（计算数学专业论文）定常对流扩散方程的一种新型差分格式.pdf

- ” 。，! o，、!k一 j at h e s i si nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s illiii。iqi117i9ihi7i an e wd i f f e r e n c es c h e m ef o rs t e a d y c o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n b yw a n gb a o y a n s u p e r v i s o r ! p r o f e s s o rz h a n gt i e n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j a n u a r y2 0 0 8 夕 本人声 的研究成果 的研究成果 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 学位论文作者签名： 三摩辛幻 e l 期：矽晗i 1 ) 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的 规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 多 东北大学硕士学位论文 摘要 定常对流扩散方程的一种新型差分格式 摘要 物质输运与分子扩散的物理过程和黏性流体流动的数学模型通常为对流扩散方程 的定解问题，它可以用来描述河流污染、大气污染、核废物污染中污染物质的分布，流 体的流动和流体中热传导等众多物理现象。因此，对流扩散方程数值解方法的研究具有 十分重要的理论和实际应用意义。 求解对流扩散方程的数值方法有多种，如有限差分法、有限元法、有限体积法等， 但当对流扩散方程中的对流项占优时，方程具有双曲方程的特点，故源于对流扩散方程 中的非对称的对流项所引起的迎风效应使对流扩散方程的数值求解变得困难。用传统的 中心差分方法和标准的g a l e r k i n 有限元法求解往往会产生数值的振荡，尽管迎风差分格 式能够消除对流项非对称效应引起的振荡现象，但它却“过量”的反应了解的情况，导 致数值解的扩散。近年来人们关于这类方程数值方法的研究，大都倾向各种非标准的有 限元法及差分法，如迎风有限元方法，特征有限元方法，流线扩散有限元法和特征差分 法，广义差分法和有限体积法等。 考虑到“迎风效应”是由对流扩散方程中的不对称的对流项所引起的【培】，本文直接 从原定常对流占优扩散方程出发，通过指数变换，将其等价变换为守恒型扩散方程，然 后利用有限体积法对扩散方程进行离散，从而建立了一种新型的差分格式。本文利用能 量法证得一维对流扩散方程差分解的误差估计；对于二维对流扩散方程的新型差分格 式，本文采用了极值原理、广义差分法及能量估计法三种方法来进行差分解的误差分析， 并给出了数值实验结果。数值实验表明，本文差分格式的精度和收敛性是令人满意的， 并且差分解没有出现数值振荡和扩散现象。 关键词：对流扩散方程；指数变换；有限体积法；误差估计；数值实验 - i i =* l u ， p c 弗 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t an e wd i f f e r e n c es c h e m ef o rs t e a d yc o n v e c t i o n - - d i f f u s i o n e q u a t i o n a bs t r a c t t h ep h y s i c a lp r o c e s sg o i n gw i t ht h em a t t e rt r a n s m i t i n ga n dm o l e c u l ed i f f u s i n ga n dt h e f l o wo fg l u t i n o u s l i q u i d ，t h e i rm a t h e m a t i c a lm o d e l sa r eu s u s l l y t h ep r o b l e m so ft h e c o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s 、析mt h es t a b l es o l u t i o nt h a tc a nb ed e s c r i b e dt h ed i s t r i b u t i o n o ft h ep o l l u t e dm a t t e ri nt h er i v e r sp o l l u t i o n ，a i rp o l l u t i o n ，a n dn u c l e u sr u b b i s hp o l l u t i o n ，a r e a l s od e s c r i b e dt h ep h y s i c a lp h e n o m e n o no ft h ef l o wa n dt h eh e a t e dm e t h o d si nt h el i q u i da n d s oo n ，s ot h er e s e a r c ho nt h en u m e r i c a lm e t h o d so fc o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sh a v e t h e o r e t i c a la n dp r a t i c a ls i g n i f i c a n c e t h e r ea r es o m en u m e r i c a lm e t h o d so fs o l v i n gc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，s u c h 弱 f r u i td i f f e r e n c em e t h o d ，f i n i te l e m e n tm e t h o d ，a n df r u i tv o l u m em e t h o da n ds oo n h o w e v e r , w h e nt h ec o n v e c t i o ni t e r ni sd o m i n a t e di nt h ec o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，t h ee q u a t i o n s t a k eo nt h ec h a r a c t e r i s t i c so fh y p e r b o l ae q u a t i o n s ，i nt h i sc a s e ，t h eu p 城n dd o m i n oo f f e c tt h a t d e r i v e df r o mt h ea n i s o m e r o u sc o n v e c t i o ni t e mi nt h ec o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sm a k e si t m o r ed i f f i c u l tt os o l v ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s ，a n dt h et r a d i t i o n a ld i f f e r e n c em e t h o d a n ds t a n d a r dg a l e r k i nf i n i te l e m e n tm e t h o dw i l l g e n e r a t et h en u m e r i a lo s c i l l a t i o n , a l t h o u g hu p w i n dd i f f e r e n c es c h e m ec a ne l i m i n a t et h eo s c i l l a t i v ep h e n o m e n o nc a u s e db y a n i s o m e r o u sc o n v e c t i o ni t e r n ，b u ti tr e f l e c t st h es o l u t i o ne x c e s s i v e l y , a n d1 e a d st ot h e d i f f u s i o no ft h es o l u t i o n r e c e n ty e a r s ，m o s to fp e o p l ea r ea p t e dt os o m en o n s t a n d a r df l n i t e l e m e n ta n df i n i td i f f e r e n c em e t h o d s ，s u c ha su p 、访n df r u i te l e m e n tm e t h o d , c h a r a c t e r i s t i cf i n i t e l e m e n tm e t h o d ，s t r e a m l i n e d i f f u s i o nf r u i te l e m e n tm e t h o d , c h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c em e t h o d ， g e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o da n df i n i tv o l u m em e t h o d c o n s i d e r i n g t h eu p w i n dd o m i n oe f f e c t c a u s e db yt h ea n i s o m e r o u sc o n v e c t i o ni t e mi n t h ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n s ，i n t h i s p a p e r ,s t a r t i n g f r o m et h e o r i g i n a l c o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n , i ti sc h a n g e di n t oac o n s e r v a t i v ed i f f u s i o ne q u a t i o nt h r o u g ht h e e x p o n e n tt r a n s f o r m ，t h e nt h ec o n s e r v a t i v ed i f f u s i o ne q u a t i o ni sd i s c r e t e db yu s i n gt h ef l n i t v o l u m em e t h o d ，f i n a l l yan e wd i f f e r e n c es c h e m ei se s t a b l i s h e d i nt h i sp a p e r , t h ee r r o r e s t i m a t ef o ro n ed i m e n s i o n a ld i f f e r e n c es o l u t i o ni sg i v e nu s i n gt h ee n e r g ym e t h o d ，w h i l e m a x i m u mp r i n c i p l em e t h o d ，g e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o da n de n e r g ye s t i m a t em e t h o da r e a d a p t e dt oa n a l y z et h ee r r o rf o rt w od i m e n s i o n a ld i f f e r e n c es o l u t i o n ，t h e nn u m e r i c a ls o l u t i o n s f o rs o m ei n s t a n c e sa r ep r e s e n t e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ep r e c i s i o na n da s t r i n g e n c yo f d i f f e r e n c es c h e m e sa r es a t i s f y i n g ，m e a n w h i l et h ed i f f e r e n c es o l u t i o n sh a v e n ta p p e a r e dt h e i i i 东北大学硕士学位论文 v i b r a t i o na n dd i f f u s i o n k e yw o r d s ：c o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ；e x p o n e n tt r a n s f o r m ；f i n i tv o l u m em e t h o d ； e r r o re s t i m a t e ；n u m e r i c a l i n s t a n c e s i v 一 l 一 r 目 录 1 3 几种非传统的求解对流扩散方程数值方法的简介。4 1 3 1 特征有限差分法4 1 3 2 特征有限元法5 1 3 3 有限体积法7 1 3 4 流线扩散法7 1 4 本文差分格式构造的主要思想及优势8 1 5 本文的主要工作9 第二章一维定常对流扩散方程1 0 2 1 一维定常常系数对流扩散方程1 0 2 1 1 差分格式的构造1 0 2 1 2 差分解的误差估计1 1 2 1 - 3 数值实验l5 2 2 一维定常变系数对流扩散方程1 9 2 2 1 差分格式的构造2 0 2 2 2 差分解的误差估计2 1 2 2 3 数值实验21 第三章二维定常对流扩散方程2 7 3 1 二维定常常系数对流扩散方程2 7 3 1 1 新型差分格式的建立。2 7 3 1 2 差分解的误差估计。2 9 3 1 3 数值实验3 6 3 2 二维定常变系数对流扩散方程4 l 3 2 1 新型差分格式的建立4 1 v 东北大学硕士学位论查 ：旦查 3 2 2 数值实验“4 2 第四章总结与展望“4 5 参考文献“4 7 致谢4 9 本人在研究生期间发表论文情况”5 1 v i ， 、 - 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论弟一早珀y 匕 1 1 对流扩散方程的背景介绍 对流和扩散现象大量的出现在自然界及工程领域中，其具体的表现形式多种多样。 从放液漏斗上的热传递到水渗入土壤的过程，从多孔渗水介质的散布追踪到可溶物在河 口和近海的扩散，从污染物在浅湖的蔓延到河床对化学药品的吸收，从可溶物在流动的 液体内的溶解到污染物质在大气中的远程传布，无不都与对流和扩散过程密切相关；而 各种生产电力的方法几乎都是以对流及扩散作为其基本过程的。所有这些变化万千的对 流和扩散过程的数学模型可以归纳为所谓的对流扩散方程，其一般形式为： c ( x ，f ) 詈+ b ( x , u ) v u - v ( 口( x ，u ) v u ) = f ( x ， ) 式中x = g 。，x ：，x 。) 为空间变量，r 为时间变量，”为通用变量，可以代表流体的速度 矢量在空间坐标系上的分量和温度等求解变量；舌( x ，”) = 。( x ，甜) ，b ：( x ，甜) ，b 。( x ，“) ) ， 我们称b ( x ，甜) 为广义对流系数；a ( x ，甜) 为广义扩散系数；( x ，“) 为广义源项。这里引入 “广义 二字，表示处在6 ( x ，甜) ，a ( x ，甜) ，f ( x ，甜) 上的项不必是原来物理意义上的量， 而是数值计算模型中的一种定义。当i b ( x ，u ) l i a ( x ，甜) i 时，称方程为对流占优扩散方程。 对于对流扩散方程，即使对流项的系数远远大于扩散项系数，也不能将此方程近似 看作对流方程，主要是由于此方程的解函数具有大梯度变化的过渡层和边界层f ”，也就 是至少在区域边界附近，方程的扩散系数不能忽略。在这层薄层内，对流速度从边界处 的零逐渐增加到相应的无摩擦对流原有值，对流速度大梯度变化的边界层的存在为数值 求解带来困难。虽然我们不能简单地将对流占优扩散方程看作对流方程，但由于此方程 中含有一阶不对称的导数算子，对流扩散方程仍会表现出“迎风效应 ，也称为“对流 效应 ，所以我们构造出的差分格式应尽量的反应“迎风”特点。 本文主要研究定常对流扩散方程，即解“只依赖空间变量，与时间变量f 无关。下 面分别介绍本文主要讨论的两类定常型对流扩散方程。 一维定常对流扩散方程： 一丢( 口( x ) 罢) + 6 罢+ c ( 蛳= 厂( 硪口q 0 ，c 1c 2 为给定的常数，c 0 ，1 6 l b a 。 对区间1 = k ，纠作剖分瓦：口= x o x 2 。 定理1 1 ( 极值定理) 设厶是满足上述条件( i ) 一( i i ) 的差分算予，啡是_ i - 的4 - 1 ： 一网格函数。若厶坼ol h u p o ) ，对任意p q ，则不可能在内点取正的极大 2 东北大学硕士学位论文第一章绪论 值( 负的极小值) ，即m p 哦a x u p 0 ，一阶导数采用向后差分格式；若b 0 ，则方程( 1 3 ) 迎风差分格式为 ( 2 a h 2 + f + 6 办) 玑- a h 2 u + i - ( a h 2 + b h ) u t l = z ( 1 6 ) 格式( 1 6 ) 的系数满足极值原理成立所要求的两个条件，故对p e c l e t 没有限制，很好 地反应了对流占优扩散方程的“迎风”特点，但由于迎风格式的收敛阶只是o ( h ) ，此格 式过渡的反应了真实解的情况，从而导致了数值扩散现象。 前面分别对中心和迎风差分格式产生数值振荡和扩散的原因进行了较详尽的分析。 除了这两种传统的差分格式，c r a n k n i c o l s o n 差分格式和标准的g a l e r k i n 有限元法在求 解对流扩散方程，特别是对流占优扩散方程时，数值解一般也会产生非物理性振荡。近 年来，人们构造出的一些非传统的方法可以较好的求解对流扩散方程，尤其是对流占优 扩散方程。这些方法有：迎风有限元法【4 1 ，有限体积法【5 1 ，特征有限差分法【6 1 和特征有 限元法【5 】，广义差分法【7 1 ，流线扩散法【8 】，带粘性因子的待定系数法【9 ，o l ，以及这些方法 与传统方法相互结合生成的方法，如迎风广义差分法【1 1 】，有限体积一流线扩散有限元法 f 1 2 l ，迎风有限体积、法【13 1 ，有限体积一有限元、法【1 4 】等。这些非传统的方法数值求解效果 - 3 - 东北大学硕士学位论文第一章绪论 较好，既有效的避免了数值振荡，又减少了数值扩散，但是一般计算量偏大。 下面简要地介绍目前较为成熟的几种非传统的解决对流扩散方程的数值方法。 1 3 几种非传统的求解对流扩散方程数值方法的简介 1 3 1 特征有限差分法 对于对流扩散型偏微分方程( 或方程组) 来说，当对流占优时，这种对流扩散方程几 乎反映了双曲型方程的性质。用通常的中心差分法或有限元法进行求解将出现数值振 荡。为了克服数值振荡问题，1 9 8 2 年，j d o u g l a s ，j r 和丁fr u s s e l l 等f 1 5 】提出了特征线 修正技术求解对流占优的对流扩散问题。这一方法考虑沿着特征线( 流动方向) 的离散， 利用对流扩散问题的物理力学特征，可以有效的克服数值振荡，保证数值解的稳定。这 种方法与传统的差分法，有限元法相结合，提出了特征有限差分方法、特征有限元方法 和特征混合元方法，并给出了相应的理论分析。几十年来，该技术得到了很好的研究和 应用。 考虑一维非定常对流扩散方程的初值问题【6 】： 以) 詈俐罢一知x ) 叫x , t ) i x l 哆吣 m a x a ( x ) ，c ( x ) 0 。又设( x ) 仅在实轴上某个有限 区间内非零。 令( 功= b ( x ) 2 + c ( x ) 2 他，与算子c ( x ) 害+ 6 ( x ) 罢相伴的特征方向为 _ ( 嚣，器) 沿兄的方向导数南= 嚣昙+ 怒丢，璁1 7 ) d p i 舫 程可化为 吣) 意一昙( = f ( x , t ) i x l 锄，o 0 ，沿f 轴作网格节a t t = k r ，k = 0 , 1 ，2 ，由( x ，t k ) 出发的特征方向与直线t = t k l 交点的横坐标为i = x r b ( x ) c ( x ) 。采用下列近似公式逼 近特征方向导数： 嘉咧力警器裂 4 ：c ( x ) 巫业型 f ( 1 9 ) 东北大学硕士学位论文第一章绪论 = 气 = z 扣l 图1 1网格罾0 分不恿图 f i g 1 1g r i d sb yd e m a r c a t i n g 设h 为空间步长，记石，= 乃，j = o ，1 ，2 ，。记二阶中心差商 叫：鼽，：华：华 则对扩散项可r h - 阶中心差商来逼近： 昙( m 瓦o u ( ) = 叫k 州n ( 1 1 0 ) 由( 1 9 ) 和( 1 1 0 ) 可得到求解初值问题( 1 7 ) 的特征差分格式： 勺华山；：例础，扣1 ，2 ，_ 酬( 1 1 1 ) “? = u 0 ( x j ) 因为i 一般不属于网格节点，“- - k - 1 不能直接得出，而需利用插值数据澎- 1 j 作一次或二 次插值函数计算得到玎，根据从一个节点出发的特征方向可能与不同网格线相交的情 况，可以构造不同的差分格式，如传统的方法有基于线性插值和双线性插值的特征差分 格式 1 6 , 1 7 1 。近来，一些学者对万；一的构造有了一些改进，如基于斜线性插值的特征差分 法【1 8 】等。 1 3 2 特征有限元法 用特征有限元方法处理对流扩散问题，与特征有限差分方法类似，最早是由 j i m d o u g l a s ，j r 和丁fr u s s e l l 等人提出，并广泛应用于油藏模拟问题，核废料污染问题， 半导体器件瞬态问题等领域。此方法的主要思想是引入特征方向的导数，把对流扩散方 程转化为形式上不含有对流项的扩散方程求解。当以对流占优时，解沿特征方向的变化 比沿时间方向的变化慢得多。采用特征有限元方法考虑问题，可以在不损失精度的情况 下取较大的时间步长，提高计算效率。 下面介绍二维非定常常系数对流扩散方程的特征有限元方法【5 1 。 詈+ 6 a u + b 2 毒- a a u 弘f a a u x q ( 1 1 2 ) + 执= 。x s 2 西 1 叙知， 7 ( 1 “= 0 ，x m - 5 - 东北大学硕士学位论文第一章绪论 其中，x = ( 五，x 2 ) ，b l ，b 2 ，a 为常数，且o a 0 为时间步长，记 t t = k r ，k = o ，1 ，。由( x 1x ：，t k ) 出发的特征方向与直线t = 气一，交点的空间方向的坐标为 孓= ( 墨，五) ，其中墨= x l - b 。f ，x 2 = x 2 - b ：f 。采用下列近似公式逼近特征方向导数： o u y i y d 以 u ( x ，气) 一u ( i ，气一1 ) u ( x ，f i ) 一u ( i ，气一1 ) 一= = 一 ( ( x 一- ) 2 + f 2 ) 1 7 2 f 记u ( x ，t k ) = u k ( x ) ，由此可建立方程( 1 1 3 ) 1 拘时间离散化近似方程： 丛坐止堕一础t ( x ) ：厂( x ，。) ( 1 1 4 ) 下一步要做的事情是，采用g a l e r k i n 有限元法，将( 1 1 4 ) 关于空间变量进一步离散 化。设q 。为区域q 的正则剖分族，s hc 硪( q ) 是基于剖分q 。的分片多项式构成的有 限元函数空间，并假定瓯满足条件：对某一整数，2 ， ”i n 。f v - - v h l i + h l l v - v h 小国5 ，v 1 占掣h 5 ( 哟r 、础( q ) 利用方程( 1 1 4 ) 的变分形式和空间瓯，求解对流扩散方程( 1 1 3 ) 的特征有限元法定义为： 求函数“ k ( i t ) s h k = 0 , 1 ，：使得 j | ，盛坚上盥，1 + 口勺域( x ) ，v v ) ：( 厂伍) ，l 瓯，刀：l ，2 ， ( 1 1 5 ) 0 ：( x ) v h ) = g 。( x ) v ) v v 。两 ( 1 1 6 ) 关于格式( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 的求解计算，可按时间层( 后= 0 , 1 ，2 ) 逐层求解，每次需解一个线 性代数方程组，与抛物问题的隐型全离散格式的求解计算基本上一致，但有一点是不同 的：由于i 不一定是区域q 中的剖分节点，所以对于方程( 1 1 5 ) 中“。k - 1 ( 习的计算，需要 利用“( x ) 在孓点附近若干节点上的值用插值的方法给出。 对于对流占优扩散问题，这些问题的解u ( x ，f ) 往往存在“瞬间层”或“边界层”，并 且解“沿特征方向的导数值嘉远比沿f 方向的导数值争2 u 小，所以沿特征方向作差分逼 近引起的误差要比沿t 方向差分逼近的误差要小得多，因而特征有限元方法求解这类问 题时能够提高近似解的精度。其次，类似于特征差分格式，特征有限元格式比普通的有 - 6 - 东北大学硕士学位论文第一章绪论 限元格式具有更好的稳定性质。 1 3 3 有限体积法 有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ，简称f v m 方法) 是集有限差分法和有限元法之优 点而发展起来的一种新的求解偏微分方程数值方法，尤其适用于满足物理守恒律的方 程。在对求解区域作有限剖分后，将原方程在某个子区域上积分；应用g r e e n 公式，将 散度的积分转化为子区域边界上的积分；然后选取适当的有限维试探函数空间，在该子 空间上离散含子区域边界积分的方程，从而导出相应的计算格式。据此途径建立的数值 方法称为有限体积法。由于此方法将散度的积分化为子区域边界积分后再离散，数值解 满足离散守恒律；而且可以采用非结构网格，所以在计算物理，特别是计算流体力学上 有广泛的应用。由于本文所采用的数值离散方法为有限体积法，所以在这里我们对此方 法不作过多的介绍，在节2 1 1 及节3 1 1 中详细的介绍有限体积法在对流扩散方程中的 应用。 1 3 4 流线扩散法 流线扩散方法( s t r e a m l i n e d i f f u s i o nm e t h o d ，简称s d 方法) 是在8 0 年代由h u g e s 和 b r o o k s 提出的一种数值求解对流占优扩散问题的新型有限元算法。通过对检验函数的适 当选取，施加了一个主要是沿流场方向的人工粘性项，提高有限元方法的稳定性。随后， 由j o h n s o n 和n i i m e r t 将肋方法推广到发展型对流扩散问题( 包括双曲型问题) 【1 9 ，2 0 2 1 1 。熟 知，对于对流扩散问题，标准有限元方法虽具有高阶精度，但常产生数值振荡；古典人 工粘性g a l e r k i n 方法虽具有较好的稳定性，但仅具有一阶精度。而s d 方法兼具良好的 数值稳定性和高阶精度，因此得到越来越多的重视，已广泛地应用于计算流体等诸多问 题。然而，传统的s d 方法使用时空有限元，计算工作量较大，对高维或非线性问题尤 其如此。为此，孙澈【8 】提出了差分流线扩散法( 简称f d s d 方法) ，即仅对空间域作s d 方 法的有限元离散，而对时间域作差分离散( 如e u l e r 离散或c r a n k n i c o l s o n 离散等) 。理 论分析表明，f d s d 方法不仅保持s d 方法的本质特征，而且在很大程度上克服了s d 方 法的上述不足。 下面通过非定常对流占优扩散方程( 1 1 7 ) 来介绍f d s d 方法。 考虑非定常对流扩散方程【8 】= 气 e ( x ，f ) 兰导一v ( 口( x ，t ) v u ) + p ( x ，f ) v u + a ( x ，t ) u = 厂( x ，f ) ，( x ，f ) q ( 0 ，t 】 研 u ( x ，t ) = 0 ，( x ，t ) a q ( 0 ，t 】 ( 1 1 7 ) u ( x ，0 ) = 材o ( x ) ， x q 其中t 0 为给定常数，边界a q 逐片光滑；流场= ( 届，反) ，c w 1 。( o ，t ；w 1 一( q ) ) ， 口，l r ( o ，t ；w 1 。( q ) ) ，仃r ( o ，丁；r ( q ) ) ，厂r ( o ，丁；r ( q ) ) ，“o r ( q ) ，并且 - 7 东北大学硕士学位论文第一章绪论 c ( x ，f ) c o 0 ，a ( x ，r ) a o 0 ，仃( x ，f ) 一1 2 d i v p ( x ，f ) - y o 0 ； 一 口( z ，f ) i ( 石，f ) i = g 砰( z ；f ) + 厉( x ，f ) ) l 他，口( x ，f ) 0 ，c i ) c ：为给定的常数，c 0 ，当l b i a 时，称方程( 2 1 ) 为对流占优扩散方程。下面对方程( 2 1 ) 构造一种新型的差分格式。 2 1 1 差分格式的构造 引进指数函数p ( x ) = e 曲k ，则 p ) = e - b l a 。( 一与= 户( x ) ( 一皇) 口口 对( 2 1 ) 两边同乘以p ( x ) 得： - a u ( x ) + b u 。p ( x ) + c z 句d ( x ) = f p ( x ) 王- - a u p ( x ) - - - u p ( x ) + c u p ( x ) = 咖( x ) - a ( p ( x ) u ) + c u p ( x ) = f p ( x ) 口 令万= a p ( x ) ，万= c p ( x ) ，夕= f p ( 功，则( 2 1 ) 可变形为守恒型扩散方程： 一( 石“) 7 + 动= f ( 2 2 ) 对( 2 2 ) 利用有限体积法进行离散，便可得到一种新型的差分格式。 首先对区间，= k ，纠作剖分瓦，节点为口= x o z i 工2 石。= ，单元的长 度为h i = 墨一x ，记办= m a x h s 。为方便起见，假设瓦为均匀剖分，则办= 一