上达到加权误差函数幅值的极大值图十 四为极值频率点上的加权误差函数的相位在任两个相邻的极值频率点上的相位 差为3 1 4 1 5 9 2 满足推广的交错特性 f | l 珥j s q ( ， ) 舰4 日q ( 廿，) 图十三：加权逼近误差函数的幅值，图十四：极值频率点上加权误差函数的相位 、 n j u j - 、j 1 ? o p 1八， 图十五：对应滤波器群延迟f 的不同取值加权误差函数幅值最大值， 对应滤波器群延迟的期望大小f 的不同取值，在图十五中给出了最优逼近误 差大小变化的曲线具有严格线性相位的复系数f i r 滤波器并不一定具有最小的 逼近误差当群延迟取为2 0 3 或2 3 7 时，逼近误差为0 2 2 1 1 5 8 。在所有的群延 【2 1 严格线性相位等式约束复系数f i r 滤波器同样应用g c r e m c z 算法得到 2 9 ” ” 拍 ：导 ：已 拍 “ = = 翘 0 o o o o o o o o o 一口ui一j星口glj西ia；joj面三eaj 山东大学硕士学位论文 迟取值中逼近误差最小 j 设计一个点阻滤波器，滤波器阶数为4 2 ，设计要求 d ( c o ) = e 一7 2 ”，c o 【- 硝，0 2 2 厅 u o 3 4 t r ，7 ) ( ) = 1 ， - - t e ，0 ，2 2 j r u 0 3 4 x ，万) ， 约束频率点集 0 ，0 ，2 7 万 ，约束幅值 l ，0 口 c o m 口i e 4 1 8n 64 1 4n 20q iq 4q bq 8 胁蹦眠wn i州喇时 佃4 e r 纠( ，) f f 田f 叫( ，) 图十六；滤波器的幅值频率响应图十七：通带上的群延迟 经过8 次点组交换，收敛到最优解在约束频率点0 和o 2 7 万上，幅值频率 响应函数值为0 和1 ，约束条件成立，图十六为滤波器的幅值频率响应睦线，最大 的逼近误差值为0 0 4 0 6 图十七为在通带上的群延迟大小，相对于群延迟的期望 值2 0 ，在靠近约束频率点0 2 7 丌的频率点上的误差较大，在其余频率点上误差 较小下表给出了群延迟的期望值为2 0 的滤波器特性与滤波器阶数的关系： 表二：群延迟期望值为2 0 的不同阶数滤波器 阶数最大幅值误差点组交换次数约束是否满足 4 20 0 4 0 68 满足 5 40 0 1 3 29 满足 6 70 0 0 3 98 满足 8 29 7 5 8 8 e - 0 49 满足 1 0 4i 2 5 5 6 e - 0