（应用数学专业论文）一类生态环境受干扰系统的动力学性质研究.pdf

学位论文独创性声明 l i i ii i ii i iii il iltr l i i y 17 9 4 7 5 7 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：缢鱼 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 毯i 指导教师签名： 签名日期：) 吖d 嘶月 扫 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 许多生命现象不能完全用连续动力系统来描述，对那些系统的状态在瞬间或短时间 内发生改变的现象，用脉冲微分方程来描述更符合。本文以脉冲微分方程理论为基础， 主要研究了脉冲污染环境中具有g o m p e r t z 增长率的单种群和捕食食饵系统的动力学性 质，同时也通过污染模型模拟杀虫剂的喷洒过程来进行害虫治理问题的研究，并借助计 算机模拟讨论所提出模型的各种动力学行为。 引言主要介绍了用脉冲微分方程研究种群动力学的背景和现状，并叙述了本文所做 的主要工作。 第一章讨论了污染环境中的g o m p e r t z 捕食食饵模型，其中毒素是脉冲输入的，捕 食者具有阶段结构，食饵被周期地捕获，同时捕食者由于环境中毒素的作用而减少。利 用脉冲微分方程的稳定性、比较定理和分析的方法，研究了捕食者灭绝周期解的全局吸 引性，证明了如果食饵的捕获率和周期毒素输入量过大，捕食者更容易灭绝，给出了害 虫和捕食者持续生存的条件，利用数值模拟讨论了毒素的干扰和食饵的捕获对捕食者灭 绝和系统持续生存的影响，同时也验证了理论结果。 第二章研究了污染环境中的具有g o m p e r t z 增长率的单种群模型，毒素被周期地输 入到环境中，同时考虑了毒素的时滞作用，分析了毒素的脉冲周期和毒素的排放量对种 群的影响，给出了种群持续生存的条件，得到了时滞对种群的动力学性质是无影响的， 并利用数值模拟验证了该条件的准确性。 第三章建立了生物控制和化学控制相结合的害虫治理模型，其中食饵具有阶段结 构，天敌被周期地释放，杀虫剂也在不同时刻被周期地喷洒，并用污染模型来模拟该过 程，利用周期解的存在性和稳定性以及比较定理等相关理论，研究了害虫灭绝周期解全 局吸引的条件和害虫与天敌持续生存的条件。最后利用数值模拟验证了理论结果。 关键词：污染模型；g o m p e r t z 模型；毒素干扰；灭绝；持续生存；时滞 一类生态环境受干扰系统的动力学性质研究 r e s e a r c ho nt h ed y n a m i c so fd i s t u r b e d e c o l o g i c a le n v i r o n m e n ts y s t e m s a b s t r a c t m a n yb i o l o g i c a lp h e n o m e n ac m m o tb e d e s c r i b e db yc o n t i n u o u sd y n a m i c se n t i r e l y i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es u i t a b l ef o rt h em a t h e m a t i c a lm o d e l i n go fe v o l u t i o n a r y p r o c e s s e sw h i c he x p e r i e n c eac h a n g eo fs t a t ea b r u p t l yo w i n g t oi n s t a n t a n e o u sp e r t u r b a t i o n s i nt h i st h e s i s ，b a s e do ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i ti n v e s t i g a t e sas i n g l es p e c i e sm o d e l a n dp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hg o m p e r t zl a wo fg r o w t hi nap o l l u t e de n v i r o n m e n tw i t h p e r i o d i cp u l s et o x i c a n ti n p u t ，i tc o n s t r u c t sap e s tc o n t r o lm o d e la n dt h ee f f e c to fp e s t i c i d e i n p u ti nt h ee n v i r o n m e n ta n di nt h eo r g a n i s mi sc o n s i d e r e d ，s ot h ep o l l u t i o nm o d e ls h o u l db e i n t r o d u c e d f i n a l l y , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eu s e dt oi n v e s t i g a t ed y n a m i c a lb e h a v i o r s i ni n t r o d u c t i o n , i ti n t r o d u c e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n ds t a t u so ft h ep o p u l a t i o n d y n a m i cm o d e l sw h i c ha r ei n v e s t i g a t e dw i t hi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h em a j o r w o r ki nt h i sp a p e r i nc h a p t e r1 i tp r o p o s e sag o m p e r t zp r e d a t o r - p r e ym o d e li nap o l l u t e de n v i r o n m e n t 、析t l l i m p u l s i v et o x i c a n ti n p u t t h ep r e d a t o ri sa g es t r u c t u r e ，t h ep e s ti s c a t c h e do rp o i s o n e d i m p u l s i v e l ya n dt h en a t u r a le n e m ya m o u n ti sd e c r e a s i n ga s s o c i a t e dw i t ht h eu p t a k eo ft o x i n b yu s i n gs t a b i l i t yt h e o r y ，c o m p a r i s o nt h e o r e ma n da n a l y t i cm e t h o d ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h eg l o b a la t t r a c t i v e n e s so ft h ep r e d a t o r - e x t i n c t i o np e r i o d i cs o l u t i o na n dp e r m a n e n ta r e o b t a i n e d i ti sp r o v e dt h a tt h ep r e d a t o rp o p u l a t i o nc a nb ee r a d i c m e dt o t a l l yw h e nt h ep e s t p o p u l a t i o ni sc a t c h e do rp o i s o n e da tac e r t a i ne x t e n ta n dt h et o x i ni n p u ta m o u n t i st o ol a r g e t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sv e r i f yt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，i ti n v e s t i g a t e sag o m p e r t zs i n g l es p e c i e sm o d e li nap o l l u t e de n v i r o n m e n t 形泐i m p u l s i v et o x i c a n ti n p u ta n c o n s i d e rt h ee f f e c to fd e l a y 刀砖c o n d i t i o nf o r t h e p e r m a n e n c eo f t h es y s t e mi sg i v e n i ti ss h o w nt h a ti m p u l s i v ep e r i o da n dt o x i ci n p u ta m o u n t c a nb r i n go b v i o u se f f e c t so nt h ed y n a m i c so fs y s t e m t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa r ev e r i f i e db y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n i nc h a p t e r3 ，i tc o n s t r u c t sap e s tc o n t r o lm o d e lw h i c hi sa g es t r u c t u r ef o rp e s tb y i n t r o d u c i n gac o n s t a n tp e r i o d i cp e s t i c i d ei n p u ta n dr e l e a s i n gn a t u r a le n e m i e sa td i f f e r e n tf i x e d m o m e n t t h ep o l l u t i o nm o d e li si n t r o d u c e dt oo u rm o d e lt od e s c r i b et h ep r o c e s so fs p r a y i n g p e s t i c i d e s b yu s i n gt h es t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o na n dc o m p a r i s o nt h e o r e m ，t h ec o n d i t i o n s f o rt h ep e r m a n e n c ea n dt h eg l o b a la t t r a c t i v e n e s so ft h ep e s t - e x t i n c t i o np e r i o d i cs o l u t i o na r e o b t a i n e d k e yw o r d s ：p o l l u t i o nm o d e l ；g o m p e r t zm o d e l ；t o x i nd i s t u r b a n c e ；e x t i n c t i o n ；p e r m a n e n c e ； t i m ed e l a y i i 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 引言1jl口上 l 在脉冲污染环境中具有阶段结构的捕食食饵g o m p e r t z 模型的持续性3 1 1 模型建立3 1 2 预备知识4 1 3 捕食者灭绝周期解的全局吸引性和系统的持续生存6 1 4 结论和数值模拟：1 1 2 具有时滞脉冲的g o m p e r t z 污染模型的持续性研究1 4 2 1 模型建立1 4 2 2 种群的持续生存1 4 2 3 结论和数值模拟1 6 3 用污染模型模拟喷洒杀虫剂过程的害虫治理模型的动力学性质1 7 3 1 模型建立1 7 3 2 相关引理1 9 3 3 害虫灭绝周期解的全局吸引性和系统的持续生存2 0 3 4 结论和数值模拟2 5 结论2 9 参考文献3 0 攻读硕士学位期间发表学术论文情况3 2 致j 谢3 3 辽宁师范大学硕士学位论文 引言 种群动力学作为非线性生物动力系统的一个重要研究领域，主要研究生态学中种群 之间、种群与环境之间相互作用的动力学规律，是生物数学中研究种群宏观现象的科学 【l 】。其首要问题是依据相应的生态学和生命科学现象，利用动力学建模方法来建立描述 种群之间、种群与环境之间相互作用的数学模型。通过构建数学模型，可以将看上去杂 乱无章的实验数据整理成有序可循的数学问题，将问题的本质抽象出来，使我们定量化 地插述生态过程、阐明生态机制和规律、动态地模拟和预测自然发展状况，特别是统计 学和计算机科学的发展，开始了更实际，更有意义的复杂生物系统的研究。生物动力学 模型的研究常常涉及到利用常( 偏) 微分方程、时滞微分方程和脉冲微分方程等建立起来 的动力系统。 近年来，人们发现有许多生物现象的发生以及人们对某些生命现象的优化控制并非 是一个连续的过程，不能单纯地用微分方程或差分方程来进行描述。例如人工放养塘鱼， 在一定时间间隔进行捕捞，大鱼就会瞬间大量减少，投放鱼苗，小鱼就会瞬间大量增加； 儿童在一定时间间隔内接种疫苗；周期性地喷洒杀虫剂和释放天敌；污染物的不连续排 放；微生物营养基的脉冲扰动输入等等，这样生物体实际上处于受外界不连续干扰或人 为干预的环境中，这就需要用脉冲微分方程和脉冲泛函微分方程来描述。 脉冲微分方程经过三十多年的发展已经有一个比较完整的理论体系【2 训。近几年在 种群生态学上的应用研究也取得了一定的成就。前期的有，疾病的脉冲免疫【5 ，6 】；营养基 的脉冲注入【7 1 ；癌细胞的化疗【8 9 1 ；生育脉冲【1 0 】。之后，研究者陆续进行了更广泛复杂的 研究，主要有：种子在两斑块之间的脉冲扩散【l l 】；时滞的脉冲接种疫苗的传染病模型【1 2 】； 种群生态一流行病复合动力系统【1 3 】等。 脉冲微分方程在研究生物种群受毒素干扰作用的影响方面也取得了一定的成果。 l i u ，z h a n g 和c h e n 首先研究了脉冲输入污染物对单种群灭绝和持续生存的影响【1 4 1 ，之 后研究了在脉冲污染环境下的最优捕获问题 15 1 。关于在脉冲污染环境中种群动力学性质 的研究主要有下面几篇文章：y a n g ，j i n 和x u e 研究了在脉冲毒素输入情况下捕食食饵 系统的弱持续生存和灭绝【1 6 】；z h a o ，c h e n 和s o n g 研究了在污染环境中同时脉冲输入培 养基和毒素的恒化器模型【1 7 】；m e n g ，z h a o 和c h e n 对具有时滞增长反应及脉冲输入培养 基和污染物的m o n o d 恒化器模型进行了全局定性分析【l 引。 本文将以脉冲微分方程和脉冲泛函微分方程的理论为基础，针对脉冲在环境污染和 害虫治理两方面的问题，研究一类生态环境受干扰的种群动力学模型的性质。 当今世界环境污染问题严重，给生态系统造成直接和间接的破坏性影响。环境污染 使种群的生存环境发生改变，使基因突变，导致出生缺陷，产生畸形，也可能导致种群 的变性，使得种群在自然界的数量减少，乃至灭绝。本文在第一、二章中研究了生态环 一类生态环境受干扰系统的动力学性质研究 境受毒素干扰的情况下具有g o m p e r t z 增长率的种群动力学性质。 第一章建立了脉冲污染环境捕食者具有阶段结构的g o m p e r t z 捕食食饵模型，食饵 被周期地捕获，捕食者受毒素的影响而减少，研究了食饵的捕获量、毒素作用的周期和 毒素输入量对系统的影响，得到了使捕食者灭绝和系统持续生存的条件，并通过数值模 拟验证了理论结果的准确性。 第二章讨论了在污染环境中，具有固定周期毒素输入干扰的g o m p e r t z 单种群模型， 并考虑了毒素的时滞作用，给出了该系统持续生存的充分条件，得到系统的持续性是受 毒素的输入量和脉冲周期影响的，并不受时滞的影响，即时滞是无害的。 另外，在生产实践中，人们对生物种群的管理多是根据农业生产、人类发展和生态 等方面的需要来调控某一或某些种群的数量。对于害虫，只有在达到经济危害阙值后才 造成经济损失。如何使有害昆虫和有害带菌者对重要的植物、动物和人类疾病造成最小 的损失一直是昆虫学家和社会关心的问题。关于害虫治理已有大量文献研究【l 蛇3 1 ，而本 文第四章研究的是用污染模型模拟喷洒杀虫剂过程的害虫控制问题，目前还没有文献对 此研究。 第三章建立了在不同时刻周期地喷洒杀虫剂和释放天敌的捕食食饵模型，其中食饵 是具有阶段结构的，我们考虑到杀虫剂的毒素并不是立刻对害虫产生作用，而是先作用 于环境中，再被害虫吸收，所以引入污染模型来模拟这个过程。研究了捕食者的释放量、 杀虫剂的喷洒量和脉冲周期对系统的影响，获得了害虫灭绝和系统持续生存的条件，同 时用数值模拟验证了理论结果的准确性。 2 辽宁师范大学硕士学位论文 1 在脉冲污染环境中具有阶段结构的捕食食饵g o m p e r t z 模型的持续 性 1 1 模型建立 在污染环境中，对于捕食食饵系统，我们知道害虫的控制可以通过喷洒农药，也可以 依靠天敌，而有些天敌受污染的影响严重，使其数量减少例如青蛙是天牛、蝗虫和蝼蛄 的天敌，但农药和制菌剂等的使用造成水污染，致使青蛙的数量减少，还会使其变性，导 致其最终的灭绝这使得我们需要控制污染物排放的周期和数量，保证天敌种群可以持 续生存另外，治理害虫时，农药喷洒过多，会使害虫大量减少，但同时也对环境造成了严 重的污染，当人们毒杀害虫时，害虫和天敌哪个更容易灭绝呢? 实际上，为了保持生态平 衡，我们仅需要控制害虫的数量在经济临界值之下，不需要使害虫完全灭绝，当害虫不带 来极大的经济损失的时候，我们希望害虫和它的天敌是能够持续生存的 本章研究在脉冲污染的环境中，食饵( 害虫) 被周期捕获，捕食者( 天敌) 具有阶段结 构且因污染物排放的影响而减少的捕食者食饵g o m p e r t z 模型的动力学性质，考虑模型： 警训h 翥训m 蔓皂堕： 掣o ) 此( f ) 一a y l ( f ) 一2 1 q e - d r x o f ) 耽。一f ) 一石c o ( f ) m o ) ， a t d y 2 z ( 一t ) ： q e - d r x o f ) 耽o r ) - y y 2 ( f ) 一正c i ( f ) y 2 ( f ) ， 口f 丁d c o o ) = 虹( f ) 一g c o ( f ) 一m c o ( r ) ， 掣一m t ( 形+ ，- 1 ) t ， t n t ， a x ( t ) = o ，a y l ( t ) = o ，a y e ( t ) = o ，a c o ( t ) = o ，a c e ( t ) = 6 ，t = ( n + l - 1 ) t ， a x ( t ) = - p x ( t ) ，a y e ( t ) = o ，每2 ( f ) = o ，a c o ( f ) = o ，巳( f ) = 0 ，t = n t ， 其中0 ， 0 ( 与初始值无关) 和有限时间t o ，使得对于每个 满足初始条件( 1 3 ) 的正解( x ( f ) ，y 2 ( t ) ，c o ( f ) ，巳( f ) ) 霹都有，当t t o 时，m x ( f ) 必， m y 2 ( t ) m ，m o 石( f ) k ，乃( f ) ，y e ( t ) ，c o ( f ) ，q ( t ) 三 证明令y ( f ) = a z ( f ) + m ( r ) + y 2 ( f ) + c 0 ( f ) + 巳( f ) 因为警甜( f ) 1 1 1 轰，主l ，：置。， 另外o p 1 ，x ( n t + ) x ( n t ) ，则当t 一时，x ( f ) k 令d = m i n d ，y ，g + m ，h - k ) ， 丁d v ( t ) a 础) 1 n 箭。瞰) 厶。啉 其中z o = a l a k e 4 i 掣9 矿忡厶，缂( 肼卜1 胁灯， 瞄三搿( n + l - 1 卅玩t = ( n + l - 1 ) t , 一类生态环境受干扰系统的动力学性质研究 贝0 有： 嘲矿( o ) e - a e t + j o v t l e - d ( t - s ) d s + o ( 。三肌b e 一却巾+ f 耵) 一争+ 笔吐t 一+ o o 所以矿( f ) 是一致最终有界的因此，由矿( f ) 的定义可知系统( 1 1 ) 是一致最终有界的证 毕 注1 1 1 1 4 1 c o ( f ) ，巳( f ) 表示毒素的浓度，为了确保o c o ( f ) 1 和o 巳( f ) 1 ，需要 满足条件g k g + m ，b 1 一e “r 注1 1 2 t 1 4 】根据生物意义，假定在全文中k h 1 3 捕食者灭绝周期解的全局吸引性和系统的持续生存 首先研究系统( 1 2 ) 捕食者灭绝周期解的存在性，此时虼( f ) = 0 ，t 0 当y 2 ( t ) = 0 时，z 0 ) 满足下面系统： j 警= a x ( t ) i n 丽k ，t n t ,( 1 5 ) 【a x ( t ) = 一p x ( t ) ，t = n t 关于系统( 1 5 ) ，令v ( f ) = l n x ( t ) ，则得到如下脉冲微分方程： j 警一州卅山k ，t n t ,( 1 6 ) 【a v ( t ) = l n ( 1 - p ) ，t = n t ， 在脉冲区间( n t ，( ，z + 1 ) 丁 上，解系统( 1 6 ) 第一个方程得： 1 ，( f ) = i n k + ( v ( n t + ) 一i n k ) e - a ( t - n t ) , n t t ( 咒+ 1 ) z ， 在时刻t = + 1 ) 丁时， 1 ，( ( ，z + 1 ) 丁+ ) = i n k + ( v ( 厅丁+ ) - l n k ) e 一8 r + l n ( 1 一p ) ， ( 1 7 ) 记心= v ( n t + ) ，由( 1 7 ) 得到下面的差分方程 心+ l = l n k + ( v - l n k ) e 。4 r + l n ( 1 - p ) = ：厂( k ) ， ( 1 8 ) 显然c 1 8 ，有唯一平衡点诺= i n k 4 l 。n 一( 1 p - 叫p ) ，由于l 6 = e ”r 1 ，所以系统( 1 6 ) 存在 辽宁师范大学硕士学位论文 周期为t 的局部渐近稳定的周期解 矿( f ) = 1 n k + 等竺芝乏学e 一州f q n ， 咒丁 ，( 以+ 1 ) 丁， 因为磊= e ，贝l jx ( t ，) = p ，似诧是系统( 1 5 ) 的唯一局部渐近稳定正t 一周期解 接下来，我们将证明系统( 1 5 ) 的解工( f ，) 是全局吸引的由引理1 2 3 ，对系统 ( 1 5 ) 的任意解工( f ，而) 是一致有上界的所以仅需要证明l ，一i r a 。f y 一1 ，( f ) i = o ，其中v ( f ) 是 系统( 1 6 ) 满足1 n 石( o ) = l n - v ( o ) = v o 的周期解因为 i v ( t ) - - v * ( o l = 1 v ( o ) 一v ( o ) p 耐， 则l i m e = 0 ，所以h mv ( t ) 一1 ，( f ) i = 0 因此，可以得到下面定理 ft，田i o 定理1 3 1 系统( 1 5 ) 有唯一全局渐近稳定的正周期解x ( f ，) 下面给出系统( 1 2 ) 捕食者灭绝周期解( x ( f ) ，0 ，c o ( t ) ，t ( f ) ) 全局吸引的条件 p 。= e x p h k + 等) 一甚练篆蒜 定理1 3 2 如果r 。 o 满足a g ( n + q ) p 卅7 0 ，存在一个正整数2 ，满足： t ( ( 刀+ ，一1 ) r ，( 行+ z ) 丁 ，n 2 时， c o ( t ) c ：( t ) - 8 2 仍一乞 ( 1 1 1 ) 令t = m a x n , r ，( 2 + z 一1 ) 丁 ，由系统( 1 2 ) 的第二个方程、( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) 有， 当鲥+ 砒掣钡n e - d l - y 2 ( ) 叱+ 以( 侥吲姒班 考虑比较方程： 了d y 2 ( t ) = a g ( n + q ) p 一打k o f ) 一 y + 以( 岛一岛) k ( f ) ，( 1 1 2 ) 由引理1 2 2 有，；i m 。y 2 ( t ) = 0 因为y 2 ( j ) = 艺( s ) = 仍( s ) o o 一f ，o ) 由比较定理，有 l ，i m y 2 ( t ) _ o ，有0 巧( f ) 一& ( 1 1 4 ) 联合( 1 1 0 ) 和( 1 1 4 ) ，当f 充分大时，有 巧( f ) 一乞 1 ，可以选择充分小的a l , 8 1 ，乞，满足& q e 卅p q ) y + 正( 召+ 乞) ，其中 蚋 仃= a pa 下证y 2 ( f ) - t o 都成立否则，存在常量气，满足，当t t o 时， 此( f ) - t o ，q 0 ，当t 互时， 一类生态环境受干扰系统的动力学性质研究 瑚 唧卜等p 斗一呻 忉 由引理1 2 1 ，存在互 0 ，乞 0 ，当t 互时， 石( f ) 一乞 兀时， 了d v ( t ) a l q e - a 7 p 一岛) 一7 一五+ 乞) 】啪) 令口22 ，。恐，】y 2 ( t ) ，要证明对所有t t o ， y 2 ( t ) - 口2 否则，存在互 o ，当 f v o ，t o + f + 互】时，y 2 ( f ) 口2 ，耽( t o + f + 乃) ：口2 且盟掣 a 2 2 1 q e 一出( o - e 1 ) 一r - a ( s + e o 0 产生矛盾所以对所有f 五，y 2 ( t ) 口2 则当f 瓦时， 1 d v 厂( t ) 口： 丑q e - a t ( 彳一q ) 一y 一以( 曰+ 乞) o ， 由此，t 一+ o o ，y ( f ) 寸栩，与矿( f ) l + k l 2 l q e 础f 矛盾因此，对任意正常量 t o ，y 2 ( t ) a l 不能对所有t t o 成立 如果当f 足够大时，耽( f ) q 恒成立，那么得证否则，y 2 ( f ) 关于口。振动令 m = m i n 粤，a l e - ( ，删7 下面要证当f 足够大时，兄( f ) m 成立存在两个正常数广，0 ，满足 y u ( t ) = 咒o + 目) = q - 目- y z ( t ) q ，t t 仃一蜀，t f 广+ 臼成立，又奶( 力是连续有界的且不被 1 n 辽宁师范大学硕士学位论文 脉冲影响的，因此y 2 ( t ) 是一致连续的所以存在常数正( 其中0 乃 睾 如果矿五，目的得证 如果五 矿f ，由( 1 2 ) 的第二个方程有 掣一( y + 正三) 儿( f ) 矧+ 矿， 口z 则当t 。 a l e 一7 + 五工弦因此当t f ，由( 1 2 ) 的第二个方程有，当t 巧( f ) 一& ，即z ( f ) e x p 1 1 l 晋- i 导堡i 宇e - a t ) 一丘由定 理1 3 3 可知，当f 足够大时y 2 ( t ) m 由引理1 2 3 ，当f 足够大时有x ( t ) k ，y 2 ( f ) l 由定义1 2 1 ，系统( 1 2 ) 是持续生存的证毕 1 4 结论和数值模拟 本章建立了一个在污染环境中的具有阶段结构的g o m p e r t z 捕食食饵模型，其中食 饵被周期地捕获，污染物也被脉冲地输入到环境中，导致捕食者的数量减少我们系统 地分析了该系统的动力学性质，得到了捕食者灭绝周期解和系统持续生存依赖于食饵 捕获率p 、周期毒素输入量b 和脉冲作用的周期丁如果p 和b 过大，根据定理1 3 2 的 条件，捕食者是灭绝的 下面给出一些数值模拟来证明所获得的理论结果的准确性由定理1 3 4 ，当f ， 1 时，系统是持续生存的( 见图1 1 ) 如果减少脉冲周期至t = o 5 ( f ，= 0 6 2 ) 或增加毒素输 入量至b = 0 9 ( f ，= o 8 8 ) ，则由定理1 3 2 ，捕食者都将趋于灭绝( 见图1 2 ，图1 3 ) 如果 增加食饵的捕获率至p = 0 9 其他参数同图1 1 一样，则f = o 0 4 ，捕食者灭绝( 见图 1 4 ) 为了保持系统的持续生存，我们应该控制毒素输入的周期和数量，同样也要合理控 制食饵的捕获 一类生态环境受干扰系统的动力学性质研究 1 x k 心0 5 、嘲瀚秭f 舯”甜 以俄 酣 例t 饼f 矾 砑材静 静饼浓跗m 豫 f 硎挂挫封矾蝌t 泓 t 图1 1 系统( 1 1 ) 的解的时间序列图参数分别为： f i g 1 1t i m es e r i e so f s y s t e m ( 1 1 ) w i t hp a r a m e t e r s a = 0 9 ，k = o 8 ，g = 0 8 ，以= 0 9 ，d = 0 2 ，f = 0 6 ，石= o 1 ，y = 0 3 ，以= 0 2 ， k = 1 0 ，g = 0 2 ，卵= 1 0 ，h = 2 0 ，= 0 5 ，p = 0 3 ，b = o 1 ，t = 1 0 1 ( t ) 0 5 o 0 2 y l ( t ) 0 1 0 0 5 t ) 0 0 5 t ) 0 1 t ) 0 5 051 01 52 02 53 0 3 5 柏 4 55 0 05 1 01 62 02 53 03 5加4 5卯 051 01 52 02 63 0 3 54 04 65 0 0 51 01 52 0 2 5 3 03 5加4 55 0 1 2 辽宁师范大学硕士学位论文 t ) 05 0 0 2 y 1 ( t ) 0 ，1 0 j 晰话瓣| 程f 珏 f 醅 章| l 社 社 l 张 | 始j j 甜f 强i n l l 珏f n j n i 粕i 铀j | l | j | 钠j 铂i i 0 5 世t 0 1 t ) 0 5 0 2 t ) 1 0 01 02 d3 04 0 5 0印7 0日0 9 01 0 0 t 图1 3 系统( 1 1 ) 的解的时间序列图参数分别为： f i g 1 3t i m es e r i e so f s y s t e m ( 1 1 ) w i t hp a r a m e t e r s a = 0 9 ，k = 0 8 ，q = 0 8 ，a = 0 9 ，d = 0 2 ，f = 0 6 ，z = o 1 ，y = 0 3 ，五= 0 2 ， k = 1 0 ，g = 0 2 ，m = 1 0 ，h = 2 0 ，= 0 5 ，p = 0 3 ，b = 0 9 ，t = 1 0 x ( t ) 0 2 y l ( t ) 0 1 0 0 5 y 2 ( t ) 0 d 5 “t ) 0 1 t ) 0 5 口 0 1 02 0 3 04 05 口6 07 口8 0 9 01 0 0 d1 02 0 3 04 05 d5 07 0 8 09 01 0 0 01 02 0 3 04 05 06 07 0 8 09 01 0 0 d1 02 0 3 04 口5 d6 07 0印 9 01 0 0 t 图1 4 系统( 1 1 ) 的解的时间序列图参数分别为： f i g 1 4t i m es e r i e so fs y s t e m ( 1 1 ) w i t hp a r a m e t e r s a = 0 9 ，k = 0 8 ，q = 0 8 ， = 0 9 ，d = 0 2 ，f = 0 6 ，石= o 1 ，y = 0 3 ，正= 0 2 ， k = 1 0 ，g = 0 2 ，m = 1 0 ，h = 2 0 ，= 0 5 ，p = 0 9 ，6 = 0 1 ，t = 1 0 1 3 一类生态环境受干扰系统的动力学性质研究 2 具有时滞脉冲的g o m p e r t z 污染模型的持续性研究 2 1 模型建立 现代工业和农业发展非常迅速，大量有害于生物体的毒素和污染物排放到环境中， 这些污染严重威胁着生物种群的生存例如水污染，由煤矿和其他金属( 铜、铅、锌等) 矿 山排放的废弃物中含有大量的酸类，引起鱼类和其他水中生物死亡，严重破坏溪流、池 塘和湖泊的生态系统为了使有毒物质得到合理的使用与控制，我们需要研究污染对生 物种群的影响，以便来消除这种影响，使种群可以持续生存下去 本章在污染环境中，考虑脉冲毒素输入的g o m p e r t z 单种群模型，并且当毒素进入 环境中时，不可能立即对种群产生影响，要经过一段时间后开始作用于种群，由此考虑 时滞对种群的影响。建立以下模型： 掣叫忙南啪卜f ， ， 掣= 虹( r ) 一g c o ( r ) 一m c o ( t ) ， 掣确m 净咒r ， ( 2 1 ) 缸( f ) = o ，c o ( f ) = o ，巳( f ) = 6 ，t = n t ， 初始值为 ( x ( f ) ，c o ( f ) ，c e ( t ) ) = ( 仍( f ) ，9 ：( f ) ，仍( f ) ) c ；，te - r ，o 】，仍( 0 ) o ，i = l ，2 ，3 ； 其中 g = c ( 吒o ，骘) ， 血( f ) = x ( 广) 一x ( f ) ：c o ( f ) = c 0 ( 广) 一c o ( f ) ，巳( f ) = 巳( f + ) 一巳( f ) z ( f ) ，c o ( t ) 莉1e e ( t ) 分 别表示在t 时刻种群的数量，生物体内毒素的浓度和环境中毒素的浓度；r o 表示种群x ( f )