（概率论与数理统计专业论文）混合失效率及其单调性研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 _ii ii i m_i i ii 丰两斐 可靠性工程是研究与产品失效作斗争的科学技术活动的总体，而可靠性数学在可 靠性理论中有着特殊的地位。产品的失效率是可靠性理论中的重要概念。在实践中， 它又是产品可靠性的主要指标，不少产品就是用失效率的大小来确定其等级的，失效 率已经在可靠性、生存分析、保险研究等许多领域有广泛的应用。失效率的典型曲线 形如“浴盆”，俗称“浴盆曲线”。现实中浴盆形失效率( b f r ) 的模型具有很重要的意义。 在常用寿命分布中具有浴盆形失效率的分布较少，所以浴盆形失效率往往可以通 过各种方法来构造。构造浴盆形失效率的方法有多种，其中，通过失效率的混合得到 浴盆形失效率模型是一种重要方法。 本文主要研究三个问题：一是如何在三参数w e i b u l l 分布与指数分布的混合失效率 模型中，从“实际的观点来分析混合失效率曲线，从而得到实际意义上的浴盆曲线， 并且可以推广到其它各种混合失效率曲线分析之中。二是如何讨论混合失效率的单调 性，两个以上分布混合往往会使失效率曲线出现几个变点，在这样的情况下如何推广 利用g l a s e r 提出的过渡函数来讨论混合失效率的单调性情况。三是对指数族混合分布 的失效率研究作了推广，推广到四个指数分布族混合的情形，并做了拟合实验，利用 第二章实际意义的浴盆形曲线观点与第三章的混合失效率单调性判定理论对混合四个 分布的失效率情况做了比较与分析。 关键词：可靠性混合分布混合失效率浴盆形单调性 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 | 页 a b s t r a c t k e yw o r d s ：r e l i a b i l i t y m i x e dd i s t r i b u t i o nm i x e df a i l u r er a t e b a t h t u b s h a p e d m o n o t o n i c r e l i a b i l i t ye n g i n e e r i n gi st h ef i g h ta g a i n s tp r o d u c tf a i l u r eo v e r a l ls c i e n c ea n dt e c h n o l o g y a c t i v i t i e s ，w h i l et h er e l i a b i l i t yo fm a t h e m a t i c a lt h e o r yo fr e l i a b i l i t yh a sas p e c i a ls t a t u s p r o d u c tf a i l u r er a t ei sa ni m p o r t a n tc o n c e p ti nr e l i a b i l i t yt h e o r y i np r a c t i c e ，i ti sa l s ot h e m a i ni n d e xo fp r o d u c tr e l i a b i l i t y m a n yp r o d u c t st h a td e p e n do nt h es i z eo ft h ef a i l u r er a t et o d e t e r m i n et h el e v e l f a i l u r er a t eh a sb e e nw i d e l yu s e di nr e l i a b i l i t y , s u r v i v a la n a l y s i s ， i n s u r a n c e ，r e s e a r c ha n dm a n yo t h e rf i e l d s t h et y p i c a lf a i l u r er a t ec u r v eo ft h ef o r m ”b a t h t u b ”，c o m m o n l yk n o w na s ”b a t h t u bc u r v e ”r e a l i t y , b a t h t u b - s h a p e df a i l u r er a t e ( b f r ) m o d e lh a sv e r yi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c e i nm a n yl i f ed i s t r i b u t i o nw i t hb a t h t u b s h a p e df a i l u r er a t eo fd i s t r i b u t i o ni sr e l a t i v e l y s m a l l ，s ob a t h t u b s h a p e df a i l u r er a t ec a no f t e nb ec o n s t r u c t e dt h r o u g hav a r i e t yo fw a y s a t p r e s e n t ，t h e r ea r ea l r e a d ym a n yw a y st oc o n s t r u c tt h eb a t h t u b - s h a p e df a i l u r er a t e ，w h i c h ， t h r o u g ht h ef a i l u r er a t eo ft h em i x t u r et og e tt h eb a t h t u b - s h a p e df a i l u r er a t em o d e li s a l l i m p o r t a n tw a y t h i sp a p e rs t u d i e st h r e ei s s u e s ：f i r s t ，i nt h et h r e e - p a r a m e t e rw e i b u l ld i s t r i b u t i o na n d e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o no ft h em i x t u r ef a i l u r er a t em o d e l ，h o wt ou s e ”p r a c t i c a l ”p o i n to f v i e wt oa n a l y z et h em i x t u r ef a i l u r er a t ec u r v e ，a n dg e tar e a ls e n s eo ft h eb a t h t u bc u r v e ，a n d f i n a l l ye x t e n d e dt oo t h e r k i n d so f m i x e df a i l u r er a t ec u r v ea n a l y s i s s e c o n d l y , h o wt od i s c u s s t h em o n o t o n i c i t yo fm i x e df a i l u r er a t ec h iv e m i x i n gt w oo rm o r ed i s t r i b u t i o n ，o f t e no c c u r s e v e r a lc h a n g ep o i n t ，i ns u c hc i r c u m s t a n c e s ，h o wt op r o m o t et h eg l a s e r st r a n s i t i o nf u n c t i o n t od i s c u s st h ep r o p o s e dm i x e df a i l u r er a t eo ft h em o n o t o n ec a s e t h i r d ，t h ed i s t r i b u t i o no f m i x e de x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nf a m i l ym a d et h ef a i l u r er a t eo fp r o m o t i o n w ee x p a n d e dt o f o u rf a m i l ym i x e de x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nc a s e ，a n dm a d ef i tt e s t ，u s i n gt h ea c t u a lm e a n i n g o ft h es e c o n dc h a p t e ro fb a t h t u b s h a p e dc u r v ep o i n to fv i e w , a n dt h et h i r dc h a p t e ro ft h e m i x e dm o n o t o n ef a i l u r er a t ed e t e r m i n a t i o nt h e o r y , t h ef a i l u r eo fm i x e df o u rd i s t r i b u t i o nr a t e s w e r ec o m p a r e dw i t ha n a l y s i so ft h es i t u a t i o n 西南交通大学曲南父逋大字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密彭使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“、”) 学位论文作者签名： 日期讼f0 砷限【荔 叫 指导老师签名： t ) = l f ( t ) = f ( t ) ，称为可靠度函数。就概率分布而言，它被称为 累积分布函数，它表示在固定的使用条件下和规定的时间内，无故障的发挥规定功能 而工作的产品占全部工作产品累积起来的百分率。 ( 3 ) 平均寿命平均寿命是寿命的平均值。对于不可修复产品，其寿命是指它的 失效前的工作时间。因此平均寿命就是指该产品从开始使用到失效前的工作时间或工 作次数的平均值，或称为失效前的平均时间，一般记为m t t f ( m e a nt i m et of a i l u r e ) 。 对于可修复的产品，其寿命是指相邻两次故障间的工作时间。因此，它的平均寿命也 称为平均故障间隔，一般记为m t b f ( m e a nt i m e b e t w e e nf a i l u r e ) 。 ( 4 ) 失效率产品的失效率是可靠性理论中的重要概念。在实践中，它又是产品 可靠性的主要指标，不少产品就是用失效率的大小来确定其等级的。失效率是指工作 到某时刻尚未失效的产品，在该时刻后单位时间内发生失效的概率一般记作，它也是 时间的函数，故记为，( f ) ，称为失效率函数。设产品的寿命为非负连续型随机变量x ， 其分布函数为f ( x ) ，密度函数为f ( x ) ，定义 心) = 器“啪汀 f ) = 1 一，( f )，( f ) = r ( t ) a t ( 1 2 ) 因此，当出很小时，r ( t ) a t 表示该产品在t 以前正常工作的条件下，在i t ，f + a t 】中 失效的概率。 可靠性特征量中分布函数f ( t ) 、可靠度函数r ( t ) 、概率密度函数f ( t ) 和失效率函 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 数，( f ) 是四个基本函数，只要知道其中一个，则其它特征量均可求得。 1 2 2 产品失效期 大多数器件在使用过程中，失效率并不是恒定不变的。失效率的典型曲线形如“浴 盆”，俗称“浴盆曲线 ，如图1 1 所示。按失效率变化规律，可把产品的全部工作时 间分为三个时期：i 区为早期失效期，i i 区为偶然失效期，i i i 区为耗损失效期。 图1 1 ( 1 ) 早期失效期 早期失效期的特点是失效发生在器件使用的初期，失效率较高，且随着工作时间 的增长而迅速下降。早期失效的原因大多是由于器件本身存在的缺陷所造成的。进行 合理的筛选，尽可能在交付使用前把早期失效的器件淘汰掉，可以使出厂器件的失效 率达到或接近下述偶然失效期的水平。 ( 2 ) 偶然失效期 偶然失效期的特点是失效率低、稳定，近似为常数。这个阶段中所发生的失效往 往带有偶然性。r ( f ) 基本保持常数，这段时间是产品最佳工作阶段。偶然失效期是器件 的良好使用阶段，产品的失效规律符合指数分布规律。 ( 3 ) 耗损失效期 耗损失效期的特点是失效率明显上升，大部分器件相继失效，一般出现在产品使 用的后期。耗损失效期是由于磨损、老化、疲劳等原因一起器件性能恶化所造成的。 此时应采取维修或者更换等手段来维持产品的正常工作。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 |ii i i 1 2 3 常见的寿命分布类型 可靠性工程常遇到随机变量问题，例如产品故障时间和维修时间等。处理这种问 题可利用概率统计方法，找出它们的概率分布和概率密度函数，有了确定的分布就可 以求出该分布的特征统计量，如正态分布的均值及标准差。即使不知道具体的分布函 数，也可以通过对分布的参数估计求得某些特征量的估计值。下面讨论一些常用的寿 命分布。 1 2 3 1 指数分布模型 在可靠性理论中，指数分布是最基本、最常用分布。在许多场合下可以假定产品 的失效分布为指数分布，特别是对产品进行早期筛选后进入偶然失效期都可以认为产 品失效分布为指数分布。而且指数分布失效率为常数，又与平均寿命互为倒数，所以 指数模型可以很好地用来描述某些电子产元件的寿命。它的一个最重要的性质是所谓 “无记忆性”，即若一个产品的寿命遵从指数分布，当它使用了t 时间以后如果仍然正 常，则它在t 时间以后的剩余寿命与新的寿命一样遵从原来的指数分布。 指数分布e x p ( p ) 的密度函数： f o ( t ) = ( 1 , u ) e x p ( - t a ) ， ( t 0 ，t 0 ) ( 1 3 ) 可靠度函数： r o ( f ) = e x p ( - t “) ( 1 4 ) 均值为： e ( x o ) = ( 1 5 ) 由，( f ) 与f ( t ) 和r ( t ) 的关系有： 水) = 器= 万1 ( 1 6 ) 式1 6 为寿命分布服从指数分布时的瞬时失效率。即在该分布条件下，失效率是 个常数。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 f ( t ) 图1 2 r ( t ) 图1 3 图1 4 图1 2 ，图1 3 ，图1 4 分别为指数分布的概率密度函数、可靠度函数与失效率函 数曲线。 1 2 3 2w ei b u1 1 分布模型 w e i b u l l 分布是瑞典科学家威布尔( w w e i b u l l ) 于19 3 9 年在研究材料强度时，提 出的一个概率分布函数【3 9 】。是可靠性理论中常用的失效分布之一，许多电子与机械的 元器件与设备产品的失效分布都是w e i b u l l 分布，w e i b u l l 分布还有最弱环模型作为其 实际背景。最弱环模型认为故障发生在产品的构成因素中最弱部位，这相当于构成链 条的各个环节中最弱环的寿命就是整个链条的寿命，假如各环节的分布是相同的，那 么链条的寿命就服从w e i b u l l 分布。大量的实践说明，凡是因某一局部失效而导致全局 停止运行的元件、器件、设备等的寿命都可以看成或近似看作服从w e i b u l l 分布，譬如 金属材料和机械零件或部件( 如轴承) 的疲劳寿命。目前，国内外气动元件可靠性分 西南交通大学硕士研究生学位论文 第8 页 析、设计一般都建立在w e i b u l l 分布的基础上。其分布函数可以表示为 邪) = 1 i 詈r 小e 卅( 荸n ，t - r o ( 1 7 ) 可靠度函数为： 。 肌) - - - - e - ( 一e x p ( _ ( 等n ( 1 8 ) 密度函数为： 邝) 2 芳可t - - f 广l e x p ( - ( 等n ( 1 9 ) 失效率函数为： + 心) 2 崇叱叫”1 ( 1 1 0 ) a 称为形状参数，f 是位置参数，夕尺度参数，这些参数都需要由试验来确定。 威布尔分布概率密度函数如下面图1 5 所示。可知，口的数值不同，则曲线的形状不 同，故口称作形状参数。当f = 0 。时，称其为两参数分布，当r 0 时，有时又称作最 小保证寿命，即产品在时间t = 丁以前不发生故障，故障的概率为零。在实际情况中，f 多为零。 f ( t ) 1 _ 一 8 23 4t 图1 5 图1 6 给出了可靠度在不同的形状参数下，与时间变化之间的关系。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 r ( f ) 234t 图1 6 图1 7 给出了失效率在不同的形状参数下，与时间变化之间的关系。 234t 图1 7 由以上图形可见，根据形状参数的数值可以区分产品不同的失效类型。当口 1 时，失效率双随时间的变化为递增型，当口= l ，为恒定型，当口 0 ，p 。+ p z + p 女= 1 ，f i i ( t ) 为各分布概率密度函数。 同时有失效率函数为： ，( f ) = q ( f ) i ( f ) 其中，q ( f ) 一p 姒i r i f ( j t ) 1 r ，( f ) 为各分布失效率函数。 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 例如，设系统的寿命变量耳为两个随机变量五和k 的混合，则混合分布的可靠 度函数为： q ( f ) = 风( f ) + ( 1 一p ) r ( f ) ( 2 5 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 iiii_i_ 其中r 是置的可靠度函数，i = o ，1 ， 混合分布的密度函数为： f p ( t ) = p f , 0 ) + ( 1 一p ) f o ( t ) 0 p 1 ，其中z 是置的密度函数，i = 0 ，1 ， 混合分布的失效率为： ( 2 6 ) r p ( t ) = 缈( f ) ( f ) + ( 1 一m ( t ) ) r o ( t ) ( 2 7 ) 其中是x i 的失效率函数，i = 0 ，1 ，对f 0 ，有 眍舴嚣刘 ( 2 8 ) 因此 m i n r o ( t ) ，( f ) ) 乞( f ) m a x r o ( t ) ，( f ) ) ( 2 9 ) 由文献可知在某些条件下【1 4 1 ，有 l i m r p ( t ) = l i m m i n r o ( t ) ，l ( f ) 】 ( 2 1 0 ) f 0 0t - - 0 0 2 2 指数分布与w e i b u l l 分布混合的浴盆形失效率模型 在可靠性研究中，一般失效率往往是单调的，或者增或者减，比如一个重要的结 论是，单调减的失效率混合有减的失效率。但是如果两个失效率并非都是减的，混合 后单调性情况就有多种。其中一种，就是拥有浴盆形的情况。 对混合分布以获得浴盆形失效率曲线的研究有很多，如k l e i n 和m o e s c h b e r g e r i 8 】 提出了一个指数分布与伽马分布混合得到浴盆形失效率模型。c l a s e r , k u n i t z 和p 锄m e 【8 】 都研究过两个伽马分布混合得到浴盆形失效率曲线的情况。k m l l i l 提出三个w e i b u l l 分布混合得到浴盆形失效率模型。 但这些模型理论上并不是浴盆形的，因为在某些条件下，tjo 。时混合模型的失效 率函数将呈递减趋势，这与浴盆形失效率在( 1 2 ) 上是单调递增的是不相符的【1 4 】。基 于这一理论，e s h e t ut w o n d m a g e g n e h u 和j o r g en a v a r r og l a s e r t 5 1 研究了指数分布与两参 数w e i b u l l 分布的失效率，得出一个结论：从“实际的”观点来看，两个普通的增的失 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 i iii 效率混合可以获得浴盆形曲线模型。而且，模型最后一个阶段存在减的阶段并不重要， 因为这个减的阶段概率往往极小，这样，实际上观测到这个模型不具有浴瓮形失效率 率是很困难的。v a u p e l & y a s i n 9 1 通过讨论指数分布与线性分布失效率混合模型也得到了 相似的结论。 本文将考虑指数分布与三参数w e i b u l l 分布混合的情况，研究在“实际的”观点下， 如何从混合三参数w e i b u l l 分布与指数分布得到浴盆形失效率曲线，并看看与指数和两 参数w e i b u l l 分布混合失效率模型有何差别。 混合指数分布与三参数w e i b u l l 分布，由式子( 1 3 ) 与( 1 7 ) ， w e i b u l l 分布与指数分布可靠度函数分别为： 置( f ) ：p 叫：e x p 一( 等) a ) ，( o 2 ， 时，则嘭( f ) 2 函干百乏不- p 磊o - 2 石丽p ( 1 一p ) e x p ( 吖风) 斯2 一i j r ， ( 妒坐苇惫窑崭萨必 ( 3 ) 若1 2 ，则有( f ) = 西i 矿i - 再4 ；- 2 f 而p ( 1 一p ) e x p ( 一r 脶) 缸2 删硝加迹苇惫意崭笋盟 西南交通大学硕士研究生学位论文 第17 页 ii| i i 若1 0 ，1 i m 乞( f ) = 1 风 t - - - c o 定理2 2 若x o e x p ( j t o ) ，五月艮从三参数w e i b u l l 失效翠分布x l w ( a ，f ) ，且 口 2 ，则存在和乞，0 t o 2 时，嘭( f ) 的符号与下式相同 舻加刊琊) e x p ( 譬一瓦t ) + p 2 a ( 川) f l ” ( 2 2 1 ) j l z o ) = a ( a 一1 ) f l 一口一( f f ) 2 一口( a ：一“( t - - ) 8 。1 - 2 0 一) 2 ( 2 2 2 ) 对g ( t ) 求导，有 g 瓤却( 1 刊州琐矿( h 广1 w 1 ) 】e x p ( 等一 ( 2 2 3 ) i l o ) = ( 口一2 ) ( f r ) 1 一。( a f t 一“( f r ) 。一, u o 一1 ) 2 2 c t ( a 一1 ) 一“( 口夕一口( t - r ) 口。1 - , u o 叫) ( 2 2 4 ) 由式( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 有 ：i_一2jiz，(。+矗。)(9一“(ff)。一心一) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 = ( 口一2 ) ( t - o 卜。( 口一。( t - - l ) 。一一脶一) 2 2 a ( a - 1 ) f l 一口( a 一口o f ) 口一1 ) + 口( 口一1 ) 一口- ( t - r ) 2 一。( a p 一。( t - - r ) 。一一风一) 2 ) ( 矽一“( f f ) 口一一心一1 ) = ( 倥：一8 0 f ) 。一一心_ 1 ) ( 口一2 ) ( f f ) 卜口( 倥一。o f ) 。一心卅) 一2 ( z ( a 1 ) 一口 + ( 口( 口- 1 ) f l 一。- ( t - r ) 2 一。( 口：一。( f f ) 。一风。1 ) 2 ) ) = 一( a y “( f r ) “一心- 1 ) a 罗- “+ ( 口- 2 ) ( t - r ) 1 “一1 + ( f f ) 2 一“( a f “( f f ) 盯一风一1 ) 2 ) 即有 忑蔫巧叫心卅弋广h 汜2 5 ， ( 口一4 + ( 口一2 ) p o - 1 ( t - - 2 ) 卜。+ o f ) 2 一。( a f t 一。o f ) 。一一t o 一1 ) 2 】 所以，g ( f ) 的符号与( f ) 一( f ) 相同，即在( f ，t o ) 内为正，( t o ，o o ) 内为负，因为吃0 ) 的符号与g ( f ) 相同，而r g ( r ) o ，等价于吒( f ) 0 ，而 ( r ) = 二丝_ p ( 1 一p ) e x p ( 一三) o ， 所以 【p + ( 1 一p ) e x p ( 一二) 2 o g ( f ) 。， j i m 。g ( f ) = 埘，故( f o ，) 之间必定存在一点使得曲线先升后降，即存在和乞， f 气 乞 o o ，使名( ，) 在( f ，) 内严格递减，在( ，乞) 内递增，( 乞，o o ) 内递减。 定理2 3 若五坷x p ( ) ，墨服从三参数w e i b u l l 失效率分布x 。w ( a ，r ) ，且 口= 2 则存在和乞，o f t o 0 ，l i m g ( t ) = 一o o ，故存在和t 2 ，0 f t o t 2 o o ，在( f ，t 1 ) 内严格递减，在 ( ，t 2 ) 内递增，( t 2 ，o o ) 内递减。f 1 = f 当且仅当g ( f ) 0 ，等价于 2 - 2 。 定理2 4 若托- ex p ( p o ) ，x i 服从三参数w e i b u l l 失效率分布五- w ( a ，f ) ，且 1 口 2 ，则存在，t 2 ，t 3 ，并且0 了 t 2 t o t 3 0 ， 使乞( f ) 在( r ，) 内严格递增，在( ，乞) 内递减，( f ：，) 内递增，( t 3 ，) 内递减。 证明：由式( 2 2 5 ) 誓 _ f _ ：( 心一筇一n ( 卜f ) 州) ( 筇一a + 加刊唧( 等一去) u 一 ( a 一2 ) p o 一1 0 f ) 卜口+ o f ) 2 一。( 口一“( t - r ) 。卅- p o 。) 2 】 所以，当1 口 0 ，g ( t o ) 0 ，l i m g ( t ) = 硼，因此，若g ( ) 0 ，则存在t 。，t 2 ，乞， 屯币 篇 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 r 呓 t 2 t o t o ，使得乞( f ) 在( 丁，t 1 ) 严格递增，( ，0 0 ) 递减。 定理2 2 得到的模型失效率理论上不是浴瓮形的，因为最后( t ，o o ) 还有一段递减区 间，但最后的递减区间所具有的概率极小，从而在实际中很难观测到，因而就可看作 得到一个实际意义的浴瓮形失效率模型。 如图2 1 中，混合指数分布e x p ( 1 ) ，三参数w e i b u l l 分布矽 = 5 ，= 9 ，f = 1 ) ， p = 0 7 。变点分别为t 。4 8 ，t 2 1 6 4 ，但是注意到l i m r p ( t ) = 1 ，因此混合模型并不全 是浴偷形的。不过，在0 到厶之间是可以获得浴盆形的，因为这个时候t ，1 6 4 ，而 尺。( 1 6 4 ) 3 2 0 8 7 - 1 0 一，即最后的递减区间所具有的概率极小，又因为e ( k ) = 1 ， e ( 五) = 8 0 3 ，所以，在实际中很难观测到模型不是浴盆形的。 图2 1w ( 5 ，9 ，1 ) 与e x p ( 1 ) 混合的，( f ) 图 下面图2 2 为三参数w e i b u l l 分布、两参数w e i b u l l 分布分别与指数分布混合得 到的失效率曲线图。实线为三参数w e i b u l l 与指数分布混合分布失效率曲线，虚线为 两参数w e i b u l l 分布与指数分布混合分布失效率曲线。从图上可以看出，三参数 w e i b u l l 分布与两参数w e i b u l l 分布还是略有不同的，同时其它参数样，f 取值不一 样时，得到的曲线略有不同。图2 3 为三参数w e i b u l l 分布与指数分布混合的失效率 模型下参数f 不同取值时得到曲线的比较。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 mn nn nn u n 图2 2w ( 5 ，9 ，i ) 与w ( 5 ，9 ) 分别与e x p ( 1 ) 混合的r ( t ) 图比较 图2 3w ( 3 ，9 ，1 ) 与w ( 3 ，9 ，7 ) 分别与e x p ( 1 ) 混合的r ( t ) 图比较 下面表l 为三参数w e i b u l1 分布与指数分布混合的失效率模型下参数值变化时， 变点f ：的变化以及尺( f ：) 的值的比较情况。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 表1 ：各参数变化时混合失效率曲线的变点f ：以及r ( f ：) 值的比较 口 6 f p 乞r ( t ：) 59llo 71 6 4 3 2 0 8 7 1 0 6 p 变化 59110 91 6 85 6 6 1 1 1 0 培 59110 41 6 17 3 4 5 8 1 0 7 3 9 1 l 0 7 2 7 56 0 7 7 9 1 0 1 2 口变化69110 71 4 81 7 0 0 2 1 0 6 99 1 10 71 2 88 2 9 2 7 1 0 6 39110 72 7 56 0 7 7 9 x1 0 1 2 变化 361l0 71 5 64 3 7 4 1 1 0 7 31 2110 74 2 o3 5 0 9 3 1 0 1 8 39110 72 7 56 0 7 7 9 1 0 。1 2 f 变化3 9310 73 0 4 4 0 8 0 7 x1 0 。1 3 397l0 73 6 21 0 8 7 x1 0 。1 5 59l10 71 6 4 3 2 0 8 7 1 0 6 变化 5913o 71 3 00 0 1 4 3 591o 50 71 9 58 4 2 3 0 1 0 - 1 7 从中可以看出，三参数w e i b u l l 分布与指数分布混合的失效率模型，即使两个分 布都是不减分布，也可以获得实际意义上的失效率浴盆曲线。当选择参数构造实际意 义上的浴盆曲线时，可以取较小的口与较大的，以及较大的f ，比如当 w ( a = 3 ，= 9 ，f = 7 ) 与e x p ( 1 ) 以p = 0 7 比例混合的时候，t ：3 6 2 ，此时， r 。( 3 6 2 ) 3 5 0 9 3 1 0 8 ，非常小的数值，即说明这样的递减区间所具有的概率极小的， 所以可以将其看作是浴盆形曲线。 2 4 本章小结 本章首先总结了混合失效率的一些研究情况，对指数函数与三参数w e i b u l l 分布混 合失效率进行了研究，给出了混合后的函数模型，并对该模型进行了研究，给出了该 模型在构造浴盆形曲线方面的性质。对三参数w e i b u l l 分布与两参数w e i b u l l 分布与指 数分别的混合模型下的失效率作了对比，然后从实例上验证了定理2 2 的观点，从而 为现实中讨论两个类似分布的混合以及拟合各种复杂数据提供了参考。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 i il_m_i l l 第3 章混合分布下失效率单调性的判定研究 3 1 引言 失效率r ( t ) = f ( t ) r ( t ) 的单调性对选择适当的模型具有重要意义。由失效率函数的 定义：r ( t ) = f ( t ) r ( t ) ，其中r ( t ) 为可靠度函数，即失效率函数在分母上有一个积分， 这使直接讨论它的单调性比较困难，因此，g l a s e r 9 】提出了一种决定单变点失效率的单 调性的方法，利用密度函数代替失效率，给出一个过渡函数叩( f ) = - f ( f ) 厂( f ) ，即利用 一个过渡函数7 7 ( f ) 的单调性来讨论失效率单调性。 利用这个过渡函数讨论失效率的单调性，这种方法可以用于许多复杂分布，例如 伽玛分布、截尾正态分布、威布尔分布、半正态分布、推广的瑞利分布等。甚至包括 倒高斯、对数正态以及加权倒高斯分布等。在某些情况下，过渡函数7 7 ( f ) 及失效率函 数会有两个变点以及三个变点，对于这种情况，g u p t a 和w a r r e n 【3 1 以及刘判7 1 等人推 广了g l a s e r 的方法，推广至有两个变点与三个变点的失效率的单调性，并讨论了一些 例子。 本文对g u p t a 和w a r r e n 等人的研究的结论做了进一步地推广，研究了当7 7 ( f ) 和 失效率具有四个及以上的变点时，如何利用r ( t 1 的单调性得到失效率函数的单调性。 为了讨论失效率的单调性，g l a s e r 利用如下的过渡函数，定义 r ( t ) = - f ( t ) l f ( t ) ( 3 1 ) 这个函数比r ( t ) 简单，因为7 7 ( f ) ) 不含有r ( f ) ，所以不需要积分。此函数的单调性 可以决定，( f ) 的单调性，r ( t ) - 与v ( t ) 的关系如下1 0 1 ： ( 1 ) 丢l n r ( r ) = ，( r ) 一7 7 ( r ) ( 2 ) 1 ，( f ) ，= r ( t ) ，( f ) 1 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 证明：( 1 ) 由定义r ( f ) = 厂( f ) r ( f ) ，7 7 ( f ) = 一f ( f ) ( f ) ，又尺( f ) = 一( t ) ，则 d l n r ( r ) - r ，( ( t ，) - - ) = ( ，( f ) 墨( f ) + 厂o 川t ) ) r 2 i