（运筹学与控制论专业论文）eulerbernoulli梁异位控制器设计及稳定性分析.pdf

中文摘要 本研究论文是偏微分网络控制项目中的一个专题，主要研究异位控制的e u l e r b e r n o u l l i 梁振动系统的适定性，完整性、r i e s z 基性质及稳定性对于同位控制 的e u l e r b e r n o u l l i 梁振动系统来说，由于其一般具有耗散性，稳定性讨论相对比 较容易，专家学者们常采用乘子方法或频域方法来得到系统的这些性质。但是对 于异位控制的e u l e r b e r n o u l l i 梁振动系统来说，由于其复杂性，并且往往不具备 耗散性，使得对其稳定性的讨论非常困难，然而异位控制更切合实际，这就需要 我们去寻找其它方法来解决这个问题本文的另一难点在于给出的系统模型是变 系数的，这更符合现实模型，但处理起来需要更多的技巧。 本文主要研究一端铰链连接一端荷载的e u l e r b e r n o u l l i 梁振动系统，通过设置 反馈控制器使系统成为一个闭环系统，然后把该闭环系统放到一个合适的h i l b e r t 空间中转化成一个发展方程：利用算子半群的理论证明闭环系统是适定的，然后 通过发展方程的基本解的渐近展开得到闭环系统的谱的渐近分布，再利用半群理 论和谱理论得到该系统( 广义) 本征向量的完整性，进而构成r i e s z 基，从而系 统满足谱确定增长条件，最后做了一些数值模拟，得到闭环系统指数稳定的估计 结果 本文以e u l e r b e r n o u l l i 梁系统为研究对象进行研究，由于我们采用的方法具 有一般性，这样的方法可以推广应用到其它系统模型的研究中，比如弦系统和 t i m o s h e n k o 弹性梁系统以及网络结构弹性梁系统等 关键词：e u l e r b e r n o u l l i 梁异位反馈控制适定性谱分析完整性 r i e s z 基稳定性 a b s t r a c t t h i sr e p o r ti so n ep a r to ft h er e s e a r c ho i lt h ec o n t r o lp r o b l e mo fp a r t i a ld i 行e r e n t i a lm u l t i - c o n n e c t e ds t r u c t u r e t h ea i mi st os t u d yt h en o n - c o l l o c a t e df e e d b a c k s t a b i l i z a t i o no ft h ee u l e r b e r n o u l l ie l a s t i cs y s t e ma n dt od i s c u s st h es y s t e m sp r o p - e r t i e ss u c ha sw e l l - p o s e d n e s s ，c o m p l e t e n e s s ，r i e s zb a s i sa n ds t a b i l i t y i nt h ee a s eo f c o l l o c a t e df e e d b a c kc o n t r o l l e r ，t h e s ep r o p e r t i e sa r eu s u a u yd i s c u s s e du s i n gm u l t i p l i e r m e t h o da n df r e q u e n c yd o m a i nm e t h o dw h i c ha r es t i l li m p o r t a n tw a y st os t u d yt h e s y s t e ms t a b i l i t y u n d e rt h i sc i r c u m s t a n c et h es t a b i l i z a t i o no fi t i sr e l a t i v e l ye a s i e rb e - c a u s ei t i sad i s s i p a t i v es y s t e m h o w e v e r ，f o rn o n - c o l l o c a t e df e e d b a c kc o n t r o l l e r ，i t s c o m p l e x i t ya n dn o n - d i s s i p a t i v i t ym a k et h ed i s c u s s i o no fi t ss t a b i l i t y 、r e r yd i f f i c u l t ，b u t n o n - c o u o c a t e dc o n t r o li sm o r er e a h s t i c ，w h i c hp r o m o t e su st os e a r c hf o ro t h e rm e t h - o d st os o l v et h i sp r o b l e m a n o t h e rd i f f i c u l t yi nt h i sr e p o r ti st oe s t a b l i s ht h em o d e l w i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ，w h i c hc a $ 1d e s c r i b et h ee u l e r b e r n o u l l ie l a s t i cs y s t e mm o r e p r e c i s e l yb u tm e a n w h i l er e q u i r e sa d v a n c e ds k i l l st od e a lw i t hi t s u p p o s et h a tt h el e f te n do fe u l e r - b e r n o u l l ib e a mi sh i n g ec o n n e c t e da n dt h e r i g h te n do fi t i sa t t a c h e dw i t hat i pm a s s t h en o n - c o l l o c a t e df e e d b a c kc o n t r o l l e r s a r ed e s i g n e do i lt h el e f te n dt os t a b i h z et h i ss y s t e m w bp r o v et h a tt h i sc l o s e dl o o p s y s t e mi sw e l l - p o s e d b ys p e c t r a la n a l y s i s ，w eg e tt h ea s y m p t o t i ce x p r e s s s i o no ft h e e i g e n v a l u e so fs y s t e mo p e r a t o r w ea l s os h o wt h a tt h e r ei sas e q u e n c eo ft h eg e n e r a l i z e d e i g e n v e c t o r so ft h eo p e r a t o rt h a tf o r m sar i e s z b a s i s h e n c et h es p e c t r u md e t e r m i n e d g r o w t ha s s u m p t i o nh o l d s f i n a u 弘s o m es i m u l a t i o n sa r eg i v e nt oi u u s t r a t eo u rr e s u l t s a l t h o u g ht h i sr e p o r tm a i n l yf o c u s e so ne u l e r b e r n o u l l ie l a s t i cs y s t e m ，t h em e t h o d u s e di nt h i sr e p o r tc a nb eg e n e r a l i z e dt os t u d yo t h e rm o d e l s ，s u c ha ss t r i n ge l a s t i c s y s t e m ，t i m o s h e n k oe l a s t i cs y s t e m n e t w o r kc o n f i g u r a t i o ne l a s t i cs y s t e ma n ds oo n k e yw o r d s ：e u l e r b e r n o u l l ib e a mn o n c o l l o c a t e df e e d b a c kc o n t r o lw e l l - p o s e d n e s s s p e c t r u ma n a l y s i sc o m p l e t e n e s s r i e s zb a s i s s t a b i h t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文足本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：玉加簪 签字日期： p 。7 年月，日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：西娟秘 签字日期：弘7 年月日 导师签名： 签字日期：矽彳年石月乙日 第一章绪论 第一章绪论 人类进入2 1 世纪后，除了致力于自身的发展外，还十分关注机器人、 外星人和克隆人等问题“机器人”这个名称对许多人来说并不陌生，但 在现实世界中，对机器人的研究和应用还是有限的，不过近年来得到了飞 速地发展，并开始对整个工业生产、太空和海洋探索、国防以及人类生活的 各个方面产生巨大影响，且必将给人类发展和社会进步带来巨大的经济效 益和社会效益近十多年来，机器人学向深度发展的研究有：多机器人系 统的运动学、动力学，运动规划、控制和协调等问题；冗余度机器人的运动 学、动力学、运动规划和控制问题；弹性机器人的运动学、动力学、运动规 划、控制问题和复杂环境中机器人的基于多传感器的信息处理与任务实现 问题等向广度发展的研究有：移动机器人的结构、传感器，控制与任务规 划等所有上述研究的发展方向构成了机器人学非常丰富的研究- 内容 鉴于机器人研究的重要性和新颖性，本文将以机器人的弹性手臂作为 研究对象，建立数学模型，探讨其控制问题又由于机器人的手臂是有一定 粗度的，我们将其抽象为弹性梁，而弹性梁结构在运动中不可避免的将产 生振动，因此，本文的主要工作就是探讨弹性梁振动系统的控制问题 本章我们将简要回顾一下机器人的发展研究和弹性振动系统的发展及 研究情况，并在第三小节给出本文的结构。 1 1机器人的发展研究 。机器人”是存在于多种语言和文字的新造词，顾名思义，机器人的出 现就是用来代替人类劳动者，执行那些需要高度精确性，同时又具有重复 性的工作任务它体现了人类长期以来的一种愿望，即创造出一种像人一 样的机器或人造人，以便能够代替人去进行各种工作 我国东汉时期( 公元2 5 2 2 0 年) ，张衡发明的指南车是世界上最早的机 器人雏形公元1 7 6 8 - 1 7 7 4 年间，瑞士钟表匠德罗斯父子三人设计制造出三个 像真人一样大小的机器人一一写字偶人、绘图偶人和弹风琴偶人，它们是 由凸轮控制和弹簧驱动的自动机器，这种类型的机器人还有德国人梅林制 第一章绪论 造的巨型泥塑偶人“巨龙戈雷姆”，日本物理学家细川半藏设计的各种自动 机械图形，法国人杰夸特设计的机械式可编程序织造机等1 8 9 3 年，加拿大 人摩尔设计了以蒸汽为动力的能行走的机器人“安德罗丁”1 9 5 4 年，美国 人乔治德沃尔设计了第一台电子程序可编的工业机器人，并于1 9 6 1 年发表 了该项机器人专利1 9 6 2 年，美国万能自动化公司的第一台机器人u n i m a t e 在美国通用汽车公司投入使用，这标志着第一代机器人的诞生从此，机 器人开始成为人类生活中的现实此后，人类继续以自己的智慧和劳动， 谱写机器人历史的新篇章 对机器人很难下一个确切的定义，简单地说，机器人是一种能模拟人的 行为的机械电子装置，它们基本上分为两种：工业机器人和智能机器人工 业机器人是一种能够执行与人的上肢( 手和臂) 类似动作的多功能机器； 智能机器人是一种具有感觉和识别能力，并能够控制自身行为的机器。 对机器人的发展研究经历了三代：第一代( 程序控制) 机器人，这种机 器人一般按以下二种方式。学会”工作：一种是由设计师预先按工作流程编 写好程序存贮在机器人的内部存储器，在程序控制下工作；另一种是被称 为“示教一再现”方式，这种方式是在机器人第一次执行任务之前，由技术 人员引导机器人操作，机器人将整个操作过程一步一步地记录下来，每一 步操作都表示为指令，示教结束后机器人按指令顺序完成工作( 即再现) ， 若任务或环境有了改变，要重新进行程序设计这种机器人能尽心尽责的 在机床、熔炉、焊机、生产线上工作目前商品化、实用化的机器人大都属 于这一类。这种机器人最大的缺点是它只能刻板地按程序完成工作，环境 稍有变化( 如加工物品略有倾斜) 就会出问题，甚至发生危险，这是由于它 没有感觉功能，在日本曾发生过机器人把现场的一个工人抓起来塞到刀具 下面的情况 第二代( 自适应) 机器人，这种机器人配备有相应的感觉传感器( 如视 觉、听觉、触觉传感器等) ，能取得作业环境、操作对象等简单的信息，并 由机器人体内的计算机进行分析、处理，控制机器人的动作虽然第二代机 器人具有一些初级的智能，但还需要技术人员协调工作目前已经有了一 些商品化的产品 第三代( 智能) 机器人，智能机器人具有类似于人的智能，它装备了高 灵敏度的传感器，因而具有超过一般人的视觉、听觉，嗅觉、触觉的能力， 2 第一章绪论 能对感知的信息进行分析，控制自己的行为，处理环境发生的变化，完成交 给的各种复杂和困难的任务而且有自我学习、归纳、总结、提高已掌握知 识的能力目前研制的智能机器人大都只具有部分的智能，和真正的意义 上的智能机器人还差得很远 机器人( 主要是智能机器人) 的研究是一门综合技术，它不仅用到所 有的人工智能技术，而且也离不开其他学科的技术，如精密机械、电子、光 学、自动控制等由于作者知识的有限，本文仅对机器人的弹性手臂的振动 控制问题进行研究，用到的研究方法也仅涉及到数学物理方法及自动控制 1 2弹性振动系统的研究进展及方法 1 2 1弹性振动系统的研究进展 振动是自然界最普遍的现象之一，它与人们的生活密切相关，可以说 在宏观世界里，任何具有弹性及质量的物体都会振动例如声波、水波、电 磁波等的产生与传播就是一种最常见的振动现象另外，机器在运转时会 发生振动，桥梁在受到外力作用时会发生振动，航天器在受到太阳风等的 影响时会发生振动等等。在这些形形色色的振动现象中，有一些是可以被 人们利用的，如乐器的振动产生动听的音乐；声带和耳膜的振动使我们能 够交谈；电磁波的振动被用来进行远程通讯和探测；晶体内的振动和单摆 的振动给我们提供了计时的钟表等等另一方面，有一些振动对人有害， 如机器的振动会产生噪音，消耗能量，降低效率；桥梁的振动会减损其使用 寿命，甚至可能造成坍塌；航天器的振动会影响其正常工作，如精确定位和 姿态控制等等因此对振动现象的研究具有十分重要的实际意义，对可以 利用的振动现象要研究其运动规律以便更好地加以利用；对有害的振动要 研究抑制振动的方法以减少其影响 对振动的研究在十六世纪以前进展不大，自文艺复兴以后，科学家开 始对振动运动发生极大兴趣1 7 世纪的研究者奠定了处理振动问题的物理 基础并提供了数学工具英国大科学家r h o o k e ( 1 6 3 5 - 1 7 0 3 ) 在研究弹簧的振 3 第一章绪论 动时，写出了简谐运动方程式： m i t ( t ) + k x ( t ) = 让( t ) ，t 0 这里r r t 表示弹簧质量，k 表示弹性系数，仳表示外力，z 表示物体位移 到了1 8 世纪，振动力学已从物理学中独立出来，最主要的成就是线性 振动理论的形成，它是与数学中的常微分方程和偏微分方程同步发展的 离散系统振动理论在1 8 世纪中叶基本成熟。弦线振动理论也在1 8 世纪建立 起来，1 7 4 7 年，法国启蒙运动领袖d a l e m b e r t 在研究均匀弦线振动时，同时 考虑弦线位移随时间和弦上位置的变化导出描述弦线振动的波动方程并求 出行波解，这个著名的弦振动方程发表在张紧的弦振动时形成的曲线研 究一文中： 0 2 9 ( z ，t ) 20 2 y ( x , t )n 1 广一”。面广刈+ 这是研究连续体力学振动现象的第一个偏微分方程模型 其他连续体的振动问题也相继提出1 7 4 4 年e u l e r 研究了梁的横向振 动，导出了自由、铰支和固定三类边界条件下的振形函数与频率方程，1 7 5 1 年b e r n o u l l i 也研究了类似问题，写下了结构力学中的梁振动方程： 咖) 可0 2 y ( z , t ) + 礤6 2 ( 酬。) 掣) 乩 e u l e r b e r n o u l l i 梁有两个假定：1 、梁变形前垂直梁轴线的横截面，变形后仍 为平面；2 、横截面变形后的平面仍与变形后的轴线垂直，即忽略梁的横向 剪切变形 1 2 2弹性梁振动系统简介 弹性梁系统作为一种振动系统，在众多领域中都发挥着重要作用在 建筑结构工程上，梁作为网架结构杆件一个必不可少的单元，广泛应用于 楼房、桥梁和铁路等的建造之中，具有省材、美观和安全实用等许多优点 内燃机曲轴、转子一轴承系统以及加筋地基等都具有梁的性质，船体以及直 升飞机螺旋桨可以视为薄壁梁( t h i nw a l lb e a m ) 随着科学技术的进步，在 空间飞行器、机器人弹性臂的设计和制造中，为了达到系统的某种目的， 需要应用梁的控制理论，例如目前国际空间站的框架构造在一定程度上就 4 第一章绪论 需要利用网络连接弹性梁系统控制设计来解决1 9 世纪末2 0 世纪初，由于 机械工业、建筑业、桥梁和铁路建设等的发展要求，许多工程技术人员、数 学家、力学专家开始集中精力研究弹性控制系统这一研究课题，特别是由 于轻型材料的出现和科学技术的高精密要求，使得柔陛结构材料的动力学 效应必须加以考虑。要使系统振动达到某种要求，就需要我们进行控制， 所以含柔性结构系统的振动问题分析以及受控系统的稳定性分析已提上了 研究的日程 对于柔性结构梁，目前较为流行的模型主要有三种形式：e u l e r b e r n o u l l i 梁、r a y l e i g h 梁和t i m o s h e n k o 梁 1 2 3弹性振动系统研究的主要方法 在科学技术发展的带动下，研究弹性振动问题的目的不再是单单考察 振动过程，而是要对振动进行控制，现代的控制理论主要是研究系统的可 观性、可控性、精确可控性以及最优控制、系统的镇定等系统的镇定就是 给一特定的振动系统施加一适当的控制让其以特定的方式逐渐停振。现有 文献所用的研究系统镇定性的方法主要有：乘子方法、频域方法、算子扰动 方法、r i e s z 基方法或几种方法相结合这里对几种主要的方法做一下简要 介绍 研究系统镇定性的传统方法是乘子方法理想的系统镇定是利用系统 的观测值反馈从而实现系统的稳定，简单而自然的方法是取反馈控制使得 闭环系统的能量衰减( 这种控制律通常称为自然控制律) 乘子方法即在方 程两端通过乘以一个因子再积分得到一个能量配置项函数，由此得到能量 函数的指数衰减性质其优点是几乎不要求系数和边界的正则性，其关键 在于选择乘子，使得高阶项被吸收，而低阶项容易被估计1 9 7 8 年q u i n n 和r u s s e l 1 运用此方法建立了一维波动方程的边界控制的一致稳定性 c h e n 2 对任意空间维数的波方程获得了类似结果 乘子方法对研究系统的稳定性的确是一种好方法，但是它只是一个定 性的结果，当我们研究智能材料被用来在大型柔性结构控制中作为局部分 布阻尼来镇定系统时，为了获得最优位置配置结果，往往需要知道能量衰 减速率与系统反馈参数的定量关系获取这一定量关系的一个重要途径便 5 第一章绪论 是研究此时的闭环系统是否满足谱确定增长假定( 即系统的最优能量衰减率 等于系统谱实部的上确界) ，此问题是分布参数系统稳定性理论研究的一个 重要问题对于某些具体的模型( 比如e u l e r b e r n o u l l i 梁) 已做了很多工作 在抽象理论方面也出现了很好的结果【3 给出了一个常用的理论结果对 于e u l e r b e r n o u l l i 梁和弹性薄板的非线性边界反馈稳定化问题，l a g n e s ef 4 1 使 用能量分析的方法得到了弹性薄板在非线性边界反馈下的能量衰减率的估 计此外，为了克服反馈函数的非线性性带来的困难，r a of 5 1 采用了基于构 造l y a p u n o v e 函数的能量扰动方法，获得了弹性薄板能量衰减率的估计 与乘子方法相伴发展的是频率域分析方法以及由此而产生的频域乘子 法，它是直接从分析闭环系统的频率出发研究系统的稳定性与指数稳定性 运用此方法进行研究的文献已非常之多，其主要理论基础是无穷维线性系 统稳定性的频域判据，【6 】给出了一个正规算子被线性有界算子扰动谱确定 增长假定成立的条件 7 在1 9 8 8 年运用 6 】中关于无穷维线性系统的指数 稳定性的一个判据研究了关于边界能量耗散的单根e u l e r - b e r n o u l l i 梁系统的 指数稳定性刘康生和刘壮一在 8 】中采用频域方法证明了一端具转动惯量 的非均匀e u l e r b e r n o u l l i 梁的指数稳定性用频率域分析方法来研究受控系 统的稳定性及解的结构不失为一种好方法，但同时也是一个极为困难的方 法，如果能够求出闭环系统的频率以及相应的本征向量或广义本征向量，并 能够得到广义本征向量系统的r i e s z 基性质，那么闭环系统的解就可以按照 基展开，取有限项作为近似计算时可以得到预期的阶数估计，消除前面提 到的计算溢出现象然而在大多数情况下闭环系统的频率是难以确定的， 特别是在高维情形或多自由度情形下 算子扰动方法在研究稳定性及解的结构方面，对某些类型的方程可能 行之有效，但对有些方程恐怕还难以从抽象的分析中得到所期待的结果，或 者说算子扰动理论的结果还不足以满足实际应用的需求理论上，r a o 9 】 引入了一种紧扰动方法，该方法避免了对系统的谱分析， 【1 0 】，【1 1 等文献 中也采用了该方法最近，阎庆旭、谢宇和冯德兴【1 2 】在反馈函数为多值的 情况下，运用能量扰动方法得到了e u l e r b e r n o u l l i 梁的能量衰减率估计 对无穷维线性振动系统来说，最重要的性质之一是系统的广义本征向 量构成状态空间的r e i s z 基联系系统指数稳定性和本征频谱的渐近分析就 是r e i s z 基生成问题r e i s z 基生成是振动频谱分析的基础并与其他重要的 6 第一章绪论 系统性质有关而梁振动系统的r e i s z 基生成问题直到近几年才有重要进 展单根梁问题被c o n r a d 在【1 3 1 和g u o 在【1 4 1 中研究过g u o 在【1 4 】中给出 了h i l b e r t 空间离散算子r i e s z 基生成的一个抽象条件，这个条件在某些。几 乎”充要条件下可以完全忽略了“低”阶模态，该条件也是r i e s z 基性质的 “几乎”充要条件随后g u o 在f 1 5 对两根系列连结的e u l e r b e r n o u l l i 梁在一 些特定条件下，利用 1 4 】中给出的h i l b e r t 空间离散算子r i e s z 基生成的一个 抽象条件，得到了闭环系统的r e i s z 基性质，系统广义本征值分布和指数稳 定性特别对高维几何体的边界控制问题，出现了微局部分析方法【1 6 ，微 分流形分析方法【17 】，以及用h i l b e r t 空间唯一性方法与微分流形工具相结 合，获得了一些好的结果，可见y a o 1 8 ， 1 9 】 随着科学技术的不断发展，系统趋于复杂化，系列连接的弹性振动系统 和网络结构系统的镇定性问题研究越来越重要。1 9 8 7 年，g c h e r t 等在 2 0 中对多连结的梁作了稳定性分析，给出了系列连结e u l e r - b e r n o u l l i 梁方程节 点连结方式的工程背景和意义1 9 8 9 年，g c h e n 等在 2 1 中又给出了两根 梁在耗散结构连结时，闭环系统的指数稳定性分析 1 5 】给出了两根梁为耗 散连结时闭环系统的指数稳定性，表明存在谱的两个分支平行位于虚轴的 左端1 9 9 1 年，k r a n t z 和p a u l s e n 2 2 将n 根梁连结方式分成四类，针对不同 的连结方式以及相应的节点耗散反馈，文中计算相应闭环系统的谱分布，在 各粱长度之比为有理数时，给出了有限谱流的渐近式1 9 9 5 年r e b a r b e r 【2 3 】 研究了两根梁连结的情况，采用节点反馈，利用预解式估计得到相应闭环系 统的指数稳定性1 9 9 6 年i s s a d e k 等 2 4 对多连结系统利用点控策略研究 了系统的最优控制问题其后以网络为对象的多连结梁系统稳定性分析的 文章有很多，见( 2 5 】，【2 6 】， 2 7 ，【2 8 】 工程上，常用的对线性分布参数系统的镇定是将系统的解按照相应的 系统的本征向量展成无穷级数，以有穷和近似作为控制的出发点，这种方 法称为模态分析法，该方法的本质是先近似后控制由于第一步近似时是 将一个偏微分方程转化为常微分方程描述的集中参数系统，第二步控制是 基于这个集中参数系统而设计，在有些情况下这种方法行之有效，但在有 些情况下可能存在一些重大问题：控制器一般比较复杂；需要对系统 参数进行辨识；存在控制和观测溢出；有些先前稳定的但在截断模型 中没有出现的模态有可能在控制作用下突然变得不稳定等，参见【2 9 】这些 7 第一章绪论 问题引起了上个世纪8 0 年代和9 0 年代早期的大量研究，先后出现了诸如分 布参数系统新理论和新算法，例如溢出抑制和调节、模型截断、频率成形、 控制和观测位置设置等这些研究在【3 0 】和【3 1 】中有非常全面的综述 本文的最大特点是对系统进行异位反馈控制，由于在实际中，观测点 和控制点往往是分开的，因此对异位控制的研究近年来引起了专家学者的 广泛关注，但其复杂性使得对这个问题的研究结果还不多，g u o 等在 3 2 中 讨论了异位控制的情形，得到了谱确定增长条件及指数稳定性梁延宁和 姚翠珍在 3 3 】中对一端固定，一端加剪切力反馈的e u l e r b e r n o u l l i 粱，运用 l e g e n d r e 谱方法对一个非同位控制系统进行研究，得到了最优反馈增益系数 和系统衰减率。 关于弹性振动系统及e u l e r b e r n o u l l i 粱的文献还有很多，由于本人能力 有限，本文只谈到一些与本文相关的，对于没有提到的文献在此表示歉意 1 3文章结构简要说明 本文共分为四章，中心内容为第三章。 第一章为绪论，介绍机器人和弹性振动系统的研究发展以及弹性梁振 动系统( 特别是e u l e r b e r n o u l l i 弹性梁振动系统) 的研究方法及研究现状 第二章介绍半群理论的基本内容在这里只对于文章需要用到算子半 群理论方面的定义和性质进行了简要的说明，罗列了半群中一些常用的主 要结果有关的证明可以参考p a z y 3 4 】 第三章考虑一端铰链连接一端带荷载的异位控制的e u l e r b e r n o u l l i 梁振 动系统的适定性、完整性、r i e s z 基性质及稳定性通过设置反馈控制器使 系统成为一个闭环系统，然后把该闭环系统放到一个合适的h i l b e r t 空间中 转化成一个发展方程，利用算子半群的理论证明闭环系统是适定的，然后 通过发展方程的基本解的渐近展开得到闭环系统的谱的渐近分布，再利用 半群理论和谱理论得到该系统( 广义) 本征向量的完整性，进而构成r i e s z 基，从而系统满足谱确定增长条件，最后做了一些数值模拟，得到闭环系统 指数稳定的估计结果。 第四章为结束语，总结本文的工作，并提出该研究下一步的主要工作 以及亟待懈决的一些问题 8 第二章基础知识 第二章基础知识 2 1线性算子半群基本概念及性质 本节设x 是b a n a c h 空间 定义2 1 1设x 是b a n a c h 空间，r ( t ) ( o t o o ) 是x x 的有界线性 算子族，称t ( t ) ( 0 u u o 时，有 i i r ( a ? a ) “恪丽舞= 1 ，2 ) 2 2 c o 半群生成理论 定义2 2 1设t ( t ) 是q 半群，则存在常数u 0 与m 1 ，使得 l i t ( t ) t 1 m e “，v t 0 若u = 0 ，则称t ( t ) 为一致有界；若i i t ( 圳l ( t l o ：m = 1 ，u = 0 ) ，则称t ( t ) 为压缩半群 定理2 2 2 ( h i u e - y o s i d a - p h i l l i p s ) 一个线性算子是函半群 t ( t ) ；t o 的无穷小生成元的充要条件是 ( 1 ) a 是闭稠定算子； ( 2 ) 存在实数m 与u ，使得当a u 时有a p ( 4 ) ，和l i r ( a ；4 ) “i | 渤，( 礼n ) 推论2 2 3线性算子4 是一个满足咿( t ) | | m e “的岛半群的无穷小 生成元的充分且必要条件是 ( 1 ) 4 是闭稠定的； ( 2 ) 若蹰a 叫，贝0a p ( 月) 且 i i r ( a 刈志，佗n 第二章基础知识 定义2 2 4一个线性算子月称为耗散的，如果它对于每一z 口( 4 ) ，存 在z f ( z ) ，使得晚( b ，z ) s0 定理2 2 5设x 是b a n a c h 空间，4 是d ( 4 ) cx x 的闭线性算子，如 果存在7 0 ，使得i i 加1 1 训z l l ，则r ( 4 ) 是x 中的闭子空间 定理2 2 6线性算子a ：刀( 4 ) 一x 闭稠定且耗散，则对于v a 0 ， i i ( x a ) x l l2a l l x l l ，对于v z v ( a ) 和a 0 成立 推论2 2 7若a 是闭稠定耗散算子，则对v a 蹰a 0 ，有a 盯，( 4 ) uj d ( 一4 ) ， 特另0 有| i ( a 一4 ) 一1 l | - i ，当a p ( 4 ) 推论2 2 8设x 是b a n a c h 空间，a 是x 中的闭稠定耗散算子，那么对 任意的入c ，蹰入 0 ，或者都是预解点或者都是剩余谱点特别当a p ( x ) 时，有i i ( a i 一4 ) - 1 i | 击 由推论2 2 7 和定理2 2 2 我们得到下面的岛压缩半群的生成定理， 定理2 2 9 ( l u m e r - p h i l l i p s 定理) 若4 是闭稠定耗散算子，且1 p ( 4 ) ，则 4 生成一个岛半群t ( ) ，并且满足l i t ( t ) i i 1 推论2 i 1 0设4 是b a n a c h 空间( h i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，则4 为压缩半群t ( t ) 的无穷小生成元的充分必要条件是 ( 1 ) ( 0 ，。) cp ( a ) ； ( 2 ) l l r ( a ，j t ) l i ， 肿a 0 推论2 2 1 1设a 是b a n a c h 空间( h i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，若 么耗散且( 0 ，。) cp ( x ) ，则a 为某一压缩半群的无穷小生成元。 推论2 2 1 2 设4 是b a n a c h 空间( h i l b e r t 空间) x 上闭稠定算子，且4 与都是耗散的，则么是x 上某压缩半群的无穷小生成元 2 3b a n a c h 空间上半群的稳定性 定义2 3 1设x 是b a n a c h 空间，t ( t ) 是x 上的c 0 半群，如果存在常数 u 0 ，以及m ( w ) 使得 i i t ( t ) l l a 彳( “，) e u 2 ，v t 0 则称t ( t ) 是指数稳定的如果对每个z x 都有 l i r ar ( t ) z = 0 t - 十o o 1 2 第二章基础知识 则称t ( t ) 是强稳定的 下面给出半群指数稳定的充要条件， 定理2 3 2以下三个结论等价： ( 1 ) t ( t ) 指数稳定； ( 2 ) 1 i mi | t ( 圳= o ； ( 3 ) 0 3 0 u o 兮 a p ( 4 ) 注 若r e a w 0 ，则a p ( 4 ) 且有i i r ( a ，a ) i i 隔1 ，即沿着蹰入= w o + e 上预解算子一致有界 推论2 3 4 ( 黄发伦定理) 设x 是h i l b e r t 空间，t ( t ) 是x 上的岛半群， 4 为母元，若r ( x ，a ) 在虚轴上一致有界，则t ( t ) 指数稳定 关于半群的强稳定，我们有下面的性质： 定理2 3 5设t ( t ) 是b a n a c h 空间x 上的岛半群，4 是其母元，若t ( t ) 强稳定，则： ( 1 ) t ( t ) 为一致有界半群； ( 2 ) 盯( 4 ) cc 一= a c i r e a o ； ( 3 ) 在虚轴上没有4 的本征值和剩余谱 在1 9 8 8 年，l y u b i c h 和p h 6 n g 在其文章 3 5 】中给出了半群强稳定的充分 条件： 定理2 3 6设x 是b a n a c h 空间，t ( t ) 是x 上一致有界的岛半群，4 是 其母元，若对v 入仃( 4 ) ，r e a 0 ，u ( t ) o ( a ) 且是可微的，并 且满足方程( 2 1 ) 和初始条件 定义2 4 3 系统( 2 1 ) 称为适定的，如果方程( 2 1 ) 对每个g d ( 4 ) 都存 在唯一的解，且解连续依赖于初始值g 定理2 4 4 假定算子4 生成岛半群t ( t ) ，那么方程( 2 1 ) 是适定的， 且对任意的初始值g 口( 4 ) ，( 2 1 ) 的解由下式给出， 乱( ) = t ( t ) g ，t 0 ( 2 2 ) 定理2 4 5设算子是闭稠定线性算子，并且预解集非空，那么系统 ( 2 1 ) 是适定的当且仅当算子4 生成g 半群r ( t ) 2 5文中用到的其它一些定义和定理 定义2 5 1一个函数称为整函数，如果它在整个复平面上是解析的 定理2 5 2( l i o u v i l l e 定理) 有界整函数必为常数 定理2 5 3 ( p h r a g m 6 n l i n d e r s f 定理) 设f ( z ) 在扇形区域( 7 r q ) 中解析， 在其闭包上连续假设f ( z ) 在该区域边界上有界的，即i ，( z ) i m ，且对于该 区域内部的点当i z i = r 充分大时，对于某个口 0 ， ( 3 5 ) 1 7 +m+ 协 h + 矿 砖 “矿 力肛 、， 0 0 o 1 o 0 一、叫动l z ：万 铲弘 o 品陋 。雨a瓦 一 砑 厂0 厂 、， p ” o ，i 0 d z ，i、，i、一一、j y 中其 第三章带荷载的异位控制e u l e r b e r n o u l l i 粱系统的镇定 引理3 1 设咒和4 如前所定义，通过选取适当的r ，算子4 一器是耗 散算子 证明对任意的( y ，z ，p ) 7 d ( 4 ) ，由于 以及 所以 = ( ( 一瑟薰剥 n = f de i ( z ) z ( z ) 丽如一厝蕞( e 堆) 辔) 一z ( x ) d z + 番( e 础) 警) + r 名，( o ) 而 = 后酬班) 而出一网番( 酬咖，( 圳k + 圈e i ( 咖，f ( z ) i = f 2 0e i ( x ) z ( z ) 石丽, i x 一羽岳( e r ( e ) v 郴) ) 一一z ( 0 ) e i ( 0 ) y 7 ，( 0 ) _ 厝e ， ) 可忙) 7 砭万d z + 岳、( e l ( e ) y 7 7 ( e ) ) f + 7 z 7 ( o ) 歹而 = 譬e 堆) z 7 ) 歹丽如一e i ( o ) y 7 ，( o ) 7 而 一f 2 0e i ( x ) y 7 他) 丽d x + r z ，( 0 ) 丽， = ) ( - 蘸一 = 菇e j ! 兰塑生! z 印寥，譬p ( 。) z ( 。) 一丽1 酽0 2 ( e i ( z ) 字) 出 1m 。1 瓦o ( e j ( 孽) 警) + r 箩，( 0 ) 丽 = ：de 1 ( z ) 可丽出一飘贰万网 一f de i ( x ) z ( z ) 磊融+ 壤面丽+ 丁 以邶) 硎e y l ( 0 ) z 7 ( 0 ) = f de i ( x ) y ( z ) 雨d x 2 ( 粤) 吾面丽一名，( 0 ) e 邶) 厕 一譬e ) ( z ) 而d x + p 吾面丽+ 7 秒，( 0 ) 丽 = f de i ( x ) y ( z ) 孺e s ( o ) 歹丽z ，( 0 ) 一f je i ( x ) z ( z ) 矿丽d x + 丁y ，( 0 ) 莉， 2 贝( 4 ( 剪，2 ，p ) 7 ，( y ，2 ，p ) 7 ) 氕 = ( 4 ( 可，名，p ) 7 ，( 暑f ，z ，p ) f ) h + ( ( ，z ，p ) 7 ，a ( 可，z ，p ) 7 ) 咒 1 8 第三章带荷载的异位控制e u l e r b e r n o u l l i 梁系统的镇定 = - e z ( 0 ) y 7 ( 0 ) z 7 ( 0 ) 一e