（应用数学专业论文）集值映射及其导数的一个定理.pdf

哈尔滨r 稃大学硕十学侍论文 摘要 非线性分析领域是一个蓬勃发展的大家族，在解决实际问题方面的能力 越来越突出。而集值分析又是非线性分析的重要组成部分。他在对策论，经 济数学，优化理论，控制论，生物数学等方面有广泛的应用，同时在数学本 身的拓扑学，泛函分析，变分学，逼近论，凸分析与非光滑分析，微分方程 与微分包含等学科中也有广泛应用。他的思想方法也已渗透到许多社会科学， 自然科学以及技术领域的研究中。现在关于集值分析的理论和应用的研究方 兴未艾，生机勃勃。 而在集值分析中，连续选择以及连续逼近理论，集值映射的微分理论都 是非常重要的组成部分。前者已成为现代数学许多领域的主要工具，而后者 在决策论，优化理论方面更是举足轻重。本文对最初发表于j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s a n d a p p l i c a t i o n s ) ) 上后来又被人重新修改的一个关于集 值映射选择存在性的定理进行了深入研究。其主要工作( 创新点) 如下： 首先，发现原定理缺少必要的条件，并用反例予以说明。补出了缺少的 条件，从而得到了一个新的定理。 再之，作者在较弱的条件下得到了原定理的结论。从而得到一个推广的 选择存在性定理。并给出了严格的证明。其中，作者给出了一套原创的证明 方法。 关键词：集值映射；连续选择；导数 哈尔滨丁程大学硕十学何论文 a b s t r a c t n o n l i n e a ra n a l y s i si saf l o u r i s h i n gf a m i l y , w h o s ep o w e ro fs o l v i n gp r a c t i c e p r o b l e mb e c o m em o r ep r o m i n e n t t h es e t v a l u e da n a l y s i s i sm a i np o r t i o no f n o n l i n e a ra n a l y s i s ，w h i c hi sw i d e l ya p p l i e dn o to n l yi nm u c ha r e as u c ha sg a m e t h e o r y , c o n t r o lt h e o r ya n db i o l o g i cm a t h e m a t i c s ，b u ta l s oi nm a n ym a t h e m a t i c d i s c i p l i n e sl i k et o p o l o g y , f u n c t i o n a la n a l y s i s ，v a r i a t i o n a lc a l c u l u s ，a p p r o x i m a t i o n t h e o r y , c o n v e xa n a l y s i sa n dn o n s m o o t ha n a l y s i s ，a n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n i t si d e aa n dm e t h o di n f i l t r a t ei n t ol o t so fr e s e a r c ho fs o c i a l s c i e n c e ，n a t u r a l s c i e n c ea n dt e c h n o l o g yf i e l d t h es u r v e yo ft h e o r ya n d a p p l i c a t i o no fs e t - v a l u e da n a l y s i si si nt h ea s c e n d a n t c o n t i n u o u ss e l e c t i o na n dc o n t i n u o u sa p p r o x i m a t i o nt h e o r ya n ds e t - v a l u e d m a p p i n gd i f f e r e n t i a lt h e o r y c o n s t i t u t em a j o rp a r to fs e t v a l u e da n a l y s i s t h e f o r m e rh a sb e c o m ep r i m a r yi n s t r u m e n ti nm a n ya r e ao fm o d e mm a t h e m a t i c s ，t h e l a t t e rh o l dt h eb a l a n c ei ng a m et h e o r ya n do p t i m i z a t i o nt h e o r y i nt h i sp a p e r , a t h e o r e mi ss t u d i e dt h o r o u g l l l y , w h i c hw a so r i g i n a l l yp u b l i s h e do nt h ej o u r n a lo f m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n sa n dm o d i f i e dl a t e r t h e s e a r c hi nt h ep a p e ri n c l u d e sa sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ea b s e n c eo fc o n d i t i o ni no r i g i n a lt h e o r e mi sf o u n d a ne x a m p l ei s p u tf o r w a r dt oo v e r t h r o wt h et h e o r e m an e we x i s t e n c et h e o r e mi s a r r i v e da f t e r t h ec o n d i t i o ni st e c o m p o s e d s e c o n d l y , a n o t h e rc h o i c ea n de x i s t e n c et h e o r yi s a c h i e v e du n d e rw e a k e r c o n d i t i o n ，w h i c hh a st h es a m er e s u l ta st h ef o r m e r ar i g o r o u sp r o o fi sp r o v i d e d ， i nw h i c has e to fp r o v em e t h o di se s t a b l i s h e d k e y w o o d s ：s e t - v a l u e dm a p p i n g ；c o n t i n o u ss e l e c t i o n ；d e r i v a t i v e s 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 日期：年月日 哈尔滨t 稃人学硕+ 学付论文 第1 章绪论 集值分析主要研究取值为集合的映射( 即集值映射) 的各种性质f 包括 代数性质和拓扑性质) ，是研究非光滑分析，微分包含等诸多非线性分析领 域的重要的、必不可少的工具。它是较泛函分析更为深入的- - f 新兴学科( 数 学分析、泛函分析主要研究单值映射的性质) 。它是现代应用数学的一个重 要分支，是当今数学的一个前沿研究课题。 1 9 5 4 年，k j a i t o w 和g d e b r e u 用集值映射的k a k u t a n i 不动点定理 证明了经济均衡存在性定理，从此，集值分析的研究引起了数学家们的广泛 关注。j p a u b i n 和h f r a n k o w s k a 在1 9 9 0 年所著( s e t v a l u e da n a l y s i s ) ) 一书的出版，是集值分析发展的一个重要里程碑，极大地推动了集值分析的 发展。特别是国际上颇具影响的学术杂志( s e t - v a l u e da n a l y s i s ) 于1 9 9 3 年 创刊，标志着集值分析的研究己成蓬勃发展之势，标志着集值分析形成了现 代数学中的一个专门研究领域。集值分析的发展推动了最优化理论由数量和 向量情形向集值情形发展。 集值分析的基本理论研究方面主要包括集值映射的广义凸性、集值映射 的连续性，集值映射的连续选择，集值映射的广义导数或次梯度，集值映射 的不动点定理及推广的h a h n b a n a c h 延拓定理等等。 从2 0 世纪7 0 年代后，人们相继地提出了各种广义凸函数( 伪凸、拟凸等) 。 从8 0 年代起到9 0 年代末，凸性理论研究继续得到蓬勃发展，这个方向上的 研究主要是如下三方面：一是继续完善伪凸和拟凸函数性质的研究；二是由 h a n s o n ，h a n s o n m o n d 分别提出的，后来被广泛称之为不变凸性和旷，p ) 一凸 性的研究，这些凸性实质上仍可看作是对凸、伪凸和拟凸性的另一种方向的 推广；三是被人们称为“类凸”方向上的研究。随着集值分析的进一步发展， 这些凸性也推广到了集值映射情形。数学家们利用集值映射的各种广义凸性 讨论集值最优化问题的解的有效性，弱有效性，b e n s o n 真有效性，g e o f f i r i o n 真有效性，超有效性，l a g r a n g i a n 乘子定理，最优化条件及对偶问题等问题， 哈尔滨丁稃大学硕十学位论文 取得了卓有成效的工作。 作为数量函数的连续性的推广，j p a u b i n 和i e k e l a n d 在( a p p l i e d n o n l i n e a ra n a l y s i s 一书中提出了集值映射的上半连续性( u p p e rs e m i c o n t i n u o u i t y l 和下半连续性( 1 0 w e rs e m i c o n t i n u o u i t y ) 和连续性概念， h i d a r t - - j b u r r u t y 讨论了集值映射上半连续和下半连续性的若干等价命 题。d t l u c 定义了集值映射的c - 上半连续、c 下半连续性和c 连续性 概念，利用集值映射的广义连续性及广义凸性可以讨论在最优化理论中占有 重要地位的集值平衡问题、集值变分不等式问题和集值映射的e k e l a n d 变分 原理解的存在性和解结构性质。 关于集值映射的连续选择理论，以m i c h a e l 连续选择定理为基础，正是 由于e m i c h a e l 在2 0 世纪5 0 年代的几篇文章，使连续选择理论的发展趋于 明朗，一直到现在，对于m i c h a e l 连续选择定理，依然没有太大的改进结果。 这更证明了该定理的里程碑式的意义。 关于集值映射的可微性或可导性研究，有两类方法，一种方法是利用锥 来定义，另一种是直接定义集值映射的各种次梯度概念。利用集值映射的广 义导数可以讨论集值最优化为题的最优化条件。 关于不动点理论的研究，是以b r o u w e r 不动点定理为基础的，而樊畿( f a n k y ) 不动点定理，k a k u t a n i 不动点定理，t y c h o n o f f 不动点定理，s c h a u d e r 不动点定理都是b r o u w e r 不动点定理的推广。但它们又都是等价的，特别是 与樊畿不等式和e k e l a n d 变分原理等价，后两者在现代非线性分析研究和应 用中比不动点定理更有效。值得骄傲的是樊畿是在国际上享有盛誉的华人数 学家。 集值映射的连续选择问题，在控制论，优化，以及经济数学中应用甚广， 自从m i c h a e l 连续选择定理问世以后，关于连续选择的文章就不断出现，解 决各种各样的问题。见参考文献【1 】【2 删5 1 。 关于集值映射的导数问题也是集值研究中的的一个有意义的方向，它是 解决最优化问题的有效工具。近几年关于集值映射的导数问题的研究不断见 2 哈尔滨丁稗大导f 磺十学位论文 诸各种期刊。见参考文献7 l 【8 1 1 9 1 1 “。 在参考文献【1 】中，作者把集值映射的连续选择与集值映射的微分理论结 合起来，给出关于集值映射及其导数的连续选择的。个定理。他的想法无疑 是新奇的。但是，仔细研究定理以及定理的证明发现，定理的条件不足以导 出结论( 本文用反例说明了这一点。详见参考文献1 1 1 ) 。在参考文酬2 】中，文 章作者对文献【1 】继续讨论，但是遗憾的是，她引入的条件相比较参考文献【1 】 更显多余。而在证明中更是出现了某些错误，最明显的一处是：在证明中出 现了一个有收敛子列的点列，而作者“不妨设收敛子列为其本身”，这小小 的一个假设在整个结论的证明中十分重要，但是仔细研究发现这样的假设在 定理的证明中是不允许的( 详见参考文献1 2 1 ) 。 本文中我们将对文献【1 】中提出的定理进行比较深入的讨论，作者补出了 文献1 1 1 中所缺少的条件，接着又削减了个关键条件。从而使这个新奇的定 理更完美。而在定理的证明中，作者引入了自己的三个证明。这三个证明来 源于作者的直觉，因为得到他们的时候是一气呵成，故作者把他们几乎没作 任何改变放在文章中。 3 哈尔滨t 稃大学硕十宁何论文 第2 章集值映射基础 2 1 集的极限 2 1 1 拓扑空间中集网的收敛性 设x 为拓扑空间，p ( x ) 表示x 的幂集，即是x 的所有子集构成的族， p 。( x ) = p ( x ) 一侈 。 定义2 1 1 1 ：设d 为非空集，“2 ”是d 上的一个序结构，如果( d ，2 ) 满 足： ( i ) v n d n2 n ： ( i i ) 若l i t 苫m ，m 芑，玎，m ，f e d ，贝0 珂2 f ； ( i i i ) v n ，m d ，3 l e d 使得z 行，f2 m 。 则称( d ，z ) 是一个定向集。常简记为d 定义2 1 1 2 ：d 是一个定向集，z 是一个集合，每个从d 到j 的映 射称为xe p 的- - + m ，记为仁。，n e d ；每个从d 到p ( x ) 的映射称为z 得集 网，记为臼，n d a 定义2 1 1 3 ： 设仁。，l d 为x 中的网，x e x 。 若对x 的每个邻域( ，| ，l d 使得v m e d ，m 芑珂毗，e d ，则称工为 b 。，n e d 的一个极限点。 若对x 的每个邻域和锄e d ，如d ，m = ，l 使橄。e d ，则称x 为 扛，n e d j 的一个聚点。 定义2 1 1 4 ：设臼。，l d ) 为x 的一个集网，则： 点z x 称为臼，n d 的极限点是指：对x 的每个邻域u ，3 n g d 使得 v m d ，m 皂n 日 爿。n u 妒； 点石工称为臼，厅d 的聚点是指：对j 的每个邻域u 和y n d ， | ，”d ，m 芑n _ l l , l 。n u 驴； 称集l i m i n f a ；仁x k 为臼。，n d 】的极限点 为臼。，胛d ) 的下极限； 称集l j m s u p 爿。；仁x 卜为臼，n d 】的聚点 为臼。，n d ) 的上极限； 4 哈尔溟i 样大学硕十学 市论文 若l i r a i n f l i r as u p a a ，则称a 为臼，l d j 的极限，或称网 臼。，厅d 收敛于4 ，记为l i m 4 一a 。此时又称饥，厅d 收敛。 命题2 1 1 1 ：设忸。，n d 为x 的集网。则： ( 1 ) t i m s u p , 4 - n ( u a ) ( 2 ) l i r a i n f a - n ( u 以) ，其中h 表示d 的任意共尾子集( 即 _ 创 v n d ，如h ，t n 苫n ) 。 证明：( 1 ) v x o e l l m s u p 厶，则对得每个邻域u 和v n e d ， h d 且m 2 玎，使得以n u - 妒，所以( u a ) n u 一妒，即( u 4 ) 由 d 的任意性知道n ( u 4 ) 。反之，v n ( u 4 ) ，则 id_h_ed v n d ，( u 4 ) 。 所以，对的每个邻域u ，t u 4 ) n v 一声。故弘2 n , u n 以妒，即 l i m s u p 4 o ( 2 ) 。i e l i r a i n f , 1 ，则对得每个邻域u ，勤o d 使得对 h d ，n 芑n 。，有a n u - 驴。现设h 为d 的任意共尾子集，则对 d ，弘h ，m2 n o 使得以n u - 妒，从而( u 4 ) n u 一。所以， _ e h ( u 4 ) ，故而n ( u 4 ) 。反之，若隹l h i n f 4 ，则有的一个邻域u 。， m e ht _ 朗 使得d ，| m 。d ，m 苫n , a nn u o = 妒。记日o - ，l 。h d c d ，n h o 为 d 的共尾子集，且满足( u 厶) n v 。；。所以，隹( u 以) 。证毕。 _h_酬 推论2 1 1 1 ：设“，n d j 为x 的集网，则l i r a i n f a 与l i r a s u p 为x 的 闭子集。 证明：这是命题2 1 1 1 的直接推论。 推论2 1 1 2 ：设臼。，n d ) 为z 的一个集网，则l i m i n f 石= l i m i n f a ，且 l i m s u p a 。= l i r a s u p a 。 证明：这个推论也是命题2 1 1 1 的直接推论。只是要注意，对d 的任一 s 哈尔滨t 剧大学硕十学位论文 子集d ，有d i 。d i 。事实上，右包含左显然成立，又左边为包含一。的 _ d _ 印 闭集当然也包含4 ，有m d7 的任意性知道左包含右。证毕。 2 1 2 度量空间中集列的收敛性 现设皤，d ) 为度量空间，a c x ，记 d o ) 。d o ，爿) 。唔a ( x ，y ) 为石到a 的距离。并记d g ，妒) 一+ m 。 对v 0 ，记 口( 爿，) 一b 。c a ) a 仁x p ，爿) ce j 称为a 的e 一开邻域。或称为a 的一开球。记 c ( a ，) = c 。o ) - 仁x p o ，一) j 称为a 的e 一闭邻域。或称为a 的一闭球。若a 为单点集时，则口，e ) 与 c ( a ，) 叶分别称为a 的开一球，a 的闭一球。有时也用b ( a ，f ) 表示闭球。 设“，n = 饥) 。为( x ，d ) 中的集列，当然也是集网，所以定义 2 , 1 1 3 和2 1 1 4 对“，以 也适用，并有如下结论： 命题2 1 2 1 ：，设臼。k 为( x ，d ) 中的集列。则： 点z z 为臼。k 的极限点一! i m d ( x ，a 。) 一0 ； 点工x 为臼。k 的聚点l i m i n f d ( x ，以) 一0 肺；n f a - z x i 罂d ( z ，爿。) - o ) ； - 抽s u r 4 - z x i 粤士r d 扛，爿。) - o ) ； 证明：( 1 ) 设x 为臼k 的极限点，则 v 0 ，a n ，协) ln ，b ( x ，s ) n 4 驴 故砂爿。使得a ( x ，y ) n ，d ( x ，a ) n ，口0 ，) n a h 一妒 & 3 y a u d ( x ，y ) e 。所以，a ( x a ) 0 ，v k e n ，勤i2 t ，d ( x ，4 ) 。 故事4 ，d ( y ，工) c 即y b ( x ，) ，所b ( x ，e ) n a 。- 驴，即工为“k 的 聚点。 至于( 3 ) ( 4 ) 分别由( 1 ) ，( 2 ) 直接可知，这里不再赘述。证毕。 命题2 1 2 2 ：设臼。) 知为( x ，d ) 的集列，则： ( 1 ) l i m s u p a n u 4 - n n u b ( a ，, ) - n n u q a ，s ) ； 1 f ，on - i m 日 ，on - 1 _ ( 2 ) l i m i n f a - n u n 口( 4 ，s ) - n u n q a ，e ) 。 证明：( 1 ) l i m s u p & - n u 4 ， - - 】_ 1 _ 由命题2 1 1 1 的( 1 ) 直接得到。现设 z e n u a ，贝, 1 v n e n ，有x u 4 ，所以v s ，0 , b ( x ，) n ( u 4 ) - 妒，即 - 1 n 砂u 4 ，s , t d ( x ，y ) 亦即 勤之n ，y a m ，d ( x ，y ) 0 ，3 n o u _ n ，v m ，d ( x ，以) 0 8 哈尔浜1 枵大学碗十，何论文 及子列协，j 使得 b 0 0 ，e ) n d 一妒，e n 取u 0 满足x oe u 。cb ( x o ，s ) ，则我们可得： u 。n ( 1 i m s u p 见) = 妒 因为对”m ，有 见，一4 ：一一爿牙4 对某个q ， 所以，见，为臼：m - 1 ) 的子列，a u n ( 1 i r a s u p a _ ：”) 一妒。 由 l 。的构造，我们知道爿一一岔。，所以有： un ( 1 i m s u p a _ ；1 ) - un ( t i ms u p 4 p ”l1 ) y d 。一4 ”一爿2 对某个以oz 历) ，所以 d l 。为臼j “ ，。的子列， 故有： l i m s u p dcl i r a s u p a _ ；“cxn u ： 这与e u 。矛盾。故知慨) 收敛。证毕。 2 2 集值映射的概念 集值映射概念的形成，始于2 0 世纪的前3 0 年，p a i n l e v e ，h a u s d o r f f , b o u l i g a n d ，k w i a t k o w s k i 等学者逐步认识到集值映射的必要性和重要性。 k w i a t k o w s k i 在他的拓扑著作中正式建立了集值映射的概念。作为工具，集 值映射的理论在控制论，优化理论，数理经济等许多领域起着越来越重要的 作用，日益受到人们的关注。 本节引入集值映射的概念，给出相关的例子，讨论集值映射的基本性质， 它们是集值分析的基础。 2 2 1 集值映射的概念 定义2 1 1 ：设x ，y 是两个非空集合，p o t ) 为y 的幂集。称映射 f ：x p ( y ) 为从x 到】，的一个集值映射。v x x ，f 0 ) 称为f 在石点的 值或像。d o m ( f ) - x x l f ( x ) t 妒) 称为f 的定义域。i i i l ( f ) u ，( x ) k x ) 称 为f 的值域，又记6 唧 ( ，) - ( z ，y ) e x y i y e f ( x ) ) 称为f 的图像。 o 哈尔滨t 稚，、学硕十学位论文 若坛j ，f o ) 一妒，即d o m ( f ) 一x ，则称f 是严格的。本文中出现的集 值映射在无特殊说明的情况下都是严格的。记为f ：x p 。( y ) 。 定义2 z2 ： 设f ：j 一风口) 。( 1 ) 若v x e x ，f ( x ) 为闭( 凸，有界， 紧等) 集，则称f 为闭值( 凸值，有界值，紧值等) 映射。( 2 ) 若g r a p h ( f ) 为 闭( 凸，闭凸等) 集，则称f 是闭( 凸，闭凸等) 映射。 定理2 2 1 ：设x ，y 为拓扑空间，f ：x p ( r ) 。若f 是闭映射，则f 是闭值映射。 证明：v x e x ，设y e f ( x ) ，令u x v 为( z ，y ) 的任意一个邻域，则v 为y 的一个邻域，故有v n f ( x ) - 妒。所以x v ) f q g r a p h ( f ) 一妒，又由于u x v 的 任意性，故( x ，y ) g r a p h ( f ) 。由于g r a p h ( f ) 为闭的，知( z ，y ) e g r a p h ( f ) ，所以， 有y e f ( x ) 。故f ( x ) 为闭集。证毕。 一般的，上述定理的逆不成立。 例：设x y - r ，而f ：x 一风) 定义为： 即，- 端，。淼 则f 为闭值映射，但g r a p h ( f ) 不是闭集，如( 2 ，1 ) 删( f ) ，但是， ( 4 2 ，1 ) q e g r a p h ( f ) ，故f 不是闭的。 2 3 集值映射的连续性 众所周知，如果x ，y 是拓扑空间，：x 一1 ，使单值映射，则，在点连 续，等价于以下两条陈述之一： ( a ) 对，“) 的任何邻域y ，存在x o 的邻域u ，使，( u ) c v ； ( b ) 对，( ) 的任何邻域y ，存在的邻域【厂，使得对任何的x u 有 y ( x ) n v 一。 而对于集值映射f ：z 一，( y ) ，矗e x ，上述两种陈述变成如下形式： ( a ) f ( x 。) 的任何邻域( f ( x 。) ) ，存- ： e x o 的邻域( ) ，使得： ，( ( ) ) cn ( f ( x 。) ) 注：a e x ，f ：x 一岛( y ) 。则f ( 一) 一u f 扛) 哈尔滨t 稃大学硕十宁位论文 ( b ) 对任何y f ( ) 及y 的任何邻域( y ) ，存在x 0 的邻域 ，o 。) ，使对 任何x e n ( x o ) ，有： f ( x ) n n ( y ) 一妒 对于单值映射，( a ) ( b ) 是等价的，但对于集值映射，( a ) ( b ) 不再等 价了。 例：设f ：r r 为： 删骷，。二 则在0 点f 满足( a ) 但不满足( b ) 。 若令：f ：r r 为： 删- ，掣 则在0 点f 满足( b ) 但不满足( a ) 。 证明：对第一个结论：在z o 点，对只( o ) “一1 ，1 的任何邻域正一l 1 d ， 取0 点的邻域( o ) - ( 一1 ，2 ) ，则对慨( 一l 2 ) ，只o ) 或为 0 ) ，或为 一l i 】，不 论哪种情况，均有 f ( x ) c d l 1 ) 从而 只( ( 一1 ，2 ) ) cj v 一1 1 d 可见，f 在0 点满足( a ) 。 下证e 在0 点不满足( b ) 。 事实上，取凡- ：t ( 。) - 一l l 】a ，而( 坩- ( ：，是y 。- 三2 的邻域。对。 点的任何邻域( o ) ，存在”，s i 二| v ( o ) ，而 ，( ) n ( ：) 。 n ( ；，；) 一妒z q* 对第二个结论： 一0 ，则对任意的0 的邻域( o ) ，取定义域中的0 的 邻域为( - l 1 ) ，则对魄( 一1 ，1 ) ，如果x o ，则 o ) n ( o ) ，如果z 一0 ，则 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 f ( x ) a n ( o ) f f i - 1 , 1 - n ( o ) _ d 故只在o 点满足( b ) 。 下证在o 点不满足( a ) 事实上，取0 点的邻域( - ，则对任意的定义域中的0 的邻域( o ) ， 总存在z e n ( x ) j h 一0 ，使得，( z ) “一1 ，1 隹( 一，- ) 1 ，于是f - 在0 点不满足( a ) 。 由于对集值映射( a ) ( b ) 不再等价，我们称满足条件( a ) 的集值映 为：在点上半连续，称满足条件( b ) 的集值映射为：在x o 点下半连续， 称同时满足两个条件的集值映射为：在矗点连续。 定义2 3 1 ： 设置，y 为拓扑空间，f ：x 一风( y ) 是集值映射。x o e x 。 如果对f ( x o ) 的任何邻域( ，( ) ) 总存在的领域n ( x 。) ，使得：对任何 x e n ( x 。) ，都有 f ( x ) c n ( f “) ) 则称f 在点上半连续( u s c ) 。如果f 在x 的每一点都上半连续( u s c ) ， 则称f 在x 上上半连续( u s e ) 。 定义2 3 2 ：设x ，y 是拓扑空间，：工一凡( d 是集值映射。x o e x 。 如果对于任意的y f o 。) 及y 的任何邻域( y ) ，存在x 。的邻域n ( x 。) ，使得， 对任意的x e n ( x o ) ，都有 f o ) n r o ) 一声 则称f 在x o 点下半连续( s c ) 。如果f 在x 的每一点下半连续( b c ) ，则称 f 在z 上下半连续( s c ) 。 定义2 3 3 ：设x ，y 是拓扑空间，f ：工一p 。( y ) 是集值映射，z 。e x 。如 果，在点及上半连续又下半连续，则称f 在点连续。若f 在z 的每一点 连续，则称f 在x 上连续。 在集值映射者以领域中，上述连续性还有许多其它的表述的形式，最常 用的是用“网”以及“集网”的语言描述的。这是某些空间( 欧式空间) 中用序 列刻画连续性的一种推广。 1 2 哈尔滨 干罕大学硕十学何论文 定理2 3 1 ：设x ，y 为拓扑空间，f ：x p o ( y ) ，则下列条件等价： ( 1 ) f 在x o x 处上半连续。 ( 2 ) 对x 中每个收敛于的网 x ，n e d ) ，以及对，中每个包含f 瓴) 的 开集u ，勘。d ，e d ， 2 ，f 以) c u 。 证明：( 1 ) 一( 2 ) ：对y 中每个包含v ( x o ) 的开集u ，由于f 在x o x 处上 半连续，故存在z 中的x o 的邻域v ，使得v x e v ，f ( x ) c u 。对z 中每个收敛 于的网 t ，n e d ) ，| ，l 。e d 使得v n e d ，n2 i i 0 有e va 于是有f ( 一) c u 。 于是( 1 ) 一( 2 ) 证毕。 ( 2 ) 一0 ) ：为了证明( 2 ) 一( 1 ) 只需证明，( 1 ) 一一( 2 ) ( ”，”为逻辑学里的“否 定”，这利用到了命题逻辑命题等价，本证明可以看成反证法的运用) 。设f 在x o e x 处不上半连续，则存在v ( x o ) 的邻域u ，对任意的x o 的邻域v ， j y ，f ( x ，) n u 一妒。记d 为的所有邻域关于包含关系做成的定向集，则 对每个的邻域y 取即e v ，s ，( 却) n 旷一妒。从而得到x 中网 却，v e d ) ， 显然它收敛于石。，但是f ( ) 仁u 。这与( 2 ) 正好矛盾。故本结论证毕a 定理2 3 2 ：设x ，y 为拓扑空间，f ：x p 。，则下列条件等价： ( 1 ) f 在x 处下半连续。 ( 2 ) 对每个x 中的收敛于工。的网k ，n e d ，对砂f 瓴) 以及任意的 ) ，的邻域u ，总存在n o d ，使得f f y v n e d ，n ，l o 有f 化) f l u - 。 证明：根据下半连续的定义，仿照定理2 3 2 容易证明这个结论，略。 需要说明的是，对于上半连续和下半连续，特别是下半连续还有其他许 多等价的叙述形式，这里不再多述。 定理2 3 3 ：设x 为拓扑空间，】，为度量空间，则映射f ：x 一凡( y ) 下 半连续当且仅当x ，v ，0 和v y f ) ，存在x 。的邻域c 厂使得： y n 皿( ，o ) ) 卜u j 证明：设f 为垭映射，即对v x 。e x ，f 在x o 点下半连续。由定义，知 道：对助e f ( x ) ，v e ，0 ，存在：c o 的邻域( ，使得v i u ，有 f 0 ) n b ( y ，e ) ， 1 3 哈尔滨t 稃大学硕十学f ，沦文 所以，3 y e f ( x ) ，s t d ( y ，y ) t ，从而知d ( y ，f o ) ) te ，即 y e b ( f 0 ) e ) 由x e u 的任意性知定理中的条件成立。 反之，设定理中的条件成立。v t e x ，v y e f ( x ) ，设y 为y 的任一邻域， 则j s ，o ，县( y ，) c v 。由条件知存在矗的邻域u ，使得y x e u ，有 y e b ( f 0 ) ，) 所以，3 y e f ( x ) ，s a d l y ，y ) e ，即f ( x ) n 口( y ，p ) _ 。故 ，o ) n v 一妒 由定义知f 为b c 映射，证毕。 为了下一节证明对本论文至关重要的m i c h a e l 连续选择定理，我们再介绍 一种连续性，它由李雷和吴从忻在1 9 9 7 年为了推广m i c h a e l 连续选择定理引 入的。 定义2 3 4 ：设x ，y 为拓扑空间，f ：z 一风( y ) 称为在点e x 是拟下半 连续的( p l s c ) ，若对的任一邻域矿，总存在点x 矿，使得v y e f ( x ) 和y 的 每个邻域u ，存在x o 的邻域【，c v 满足 f ( x ) n u _ ，垤玑 若f 在x 上点点p l s c ，则称f 为p l s c 的。 。 命题2 3 1 ：设集值映射f ：z 一岛) ，x 。e x ：则下列条件等价。 ( 1 ) f 在x o 点p l s c ： ( 2 ) 对x 0 的每个邻域v ，存在x t y 使得对y 的任一开集u ，只要 f ( x ) n u ，矿，就存在x o 的邻域w c v 满足 f ( x ) o z ，疵 v x e w 当】，为度量空间时，与下列条件等价： ( 3 ) 对的每个邻域矿，存在z e v 使得对任意e ，0 和v y f ( x ) 存在的邻域u ，c v 满足 y e n b ( v ( 圳z e u ，) 证明：( 1 ) 一( 2 ) ：设f 在点p l s c ，由定义知：玉7 e v 。现对y 的任一 1 4 哈尔滨1 稃人7 硕十宁位论文 开集u ，若f ( x ) n u 一妒，则匆e f ( x7 ) ，u 为y 的邻域。用定义取w u 7 ，则 w 为的邻域且矽，f ( x ) n u 一。 ( 2 ) 一( 1 ) ：设f 在满足条件，这是对每个y e f ( x ) 和y 的每个邻域厂， 取u c u 为y 的开邻域，则u l n f ( x ) 一妒。取的邻域u y - w ，则 v x e w ，f 0 ) n u ) f ( x ) n u 一妒 故f 在点p l s c 。 ( 1 ) 一( 3 ) ：设f 在点p l s c ，记d 为y 中的度量。由( 1 ) ，对的邻域矿 存在x 7 y ，v y f ( x ) 和v ，0 ，雨- s , c v ) - ：e r l d ( y ，z ) t ) 为y 的邻域，从 而有的邻域u ，c v 满足 v x e 玑，f o ) n 只o ，) 一庐 即 玉e f o ) ，a 0 ，z ) f 故a ( y ，f o ) ) d o ，z ) t 。所以v i 【厂，y 只( ，o ) ) ，即 y e n b , ( f ( x ) ) l x q ) ( 3 ) 一( 1 ) ：设( 3 ) 成立，v y e f ( x ) ，u 为y 的任一邻域，则j ，0 ，使 e ( y ) c u ，故有x o 的邻域uc v 使得 y n 只( ，o ) ) 卜e u ，) 所以h 【，圭f ( z ) ，使得z e a , ( y ) ，即有 f ( x ) n u 3 f ( x ) n b ( y ) 一 故知f 在点p l s c 。证毕。 命题2 3 2 ：若f ：x p 。( y ) 在x 。, 点l s c ，则在x o 点p l s c 。 证明：显然成立。 定义2 3 5 ：设z ，y 为度量空间，f ：x p 0 叮) 。我们说f 为局部l i p s c h i t z 映射，若慨。x ，存e x o 的邻域u 记常数l ，0 ( 称为l i p s c h i t z 常数) 使得 v 笨u ，f ( x ) c 口( f ( x ) ，l d ( x ，z ) ) 定义2 3 6 ：设x ，y 乌度量空间，f ：x p 。( y ) 。我们说f 在而x 为局 部l i p s c h i t z 的，若存在的邻域u 及常数工，0 ，使得： 哈尔滨丁稃大学硕十学位论文 v x i ，te u ：f ( x 。) cb ( f ( x 2 ) ，l d ( x , ，x 2 ) ) 定义2 3 7 ：设x ，1 ，为度量空间，f ：x 一风) 。称f 为l i p s c h i t z 映射， 若存在常数l ，0 使得： 。 f ( x ) e b ( f ( x7 ) ，l a ( x ，z ) ) ，坛，x x 定义2 3 8 ：设x ，y 为度量空间，f ：x 一岛( y ) 。称f 在瓴，y 。) e g r a p h ( f ) 周围是伪一l i p s c h i t z 的，若a l ，0 及的邻域u ，y o 得邻域v ，使得 f “) n vc b ( fx 2 ) ，工d “，z ：”，v 毛，j ：e u 若把上述定义中的开球b 换成闭球c 来定义，则两种定义是等价的。 命题2 3 3 ：设x ，y 为度量空间，f ：x p 0 0 ) 。若f 在处是局部 l i p s c h i t z 的，则f 在的某个邻域u 内处处下半连续。 证明：由局部l i p s c h i t z 定义，知道存在k 的邻域u 及常数l ，0 ，使得： 慨。，e u ：f “) cb ( f o ：) ，埘“，z ：) ) 设x e u 任意，往证f 于x 处下半连续：对w e f ( x ) ，任意的y 的邻域v ， j f ，0 ，使得b ( y ，) c v ，而对于，存在6 ，0 ，使得l 6 o ，3 u p + 口( o ，) ，a h ( o ，a 】，使得 当且仅当v n nu ( ( k z ) + 口( o ，s ) ) 同时易得：若z 加f ( k ) ，则t a x ) - x 。所以，v x x ，瓦o ) 一x 。我1 门 又记“) - 。 定义2 5 1 2 ：设x 为赋范空间，k c x ，s i 。 ( 1 ) k 在x 点的中间锥或相邻切锥露0 ) 定义为： 粕，。h 牌竿- 0 ) ( 2 ) k 在x 点的c l a r k e 切锥g ( x ) 定义为 一h ：芋，华；0 若露仁) 一夏o ) ，则称k 在x 点可导。若巴0 ) 一瓦似) ，则称k 在x 点是 可以验证，q o ) 露扛) 也都为闭锥，且有 c 。o ) c - 露0 ) c 乙o ) c s 。o ) 并且k 与k 的这些切锥相重合。另外，x e i n t ( k ) ，则g 0 ) 一x 。 露，q o ) 的一些特征： v 露o ) 当且仅当v h o + ，t v 使得v n ，z + h v k 当且仅当v o ，勤 0 ，使v h ( 0 ，口】，a u - 曰( o ，) 满足z + h u e k 当且仅当v n un ( _ 1 僻一z ) + b ( o ，e ” 当且仅当y e m i n fk - x 爿 当且仅当v h 。一o + ，m 7 x ，秒一v ，使得y n ，