（概率论与数理统计专业论文）连续时间混合收取保费风险模型的若干问题.pdf

摘要 经典风险模型中，单位时间所收到的保单数相同，然而在实际收 取保费的过程中，不同单位时间所收到的保单数往往不一样，是一个 随机变量，本文首先介绍了保费随机收取的风险模型和带干扰的保费 随机收取的风险模型，得到了风险模型最终破产概率所满足的 l u n d b e r g 不等式以及其一般表达式；然后将风险模型推广为保费以 常数速率和随机混合收取的单险种、双险种及多险种风险模型，分别 得到了最终破产概率所满足的l u n d b e r g 不等式以及其一般表达式 第一章对风险理论作了简单的介绍，同时也介绍了经典风险模型 及其推广 第二章对本文中需要用到的基础知识作了简要介绍 第三章首先介绍了保费按齐次p o i s s o n 过程收取的双p o i s s o n 风 险模型，然后进一步将模型推广为带干扰的双p o i s s o n 风险模型，并 利用鞅的方法讨论了这两类风险模型的破产问题 第四章将双p o i s s o n 风险模型推广为单险种的保费混合收取的风 险模型，即保费收取由两部分组成：单位时间内为常速率的连续部分 和随机收取的离散部分并利用鞅的方法讨论了这类风险模型的破产 问题 第五章考虑了连续时间保费混合收取的多险种风险模型，得出了 有限时间破产概率所满足的l u n d b e r g 不等式以及其一般表达式 关键词保费混合收取有限时间破产概率随机干扰鞅方法 a b s t r a c t i nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，p r e m i u mi n c o m ep e re v e r yu n i tt i m e r e m a i n st h e s a m e h o w e v e r , i nt h e a c t u a lp r o c e d u r eo fp r e m i u m a c q u i s i t i o n ，p r e m i u m i n c o m ep e ru n i tt i m ev a r i e sa sa ne x t r a n e o u s v a r i a b l e i nt h i st h e s i s ，f i r s t l y , w ei n t r o d u c eb o t ht h er a n d o mp r e m i u m a c q u i s i t i o nr i s km o d e la n dt h er a n d o mp r e m i u ma c q u i s i t i o nr i s km o d e l w i t hs t o c h a s t i cd i f f u s i o n ，a n dg e tt h ee x p r e s s i o no fr u i np r o b a b i l i t ya n d l u n d b e r gi n e q u a l i t yo ft h er i s km o d e l s e c o n d l y , w ep r o m o t et h em o d e l ， a n dc o n s i d e rt h eo n e t y p e ，d o u b l e t y p ea n dm u l t i t y p ec o m p o u n dr i s k m o d e lt h a td e a l sw i t hp r e m i u ma c q u i r e db o t ha tac o n s t a n tr a t ea n d r a n d o m l y i nt h ee n d ，w ec o u l dg e tl u n d b e r gi n e q u a l i t ys a t i s f i e db y u l t i m a t er u i np r o b a b i l i t ya n di t sg e n e r a le x p r e s s i o n i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h er i s kt h e o r ya sw e l la st h ec l a s s i c a lr i s k m o d e la n dt h ep r o m o t i o no fi t i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n de l e m e n t a r yk n o w l e d g e t h a tw i l lb e u s e di nt h i st h e s i s i n c h a p t e r 3 ，f i r s t l y , w e i n t r o d u c e p r e m i u ma c q u i s i t i o n h o m o g e n e o u s ed o u b l e p o i s s o nr i s km o d e l s e c o n d l y ，w ep r o m o t et h e m o d e l ，a n dg e td o u b l e p o i s s o nr a n d o mp r e m i u ma c q u i s i t i o nr i s km o d e l w i t hs t o c h a s t i cd i f f u s i o n t h e nw ew i l lu s em a r t i n g a l ea p p r o a c ht o d i s c u s st h er u i np r o b l e mo ft h e s et w o t y p e so fr i s km o d e l s i n c h a p t e r4 ，w ep r o m o t et h er i s kd o u b l e p o i s s o nm o d e l sf i o m c h a p t e r3 ，a n dw eg e tar i s km o d e lw i t hap r e m i u mi n c o m ea c q u i r e d i i m i x e d - - i n c l u d i n gb o t hc o n s t a n tr a t ea n dr a n d o m l yp r e m i u mi n c o m e t h e nw ew i l lu s em a r t i n g a l ea p p r o a c ht od i s c u s st h er u i np r o b l e mo f t h e s et w ot y p e so fr i s km o d e l s i nc h a p t e r5 ，w ei n t r o d u c eac o n t i n u o u s t i m er a n d o mp r e m i u m a c q u i s i t i o nm u l t i - t y p e i n s u r a n c ec o m p o u n dr i s km o d e lw i t hs t o c h a s t i c d i f f u s i o na n dg e tt h ee x p r e s s i o no fr u i n p r o b a b i l i t ya n dl u n d b e r g i n e q u a l i t y k e yw o r d s ：p r e m i u mi n c o m ec o m p o u n d ，f i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t y , s t o c h a s t i cd i f f u s i o n ，m a r t i n g a l ea p p r o a c h i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：掣上一 日期：斗年卫月坦日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：龟1 主鱼导师签名日期：兰卫年旦月也日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1风险理论的介绍 风险理论是近代数学的一个重要分支，而破产理论( n l i nt h e o r y ) 是风险论s k t h e o r y ) 的核心内容，主要应用于金融，保险，风险投资以及风险管理方面它借 助概率论与随机过程理论来构造数学模型描述各种风险业务 在保险数学，也称为精算数学的范畴内，破产论是风险论的核心内容，现已 公认，破产论的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年所发表的博 士论文，至今已有百年的历史破产论的研究既有其实际的应用背景，也有其概 率论上的兴趣事实上，一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出的，不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准 它的严格化是以t t a r a l dc r a m 6 r 为首的瑞典学派完成的，是c r a m 6 r 将l u n d b e r g 的工作奠定在坚实的数学基础之上，与之同时，c r a m 6 r 也发展了严格的随机过 程理论现已公认，c r a m 6 r 与l u n d b e r g 的工作为经典破产论的基本定理 作为保险精算的一部分，其最初主要是借助于随机过程的理论来构造保险 经营中的盈余过程，并研究其破产概率、调节系数等一些精算方面的问题近几 十年来，随着随机过程理论的逐渐系统和成熟，为风险理论的研究提供了强有力 的方法和工具，风险理论的发展十分迅速，其研究的范围也不断扩大其中，破 产理论是风险模型研究的重点问题 一般地，我们可以用以下随机过程来描述保险公司在r 时刻的余额： u p ) = + r ( r ) - s ( o 其中，u ( u 0 ) 表示保险公司的初始资本；r ( t ) 表示( 0 ，t 时间段内的总保费 收入；s ( t ) 表示( 0 ，t 】时间段内总索赔 这里我们忽略了利率和其他除保费和索赔之外影响余额的随机因素随着时 间f 的变化，盈余可能在某一时刻为负，当首次出现这种情况时，我们说保险公 司发生了破产当然，这里所说的破产并不是指保险公司要面临倒闭，这样做只 是为了数学上的处理方便而已我们所研究的破产概率沙( “) 仍是衡量一个保险 公司或者所经营的某个险种的金融风险的极其重要的尺度，它可以为保险公司决 策者提供一个早期风险的警示手段，也可以为保险监管部门对保险公司偿付能力 硕士学位论文第一章绪论 的监管提供依据因此，破产概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监 管都是有着非常重要的指导意义的 在我国保险公司的运作过程中，保费收入是主要收入来源，理赔则是主要风 险因素，保险公司最基本的经营目标就是提高它的偿付能力，确保稳定地运作 因此，科学地预测保险公司未来的收入、可能发生的理赔额，以及估计保险公司 的破产概率等等都是十分重要的课题 1 2 经典风险模型的研究及其推广 1 2 1 经典风险模型 令( q f ，p ) 表示一完备的概率空间，以下的随机过程( 变量) 均定义在该空 间之上设： n f t ) r ( f ) = u + c t - 五 k = i n ( o s ( r ) = 以 k = l 其中甜0 为保险公司的初始资本，c 为保险公司单位时间征收的保险费率 r ( t ) ，t 0 ) 表示保险公司在，时刻的盈余， n ( t ) ，t 0 ) 则表示至时n t 为止 发生的索赔次数是强度为五( 兄 o ) 的齐次泊松过程，t s ( , i t o 为时刻r 为止 的总索赔额，x 。是恒正的、独立同分布的随机变量序列，表示第k 次的索赔量， p 期望为= e x 】= 【( 1 一f ( z ) ) d z 0 为相对安全负荷 l 若在某一瞬时，盈余过程取负值，这时称保险公司“破产”令丁为保险公 司首次破产的时刻，简称破产时刻，即令 t = i n f ( f ：r ( t ) 0 ，贝l j t = o o ) 保险公司的最终破产概率( 简称破产概率) ： 甲( “) = p ( t 5 0 ，增量o ) 一g ) 有参数为五o 一占) 的p o i s s o n 分布，即 对于任意k z = o ，l ，2 ， 有： p o ) 一g ) ：七 ：必e 舢) 1 ，- ! 这里名0 是常数，称为过程的强度或发生率 ( 3 ) 具有独立增量 性质2 2 齐次p o i s s o n 过程 n o ) t o 在任意的时刻r 0 的跃度有不超过 1 的跳跃即点过程没有重点，有如下数学表达： 尸 o ) = o 或1 ，对每一时亥啦【o ，) ) = l 6 硕士学位论文 第二章预备知识 这里o ) 表示点过程 n ，o 在时刻，0 发生的点数 定理2 3 下列四组条件中的任意一组是有限值计数过程 m ；r 0 ) 为齐次 p o is s o n 过程的充分必要条件： 条件1 ：ap ( n o = 0 ) - - - 1 b 有平稳增量 c 对任意 0 ，当力- - 0 ，有：尸帆2 ) = d o ) d 有独立增量 条件2 ：ap ( o = o ) = l b 有平稳增量 c 几乎处处有序 d 有独立增量 条件3 ：ap ( n o = o ) = 1 b 对任意f 0 和h 0 ，当h 一0 时： p ( r ，柏= 1 ) = 砌+ d o ) 和尸，+ 。2 ) = d ) c 有独立增量 条件4 ：ap ( o = o ) = 1 b 对任意正整数k ，实数0 t i 0 和非负整数吃时， 当h 专0 ： 尸【7 + 。= l ，f ，= 刀，1 j 七j = 2 h + o ( h ) ( 1 1 6 ) 户( i 曲2 l l ，= _ ，1 - ，s 后) = 。o ) ( 1 - 1 7 ) 性质2 4 ：齐次p o i s s o n 过程点问间距正，正，相互独立且有相同指数分布 2 3 随机和 设置，五，x n 是独立同分布的随机变量，并且有相同的分布函数f 和相同 的矩母函数m o ) = e ( 矿) = p a l e ( x ) ；它们和的分布函数是f ”g ) ，其中f ” 表示，的甩重卷积阻( ， 则是它们和的矩母函数 若求和次数是一随机变量则也有类似的结果： 设是一个仅取非负整数的随机变量，记 7 硕士学位论文 第二章预备知识 肌o ) = p 1 以 其中见= p = ”= o ，l ，2 ，又设置，x 2 ，以是独立同分布的随机变量序 列，并以f 与m ( ，) 分别表示它们的公共分布函数与矩母函数再假定诸置和n 也是相互独立的，并记 s = x l + x t + + xn 当n = 0 时，约定s = 0 以下称s 为随机和，并称为求和次数，而诸置为s 的 加项 s 的分布函数计算如下： e ( j ) = p ( s s ) = e p ( s j i ) 】 - - e ：o j ( s - f i n - - ) p = ：。f h o 城0 - 0 类似地，可得到矩母函数的表达式： m ( ，) = e ( 矿) = e e ( e ”i ) 】_ 研( m ( ，) ) 】= m ( i o g m ( r ) i ) 其中m 是由前面定义的的矩母函数这样， 蜘胁( 1 洲) ，鬻 ( 1 - 2 ) 特别的 蟛( o ) = i n ( o ) m 。( o ) 这表明 点( s ) = e ( ) e ( x )( 1 - 3 ) 将( 1 2 ) 式再微分一次，并置厂= 0 ，可得 蟛( o ) = m ( o ) m ( o ) 2 + 聊( o ) m 。( o ) 一m ( o ) 2 ) 即有 e s 2 】= e ( n 2 ) ( 研x 】) 2 + 研 矽白，- 【x 】 最后，在上式两端再减去( 1 - 3 ) 式两端的平方，便得： v a r s = 玩r n ( 研x 】) 2 + e n v a r x i 】 特别，当求和次数n 服从参数为允的p o i s s o n 分布时有： ( 1 ) e b 】= 俎阻】，v a r s = a e x 2j ( 2 ) b g ) = 姜f ”g ) 爷 ( 2 ) 式便是著名的复合p o i s s o n 分布 8 硕士学位论文第二章预备知识 2 4 条件期望 概率空间记为( 【2 ，j p ) ，g 是f 的某一子盯- 代数，g c f 亏( 缈) 是满足 e 蚓 0 0 的随机变量 定义2 5 具有下列两性质的随机变量e ( 孝i g ) 称为孝( 国) 关于g 的条件数 学期望( 简称为数学期望) 如果 ( 1 ) e ( 孝i g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意彳g 有： e ( f f g ) p ( d 彩) = 工f 以d 缈) 定义2 6 设c f 为任一事件，则它的示性函数，即：z o ( o ) ) = l ，如果 国c ，否则t ( 功) = 0 ，关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为 p ( c l g ) p ( c i g ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 ) 尸( c i g ) 为g 的可测函数； ( 2 ) 对任意彳g 有：j p ( c l o ) p ( d o ) = p ( a c ) 条件期望的性质：以下等式、不等式或极限关系都是以概率l 成立的，善， 专，叩都是随机变量且e 旧 o 。，e l 孝, l e ( 7 7 i g ) ； ( 3 ) l e ( 善g ) i - e ( i 善i i g ) ； ( 4 ) 设o 毒个孝，e l 孝i ，则e ( 点i g ) 个五( 善l g ) ： ( 5 ) 设专寸孝，i 眚i 刀，e r l o o ，则e ( 毒i g ) e ( 孝i g ) ； ( 6 ) 如刁对g 可钡o ，e i 7 7 l o o ，eq o o ，则e ( 善7 7 i g ) = 刁e ( 孝i g ) ； ( 7 ) 如善对g 可钡o ，则e ( 孝i g ) = 善； ( 8 ) 若孝与g 独立，则e ( 孝l g ) = e 孝； ( 9 ) 如g 1e t g 2c f ，则e ( e ( 孝i g 2 ) ig 1 ) = e ( 引g i ) = e ( e ( 孝i g l ) l g 2 ) ； 9 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 1 0 ) e ( e ( 孝i g ) ) = e 善 在上述各性质中，取随机变量为事件的示性函数，就得到相应的条件概率的 性质 一个常用记号，f 关于盯代数f 薯，tet 的条件期望，e ( g l f x t ，f 丁) ) 记 为e ( 孝l ，t e t ) 2 5 鞅 设( q ，f ，p ) 为一概率空间， e ，r 0 ) 为一单调增的，的子盯一代数流， 】，= ( r ，f o ) 是任意的随机过程，令e y = 盯( ，s r ) ，$ 1 j f y = 仃( r ，f 0 ) ， 则f 是由过程】，在时间段 o ，f 】生成的仃一代数流，表示过程】，到时刻r 的历史 如果对每个f 0 ，z 为e 一可测，那么过程】，称为e 一适应的，显然，y 是e 一适应的当且仅当对所有的f 0 ，e y f 成立 定义2 7 实值过程m = m ，f 0 ) 称为e 一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的f 0 ，m 为f 一可测； ( 2 ) 对于任意的f 0 ，研l 鸠0 s ，b ( f ) 一b ( s ) 具有期望为 0 ，方差为( 卜s ) 的正态分布，显然对于葺= 0 ，b ( f ) 具有( o ，t ) 2 3 t l f f i ( 2 ) 独立增量性即：丑( f ) 一日( j ) 独立于 b ( “) ，o 0 ， i = 1 ，刀一1 ； 口b 但是，由于g = 邑- s 一事件( 1 5 ) 便可借助原有的过程表示如下： 只 s ， j = i ，疗一i ；a 最b 故有 p - 咒 ，i = i ，l 一1 ；a & 6 】 = 尸【- s 0 , i = l ，”一1 ；a 墨6 】 ( 1 - 5 ) ( 1 - 6 ) 现要推导一个结果，为此需假定 鼠) 具有可交换的增量和离散的状态空间 再假定它不是向上自由跳动的后一条件指的是增量仅可能取如下的值：1 ，0 ，1 ， - 2 ，再设s o = x r ：- - 整数，则对任一整数y x ，属于d w a s s 与d i n g e s 的一 个结果声称： 研最= y ，s o ，a 0 ， 0 ，给定概率空间( q ，f ，尸) ，t 0 ( f )( f ) r ( r ) = ”+ 一x ，t o ，= l t = l s ( ，) = 一x m ( o ， “1 1 = 1 z = l 其中： ( 1 ) “是保险公司的初始资金； 公司在f 时刻的盈利： t 03 r ( t ) 为保险公司在t 时刻的盈余；s ( t ) 为保险 ( 2 ) 保费到达过程 m ( f ) ，r 0 ) 是强度为2 的p o i s s o n 过程，且m ( 0 ) = 0 ，每 次收的保费是独立同分布的非负随机变量序列记为 y ，歹= 1 , 2 ， ，分布函 数为e o ) ，e 一= 口，r - - 阶矩存在； ( 3 ) 理赔过程 ( ，) ，t 0 是参数为 0 ) 的p o i s s o n 过程，且( o ) = 0 ，理 赔额是独立同分布的非负随机变量序列记为 置，f - 1 , 2 ，) 分布函数为 疋( x ) ，e a r 。= 卢，且二阶矩存在； ( 4 ) 由于保险过程和索赔过程是相对独立的，可设 y ，= 1 , 2 ， ， 置，i = 1 , 2 ，) ， m ( ，) ，r 0 ) ， ( ，) ，t 0 ，是相互独立的为了保证保险 公司的稳定经营，假定e s ( t ) 0 ，即o t 2 一助 0 ，表示总保费收入的平 1 3 硕士学位论文 第三章连续时间保费随机收取的双p o i s s o n 险模型 均值大于总索赔额的平均值，由此定义安全负荷0 ：丝一1 0 ，记t 为保 p p 险公司首次破产的时刻，即令t = i n f t ：r ( t ) - - 0 ，r ( t ) 0 ，则 令t = 最终破产概率为： 少 ) = p t 0 ： ( 2 ) 是平稳独立增量过程； ( 3 ) 存在正数，使得e e 哪】 o 故g ( r ) 是严格凸函数，又由以一助 0 得 g ( o ) = 一舾k + a f - , x l = 一比z + 局“ o 证明 因为瓦是七s 停时，选取b t o e 【膨。( f 。 l ) i 瓦f 。】p 钒“ = e 。纯) i 瓦鱼。l p 纯- t 。) ( 1 由于在 互。 o 即证结论 根据引理3 1 4 ，易知r 即为调节系数 定理3 1 9 对于上述风险模型俾( ，) ：r 0 ，设r 为调节系数，则最终破产 概率为： d 一肋 甲( “) = e e x p - r 二- r ( r ) i t 一 ，o ( 3 ) 以，( 爿) 表示集合a 的示性函数，则 0 e e 一只啦而i 瓦 岛】尸 瓦 t o = e e 培r 而，( 乙 ，o ) 】e e 岳8 秘i r ( t o ) 0 】 由于0 e - r r ( r o ) i r ( t o ) 0 ) l ，且根据强大数定理可证尺( “) 一栅，p 一口s 因此由控制收敛定理，有 1 i r a e e 书r 而il t o 似瓦 t o ) = 0 ，p 一州 k + 于是在( 3 ) 式两端令r o 专懈，即证得结论 3 2 带干扰保费随机收取的双p o is s o n 风险模型 3 2 1 模型的介绍 定义3 2 1 设甜 o ，口 o ，兄 o ， o ，盯 0 ，给定概率空间( q ，f ，p ) ，t 0 m ( t f n 月( f ) = “+ - e x i + 盯w ( a t ) ， f o j - i 1 = 1 ，( r )( f ) s ( o = 一置+ 盯w ( a t ) ，t o ： j = l 1 = 1 其中： ( 1 ) 封是保险公司的初始资金；r ( t ) 为保险公司在f 时刻的盈余；s ( t ) 为保险 公司在f 时刻的盈利； ( 2 ) 保费到达过程 m ( f ) ，0 ) 是强度为a 的p o i s s o n 过程，且肘( o ) = 0 ，每 1 6 硕士学位论文 第三章连续时间保费随机收取的双p o i s s o n 险模型 次收的保费是独立同分布的非负随机变量序列记为( e ，j = 1 , 2 ，) ，分布函 数为e ( 力，e = 口，r - - 阶矩存在： ( 3 ) 理赔过程 j r ( t ) ，t o ) 是参数为( 0 ) 的p o i s s o n 过程，且n ( o ) = 0 ，理 赔额是独立同分布的非负随机变量序列记为 置，f = 1 , 2 ，分布函数为 e ( 工) ，e x , = ，且二阶矩存在； ( 4 ) 形( ，) ，r 0 ) 是标准的维纳过程，表示保险公司不确定的收益和付款 ( 5 ) 由于保险过程和索赔过程是相对独立的，可设 y ，- ，= 1 , 2 ， ， 置，待1 , 2 ， ， m ( f ) ，f o ) ， ( f ) ，t 0 ) ， 形( ，) ，t 0 ) 是相互独立的 为了保证保险公司的稳定经营，假定e s ( t ) 0 ，即觎一助 0 ，表示总 保费收入的平均值大于总索赔额的平均值，由此定义安全负荷 0 ：掣一1 0 ，记t 为保险公司首次破产的时刻，即令t = i n f t ：尺( r ) o 得 g ( o ) = 一俎z + 嘲= - a 况+ 局“ o 硕士学位论文第三章连续时问保费随机收取的双p o i s s o n 险模型 证明因为l 是七3 停时，选取f o t o e 【 彳。( ，。 瓦】瓦s 1 尸 zs 气 = e 阻。纯忆g 。 p r f 。 由于在 l 0 即证结论 根据引理3 2 4 ，易知尺即为调节系数 定理3 2 9 对于述风险模型 r ( r ) f 0 ) ，设r 为调节系数，则最终破产概 率为： d 一鼬 h 2 面而志丽丽i q ) 、7 e 【e x p 卜尺r p ) 】i 瓦 f o 】p 瓦 t o ( 3 ) 以，( 彳) 表示集合a 的示性函数，则 0 e e 培r 叫l t o p t 。 t o = e e - r r ( r o ， 瓦 r o 】e e 琅啪q e ( t o ) o ) 】 由于0 e - r r ( t o ) i r ( t o ) 0 ) l ，且根据强大数定理可证r ( t o ) j 悯，p a s 因此由控制收敛定理，有 热研p 姐删it , 岛似p r 。 = 0 ，p _ 口j 于是在( 3 ) 式两端令r 0 斗佃，即证得结论 1 9 硕士学位论文第四章连续时间保费混台收取的单险种风险模型 第四章连续时间保费混合收取的单险种风险模型 考虑到保险公司保费收取的实际情况，本章研究索赔的发生过程为齐次 p o i s s o n 过程，而保费收取由两部分组成：即单位时间内为常速率的连续部分和 随机收取的离散部分组成的风险模型 4 1保费混合收取的单险种风险模型 4 1 1 模型的介绍 定义4 1 1 设 0 ，c 0 ，名 o ， 0 ，给定概率空间( q ，f ，p ) ，t - 0 m “1 ，f f l r ( f ) = u + e t + 巧一置， r o j = l t = l 吖( f )n f t ) s ( r ) = 甜+ 巧一五 f o ； j - i i = 1 其中： ( 1 ) “是保险公司的初始资金；c 是保险公司向投保人单位时间所受取的保费； r ( t ) 为保险公司在r 时刻的盈余；s ( t ) 为保险公司在t 时刻的盈利； ( 2 ) 保费到达过程 m ( r ) ，t o 是强度为允的p o i s s o n 过程，且m ( o ) = 0 ，每 次收的保费是独立同分布的非负随机变量序列记为( l ，= 1 , 2 ，) ，分布函 数为互( y ) ，e = 口，r - - 阶矩存在： ( 3 ) 理赔过程 ( d ，t o ) 是参数为( 0 ) 的p o i s s o n 过程，且n ( 0 ) = 0 ，理 赔额是独立同分布的非负随机变量序列记为( x i ，i = 1 , 2 ， 分布函数为 b ( x ) ，瓯= z ，r - - 阶矩存在； ( 4 ) 由于保险过程和索赔过程是相对独立的，可设 y f ，= 1 , 2 ， ， x 。，扣1 , 2 ， ， m ( r ) ，r o ， ( f ) ，t 0 ) ，是相互独立的为了保证保险 公司的稳定经营，假定e s ( t ) 0 ，即c + 以一助 0 ，表示总保费收入的 平均值大于总索赔额的平均值，由此定义安全负荷口：掣一1 0 ，记t 为 z 批 保险公司首次破产的时刻，即令t = i n f t ：r ( t ) 0 ，如v r 0 ，r o ) 0 ， 则令t = 0 0 硕士学位论文第四章连续时问保费混合收取的单险种风险模型 最终破产概率为： ， 缈0 ) = p t 0 ； ( 2 ) 是右连续的过程，且具有平稳独立增量； ( 3 ) 存在正数，使得e e 啊】 0 ( 2 ) 根据 一 ， x ，) ， m ( f ) ) ， ( f ) ) 的连续性，易知过程 s ( f ) ：t 0 ) 是右连续的随机过程 对v0 9 l 寸2 r 。 0 得 g ( 0 ) = c 一五e e + 卢, e x l = 一c 一位丑+ 属 o 证明因为瓦是七5 停时，j $ i 玟t o “】尸阢 f 。 三【m 。( f 。 l ) i l f o 】p 也f o = e 。亿轨g 。l p 也f 。 ( 1 ) 由于在 瓦 ，o ) ( 3 ) 以，( 彳) 表示集合彳的示性函数，则 硕士学位论文第四章连续时间保费混合收取的单险种风险模型 0 研e 一矗8 而il ，o 】尸 瓦 ，o = 研p 一导矗而， 瓦 r o ) 】e e 一尺水矗i r ( t o ) o 1 由于0se - r - r ( t o ) i r ( t o ) o ) i ，且根据强大数定理可证r ( ) 一4 - o o ，p a j 因此由控制收敛定理，有 1 i 巴研p 一足r i l t o l p ( t , t o = 0 ，p 一口s o o 于是在( 3 ) 式两端令r o 寸+ ，即证得结论 4 2带干扰保费混合收取的单险种风险模型 4 2 1 模型的介绍 定义4 2 1 设甜 o ，c 0 ，口 o ，旯 0 ， 0 ，仃 0 ，给定概率空间( q ，f ，p ) ，t 0 m ( t 、i t ) r ( ，) = u + c t + 一置+ 仃w ( a t ) ， r o 3 - 1 i = l ，“1_ “1 s ( ，) = 口+ 巧一置+ 仃w ( a t ) ， f o ； j = l l = l 其中： ( 1 ) “是保险公司的初始资金；c 是保险公司向投保人单位时间所受取的保费； r ( t ) 为保险公司在，时刻的盈余；s ( ，) 为保险公司在r 时刻的盈利； ( 2 ) 保费到达过程 m ( f ) ，f o ) 是强度为a 的p o i s s o n 过程，且m ( 0 ) = 0 ，每 次收的保费是独立同分布的非负随机变量序列记为 y ，= 1 , 2 ，) ，分布函 数为巧( y ) ，e t = 口，r - - 阶矩存在； ( 3 ) 理赔过程 ( r ) ，t2 0 ) 是参数为 0 ) 的p o i s s o n 过程，且( 0 ) = 0 ，理 赔额是独立同分布的非负随机变量序列记为 置，f = 1 , 2 ，) 分布函数为 e ( 石) ，瓯= ，且二阶矩存在； ( 4 ) 形( f ) ，r 0 ) 是标准的维纳过程，表示保险公司不确定的收益和付款 ( 5 ) 由于保险过程和索赔过程是相对独立的，可设 y j ，= 1 , 2 ， ， 置，f = 1 , 2 ， ， m ( ，) ，r 0 ) ， ( ，) ，r 0 ) ， 矿( r ) ，r 0 是相互独立的 为了保证保险公司的稳定经营，假定e s ( t ) 0 ，即c + a a 一励 0 j 表示 总保费收入的平均值大于总索赔额的平均值，由此定义安全负荷 堡主堂垡堡塞一一一 第四章连续时间保费混合收取的单险种风险模型 口：c + 。a 2 1 0 ，记t 为保险公司首次破产的时刻，即令 _ | u t = i n f t ：r ( t ) 0 得 g ( o ) = c 一肛k + 麟= 一c 一伍元+ 局p ， 其中f ：盯 s ( 1 ，) ： f ) 引理4 2 6 m 。( ，) ，砰( 咖r 。) 是鞅，其中m 掣( f ) = 旦号篙 证明对任意i ，sr ，运用引理4 2 2 得： 刖以m 沁e 等e x p l t gi 七胡l 【r 月 j iexp(-r，u+州s(v)exp-r(s一(t)-s(v)ksexptvg(r) e x p t ( tv ) g t r j l ij j = 蚝( v ) 一l e x p e x p 【 - r ( ( f s 一( t 1 ，) ) g ( r ) - s ( v 】) ) i k ，s 1 j 2 帆( v ) ，证毕 引理4 2 7z 是k 5 停时 4 2 2 主要结果 定理4 2 8 对于上述风险模型 r ( r ) r o ，最终破产概率满足不等式： 甲0 ) e 一翩 其中：r = s u p r ：g ( ，) 0 ) 证明 因为瓦是七5 停时，选取f 。 ，。】尸沈 r o ) e 陋。( f 。 l ) l l r 。p 纯f 。) ：e 阻。也】瓦g 。j e l l f 。 由于在 乇 ) 的条件下，+ s ( 瓦) 0 ，所以 e 一“e 一。 以瓦s t o - t o ( 3 ) 以，( 爿) 表示集合彳的示性函数，则 0 e e 培r i 瓦 t o 】p l t o = e e 一厣8 “瓦 f o ) 】e e 一尼矗五z r ( t o ) o 1 由于0 e - r r ( r o )