（应用数学专业论文）脉冲种群系统与传染病系统的渐近性态.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 脉冲微分方程的理论和方法在近三十年的研究中得到不断地完善，已经形成一个比 较完整的体系，被广泛应用于种群动力学、传染病动力学、药物动力学、生物控制论、 生物统计、数量遗传、化学反应等方面本文主要考虑了在环境周期变化下和脉冲作用 下的捕食者一食饵系统、c h e m o s t a t 系统和传染病动力系统的动力学性质以脉冲动力系 统的理论为基础，同时结合离散动力系统、连续动力系统、算子理论、优化理论和数值 模拟等相关理论和方法，在已有研究成果的基础上，研究这些模型正平衡解的局部和全 局分支与渐近稳定性、周期解的存在性和稳定性、系统的持续生存、吸引子、混沌现 象及最优脉冲控制等问题全文共分为五章 第一章简单介绍了种群动力学和传染病动力学的有关研究现状及本文的丰要工作， 并给出了微分方程和脉冲微分方程的一些定义和预备知识 第二章以农业生产中的害虫治理为应用背景，研究了两个三维捕食者一食饵系统的动 力学性质在第一节，构建了一个具有i v l e v 功能反应和脉冲效应的两个食饵一个捕食者 系统，利用脉冲比较定理，得到了系统两个食饵灭绝、一个食饵灭绝和系统持久的条件， 并数值解释了所得到的理论结果通过分支图，发现脉冲作用带给系统倍周期分支、半 周期分支和混沌等复杂的动力学行为在第二节，考虑到当一个新的物种入侵到一个新 的环境时，新环境中的食物对其而言是丰富的，这时，应用半比例依赖的捕食者一食饵系 统来描述其动力学行为是非常合适的为了控制这种新的物种，可以考虑引进该物种的 天敌，为此得到一个半比例依赖混合食物链系统，即系统的食饵一中级捕食者子系统是半 比率依赖模型，中级一顶端捕食者子系统是具有h o l l i n gi i 功能性反应的捕食者一食饵系统 对于这个半比例依赖混合食物链系统，得到了顶端捕食者入侵系统的条件、系统的持久 性条件和正平衡态稳定性条件以及在其失去稳定性时，h o p f 乡) 支发生的条件通过数值 模拟，发现该连续系统存在混沌吸引子 第三章研究了连续周期输入的m o n o d h m d e n e 型、周期冲稀的l o t k a - v o l t e r r a 型和 多次周期脉冲输入的m o n o d 型c h a m o s t a t 食物链系统讨论了营养基食饵子系统的周期 解的全局稳定性；得到了食饵和捕食者成功培养的临界值条件；应用标准的分支理论，证 明了在分支参数超过临界值不入时，系统有稳定的正周期解；选择不同的分支参数，数值 模拟了在脉冲或时变作用下c h a m o s t a t 食物链系统的分支和复杂性 第四章分别讨论了两类具有饱和传染率的s i r s 传染病模型在第一节，研究了具有 饱和传染率的脉冲免疫接种s i r s 传染病模型，得到了无病周期解全局渐近稳定的充分条 件和系统一致持续生存的允分条件，并应用分支理论得到了正周期解存在的分支参数 在第二节，考虑到病人一旦染病不可能立即痊愈，从染病到痊愈往往要经历一段时间，因 脉冲种群系统与传染病系统的渐近性态 此，在第一节的脉冲免疫接种s i r s 模型中，我们添加了时滞项，得到了具有饱和传染率的 脉冲时滞s i r s 模型应用脉冲比较定理，研究了无病周期解的全局吸引性和系统的持久 性，从而得到疾病根除或成为地方病的条件 第五章构建了一个脉冲治理害虫的病毒病模型，即通过脉冲投放病虫致使易感害虫 种群感染病毒，成为患病的害虫，从而达到消灭害虫的目的利用f l o q u e t 定理和小参数 扰动技巧，得到了易感害虫灭绝周期解稳定的临界值条件选择害虫出生率作为分支参 数，应用标准分支理论，证明了在分支参数超过临界值不很大时，系统有稳定的正周期 解此外，数值模拟了该脉冲系统的分支和复杂性结果表明，脉冲作用带给系统许多复 杂的现象，如拟周期震荡，倍周期分支，混沌等 关键词：生物数学；脉冲微分方程；周期解；全局渐近稳定；持续生存 i i 大连理工大学博士学位论文 a s y m p t o t i cb e h a v i o r so i lp o p u l a t i o na n de p i d e m i cs y s t e m s w i t hi m p u l s i v ee f f e c t s a b s t r a c t t h et h e o r i e sa n dm e t h o d so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eg o tg r e a td e v e l o p - m e n ta n db e c o m eaw h o l es y s t e mi nr e c e n tt h i r t yy e a r s i ti sw i d e l ya p p l i e di nv a r i o u s d o m a i n ss u c ha sp o p u l a t i o nd y n a m i c s ，e p i d e m i o l o g y , m e d i c i n ed y n a m i c s ，b i o - c y b e r n e t i c s ， b i o s t a t i s t i c s ，g e n e t i c sa n dc h e m i c a lr e s p o n s e o u rm a i np u r p o s e si nt h ep a p e ra r et oi n - v e s t i g a t et h ed y n a m i cp r o p e r t i e so fp r e d a t o r - p r e y , c h e m o s t a ta n de p i d e m i cs y s t e m sw i t h i m p u l s i v eo rp e r i o d i cv a r y i n ge f f e c t s i nt h e s em o d e l s ，b yu s i n gt h et h e o r i e sa n dm e t h o d s o fi m p u l s i v e ，d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m s ，a r i t h m e t i co p e r a t o r s ，o p t i m i z a - t i o na n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，w es t u d yl o c a la n dg l o b a lb i f u r c a t i o n sa n da s y m p t o t i c a l s t a b i l i t yo ft h e i rp o s i t i v ee q u i l i b r i a ，e x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n s ，p e r m a - h e n c e ，a t t r a c t o r ，c h a o t i cp h e n o m e n o na n do p t i m a lc o n t r 0 1 t h ew h o l et h e s i si sd i v i d e d i n t of i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c ec o n c i s e l yt h ep r e s e n td e v e l o p m e n to fr e l e v a n ts u b j e c t s a b o u tp o p u l a t i o na n de p i d e m i cd y n a m i c sa sw e l la 8t h em a i nw o r kd o n ei nt h i st h e s i s m o r e o v e r ，w eg i v es o m ed e f i n i t i o n sa n d f u n d a m e n t a lt h e o r i e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，b a s e do nt h eb a c k g r o u n do fp e s tc o n t r o li na g r i c u l t u r e ，w ep u tf o r w a r d a n di n v e s t i g a t et w ot h r e e - d i m e n s i o np r e d a t o r - p r e ys y s t e m s i ns e c t i o n2 1 w ec o n s t r u c ta t w o - p r e yo n e - p r e d a t o rs y s t e mw i t hi v l e v sf u n c t i o n a lr e s p o n s ea n di m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n o np r e d a t o ra tf i x e dm o m e n t s c o n d i t i o n sf o rt h ee x t i n c t i o na n dp e r m a n e n c eo ft h e s y s t e ma r ee s t a b l i s h e dv i at h ec o m p a r i s o nt h e o r e m n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ec a r r i e d o u tt oe x p l a i nt h ec o n c l u s i o n sw eh a v eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，t h er e s u l t i n gb i f u r c a t i o n d i a g r a m sc l e a re x h i b i tt h a tt h ei m p u l s i v es y s t e mt a k e so nm a n yf o r m so fc o m p l e x i t i e s i n c l u d i n gp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n ，p e r i o d h a l v i n gb i f u r c a t i o na n dc h a o s i ns e c t i o n 2 2 ，s i n c ean e ws p e c i e si sp r o v i d e dw i t hq u i t ea b u n d a n tf o o do n c ei ti n v a d e san e w e n v i r o n m e n t ，w en e e dd e s c r i b ei t sd y n a m i cb e h a v i o rw i t har a t i o - d e p e n d e n tp r e d a t o r - p r e y s y s t e m i no r d e rt oc o n t r o lt h ei n c r e a s eo ft h en e ws p e c i e s ，w ei n t r o d u c ei t sn a t u r a le n e m y i n t ot h en e we n v i r o n m e n t ，t h e r e b yo b t a i nah y b r i dr a t i o - d e p e n d e n tt h r e es p e c i e sf o o dc h a i n i i i 脉冲种群系统与传染病系统的渐近性态 m o d e l ，w h i c hi sc o n s t i t u t e db yah y b r i dt y p es u b s y s t e mo fp r e ya n dm i d d l e p r e d a t o ra n d am i d d l e - t o pp r e d a t o r s s u b s y s t e mw i t hh o l l i n gi if u n c t i o n a lr e s p o n s e f o rt h em o d e l ， w eo b t a i nc o n d i t i o nf o rt o p - p r e d a t o ri n v a d i n g ，t h ep e r m a n e n c eo fs y s t e m ，t h es t a b i l i t y o fp o s i t i v ee q u i l i b r i u ma n dh o p fb i f u r c a t i o no c c u r r i n ga 8t h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ml o s e s i t ss t a b i l i t y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h ec o n t i n u i n gs y s t e me x i s t st h ec h a o t i c a t t r a c t o r i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d yt h r e ef o o dc h a i nc h e m o s t a tm o d e l s ，w h i c ha r e m o n o d h a l d e n et y p ew i t hp e r i o d i cv a r y i n gi n p u t ，l o t k a - v o l t e r r at y p ew i t hp e r i o d i cv a r y - i n gd i l u t i o nr a t ea n dm o n o dt y p ew i t hkt i m e sp u l s e dv a r y i n gi n p u t w ei n v e s t i g a t et h e b e h a v i o ro ft h es u b s t r a t eb a c t e r i u ms u b s y s t e ma n do b t a i nt h ec r i t i c a lv a l u ec o n d i t i o nf o r t h ep r e ya n dp r e d a t o rc u l t u r e ds u c c e s s f u l l y u s i n gt h es t a n d a r dt e c h n i q u e so fb i f u r c a t i o n t h e o r y , w ep r o v et h es y s t e me x i s t sas t a b l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n8 , 8t h eb i f u r c a t i o n p a r a m e t e rv a l u ei sm o r et h a nt h ec r i t i c a lv a l u eb u tn o tv e r yl a r g e f u r t h e r m o r e ，c h o o s i n gt h ed i f f e r e n tb i f u r c a t i o np a r a m e t e r s ，w en u m e r i c a l l ya n a l y z et h eb i f u r c a t i o na n dt h e c o m p l e x i t yo ft h ep e r i o d i c a l l yv a r i a b l ea n di m p u l s i v ef o o dc h a i nc h e m o s t a ts y s t e m s i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st w os i r se p i d e m i cm o d e l sw i t hs a t u r a t e dc o n t a c tr a t e ，r e - s p e c t i v e l y i ns e c t i o n4 1 w es t u d yt h es i r se p i d e m i cm o d e lw i t hp u l s ev a c c i n a t i o n s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg l o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t yo ft h ei n f e c t i o n - f r e ep e r i o d i cs o - 1 u t i o na n du n i f o r mp e r s i s t e n c eo ft h i sm o d e la r eo b t a i n e d u s i n gb i f u r c a t i o nt h e o r yt h e b i f u r c a t i o np a r a m e t e rf o re x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o ni sg i v e n i ns e c t i o n 4 2 c o n s i d e r i n gt h a tp e o p l en e e dg ot h r o u g hac e r t a i np e r i o db e f o r et h e yg e tw e l li ft h e y f a l ls i c k w ea d dad e l a yi t e mi nt h es i r se p i d e m i cm o d e lw i t hp u l s ev a c c i n a t i o na n d o b t a i nad e l a y e ds i r se p i d e m i cm o d e lw i t hd u l s ev a c c i n a t i o na n ds a t u r a t e dc o n t a c tr a t e b yu s i n gt h ec o m p a r i s o nt h e o r e m ，w ei n v e s t i g a t et h eg l o b a la t t r a c t i v i t yo ft h ei n f e c t i o n - f r e ep e r i o d i cs o l u t i o na n dt h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e m ，a n do b t a i nt h ec o n d i t i o nf o rt h e d i s e a s ee r a d i c a t e da n db e c o m i n ge n d e m i c i nc h a p t e r5 ，w ei n t r o d u c eav i r a ld i s e a s ep e s t c o n t r o lm o d e lw i t hi m p u l s i v ee f f e c t ， w h i c hi sb a s e do nc o n s t a n ti m p u l s i v er e l e a s i n gt h ei n f e c t e dt oc a u s eav i r a ld i s e a s ei nt h e s u s c e p t i b l ep e s t b yu s i n gf l o q u e tt h e o r e ma n ds m a l la m p l i t u d ep e r t u r b a t i o nm e t h o d ， w eo b t a i nt h ec r i t i c a lv a l u ef o rt h es t a b i l i t yo ft h es u s p e c t e dp e s te r a d i c a t i o np e r i o d i c s o l u t i o n c h o o s i n gt h ep e s tb i r t hr a t ea sb i f u r c a t i o np a r a m e t e ra n du s i n gt h es t a n d a r d t e c h n i q u e so fb i f u r c a t i o nt h e o r y , w ep r o v et h a ta b o v et h i st h r e s h o l db u tn o tv e r yl a r g e ， t h e r ee x i s t sas t a b l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n f u r t h e r m o r e ，w en u m e r i c a l l ya n a l y z et h e b i f u r c a t i o na n dt h ec o m p l e x i t yo ft h ei m p u l s i v es y s t e m n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t i v 大连理工大学博士学位论文 t h ei m p u l s i v ee f f e c tb r i n g st h es y s t e mm a n yc o m p l e xp h e n o m e n a ，w h i c ha r eq u a s i p e r i o d o s c i l l a t i o n s ，p e r i o d d o u b l i n ga n dc h a o s k e yw o r d s ：b i o m a t h e m a t i c s ；i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；p e r i o d i cs o l u - t i o n ；g l o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t y ；p e r m a n e n c e v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：蛐日期：丝通：王研 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阕本人授权大连理工 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名：盈! 鱼盏 导师签名：j 重互蠡 碰年上月土日 i 0 1 大连理工大学博士学位论文 1 引言及预备知识 种群动力学是生物数学中研究种群宏观现象的科学，研究种群与环境之间的关系， 研究种群之间的关系，这种关系我们常常可以用动力学的观点来分析，从而利用动力学 建模方法来建立种群之间的关系的数学模型，以及种群与环境之间关系的数学模型，利 用这种模型来研究一些生态现象，从而达到对某些生态问题的控制这种建模方法同样 可以应用在传染病的研究中，即病人的数量随时间的变化可以近似的看成是一个连续变 化过程，利用微分方程和积分方程建立数学模型，利用微分方程的理论和方法来研究这 些方程解的性质，进而对传染病将来的发展趋势作一个估计，为人们去预防以及治疗提 供一定的信息和措施然而，生命现象远比物理、力学等现象要复杂得多，人们建立的数 学模型也在不断进化演变，从单种群到多种群，从定常系统到时变系统，从连续系统到脉 冲系统，呈现着由简单到复杂的变化过程，随着数学工具的不断改善和更新，这些描述生 命现象的模型也随之变化以期能更真实确切地反映生命现象的本质及其发展过程脉冲 微分方程正是在这种背景下得以发展和成熟起来的，并被广泛应用于生物技术、物理、 经济、生物控制、种群动力学、流行病学、药物动力学、分子学、遗传学、神经网络 等领域具有代表性的研究成果有：疾病的免疫接种【1 _ q ，种群生态学【7 - 9 】，癌细胞的化学 治疗【1 0 _ l2 i ，生育脉冲【1 3 ，脉冲控n t 6 j ，脉冲收获i x 4 ，资源的脉冲输入f 1 5 】，等等 尽管许多学者为脉冲微分方程在各领域的应用做了许多工作，但脉冲微分方程在种 群动力学和传染病动力学的应用研究中，尚存在某些研究的空白例如，在种群动力学 中，对半比例依赖混合食物链系统的定性研究还很少，已有成果也只讨论了维子系统 正平衡点的稳定性和三维系统的有界性，对于三维系统的持久性、正平衡态的稳定性 以及h o p f 分 支分析都没有发现；对于时变环境下的c h e m o s t a t 食物链系统，多数是利用 数值方法进行了分支分析，其理论结果不多在传染病动力学中，脉冲传染病模型的研 究还刚刚起步，所见的研究工作很不完整如脉冲免疫接种的s i r s 模型，通常只考虑了 双线性的传染率，而当易感者很大时，这显然是不合理的本文将针对以上研究的空白， 逐一展开研究主要内容有：( 一) 以农业生产中害虫的治理为应用背景，研究了三种群 的捕食者一食饵系统的动力学行为，包括j 吉j 期解的存在性和稳定性，系统的持久性和复杂 性，正平衡态的稳定性以及其失去稳定时所产生的h o p f 分支；( 二) 研究了周期时变与脉 冲的c h e m o s t a t 食物链系统，得到了营养基食饵子系统周期解的稳定性条件，食饵和捕 食者成功培养的临界值条件，证明了系统正周期解的存在性和稳定性，并分析了系统复 杂的动力学行为；( 三) 在传染病动力系统中，研究了一类具有饱和传染率和脉冲免疫接 种的s i r s 模型，得到了无病周期解的稳定性和系统的持续生存；( 四) 将传染病结构引入 到害虫管理模型中，得到了一个脉冲害虫治理的病毒病模型，并研究了该模型易感害虫 火绝周期解的稳定性，系统的分支和系统复杂的动力学行为，包括拟周期震荡，倍周期分 支，混沌等 1 脉冲种群系统与传染病系统的渐近性态 下面给出本文所用到的基础知识 1 1 脉冲微分系统 考虑下列微分方程系统描述的一个变化过程： ( 1 ) 一系列微分方程 z 心) = f ( t ，z ( t ) ) ，( 1 1 1 ) 其中厂：r + qh 钟，qci p 是开集 ( 2 ) 集合m ( t ) ，n ( t ) cq ，t r + 以及 ( 3 ) 算子a ( t ) ：m ( t ) h ( t ) ，t r + 令x ( t ) = x ( t ，t o ，x o ) 表示系统( 1 1 1 ) 过初值( t o ，铷) 的解则演变过程如下：点只= ( t ，z ( ) ) 从它的起点p t 。= ( t o ，x o ) 沿着曲线 ( t ，z ( t ) ) it 托) 运动到时亥1 t l ( t i t o ) ， 点p t 碰到集合m ( t ) 此时，算子a ( t ) 将点只。= ( t ，z ( t 1 ) ) 作用到轨，= ( t l ，z ：_ ) n ( t 1 ) ， 其中z j - = a ( t 1 ) x ( t x ) 接下来，点只沿着系统( 1 1 1 ) 过初值p t 。= ( t l ，x t ) 的解曲线继 续运动，直到下一时亥l l t 2 t l 又遇到了集合m ( ) 于是点p t 。= ( t 2 ，z ( t 2 ) ) 又被作用 到点只= ( t 2 ，z 手) n ( t 2 ) ，其中z = a ( t 2 ) x ( t 2 ) 点只又同样沿着系统( 1 1 1 ) 过初 值( t 2 ，z 事) 的解x ( t ) = x ( t ，t 2 ，z 砉) 继续运动只要系统( 1 1 1 ) 的解存在，这一演变过程就能 继续下去 利用( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 所描述的一个演变过程被称为脉冲微分方程系统，点轨的运动所描 述的曲线和由此所定义的曲线函数分别称为这个脉冲微分方程系统的积分曲线和解 脉冲微分方程系统与连续微分方程系统有很大的不同，它的解可以是： ( 1 ) 连续可微函数，如果积分曲线与m ( t ) 不交或算子a ( t ) 的不动点； ( 2 ) 有有限个第一类间断点的分段连续可微函数，如果积分曲线与m ( t ) 交有限 个a ( t 1 的非不动点： ( 3 ) 有可数个第一类间断点的分段连续可微函数，如果积分曲线与m ( t ) 交可数 个a ( t ) 的非不动点 点只碰到集合m ( t ) 的时刻称为脉冲时刻，并且规定脉冲微分方程系统的解在脉冲时 刻是左连续的，即z ( ) = 。l i r a 。x ( t k h ) = z ( t 七) 自由选取描写脉冲微分方程系统的三大关系( 1 ) ( 3 ) ，可得到较为常用的三种脉冲微 分方程系统 i 固定脉冲时刻的系统 集合m ( t ) 表示一系列平面t = t 七，且t k 是满足t k _ 0 0 ，k _ 的时间序列算 子a ( t ) 上i 有在t = t k 有定义，算子序列a ( 七) 满足： a ( k ) ：q q ，x _ a ( k ) x = x + 厶( z ) ， 2- 大连理工大学博士学位论文 其中死：q _ q 相应地，集合( t ) 在时刻t = 如有定义，因此( 忌) = a ( 尼) m ( 七) 在这种 情况下，固定时刻发生脉冲的脉冲微分方程系统的数学模型表示为： ( 。_ ，譬，严2 2 ，t # t 。k ，庇， ( 1 1 2 ) la z ( t ) = 厶( z ( ) ) ，t = 如， 、7 其中a z ( t ) = ：x ( t d 。z ( t ) ，z ( t 毒) = 2 l i m 。z ( t k + ) i i 变化脉冲时刻的系统 曲面序列乳是由瓯：t = ( z ) ，k = 1 ，2 ，组成的，其中( z ) 满2 = r k ( x ) 7 k + l ( x ) ， l i m 。( z ) = 。则有下列的脉冲微分方程系统 _ | z 7 ) = ，( ，z ( 亡) ) ，t 亿( z ) ，老n ，( 1 1 3 ) ia x ( t ) = 厶( z ( t ) ，t = 仉( z ) 、7 脉冲时刻变化的脉冲微分方程系统( 1 1 3 ) 相对于固定时刻脉冲的系统( 1 1 2 ) 要复杂一些， 其脉冲时刻要依赖方程t 七= 亿( z ( k ) ) ，k n 的解因此，不同初始位置出发的解可能具 有不同的不连续性：一个解可能碰到同一曲面& ，称之为“鞭打现象”；不同的解还有可 能从某一时刻重合在一起，这称为“合流现象” i i i 脉冲自治系统 假设集合m ( t ) = m ，n ( t ) = n ，及算子a ( t ) = a 都与时间t 无关a ：mh 定义 为a x = x + ，( z ) ，其中i ：qhq 则脉冲系统为： z 心) = 弛，z ( t ) ) ，疟m ，( 1 1 4 ) ia x ( t ) = j ( z ( 亡) ) ，t m 、7 当任何解z ( t ) = z ( t ，0 ，黝) 在某一时刻碰到集合m 时，算子a 将m 上的点z ( t ) 作用 到上的点z ( t + ) = z ( t ) + ，( z ( t ) ) 由于系统( 1 1 4 ) 是自治系统，点z ( t ) 的运动可沿着系 统( 1 1 4 ) 的轨线在集合q 中来考虑 1 2 脉冲微分方程解的存在性、唯一性、延拓性 本节，我们给出脉冲微分方程解的存在性、唯一性、延拓性的一些结果，这些结果 主要引自文献f 1 6 ，1 7 】 对于具有初始条件的脉冲微分方程系统： fz 他) = f ( t ，z ( t ) ) ，t 亿( z ) ，k n ， z ( t ) = 厶( z ( t ) ) ，t = ( z ) ， ( 1 2 1 ) 【x ( t 3 ) = 3 脉冲种群系统与传染病系统的渐近性态 其中，：r qh 酽，厶：qh 酽，仉：qhr ，( z ) o 使s 乃( 砂( s ) ) ，t s 0 ，使得当0 t t 1 ( ) 时有有限极5 a f ( s ，可) 注释1 2 2 如果初值问题( 1 2 1 ) 所对应的连续系统 z ) = f ( t ，z ( t ) ) ，z ( t o ) = x 0 的解是唯一的，则初值问题( 1 2 1 ) 的解也是唯一的例如：当，在( o ，x o ) 的某个邻域关 于z ( 局部) l i p s c h i t z 连续，结果成立 如果初值问题( 1 2 1 ) 有唯一解，我们就将其记为z ( t ，t o ，x o ) ，下面更为详细考虑固定 时刻脉冲的微分系统( 1 1 2 ) 定理1 2 2 假设函数，在集合( 如，t 七+ 1 】q ( 七) 上是连续的，并且对于所有k 和z q ，当( t ，y ) 一( t k ，z ) ，t t k 时，( ，可) 存在有限极限则对于每一个点( t o ，x 0 ) r + q ，存在p t o 使初值问题( 1 2 1 ) 有解z ：( t o ，p ) h 彤如果厂在r + q 的关于z ( 局 部) l i p s c h i t z 连续，则解是唯一的 给定脉冲微分系统( 1 1 2 ) 的解咖( t ) ，下面给出其延拓性 定理1 2 3 假设下列条件成立 1 假设函数，在集合( t k ，t k + 1 】q ( 七) 上是连续的，并且对于所有k n 幂 j x q ， 当( t ，y ) _ ( t ，z ) ，t t k 时t 厂( t ，可) 存在有限极限； 4 大连理工大学博士学位论文 2 函数咖：( q ，p ) h 研是系统( 1 1 2 ) 的解； 3 ( a ) 对每一个k n ，有t k ，( b ) 对某些惫n ，7 7 + 厶( 叩) ，有p = t k 条件( a ) ， ( b ) 有一个成立 则妒( ) 解可以延拓到p 的右边当且仅当存在极限 。l i m 。( 亡) = 叩 t d 一 定理1 2 4 假设下列条件成立： 1 定理1 2 3 中条件1 成立： 2 函数，关于z 在r + q 上局部l i p s c h i t z 连续； 3 对所有k n 和露q ，有碍+ 最( 砰) q 则对任何点( t o ，x o ) ，初值问题( 1 2 1 ) 在某区间( ，u ) 上存在唯一解且不能延拓到u 的右边 如果定理1 2 4 的条件成立，给定( t o ，z o ) r + q ，则解z ( t ，t o ，x o ) 有定义的形 如( t o ，u ) 的最大区间，记为j + = j + ( t o ，x o ) 定理1 2 5 假设下列条件成立： 1 定理1 2 4 的条件成立； 2 ( t ) 是初值问题( 1 2 1 ) 的解； 3 存在紧集qcq 使得t j + ( t o ，x o ) ，有( 亡) q ， 则r ( t o ，x o ) = ( t o ，。o ) 1 3 脉冲微分方程解的紧性判别和稳定性的概念 设jcr ，记p c ( 以r ) 是满足以下条件的函数集合：函数矽：j _ r 在t j , t 氕处 连续，点亿j 是函数的第一类不连续点且该点处的左极限存在记p c i ( z r ) 是满 足妒：j _ 冗且导数警p c ( j , r ) 的函数集合p 周期函数构成b a n a c h 空间如下： 尸c = 妒p c ( o ，t 】，r ) i 妒( o ) = 妒( 丁) ) ( | i 矽| i p c = s u p l 矽( t ) i ：t 【0 ，丁】) ) p = 矽p c i ( 【o ，卅，r ) l 妒( o ) = 砂( 丁) ) ( | | 矽lj p c = m a x i i 矽i i p 曲，l i 矽l l p 醇) ) 我们用表示连续的丁周期函数的空间下面我们给出集合的紧性的判定 定义1 3 1 i d s , m 集合a 在f 0 ，习上是拟等度连续的，如果对任意 0 ，存在6 0 使 得当z a ，k n ，t l ，t 2 ( 吼一1 ，亿】n 【0 ，卅，且it l t 2i 0 ，i = 1 ，2 ，n ) 系统( 1 1 2 ) 在r + xq 上满足解的存 在唯一性条件且解的最大存在区间为 t o ，) 设x ( t ) = x ( t ，t o ，x o ) ，z + ( t ) = 矿( ，t o ，x 0 ) p c ( r + ，q ) 分别为系统( 1 1 2 ) 的任意解和一个固定解，满足z ( t 吉) = x o ，z + ( t 3 ) = x 0 定义1 3 2 若对任意初值z o 存在正常数m m 0 ( 与x o 无关) ，使得当时间t 充分 大时有 m z d t ) m ， 则系统( 1 1 2 ) 称为是一致持续生存的 定义1 3 3 若对任意初值z o 和某1 i n ， j i m 黝( t ) = 0 ， $ - - - 0 0 则兢( t ) 称为是灭绝的 定义1 3 4 若对任意初值z o ，均有 j i mi 既( t ) 一z ；( t ) i = 0 ，i = 1 ，2 ，n ， 则z + 称为是全局吸引的 注释1 3 1 关于种群系统持久性的定义还有更多可见【2 0 - 2 2 1 ，脉冲微分方程的稳定 性的定义可见【2 z - 2 6 脉冲微分方程在讨论系统的稳定性时的一个有效的方法是l i a p u n o v i 函数由于脉冲 微分方程的解是分段连续的，所以脉冲微分方程要求其l i a p u n o v 函数是分段连续的即可 为此，我们定义函数集 = y ：r + x qh r + ，y 在( 钆，t k + 1 q 上是连续的并且y ( 。去，z ) 2 ( t ，掣) 。l i r a ，。j p 。v ( t , 可) 存在) 定义1 3 5 设v v o ，则对( t ，z ) ( t k ，t k +