（应用数学专业论文）三类生物数学模型正周期解的存在性及全局吸引性.pdf

三类生物数学模型正周期解的存在性及全局吸引性 摘要 一般来说，对于得到周期系统( 如人口模型) 的周期解的存在性结论有以下 三种类型：( 1 ) 运用收缩原理或波动原理得到具有时滞的周期方程的周期解的存 在性和吸引性的结论。( 2 ) 如果当不具有时滞时周期解存在，并且当具有时滞且 时滞是周期方程的周期倍数时周期解也存在，那么就可以得出周期解存在的结 论。( 3 ) 运用h o r n 的渐近不动点定理得到周期解存在性的结论。若要使得这些 模型的周期解具有稳定性，那么存在性部分的条件就会是冗长的、复杂的、太严 格且不容易被满足。特别地，以上的方法对具有时滞的状态相依模型不适用。然 而，我们发现运用有效的、强有力的度理论方法来研究具有时滞或是不具有时滞 的状态相依的周期方程的周期解仅仅需要一些很容易被证明的条件即可。这些 条件在现实的人口模型中也很容易被满足。因此，这种方法常常被用于二维的人 口模型。度理论是研究非线性算子定性理论的有力工具，从它可推出许多著名的 不动点定理。从而解决周期解存在性方面的问题。众所周知，周期现象普遍存在 于自然界中，而这些周期现象通常导致人们去研究泛函微分方程周期解的存在 性，特别是在一些生态模型中，由于实际生态意义的需要，往往还要求人们讨论 周期正解的存在性。 本文主要运用拓扑度来研究有关周期解存在性方面的问题。我们主要是采 用拓扑度理论的延拓定理来研究几类微分及差分方程系统的正周期解的存在性 及全局吸引性。近年来，已有许多有效的很好的将度理论的方法运用到研究人口 模型的周期解的存在性上去的论文，而且也得到了许多很好的结果。 首先，我们陈述关于微分方程周期解研究的背景及意义。另外，还介绍了一 些最基本的定义。 其次，我们主要考虑的是一类具有时滞的扩散的非自治的阶段结构种群动 力系统的正周期解的存在性，进一步得到了其正周期解的全局吸引性。 再次，我们又运用拓扑度原理给出了一类具有时滞的捕食一食饵阶段结构 系统的正周期解存在性的充分条件，进一步得到了其正周期解的全局吸引性。 最后，我们再运用拓扑度原理给出了一类具有时滞的捕食者一食饵离散系 统存在多个正周期解的充分条件。 关键词： 阶段结构；时滞；捕食者一食饵一般离散系统；非自治功能反应 多个正周期解；重合度理论的延拓定理；拓扑度理论 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t e x i s t i n gr e s u l t 8o nt h ee ) ( i s t e n c eo ft h ep e r i o d j es y s t e mo 乳e nf a l li n t oo n e o ft h ef 0 1 l o w i i 培t h r e ec a t e g o r i e 8 ：( 1 ) t h er e s u l t so ft h e 印p l i c a t i o n so ft h ec o n - t r a c t i o np r i i l c i p l eo r 丑u c t u a t i o np r i n c i p l e ，w h i c he s t a b l i 8 hb o t ht h ee ) 【主8 t e n c ea n d a t t r a c t i v i t yo fp e r i o d i cs o l u t j o n si np e r i o d i ce q u a t i o n sw i t ht i m ed d a y ；( 2 ) t h e e x i s t e n c es i m p l yf 0 1 l o w st h eo b s e r 、，a t i o nt h a tp e r i o d i cs o l u t i o ne ) d s t sw h e nt h e r e i sn ot i m ed e l a ya n dt h j sp e r i o d i cs o l u t i o nr e m a i n 8s ow h e nt i m ed e l a yi sam u l _ t i p l eo ft h ep e r i o d i ce q u a t i o n ；( 3 ) t h er e s u l t so ft h ea p p l i c a t i o n0 ft h eh o m a 8 y m p t o t i cf l e dp o i n tt h e o r e m w l l i kt h e 8 em e t h o d 8o f t e na l l o wt h ei n v 髑t i g a _ t o rt oa d d r e s st h es t a b i l i t yi s 8 u e so ft l ep e r i o d i cs o i u t i o 璐，t h ec o n d i t i o n 8f o rt h e 既i s t e n c ep a r t 雏eo r e nu n n e c e s s a r i l yn u m e r o u s ，t e d i o u 8 ，s t r i n g e n t ，a n dd i m c u l t t os a t i s 母s p e c m c a l l y ，a l lo ft h ea b o v em e t h o d sa r ei l l - s u i t e dt op m b l e m sw i t h s t a t e - d e p e n d e n td e l a yr e q u i r eo n l ya _ s e to fn a t u r a la n de 踮i l yv e r i 丘a b l ec o n d i t i o n s t h e s ec o n d i t i o n s 盯er e a d i l ys a t i s 翕e di nm a n yr e a l i s t i cp o p u l a t i o nm o d e l s s u c ha na p p r o a c l lw a sa d o p t e di nt w o 出m e 璐i o np o p u l a t i o nm o d e l 8 t b p o l o g i c a j t h e o r yi sas t r o i 培l yt o o lo fn o i l l i n e a r i t y 叩e r a t o rq u a l i t a t i v et h e o r y lf o r mt 址sw e c a no b t a i nm a l l y 岛m o u s 丘x e dp o i n tt h e o r e m s ow ed b t a i n e dt h e 酏t e n c eo f t h ep e r i o d i cs o l u t i o n a si 8w e l ll ( 1 1 0 w ，p e r i o d i cp h e n o m e n ai sw i d e l yd i 8 t r i b u t e d i nn a t u r e t h e nt h e s ep h e n o i r l e n ao f t e n1 e a du st os 虮i d yt h ee ) 【i 8 t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n o ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o s p e c i 6 c 出l y ii no r d e rt om a 王【e t h em o d e l sm o r ep r a c t i c 出，w ea l s oc o n s i d e rt h ee ) ( i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c s o h l t i o n ht h i sp a p e r ，w ee 8 t a b l i s ht h e 耐s t e n c eo fp e r i o d i cs 0 1 u t i o na n dt h ea t t r a c t i v i 谚f o r8 0 m ed i 丘b r e n t i a l n dd i 珏b r e n c ee q u a t i o nb yu s i n gc o n t i n u a t i o nt h e o r e m o fd e g r e et h e o r y r e c e n t l y lt h e r ea r em 蛐yp a p e rw h i c ho b t a i n e dt h e 喇s t e n c e o fp e r i o d i cs o l u t i o nf o rt h ep o p u l a t i o ns ”t e mb yu s i 工l gc o l l t i n u a t i o nt h e o r e mo f d e g r e et h e o r ya n dm a r l yg o o dr e s u i t sw a 8o b t a i l l e d f i r s t l y ) w ep r e s e n tt 上l eb a c k 守o u n d8 1 1 dn e c e s s i t yf o rt h es t u d yo fp e r i o d i c s o l u t i o n so fd i f f e r e n t i 蛆e q u a t i o n s t h e n ，s o m eb a 8 i cd e f i n i t i o i l 8a r eg i v e s e c o n d l y ，an o n a u t o n 咖o u ss t a g e _ s t m c t u r e dp o p u l a t i o nd y n a m i c 8s y s t e m w i t hd e l a ya n dd i f h l i o ni s c o n s i d e r e d b yu s i n gc o i n c i d e n c ed e g r e et h e 0 吼s o m e 8 曲c i e n tc o n 出t i o na r eo b t a i n e de n 8 u r i n gt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u _ t i o nf o rt h es y s t e m f u r t h e r ，b yc 0 1 1 s t r u c t i n gal y a p u n o nf u n c t i o n 以a n du s i n g i i i 三类生物数学模型j 卜周期解的存在性及全局吸引性 t h er e s u l t0 ft h ep e r i o d i cs 0 1 1 】t i o n ，t h ea t t r a c t i v i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i c8 0 l u t i o nf o r a b o v e8 y s t e mi so b t 越n e d t h i 讪y ，b ye m p l o y i n gt h ec o n t i i l l l a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et b o r y l t h ee x i s t e n c eo fap 0 8 i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nf o rap r e d a 七o r p r e ym o d e l ，w h i c h h a sat i m ed e l a ya n ds t a g e - s t r u c t u r e f c l l r t h e r ，b yc o i l 8 t r u c t i n gal y a p u n o nf u n c _ t i o n a la n du s i n gt h er e s u l to ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n ，t h ea t t r a c t i v i t y0 fp o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n 矗) ra b o 嘴8 y s t e mi so b t 越n e d f i n a l l y ad i s c r e t eg e n e r a l i z e dp r e d a t o r _ p r e ys y s t e mw i t hd e l a yi s c o n s i d - e r e d b y1 l s i n gc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y ，s o m es u m c i e n tc o n d i t i o na r eo b t a i n e d e n s u r i n gt h ee ) ( 主s t e n c eo fn m l t i p l ep 0 8 i t j v ep e r i o d i cs o i u t i o nf o rt h e8 y s t e m k e yw b r d s ：s t a g e - 8 t r u c t u r e s ；t i m ed e l a y ；g e n e r a l i z e dp r e d a t o r _ p r e ys y s t e m ； n o n m o o t o n i cf i l n c t i o n a lr e s p 0 1 1 s e ；m u l t i p kp 0 8 i t i v ep e r i o d i c8 0 l u t i o n ； c 。n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y ；t 0 p o l o g i c a lt h e o r y i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 墨药日期： 耐年擘月，7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密口。 f 请在以上相应方框内打“”1 作者躲。号为h 、日期硒年f 月c 7 日 新懿如彬醐：弼月勺日 硕士学位论文 1 1 研究背景 第1 章绪论 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学领域中，尤其在现代生物 学、人工网络动力学、经济学、物理学等学科中有着非常广泛的应用。并成为许 多尖端科技领域内已成为强有力的杠杆，推动这些学科不断发展。近年来，已有 大量的数学工作者投身于现代生物数学的研究，考虑了具有如阶段结构、时滞、 扩散项等大量现实因素的各类生物种群模型，并得到了许多很好的结论。对于微 分方程周期解的研究，我们也可以看到很多好的结论【1 1 1 j 。 一般来说，对于得到周期系统( 如人口模型) 的周期解的存在性结论有以下 三种类型：( 1 ) 运用收缩原理或波动原理得到具有时滞的周期方程的周期解的存 在性和吸引性的结论。( 2 ) 如果当不具有时滞时周期解存在，并且当具有时滞且 时滞是周期方程的周期倍数时周期解也存在，那么就可以得出周期解存在的结 论。( 3 ) 运用h o m 的渐近不动点定理得到周期解存在性的结论。若要使得这些 模型的周期解具有稳定性，那么存在性部分的条件就会是冗长的、复杂的、太严 格且不容易被满足。特别地，以上的方法对具有时滞的状态相依模型不适用。然 而，我们发现运用有效的、强有力的度理论方法来研究具有时滞或是不具有时滞 的状态相依的周期方程的周期解仅仅需要一些很容易被证明的条件即可。这些 条件在现实的人口模型中也很容易被满足。因此，这种方法常常被用于二维的人 口模型。度理论是研究非线性算子定性理论的有力工具，从它可推出许多著名的 不动点定理。从而解决周期解存在性方面的问题。 众所周知，周期现象普遍存在于自然界中，而这些周期现象通常导致人们去 研究泛函微分方程周期解的存在性，特别是在一些生态模型中，由于实际生态意 义的需要，往往还要求人们讨论周期正解的存在性。本文主要运用拓扑度来研究 有关周期解存在性方面的问题。我们主要是采用拓扑度理论的延拓定理来研究 几类微分及差分方程系统的正周期解的存在性及全局吸引性。近年来，已有许多 有效的很好的将度理论的方法运用到研究人口模型的周期解的存在性上去的论 文，而且也得到了许多很好的结果。 文献 2 1 用不动点定理和持久性的结构研究了一类具有时滞和扩散项的非自 治的阶段结构种群动力系统的正周期解的存在性，并通过建立l y a p u n o v 泛函得 到了一个正周期解全局吸引性的充分条件。本文第二章我们取代不动点定理，通 过运用度理论的延拓定理来研究系统的正周期解的存在性。我们通过建立一个 不同形式的l y a p u i l o v 泛函，运用不一样的方法同样得到了正周期解全局吸引性 的结果。与文献f 2 1 相比较，我们的结果更加的简单并且更加容易被证明。我们 1 三类生物数学模型正周期解的存在性及全局吸引性 研究的系统如下 z i ( t ) 鲥( t ) ( t ) z ；( ) 昵( t ) = o l ) 9 l ( t ) 一r 1 ( t ) 。1 ( t ) 一0 1 0 7 _ ) e 印( 一j ：，r l ( s ) d s ) 1 一丁) = o ，0 一下) e 印( 一压，r ( s ) d s ) - 0 一丁) 一历0 ) 0 ) + d 1 ( 亡) ( 址( t ) 一鲈1 0 ) ) + r ( t ) 掣l ( ) 。( t ) ， = 岫( t ) z ( t ) 一n ( t ) ( ) 一目( t ) 玑( ) 。( t ) ， = 叻( t ) 2 2 ) 一他0 ) z 2 ( ) 一a 2 一7 _ ) e 印( 一j 王，r 2 ( s ) d s ) 伽( 一丁) = 口。 一r ) e 叩( 一正，r 2 ( s ) d 5 ) z 一r ) 一卢1 ( t ) 螗( t ) + d 2 ( t ) ( 1 ( t ) 一珈( t ) ) 我们得到了上述系统的正周期解的存在性，并通过建立l y 印1 1 1 1 0 v 泛函得到了上 述周期解的全局吸引性。 l u ，w 西和p e i 【1 2 】研究了下面的具有时滞的捕食一食饵阶段结构系统。 但是在现实中需要考虑到环境的影响，因此我们在第三章考虑的是一个具有时 滞的捕食一食饵阶段结构系统： ：“( t ) z 2 ) 一r 1 ( t ) 。1 0 ) 一0 7 _ ) e 一正tr ，( s ) 4 8 。2 0 一r ) ：0 ， 一7 - ) e 一丘rr - ( 8 ) 幽z 2 ( 亡一r ) 一e ) z 2 ( 亡) 一卵z ( 亡) 2 1 ( t ) 一风o ) z 。( 亡) z 。( 亡) ， = 乳( t ) ( 一n o ) + 南( t ) 卢1 ( t ) z 2 ( t ) 一啦( ) z 3 ) ， 长期以来，从事数学研究的工作者，他们对差分方程的研究，其着眼点是各 种各样的计算方法和误差的分析，而对差分方程本身解的性质及存在性很少考 虑。有大量研究曾指出在一般情况下，离散微分系统比连续系统更加的合适。近 年来，也有一些关于对离散微分系统的研究。但是，运用度理论来研究多个周期 解的存在性的还很少。本文第四章就考虑了一类具有时滞的捕食一食饵离散系 统的多个周期解的存在性。我们将种群自身数量增长的影响函数考虑进去研究 了下面的模型： ，z ，( 几+ 1 ) = z ( n ) e x p b ( n ，z - ( n 一1 ( n ) ) ) 一号是：渊】， iz 。( n + 1 ) = z 。( 忆) e x p 【一9 。( n ，z 。( n 一乃( n ) ) ) ) + 粤& 言篙兰署若辞】 本文我们主要以拓扑度原理和泛函微分方程的有关理论相结合来进行我们 的研究工作。 2 孙 ，现一历 一 一卜差撇 叫 扩 一 雠鼢 一 一 现娴而吼 口 一 十 r 0 r + 现叩 裂科 = | | = 吼现 竺圭兰竺丝三 1 2预备知识 给出几个定义： 定义1 2 1 一个序列扛( t ) ) 罂1 称为t 一周期的，若z + t ) = 。( t ) ， ( o ) 。 定义1 2 2 我们称呖( t ) ，耽( t ) ，鲰( t ) ) 为个模型的解，是指( 掣，( t ) ，2 ( t ) ，( ) ) 满足此模型。 定义1 2 3 方程的一个解称为t 一周期解，若此解为t 一周期的。 定义1 2 4 设i n f a o l l ，( 茁) 一刚 e ，取= 幻：q x 为伊映象 s u p 。曲 i ，0 ) 一g ( 。) | | 百( 羞e 一”+ 舞) ， 那么系统( 2 2 1 ) 至少有一个正u 一周期解。 证考虑下面的系统： 臀； = 0 1 0 7 _ ) e z p ( 一j ：，r 1 ( s ) d s ) e ”- ( 。一7 ) “- ( 。) 一卢1 ( t ) e “l ( 。) + d 1 ( t ) ( e “a o ) 一“- ( 。) 一1 ) + 冗o ) e “2 ( “， = 蜘( t ) 一如( ) 俨( 。) 一口( t ) e “- ( “， ( 2 2 2 ) = 0 2 0 7 _ ) e z p ( 一正，r 2 ( 8 ) d s ) e “。( 一7 ) 一“。( 。) 一胁0 ) e “a ( 。) + d 2 ( ) ( e ”，( 。) 一“。( ) 一1 ) ， 5 一 三类生物数学模型正周期解的存在性及全局吸引性 其中所以的参数均与系统( 2 2 ，1 ) 相同。很明显的，如果系统( 2 2 2 ) 有一个廿 周期解( 吣( t ) ，乱；( t ) ，嵋) t ，那么( 一( “，e u ，e 噶( t ) ) t 也是系统( 2 2 1 ) 的一个 正一周期解。令 x2z 2 “( t ) = ( 乱1 ( t ) ， 2 ( t ) ，t 幻( ) ) r e ( 月，j 尹) ，“9 + “) = 让0 ) 定义范数j j “l2 j j ( 就z ( 。) ，批。( 。) ，s ( 。) ) t | | 一薹普籀啦( ) i ，让x ( 或l ，) 。 那么对于上面定义的范数”| i ，x 和y 是b 胁a c h 空间。令 ( 札，a ) = “1 一r ) e 印( 一j ：，r 1 ( 8 ) d s ) e “，o t ) u ，( t ) 一卢l o ) e u t + a d l 0 ) ( e ”( ) 一“，( ) 一1 ) + a 矗 ) 酽。“) a 3 ( t ) 一n ( t ) e ”2 ( 。) 一湘( ) e “，( 。) 0 2 0 一r ) e 印( 一j 王，r 2 ( s ) d s ) e “。( t r ) u s ( t ) 一岛0 ) e 3 ( t ) + a d 2 ( t ) ( e “- ( ) 一“s ( ) 一1 ) l u = u = 警，尸“= 譬钆( ) 出，札x ，q 剪= 丢f 暑( t ) 出，曼，k 则有 k e r 三= 兄3 ，毗= f ( t ) 班= o 在y 中是闭的，d i m k e r 上：3 出m m 上”且p iq 是连续投影算子且满足 如z 尸= k e r ，k e r q = j m l 一，m ( j q ) ，1 ( t ) ，2 ( t ) ，3 ( t ) 故己是具有零指标的n e d h o l m 算子，并且三的逆映射j 0 ：，m l d o m ln 8 r 尸具有下列形式： 于是 m ) = z 吣) d s 一并厶s 脚 ( f q ) ( “，a ) = q ( “，a ) = 啬f ，1 ( s ) d s 去f ，2 ( s ) d s 丢f ，3 ( s ) d s ( s ) 如丢fj ： ( s ) d s 出+ ( j 一啬) 疗，1 ( s ) d s 丘( s ) 如一丢j 孑露，2 ( s ) d s 出+ ( 一啬) f 如( s ) 如 ，3 ( s ) 幽啬fj ： ( s ) d s 疵+ ( ；一砉) f ，3 ( s ) d s 显然q 连续，对于有界开集qcx ，q ( 而) 有界。利用a r z e l 扣a 8 c l i 定理易 证，玛( ，一口) ( 而) 是紧致集，因此当qcx 时，在而上是三紧的。 下面需要寻找一个适当的满足引理2 2 1 的条件的有界开集q 。 6 硕士学位论文 对应于算子方程l 茁= a ( z ，a ) ，a ( o ，1 ) ，有 = 入【q l ( t 一下) 凹p ( 一正，r 1 ( s ) d 8 ) e u l ( ”) 一”1 ( 。) 一卢1 ( t ) 1 。 + a d l ( t ) ( e ( ) 一“z ( ) 一1 ) + a r ) e “：( 】， = 【n 3 ( t ) 一r 3 ( t ) e ”。( 日一) 、口( t ) e u t ( 。1 ， ( 2 - 2 3 ) = a 陋2 一r ) e z p ( 一正，r 2 ( s ) d s ) e m ( 一7 ) 一m ( 。) 一岛0 ) e ” + d 2 ( t ) ( t ( ) 一“。( ) 一1 ) 】 设札x 是系统( 2 2 3 ) 的一个解。由于( 札1 ( ) ，地( t ) ，钍3 ( ) ) ? x ，那么存在 & ，最 o ，u 】使得 显然 地( 铂。黼札航讹( 哺) 5 。珊】u 蛾忙1 ，2 ，3 幢) = o ，扎：) = o ，i = 1 ，2 ，3 由此和( 2 2 3 ) ，可知 a 1 ( 6 一下) 唧( 一患，r 1 ( s ) d s ) e u 媳叶卜眯虬历( 缸啪1 眦4 ) + a d l ( 矗) ( e ( f z ) 一u ，( f ，) 一1 ) + a r ( f 1 ) e “z ( f t ) = o ， 、7 和 a 3 ( 已) 一r 3 ( 已) e “。( ：) 一a 日( 已) e “1 ( 如) = o 2 ( 白一r ) e 印( 一j 暴，您( s ) d s ) e ”3 7 一”一卢1 ( 如) e ”嬉8 + d 2 ( 岛) ( e “- ( 如) 一“。( 妇) 一1 ) = 0 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) a 1 ( ? 7 1 一下) e z p ( 一e ，r 1 ( s ) d s ) e 咖一订1 一风( 咖咖 f 2 2 7 1 + a d l ( 町1 ) ( e “3 ( 1 1 ) 一“1 ( q ，) 一1 ) + a r ( 卵1 ) e “：( 1 ) = o ， 、 。3 ( 啦) 一r 3 ( q 2 ) e ”z h ) 一a p ( 啦) e ”1 ( ”2 ) = o ( k 2 ( 卵3 一下) e 工p ( 一 + a d 2 ( 啪) ( e “( 啦) j 象，如( s ) d s ) e ”一7 一“3 镌一风( 啦) e ”“ 一“3 ( 舶) 一1 1 = o 下面我们分两种情形来讨论( 2 24 ) 一( 2 2 6 ) 。 情形1 若有u ，( ) “3 鸭) ，那么，( ) 2 ( 矗) 。 由此和( 2 2 4 ) ，我们有 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) a 1 ( 6 一r ) e 。p ( 一j 摹，r 1 ( s ) d s ) e ”1 1 r ) 一“1 1 ) 一m 媾1 ) e “l 1 + a r 恁1 ) e “2 1 = a d l ( 6 ) ( e “。( 一“t ( - ) 一1 ) 0 ， 7 、； t ，l，i，l ，l ，2 ，3 l 口 t ，illilllli，、_ill【 三类生物数学模型正周期解的存在性及全局吸引性 即 因此有 墅2 “1 n 风( 1 ) e 2 “1 1 面e f 酽1 ( f 1 ) + 再e f 2 ( 1 ) + “1 ( 1 ) 西e f 矿l 槿1 ) + 面e ”2 她) + “l ( 1 j ， 由( 2 2 5 ) 可以得到 鱼e “1 1 西e 一矿+ 再e “2 如 ( 2 2 1 0 ) ! 护“2 ( 2 ) r 3 ( 已) e ”2 ( 如) q 3 ( 已) 瓦( 2 2 1 1 ) 从( 2 2 1 0 ) 和( 2 2 1 1 ) ，我们可以知道 一， 吾e + 嚣 因此 一 产， 署e 呵+ 磊 情形2 若有札- ( t ) “。嗡) ，那么u ，婚) o ， 鱼e 2 “3 ( 妇) 屈婚) e ( 3 ) 蕴i ( 6 一下) e 3 p ( 一j 暴，r 。( s ) d s ) e ”幢3 一f 西_ e 一”e “3 汹) 由情形1 和情形2 ，我们得到 e “3 ( 拿e f 鲍 一幢。 斧” 啪) 0 即 鬲e 2 “1 ( 叶l n l e 一可7 e ”l ( 叮 因此有 酽1 ( 目1 ) 墨e 一研e ( _ 3 ) 皇e 一- 下 风 卢l 情形2 若有姓l ( ? 7 1 ) 地) ，那么乱l ) 均( 叩3 ) 。 由此和( 2 2 9 ) ，我们有 胁( 哟) e “3 ”= n 2 ( 卵3 一r ) e 印( 一上纂，r 2 ( s ) d s ) e ”珊一7 一“3 ” + a d 。( 铂) ( e “，( ) 一( ) 一1 ) q 2 ( ，7 3 一丁_ ) e 印( 一i ，：，r 2 ( s ) d s ) e “3 舶一7 一“3 啦 即 两e 2 “3 ( t 7 3 劬e 一研严( 因此有 e “3 ( 啪) 丝e 一研e u l 抽1 ) 丝e 一研 岛胁 从情形1 和情形2 ，我们得到 由( 2 2 8 ) 因此 州柚 l n ( 量e 4 脚， 州咖l n ( 塞e 吖脚， 轳， 盟埘肥， 塑坝警+ 蔫) 姒咖t n 去睦坝警+ 瓢锄 9 ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) ：三垄兰竺鍪兰苎型要苎塑壁塑童垄苎墨兰星壁! ! 竺 由( 2 2 1 3 ) 一( 2 2 1 5 ) 和( 2 2 1 6 ) 一( 2 ，2 1 8 ) ，对于r 我们有 u 1 ( t ) ism a xl d l i ，l p l l 圭r 1 乱2 ( 驯m 雠f d 2 忱i 圭岛 u 3 ( t ) i m 腻l d l i ，i p l i 兰风 明显地，尼( i = 1 ，2 ，3 ) 是独立于a 的。定义= 圣l 忍+ 凰，其中岛要取 得足够大且使得下面系统的解( 矿，卢+ ，) t ； 满足i i 恤+ ，矿，旷) | | m ，其中 彳= 并a m 蚓一f ，州s ) d s 油 豆= 暂喇唧( 一，r 2 ( s ) d 蚰 现在我们取q = “= ( 札1 ( t ) ，2 ( t ) ，锄( t ) ) r x ：i l 珏| | m ) 。那么引理2 2 1 的 条件( a ) 成立。当札a n n k e r 三= a q n 辟，u 是r 3 中的常向量且：1 l = 盯。因此有 q ( ，0 ) = ( ；) 最后我们证明引理2 2 1 的条件( c ) 成立。由于下面的代数方程 有满足 扛畚， 的唯解( 矿，矿，矿) 丁。于是 萨鬻 。 日 历 d e 9 ( j q ( 乱，o ) ，nnk e r 工，( o ，o ) t ) d e 9 ( ( 彳一压，磊一吒e ”，豆一区e u 。) t ，q n k e r 厶，( o ，o ，o ) r ) s i g 扎( 一伪庐；岛。+ 剪4 z + ) 一1 0 ， o o o l i | | | | 舻秽缈 一 一 一 a锄b ，、i 静器 一 一 一a爵口 0 0 n j j | | j j 融旦助 一 一 一a啦b ，、l 硕士学位论文 证毕。 定理2 2 2 若有( h 1 ) 和( 日l ，) 成立。那么系统( 2 1 1 ) 至有少一个正u 一 周期解。 证明由系统( 2 1 1 ) 的第一个和第四个方程，我们有 甄( t ) = 唧( 一n ( s ) d s ) b ( d ) 一，啦( s ) 玑( s ) e x p ( 片n ( 8 ) 棚) 如】 + 盯m 0 一“) 鼽0 一牡) e x p ( n ( 目) 枷) 如) ，= 1 ，2 设( 旌( t ) ，矿( ) ，媚( t ) ) f 是系统( 2 2 1 ) 的一个正u 周期解，那么可以得到 石；( t ) = 唧( 一菇n ( s ) d s ) 【z ：( o ) 一，啦( s ) 蝣( s ) e x p ( 石n ( 口) 棚) d s 】 + j 孑o 0 一u ) 孵0 一) e ) 中( 一“n 徊) d 目) 砒) ，i = l ，2 设 蜊0 ) - 。如俐唧( 知踟伽“ 那么我们有 石；( t ) = z 7 口t 。一乱) 孵( t 一乱) e x p ( ，一“n ( p ) d 口) d 让 因此，( 童i ( t ) ，螗( t ) ，矿( t ) ，( t ) ，坊( t ) ) t 是系统( 2 1 _ 1 ) 的u 一周期解，其中 z ；( o ) = ，啦( s ) 蝣( s ) 唧( 菇n ( 目) 枷) d s ) ， 证毕。那么，我们就得到了系统全局吸引性的结果。 2 3 正周期解的全局吸引性 本节我们通过建立一个l y p 咖o v 泛函，建立了系统( 2 1 1 ) 的正周期解的全 局吸引性。 引理2 3 1 设，是f 0 ，+ o o ) 上的一个非负函数且使得，在【o ，+ o 。) 上可 积，在【o ，+ o 。) 上一致连续，那么l i 地一o 。，( t ) = o 。 定理2 3 1 若定理2 2 1 的条件成立，且还进一步假设下面的条件成立 ( 哦) ： 日+ 袅+ 瞀 鱼； ( 塌) ：兄 r 3 ； ( 皿) ： 鲁+ 罾 鱼 那么系统( 2 2 1 ) 的至少有一个吸引所有正解