（应用数学专业论文）多目标模糊优选决策模型及其在资源分配中的应用.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 捅要 决策问题广泛存在于社会、经济、管理等领域，而且通常遵循相互矛盾的 原则。传统的多目标决策问题往往局限于对确定性现象进行研究，而现实生活 中大多数现象却都具有不确定性。不确定性现象一般又可分为随机现象和模糊 现象两类，概率论是研究和处理随机现象的工具，模糊集理论的发展为解决模 糊现象提供了重要的理论和方法。本文的研究内容包括：多目标决策模型、多 目标单元系统模糊优选模型、多目标多系统模糊优选模型、多维多目标多阶段 模糊优选模型。 首先，给出多目标决策模型及其解的各种定义，讨论了它们的一些性质，提 出了评价函数中的理想点法，为论文的展开作了铺垫。 然后，通过理想点与平方加权和距离的引入推出单元系统模糊优选模型。 权重和定性目标是模糊多目标决策的两类主要偏好信息，在确定定性目标的相 对优属度时，先介绍常用的相邻比较法，再尝试通过定性等级量化表，利用集 值统计原理等方法来确定定性指标。由于主观权系数的确定一定程度上要依赖 于专家的经验，具有很大的主观性，客观权系数在结果上不一定符合实际的要 求，为此，本文提出主客观综合评定法来确定最终权系数。考虑到权重对局部 最优决策进而对全局最优决策产生的影响，在第三章，利用扰动思想作了权重 的灵敏度分析多个单系统构成多系统，本文进而给出多系统模糊优选决策模 型。目前在求解多维多目标多阶段模糊优选问题时，通常采用的是先利用逐次 逼近法进行降维，再进行求解的算法，本文尝试运用拉格朗日算子进行降维的 算法，并在第四章中给出一个具体的应用算例。 最后，对全文作了总结，并对有待于进一步研究的问题作了展望。 关键词：多目标决策：模糊优选决策：权重：拉格朗日算子 西南交通大学硕士研究生学位论文第页 a b s t r a c t d e c i s i o n m a k i n gp r o b l e m sa r ew i d e l yu s e di nt h ef i e l d so fs o c i e t y ，e c o n o m y ， m a n a g e m e n ta n de t c , a n dt h e yu s u a l l yf o l l o wt h ep r i n c i p l eo fm u t u a lc o n t r a d i c t i o n s t h et r a d i t i o n a lt h e o r yo fm u l t i - o b j e c t i v ed e c i s i o n - m a k i n gi so f t e nc o n f m e dj nt h e p h e n o m e n o no fc e r t a i n t y ，w h i l et h eo n ei so f t e nu n c e r t a i ni nr e a lw o r l d i ng e n e r a l ， p h e n o m e n o no fu n c e r t a i n t yc a nb ed i v i d e di n t ot w ot y p e s ：r a n d o ma n df u z z y t h e p r o b a b i l i t yt h e o r yi su s e dt os t u d ya n dd e a lw i t hr a n d o mp h e n o m e n o n ，a n dt h e d e v e l o p m e n to ft h ef u z z ys e t st h e o r yi su s e dt od e a lw i t hf u z z yp h e n o m e n o n t h e s t u d yo ft h ep a p e rc a l lb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ：m u l t i - o b j e c t i v ed e c i s i o n - m a k i n g m o d e l ，t h em o d e l so ff u z z yo p t i m a ls e l e c t i o na m o n gm u l t i - o b j e c t i v e si nu n i t s y s t e ma n dm u l t i s y s t e m s ，a n dm u l t i d i m e n s i o n a l ，m u l t i - o b j e c t i v ea n dm u l t i - s t a g e f u z z yo p t i m i z a t i o nm o d e l f i r s t l y , t h i sp a p e rp r e s e n t sam u l t i - o b j e c t i v ed e c i s i o n - m a k i n gm o d e la n dt h e d e f i n i t i o no fv a r i o u ss o l u t i o n s ，d i s c u s s e ss o m eo ft h e i rp r o p e r t i e s ，a n dg i v e st h e m e t h o do fe v a l u a t i n gt h ef u n c t i o n si d e a lp o i n t a l lt h i si st h ef o u n d a t i o no ft h e f o l l o w i n gp a p e r t h e n , w eg i v et h es i n g l es y s t e m sf u z z yo p t i m i z a t i o nm o d e lb yi n t r o d u c i n g t h ei d e a lp o i n ta n dt h ed i s t a n c eo fs u mo fs q u a r ew e i g h t w e i g h ta n dq u a l i t a t i v e o b j e c t i v e sa r et w ot y p e so fp r i m a r yp r e f e r e n c ei n f o r m a t i o ni nf u z z ym u l t i - o b j e c t i v e d e c i s i o n m a k i n g i nd e t e r m i n i n gt h er e l a t i v em e m b e r s h i pd e g r e eo fq u a l i t a t i v e o b j e c t i v e ，t h ep a p e rf i r s t l yi n t r o d u c e st h et r a d i t i o n a lp a i rw i s ec o m p a r i s o n ，t h e n q u a f i t a t i v eg r a d i n gs c a l et a b l ei su s e dt od e t e r m i n et h eq u a l i t a t i v eo b j e c t i v eb yt h e s e t - v a l u es t a t i s t i c st h e o r y s u b j e c t i v ew e i g h tt oac e r t a i ne x t e n td e p e n d so nt h e e x p e r t i s e ，a n di t i sv e r ys u b j e c t i v e t h er e s u l t sa r en o tn e c e s s a r i l yc o n s i s t e n tw i t h t h e o b j e c t i v ew e i g h t e dm e t h o d i nr e a l i t y t h et h e m e a d o p t st h em e t h o do f s y n t h e s i z i n gt h es u b j e c t i v ea n do b j e c t i v ew e i g h t e , dm e t h o dt od e t e r m i n et h e u l t i m a t ew e i g h tf a c t o r t a k i n gi n t oa c c o u n tt h ei n f l u e n c eo ft h eo p t i m a lw e i g h tt o t h el o c a ld e c i s i o n m a k i n gp r o c e s sa n de v e nt h ew h o l e ，a n db yu s i n gt h ew e i g h t 西南交通大学硕士研究生学位论文第m 页 p e r t u r b a t i o nt r a n s f e re q u a t i o n , t h ew e i g h ts e n s i t i v ea n a l y s i sw i l lb ed o n ei nt h e t h i r dc h a p t e r f u r t h e r m o r e ，t h ep a p e rg i v e st h em o d e lo fm u l t i o b j e c t i v ef u z z y o p t i m a ls e l e c t i o n i nt h ec o m p l e x s y s t e m c u r r e n t l y , s o l v i n gt h em o d e lo f m u l t i - d i m e n s i o n ，m u l t i - o b j e c t i v ea n dm u l t i - p h a s e sf u z z yo p t i m a ls e l e c t i o n , t h e d p s aa r i t h m e t i ci su s e dt or e d u c et h ed i m e n s i o n a l i t yt os o l v ei t t h i sp a p e rc o m e s u pw i t ht h ea r i t h m e t i co fr e d u c i n gt h ed i m e n s i o nb yt h el a g x a n g ef a c t o r a tl a s t , a s p c c i 丘ce x a m p l ew i l lb eg i v e ni nt h ef o u r t hc h a p t e r f i n a l l y , as u m m a r yi sm a d ea n ds o m ep r o b l e m st ob ef u r t h e rs t u d i e da g e g i v c 丑a tt h ee n do ft h ep a p e r k e yw o r d s ：m u l t i - o b j e c t i v ed e c i s i o nm a k i n g ；f u z z yo p t i m a ld e c i s i o n ；w e i g h t ；t h e l a g r a n g er 犯1 0 r 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 多目标决策问题的发展与研究现状 诺贝尔奖金获得者西蒙曾说过：“管理就是决策。”决策是人类最基本的活 动之一。在生产、科学等方面的实践中，人们经常需要评判一个决策( 如计划、 方案等) 的好坏。当这个决策只需按一个指标进行评判时，我们把它称为单目 标优化问题，这类问题的处理方法已很成熟。但是在实际的问题中，遇到更多 的决策往往是同时考虑多个指标在某种意义下的最优问题。这类问题称为多目 标优化问题“嘲。一个决策对各个指标而言，一般不一致，甚至相互矛盾。所 以，多目标决策问题恤1 成为人们需要开展研究的课题之一。 多目标优化的思想萌芽于1 7 7 6 年经济学中的效用理论，最早是由法国经 济学家v p a r e t o 在1 8 9 6 年提出的，并给出p a r e t o 呻j 最优的概念1 9 5 1 年，数 理经济学家t c k k o o p m a n s 从生产和分配的效率分析中考虑了多目标优化问 题，引入了有效解的定义而且推出了一些基本结果，他的工作为多目标优化和 决策这门学科奠定了基础。上世纪5 0 年代中期，美国数学家贝尔曼( b e l l m a n ) 为解决多阶段决策问题创立动态规划学说1 。对于许多离散型问题，由于解 析数学无法施展其术，而动态规划却成为有用的工具。动态规划、最大值原理 删和变分法“”2 1 是优化理论的基本内容和常用方法。1 9 6 8 年，i j o h n s e n 系统 地提出了关于多目标决策模型的研究报告，这对多目标优化问题的研究起着转 折性作用。美国学者l a z a d e h 于1 9 6 5 年提出了模糊集概念“”，建立了以 模糊集合论为基础的模糊数学，从而使人们对于模糊现象的描述变为可能，为 数学的应用范围从精确现象拓展到模糊现象奠定了基础。随后l - a z a d e h 从 控制论方面提出具有模糊性的“非劣策略“+ 埘概念，并给出了一些重要结论。 1 9 7 0 年b e l l m a n 和l a z a d e h 在多目标决策的基础上，提出了模糊决策的基 本模型，在该模型中，凡决策者不能精确定义的参数、概念等都被处理成某种 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 适当的模糊集合，这为以后发展和推广模糊决策奠定了基础。 在我国，多目标优化问题的真正研究是从7 0 年代后期开始的，到现在为 止已经有着丰硕成果。如秦裕瑗通过在多阶段有向图上让有向边赋以抽象数学 系统一半域一中的元素作为嘉量，建立嘉量原理和公式来讨论优化解，让 有限型时间过程的决策问题转化为几何问题来处理“”。陈守煜针对资源的有 效配置问题提出模糊优选动态规划理论”。 “，在z a d e h 的模糊决策概念和模 糊环境下的决策模型基础上，用决策序列相对优属度总和最大法解决了动态多 阶段优化问题。在多目标决策问题的算法上，顾基发、胡毓达等都做了大量的 工作。魏权龄、应玖茜在发表的文章“多目标数学规划的稳定性”中讨论了解 的稳定性问题。此外，还有其他学者相继提出了一些相关理论。多目标决策不 仅在理论上得到很大发展，而且在经济、管理、军事及工程技术等领域都有着 广泛的应用。另外，决策科学是模糊集理论在实际应用中最为成功的领域之一。 目前国内关于模糊数学的书籍都或多或少地介绍了模糊决策的基本原理与方 法，但由于各自研究目的和撰写的角度不同，都涉入不深。多目标决策以其考 虑问题的全面性、决策方法的科学性和应用的广泛性正被越来越多的学者所关 注和研究。由于决策问题中存在大量的模糊性，所以模糊决策是决策科学发展 的必然结果。口”1 1 2 本文的结构及主要工作 本文共5 章，分为4 个部分。 第一部分( 第1 章) 主要介绍多目标决策理论产生的背景、目前的发展状 况和全新的发展前景。 第二部分( 第2 章) 为本文的预备知识。主要介绍多目标决策模型以及其 各种解集的意义和相互关系，在解法中着重介绍了评价函数法中的理想点法， 为后面论文的展开作了相应的铺垫。 第三部分( 第3 、4 章) 为论文的重点。通过理想点与平方加权和距离的 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 引入推出模糊优选模型，提出了定量、定性指标的相对优属度以及目标权重的 确定方法。在动态规划理论的基础上，给出多目标多阶段模糊优选模型。 在这部分，主要工作有： ( 1 ) 在推导模糊优选模型时，本文采用的是平方加权和距离代替文献 2 1 中的广义权距离，从而得出的模型是不一样的。 ( 2 ) 在确定定性指标的相对优属度时，文献 2 1 用的是相邻比较法，而 本文给予进一步拓展，尝试利用集值统计法来进行确定。集值统计法可以广集 专家意见，减少定性指标量化后的随机误差。 ( 3 ) 考虑到权重对局部最优决策进而对全局最优决策产生的影响，在第 三章利用扰动思想给出了权重的灵敏度分析。 ( 4 ) 目前求解多维多目标多阶段模糊优选问题时，通常采用的是首先利 用逐次逼近法进行降维，然后再进行求解的算法，本文尝试运用拉格朗日算子 进行降维的算法，并在第四章中给出一个具体的应用算例。 第四部分是论文的结论和展望。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 2 1 引言 第2 章预备知识 在线性规划和非线性规划中，所研究的问题都只含一个目标，这类问题称 为单目标优化问题，但是在实际问题中，我们却经常同时考虑多个目标在某种 意义下的优化问题，即多目标优化问题。与单目标优化问题不同，多目标优化 问题有多种提法和模式。本章首先给出多目标优化问题的模型、各种意义下解 的概念和性质，然后着重讨论模型的解法一评价函数法中的理想点法。 2 2 多目标决策模型 多准则决策( 包括多目标决策和多属性决策) 是目前决策科学、系统工程、 管理科学和运筹学等学科研究中十分重要、非常活跃的领域嘲。我们在实际生 活中所遇到的优化问题，如果抛开其物理量的实际意义，单从数学结构上来看， 无非是考虑在一定限制条件下，多于一个数值目标函数的优化问题。设置为 备选方案( 决策变量) ，其全体k ，x 2 ，) - r 称为备选方案集，通常备选方 案可看作n 维欧氏空间的一个点，所以有薯e r f ，e “为决策变量空间， 简称决策空间。假设有m 个指标且都是决策变量的函数，则指标向量函数f ( 可表示成：，o ) 一【 o ) ，2 0 ) ，矗o ) 】。h ( j 一1 ，2 ，m ) 表示第j 个指标， ，0 ) 表示决策z 的第j 个指标值，指标n i m 数f ( x ) 的取值范围称为值域， 记为，僻) 。为建立模型，所遇问题常附带一些约束条件，这些约束条件可表 示成决策向量的函数。用式子可表示为： g i 0 ) 0 , h ，0 ) 一o , q 一1 ，2 ，p ；j - 1 , 2 ，q ) 多目标决策问题的模型可表示成： n i n 五瓴，x z , - - ；毛) m i n f “，恐，而x 脚【f + 1 “，x z ，毛) ， , m a x l 瓴，而- j 毛) ( 2 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 s t ：岛o , h j ( x ) 。o ，( f - 1 ，2 ，p ；j 一1 ，2 ，鼋) 注意到求一个函数f ( x ) 的最大值可以转化为求这个函数的负函数一f ( x ) 的最小值，所以式( 2 1 ) 可转化为：m i n 0 ) ，o ) ，- l + 。o ) ，一，_ 0 ) 】， i 面h j ( x ) 0 总可以写成一耋。和一h i ( x ) 乏o 。为简单起见，现给出多目标 决策问题的规范模型：p ：曾f 0 ) ，其中r - 石，g ，( 功耋o ) 。 2 3 多目标决策模型的解 建立多目标决策问题模型的最终目的是为了获得问题的解。由于指标函数 不是单一的，造成“优”这个概念的复杂化，因而产生各种意义下“优”的概 念。本节从向量序入手，阐述多目标决策模型解的基本概念以及有关解的基本 定理。 2 3 1 有效解、弱有效解、绝对最优解 定义2 1 设4 一“，4 ：，4 。) r , b 一 ，6 2 ，k 尸是小维欧氏空间r 1 中的 两个向量，r 表示转置。 ( 1 ) 4 ( 6 。q 4 ( f - 1 , 2 , o op m ) 。 ( 2 ) a 堇b q 岛( f - 1 , 2 , ，朋) ，即4 中的每个分量均小于或等于b 中对 应的分量。 ( 3 ) a s 6 尊口耋b r a b ，即对i - 1 , 2 , ，m ，均有qs 岛，且至少存在 某个矗( 矗- 1 , 2 , ，m ) ，使口 - 卜吒，其中磁 而表示方案比 方案而优越或同样优越。对模糊概念“优越”给出1 1 个形容词级别：同样、 稍稍、略微、较为、明显、显著、十分、非常、极其、极端、无可比拟。“同 样”和“无可比拟”所对应的模糊标度值分别是o 5 和1 。其余语气算子所对 应的模糊标度值如下表： 表3 - 1 语气算子和模糊标度值的对应关系 设，心为基于指标，方案一对方案而相对优的模糊标度值。对方案作关于 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 4 页 优越性程度的二兀比较： ( 1 ) 当& 比一优越时，0 5 j 1 ，0 j 弘m 0 5 ( 2 ) 当以和而一样优越时，- 0 5 ( 3 ) 砌+ ，一1 由上述定义，显然有j 一0 5 。称，以柚为相邻方案相对优的模糊标度值 假设现在只有和+ 1 两个方案，基于指标 ，x k 优于磁+ 1 ，方案黾相 对优的隶属度，r k - 1 ，以上“根据专家给出的语气算子由表3 1 得出，由于稚 与其自身的模糊标度值为0 5 ，所以方案砟+ 1 相对优的隶属度 ，r k , 1 - 1 5 - s 心 n 方案以和故+ - 隶属度之比为：j 兰。曩丽1 ，所以有 j + 1 - ，( 1 5 一j - t k “) ( 3 2 3 ) 当我们在整个方案集中进行考虑时，式( 3 - 2 3 ) 也成立，其中 k - 1 , 2 , ，玎一1 。由于是基于指标力最理想的方案，故， 一i 。根据s h ) 的 排序结果和，以上“的值以及递推公式( 3 2 3 ) ，可算得各方案的相对优属度。 法二：集值统计法 由于客观事物的复杂性、多样性和主观认识的局限性，所以决策者定性分 析的结果往往具有不确定性、随机性和模糊性。集值统计原理是经典统计和模 糊统计的拓广，经典统计在每次试验中得到一个确定的点，而集值统计在每次 试验中得到象空间的一个子集。集值统计能广集专家意见，利用区间估计，有 效改善量化结果，解决了一些指标或针对某一确定指标某方案的估值“大约是 多少”这一模糊概念的量化问题。 具体方法如下：现假设有m 个评价指标，l 位专家对此进行评定。每位专 家对指标的评价区间为：一【a v , b l l 】( i - 1 , 2 , m ；j - l , 2 , m 对于指标，m ，各专 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 5 页 家的评价区间为【口一k - j ，【a t r n 2 , k ：j ，【n 一，j ，从而形成一个集值统计序 则懒旭躺删概旅御 上述方法可作如下解释：现假设有f 位专家针对某评价指标丘的某种方案 鼍进行评定，记厶“) 垒z 。令某专家( j l ，2 ，f ) 的评价值所在的评价区 间为 口脚，】，由此得到z 个评价区间，这z 个评价区间叠加在一起形成了一个 砟) 。；荟卟硝，】 其中吖，】( z ) - 。可嘉。则某定性指标评价值：的估值；为： 一r “z p ( z 皿 z - 土山一 e p ( z p z 式中z 。，z m i 分别为某方案指标评价值z 可能取得的最高值、最低值 亡p ( z ) 如= j = ；套妒 ，】( z ) 出t ；耋【一 c z p ( z 弦一c z 争套卟以m 出一刍妻2 一( ) 2 】 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 6 页 当厶h ) 取某确定值时，对所有j ，都有 a 卅一一c ，估计值z c 。对每个方案、每个定性指标都一一进行估值，算 出定性指标的相对优属度。 法三：定性指标定量化后求相对隶属度的一种简便算法 步骤( 1 ) ：根据下面1 9 定性等级量化值表，针对指标，j ，某专家对方案而 评定等级，确定其量化值。 表3 - 21 9 定性等级量化值表 步骤( 2 ) ：利用公式( 3 2 1 ) 或( 3 2 2 ) 把定性指标量化后的值规范化。求 出方案葺“2 ，n ) 隶属于理想方案的相对隶属度。 3 2 4 指标权重的确定 确定指标权重大小的根本依据是各指标在指标体系中的重要性，合理确定 各指标的权重是相当重要的，同时又是十分困难的。因为一方面不同的权重可 能得到不同的甚至是相反的评价结果，另一方面，它又受被评价对象的特征和 决策主体偏好等多种因素影响。目前确定指标权重的方法很多，但综合起来， 根据侧重点的不同，主要分为主观赋权法和客观赋权法两大类。主观赋权法主 要有二项系数法，专家调查法渊，环比评分法，两两赋值法d 司，层次分析 法( a h p ) 汹”1 等，这类赋权法常常带有评价者或决策者的许多主观色彩，但 在排序方面有较高的合理性。客观赋权法主要有熵值赋权法。”，最小二乘法汹1 ， a 法，相关系数法( 均方差法) “，多目标规划化法o 刈等。这类赋权法主 要是根据测得的一些相关数据利用某种规则直接求得指标的权重，人为干扰 n = 一 一叫 蟛驴 ，v 角一 从 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 7 页 少。对于指标和方案关系比较复杂的决策，很难直接确定各指标相对重要性的 权重时，采用客观赋权法要合理一些。但客观赋权法确定指标的权重也有很大 的局限性。如均方差法只有在决策方案数目远远大于指标数目时才可以得到合 理的权重，而在决策方案数目较少，甚至小于指标数目时，却可能得到负值权 重，这与权重的概念是相违背的，从而给决策者带来困难。有文献认为熵值法 的优点在于该法最大程度地利用了评价矩阵中所给出的结构信息来计算各指 标的权系数值，适用于指标间彼此相关性很小或不相关的情形，当指标间具有 较高的相关性时，此法容易存在多项重复强化现象。又如a 法采用的前提是问 题卿荆一哩眦似五o 囊厶o ：) ) 没有绝对最优解等。由于权系数是矩阵不同列 之间相对重要性地评判和排序，应该说与不同行之间的比较没有必然联系，因 此用其来计算权系数不尽合理。事实上，隶属度反映的是不同判别对象在同一 评判因素上的差异，权系数反应的是同一评判对象中不同评判因素的重要性区 别，有的算法计算出的结果与指标的实际重要程度并不一致。 由于主观赋权法、客观赋权法各有其优缺点，本文欲以此为基础，提出主 客观相结合的综合评定法。该方法的主要思想是：先分别利用主观赋权法和客 观赋权法中的某种算法得出一权值，再利用最小二乘法为工具，建立确定指标 权重的优化模型，使指标的赋权达到主观与客观的统一，这样更具有合理性。 3 2 4 1 确定主观权重系数 由于各个指标间的不可公度性与冲突性，决策者对方案的优劣作决策时， 一般首先要把各方案所对应的各指标评价值转化为相对隶属度( 或效用函数) ， 然后赋予各个指标相应权重，再作综合评价，从而确定最满意方案。权重可由 决策者给出，但是，一方面，决策者往往很难或者根本无法直接给出各个指标 权重的准确值；另一方面，决策者虽不能给出一个确定的权重，却能根据知识 经验在两指标重要性作比较时给出一个判断结果，如指标i 比指标j 重要，指 标f 与指标同等重要，指标i 不如指标j 重要，甚至对两指标重要性进行量化， 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 8 页 给出它的比值等。当决策矩阵是未知的情况下，本文分别给出二项系数法和特 征向量法来确定主观权重系数。前者的理论依据是两点分布可转化为二项分 布，而二项分布又以正态分布为极限分布；后者是由s a a t y 于1 9 7 7 年提出， 从权重比矩阵的特征值和特征向量角度来解决问题的。 1 、二项系数法的具体步骤如下： 步骤( 1 ) ：邀请个z 专家独立地分析m 个指标的重要性，作两两比较定性 排序。第七个专家对五和乃比较后，作排序正恤) - 一( 表示第七个专家认为 第f 个指标比第j 个指标重要) ，f ) - 一时，取p ( 正) 1 ，若五 f ”_ 1 f 1 。现按照下面规则对指标重新进行排序： 当m 是奇数时，按对称方式排序为：f 1 ，4 ，2 ； 当m 是偶数时，按对称方式排序为：f 1 ，4 ，2 。 步骤( 4 ) ：用二项展开式系数归一化后作为对称序中所对应的各指标的权重。 由于指标共有m 个，故用小一1 次幂的二项展开式系数，即c ：中砩印c 三。， c = m 。- 2 ，j 。可以证明：，+ c 三一，+ c 三。+ + c = m - 。2 + c 2 = 2 ”1 。各系 数归一化后作为对称排列的m 个指标的权重。 该方法的理论依据：因为任取正和，比较后，其结果是随专家不同而变 化的随机变量，设结果变量是岛，袅月匣从二点分布，如果将五和所有其它的， 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 9 页 进行重要性比较后，则得到一个随机变量序列 岛 ，而相互独立且服从同一两 点分布的随机变量岛之和函数m dm 善岛服从二项分布，由于专家的判断是 相互独立进行的，所以二项分布的随机序列 m 。) 也是独立的。根据独立同分 布中心极限定理可知：当l 一* 时， 鸠一；塞m 。应服从正态分布直观地看， 各指标的权数既受各专家的判断结果影响，但又不受绝对影响，因此应该近似 服从正态分布。 2 、特征向量法的具体步骤如下： 步骤( 1 ) ：设待求的权重向量一( q ，0 ) 2 ，) ，通过两两比较，给出 指标五和厂j 的权重比q ，f ，一1 2 ，坍，构造权重比矩阵m 。 m 一 l | 1w + + 0 2 阻t | t t | l 2 | l 0 ) 2 o j m ； m 。| l 。 m 2 m 。 。 ；卑t | t - 1 ，l | l l | t 1 1 当i | i | | k 一i | t 时，m 设褓 为相容矩阵。 步骤( 2 ) ：求解m 的最大特征根k 给出不相容度指标：c - 专畀， 如果c s o 1 ，则认为m 的相容性好，否则对m 重新调整。 步骤( 3 ) ：将k 代入齐次线性方程组：( m 一村) m 一0 ，解出属于k 的 特征向量= t o ，哆， 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 0 页 步骤( 4 ) ：对特征向量归一化后作为权重向量。 即： 珊一 l l l m，崩 ， ，辫 善叫善叫善耐 一( q ，咤，) 当决策矩阵是已知的情况下，本文通过排序法来确定客观权重系数。 具体步骤如下： 步骤( 1 ) ：对多目标优化问题号璺f o ) 一嘧( 五o ) ，2 0 ) ，厶0 ) ) 中的每 个分量求得最优解一( f = 1 ，2 ，m ) 。 步骤( 2 ) ：记) 一g ，t 1 ，2 ，历) ，计算的值 步骤( 3 ) ：计算第f 个指标和第，个指标的离差彤( 6 - 五一) 。 步骤( 4 ) ：计算虿- 磊1 二i 羹彰( l j 一1 ，2 ，小) 。 步骤( 5 ) 作归一化处理，叩翥。 d 角。 步骤( 6 ) ：将，按从大到小顺序排列，不妨设为 ， ，再 把其对应的指标函数排成逆序以 九 ，l ，取厶的权重为 。伪一1 ，2 ，小) 3 2 4 3 主客观综合评定法确定权系数 假设利用( 3 2 4 i ) 和( 3 2 4 2 ) 得出各指标的主观权系数为 s = ( s 。，s ：，s ，) ，客观权系数为r - ( ，f ：，o ) ，由于主观权系数的确定要 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 1 页 定符合实际的要求a 为此，本文欲采用主客观综合评定法来确定最终权系数 一( q ，鸭，) 。 设胁个目标、 个备选方案所对应的评价矩阵化为相对优属度矩阵后为 月- k l 。，第f 个方案的最终评价值可表示为2 。窆膏，对所有方案而言， 了= l 主客观权系数所得出的最终评价值的偏差应当越小越好，为此建立数学模型 m i l l q ( ) 。砉薹 ( _ 一q ) 。吩2 j 2 + 妒q ) 吲2 ，且满足蓦q - 1 i g 是- - + 有条件的极值问题，现把它转化为无条件极值问题。 构造拉格朗日函数： 令 工。砉薹 ( 墨一q ) 芬 2 + 【( 。一哆) 。孑 2 ) + 钒( 薹哆一) ( 3 - 2 4 ) 如果用彳表示以砉。，砉：4 ，砉为对角线元素的牌x 朋阶对角矩阵，口表 示以 砉毕：，；| ；毕，“童毕 为元素的m 1 阶矩阵， p l 。1 ，1 厂i ( q ，吐，) r ，则式( 3 - - 2 4 ) 可简化成：( ； 褊加卜繁e ) 删一( ；) ( 3 2 5 ) 卸 “ 彳 o 、 - o o 吗，p h 致 。x 留旦峨 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 2 页 3 3 多目标多系统模糊优选模型 模糊关系反映了事物间的普遍联系，在3 1 1 节中，通过引入平方加权和 距离得出决策相对优属度，以便于决策者对单元系统内含多个目标的多种方案 进行优选决策。多个单元系统进行合成构成多系统，在本文中，多目标系统特 指多目标多系统。本节将在3 1 i 节基础上，研究多目标多系统模糊优选模型。 设u 和y 是多目标系统内的两个有限论域，u 一( “。，h ：，) ， v - h ，吃，以) ，对于目标i ，由u 和y 中元素作任意搭配( ，v ) 构成目标i 的 笛卡儿集，搭配后的评价值可用评价矩阵表示为： 石。- f z 。1 ：r ，h x l f 工mf x - 2 f z k j b 表示对于目标f ，论域【，中元素“g 和y 中元素屹搭配后的评价值， i - 1 , 2 ，m ；g - l 2 ，b ；h - 1 , 2 ，c ，其中6 和c 分别表示论域u 和v 中元素 的个数。 由于册个目标存在量纲、量级上的差异，为了消除此影响，将评价矩阵 化为相对优属度矩阵。 对于效益型目标，可用类似( 3 - 5 ) 的公式： r ，一。j ；三：瓷，c s 。l 互一，。；一- t 乙。，c ， ( 3 2 6 ) 对于成本型目标，可用类似( 3 - 6 ) 的公式： f ，。i i ! ! 生，( g 1 ，2 ，6 ； 1 互，。) ( 3 2 7 ) 一x f x p 一j 石一 也可取其它形式的目标相对优属度公式，如： 吒吃 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 3 页 籽蛐期摭儿学如m 6 ；夸力 籽成本期标儿- 譬如一 玑c ， 针对目标i ，理想方案的相对优属度矩阵可表示成：七。 方案的相对优属度矩阵表示成：一 0o 00 00 o o 0 11 11 l 1 ，最劣 通过公式( 3 2 6 ) 和( 3 2 7 ) 可把评价矩阵( 3 2 5 ) 变成关于目标i 的相 对优属度矩阵： f r l lf ，记 f ，k z - z 斗( ；， f r mi ，2 f r k 1 ( 3 - 2 8 ) 一l 设多目标系统中小个目标的权重向量为c o 一( ，：，。n ，) ，且 荟，吐，1 ，式中，为目标的权重，o ，( f - 1 ，2 ，m ) 。u 和y 中元素作任意 搭配( 匕，h ) ，此方案到理想方案的距离可表示为： - 茏；( 。一向) 2 ( 3 - 2 9 ) 并以隶属度p 一隶属于优，到最劣方案的距离表示为： d 麟一茏，( ；r g 一k ) 2 ( 3 3 0 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 4 页 并以隶属度1 一曲隶属于劣，用一。d r , 和d 麒- ( 1 一) 分别表示加 权距理想方案距离与加权距最劣方案距离。求最优决策方案可转化为方案( g ，h ) 隶属于理想方案k 的加权距离平方与隶属于最劣方案k 的加权距离平方和达 到最小值。设目标函数为： m m ，( ) - 耋毫 ( 如) 2 + ( - 一心) 】2 】 ( s s ，) 上式的数学物理意义是：多目标系统论域u 和y 中b x c 个元素对关于辨 个目标的加权距理想方案距离与加权距最劣方案距离的平方和最小。为求神 的极值，现令： 扭( ) 归心- 2 砍- 2 ( 1 一心) 磕= o ( 3 3 2 ) 解得： 肛一- d 之( d 孟+ d 之) ( 3 3 3 ) 即 卅如蚶】。烨酗刊2 鼽研 浯s t ， 将小个模糊关系矩阵( ，) 中的对应元素逐个进行合成，得到多目标模糊 关系合成矩阵： p k 。 肛l l 弘i z p k 弘2 l 卢丑k m 。z k 一( p 。l ( 3 3 5 ) 矩阵( 3 - - 3 5 ) 称为多目标系统模糊优选决策矩阵，根据最大隶属度原则， 可选出多目标系统论域u 和矿中元素的最佳搭配。 3 4 多目标多阶段模糊优选模型 人们解决优化问题的方式方法很多，但归根到底就是从各种备选方案中， 找出问题的最优解( 或有效解、弱有效解) 。对于多阶段决策问题，动态规划 不失为一种较好的思想。动态规划通过将一个多变量的复杂问题进行分级处 理，把多变量问题变成求解多个单变量问题，大大简化了求解过程，节省了计 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 5 页 算量，这是经典的求解极值法所无法办到的。它的核心思想是b e l l m a n 提出的 最优化原理。若给定初始状态和允许策略只断( x o ) ，则对应一个决策序列 k 。& 。) ，“，( 石，) ，“。( x 。) 】如果把这个过程分为0 到女阶段的前部子过程和七 到席阶段的后部子过程，则上述序列也分成两部分 ，h 1 ，“，。) ， ，。，“。) ，称为与策略p 。，( ) 对应的前部子策略 ( ) 和后部子策 略p 。( 磊) ，这里互是由和p 雌( 而) 确定的第七阶段的状态，它是o 七阶段 前部子过程的终端状态，同时又是七拜阶段后部子过程的初始状态。设允许 策略瓦是最优策略，则对任一满足o ( 七t 万的七，它的后部子策略式，( ) 对 于它的前部予策略p 0 所形成的( 即由它所确定的) 第t 阶段状态以来说， 必是后面七，l 阶段子过程的最优策略。简言之：一个最优策略的任何子策略 都是最优的。 对于雄阶段问题，最优策略可由下列递推关系式( 逆推) 求得： j 丘( 黾) 唯o p ( t ) 唯( 黾，以( 以) ) 。 + - ( 毛+ - ) ) ， 一0 ，l ，万一1 )( 3 3 6 ) i 无k ) - e 其中瓦是第七阶段的状态变量，j k 是决策变量，唯( 黾，见( t ) ) 是阶段效益， 五( 黾) 是第七阶段的b e l l m 函数，它是： ( t ) - o p t ( 吒，见( 黾) ) o 吒+ 。( 。p k 。( 屯+ ，) ) 。屹。( 毛。，n 。( 一。) ) ) 状态转移方程为：+ 。一五( 鼍，p k ( 壤) ) ，七= o ，1 ，n - 1 。o 一般取常义的加法， 占是某个规定值，常取0 。当初始状态是而，系统的最优策略取值为厶( ) 。 一维动态规划过程是指把所研究问题分成多个阶段，在每一个阶段只有一 个状态变量且只需一个决策变量。多目标动态规划过程所遇到的情形则不同， 在每个阶段可能有两个或多个状态变量以及两个或多个决策变量。本文结合模 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 6 页 糊优选模型和动态规划基本思想，首先导出一维多目标多阶段模糊优选模型， 然后给出多维多目标多阶段模糊优选模型及其解法。由于多维问题的复杂性， 它将包含更大的计算量与存储量，一般认为，最优化原理直接用于解决多维问 题时将限于维数小于6 的情形，否则将陷于维数灾难。目前在解决多维问题时 通常采用逐次逼近法，本文尝