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带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法中文摘要 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法 中文摘要 本文考虑了带有振荡系数的椭圆问题我们采用一类多尺度方法( h e t e r o g e n e o u s m u l t i s c a l em e t h o d ，简称h m m ) 来进行求解h m m 包括两部分的内容；一是在宏 观尺度网格上选择一个宏观算法；二是通过解局部的细网格问题来估算未知的宏观尺 度数据所以这一方法的关键：一是如何选择宏观算法；二是如何估算未知的宏观数 据。我们采用了一类考虑数值积分影响的有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ，简称 f v m ) 作为宏观算法于是得到一类多尺度有限体积法( h m m f v m ) 我们分析 了此多尺度有限体积法的误差，并给出了数值算例来验证该多尺度有限体积法有较好 的收敛阶 关键词；均匀化理论，非均匀多尺度方法，有限体积法，误差分析，数值积分影响 作者：唐闻瑜 指导老师：岳兴业 带有摄荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法 a b s t r a c t t h em u l t i s c a l ef i n i t ev o l u m em e t h o df o re l l i p t i cp d ew i t h o s c i l l a t i n gc o e f f i c i e n t s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h ee l l i p t i cp d ew i t ho s c i l l a t i n gc o e f f i c i e n t s 1 1 7 l ka d o p t h e t e r o g e n e o u sm n l t i s c a l em e t h o d ( h m m 、t os o l v et h ep r o b l e m h m mc o n s i s t so ft w o c o m p o n e n t s ：s e l e c t i o no fam a c r o s c o p i cs o l v e ro nam a c r o s c a l eg r i d ，a n de s t i m a t i n g t h em i s s i n gm a c r o s c a l ed a t ab ys o l v i n gl o c a l l yt h ef i n es c a l ep r o b l e m s ot h ek e yo f t h i sm e t h o di sh o wt os e l e c tam a c r o s c o p i cs o l v e ra n dh o wt oe s t i m a t et h em i s s i n g m a c r o s c a l ed a t a ak i n do ff i n i t ev o l u m em e t h o d ( f v m ) t h a tc o n s i d e r st h ee f f e c t so f n u m e r i c a li n t e g r a t i o ni su s e da st h em a c r o s c o p i cs o l v e ri nh m m t h e nw eg e tt h e m e t h o dn a m e dh m m f v m 1 1 7 l ，ep r e s e n tt h ee r r o re s t i m a t ea n ds h o ws o m en u m e r i c a 】 e x a m p l e s t oc o n f i r mt h a th m m f v mh a sg o o dc o n v e r g e n to r d e r k e yw o r d s ：h o m o g e n i z a t i o nt h e o r y ，h e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ，f i n i t e v o l u m em e t h o d ，e r r o re s t i m a t e ，t h ee f f e c t so fn u m e r i c a li n t e g r a t i o n i i w r i t t e nb yt a n gw e n y u s u p e r v i s e db yp r o f l y u ex i n g y e 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独萨进行研究t - 作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：丝豳萄 日期：竺! 芏。! ! 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名 导师签名 建囱逾日期：塑! ：壬f ，曩圣些日期：丛笸：堡! # 带有振荡系效抟椭躅问题的多尺度有跟体积法 第一章引言 第一章引言 多尺度建模、分析及计算是当前应用数学和计算数学领域的前沿和热门课题，根 本原因在于多尺度现象广泛存在于材料科学( 从钢筋混凝土、复合材料、编织材料到 纳米材料、液晶生长) ，油藏开发，环境保护( 地下水污染、海水浸蚀) 和农业科学( 农 田科学施肥、灌溉) 之中多尺度问题中讨论最多的例子就是带有振荡系数的椭圆问 题； - d i v ( 0 8 ( z ) v u 5 ( $ ) ) = f ( x ) i nqcr 2 u 5 ( z ) 1 1 = 0( 1 1 ) n 6 ( z ) v u 5 ( z ) 礼= g ( 岱) o 礼r 其中参数e 1 表示问题中最小尺度和最大尺度的比率n 是五2 上的有界多边形凸 区域，7 和r 分别是0 的部分边界，r nr = 口，节uf = 踟函数，( z ) h 1 ( n ) ， g ( z ) h 1 ( r ) 在这里我们将对问题( 1 1 ) 进行讨论 由均匀化理论( 见 7 】) ，我们有结论： i i ( z ) 一u ( g ) | | l 2 ( n ) 叶0 ( 1 2 ) 在这里u ( 。) 是问题( 1 , 1 ) 的均匀化方程的解： i d i v ( a ( z ) v t ( 岱) ) = ，扛) i nncr 2 ( ) h = 0( 1 3 ) l 【4 ( z ) v u ( 窍) - n = 9 ( z ) o nr 当0 6 ( z ) = n ( z ，z 肛) 且关于局部变量周期时，均匀化系数a ( z ) 可由称之为单元问题的 解中得到( 见 7 ) 通常情况下，除了一维的情形外，a ( x ) 没有明显的表达式 对于多尺度问题的数值计算，人们提出了许多不同的数值方法，其中包括多重网 格方法( m u l t i - g r i dm e t h o d ) ( 见【1 ) ，小波均匀化技术( w a v e l e tt t o m o g e r d z a t i o n t e c h n i q u e s ) ( 见【8j ) ，多尺度有限元方法( m t t l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简称 m s f e m ) ( 见【1 4 ，1 5 ，1 2 ，1 7 】) ，变分多尺度方法( v a r i a t i o n a l m u l t i s c a l e m e t h o d ) ( 见 【3 ，1 6 ，1 9 ) ，二尺度有限元方法( t w o - s c a l ef i n i t e e l e m e n tm e t h o d ) ( 见【6 ，5 】) ，非 均匀多尺度方法( h e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ，简称h m m ) ( 见【9 ，1 0 ，1 1 ，1 7 】) 等我们采用h m m 来研究和分析问题( 1 1 ) h m m 的算法思想是：首先对区域进行宏观网格剖分，在宏观网格上选择一个宏 观算法由于问题是定义在微观尺度上的，所以般来说宏观尺度上的介质性质是未 知的因此我们就需要对这些未知的宏观数据进行估算于是这一方法的关键：是 1 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法 第一章引言 如何选择宏观算法；二足如何估算未知的宏观数据在每个宏观网格内，我们选取一 个或几个大小为微观特征尺度的小区域，通过在这些小区域上求解一个单元问题来获 得未知的宏观数据对于宏观算法，我们采用有限体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ，简 称f v m ) 于是得到一类多尺度有限体积法( h m m - f v m ) 作为宏观算法的有限体积法，其基本特点是能够保持物理量的局部守恒性，因而 在强调物质守恒性的场合得到了广泛的运用( 见 1 3 ，1 81 ) p c h a t z i p a n t e l i d i s2 0 0 2 年提出了一类新的有限体积法( 见 4 】) ，目的在于简化控制体的构造和减少边界积分 的工作量，并给出了理论分析。其主要的理论分析工具是将有限体积法视作有限元方 法的一个摄动，从而使有限体积法在保持局部守恒性的同时，也具有与有限元方法类 似的逼近性质，从而得到误差估计经过我们的分析研究及具体的数值试验，这一方 法有较好的收敛性和误差结果 但是pc h a t z i p a n t e l i d i s 所提出的有限体积算法，没有考虑数值积分的影响，只是 理论上的算法所以我们在此基础上提出了一类考虑数值积分影响的有限体积算法 我们发现考虑了数值积分影响的有限体积法可以视为一类特殊的考虑了数值积分影响 的有限元方法的一个摄动因此我们以此为出发点，对多尺度有限体积法进行误差分 析其次，在 4 】中只考虑了d i r i c h l e t 边界问题，我们考虑了混合边界问题( 即部分 边界上是d i r i c h l e t 条件，部分边界上是n e u m a n n 条件) 我们发现对n e u m a n n 边界的 处理需要一点特殊的技巧 另外，我们给出了数值算例，数值结果验证了多尺度有限体积法有较好的收敛性 余下的部分是这样安排的：第二章描述模型及算法，同时为了理论分析的需要， 给出了一些均匀化理论；第三章对多尺度有限体积法的解与均匀化方程的解进行了日1 误差分析；第四章给出具体的数值算例来验证多尺度有限体积法的解的收敛性；第五 章对我们所提出的有限体积法进行了相关的讨论；最后在第六章给出总结 2 带有振荡系数的椭圆同题的多尺度有限体积法第二章模型与算法 第二章模型与算法 本章我们将具体给出问题( 1 1 ) 的多尺度有限体积法的算法第一节我们给出了 多尺度有限体积法的具体算法；第二节证明采用此多尺度有限体积法求解问题( 1 1 ) 的解的存在唯一性。同时，为了理论分析的需要，我们简单地介绍了一些均匀化理论。 2 。1 多尺度有限体积法 h m m 算法是利用问题的尺度分离或其它一些特殊性质来求解多尺度问题的它 包括两部分的内容：一是在宏观尺度网格上选择一个宏观算法；二是通过解局部的细 网格问题来估算未知的宏观数据，我们称未知的宏观数据为这个尺度上的等效系数， 记为a n ( x ) 对问题( 1 1 ) ，我们假定n 。( z ) 尺度分离，即a ( z ) = a ( z ，z 肛) = ( a q ( x ，。肛) ) 2 。2 ， 且对称正定，即存在常数卢 a 0 ，使得对v f r 2 ，对n 上的每一点z 都有 a l , 1 2 嘧( z ) f 卢2( 2 1 ) a q ( ，y ) 是关于y 的周期函数，周期为i = 【0 ，l 】x 【0 ，l 】，即称a o ( z ，y ) 关于y 是- 周期的 作q 的拟一致三角形剖分，记k 为三角形单元k t h 的直径，h = z n a x 蜀。ah 耳用玩陋) 和臻) 分别表示单元k 的顶点和边的集合。定义磊= u k t hz h ( g ) 表示所有三角形单元的顶点的集合，鲰= u 蜀t he h ( k ) 表示所有三角形 单元的边的集合z 妒为磊中属于n 内部的顶点组成的集合对每个顶点z z h ， 我们取所有以z 为顶点的三角形单元k 组成的区域为一个控制体，记为攻( 如图l ， 图2 ) 我们用( k ) 表示控制体k 所包含的三角形单元组成的集合 图1 ：以z z 驴为中心的控制体k图2 ；以；z h n r 为中心的控制体k 3 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法 第二章模型与算法 下面定义两个空间： v = t j 日1 ( n ) ： h = o v h = v h 1 ( n ) ： i i s l i n e a r f o ra l l k t h ，”1 7 一o ) 显然v h c v 。 对于问题( 11 ) 的宏观算法，我们在上述宏观粗网格上用考虑数值积分影响的 有限体积法，并且在空间上进行求解，也就是说所得到的解是分片线性的下面我 们就给出问题( 1 1 ) 的多尺度有限体积法的算法 求“h ，使得 对v z z ，在控制体k 上有( 如图1 ) ： 一f s v a r 4 v u h n d s + i 1 。赢，z 【a h v u h n 汕2 厶胁 ( 2 z ) 对v z z h n r ，在控制体k 上有( 如图2 ) ： 一f o v 。r a n v u n n d s + 丢上a h v u h n d s + i 1 。轰j ( 【a h v u h h 曲 = d z + 导五u 。，d s ( 。s ) 考虑数值积分的影响，( 2 2 ) 式( 2 3 ) 式就变为： 对比z ，在控制体k 上有( 如图1 ) ： 一l e ( a h v u j ( x 。) 氇+ 寺l e l a i x v u h ( x 。o ) n 。 e 8 k “e e q ( k ) = 百1i k i ，( z 。) ( 2 4 ) ( k ) 。c i ( 耳) 对v z z h n r ，在控制体k 上有( 如图2 ) ： 一 j e ( a 日v ) ( z ) + l e ( a 野v u h ) ( x 。) 。+ e a v a r e e o v e n r 音e a h v u ( x m o ) 仉= 专旧，( 。) + 号l e l g ( 。) “e e 厅：( k ) rk n ( k ) ” e e h ( k )。e a v , n r ( 2 5 ) 其中z 。表示边e 的中点，磁( k ) = e 玩：z e 表示控制体k 内部的边的集 合， 【 ，v 口】( z ) n 。= ( a u v v k + c ) ( 嚣m 。) 一( a h v v k e ) ( z 。) ， k 和，k - e 表 示以e 为公共边的两个三角形单元，n 。为e 托的单位外法向量( 如图3 ) 4 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法 第二章模型与算法 图3 图4 ：以点z 。为中心的正方形区域l ( z 。) 于是问题( 1 1 ) 的多尺度有限体积法算法中的宏观算法为：求u h v h ，使得对 v z z h ，“ 满足( 2 4 ) ( 2 5 ) 上面( 2 4 ) ( 2 5 ) 两式中等效系数a h ( x ) 是未知的，所以我们需要对上两式中 的( a 日v u h ) ( x 。) 进行估算对v u v h ，e e h ，以点$ 。为中心，以为边长作一 正方形区域( 如图4 ) ，记为x 。( 5 5 。) 在i 。( 5 5 。) 上，作细网格剖分在细网格上，我 们求解单元问题： j d i v ( 口( z ，z ) v r v ) = 0 i n h ( 5 5 。 ir v 一”是周期的 、4 然后我们令 ( a h v v ) ( 。一) 。口i 盂翮厶( 。) a ( 。m c ，。肛) v 置”妇 ( 2 7 ) 由此就得到多尺度有限体积法的算法为：求u v h ，使得对v z z ，u h 满足( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 7 ) 通常的有限体积法其控制体如图5 ，为了构造控制体需要构造一套新的对偶网 格，而且这类控制体的边的个数是我们采用的控制体的边的个数的两倍，因而这类方 法计算边界积分的工作量是我们采用的方法的两倍 图5 注，多尺度有限体积法同样适用于扩( 5 5 ) = o ( 窜，z 肛) 且n ( 奶y ) 关于y 非周期的情 形这时，宏观算法不变对( a r l 、7 v ) ( 5 5 。) 进行估算时，在以点z 。为中心，6 为边 5 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法 第二章模型与算法 长的正方形区域( 记为乃( z 。) ) 上，求解单元问题： i d i v ( n ( z 。，z ) v r v ) = o i n 如( z m 。) irv=072o x 6 ( z m 。) 然后我们令 ( a u v v ) ( z m c ) 5 口；6 ；：可t 6 ( x 。o ) a ( z r n c ，z e ) v r ”8 z 其中取6 为e 的适当的整数倍 2 2 多尺度有限体积法的解的存在唯一性 为了下面理论分析的需要，我们首先介绍一些均匀化理论另外我们在这里使用 了爱因斯坦求和约定，即重复的指标表示对该指标进行求和 我们定义函数妒( $ ，”) ，= 1 ，2 ，它关于y 是l 周期的，并且满足方程， v ”，( 口( x , y ) v ”x ( g ，v ) ) = v g i k ( 。，可) “， ( 2 8 ) i 妒( q y ) d y = 0 其中v ”表示关于变量y 的梯度，v 表示v v 的第t 项 由均匀化理论( 见f 7 】) ，我们知道问题( 1 1 ) 的解旷( z ) 可以渐进展开成如下形 式： “6 = t 上+ e x ( $ ，e ) v k u + 口“( 2 9 ) 在这里v 表示v 的第k 项，u 为均匀化问题( 1 3 ) 的解 同样，由均匀化理论，均匀化系数a ( z ) = ( a 巧( z ) ) 2 x 2 可以表达为： 似垆击z ( 吲训“删) 笔岩) 曲 ( 2 l o ) 下面我们就证明多尺度有限体积法的解的存在唯一性 引理2 1 在上述( 2 7 ) 式定义下，我们有： ( a t l v v ) ( x , n 。) ：( a v 口) ( $ m ) v 口h ，e e h 证由( 2 6 ) 式及均匀化理论，我们知道 r v = ( $ ) + e x 。( ，$ ) v k v ( x )( 2 1 1 ) 6 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法 第二章模型与算法 于是对( 2 7 ) 式，我们有 ( a 玎v ”) ( ) 2 面三厶( ) 。( ，。6 ) v 砌血 2 瓜赢厶“一叫。叫“功托妒忙m c 一肛) v ) d z 由爱因斯坦求和约定，有 ( a h v v m ) = 瓦南k 叼( z e ) v s 巾航，圳虫墨等丛v 圳如 对上式右端积分中的第二项的指标j ，k 进行互换，有 ( a r ，v v ) ( z m 。) = 厍丽1 五( 。一( a 玎( z n ，。s ) 码”( 。) + e 。捕知m 。，。e ) 垒兰1 瓷尹塑码”) d 。 = 厍若翮厶( 。一( 。玎( z m 。，z e ) + 地t ( z m 。，z e ) 丛掣) 码”出 由于”k ，是分片线性的，所以 ( a n v v ) i ( 训= 丽1 习厶( 。小舻) + 唿( 圳掣冲” 令= 肛 ( a i w v ) t ( 。) = 南z ( 。玎( z 。，) + 。曲( 。，f ) 掣) 曲码” 由( 2 1 0 ) 式，有 江玎v 口) f ( z ) = a j ( 。m 。) 巧口 所以 ( a 盯v u l b m ) = f a v u l f $ m 1 定理2 1 多尺度有限体积法的算法( 2 4 ) 式( 2 5 ) 式( 2 7 ) 式等价于如r 的 变分问题：求u ，使得 n h f v m ( “h ，x ) = ( 7 ，q ，) ( ) k + ( g ( 。) ，q x ) 。0 i f n r ) v x k( 2 ，1 2 ) 其中a h f v m ( ，) ：- + r 定义为 n h f y m ( 妒，x ) 2 专k 邑e 。；蠡k ， x ( ) 上 ( z m c 一) v 妒n c d 5 o 珏c 四k ( ) 、 j e + x ( ) a ( z m t s ) v 妒n 。d s j + 百1l x 、n ) + x ( 露) ) ( 茹帆) v 妒n 。d s ) j e o 带有振荡系数的椭圆阿题的多尺度有限体积法第二章模型与算法 z ，为e 的两个端点，e ”，e 5 分别为。，霉所对的边( 如图6 ) 7 i = 告( ，( z 。) + f ( x m 。) 十，( 。) ) 。线性算子口1l k ：p 1 ( k ) 叶二2 ( k ) 定义为q f k = 告。瓦( x ( z ) ， v k n ，x h 线性算子q f 。：p l ( k ) 一正2 ( e ) 定义为q 乒) ( i 。= 专( ) ( ( z ) + x ( ) ) ，v k ，xe h z 证为方便起见，定义( 2 4 ) 式和( 2 , 5 ) 式的左端项分别为n i 。( “ ) ，邮( “ ) 1 。对n 内部顶点z z 妒，由( 2 4 ) 式及引理2 1 对( 2 4 ) 式左端第一项，有 一i * l ( a n w , h ) ( x m 。) - n 。= 一 e l ( a v u a ) ( 髫。) - n 。 = a ( ) v u h t n 。d s e e a k 4 一。襄，f 。k n a v , a 护 础 e ! 、( u 1 由g r e e n 公式，我们有 一蠹ki(auvuhee ) ( 2 m ；磊l 8 k 刖一v i 撕m 曲 ( 2 1 3 ) 8 uk n k ) 啪、。h 对( 2 4 ) 式左端第二项，有 寺l e l a i w u h ( z 。) n 。= 告i e l 【a v u 1 ( z 。) 、n 。 一e 秭( u )一e 哪( k ) = 音a ( 嚣一) 【v t 】饥d s e e 研( k ) 一 = 丢茁。瓢f o k o v , a ( 、。毪) v u j o k 柙d s( 2 1 4 ) 。k 取( k ) 对( 2 4 ) 式右端项，有 n ( u ) 。e 如( )m n ( u ) 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法第二章模型与算法 由7 i * 的定义，有 ；k ) 扣e e e h ( k ，m m c ) 2k e t h ( v , ，厶 ( 2 1 5 ) 靠( k ) 。) ” 2 。对r 上的顶点z 玩n r ，由( 2 5 ) 式及弓l 理2 ，1 对( 2 5 ) 式左端第一项，有 i e i ( a h v u h ) ( x 。) 仉 e a k r 由g r e e n 公式，我们有 一m ( a v u h ) ( x 。) 仉 e e 占蟮| r 一一a ( ) v u h 饥d s e e a k r 。 一片。聂k ，k 蚴a z 脚x n ( a v j r ) 胁柙a s 。；、r b ( a h v u h ) ( $ m c ) 7 l c 、f o k ( a v , r ) a ( x m o k n ( o v ；r ) o v ) v u n d s ( 2 1 6 ) e , r k e t h ( v , ) 对( 2 5 ) 式左端第二项，有 音 e l ( a h v u h ) ( m 。) _ n e = 告l e l ( a v u h ) ( x 。) 低 。e e o v , n r 。e e o v , n r = 告a ( $ 。) v u h - n 。d s 。e e a k n r 。6 2 k 。篆n ，上a ( $ m o k o r ) v “圹州。 对( 2 5 ) 式左端第三项，有 寺i e i a h v u h ( x 。) 饥 一e e 目z ( k ) r = 二2 川a v 蜘( 。) 心 e 研( u ) r = 寺a ( x m , ) v u h 饥d s “e e 榷( u ) r “ 2 专t 篆f v , ) f a k n ( e ：( v , ) r ) a ( 啷c v u 舢d 5 对( 2 5 ) 式右端第一项，有 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 。：、吾ll、，(z仉)=。：。上(，(z。)+，(z。)+，(。)如e )”h(th(v,e e m h ( k )j f t h ( k ) 一。 9 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法第二章模型与算法 由，i k 的楚义，硐 专吲，( z m 。) = 厶7 d 。 k 6 n ( k ) “e 曰 ( )t 、( k ) 。 对( 2 5 ) 式右端第二项，有 号l e lg ( s 。) = 号g ( z 。) d s 。e e a k n re a v f n r 。8 。号。磊k ，五咖m s ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 3 。由( 2 1 3 ) 式( 2 2 0 ) 式，对v x v h ，关于n 上的所有顶点= 磊进行求和得t x ( 加i n ( “ ) +x ( 0 a 。( u ) = x ( z ) 。，了d z j 曩n $ 如n r j 积“k e 靠( u ) 。 +；。，酬，厶7蚺詈。，aknrg(zmokn-zhnk6th(v,th(v* 灿) z r ) 一。e】 左边=。善、x()za。m。)vuhne山+x()z(z。)v“一一n。如kethe ( k ) ”“ + 丢( x ( ) + ) ( ( ) ) z a ( z 。) v u h n ed s 右边2 轰“。磊k ) - d x + i 3 ；。“砷聂k ) s s k n f g g h n r w e b r ) d s j 磊靠( k ) 。j e 靠( k ) 2 轰 厶7 ( x ( ) + x ( ) + x ( ) ) d z + 导。瑟，z g ( z m 。) ( x ( ) + x ( ) ) d s ) 由线性算子0 ，j - ( ，q 笋i 。的定义，有 右边= 3 ( 了，q ，) ( ) + ( 9 ( 嚣m 。) ，q f x ) 。e a 。r ) k 6 n 所以足义 铆矿m ( 妒，x ) = 百1 k 邑e 。；磊科 x ( z ，) z a ( z q w ) v l p 饥d s o ne 取( k ) j e + x ( ) a ( z m 一) v 妒t | 。d s j e + 百1l x z 。n ) + x ( ) ) a ( 2 斗k ) v 妒n 。d 3 ) j e 于是变分问题就为，求u h k 。使得v y 。有 t z h f v m ( u h ，) = ( 7 ，q i x ) 并+ ( 9 ( $ 。) ，q f ) ( ) e o k n r ) k e n 1 0 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法第二章 模型与算法 对于线性算子q i 和q i 。，我们简要地介绍一下它们的一些性质( 见 4 1 ) 性质2 1 线性算子q ，l 有下面一些性质： ( 1 ) j k xd x 2 厶q l x d 。v k t h ，x ( 2 ) l i x q 1 ) ( | f l 。( k ) c h 耳i x l i ，- ( k ) v ) ( v h ，l g o t 。 0 ， 使得对v f r 2 ，对q 上的每一点z 都有 n l l 1 2 。s 卢1 l f l 2 定义有限元双线性形式 如删以卜磊厶加”v x 血以“ ( 2 2 1 ) 其中再= 吉( a ( z m 。) + a ( 。) + a ( z m , 。) ) 为a ( z ) 在单元k 上三边中点处的平均 值定义误差 口( 妒，x ) = 五f e m ( 1 p ，x ) 一a h f v m ( 1 p ，x ) v 妒，x y h( 2 2 2 ) 引理2 2 对v l p ，x ，有 x ( z ，) 万v 妒礼。d s + x ( ) 页v 妒竹。d s + i tt x l n ) + x ( ) ) 五v l p n e d s je ，e o ，e = 3 z v f l e x d 5 证左边= 百3 ( x ( 2 ，) + x ( ) ) 刁v p o j e = 3 q 乒x 。五v i p n 。d s = 3 万v 妒印h d s = 3 a r g o n 。) ( 山 = 3 石v 妒n 。出 n e d s ( 由q f f x i 。的定义) ( 因q s x k ，才v 妒n 。均为常数) ( 由算予0 f i 。的性质( 2 ) ) 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法第二章模型与算法 引理2 3 对误差。( 妒，) ( ) 我们有如下的估计 e 。( 1 p ，x ) l c h l l p l l ) 匕i l v 妒，x y h 证对v p ，x y h ，由g r e e n 公式，( 2 2 1 ) 式可以转化成 舀尸e 盯( 妒，x ) = 页v 妒低x d s ne 6 e h ( k ) j e 凼此l2 2 2j 瓦j 以与戚 “) = 篆： z i v 灿洲s 一了1 心，) z 吐羽帅础e k ne h ( k ) 吖 。 吖 一百1 烈s ) z a 。m 。) v 妒n 。d s 一丢( x ( ) + x ( 霹) ) z a ( z 。) v l p n e d s 由引理2 2 ，得到 ( p ，) ( ) = 专 x ( 掣) ，( 页一a ( 一。) ) v 妒n e 山 。e 靠e e ( ) 。8 + x ( ) ( 万一a ( z m 。) ) v 妒竹。d s j + i 1 ( x ( ) + x ( ) ) z ( 页一a 扛m ) ) v 垆n e 出) 4j 7 由j 的定义知 z ( 五一a ( z 仉。) ) v i p n e d s + z ( 互一a ( z m 。) ) v p n e d s + z ( 页一a ( z m 。) ) v 妒”e d s = 。 于是 “州) = 丢石t ( x ) 一) z ( 万叫w ) ) v 灿e d s 。k ehe e e h ( k ) 。 + ( x ( z ；) 一又k ) z ( 五一a ( $ m 。) ) v p n e d s 十【百1l m n ) + x ( z 善) ) 一叉耳】( 页一 ( 嚣m 。) ) v 妒n 。d s oj e 一 在这里令 勋= 百1 【x ( ) + x 簖) + i 1 ( x ( ) + x ( 露) ) j = i 1 ( x ( ) + x ( 茗) ) 所以 l p ，x ) l 2 专j 墨。善，、 ( x ( ) 一趸并) 上( 再一a ( z 吐一) ) v 灿e d s ”t xc 玛。( 】 。 带有振荡系数的椭圆l 可题的多尺度有限体积法 第二章 模型与算法 + ( 北；) 一冠) j ( ( j 一他心川v p n e d s ) sc ，量 备i v f ( v 妒饥d 刮 ne e e h ( k ) “ c h 莨i v _ p l i v x l k n 2 c 磊n ( 厶i v 卯a z ) 专( 厶i v x l 2 d z ) 了 定理2 2 双线性形式a h f v m ( 妒，x ) 具有有界性和强制性，即存在常数胁 q 2 0 。使得 口h f v m ( 妒，x ) o h f v m ( 妒，妒) 阮i 妒hi xj l 舰l 妒f v 妒， v v h 证百冗让明硐限兀舣域性彤式五f b m ( 舻，x ) 钢璃界怔放强铡任 由均匀化系数a ( ) 的一致正定性，我们有：v i p ，x v 如肼崩卜磊厶砷取血 纠1 毒k k v 妒v x d x 螂磊( 厶l v 卯d z ) ( 厶1 v x l 2 妇) 溉咖2 聂厶n 州咖 撕1 磊厶l 即1 2 d z = o li 妒i ?( 2 , 2 4 ) 其次证明多尺度有限体积法的双线性形式a h f v m ( 妒，x ) 的有界性及强制性 对v 妒，x h ，由引理2 3 ，得到 a h f v m ( 妒，x ) = 如茸时( 妒，x ) 一缸( 妒，x ) s 芦ii 妒i l l + c hi 妒j 1i x i i 取岛为大于芦1 + c h 的任一常数，则a h f v m ( i p ，x ) 忍l i p l li x i l a 胛州( 妒，妒) = 五f e ( 妒，妒) 一( 妒，妒) a 1j 妒j 一c h j 妒i 】3 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法第二章模型与算法 取n 2 为( 0 ，0 1 一c h ) 之间的任一常数，则a h f v m ( 妒，妒) a 2i 妒l 所以双线性形式i z i i f v m ( 妒，x ) 具有有界性和强制性 由l a x m i l g r a i n 定理，我们可以有如下的结论： 定理2 3 ( 解的存在唯一性)变分问题( 2 1 2 ) 存在唯一解 1 4 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法 第三章误差分析 第三章误差分析 均匀化问题( 1 3 ) 有如下的变分形式： a f e m ( ，) ( ) = ( ，x ) + ( g ，x ) r q x v( 3 1 ) 其中a f e m ( ，) ：v v - - 月定义为 卵肼以) ：磊厶a v 妒v x d x 即 x 叫 2 ) 定义误差：5 6 ( 妒，x ) = a f e m 【l p ，x ) 一c t f e m ( 妒，x ) v 妒，x v e h ( f ，x ) = ( ，x ) 一( 7 ，q 。x ) r v x v h e d ( g ，x ) = ( 9 ，x ) r 一( 9 ( 茹m 。) ，q 乒x ) 。e o r a r v x v h t h 下面分别对这三个误差进行估计 弓i 理3 1e 6 ( 妒，x ) l c h0 p l l l0 x i l lv l p ，x v 证由( 2 2 1 ) 式，c3 2 ) 式及均匀化系数a ( z ) 的一致正定性，对v 妒，x v 我们有 | 岛( p ，x ) i = i a f e m ( p ，) ( ) 一石f e m ( p ，x ) i = l 鑫a v 妒v x d x - k 。t t , 厶万v 川肚i 2 l 磊厶( 匐v 川肚1 c 盖n i 厶v 川地f sc h ki i i p i i tc k ) i i x i i h t ( k ) t h ch1 1 1 p i l l 【| x i l l 目j 理3 2ie ( f ，x ) sc h0 f lj j x0 l v z 证由算子q 。l 的性质及条件，( z ) 日1 ( n ) ，我们有 e h ( f ，x ) i = 1 ( ，x ) 一( 7 ，o ，x ) 耳i k 死 = 1 ( ，x ) 耳一( 7 ，q 。x ) k l 。耳t h耳n 】5 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法 第三章误差分析 ：i ，薹 ( m 一姒) k + ( ，屯锨) ) i i t h 、 4。 s 。f i i f i i l 。( ) | | ) ( 一q 。xo l 。( 耳) + j | ，一了。驴( ) h q ，x l l l 。( ) ) k e t h 、 茎。妄f l 川叫州旧( + l 川州圳协( 鲫) n 、 引理3 3 对v e e h ( k ) ，k t h ，我们有如下估计： 协( x 一簖州s l c 南g i i 喇i f x | i 酬础v x v h 证v x v h ，由算子0 乒i 。的性质，我们有：对任意常数c 1 ，c 2 z m 一管x ) d s = 肛咱) ( - - c 2 - - 瞥( ) ( ) ) 出 所以 i 9 ( x q x ) d 3 i 墨i i9 一c lol 2 ( 。) i i x c 2 一q t ( x c 2 ) i l l ：( 。) j s1 1 9 一c l0 l 。( 。) ( i i x 一( 3 2 l | 弘( 。) + 1 1 0 ( x c 2 ) i l l z ( e ) ) 茎c g c l i i n 2 ( e ) 1 1 x c 2 l l 驴( e ) c 1 1 90 日t ( e ) i i x c 2 l i l ：( e 】 下面证明如下一个结论： c 沁e 王r h 妒一co p c 甸墨c 碡妒h h ，( k ) v 妒日1 ( k ) 令 = 吉厶肚 则 磐一c i i l 。( e ) 2 一r i l l 2 ( e ) 茎c o j p 一i i 未( ) 1 1 p 一驴。五1 ( ) ( n a c e t h e o r e l n 见【2 】) sc 砖蕊k ) ；1 ( k ) ( f r i e d r i c h 8i n e q u a l i t y ) c 毒怖( 叼 1 6 阿x 畔 讲 + 州 则 峙 刈 x 一 州 川 怯 i 圳 盯 k r l卜k队磊磊 带有振荡系数的椭圆问题的多尺度有限体积法 第三章误差分析 于是 f g ( x 一x ) 山l sc h 怕惭( 。) 嚎1 舨岫( ) c 乏g i i h ( 。) i i x l l 日( i 理3 46 d ( g ，x ) i c h0 9 l l - ( r ) x l l l v x v h 证由引理3 3 及算子q l 。的性质，可以得到 翮( 9 ，x ) i = l ( 9 ，x ) 。舯r 一( 9 ( ) ，q k x ) e e o n r ) l 。h ，h = i ( g ，x q 乒x ) e e o k n r + ( 9 一g ( x m ) ，q x ) e e o k n r ) j sc f ，凄1 1 9 h ， 。) i i x l l h - ( j f ) + i g - - g ( x , n o ) il l ( 。) i i q f x i l l , ( 。) ) k e t h 茎c ，耋| | 9o 盯t ( 。) o x l l h -