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四川大学博士后研究工作报告a r c h 模型参数中位无偏估计的分布 内容摘要 本文沿着博士论文的研究领域，对论文中的结果进行了深入地研究和推广，得到 以下三方面的结论 第一，在博士论文中我们利用简洁的非参数方法构造了参数的中位无偏估 计，本文给出了此估计的渐进分布。另外，我们利用e d g e w o r t h 展开理论，给出 了中位无偏估计分布函数的近似形式，而且给出了各种情况的数值模拟结果。 第二，在博士论文中考虑了有约束条件时a r c h ( 0 ，q ) 模型参数的估计与检 验问题，本文把其所有结果推广到a r c h ( p ，q ) 模型，我们给出了求带有约束条 件的参数极大似然估计的算法，并讨论了极大似然估计的渐近性质，最后给出了 检验a p 。c h ( p ，q ) 模型参数序关系的检验方法，得到了似然比检验的极限分布。 第三，把信息论中的熵距离作为损失函数，讨论了正态分布刻度参数在损失 函数l ( a ，6 ) = 与竽下的最小风险同变估计及b a y e s 估计，并讨论( 盯( z ) + d ) 形式估计的可容许性与不可容许性问题，我们发现在这种损失函数下。的极大 似然估计是不可容许的最后，考虑了操作者心理状态数的b a y e s 估计和估计的 可容许性问题，进而提供了评价操作者技术水平标准之一 堕型盎堂苎星叠窒壬堡塑量a r c h 模型参数中位无偏估计的分布 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ec o n t i n u et h er e s e a r c ho ft h ep h dt h e s i si nt h es a m es t u d y f i e l d t h er e s u l t si nt h ep h d t h e s i sa r eg e n e r a l i z e da n de x t e n d e di n t of u r t h e r c a s e w ed r a wt h ef o l l o w i n gt h r e ec o n c l u s i o n s ：f i r s t ，i nt h ep h d t h e s i s ，w e p r o v i d eam e d i a n u n b i a s e de s t i m a t o ro ft h ep a r a m e t e r ，u s i n gas u c c i n c t n o n p a r a m e t e rm e t h o d i nt h i sp a p e r ，w eo b t a i n t h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no ft h e e s t i m a t o r m o r e o v e r ，f o rs m a l ls a m p l ec o n d i t i o n ，w ea p p l yt h ee d g e w o r t he x p a n s i o nt h e o r ya n do b t a i nt h ea p p r o x i m a t ef o r mo ft h ee s t i m a t o r sd i s t r i b u t i o n f u n c t i o na sw e l la st h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s u l t si nv a r i o u sc a s e s s e c o n d ，i nt h ep h d t h e s i s ，w ec o n s i d e ra b o u tt h ee s t i m a t ea n dt e s to ft h e p a r a m e t e r si n t h ea r c h ( o ，q ) m o d e lu n d e ro r d e rr e s t r i c t i o n i nt h i sr e p o r t ， w ee x t e n da l lt h er e s u l t si n t oa r c h ( p ，q ) m o d e la n df i n dt h el i m i td i s t r i b u t i o n o fl i k e l i h o o dr a t i os t a t i s t i c s b a s e do nq u a d r a t i cp r o g r a m m i n gm e t h o d w ea l s o p r e s e n tan u m e r i c a ls i m u l a t i o na b o u tm l e t h i r d ，i nt h i sp a p e r ，w eu s eae n t r o p yd i s t a n c ef u n c t i o ni ni n f o r m a t i o nt h e o r ya st h el o s sf u n c t i o n ，a n dt h e np r o p o s eas y m m e t r i cl o s s f u n c t i o nf o rs c a l e p a r a m e t e rw i t hf o r m a sl ( o ，d ) = ；+ 5 2 f o rt h en o r m a ld i s t r i b u t i o nn ( o ，口2 ) ，w eg i v et h em i n i m u m r i s ke q u i v a r i a n te s t i m a t o r ( m r e ) a n dt h eb a y e s i a ne s t i m a t i o no f 口f u r t h e r m o r e ，t h ea d m i s s i b i l i t ya n di n a d m i s s i b i l i t yo ft h ee s t i m a t o r s w i t hf o r m ( c t + d ) a r es t u d i e d f i n a l l y ，w ed i s c u s st h eq u e s t i o na b o u tb a y e s i a n e s t i m a t o ra s s o c i a t e dw i t hi t sa d m i s s i b i l i t yt h a tt h eo p e r a t o r sp s y c h o l o g ys t a t ei s t a k e ni n t oa c c o u n t ，a n da p p l yi tt oe v a l u a t et h et e c h n o l o g yl e v e lo ft h eo p e r a t o r 四川大学博士后研究工作报告 第一章预备知识 第一章预备知识 为了后面几章的应用，在这一章，我们首先介绍有关自回归条件异方差模型 统计分析的一些主要结果其次介绍分布函数的c u m u l a n t 和矩的关系最后 介绍统计量分布的e d g e w o r t h 展开原理，在一般的参考书中都可以找到本章结论 的证明 1 1 引言 近年来，时间序列分析方法在我国的气象、天文、地质、农林，生物、经济、 金融等部门和领域得到了广泛的应用，特别在经济金融界，越来越多的实际工 作者开始了解并运用时间序列分析方法自回归条件异方差模型( a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y 或a r c h ) 作为一个重要的非线性时间序列模型， 近年来得到了迅速发展实际上，股票价格序列的波动是金融市场中讨论得很多 的主题，异方差是客观存在的现象，为了准确地刻划方差波动的这一性质，e n g l e 在1 9 8 2 年开创性地提出了自回归条件异方差模型，e n g l e 和k r a f t 在i 9 8 3 年把 此模型一般化他们假设预测误差5 - t 为某实值离散时间随机过程，并且是某随 机过程的随机扰动，即玑= g ( x c ，b ) + 白，其中x e 是外生变量和虮的时滞组成的 向量，b 是均值参数向量记五为截止时刻t 的所有信息的信息集合，进一步 假设。是菜线性园归方程的随机扰动，那么可以建立如下时间序列模型 i 鼻t = 风+ 卢l x h l + - + 岛x c - p - i - c t ， e t _ ， ( 1 1 1 ) 【：。o + a l e 2 _ l + 十a 口s 己目， 其中d o 0 ，o l 。20 ，i = 1 ，2 ，玑h t 是给定信息集合五时缸的条件方差( 即 五的正可测函数) ，豫) 是正态白噪声序列，且满足 j e & 20 ，e 2 1 ， f l 。1 2 ) l 与 凰，。 t ) 相互独立 、 一般地，将此模型记为a r c h ( p ，q ) 模型 四川i 大学博士后研究工作报告第一章预备知识 2 在a r c h 模型问世之后，各种修改或推广的模型层出不穷，一个较有影响 的模型是b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 提出的g a r c h ( g e n e r a l i z e da u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a l h e t e r o s k e d a s t i c i t y ) 模型g a r c h 模型与a r c h 模型的不同之处在于把时刻t 之前的条件方差作为自变量引入条件方差函数，即把( 11 1 ) 中的方程h t 换为如 下形式的方程 那么称满足( 111 ) 的时间序列( x ) 服从g a r c h 模型，记为g a r c h ( p ，q ，r ) 模 型，后来在此模型基础上又进行种种推广，得到i g a r c h ( i n t e g r a t e dg a r c h ) 模 型、指数g a r c h 模型、门限g a r c h 模型等等本章只介绍a r c h ( p ，q ) 模型 的基本性质 1 2a r c h 模型的平稳性 为了介绍a r c h ( 0 ，q ) 模型的平稳性，我们先介绍非线性自回归( n l a r ) 模 型的平稳分布、遍历性，考虑如下一般的一阶m 维n l a r 模型 j x f = 妒( x “矗) ，1 ， f 1 2 1 ) l x o f o ， 式中佃) 为f 维向量白噪声序列，且e t 与x o 独立，x o 是m 维初始随机向量， 其概率分布为f o 曲是从r m + l 到r m 的可测函数显然，自回归条件异方差模 型是n l a r 模型的特例 定义1 2 1 “4 ，设m 维向量随机序列 x ) 服从一阶m 维n l a r 模型r 2 纠? 如果当x o f 时，x 1 = ( x o ，e 1 ) 一f ，则称f 为模型“，2 的不变 概率分布5 “i j 如果x o 。f ，且f 为模型f 2 j 的不变概率分布，则称从x 0 出发由 以2 j j 式产生的迭代序，q x “t 0 ) 为模型f j 2 i ，的平稳解 四川大学博士后研究工作报告第一章预备知识 3 定义1 2 2 ( 保测映射) 设有概率空间( n ，p ) 及q _ q 的映射口，使得对 任何a ，都有0 - 1 a ，而且保持测度相等p ( o 。a ) = p ) ，则称口是一个 ( n ，p ) 2 _ 自- 0 保测映射 显然，推移映射0 是保测映射的一个典型例子 定理1 2 3 设0 是( n ，p ) 上的一个保测映射，( u ) 是( n ，p ) 上的任意 一个随机变量令f o ) 垒f ( u ) ，l ( w ) 皇f ( 口u ) ，f n ( w ) 垒。一1 ( 口u ) = f ( p n u ) ， 则 靠) ：n = 0 ，1 ，一， 是一个平稳序列 上述定理说明( n ，p ) 上一个保测映射口与( n ，p ) 上的任意一个随机变 量o ( u ) 都可以生成一个以f o ( u ) 为初值的平稳序列相反地，对任何一个( n ，p ) 上的平稳序列 岛( u ) ) ，都可以构造一个概率空间( 磊，于，卢) ，及其上面一个保测映 射8 和与f o ( u ) 同分布的一个随机变量f o ( u ) ，而且只要令 己( u ) = j - o ( o ”u ) = 己一1 ( 目u ) 就有 5 。( u ) ；n = 0 ，1 ，2 ，) 与 矗( u ) ；n = 0 ，1 ，2 ，) 同分布在这个意义上，我 们可以认为平稳序列都是由保测映射生成的，也就是说平稳序列与保测映射在实 际上是互相对应的 定义1 2 4 对事件( 集合) a ，称a 对保测映射日是不变的，如果 p ( a 0 1 a ) = p ( o 一1 a a ) = 0 定义1 2 5 设有概率空问( q ，p ) 及其上的保测映射0 ，称概率p 对8 是遍 历的，如果p 的不变集的概率非0 则1 f 也称目为p 遍历的j 如令f 。( ) 一( 俨) ， 这时也称 。) 是遍历的 下面我们介绍b i r k h o f f 遍历定理： 定理1 2 6 ( b i r k h o f f 遍历定理) 设口是概率空间( q ，p ) 上的一个保测 映射，g ( u ) 是( n ，p ) 上一个具有有限数学期望的随机变量，则 川极限 ， n l i m 三歹：9 ( 矿u ) = 可( u ) n _ n - 。、7 = l 以概率为l 地成立； 四川大学博士后研究工作报告 第一章预备知识 4 剀亨( 口u ) = 于) 以概率为l 地成立； 圳e g ( o ) ) = e 可( u ) ， 定理1 2 。7 在定理j 。2 6 中，要使对于任意有有限数学期望的随机变量9 ) 都以概率l 地有虿( u ) = e g ( o ) ) 当且仅当口是p 遍历的，这时 1 n 撬9 ( e t o ) ) = 功( u ) 这意味着沿轨道的时间平均等于空问的概率平均值 通常许多随机系统如果它的运转机制是时间不变的，那么经过充分长的时 间，与这个随机体系相关的一些随机过程就可近似地认为是平稳过程。这一点可 以从有限状态马氏链的特例来理解，当运转时间充分长后( 即t t 1 ) ，可认为 扫( “) 遵从乎稳分布( 不变概率分布) ，硷+ r ( u ) ：t 0 可近似地当作平稳过程 对于一个遍历的平稳序列= 岛( u ) ) 及9 ( u ) = ，( 如( u ) ，( u ) ) ，由于概率为1 地有 的( u ) = ，熙元1 9 ( 目u ) i 1( 1 2 2 ) = 溉：胀e ( “) ，靠+ t ( “) ，乳+ m ( “) ) ， t = l 所以f 的一些重要的统计参数，如均值、方差、相关函数、协方差函数都可由 的一个现实( 一条轨道) 在足够长的时间中的取值来估计 不变概率分布对模型( 1 , 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 具有重要意义从统计分析角度来看， 上述的遍历性是进行统计分析的重要依据也就是说，由类似于模型( 1 2 1 ) 产 生的可测序列x t 的分布r 是未知的，且与初始值有关但是如果它满足( 122 ) 式，便可提供统计估计未知的不变概率分布f 的可能性 下面介绍a r c h 模型的一些基本性质 定理1 2 8g a r c h 模型似剀有平稳解 x t ) ，且e 瑶 o 。，当且仅当 0 1 十+ 口。+ 口1 + - + 啡 1 此外，这个平稳解还是唯一的 推论1 2 9a r c h ( o ，训模型有唯一平稳解，且e x ； o 。，当且仅当a l + a 2 + + o 。 1 此外，平稳解 置) 还是唯一的 四川大学博士后研究工作报告第一章 预备知识 5 定理1 2 1 0 设时间序列 x ) 服从g a r c h 模型“圳，并且p = 0 ，假定 其中s 2 为整数，且“l + - 如果p ( 。) 1 ，则l x 1 l 5 l 5 = x 其中x 是随机变量 a t 定义如下： a t = 0 o l o e h l 4 ( 1 ) 。 + o t 。- i - 日l + - 一+ b 1 记 。= e ( a 尹”) 其中l 5 定义如下： i i x i i 。= e 1 5 i x i5 0 ) 一1 等o q g 】等 000 l00 一1 日【 001 8 r - 1 器啡 00 00 啡一l 啡 00 00 00 10 1 3 分布函数的c u m u l a n t 设特征函数庐( t ) 的分布函数f ( 。) 具有k 阶矩由于( t ) 连续且庐( o ) = 1 ，令 ，( t ) = l o g ( t ) ，那么，( t ) 在t = 0 附近有导数，并且 巾) ：圭鲁m ) r + 0 ( 一，( t - o ) ( 1 31 ) 四川大学博士后研究工作报告第一章预备知识 6 我们称白为分布函数f ( 。) 的f 次c u m u l a n t c u m u l a n t 和矩具有如下关系，事实 上，把函数e i ( 。) 作为t 的函数展开，和( t ) 的展开进行比较就可以得到 女o = “o = 1 七l = 肛l 2 = p 2 一p p 2 = 2 十研 后3 = p 3 3 肛1 p 2 + 2 肛p 3 = 七3 十3 k l k 2 + k k 4 = 肛4 3 卢i 一4 肛l p 3 + 1 2 肛 肛2 6 p p 4 = k 4 + 3 k ；+ 4 k l k 3 + 6 k k 2 + k ( 1 3 2 ) r ，o 。 其中芦= x k d f ( z ) 若记a = ( 。一p 1 ) d f ( z ) ，那么c u m u l a n t 和中心矩 j 一 j 一 的关系为 2 = c z 2 七3 = d 3 七4 = n 4 3 n ；n = b + 3 k ； k 5 = 8 5 一1 0 q 2 3a 5 = k 5 + 1 0 是3 3f 1 3 ) 七6 = 0 6 1 5 a 2 0 4 一l o o ；+ 3 0 a ；a 6 = 蚝+ 1 5 k 2 k 4 + 1 5 k ；+ 1 0 k j 1 4e d g e w o r t h 展开的原理 众所周知，在数理统计领域求统计景的分布是重要的而且大多数情况下， 精确分布是得不到的，于是求统计量的近似分布变得更加重要如果样本容量不 大的情况下，那么e d g e w o r t h 展开是一个很好的工具在本节主要介绍e d g e w o r t h 展开理论 四川大学博士后研究工作报告第一章预备知识 7 1 4 1 独立随机变量和的e d g e w o r t h 展开 设x ，扎，x 2 ，是独立同分布的随机变量具有均值0 0 = 肛和方差a 2 样本 均值= n 。坠，五是0 0 的一个估计，而且具有方差n - 1 a 2 显然由中心极限 定理得 s 。：堑亟型与( o ，1 ) ，( n _ 。) ， 这样有 ( ) = e e x p ( 乱晶) ) e e x p ( i t z ) = e t 2 ，2 ， 一。 t 。c ) 地( t ) = ) ( ( t n 1 2 ) “： 其中z n ( o ，1 ) ，) ( ( ) 是y = ( x p ) o 的特征函数记 k l = e ( y ) k 2 = v a t ( 1 3 = e ( y e y ) 3 ( 1 4 1 ) = e ( y e y ) 4 3 ( v r ( y ) ) 2 ， 那么，分布函数p ( s n 茎z ) 的e d g e w o r t h 展开为 p ( s n z ) = 中( 。) + n 1 2 p 1 ( z ) 妒( 。) + n 一1 p 2 ( z ) ( z ) + r - + n - j 2 肌( 茁) 咖( z ) + ，( 1 4 2 ) 其中p ，( z ) ( j 1 ) 是z 的多项式，其系数是随机变量y 的c u m u l a n t s 的函数，也 就是( 1 4 1 ) 中的k l ，2 ，的函数 c u m u l a n t 的定义见5 1 3 节在这里，我们 只给出p l ( z ) 和p 2 ( z ) ，邬( z ) 0 3 ) 时见文献【1 7 】 p 1 ( z ) = 一 七3 ( z 2 1 ) ， f 1 4 3 1 p 2 扛) = 一。 去h ( z 2 3 ) 十去七i ( 一一1 0 x 2 + 1 5 ) ) 四川大学博士后研究工作报告第一章预备知识8 1 4 2 一般统计量的e d g e w o r t h 展开 下面我们介绍比样本均值更一般的统计量的e d g e w o r t h 展开令统计量品 具有极限分布一标准正态分布，例如品= n l 2 ( 目一o o ) o ，或s n = n l 2 ( 一o o ) 弦， 这里古2 是n l 2 目的渐近方差0 2 的相合估计记品的特征函数为x 。，岛的第j 阶c u m u l a n t 为h 。那么 ( t ) = e e x p ( i t s n ) ) f l4 4 1 = e x p k l ，。i t + k 2 一( 2 ) 2 + + 击b ，；( i t ) + ) 在许多情况，。是，z 一( p 2 ) 2 的阶，而且可以展成n - 1 的幂级数 b 。= n - ( j 一2 ) 2 ( k j ，l + 扎一1 b ，2 + n - 2 k j ，3 十) ，j 1 ( 14 5 ) 其中k 1 1 = 0 和k 2 1 = 1 这样p ( s 。x ) 的e d g e w o r t h 的展开为 p ( s 。茁) = 垂( z ) + n1 2 p l ( z ) 咖( z ) + n 一2 p j ( 石) ( 。) + o ( n 一2 ) ，j 1 ( 146 ) 其中p j ( x ) ( j 3 ) 的表示式见文献( 1 7 】1 我们只给出p ( z ) 和p 2 ( z ) p l ( z ) = 一 k l ，2 + ；k 3 ，1 ( z 2 1 ) 1 ， p 2 ( z ) = 一。 ( 七2 ，2 十南 ，2 ) + 击( k ，l + 4 七l ，2 b ，l ( 。2 3 ) ( 1 4 7 ) 十瓦1 2 1 ( z 4 1 0 x 2 十1 5 ) ) 四川大学博士后研究工作报告第二章中位无偏估计的渐近分布9 第二章中位无偏估计的渐近分布 在博士论文中我们给出了a r c h 模型参数的中位无偏估计，亦可见文献 3 5 ， 在本章，我们考虑此估计量的渐近分布，同时与极大似然估计的渐近分布进行比 较 2 1 引言 我们考虑如f 平稳的a r c h ( 0 ，1 ) 过程， f 五以t 1 胆，。 旧，_ l j 叩，( 2 1 1 ) lh 产o o + n l x i l ， 一 、 其中豫) 是具有相同密度函数q ( r ) 的独立白噪声序列，满足( 1 1 2 ) ，莳的中位数 ( 1 2 ) 是唯一的且不依赖于未知参数n o 和n 1 ，即 _ p ( 管( 1 2 ) ) = p ( 器( 1 2 ) ) = 1 2 ，t = 1 ，2 ，一 显然( 1 2 ) 0 我们假设参数( x 0 ，0 1 均未知，但满足比值c o = a o o 等于已知 常数在文献 3 5 】中，基于比 x x ；x i f ( 1 2 ) ( c o + 瑶) ( 1 2 ) ( c o + x ) c 1 2 ) ( c o + 霹一1 ) 给出了o ，的中位无偏估计 令 - y - 2 j 巧2 面琢厕，j 2 卜，“， ( 2 1 2 ) 那么，文献 3 5 给出的参数n - 的中位无偏估计为 a 1 m 圳蜗，：j k 缈 曲奇数 ( 2 1 3 ) 【y m ) + ( 1 一y ) k 争 1 ) ，n 为偶数 四川大学博士后研究工作报告第二章中位无偏估计的渐近分布 1 0 其中y 是与n ，硷，k 独立的随机变量，且满足p ( v = o ) = p ( v = 1 ) = k 1 ) k 2 ) 玉，k 。) 是相应于h y 2 ，的次序统计量文献p s 证明了上 述估计是中位无偏的，并通过随机模拟与极大似然估计比较，说明了中位无偏估 计是很有意义的，而且具有稳健性在2 2 节，我们考虑此估计量的渐近性质 在5 23 节，我们给出了关于估计量鑫。s u e 和鑫1 w 。e 的理论比较 2 2 鑫l 。分布的渐近分布 从模型( 2 11 ) ，我们可以得到 匕= g o l f ( 1 2 ) j = 1 ，n( 2 2 1 ) 因此y 1 ，y 2 ，：y n 是相互独立同分布的令p ( ) 和f ( 口) 分别是y 1 的密度函数和 分布函数， 为了后文的应用，我们先介绍一个引理和几个简单的事实 引理2 2 1 假设y 1 y 2 ，k 如上所定义，那么b ，( 1 墨j 墨n ) 的分布的中 位数为o l l 即 p ( b 。1 ) = p ( 巧c z l ) = ；， 1s js n ( 2 2 2 ) 实际上，从k 的定义( 21 2 ) 式和( 2 2 1 ) 以及( 1 2 ) 的定义，我们有 尸( 舒茎( 1 2 ) ) = _ p ( 舒( 1 2 ) ) = 甘p ( 可苗可。t a 。) = p ( 可g 可n l 。) = 岱 p ( 巧口1 ) = 尸( 巧d 1 ) = 因此引理的结论成立经过简单的运算我们还可以得到以下两个极限 1 i 。坠毕生：o 和1 i 。掣：o( 2 删 n _ n n _ 、n 下面我们考虑a l 。的极限分布 四川大学博士后研究工作报告第二章 中位无偏估计的渐近分布 1 1 令z n = n ( 】一0 1 ) ，k = ( n + w 2 ，那么对于任意的g 有 p ( 蜀。曼y ) = p ( 、历( 女) 一o z l ) 曼y ) = p ( y ( ) 墨口l + 撩) = p ( 乳1 蜘圳m 1 = p ( 小j 蜘+ 去) ) ， 2 = 为了符号简便，我们记 哺= 如；蜘+ 赤) 一f ( a 1 + 戋) ， 一1 ，2 ， ( 22 4 ) n = k - n f ( 。t + 戋) ) 而， n n 显然，事件i k ! 。，+ 戋) 之与事件啦2 而是等价的- 而且q 1 ，啦， t = 1 2 = i 是相互独立的，具有分布 另外，应用引理2 2 1 及t a y l 。r 展式，函数f ( a l + 靠) 可以表示成如下形式 聃- + 戋) = ；+ ? t 毛出1 ) y + o 6 ) 易知，e 啦= 0 ，i = 1 ，2 ，n ，和 v a t ( h i ) = f 臂 = f ( a 1 + 舞) 【1 一f ( 。l + 苏) 2 + 【l f ( a l + 靠) 】【一f ( a 1 + a 西_ ) 2 = f ( a l + 戋) 1 1 一f ( o l + 莠) 】 = + n 一 p ( a 1 ) g + 。( n z 1j 儿j 1 一n 一 p ( 。1 ) + 。( n 一；) 】， = 渺咕 ” p 一 1 | 、， = 咕洲 ” 一 f 1 一 i l = b b 尸 p 四川大学博士后研究工堡塑生笙三主主垡垂堡垡鼓堕塑重坌壹 1 2 t 。：，t 一 睥一i n n n 一 p ( n 1 ) 一n 。( n 一 ) ：n 一 | t n + 1 一一n ；p ( a 1 ) g + 。( n ) i ：一卯( a 。) + n 一 。( 何) + 骘喾 = 一y p ( a 1 ) + o ( 1 ) 根据中心极限定理有 p c 磊茎v ，= p ( 娄仇瓦如1 l = l = ( 杀参拙n ) 马l 一圣( 一2 y p ( o 1 ) ) = 垂( 2 可p ( n 1 ) ) 这也就是说z 。与n ( 0 ，1 2 p ( a 1 ) 2 ) 即 何2 p ( 。1 ) ( k k ) 一( y 1 ) 与n ( 0 ，1 ) ，( 2 26 ) 其中= 丁n + 1 或= 吲均成立综上所述，我们得到如下定理- 定理2 2 2 在模型倡j ，假设下，那么参数n 1 的中位无偏估计鑫w s 具 南渐选务毒( e2 6 ) 根据定理2 2 2 ，我们可以得到画。与0 r 1 事实上，由于 ( 呻) 2 万褊。何2 p ( a 1 ) ( 一。1 ) ， 这样利用s l u t s k y 定理就可以得到a 1 。的相合性 2 3鑫1 。e u e 与鑫1 u 。e 的关系 在模型( 2 1 1 ) 下，如果假设“一i dn ( 0 ，1 ) ，t _ o ，4 - 1 ，那么参数a 1 的极大 燃甜翻为一；娄彘 删2 3 1 a l = 三f 万等旷 ( ，) n 0 0 十 i1 四川大学博士后研垣三监攮量第二章中位无偏估计的渐近分布 1 3 下面考虑a ，。的极限分布 由( 2 12 ) 和( 2 2 1 ) 式，我们有 ( 2 3 2 ) 又因为矗2 掣n ( 0 ，1 ) ，所以e ( a l 。) = 。1 v a r ( a 1 m l 。) = 鲁从而由中心极限 定理得， 元( 舂1 。一0 1 ) 与n ( o ，2 )( 2 3 3 ) 在是标准正态的假设下，我们得到a l m 。e 是充分完全统计量n = ，y t 的函 数，又因为其是无偏估计，所以是最小方羞无偏估计( m v u e ) 另外，k 分布的 f i s h e r 信息量为，( a 1 ) = i 疆1 ，于是关于参数n l 的c r 下界为2 0 ，从而我们看到 此时。l 的极大似然估计a 1 。是最隹渐近正态( b a n ) 估计量 通过上面的讨论，我们知道在正态假设下，估计量鑫。要优于鑫。但 是大多数的实际数据序列不满足& 是正态的假设，甚至密度函数很复杂，这样 估计量m l e 很难得到，此时中位无偏估计量是容易得到的，且计算简单 四川大学博士后研究工作报告第三章中位无偏估计的近似分布 1 4 第三章中位无偏估计的近似分布 在博士论文中我们给出了a r c h 模型参数的中位无偏估计，亦可见文献 3 5 】， 在本章，我们考虑此估计量分布函数的e d g e w o r t h 渐近展开，同时考虑c o r n i s h - f i s h e r 展开 3 1 引言 从5 21 节的( 2 12 ) 和5 2 2 节的( 2 21 ) ，我们知道h ，y 2 ，碥是相互独立同 分布的仍令p ( y ) 和f ( v ) 分别是随机变量y 1 的密度函数和分布函数，g o 和g 。 是a l 。的分别对应奇数n 和偶数n 的分布函数根据a t 。的定义( 2 1 3 ) 式，我们可以直接得到下面的结果 引理3 1 1 在模型俾纠下，对任意的正实数a ，当n 是奇数时，有 g o ( n ) = p ( - 譬) n ) = ( ： ) f ( 。) 。 l f ( n ) r ， ( 3 11 ) 当n 是偶数时，有 g 。( a ) = ；p ( y 【号) n ) + i p ( k 争+ 1 ) o ) ( 3 1 2 ) 一* - l ，( 孙 1 - f ( a ) ni + 1 。嘉+ ( 加叫( 1 - f ( a ) 2 21 r ，= ( n ) + 当样本很小时，g o ( n ) 和g 。a ) 较容易计算出但是对于稍大一点样本数来 说，概率( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 的计算需要时间特别地，如果分布函数f ( v ) 的表示 式较复杂时，那么对于上面的计算，使用g o 和0 。是不实际的于是寻找一些 近似公式具有很重要的意义 在下面几节我们考虑统计量鑫。的分布的近似表示式以及与其相关统计 量性质在3 2 节，我们给出估计量鑫l 。的e d g e w o r t h 渐近展开和c o r n i s h - f i s h e r 展开在33 节，我们考虑在正态分布模型下，a l 的极大似然估计分布的 型生壅羔生蛙堕量塞三堡塑量 堑三童主垡垂堡笪盐盟重型坌壹 1 5 e d g e w o r t h 展开在3 4 节，关于前两节的结果，给出两个例子在5 35 节，我们给 出随机模拟结果在3 , 6 节，我们考虑假设检验问题h o ：a l ：ih 玩：。1 1 在睁7 节，我们将此检验方法应用于实际的数据 3 2 1 m 。u e 分布的e d g e w o r t h 渐近展开 在这一节，我们考虑估计量舂l 。的e d g e w o r t h 展开，首先定义 磊= 2 p ( 曲1 ) 元( 鑫i m e u e o i ) ，( 3 2 1 ) 从定理2 2 2 我们知道，z 。依分布收敛于标准正态分布进一步我们可以得到下 面的近似公式，对于任意的z 有 g o ( z ) 圣( 2 p ( 血1 ) 、压( z 一口1 ) ) g e ( z ) 圣( 2 p ( 0 1 ) 、历( 名一d 1 ) 1 ( 322 ) ( 323 ) 从所周知，寻找统计量的近似分布的方法很多，下面我们利用z n 的c u m u a n t ，计算磊的e d g e w o r t h 展开表示式，为此需要计算蜀的几阶矩由于磊是 k 1 ) ，、y c 。) 的函数，所以先计算k ：) ( 1s isn ) 的矩 令噩= f ) ，i = 1 ，2 ， 那么随机变量置服从均匀分布g ( 0 ，1 ) 而且 x 【r ) 2f ( k r ) ) ，r = 1 ，2 ，n ，其中x o ) ，x ( 2 ) ，一，x ( 。) 是相应于x 1 ，x 2 ，x 。的 次序统计量把， ，) ( 1s rs n ) 在e x ( ，) = 去i 点展成丑，) 的函数，即 ) = f - i ( 南) + ( x ( r ) 一南) 气f 。：南】+ ( 五旷南) 2 乌f 。：南 + 为书写方便，我们记p ；= i 干t s ，吼= l p s ；一1 ) ；= ! 墨； ，； ( f 。) ? = ! 篆挚l ，i 州r = 戌p ( ) 以 根据文献【2 3 】，我们能够得到 的中心矩， e l r ) j = g + 虿渤( f 一1 ) ；+ 石；【；( 和p ，) f 一1 ) + 百1 p ，盼( f 。) + ， 他陬r ) | 。蒜亨舞【2 ( q r 一办) ( f 。1 卿+ 3 p 吩( ( f 叫) 搬f 一1 ) ：l + ( 3 - 2 4 ) 坠生盔! 堡生蔓堕里堕t 三巡茎三主 主焦垂塑笪盐塑重丝坌查 1 6 议”是奇数，如2 ( n + 1 ) 2 ，那么磊= 印( a 1 ) ( r o ) 一n 1 ) ，因此有 e ( z n ) = 2 p ( 。1 ) 、历( e r 。) 一0 1 ) ， p 3 ( 蜀) = e ( z n e z n ) 3 = 8 n p 3 ( n 1 ) 肛3 ( 巧m ) ) 事实上， e ( 磊) = z 咖) 何 “+ 毒( 一十高( f _ 1 ) 掣卜一) = 何 志出1 1 ( 一) + 而丢旷1 ) 桀扣 ， p 。( 五) = 8 n 3 2 p ( a t ) 3 志 ( f “) ) ) 2 ( f 一1 ) + ) 。击 赫酬3 ( 一只( f _ 1 ) ：0 ) 卜) ， 其中 ( f 1 ) 鼻忑df 一1 刮( 。+ 1 ) ，( p - 1 ) 7 = 孬d 2f 一1 ( z ) b 和当3 时，( f 。) ；是类似的这样根据文献 1 7 j ，我们有 即n 驯叫加去似+ 弘1 黔_ l j 批( 南 ( 3 。- 5 ) 其中 耀= p ( ( f t ) 名， 七5 譬=；p ( 。) 3 ( ( f 一- ) 乞) z ( f 一) 恐) 3 2 _ 6 当n 是偶数时，从岛。的定义有 尸( 磊z ) = 尸( 2 p ( 口i ) 、石 y k 手 + ( 1 矿) k 昔+ 1 ) 一q l sz ) = ：p ( 墨1 ) 剑+ ；尸( 砰) 剑， 其中硝= 2 p ( 。1 ) 西 “) 一q 1 ) ，i = l ，2 ，r 1 ：n 2 ，2 ：( 。2 ) + 1 因此，类 似于奇数情况，可以分别把尸( 西1 z ) 和p ( 珠2 = ) 进行e d g e w o r t h 展开在 这里我们省略冗长的计算，最后得到当n 是偶数时， p ( 磊剑= 吣) + 赤卅硝州始) + 。( n 一；) ， ( 3 矧 四川大学博士后研究工作报告第三章中位无偏垡盐塑堑篁坌查 1 7 具中 北) = 一。k i 2 ) + 。1 k ( 0 ( 2 2 1 ) ) ， ( 3 2 8 ) 舻1 , 2 = ；小1 ) ( 一) z ， ( 3 删 嚣：；p 3 ( d 1 ) ( f 一1 ) ：。 2 ( f 一1 ) ：， 江1 ，2 ( 3 肌o ) 综上所述，我们得到下面定理 定理3 2 1 设z 。如上所定义，那么z 。的分布函数可以表示成 p ( z 。z ) = 西。( z ) + o ( n j ) ， 其中，当n 为奇数时，西。( z ) = 吼( z ) i 当n 是偶数时，垂。( = ) = 中。z ) ? 吲牡毗) + 砺1 端z ， 叫加吣，+ 去壹i = l 咖，端 1 + ( 扎- ，嬲 n ：；，垆；扎土n + l = 笆p 砒，z ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) ( 32 1 3 ) 证明：注意到在( 3 26 ) ，( 3 28 ) 一( 3 2 1 0 ) 甲均管硐【t k 捌【f 一暖， z2 l ，2 为此我们计算 ( f 一1 ) ：，= - i ( z ) i 。：。( 。+ 。) = p ( f 一1 ( z ) ) 一1l 。：。( 。+ 1 ) ， ( f 一1 ) ：= 面d 2f 一1 ( z ) b 肋+ 1 ) = 一p ( f - 1 ( z ) ) 一3 p ( f 一1 ( z ) ) l 洲。+ 1 ) ， 又因为f “( r 0 ( n + 1 ) ) = 0 1 ，进而有 七；翟 = ：p ( 。- ) ( 一p 一3 ( g ) ( 可) ) l ：= ，。，( 。+ ，) = 一：p 一2 ( t ) p ( 。- ) ， 5 0 2 = ；p 3 ( a t ) ( p 一2 ( g ) ) ( 一p 一3 ( y ) p ( g ) ) i 。：，。( 。+ 。) = 一i 3 p 一2 ( a - ) p ( 。t ) ， 四川大学博士后研究工作报告第三章中位无偏估计的近似分布 1 8 类似地，我们有 州小一端1 p 叫粼端) = 扣，嬲 1 十( 扎t ，嬲) ，i = 1 , 2 这样把以上各式分别代入( 3 25 ) 和( 3 2 7 ) 即得定理的结论 定理3 2 1 提供了( 2 2 2 ) 式和( 2 2 3 ) 式的近似公式，即 g 。( z ) g 。( z ) 垂。( 2 p (