（应用数学专业论文）奇异微分方程三点边值问题正解的存在性.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 酷、玄 ，l 导师签名c 乞j i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数锯库 进行搜索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。( 保密的学位论文在解密后使用本授权书) 学位论文作者签名 酷、云 签字日期：2 0 0 7 年月日 叫，之f 吃勉 导师娩【弓l 么睨 靴孵皆予 山东师范大学硕士学位论文 奇异微分方程三点边值问题正解的存在性 陈云 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 在本文中，我们主要研究奇异微分方程三点边值问题( 1 ) 和( 2 ) 正解的存在性 ， lz ”0 ) + 口( t ) ，( t ，z ( t ) ，z ( t ) ) = o ，o t l ，1 、 气 t l j io ( o ) = o ，z ( 1 ) = 口z ( 叩) ， 其中o 口 l ，0 叩 1 ，在z = 0 和一= o 奇异且变号， ， j ( ) + ，( t ，0 ) ，一( ) = o ，o # + ， j iz ( o ) = a z ( 叩) ，1 1 巴一( f ) = o ， 一“ 其中0 o 时，直接在无穷区间上讨论，由于解是无界的，通过变形我们 利用了一个有界变量来控制得出( 2 ) 正饵的存在性然后，变号时，由于无穷区 间是非紧的，所以主要是在有限区间讨论，然后逼近无穷区间得出( 2 ) 正解的存在 性 关键词；三点边值问题，奇异性，变号，不动点，锥，正解 分类号； 0 1 7 5 8 2 山东师范大学硬士学位论文 e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so f t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rs i n g u l a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y h n c h 明 i i l s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i ，s h 缸d o gn o r m a lu n i v e r s i t yj i n a n s h 雠d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c l l i n a a b s t r a c t i nt h i sp 印a r ，w ed i s c u s st h ee 菇8 t e n c eo fp o s i t i v e8 0 l u t i o n so f t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs i n g u l a rd i 矗e r e n t i a le q u a - t i o n s ( 1 ) a n d ( 2 ) a sf o l l o w s r 州力+ 0 o ) t ”：0 刈引“， ( 1 ) iz ，( 0 ) = o ，z ( 1 ) = a z ( 叼) ， w h e r e0 a 1 ，0 叩 1 ，m a yc h a n g es i g na n dm a yb es i n g u l a r a tz = oa n dz 7 = 0 ， p 力+ ，o ) o ) ) = o 一“ + 阮 ( 2 ) l 、一， 【。( o ) 2 。z ( 叩) ，。里z 骷) = o ， w h e r eo o ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o n so f ( 2 ) t h e n ，w h e n ，c h a n g e ss i g n ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v es o j u t i o n si n f i n i t ei n t e r v 胡w h i c hi sc o m p a c t w h e ni t a p p r o a c h e st o i n f i n i t ei n t e r v a l ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t j v e s o l u t i o no f ( 2 ) k e y w o r d s ：t h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a i u ep r o b i e m s ，s i n g u l a r i t y ， s i g nc h a n g i n g ，6 x e dp o i i l t ，c o n e ，p o s i t i v es 0 1 u t i o n s c l a s s i 置i c a t i o n ：0 17 5 8 5 山东师范大学硬士学位论文 前言 微分方程三点边值问题是指常微分方程的定解条件不仅依赖于解在区间端点 的取值，而且依赖于解在区间内部一点的取值它起源子各种不同的应用数学和物 理领域，这方面的背景实例包括横截面相同而密度分段不同的支索的振动以及弹性 稳定性理论中的许多问题等c l j 正因为多点边值问题具有广泛的应用背景，因此具 有重要的研究价值 关于多点边值问题的研究最早的文献见b a r r d ，s h e r m e nt 于1 9 7 3 年发表 的文1 2 j 自1 9 9 1 年之后，针对二彰e 点边值f 氪晒g u p t a c ，p 等人相继发表了大 量的研究成果f 3 一马如云们在1 9 9 9 年中提出了这类问题的关键条件，并且在 他的著作【9 】中对非线性常微分方程非局部问题作了全面的论述但非线性项既依 赖于一又奇异变号的文章很少，本文所研究问题的特点是，首先非线性项，在 z = 0 ，一= o 奇异，再者非线性项，是不定号的所以本文是研究三点边值问题正 解存在侄理论的发展，具有重要的理论意义和应用价值 在研究上述问题正绥存在性对，主要参考了文f l o 1 2 1 ，【1 4 2 2 】方法是首先 构造适当的积分算子，然后利用a r 嬲l a 舨o j i 定理或h e l l y 引理得出所研究方程 的近似解，其极限就是原方程的解全文共分二章 第章中，首先研究了忍蹯( 1 ) 当，不变号且在善= o ，_ o 奇异时。最小正 解的存在性然后，用两种方法研究了恩题( 1 ) ，变号且在o = o = o 奇异时， 正解的存在性及正解的紧性第二章中，我们主要研究半直线上奇异微分方程三点 边值问题( 2 ) 正解的存在性首先当，不变号时，得出( 2 ) 正解的存在性然后， 变号时，得出( 2 ) 正解的存在性 6 山东师范大学硕十学位论文 第一章奇异微分方程三点边值问题的正解的存在性 1 1引言 利用锥上的不动点定理，本文研究了奇异三点边值问题( 1 1 1 ) 正解的存在性 州幻+ 8 ( t ) ，o o ) 州卜0 0 k 1 ( 1 1 1 ) i ( o ) = o ，z ( 1 ) = q 。( q ) ， 其中0 o 1 ，o 玎 l ，在卫= 0 和= o 处奇异 在文【8 】中，作者得出了下列三点边值问题正解的存在性 i ( t ) + o ( ) ，( ( t ) ) = o ，o t l ， 【矿( o ) = o ，掣( 1 ) = p 可( 叩) ， 其中o p 1 ，o o ，七( t ) o ，t ( o ，1 ) ，n ( ) 七( t ) l 1 【o ，1 】，p ( z ) e ( ( o ，+ o o ) ，( o ，+ o 。) ) ，g ( 掣) g ( ( 一o 。，0 ) ，( 0 ，+ o 。) ) ； 7 山东师范大学硕士学位论文 ( 疡) 定义f ( r ) = 志白，r 。存在凡 。满足f ( 扁) z 1 。( ) 七( t ) 出 呻加，辈半+ 1 1 ( 月曲，里f ( r ) = + o o 定义1 2 1 如果函数z ( t ) 满足下列条件。则称为( 1 1 1 ) 的正解 ( t ) 。( t ) o 乒【o ，1 1 ，2 ( t ) 0 【o ，1 1 n ( 产( o ，1 ) ； ( t ) z ( t ) 满足( 1 1 1 ) 及边值条件 定义1 2 2 如果( z ) 是( 1 1 ，1 ) 的正解且z ( t ) c 1 【0 ，1 】，则称$ ( t ) 为( 1 1 1 ) 的c 1 【o ，1 】正解 定义1 2 3 如果函数翮( 幻满足下拼条件，则称为( 1 1 1 ) 的最小正祭 ( i ) z o ( t ) 是( 1 1 1 ) 的正懈； 似) 不存在( 1 1 1 ) 的正解。( ”满足z ( 力知( f ) ，且z ( t ) 知( ) 说明1 2 1 ( 玩) 和，在，= 0 奇异说蹰1 i 罂口( 彩一+ o 。 由( 也) 可知，存在一个正常数r 0 ，r o 风满足上岛高劫2 上。( 2 ) ( 。) 出5 “p ，一q1，o 加，辈掣+ l 】由( 凰) 和( 如) 可得聊( o ，孥+ 1 】 o ，s u p 芦( o ，5 】 + o o 在c 0 ，l 】中考虑积分算子 ( 2 ) ( ) = 一口( s ) ，( s ，( a ! ，) ( 5 ) ，f ( s ) ) d s ，t f o ，1 】， ( 1 2 1 ) 其中 ( 枷) = 击z 1 刊打一击z 1 1 ，( r ) d r j ( - 咖) d r 如果f ( d 满足( 1 2 1 ) ，挈( 亡) g 【o ，1 l 且口( ) o ，( o ，l l ，则称为( 1 2 1 ) 的一个 负解 引理1 2 1 设 地) = 击z 1 刊扣圭z ”刊打_ 卜d r i 2 ( t ) 是( 1 1 1 ) 的g 1 【o ，l 】正解，当且仅当可( t ) 是( 1 2 1 ) 的一个负解 证砚设。( t ) 是( 1 1 1 ) 的g 1 【o ，1 】正解下面我们要证明对于任何t ( o ，l j ， 8 山东师范大学硬士学位论文 鲈( d = 一( t ) 。， 如果存在t ( o ，1 ) 满足一( 力o ，则一定有t o ( o ，1 ) 满足，( t o ) = 0 。取 t 。 ( o ，1 ) 且t o ( 0 ，1 ) ，k t o ，满足一( t 。) o ，且) 一。，( t o ) = 0 这 说明z ”( t 。) = 一，( 口) ( t 。) ，( t 。) ) 一一o 。一t o ) ，与z ( t ) c 崆( o ，1 ) 矛盾 鲈( 站= 。邸) 灌足( 1 2 i ) 且是( 1 2 1 ) 的个负解 如果v ( t ) 是( 1 2 1 ) 的一个负解，则 础) = 击z 1 吲) 打一击卜打一卜打， 是( 1 1 1 ) 的一个g 1 ( o ，l l 正解 由引理1 2 1 可知，确定( 1 1 1 ) 的个g 1 i o ，1 】正解，我们需要确定( 1 2 1 ) 的 一个负解 引理1 2 2 i ”】设 z 。( t ) ) 是k6 】上的一个有界变差无穷序列且 。( o ) ) 扛，目) 和f y ( z 。) 有界( y 扛) 指z 的全变差) 则 固 有个子序列f z 。( ”) ，f j i m ， 。( t ) ) 在【口，b 】上处处收敛到有界变差函数z ( t ) 下面考虑问题( 1 1 1 ) 的近似问题 z ”( t ) + n ( t ) ，( t ，z ( t ) + 二，z 7 ( t ) ) = 0 ，o o ，对于任何暑，( t ) g ，满足i i 。| i l 且对于任意t l ，如【o ，1 】，t i 0 ，存在6 0 ，当i t 2 一t l f 6 ，l n ( s ) 七( s ) d s e 则 ( 2 k j ) ( t ) ，暑，( t ) d ，是等度连续的 引理1 2 4f 8 j设e 是个b a n 础空闻，髟e 是e 中的一个锥，且 b r = 扛e ：忙l f 埘，设f ：n 园扒b r = j 瓴，一k 是完全连续算子，其中 0 r r 满足下列条件 ( 1 ) 对于任何z 耳且i i = r ，l | f ( z ) i | 忪i | ， ( 2 ) 对于任何z 耳且| j z | | = 兄，z a f ( z ) ，o 如，z l m ，在 d o ，l 】中有一个不动点 证明，首先，对于任何乒 l ，霸巧彤且j 扣= 局，m m “ 2 ，j 考虑 a ( ，) ( ) = 一1 z8 ( s ) ，( s ，( a 幻) ( s ) + 未，( ，) ( s ) ) 幽一未。( 味o a 一去由( 1 2 4 ) 一矿( f ) = a 口o ) ，( ，( a 可) ( t ) + 去，( j 暑，) o ) ) sa n ( ) 七o ) p ( ( a ，) ( t ) + 去) q ( ( ，掣) ( f ) ) ， 则 ；i 云髻；3 _ sa 。( t ) 七( t ) p ( ( a ) ( t ) + 击) ( 1 ，2 ，5 ) 设7 _ = r i 咖) = 一r o + 熹一畚注意到( j y ) ( t ) 5 ( ) + ( 一去一( o ) ) ，t 【o ，1 】对( 1 2 - 5 ) 从7 - 到1 积分。我们有 1南a，1。，。扫(a白。)一刍一!，(o)+刍)出， 山东师范大学硕士学位论文 仁焘sa 小伽吲。，警+ 1 | 如果7 0 ，可得 仁志c 挑嵩a 卜舭娜罂钏， 与( 岛) 矛盾。对于r l 且m f = 风，乃删 ， 然后，设a 1 = o ( 8 ) d 5 ，由( 1 2 4 ) ，取o r a l ，r 岛且当一rs j n f ，r ( ) 一景 j f ( ) o ， j 0 当一6 3 ， 0 ，当 m m ，f ( o ) f = i 蜘( o ) 一) i 最由0 ) 的递减性。一j ( 辞 o ，( 6 ) 掣 o ( m 肘) 由( f ) 的递减性( s ) 掣 吣【6 ，t 】 且对于任何s 溉吼 ，( s ，( a ) ( s ) + 去，貅( s ) ) 收敛到 ，( 5 ，( 如) ( s ) ，f ( 5 ) ) ) 由控制收敛定理 暑，( t ) 一3 ，( = 。! 霉。g m 0 ) 一。! ! 雩。口m ( 6 ) = 。坚( ) 一跏( 6 ) ) = 。一上8 ( s ) ，( s ，( a m ) ( s ) + 云，( 3 ) ) 如 一。坤 ( a 烈s ) 州圳d s ( 控制函数是七( s ) 。s u p p ( o ，呈i ；! 去尘+ 1 1 m a x g f - 岛，掣】) 心) 刊b ) = 一z 。邝泓烈n 小) ) 妇 ( 1 _ 2 7 ) 下证可( o + ) = 。崃g ( t ) = o 事实上，如果y ( 0 + ) o ，则由可( 2 ) 的递减性 ( t ) sy ( o + ) ，t ( o ，1 】，又由 ( 力：一f 。( s ) ，( s ，( 瓿) ( s ) + 击，跏( 瑚凼一击， g 。( 力= 一o ( s ) ，0 ，( 瓿) ( s ) + 去，m ( 5 ) ) d s 一磊， j 0 ” 山东师范大学硕士学位论文 得 产蔫揣s z 6 琊m s 胁啪 等掣刊， e 志肛m s 冲警叫 当m _ + o 。时， 高一m 彬呻邢，酱刊 在( 1 删中6 训+ ，则志_ o 矛盾 在( 1 2 7 ) 中6 0 + ，有 ，i ( t ) = 一口( 8 ) ，( s ，( a 可) ( s ) ，暑，( 8 ) ) d s ，【0 ，1 ) j o 对于t ：1 取0 6 o o ，当m m ，鼽( 6 ) s 掣由枷( t ) 的递减性( t ) ! 掣，t 【6 ，1 】，当 仇2m ， 。 1n ( s s ( a 洲s ) + 圭删) d s 小班扭唧( 0 ，华+ 1 】m a x g | 一岛，掣】 设z l ，则( 1 2 6 ) 在t = 1 成立由( 1 2 6 ) 可知! ，( 幻在【o ，1 j 上连续且 口( d f 0 ，1 1 1 4 山东师范大学硬士学位论文 ( 事实上，对任何n ，钿o ) 等价于 ( d 且钿+ l ( t ) 磊( t ) ) 设z 0 ) = 。型( f ) 钟) = 击z 1 州r 肌击z 1 刊触一卜加) d r 一； i j 蓦务n ( t ) 女o ) p ( o ，z ( 1 j 2 1 1 ) | 志s 序蝴( 0 ，忪1 1 ( 1 2 ( t ) ，( ) 和一去同理可得蜘( t ) 是( 1 2 1 ) 的一个解由i i 鲰i i 有界可得 ；( t ) = 。( ) = 。r 毛上一( 7 ) d r 二彭蒜二缀小帖= 击j ( 1 咄打一击z ”刊r 胪知帖 1 5 山东师范大学硕士学位论文 由引理1 2 1 ，得z ( t ) n 对于任何$ ( t ) 。 存在 霉。 2 。( t ) ) 满足 i j z 。一z “一o 注意到z 。( t ) 。( t ) ；( t ) ，tef 0 ，l 】设仇一+ o o ，则 z ( ) z ( t ) ，t 【0 ，1 l ，则 z 。 在q 中有个下界于是( 1 1 1 ) 有一个最小g 1 【0 ，l 】 正鼹 例1 2 1 在( 1 1 1 ) 中设 ，( 亡，嚣，髫) = t 一4 ( 1 一t ) 一卢( 2 + 8 i n ( 一1 ) + ) ( 一z ) 一5 其中o ( 1 ，0 o 设( t ) = ( 1 一t ) 一p ，n 0 ) 一t o ，p 扛) = 2 + 8 m ( 一) 十z ，q 白) = ( 一) 一j 显然， ( 吼) 成立 r o1 r 1 “ 即) 。上，南咖2 南 一定存在岛 。，满足f ( 硒) 上1 ) 女( t ) d t s u p p ( 。，塑釜去堕+ 1 1 且 f ( r ) 一+ o 。( r 一十o 。) ，则( 置r 2 ) 和( 王r 3 ) 成立所以由定理1 2 1 ，1 2 2 和1 2 3 可知( 1 1 1 ) 有个最小c l f o ，l 】正解 1 6 山东师范大学硕士学位论文 1 3非线性项变号奇异微分方程三点边值问题的正解 我们假设，在z = 0 和，= o 处奇异且下列条件成立 ( p 1 ) ，( t ，z ，) e ( ( o ，1 ) ( o ，+ o o ) ( 一o 。，o ) ，( 一o 。，+ o 。) ) ； ( 岛) 口( t ) ，o ( t ) ，七( t ) c ( ( o ，1 ) ，( o ，+ o o ) ) ，f ( z ) c ( ( o ，+ 。o ) ，( o ，+ o 。) ) ，g ( 挈) c ( ( 一，o ) ，( o ，+ o o ) ) ，o ( t ) ( t ) 工【o ，1 】； ( p 3 ) i ，( t ，z ，g ) is ( t ) f ( ) g ( ) ； 进步，下列条件成立 ( 矾) 存在6 0 ，满足，( ，z ，) 卢( t ) ，秒( 一正o ) ； ( 玩) 对于任何z ( 0 ，+ o 。) ，s u p f k + o 。) = 8 u p f ( z ) ，z z + o 。 + ； ( 玩南乒工( 一，一1 】； 引理1 3 1 ( b l设e 是一个b a n a c h 空间，k e 是e 中的一个锥。且 b r = p e ：呤| i r ，设f ：k n b 叠耳= j 咆，一k 是完全连续算子，其中 0 r r 满足下列条件 ( 1 ) 对于任何k 且忪i i = r ，| | f ( z ) i l 忙i l ， f 2 ) 对于饪何。耳且j z j j = 只，z a f ( 动，0 o ，满足峪| | s 且l 炔j | s ， 设 c ( 们) ) 一 口( 蛳( “鲰) ( s ) + 丢，m i n 饥( s ) ，：) ) 幽， c ( 弧0 ) ) = 一口0 ) ，( 毛( 鲰) ( 8 ) + 妄，m 血 掣k ( 8 ) ，妄) ) 幽， j o - ， 于是有 i ( 勋一) ( t ) i ：i 亟盟! 鲣监墼趔幽l i 坐盟型巡粤亟盟趔| ， 由( 最) 可得 d ( s ) ，( s ，( j 哇抓) ( s ) + 寺，m i n 瓠( s ) ，一i ) ) ) 收敛到和( 8 ) ，( s ，( a f ) ( s ) + i ，m 洫矗( s ) ，一i ) ) ) ，s ( o ，1 ) 由l e b 档g u e 控制收敛定理( 控制函数为口( s ) 2 ( s ) f ( ；，+ o 。) g 【- 九一；，一；】) i l ( 珊k ) ( f ) 一( 研) ( t ) i 。o ，丁是p 中的一个连续算子 i ，+ o 。) g 【- 九一；，一i 】) i l ( 珊k ) ( ) 一( 研) ( 。) i 。o ，丁是p 中的一个连续算子 设e 是p 中的有界集，则存在_ i l l 0 ，对于任何( 亡) a 满足胁i i ，l l ， 且对于任意t i ，屯f 0 ，1 1 ，l 0 ，存在d 0 ，当f 如一如i 毛有y ( t ) t 2 t 3 4 f 5 t 2 m l t 2 m = 二o ； 2 ) ( f 1 ) = 0 ) ，( t ) = g ( t 2 + 1 ) ，i = l ，2 ，m l ，可( f 2 m ) = = ( 。) ； 3 ) v ( t ) 在【2 ，t 2 - l 】上递减， = 1 ，2 ，m ( 如果( f ) 在( o ，卅递减，设m = l ，弘：，f l l = f o ，竹) 注意到( t ) 一：，t ( 坛，坛川，有一z n ( s ) ，( s ，( a y ) ( s ) + ：，m i n g ( n 一：) ) d s o ，( t 2 ，f 2 i - l 】对( 1 3 2 ) 微分且由( 上b ) ，可得 一g 一( t ) = a n ) ，( t ，( a ) ( t ) + ；，y ( t ) ) 葫端 r ，取t ，【t n ，1 】，t ， 满足铷( t ) 5 一r 蜘( f ) - ；，f ( f ，f ，j ，由( 1 3 1 ) 可知 o o ，( t ) 0 ( o ，t o 】) 递减， ( 研) 说明w ( ) 2 s u p f 孙( ) 一在f o ，l 】有界另一方面，由( 1 3 6 ) 和( 1 3 7 ) 可知 敞( t ) j 七( t ) n ( ) s u pf i 兰( 一r ) ( 1 一叼) ，十o 。) 唧g ，m a x n ( 壶) ) 】，扣后) ， 其中u 女= i n f 和( t ) ，t 【壶，l 一壶】) ( 1 3 l o ) 和l e b e $ g i i e 积分的绝对连续性说明 ( ) ) 在i 壶，l 一壶】等度连续a r z e l a - a s c o n 定理保证了存在 铷( ) 的一个子 序列，其在 壶，l 一壶】一致收敛当= l ，存在 ，n ( t ) ) 的予序罗 嘏( t ) ) ，其在 睦，刍一致收敛当= 2 ，存在 赭( ) ) 的子序列j 拶( t ) ) 在f ；，；l 一致收敛由此 递推，存在f ( ) 的子序列f “( 亡) ，在i 南，i 一百南】上一致收敛。 则三角序列 稚( t ) ) 在( o ，1 ) 处处收敛易知 嚣( t ) ) 在任何【c d l 妄( o ，1 ) 一致 收敛不失般性，不妨设 滞( t ) ，是 鲰( t ) 本身，则f ( 母2 ：骢( ) ，( o ，1 ) 易知掣( t ) 在( o ，1 ) 连续且( t ) 0 ，t ( o ，1 ) 3 ) ( 1 3 ，9 ) 表明 s u p m a x 一。( t ) ，t 【0 ，1 】) ) + o 。 ( 1 3 1 1 ) 且可得 c 圳，= 车卜扣圭卜打一卜打。嘲 丁上一鲰( r ) 打 + o 。，。1 0 1 】 因为( 1 3 1 1 ) 和( 1 3 1 2 ) 成立，且由l e b e s g u e 积分的f a t o u 定理可知( 4 彩( 吩 o 且o o ，可得 z 1 。( s ) ，( s ，( 勘州s ) + ：，“州蜒z 1 小) 忡) d s s u 叫r 兰( 叫( 1 刊，+ o 。) 所以z ( t ) = ( 山) ( t ) 是( 1 1 1 ) 的个正解 推论1 3 1 设( 日1 ) 一( 现) 成立。则( 1 1 1 ) 正解是紧的 山东师范大学硕士学位论文 证观设m = 矗c f o ，1 】：( a ) ( t ) 是( 1 1 1 ) 的一个正解 ，证明m 是紧 的。需要证明以下几点 ( 1 ) m 是非空的； ( 2 ) m 是相对紧的( 有界，等度连续) ； ( 3 ) m 是闭集 显然定理1 3 1 说明m 是非空的 首先证明肘g f o ，1 】是相对紧的对于v ( t ) m ，( 1 3 1 7 ) 微分且利用( 现) 有 一l ，( t