（应用数学专业论文）数学物理反问题在测井中的一些应用.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 反问题的研究是数学物理中一个较新的研究领域，它在雷达，声纳和石油勘 探等领域有广泛的应用前景地球物理测井的反演问题受到人们的广泛重视，然 而大多数反演问题具有不适定性，需要高效的不适定问题解法和相应的数值算 法提高测井曲线的纵向分辨率的地球物理测井一维反演问题一般可归为第一类 算子方程的求解，但是这类算子方程的求解往往是不适定的，需要用特殊的方法 来处理，才能得到稳定的近似解 1 本文第一章对不适定问题的解法进行了综述 2 d i r i c h l e t 边界条件和阻尼边界条件下的声波正散射问题，归结 为h e l m h o l t z 方程外问题，本文第二章对其解分别用双层位势和单层位势表 示，并举出了数值例子进行求解，它是声波反问题研究的基础 3 国内外学者已提出了许多关于h e l m h o l t z 方程外问题的解法，本文研 究了h e l m h o l t z 方程内问题，应用位势理论把h e l 山o l t z 方程转化为一个含 有c n u t 切奇性性的第二类积分方程的求解问题，并利用s 亡拥方法求得数 值结果 4 利用提升测井曲线分辨率的w 甜s h 反演方法，对实际数据进行了处理 5 从讨论问题的不适定性入手，基于t i k h o n o v 正则化思想，选择合适的正 则化参数，通过极小泛函构造正则化算子，可以有效地提高了反演计算的速度和 精度，从而对实际测井数据进行了高分辨率处理 6 b g 方法常被用来求解地球物理反问题，事实上它也是一种正则化方 法，修正的b g 方法减少了运算量，结果也很理想本文基于修正的b g 方法 提出了一种测井曲线高分辨率的反演方法 关键词：位势理论，远场模式，t i k h o n o v 正则化方法，反演，高分辨率，声波 测井 a b s t r a c t t h ef i e l do fi n v e r s ep r o b l e mi sar e l a t i v e l yn e wa r e ao fm a t h e m a t i c a lr e s e a r c h i th a sb r i g h tf u t u r ei na p p l i c a t i o no nr a d a r s ，s o n a ra n dp r o s p e c t i n gf o rp e t r 0 1 e u i n ， e t c t h ei n v e r s ep r o b l e mi ng e o p h y s i c a l l o g g i n gh a sb r o a d l ya t t r a u c t e do u ra t t e n - t i o ni nr e c e n ty e a r s t h eh i g hp e r f o r m a n c es o l v i n gp r o c e s sa n dc o r r e s p o n d i n g n u m e r i ca l g o r i t h ma r en e e d e di np r a u c t i c es i n c et h ei 1 1p o s e d n e s so fi n o s ti n v e r s e p r o b l e m sh a l sb e e nc o n s i d e r e d t h eq u e s t i o no fg e o p h y s i c a l l o g 百n gr e c o v e ri sc o m e d o w nt ot h es 0 1 u t i o no ft h e6 r s tl d n do ff _ r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n s ，b u ti ti si l l p o s e dp r o b l e m t h i sp r o b l e ms h o u l db e e ns o l v e db ys p e c i a lm e t h o df o rg e t t i n g a p p r o 妇m a t es o l u t i o n 1 t l l i sp 印e rs u i i l su po ft h es o l u t i o no ni l l p o s e dp r o b l e l si ne h a p t e ri 2 a st h eb a _ s e so fi n v e r s ep r o b l e m ，t h ed i r e c ts c a t t e r i n gp r o b l e mi ss o l v e d b yl a y e rp o t e n t i a lt h e o uf o rd i r i c h l e ta n di m p e d a n c eb o u n d a u r y t h er e s u l t so f e x a m p l e sa r e 百v e n 3 m a ，n yr e s u l t sh a eg e to nt h ee x t e r i o rp r o b l e mo f2 一i ) h e l i n l l o l t ze q u a 土i o n i nt h i sp 印e r ，ah e l m 0 1 t ze q u a t i o ni st r a i l s f o 衄e di n t ot h es e c o n di n t e g r a le q u a t i o n c o l l t a i l l i n gac a u c h ys i n g u l a r i t yb y 印p l y i n gp o t e n t i a lt h e 0 阱w bo b t a i n n u m e r i c a l s o l u t i o nb yu t i l i z i n gn y s t 6 mm e t h o d t h e s em u n e r i c a ls o l u t i o n ss h o wt h a tt h i s m e t h o di ss i m p l ea n de 雎c t i v e 4 t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ea u c t u a ld a t ab a s i n go nw 砒s hd e c o v e rf o re v a l u a t i n gt h et e r r i t o r i a lh e t e r o g e n e i t yo fr e s e r v o i r 5 b e g i 衄i n g 祈t ht h ei l lp o s e d n e s st h i sp 印e ro b t a i n st h er e g u l a r i z e ds o l u t i o n b yap r i o r ic h o o s i n gr e g u l a r i z i n gp a r a m e t e r sb a s e do nt i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n i t d e a l sw i t ht h ea c t u a ld a t a s t h er e s u l ts h o w st h a tt h i sm e t h o di m p r o v e ss p e e d a n dp r e c i s i o no fr e c o 鹏rc a l c u l a t i o n 6 t h eb a u c k u s g i l b e r tm e t h o di su s e di np h y s i c a lg e o g r a p h y ，mf a c ti ti sa r e g m a r i z a t i o nm e t h o d t h i sp 印e rd e a l s 而t ht h ea c t u a ld a t ab a s i n go nb a c k t l s g i l b e r tm e t h o df o re 、r a l u a t i n gt h et e r r i t o r i a lh e t e r o g e n e i t yo fr e s e r v o i r k e y 、o r d s ：l a y e rp o t e n t i a l ，f a r6 e l dp a t t e r n ，t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ， r e c o f v e r ，h i g hr e s o l u t i o n ，a c o u s t i cl o g g i n g i i i 知识产权声明和独创性声明 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期 间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国家有关部门或 机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论 文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 做作者虢疆薹盔指删币躲 一年6 只f 6 、 连需 日- 沙口缉6 月，f 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 i 论文作者签名：翟主乏 沙占年石月6 日 第一章绪论 第一章绪论弟一早珀了匕 1 1反问题介绍 反问题的研究是一个较新的领域它源于六十年代t i k h o n o v 的基础性论 文在科学史上有一个著名的“盲人听鼓”的问题，这是一位丹麦物理学家 在1 9 1 0 年提出的一个数学问题在已知鼓的形状的情形下，要确定鼓的发声 规律，这在数学物理研究中早已是成熟的课题反之，如果知道鼓的发声能否 确定鼓的形状呢? 从人们的生活经验可知“以耳代目”具有一定的可能性例 如，在我们挑选西瓜时，通过拍打瓜皮发出的声音，就可知道瓜瓤长得怎么 样这是因为当物体的材料确定以后，它的音调高低与其形状密切相关，有经 验的人不难发现它们之间的某些联系经过数学家们近一个世纪的深入探讨， 使人们对于现实中普遍存在的类似问题有了更加透彻的理解在“盲人听鼓” 问题中，虽然不能推算鼓面的精确形状，但是从鼓声中可以得到相当多的有关 形状的信息如鼓面大小，周边长度，甚至鼓的内部是否有凹洞都可以从鼓的 音谱中得知 在实际生产、生活中，类似的数学问题经常可以遇到由此，在数学中派 生出一个新兴的分支科学一反问题反问题的研究起源于数学物理方程，在数 学物理中，通常是研究其正问题，也就是给出微分方程及其解应满足的某些给 定的条件，如初值条件、边值条件以及混合初边值条件，求解满足给定条件的 解及研究解的正则性质然而在实际中，常常会遇到与求解正问题相反的情 况作为代表某种物理场的为微分方程的解，我们不仅知道它们应取得初边 值，而且还可以观测到解的某些进一步的信息，但是反映场源结构性质的某些 物理参数或几何参数却作为未知量在微分方程的系数中，或出现在微分方程的 右端部分，或初边值条件中，要求我们用解的进一步附加信息去反求这些未知 参数，这就是数学物理方程反问题反问题的求解中包含了微分方程的数值解 法、最优化方法及概率统计等方面的许多思想和技巧近年来，计算数学在计 算机技术飞速进步的基础上，结合解决科学与工程中的计算问题，构造和发展 新型算法，取得了丰硕的成果，也为解决反问题提供了重要的条件 反问题是从各个领域，各个学科的实际需求中提取出来的，因此反问题研 究是一门交叉性学科，解决反问题必须进行跨学科、多领域的携手合作首 先，能否提出一个归纳到数学范畴，具有可行条件的反问题，不仅需要一定的 数学理论水平，而且要掌握某个领域或学科的专业情况，这是反问题研究的重 要前提作为数学的一门新兴学科，反问题与人类的生产、生活密切相关反 问题的出现，为传统的数理方程的研究开辟了新的领域，也推动了数学研究者 积极参与和解决生产和生活中的问题 1 西北大学硕士学位论文 1 2h e l m h o l t z 方程的数值解 在声波扩散等问题中常会遇到下面的问题： u + 妒让= o ，( z ，秒) q 。= 舻一q( 1 。1 ) u = ，帆r 害“u _ d ( r 一 ) r _ ( 1 2 ) ( 1 3 ) 方程( 1 1 ) 称为二维的h e l i n h o l t z 方程，( 1 3 ) 称为辐射条件，上面的问题称为二维 的h e l m h o l t z 方程外d i r i c h l e t 问题珏( z ，爹) = ；础( 如) 是二维h e l m h o l t z 方程 的基本解，并且满足辐射条件这里r = 、( z z i ) 2 + ( 剪一玑) 2 ，础表示零阶第 一类h a n k e l 函数 k 在许爹隋况下( 例如约化波动方程) 是实数，在另一些情况下则是纯虚数， 用某些数值方法求解线性抛物型方程或线性双曲型方程的初边值问题时，可能 间接地导致求解h e l m h o l t z 方程的外问题例如，用自然边界元法求解线性抛物 型方程的初边值问题时就导致求解问题( 1 1 1 3 ) 迄今已有多种求解h e l i i 血o l t z 方程外问题的数值方法，诸如有限元结合人工边界条件法；经典的边界积分方程 法；适用于典型域( 圆外或球外区域) 的自然边界元法；有限元与无限元的祸合 法；有限元与自然边界元的藕合法；虚拟区域法；区域分解算法这些方法都有各 自的优点与适用范围首次提出了基于自然边界归化的非重叠型区域分解算 法，并应用该方法求解二维p o i ss o n 方程外问题 2 】应用该方法求解二维双调 和方程外问题 f 3 1 应用【1 1 中提出的方法求问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的数值解该方法的基本思 路是，先引入人工边界( 一般选为圆周) ，将原无界区域化为一个有界区域和一个 规则的无界区域( 圆外区域) ， 然后通过交替求解这两个子区域上的问题来获得原问题的近似解；有界区域 上的子问题用通常的有限元方法求解，无界区域上的子问题则用自然边界元方 法处理理论分析及数值实验表明，该方法分析简便，易于实施，且很有效 本文主要研究h e l m h o l t z 方程内问题，应用位势理论把h e l i n h o l t z 方程转化 为一个含有z 0 9 奇性性的第二类积分方程的求解问题，并利用箩s 概方法求 得数值结果，结果表明此方法的简单与有效性。 1 3测井资料的高分辨率反演方法 随着油气勘探和开发程度逐渐加深，迫切需要测井具有较高的纵向分辨率， 以提高薄层评价精度。利用地球物理测井对薄储层评价时，除了井眼环境影响之 外，邻层对测井结果有突出影响，面临着既要把地层清楚地划分出来，又要获得 地层地球物理参数真实数值这样两项要求目前，解决这一问题通常采用两种方 法：其一，研制开发高分辨率的测井仪器，这是提高测井分辨率的有效方法但对 2 第一章绪论 仪器设计来说，探测深度和分辨率是两个相互对立的要求因此，测井仪器分辨 率的提高受到很大限制事实上，各种测井方法及测井仪器结构决定的是测井固 有分辨率，而记录在胶片、相纸或磁带上的测井资料的分辨率是有效分辨率一 般说来，有效分辨率低于固有分辨率，这给测井曲线高分辨率处理提供了可能其 二，通过研究高分辨率处理技术努力实现测井曲线既具有较大的探测深度又具有 较高的纵向分辨率，提高测井评价的精度显然，无论从处理效果还是从经济角度 来看，后者是一种极有前途的方法，对老井效果尤佳因此，为了解决薄层划分和 厚层细分问题，重新评价老井测井资料，寻找漏失掉的油气层，有必要进行测井 曲线的高分辨率反演处理 多极子阵列声波测井是西方阿特拉斯测井公司推出的，目前各油田都在推厂 使用，它有多种测蹙方式，能提供单极，偶极等丰富的波形信息对这些波形信息 进行处理，准确地提取各分波的速度、幅度、频率等岩石物理参数，并使其纵向 分辨率较高，这对于利用多极子阵列声波测井探测气层、识别裂缝、估算地层渗 透率、判断地层各向异性、分析岩石机械特性及评价薄层等方面具有重要意义 成像测井作为跨世纪的测井高新技术，为解决油田面临的地质和勘探工程方面的 难题提供了强有利的手段然而，由于它是新引进项目且测井费用昂贵，各油田 都只在关键井上进行成像测井：另一方面，油田却积累了大量的常规测井资料 因此，用声成像测井一多极子阵列声波测井资料提取高分辨率声波时差，并以此 为依据，提高常规声波测井曲线的分辨率，是十分有意义的，这不但使老井常规测 井资料有了新的应用潜力，而且拓宽了成像测井的应用范围 阵列声波测井信号处理 早期声波测井信号处理方法主要是阀值法，该方法为某一波型设一门槛值， 当超过门槛值时，即认为是该波型的波至时间。这种方法的缺点是在有噪声脉 冲存在的情况下首波检测容易出错，因而丰要用于硬地层滑行纵波首波波至的 检测，第一个真正的全波形分析方法是斯仑贝谢公司道尔研究中心的k i m b a l l 与m a r z e 饨a 于1 9 8 4 年提出的时差一时间相关分析法，该方法依靠间距很小的长 阵列接收器，得到比较准确的分波参数的估算值，它不要求探测首波，从目前 的现场应用情况看，它是一种可靠的商业性方法s t c 法也有缺点，由于接收器 阵列的窗口是有限的，因而使速度接近的一些波组分的分辨力受到限制，再者该 方法对波列中较弱的成分并不总是灵敏，特别当一个较强波与较弱波同时到达 时更是如此。当s t c 分辨两个具有类似速度的波组分或在强干扰下探测一个弱 波成分时，估计的时差可能由于各波组分之间的相互作用，以某种方式被歪曲 了。这两个问题都可以通过使用较长的接收器阵列来解决，但要以降低垂直分 辨率为代价 4 】 1 9 8 6 年，k a i h s u 等提出了最大似然法，其基本理论是：它计算在某个波型处 的信号强度，同时把该波型以外的信号调至最小。最大似然法是一种功率谱密度 估计方法，实际是一种最优化的单频滤波器。当把它推广到波数域时，功率谱 估计就变成了速度谱估计，从而实现对速度的分辨。该方法比相关法具有更高 的速度分辨能力，对于相关法无法分辨的两个叠加了的强信号，此法仍能明显 3 西北大学硕士学位论文 分辨；只是当波列信号很弱时( 和噪声同量级) ，最大似然法显得无能为力，因为 该方法是以计算波型信号强度为基础的 5 1 1 9 8 8 年，声波波形处理的新方法一协方差法诞生了协方差法是以模型为 基础的信号处理技术，采用扩充的p r o n y 法，用指数函数的一线性组合来 描述等间距采样数据。利用各种波在时间上的差异，使用了一个时间空间窗 口，也就是在某个固定的时刻去确定时间窗口的位置，增加远接收器的时间位 置的延迟。因此，减小了由速度差别很小的波组分带来干扰。就全波波形分析 而言，协方差法是一种很有潜力的方法。首先，对单一组分去祸，并从其它波 组分中得到干扰影响最小的估算值。其次，允许在阵列范围以外对信号进行外 推，实际上提供了一个垂向扩展的窗口，同时提高分辨能力因此，可以缩短接 收器阵列，达到较好的垂直分辨率，而总的分辨率降低不明显当然，接收器较少， 仪器的可靠性会有所下降 由于声波全波列信号中新增信号的出现和叠加不是一个跃变的过程，而是 一个平滑的过渡过程，从而影响了许多方法在实际使用中的效果为此，1 9 9 7 年， 强琳提出了阵列声波全波列测井信号波至提取的小波变换方法。乔文孝将插值 法应用于时域和频域相关，李鹤升探讨了不同插值法应用于不同时频域相关的 时差计算误差和计算速度。也有人应用k l 变换l j s l 和矩阵的奇异值分解等 方法处理阵列声波测井资料6 1 常规声波时差曲线高分辨率处理 1 9 9 1 年，砌c h a r d j n 等提出了分辨率匹配法提高测井曲线分辨率7 1 ，1 9 9 5 年范宜仁将此种方法用于提高感应和补偿密度测井曲线的纵向分辨率，取得了很 好的效果 8 】，1 9 9 4 年，钱勇先将沃尔什函数应用于声波测井曲线的高分辨率反 演，取得了不错的效果 9 】1 9 9 5 年，周远田提出用a r m a 模型恢复薄层测井 值的方法，通过建立自回归滑动平均模型模拟测井信号，来以其逆函数恢复测井 值f 1 0 1 1 9 9 5 年，周远田对测井信号开展频率域分析，揭示了测井信号的频域特 征，发现分辨率不同测井信号有明显不同的幅度谱( 或功率谱) ，用拟合技术建 立了测井信号的频率结构。通过调整不同分辨率测井信号的频域结构，实现了不 同测井信号之间的分辨率匹配，最后以傅立叶反变换得到分辨率改善的测井曲 线【1 1 】1 9 9 9 年，周远田提出了一种基于分辨率信息嫡的地球物理测井高分辨 率处理技术。具体作法是：首先选择一条高分辨率的测井曲线作为基本曲线，调 整匹配曲线的频率结构或将该曲线上含有的高分辨率信息的频率补偿到匹配曲 线上，从而提高匹配曲线的分辨率。这种方法忽略了测井曲线的物理意义，可 以在任何曲线之间进行 1 2 】1 9 9 9 年，焦翠华运用小波分析提高测井曲线分辨 率，其基本思想是”分频加权重构”，对测井曲线的高频信息作能量补偿，从而 达到提高垂向分辨率的目的f 1 3 1 2 0 0 1 年，夏宏泉利用a m 测井提高双侧向电 阻率曲线分辨率也取得了很好的效果 1 4 】到目前为止，国内外提出的提高常规 测井曲线分辨率的方法归纳起来主要有分辨率时频域匹配法、反褶积法及各种 反演法等这些方法在应用上都取得了一定的效果 4 第一章绪论 1 4 本文主要内容及安排 1 本文第二章对不适定问题的解法进行了综述 2 d i r i c h l e t 边界条件和阻尼边界条件下的声波正散射问题，归结 为h e l m h o l t z 方程外问题，本文第三章第一部分对其解分别用双层位势和单 层位势表示，并举出了数值例子进行求解，它是声波反问题研究的基础 3 国内外学者已提出了许多关于h e l m h o l t z 方程外问题的解法，本文第三 章第二部分研究了h e l m h 0 1 t z 方程内问题，应用位势理论把h e l h l l l o l t z 方程转化 为一个含有c n 乱t 幻奇性性的第二类积分方程的求解问题，并利用妒概方 法求得数值结果 4 为了解决薄层划分和厚层细分问题，重新评价老井测井资料，寻找漏失 掉的油气层，有必要进行测井曲线的高分辨率反演处理本文第四章第一部分利 用提升测井曲线分辨率的w 甜s h 反演方法，对实际数据进行了处理 5 本文第四章第二部分从讨论问题的不适定性入手，基于t i k h o n o v 正则化 思想，选择合适的正则化参数，通过极小泛函构造正则化算子，可以有效地提高了 反演计算的速度和精度，从而对实际测井数据进行了高分辨率处理 6 b g 方法常被用来求解地球物理反问题，事实上它也是一种正则化方 法，修正的b g 方法减少了运算量，结果也很理想，本文第四章第三部分基于 修正的b g 方法，提出了一种测井曲线高分辨率的反演方法 5 西北大学硕士学位论文 第二章不适定问题的解法 偏微分方程的大部分反问题都归结为求解第一类算子方程，而第一类算子 方程被证明是不适定的正则化方法就是对不适定方程建立一个稳定的近似解 的方法本节介绍了求解不适定问题的一系列正则化方法，这些方法是求解反 问题的基础 2 1 正则化理论 下面我们引入正则化理论以下的定义和定理在 1 5 】 1 6 1 【17 1 中可以见到 首先引入不适定问题的定义 定义2 1 ：设k ：ucx _ y ，其中x ，y 是赋范空间方程k z = 剪叫做适 定的，是指k 是双射，且k - 1 ：y _ u 是连续的，否则，就叫做不适定的 由以上定义可知，不适定方程有三种类型： k 不是满射，即存在可y ，对任意z u 有k z 秒 k 不是单射，即存在u ， u ，且u u 使得k u = k 郇 k 1 不连续，即方程k z = 可的解不连续依赖于数值， 我们考虑第一类线性积分方程的解，因此，在没有特殊声明的情况下，都 假定算子k 是单射的线性紧算子由以上假设可知，对任意箩k ( x ) ，第一 类算子方程k z = y 的解是唯一的假设算子方程k z = 可右端项耖y 有扰 动矿y ，即存在6 o 使得 可一可6 | i 6 正则化方法的主要目的是求解其扰动方程k = 扩但是由于矿不一 定包含在k 的值域k ( x ) ，所以一般情况下这个方程是不可解的因此我 们希望得到一个近似解x ，用它来逼近精确解z ，且要求连续依赖 于矿因此，必须找到一个无界线性算子r ：y x 用它来逼近k 的逆算 子k _ 1 ：k ( x ) - x 于是，引入以下正则化序列的定义 定义2 2 ：假设k ：x y 是有界线性算子，其中x ，y 是赋范空间，算子k 是单射，有界线性算子序列如：y _ x ，q 0 ，使得r a k 逐点收敛，即 l i 码冗口k z = z ， 比x ， a u 则兄q 称作算子k 的正则化序列，参数a 叫做正则化参数 正则化序列的构造方法比较多，简便而又经典的方法是通过奇异系统建立 起来的，首先引入奇异值的定义及奇异值分解 定义2 3 ：设x 和y 是胁f 6 e 庀空间，k ：x _ y 是紧算子且有对偶算 子k + ：y _ x 自共轭算子k k ：x _ x 的特征值序列九，z 的平方 根地= 镢称为算子的奇异值 6 第二章不适定问题的解法 很明显，如果k + k z = 入z ，则a ( z ，z ) = ( k + k z ，z ) = ( k z ，k z ) o ，即 就是a 0 因此k + 的特征值都是非负的 定理2 1 ：设k ：x y 是紧算子，k ：y x 是其对偶算子，p 1 p 2 p 3 0 是算子k 的按照其大小关系编号的正奇异值序列则存在正交系 统( z i ) cx 及( 玑) cy ，对任意i 有以下关系 k 现= 地玑 系统( p i ，奶，玑) 称为k 的奇异系统 + 玑= 胁规 对每个z x 有以下奇异值分解 z = z o + ( z ，矾) 耽 知( k ) ， 诞j v 其中( k ) 表示算子k 的零空间对任意k z k ( x ) 有 = 胁( z ，翰) 玑 i 的奇异值分解式 根据以上定理，就可以得到以下关于正则化序列构造的定理 定理2 2 ：设k ：x _ y 是紧的且有奇异系统( 地，耽，玑) ，存在双变量函 数q ：( o ，o 。) ( o ，i l k _ r ，若函数口有以下性质 对所有口 o 及o 肛 o 及o 肛 i i k l i ，存在c ( a ) 使得i q ( q ，p ) l c ( q ) 卢 对所有0 p 0 ，对选取的q ( 6 ) = 巧e ，有以下误差估计： 彬6 ) ，占一z i i 0 ，则死胁d 佗d 钉函数厶有唯一最小值点护x 这个最小值点是第二 类算子方程 q 矿+ k 4 k 铲= k + ( 2 2 ) 的唯一解 很明显，方程( 2 2 ) 的解矿可以写成矿= r 口可的形式，其中 冗口：= ( 口，+ k 4 k ) - l k + ：l 厂寸x 选取紧算子k 的奇异系统，玩，玑) ，我们可知凡y 有以下表达式 r 可2 薹煮鳓轳薹掣池如y “( 2 3 ) 其中g ( o ，p ) = p 2 ( q + p 2 ) 容易得知，这个函数符合定理( 2 2 ) 中所提到的关 于正则化过滤函数的三个约束条件，可见风是一个标准的正则化序列由上 节正则化方法的误差定理我们容易得出t i k h o n o v 正则化方法的误差估计 除了t i k h o n o v 正则化方法以外，l a n d w e b e r 迭代法也是求解不适定问题的 一种常用的正则化方法，它和t i k h o n o v 正则化方法各有其优点 2 3 投影方法 投影方法求解算子方程k z = y 的不同于以上正则化方法的另一种方法 投影方法是针对数值求解时必须将方程离散化这个要求，将算子方程k z = 可 8 第二章不适定问题的解法 投影到有限维空间，进而将无限维算子方程化为有限维线性系统，由此可知此 方法比t i k h o n o v 正则化方法简单易行 首先，我们引入投影算子的定义 1 8 】 定义2 4 ：设x 是数域k 上的一个赋范空间，其中k = r 或k = c 让u x 是一个闭子空间一个有界线性算子p ：x _ x 称为u 上的投影算 子，则它要满足以下两个条件： p z u ，时所奄霉x ； p z = z ，对所有z u 有了投影算子的定义，以下引入投影方法的定义 定义2 5 ：让x 和y 为b o n 口c 九空间，k ：x _ y 是有界单射算子令c x 和kcy 分别为其n 维子空间，q n ：y _ 是一个投影算子对给定 的可y ，投影方法求解方程k z = y 归结为求解方程 q 几k z n = ( 。yz 。x n ( 2 4 ) 设 畲1 ，钆) 和 雪1 ，如) 分别为和的基则我们可以表示q n 和所有的q n 七幻，j = 1 ，仃为 nn q n 可= 脘反q n k 岛= a 巧轨， 歹= 1 ，n i=1扛：l 其中侥，a 衍k 线性组合z n = ：1 句是( 2 4 ) 的解当且仅当q = ( q 1 ，a n ) 丁k n 是有限维线性系统 i = 1 ，n ，i e ，a o = p 的解 选取不同的投影算子，就得到不同的投影方法下面的两个投影方法( 配置 法和g a l e r l 【i n 方法】分别是用正交投影算子和插值算子构造出来的 例：设k ：x 叶y 是有界单射算子下面引入两个常用的投影方法 ( a ) ( g a l e r k i n 方法) 设x 和y 是内积空间，cx 和kcy 是其慰维子 空间取q 凡：y _ 为正交投影，即对所有可】使得q n 可k 是可在 中的最佳逼近，用不等式表示为 i i q n y y | | i | z n z i lk 从而容易得知( 耖一q n y ，) = 0 对所有k 由此可知投影方程q n k z n = 骗箩等价于 ( ) ：( 蚓k ( 2 5 )( k z n ，) = ( 剪，) k ( 2 5 ) 令= s p a n 金l ，岔n ) 以及k = s p a n 雪1 ，钆 寻求以上方程( 2 5 ) 的 形如z n = 1 幻的解就导致了如下线性系统 9 风 = 口 一u a n 汹 西北大学硕士学位论文 i = 1 ，咒， 或者写成a q = p ，其中a t j = ( k 圣j ，蟊) ，成= ( 可，识) ( b ) ( 配置法) 设x 是b a n a c h 空间，y = c 池，6 且k ：x c k ，6 是有界算 子让口= 1 0 为波数，a 为阻尼系数 3 2 位势理论 位势理论在求解声波正散射问题中起着至关重要的作用 下h e l m h o l t z 方程的基本解为 圣( z ，秒) = 要磷1 ( 后 z 一芗i ) ， z 秒 其中舔1 ) 是第一类零阶h a n k e l 函数 给定可积函数妒，积分 孔( z ) = 妒( 可) 西( z ，可) d s ( 可) ，z r 2 d j 8 d 和 二维情形 ( 3 4 ) 巾) = z 。咖) 帮d s ( n z 趴。 分别称为密度为妒的声波单层位势及声波双层位势f l q 它们分别是h e l m h o l t z 方程在d 内及冗2 d 的解，而且它们满足s o m m e r f e l d 辐射条件 对于连续的密度函数妒，单双层位势在区域d 的边界上满足下面的跳跃关 系 定理3 2 ：设a d 是c 2 类的，妒是连续的，那么，以连续函数妒为密度的单 层位势u ( z ) 在冗2 是连续的，且对任意依赖于a d 的常数c 0 有 i i “l l ，j 护c i l 妒l i ，a | d 在区域d 的边界上有 ( z ) = 妒( 可) 圣( z ，y ) d s ( y ) ， z a d 等= z 。岫) 裂d s ( 虾知，俐。 其中 等( 咖= 留。( 巾) ，g r a d u ( z 士叫圳) 】2 第三章h e i m h o l t z 方程的数值解法 可以被认为是在边界上一致收敛，其中的积分是不定积分 双层位势u ( z ) 可以连续地从d 拓展到万，从兄2 万拓展到r 2 d ，并 腑 叫垆厶的) 帮d s ( 舭扣，删。 其中 秽士( z ) ：= 。l i 珥。u ( z 士 ( z ) ) 此积分是不定积分双层位势的法向导数有如下关系 艘。 筹( 时州圳( z 一州圳) o z 肋 对于妒不连续时的情形，我们引入以下三个算子s ，k 以及k ( s 妒) ( z ) = ( k 妒) ( z ) = ( k 7 妒) ( z ) = 8 ， 8 ， 8 ， 圣( z ，y ) 妒( y ) d 5 ( 可) ， z a d 帮删咖) ，倒。 帮刚s ，删。 其中妒三2 ( a d ) ，此时单双层位势有如卜蚓e 跃关糸 定理3 3 ：设a d 是c 2 类的，妒l 2 ( a d ) ，则以妒为密度的单层位势u ) 在 区域d 的边界上有 粤。厶。m 姓肋( z ) ) 一( s 妒) ( z ) 1 2 d s ( z ) = o ， z 扣 ，磐。z 。1 2 嘉( z 士忽( 圳一( 妒) ( z ) 士妒( z ) 1 2 幽( z ) = 。， z a 。 以妒为密度的双层位势 ( z ) 在区域边界上有 牌。以。m z 士危( z ) ) 一( k 妒) ( z ) 千妒( z ) 1 2 d s ( z ) = o ， z 如 恕。z 。i + 劬) 一( z 一九( z ) ) 1 2 d s = 。 z a 。 有以e 的跳跃关系后。下一节南此来研究求解声波币散射问颢 3 3 d i r i c h l e t 外边值问题的数值解法 3 3 1边界积分方程 本节求解二维d i r i c h l e t 边值问题，即散射波矿满足 u 5 + 七2 u k0 i n r 2 万( 3 5 ) 1 3 西北大学硕士学位论文 t 正8 = 一e 低d q o n a d ( 3 6 ) 对于散射解乱s ，寻求如下单双层位势混合形式的解 u 8 = z 。 帮以吣川) d s z 叭如( 3 7 ) 其中妒c ( a d ) 很明显，由跳跃关系可知，求解外d i r i c h l e t 问题归结为求解 密度函数妒使得它满足边界积分方程 妒+ k 妒一i 后s 妒= 一2 e 。船q( 3 8 ) 其中k ，s 是由上节所定义的，由算子k ，s 的定义可知，墨s 都是紧算子，因 而方程( 3 8 ) 是第二类算子方程，由r i e s z n e d h o l m 理论 1 9 】知，此边界积分方 程的解存在唯一且连续依赖于右端项 要求解第二类算子方程( 3 8 ) ，就必须先对它进行参数化 假定区域边界a d 是解析的，且有如下参数表示式 z ) = ( z 1 0 ) ，z 2 ) ) ， o t 2 7 r( 3 9 ) t 沿逆时针方向，且对所有的o t 2 丌有 z j ( ) 】2 + z ：( t ) 】2 o 于是，通过 直接计算，我们把边界积分方程( 3 8 ) 化为以下的参数形式 妒( ) 一 l ( t ，7 - ) + i 七m ( ，7 - ) ) 矽( 7 - ) d 7 = 一2 妇( 2 ) ， o 2 7 r( 3 1 0 ) 其中定义矽( t ) ：= 妒( z ( t ) ) ，当t 丁时以上参数化方程的核为 l(，丁)：=萼z：(丁)p，(丁)一z。()】一z：(丁)z2(丁)一z2(t)】)帮， m ( t ，丁) ：昙碰1 ( 鼢( t ，丁) ) m ：( 丁) 】2 + 【z ：( 丁) 】2 ) 1 2 ， 其中 r ( ，7 ) = k 1 ( t ) 一z 1 ( 丁) 】2 + k 2 ( ) 一z 2 ( 7 ) 】2 ) 1 2 研1 和硪1 分别表示一阶和零阶第一类h a n k e l 函数 由于核l 和m 在= 7 - 处有奇性事实上l 是连续的，而它的导数是有 奇性的，把核作如下处理，令 l ，7 ) ：l 1 ( ，7 ) l n ( 4 s i n 2 生丢二) + l 2 ，7 ) m ( t ， ) ：尬( 屯7 ) 1 n ( 4 s i n 2 旱) + 尥( t ，丁) 其中 她小= 去惭黼) 咱( 叫叫川( 硼 筹铲， 第三章h e l m h o l t z 方程的数值解法 l 2 ( t ，7 ) ：= l ( t ，丁) 一三1 ，7 ) 1 n ( 4 s i l l 2 三；二) ， 尬( ，7 ) ：= 一去如( 打( ，7 - ) ) z i ( 7 ) 2 + 阱( 7 ) 】2 ) 1 2 ， a 毛( ，7 - ) ：= m ( ，7 ) 一a 磊( ，7 ) l n ( 4s i n 2 三三 二) 和如分别表示一阶和零阶b e s s e l 函数容易证明l 1 ，l 2 ，尬以及都 是解析的再由b e s s e l 和n e u m m a n n 函数的表达式 壮薹饼( 扩 如( z ) = 需( 丁， 七= 0 、 ， 一 以及 争坼，+ 喜 毫去) 锚( 泸 可知 l 2 ( t ，) = l ( ，t ) = 1z j ( ) z g ( ) 一z ：( t ) z ? ( ) 2 7 r k ：( ) 】2 + 陋：( ) 】2 ) = 主一等一去l n 等似馋) 】2 + 姒酬2 】- ) 他馋) 】2 + 姒圳2 2 其中e = 0 5 7 7 2 1 为e u l e r 常数因此，求解积分方程( 3 1 0 ) 归结为求解以 下形式的积分方程 ，2 r 矽( t ) 一 k ，7 ) 矽( 7 ) d 7 = 一2 e i k ( 2 ) ，o s2 丌 ( 3 1 1 ) 它的核可以写成以下形式 k ( ，7 ) = 艇( 友7 ) l n ( 4 s i n 2 旱) + 鲍( 幻) 其中 。 尬( ，丁) = l 1 ( t ，7 ) + 矾m l ( ，丁) 鲍( t ，丁) = l 2 ( t ，7 ) + i 后m 2 ( t ，1