（计算数学专业论文）多小波的构造、应用及其相关的扩展变换.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 f 多小波是在小波分析的基础上发展起来的新的小波研究方向多小波可以同 i ， 时拥有对称性、正交性、紧支撑、高逼近阶，在工程应用中具有广阔的前景卢z 7 本文主要研究对称一反对称多小波的构造及其应用众所周知，多小波基的构 造是多小波研究最主要的难点之一，目前的研讨大多局限于熏数r = 2 的情形本 文提出了一种由双正交单小波构造对称一反对称多小波的新方法，该方法可以构 造任意重对称一反对称多小波，为实际应用提供了众多可选择的多小波基库其 次，基于对称一反对称多小波的矩阵滤波器组的对称性，设计了相应的多小波变 换的快速算法，与单小波变换相比，当滤波器的长度相同时，计算量与正交单小 波一样基于对称一反对称多小波的矩阵滤波器的滤波特性，给出了一种预滤波 器的设计方法，该预渡波墨正交，长度最短。不增加多小波变换的计算量最后 在实际应用中，由于信号的长度有限，用矩阵滤波器组进行滤波时，必须进行边 界处理，将原信号扩展成无限长的信号其最常用的扩展方法是周期扩展，它对 任何满足完全重建的多通道滤波器组都行之有效但是信号两端的差异必然带来 新的不连续性，为了更好的保持边界的连续性，本文针对对称一反对称多小波， 提出了两种边界扩展方法：对称扩展和混合扩展，并通过实验验证了这些方法的 正确性和有效性 关键词：多小波对称一反对称 f 正交厂预滤波器 扩展变换 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t m u l t i w a v e l e t si san e wd i r e c t i o no fw a v e l e t sr e s e a r c hb a s e do nw a v e l e t sa n a l y s i s i nr e c e n ty e a r s m u l t i w a v e t e t sc a np o s s e s ss y m m e t r y , o r t h o g o n a l i t y , s h o r ts u p p o r tf o ra g i v e na p p r o x i m a t i o no r d e r t h e y h a v ew i d e p r o s p e c t i ne n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n i nt h i s p a p e r , t h ec o n s t r u c t i o na n da p p l i c a t i o no ft h es y m m e t r i c - a n t i s y m m e t r i c m u l t i w a v e l e t si ss t u d i e d i ti sw e l lk n o w nt h a to n eo ft h ep r o b l e m si nm u i t i w a v e l e t s r e s e a r c hi st h ec o n s t r u c t i o no fm u l t i w a v e l e t sb a s i s a tp r e s e n t ，m u c ho fr e l a t e dw o r ki s l i m i t e di nt h em u l t i p l i c i t y2 i nt h i s p a p e r , an e wc o n s t r u c t i o n m e t h o df o rt h e s y m m e t r i c a n t i s y m m e t r i cm u l t i w a v e l e t s i s p r o p o s e d b yt h i sm e t h o d ，s y m m e t r i c a n t i s y m m e t r i cm u l t i w a v e l e t s ，w h i c ha g i v e na n ym u l t i p | i c i t y ，c a nb e c o n s t r u c t e df r o m b i o r t h o g o n a ls c a l a rw a v e l e t s s o i to f f e r st h em u l t i w a v e l e t sb a s e st ob es e l e c t e di n a p p l i c a t i o n s e c o n d l y , b a s e do nm u i t i w a v e l e t sm u l t i f i l t e rs y m m e t r i c ，af a s ta l g o r i t h m f o rd i s c r e t em u l t i w a v e l e tt r a n s f o r mi sg i v e n c o m p a r i n gw i t l lt h eo r t h o n o r r n a ls c a l a r w a v e l e t s ，t h ec o m p u t a t i o n a lc o s to f b o t hi se q u i v a l e n ti ft h ef i l t e rl e n g t hi st h es a m e t h e n ，b a s e do nt h e i rm u t t i f i l t e rf i l t e r i n gp r o p e r t i e s ，ad e s i g nm e t h o df o rp r e f i l t e r i s p r e s e n t e d t h ed e s i g n e dp r e f i l t e ri so r t h o n o r m a l t h el e n g t ho f i ti st h es h o r t e s t i td o e s n o tt a k ea n ya d d i t i o n a lc o m p u t a t i o n a lc o s t l a s t l y , i fm u i t i w a v e l e tm u l t i f i l t e ri sa p p l i e d i nf i l t e r i n g t h eb o u n o a r ye o n d i t i o ml i tt h ee n do ft h es i g n a l 黜e n c o u n t e r e ds i n c ei n p r a c t i c e ，a l ls i g n a l sa r ef i n i t el e n g t h t h em o s tp o p u l a r e x t e n s i o nm e t h o di st h ep e r i o d i c e x t e n s i o n i tw o r k sf o ra n yp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nm u l t i r a t ef i l t e rb a n k b u td i s c o n t i n u i t y i si n t r o d u c e db yt h ee x t e n s i o np r o c e s sd u et ot h ed i f f e r e n c e sb e t w e e nt h ef i r s ts a m p l e s a n dt h el a s ts a m p l e so fs i g n a l s i no r d e rt ok e e pt h ec d g es m o o t h ，t w om e t h o d sf o r e x t e n s i o nt r a n s f o r m ，s y m m e t r i ce x m m i o nt r a n s f o r ma n db l e n de x t e n s i o nt r a n s f o r m ，a r e 华中科技大学硕士学位论文 p r o p o s e df o rs y m m e t r i c a n t i s y m m e t r i cm u l t i w a v e l e t s e x p e f i m e n t ss h o w t h a tb o t ha r e f i g h ta n d e i 五c i e n t k e y w o r d s ：m u l t i w a v e l e ts y m m e t r i c a n f i s y m m e t r i c o r t h o n o r m a l p r e f i l t e r e x t e n s i o ni r a n s f o r m m 华中科技大学硕士学位论文 = ；= = = = = ；离i = ；= = = _ _ = ；= | ；e j ；= | _ = _ _ = _ _ _ j 暑j 目；自= _ e e _ _ _ _ 口| | = ；暑_ = = _ = t = _ t _ ；_ = = = = = = = 宣 1 1 多小波的发展 1绪论 作为8 0 年代末期出现的时频分析工具，小波变换在语音、图像、通信、雷达， 水声、地震、生物医学、机械震动、化工等领域获得了广泛的应用静止图像压 缩的新国际标准j p e g 2 0 0 0 就采用小波变换代替了余弦变换【1 】而在信号去嗓方 面，基于小波变换的算法能达到最大均方误差最小意义上的最优效果，获得光滑 的信号，这是经典的信号去噪方法难以做到的1 2 - 3 众所周知，在图像处理的实际应用中，正交性能保持能量：对称性( 线性相 位) 适合于人眼的视觉系统；而短支撑特性使信号在边界处容易处理：光滑性在 图像压缩中起着重要作用，如一幅图像，当用作变换的小波不光滑，则小波变换 所带来的误差很容易从视觉中检查出来所以，分析工具同时拥有这些性质是十 分重要的可是，在实数域中，紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在的【4 l ， 这使人们不得不在它们之间进行各种折衷处理，但效果并不理想 多小波的基本思想是将单小波中由单个尺度函数生成的多分辨分析空间，扩展 为由多个尺度函数生成，以此来获得更大的自由度，期望能同时拥有诸如紧支、 对称、正交的性质p i i 旱在1 9 9 3 年，a l b e r t 和r o k h l m 就构造出用来作某些多项 式表达式的基底的多项式多小波1 6 1 ，但是，当时并没有引起人们多大的关注 1 9 9 4 年，g e r o n i m o 。h a r d i n 和m a s s o p u s 应用分形插植的方法，成功地构造出短支 撑、正交、对称和二阶消失矩的g 嘲多小波 】g h m 多小波的矩阵滤波器组如下： h ( z ) = 壶+ 南z 一，甭+ 丽矿 一上+ 9 _ z l + 9 _ z 一上z 一， 2 0 2 02 02 0 4 5 一毒+ 一毒z 。 一而+ 万z 一而疆 华中科技大学硕士学位论文 g ( z ) = 一言+ 兰+ 兰一吉一去一罟z 一万1 3 z 2 忑1 一万9z - l + 击z 一一忑1 z - 33 - 3 z - 2 其图形如图( 图1 1 ) 由于它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部 化特性，又克服了单小波的缺陷，即将实际应用中十分重要的光滑性、紧支性、 对称性、正交性完美地结合在一起，因此该领域的研究立即吸引了众多从事小波 分析的学者的关注接着，s t r e l a 等给出用二尺度相似变换法构造光滑、紧支、 对称的尺度函数和小波函数的步骤【l ，而r i e d e r 则研究了如何把多小波的构造 转化为线性方程组的求解问题呷1 随后，从实际应用的角度出发，l e b r u n 等提出 “平衡”这一新概念，并给出了设计平衡多小波的初步方法f l l 】 ( a ) 尺度函教o ( b ) 小渡函数掣 图1 1g h m 多小波的尺度函数和小波函数 与此相应，在信号处理领域，人们将传统的滤波器组推广至矩阵滤波器组 1 1 2 t 3 1 ，初步形成了矩阵滤波器组的理论体系，并建立了它和多小波变换的关系 矩阵滤波器组中处理的对象是向量信号，在去除向量之间相关性的同时，可保持 向量内部的相关性，所以更适合于向量量化作为矩阵滤波器组的特例一向量变 换，已被证明在图像压缩中是十分有效的m 1 因此，多小波和矩阵滤波器组具有 相当的应用价值 多小波在理论上表现出来的优势以及它在应用领域所具有的潜力，使其受到 高度重视，在它诞生成长的近十年时间里，国外多小波理论上小波基的构造( 包 2 华中科技大学硕士学位论文 括对称一反对称多小波的构造 15 - 2 0 i ，平衡多小波的构造 2 1 - 2 4 i 等) 、多小波变换实现 中预滤波器的设计 2 5 - 3l 1 和信号边界处理 3 0 a 2 1 等已成为研究热点，而对它在信号处 理方面的应用，人们正积极探索，并在信号压缩| 9 , 3 3 - 3 5 】、信号去噪 3 6 - 3 7 ) 等方面取 得了一定的成果 与国外相比，国内的多小波研究起步较晚，直到1 9 9 9 年，才有有关多小波理 论与应用方面的综述性文章出现m “】在那以后，国内多小波的研究逐渐形成了 一个高潮，在有关多小波的构造 4 1 - 4 5 , 4 7 i 、预滤波器的设计忡l 、图象压缩 4 6 - 4 7 、信 号去噪 4 8 4 9 以及其它应用d o 方面做了大量的工作 1 2 相关工作现状 本文主要研究对称一反对称多小波的构遣及其应用这类多小坡的特征如f ： 重数r = 2 ，在中( ，) 、甲( f ) 、丕( f ) 、圣( ，) 的各元素中，支撵集均为【o ，n 】，对称中心 是，n z + ，且氟( ，) 、( f ) 、荔( r ) 、纸( f ) 关于对称，：( f ) 、妒：( f ) 、无( ，) 、 痧：( f ) 关于以反对称该类多小波最早的例子是由c h u i 在1 9 9 6 年构造出 c l o ，2 】和c l o ，3 】多小波。其中c l o ，2 】多小波的矩阵滤波嚣组的滤波器如下： r l + 2 z 。1 + z - 21 - - l - - r 6 ，4 h ( z ) 啪4 l 亚2 一生2z - 2 一立2 + z - l 一盟2z 一2 j j g 毪2 - 4 z 仃- 1 + 2 ：z 2 。+ 麓乏： 这里2 名压，口：2 压 这类多小波与g 删多小波相比，两个尺度函数和两个小波函数一个对称，另一 个反对称，分别具有不同特性，有利于表示信号的不同特征：弼样能产生将应用 中十分重要的光滑性、紧支性、正交性、对称性完美地结合在一起：同样具有较 好的时频分辨特性，所以它们的构造以及在信号处理中的应用获得了广泛的研究 华中科技大学硕士学位论文 l i a n g 通过直接分解矩阵滤波器组的多相元素矩阵，给出了对称一反对称多小波完 备的参数化设计方法【l ”，随后又引入多小波的时频分辨率概念及计算方法，并以 尺度函数和小波函数的时频分辨率之和最小为目标，构造了，= 2 时，长度 n = 3 ，7 的对称一反对称多小波【1 6 1 ：s h e n 给出好的矩阵滤波器组的判别准则，然 后从矩阵滤波器组的构造出发，给出了由单小波构造，= 2 时对称反对称多小波 的一般方法 i s - 2 0 1 ：应用这类多小波进行图像压缩编码则有i t 9 ，2 9 ，3 2 ，3 5 ( a ) 尺度函数小波函数、壬， 图1 2 c l o ，2 】多小波的尺度晒数和小波函数 1 3 本文的工作意义及安排 然而。已有的阶段性成果仍具有以下不足： 1 ) 多小波的构造一般局限于重数，= 2 对于重数， 2 的情形，由于自由参 数增多，构造难度加大，目前很少有人涉及其构造方法的探讨 2 ) 进行离散多小波的变换时，一般只把单小波中的m a l l a 算法简单的推广 到多小波情形，没有很好的利用多小波的对称特性加速 3 ) 多小波变换实现中，对边界处理，一般只采取周期扩展 本文将在总结前入的工作的基础上对以上三个方面做些工作，作如下安排： 1 ) 对称一反对称多小波的构造 2 ) 对称一反对称多小波在信号滤波中的应用 3 ) 信号的矢量扩展 4 华中科技大学硕士学位论文 2 1 引言 2 对称一反对称多小波构造 多小波的构造是多小波研究的难点之一目前，多小波的研究大多集中在重数 r = 2 的情形文0 9 给出了种由对称的单小波滤波器构造二重对称一反对称多小 波的矩阵滤波器的一种方法本章在此基础上，从多小波的多分辨分析理论出发， 提出了一种由双正交单小波构造任意重对称一反对称多小波的方法，文 1 9 】中的方 法是本文方法的一个特例最后利用这种算法，给出了计算了对称一反对称多小波 的构造实例 2 2 多小波的多分辨分析理论 多分辨分析是构造单小波的重要方法之一同样，重多分辨分析是构造，重 多小波的一个重要方法 定义2 1 一族函数甲= 【y 。，y ：，炸】7 ( ，1 ) ，称为，重多小波，如果其伸缩 平移、王，卅= 2 m ( 2 i x - - 七) ，2 ( 2 j x - 七) ，( 2 x - - 七) 】7u ，七岳z ) 形成r ( r ) 的一组 r i e s z 基 称，= l 时甲为单小波，r l 时v 为多小波与单小波相似，r 重多小波的 构造与，重多分辨分析理论密切相关它的对应多尺度函数仍然满足，重多分辨 分析 定义2 2 设中= 陋，2 ，砟r ，氟ef ( 畏) ，i = 1 , 2 ，子空间序列巧匕l 2 ( r ) ， 一= 踊册 2 i 谚( 2 7 x k ) ：o i = 5 0 。j ，( 中( ) ，早( 一妨= ( 甲( - ) ，面( 一一曲) = 0 ，其中一z ，0 表示 ，r 的零向量，表示i x ，的单位矩阵当r = 1 时即为双正交单小波情形如果 m = 面且鼍= 早即为正交情形 定理2 2 f 5 1 设中( x ) 、西( x ) 是一对，重双正交多尺度函数，甲( z ) 、荦( x ) 是相应 的一对r 熏双正交多小波，则矩阵滤波器 日，g ；露，g ) 满足下列完全重构条件： 华中科技大学硕士学位论文 日( w ) h ( w ) + h ( w + 厅) 日( w + 丌) = ， g ( w ) g ( w ) + g ( w + 霈) g + ( w + 石) = ， 日( w ) 0 ( w ) + ( w + 石) g + ( w + 丌) = 0 ， 疗( w ) g ( w ) + 膏( w + ，) g ( w + 丌) = 0 ， 与单小波的情形相似，多小波正交时= 露、g = 舀，代入上式即可得正交多 小波的矩阵滤波器的完全重构条件 我们也可以简单地将共轭滤波器的定义推广到矩阵情形一个矩阵滤波器 h ( w ) 被称为矩阵共轭滤波器，如果它满足： 日( w ) 日( w ) + ( w + x ) h + ( w + 万) = ， 定义2 7 如果；嗽，欢，办】7 的各分量都是对称或反对称的，我们就称m 是 对称( 反对称) 推论2 3 如果。是对称( 反对称) ，则有： 面( ，呐= ( w ) 面( 一w ) ，e ( w ) = d t a g ( + e 一嘎，e 一n 。，e 一。耳”) 定理2 3 0 鄹设多尺度函数西= m ，丸，办】7 生成r ( r ) 中的一个r 重多分辩分 析( m b a ) _ m ，且s u p p 1 = s u p p 妒2 一s u p p $ , = 【o ，】，o 是对称( 反对称) ， 则：h i = s ，日。s ，这里是r x ，维的对角阵， f 1 ， s ，( f ，_ ，) = 一l ， 1 0 ， i = ，且识是对称的 f - ，且藏是反对称的 其它 定义2 8 称一个多尺度函数中是r a 阶逼近的：如果多项式x ，j = 0 , 1 ，m 一1 可以表示成 一七) ，k e z 的线性组合：x = ) ，p o 一七) ，j = o ，m 一1 ，其 9 华中科技大学硕士学位论文 中y 是，维常数向量 定理2 4 m 1 如果西是满足( 2 1 ) 的可积尺度函数而且稳定，则的逼近阶是m 当且仅当它的低通矩阵滤波器满足：j1 r 维向量瞄，且蹭0 ，0 0 ，使得 训( x 1 1 2 。三一，荟厂( 埘( x r m ) ) | 2s 私压2 华中科技大学硕士学位论文 = ；= = = = z _ j 口目z 目；目= _ j _ z _ l 又( m ) ，痧( 一) ) 。夕知( 厂( ) ，( x - i - m ) ) ，| i s r a e l i 2 = n i i s ( 哪 所以，拟郴。姜。薹肌x ) ，蛾( x w - ：l l s ( 州 o 靴s 一i n i l 曙 “ 又f 妒0 一后) ，k 刁线性j e 关j 渺0 七) ：0 s j s 一1 ，七研线性无关 所以， 痧0 一t ) ：o f n 一1 ，t z 是m 的一个r j e s z 基 定理2 9 中生成r ( r ) 中的重多分辨分析( m b a ) 证明：由定理1 ， 蛾0 一) ：o i n 一1 ，k z ) 是空间的一个r j e s z 基显然 村一) 满足： ( 1 ) ，g _ l c c 村巧c ； ( 2 ) ( x ) v 厂伍+ 2 一，) 盯一； ( 3 ) s ( x ) e m l 铮f ( 2 x ) e 。一。夥z 下面我们证明 ”) 满足：( 4 ) 望。巧= 三2 ( r ) ，n 。= o ) j c ，e z 设：v f ( x ) e z 2 ( 固，显然厂( ) z 2 ( 司令一= 印肋( 2 名( 2 ，x 胛) ，门刁 则：总一2 三2 ( r ) 显然厂( 彤u v , 所以：j 口：，使得( 形= 卅妒( 2 善一帕 一 因比f ( x ) 2 薹薹口：烈2 。胁叫) 。；乡石农。缃( 2 7 x 一j ，即 f ( x ) 鬯“其中b j 表示不大于x 的最大整数，胄( 形) = m 一眈j 反之，v 厂( x ) 型”_ 昔厂( 瑶) 鬯一j ，( ) e r 豫) 即m ) 上2 ( r ) 所以，旦“一。r ( r ) 令g ( 工) l 2 ( r ) ，且占( 功g n 。巧，即w ，_ ，z ，3 口厶，使得 1 2 华中科技大学硕士学位论文 g ( x ) ：n - d i 。谚( 2 i x - - n ) ：v - i 佩拟2 ，舨一f 一州) 月= o nj j 0 2 “( 2 7 n x - k )( t = n n + i ；纠= 厩? 。) 所以，w ，z ，3 6 f ，使得g ( ) = 6 挣( 2 。x ) ，即g ( 致) n _ j e z 因此：g e a r ) ；0 也即g ( z ) ；0 ，r l 一= o ) ，| z 。 令 ( x ) = 打妒( n x f ) ( o i n 1 ) ， 、，彤= 黝 2 彬( 2 x 一七) ：o f 一1 ，七z ) 定理2 1 0 村为m l 在 _ + ，空间的补子空间( 一七) ：0 i s n 一1 ，k z 是m 的一个r i e s z 萋 证明：令：s p a n 2 t p ( 2 i x + 哪，押z ，巧：赢2 j f f 巧2 ：；i i 面 由为一在巧。空问的补予空间，易证。为 ，在。+ 空间的补子空间 同定理2 7 ，易证 ( x - k ) ：0 茎i s n - 1 ，k z ) 是 f 的一个l n e s z 基 由定理2 7 2 9 ， 、王，= 【甄，妒n 】7 为对称多小波 命题1 如果函数厂( x ) 对称( 反对称) ，则g ( x ) = ，( 曲+ f ( x c ) 对称( 反对称) ， g ：( x ) 。f ( x ) 一f ( x c ) 反对称( 对称) 证明：当( 功对称时，不妨假设关于口对称，即f ( a 一工) = ，+ 工) 易验证：g l ( 口一x ) = g ，( 口一+ x )g ：( 口一一x ) - _ g ：( 口一+ x ) 当厂( 工) 反对称时，不妨假设关于口反对称，即f ( a x ) = 一f ( a + x ) 易验证：虽( 口一一x ) = 一g i ( 口一+ z )g ：( a - - x ) = g ： 一+ 刁 华中科技大学硕士学位论文 = ；l i z 口l _ 日_ _ _ 目_ _ l _ 日_ 目目_ = 定理2 1 1 s = 二l ：l 肛，当为偶数时，选取耻咖( 晶”m 当 n 为奇数时，选取s 。v = d _ f a g ( s 【，s f ，墨，1 ) ；则： m = 碱，硝，烈一】7 = s 。，萌，九一， 7 ，对称一反对称， 甲= 畦，i ，嵋一1 7 = s n ，y 。j 7 对稍。反对称 定理2 1 2 如果( f ) 是逼近阶为p 的短支撑双正交单小波的尺度函数，则。中， 的逼近阶是p 证明：z = e 妒。一砷七= 0 , 1 ，p 一1 一= ( k t ) 莩g ( m n ) 。磊“莓g 剧咖。一坛，七= o ，1 ，p 一1 所以：w m 的逼近阶是p 又。o 生成与。m 相同的重多分辨分析空间子序列 因此，m 与( f ) 的逼近阶相同 下面我们求对称一反对称多小波的两尺度序列 声。( z ) = 郦( 脓一f ) = 2 万一声( 2 服一2 i 一帕 = 2 荟吃蝻，一p “删 ( x ) = 西( 脓一o = 2 , - 万y g 矿( 2 u x 一2 i m = 2 弘k ，( h p 删 其中h 表示不大于石的最大整数，矗( 确= 牌一眈j 由以上两式，容易得到求解 以 凇和 g 眦的算法i ： 首先，排列行数如下( 最后一行行首有2 ( 一1 ) 个零1 ： t 4 华中科技大学硕士学位论文 a ；= = = ；= 自= = = = _ - - 目_ ；# = = _ e | _ _ _ _ i 鼍目_ _ 目e _ _ 4 _ 目目_ _ j _ _ 昌_ 自_ 自= ；自- 目_ - _ 畸 h dh i oo 玛 h oh i 0o0o 0h o 然后将行数从左到右依次划分成n x n 大小的分块矩阵，如果需要，右端补 零，峨即为第k 个分块矩阵 将以换成g 。，同理可求得瓯 然后，求对称一反对称多小波的两尺度矩阵序列由于& 显然正交，由推论2 2 即可求得h ：、g ： 同样的方法可构造其双正交基 根据多小波的支撑区间可将本文的算法可构造的二重多小波分成两类： 1 ) 当单小波的支撑区间是【o ，2 明，这时多小波的支撑区间是【o ，七十】 2 ) 当单小波的支撑区间是( o ，2 k + l 】，这是多小波的支撑区间是 o ，k + 1 1 最后就这两种情形分别给出计算实例 1 ) 由传统的h i 9 - 7 单小波( 图2 1 ) 构造二重对称一反对称多小波s a 9 7 ( 图2 2 ) 这时单小波的尺度函数和小波函数都对称，选取r = s ，u ；s i ，由推论2 2 即可 求得相应的二尺度序列 ( a ) b i 9 单小波妒、l l c ，( b ) b i t 单, 1 、波歹、矿 图2 1传统b i 9 7 单小波的尺度函数和小波函数 华中科技大学硕士学位论文 ( a 1 尺度函数，( b ) 小渡函数，、壬， ( c ) 尺度函数2 西( d ) 小波函数2 圣 图2 2s a 9 7 多小波的二重尺度函数、二重小波函数 2 ) 由双正交三次样条小波( 图2 3 ) 构造二重对称一反对称多小波s p m 3 ( i 蓦i2 4 ) 这时单小波的尺度函数对称，小波函数反对称，选取r = s 。，u = s 7 ，由推论2 2 即可求得相应的二尺度序列 图2 3 三次样条小波妒、吵 1 6 华中科技大学硕士学位论文 ( a ) 尺度函数2 m ( b ) 小波函数2 甲 图2 4 s p m 3 多小波的二重尺度函数、二重小波函数 = 玖样条小 反目可撼凝器如r ： j l ( z ) = 4 - 2 ( z 一2 + 3 z 一3 + 3 z 一+ z 一5 ) 0 g ( z ) 。酱( 3 + 9 z - 7 z - 2 “5 z - 3 + 4 5 扩4 + 7 z _ l 9 z 一一3 2 1 利用m a f l a t 6 1 的s y m b o l i cm a t h 工具箱编程可求得所构造的多小波s p m 3 的滤 波器如下： 一爿2 z 二嬲z z - 1 _ 扩z - 3 彳3 g c z ，= 鲁 6 一苌乏鬈乏孥? 矿，一芝笔乏嚣乏不z 。 2 5 小结 本章首先阐述了多小波的多分辨分析理论，接着给出了刻画多小波的各种性 质的等价条件，最后提出了一种由双正交单小波构造任意重对称一反对称多小波 的方法，并给出了构造实例所构造的多小波的光滑性、逼近阶都和相应的单小 1 7 华中科技大学硕士学位论文 波相同，但支撑集更短该构造算法简单，易于实现，为实际应用提供了丰富的 可选择的多小波基库 华中科技大学硕士学位论文 3 1 引言 3 对称一反对称多小波在信号滤波中的应用 小波分析在信号处理方面有着十分广泛的应用，特别是在信号滤波方面起着 重要的作用目前常用的小波函数是单小波，如d a u b e c h i e s 小波和样条小波 d a u b e c h i e s 小波是紧支撑的正交小波，它在理论研究和实际应用中都具有特别的 意义：能够避免因截断产生的误差，适合处理边界问题正交样条小波不是紧支 撑的，但它是对称( 反对称) 的，即具有线性相位或广义线性相位线性相位或广 义线性相位常用于滤波器的设计，它在信号滤波中起着重要的作用 多小波作为小波理论的新的拓展，由于能同时满足对称性、短支撑性、高逼近 阶和正交性，故具有比单小波更为广阔的前景但是多小波实际应用并不广泛 与单小波不同的是，多小波滤波时必须对输入数据进行预处理( 预滤波) ，这增加 了多小波应用的复杂性 3 2 离散多小波变换框架 对于一维信号加) e ，可以表示成溉( ，一七) ，七z 的线性组合，即 ，( f ) = c 飘( f 一) ，i l i z 将单小波中的m a l l a t 分解与重构算法推广到多小波，可以得到多小波的分解和羹 构算法 多小波分解： c 一- - , s z 日。c ： z d f _ l = 压q 。叫 t i t z 多小波重构： j ，t z j ，k z ( 3 1 ) ( 3 2 ) 华中科技大学硕士学位论文 c f = 互( 膏t k - 2 n c ：一+ g t k _ - ，n d ：一1( 3 _ 3 ) h e z 其中： c ：= 【c 厶，c ；一，c ：。 7 ，驯= 【叱，d 耻j ，d j 。】7 ， c 厶= 厂( f ) 2 。j 谚( 2 。卜，d 计j = 厂( ，) 2 j2 ( 2 ，卜) 西 由上述算法知道，如果已知初始尺度系数c ? ，就可以得到信号分解的所有的 尺度系数和小波系数与单小波不同的是，进m a l l a t 塔式算法的初始尺度系数是 矢量，信号一般是标量因此必须先对信号进行预滤波 咽一 圈( 曲多小波分解框架 圈( b ) 多小波重构框架 图3 1 多小波的分解和重构 户b 圈 华中科技大学硕士学位论文 多小波分解和重构见图3 1 ，2 山表示隔点采样，2 个表示隔点插零q ( = ) 即被 称为预滤波器，尸( z ) 为后滤波器 q ( z ) 、p ( z ) 分别表示矩阵序列q 、p 的z 变换，即 m _ q ( z ) = 吼z 一，q f ，q 。o ；p ( = ) - - e p i z 一，p ”p ，0 ( 3 4 ) n一，bd 图3 1 要满足完全重构条件，q ( z ) 、p ( z ) 必须满足完全重构条件： q ( z ) p ( z ) = ，( 3 5 ) 当p ( ：) = q 7 形) 时，就称q ( = ) 是正交预滤波器 f ( n ) 表示一维信号f ( t ) 的采样，则 z ( n ) = 【，( 朋) ，f ( r n + 1 ) ，f ( r n + r 一1 ) 】。z 7 在实际应用中，我们一般仅考虑，= 2 的情形，这时， x ( 0 ) = 【，( 0 ) ，( 1 ) 】7 ，z ( 1 ) = 【，( 2 ) ，厂( 3 ) 】7 ， 所以，预滤波过程表示为： c ：= 吼x ( n - k ) ( 3 6 ) k - i _ 后滤波过程表示为： 肖( 疗) = p 。c k t - r ( 3 7 ) 定义3 1 称预滤波器o ( z ) 是保持逼近阶r a 的，如果似f ) 的逼近阶不小于m ， 且离散多项式信号f ( n ) = 一，0 k r a ，经预滤波和一次离散多小波变换后，其 高通矩阵滤波器的输出全为零( v k ，k e z ，d f = o ) 由于多小波的最重要的性质是它能同时拥有正交性、对称性、短支撑性、高逼 近阶。我们在预滤波器的设计中期望多小波的这些性质尽可能地被保持，即希望 预滤波器是正交的、长度短的( 如果预滤波器有多个非零系数，则使用预滤波器有 2 l 华中科技大学硕士学位论文 厶 预滤波 l 乌 预滤波 霹口e o l 0 2 工0 2 l 0 le 骂 图3 2 图像的多小波分解流程图 第一d 多小波 分i 解 1 _ j 效地增加了多小波基的支撑) 、高逼近阶保持的( 至少保持逼近阶为1 ，这时常数信 号通过高通矩阵滤波器的输出为零) 与单小波相似，通过张量积的形式可以很容易的将一维离散多小波变换推广 到二维以及多维情形图3 2 表示图像的多小波分孵流程图图3 3 表示一幅图像 经过预滤波及3 层c l o ，2 】多小波分解后的情形，其中图a 是保持逼近阶为0 的预 滤波器的情形，图b 是保持逼近阶为l 的预滤波器的情形，图c 是保持逼近阶为2 的预滤波器的情形可以很明显的看出，图a 产生了频率混淆，不利于图像压缩、 图像去噪等的进一步处理 多小波将图像分解为4 ( 3 j + 1 ) 个子频带，单小波将图像分解为3 j + 1 个子频带， 其中j 为分解层数，多小波的频带分解更细，更有利于作进一步处理 单小波在进行信号处理时，可对采样数据直接进行分解和重构但是，多小波 在进行信号滤波时，需要对采样数据进行预处理，再对处理后的数据进行分解，与 华中科技大学硕士学位论文 此相对应，对重构后的数据还要进行后处理才能得到需要的结果这就是对信号 进行滤波时单小波与多小波的区别所在 图3 , 3 不同的预滤波器加c l o ，2 】多小波分解结果比较 3 3 对称一反对称多小波变换的快速算法 本节主要研究如下多小波系统的快速算法： 重数r = 2 ，在m ( f ) 、甲( r ) 、面( f ) 、荦( f ) 的各元素中，支撑集均为【o ，】，对称 中心是，n z + ，且识( r ) 、( f ) 、荔( r ) 、矿。( r ) 关于对称，戎( f ) 、妒2 ( f ) 、 五( ，) 、矿：( ，) 关于反对称显然$ ( 0 ) = 【1 ，o 】7 由定理2 3 易知： 日i = s 2 h 一i s 2 ，g i , = s 2 g - s 2 ，s 2 = d i a g ( 1 ，一1 ) ( 3 8 ) 在该类多小波系统中，常见的多小波有：最早