（运筹学与控制论专业论文）线性模型中参数估计的可容许性.pdf

电子科技大学硕士学位论文 中文摘要 在现实生活和科学研究中， 遇到很多基本上都是线性模型的数据， 本文 严格地定义了许多文献都考虑的一般g a u s s - m a r k a v 模型 简称为g m模型) x,8 十 二0 , de=e。 考察g m模型均值p或1 0的线性函数s p的估计， 可容许性 是这些估计的最基本的要求， 因此本文研究了g m模型中一般线性模型及带 不完全椭球约束的一般线性模型中的参数估计的容许性。 在线性模型 耳 二 x 刀 十 乓 , i = i , 2 ， 一 ， 雌 e ( y ; 一 e y , ) ( 耳 一 e 助 = q i x j 和二 次 损失函 数下， 基于 文献 e ( e ) = 0 , v a r ( e ; ) = o r 2 v 1 . 3 的 有关的结论， 给出了l y 在齐次线性估计类中 和l y + 在非齐次线性估 计类中是卿的可容许估计的充分必要条件， 从而推广了 文献 1 2 1 中的结果。 又把这一结果推广到多元线性模型中的泛容许性。 对于带有不完全椭球约束 的线性模型在二次损失函数下的可容许性有一个独特的现象: 非齐次线性估 计类中的可容许性， 对于不完全椭球约束的中心具有稳键性， 而齐次线性估 计类中的可容许性不具有此种性质。 进一步， 本文把这一结论推广到带有不 完全椭球约束的多指标线性模型在二次损失函数下的可容许性。 最后， 本文 讨论了在随机左删失数据模型中， f i s h e r 信息量表示的问题，得到了比较满 意的结果。 关 键 词:线性模型，可容许性，二次损失函数，删失数据， f i s h e r 信 息量。 电子科技大学硕士学位论文 abs t r ac t i n r e a l l i f e a n d s c i e n c e r e s e a r c h , w e c a n m e e t w i t h a l o t o f d a t a w h i c h a r e c o i n c i d e d w i t h l i n e a r m o d e l . t h i s p a p e r d e f i n e s s t r i c t l y g e n e r a l g a u s s - ma r k o v m o d e l d i s c u s s e d i n m a n y p a p e r s ( a l s o w r i t t e n g - m m o d e l ) x 1 3 十 =o , dc c o n s i d i n g e s t i m a t e s o f g - m m o d e l ( o r l i n e a r f u n c t i o n a l s 刀 o f =y - p) ， a d m i s s i b i l i t y i s f i r s t l y r e q u i r e d i n t h e s e e s t i m a t e s . s o t h i s p a p e r d i s c u s s e s t h e a d m i s s i b i l i t y o f l i n e a r e s t i m a t o r s i n g e n e r a l l i n e a r m o d e l a n d g e n e r a l l i n e a r m o d e l v a r i e d i n a i n c o m p l e t e e l l i p s o i a o f t h e g - m mo d e l . i n t h e l i n e a r mo d e l 茸 二 x 刀 十 e , 1 = 1 , 2 , . . . , m , e ( y , 一 e y ) ( y j 一 e y j ) = o , i * j a n d u n d e r q u a d r a t i c e ( 6 j ) = 0 , v a r ( e ,) = a 2 v l o s s f u n c t i o n , b a s e d o n t h e r e s u l t s u n t h e p a p e r 1 3 1 , t h i s p a p e r p u t s f o r w a r d t h e s u ff i c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d it i o n s o f l y i n t h e c l a s s o f h o m o g e n o u s l i n e a r e s t i m a t o r s a n d l y + c i n t h e c l a s s o f n o n h o m g e n o u s l i n e a r e s t i m a t o r s f o r a l i n e a r e s t i m a t o r o f s 刀 t o b e a d m i s s i b l e , w h i c h g e n e r a l i z e s s o m e f i n d i n g s i n p a p e r 1 2 ) . t h e g e n e r a l a d m i s s i b i l i t y i n t h e m u l t i v a r i a t e r e g r e s s i o n m o d e l i s e x t e n d e d in t h e f o l l o w i n g . i n t h e l i n e a r m o d e l v a r i e d i n a i n c o m p l e t e e l l i p s o i d a l r e s t r i c t i o n a n d u n d e r q u a d r a t i c l o s s f u n c t i o n , t h e a d m i s s i b i l i t y h a s a n u n i q u e a n d i n t e r e s t i n g p h e n o m e n o n , w h i c h i s t h a t t h e a d m i s s i b i l i t y o f l i n e a r e s t i m a t o r a m o n g t h e c l a s s o f a l l l i n e a r e s t i m a t o r s i s i n d e p e n d e n t o n e l l i p s o i d a l c e n t e r , i n a w o r d , t h e a d m i s s i b i l i t y o f l i n e a r e s t i m a t o r a m o n g t h e c l a s s o f a l l l i n e a r e s t i m a t o r h a s r o b u s t n e s s , w h i l e , t h e a d m i s s i b i l i t y o f h o m o g e n e o u s l i n e a r e s t i m a t o r a m o n g i f 电子科技大学硕士学位论文 t h e c l a s s o f a l l h o m o g e n e o u s l i n e a r e s t i m a t o r s i s d e p e n d e n t o n e l l i p s o i d a l c e n t e r . t h i s p a p e r e x t e n d s t h i s r e s u l t t o a d m i s s i b i l i t y o f m u t i v a r i a t e l i n e a r m o d e l v a r i e d w i t h r e s p e c t t o a n i n c o m p l e t e e l l i p s o i d a l r e s t r i c t i o n u n d e r q u a d r a t i c l o s s f u n c t i o n .f i n a l l y , t h i s p a p e r d i s c u s s e s t h e e x p r e s s i o n o f f i s h e r i n f o r m a t i o n i n t h e r a n d o m l e ft c e n s o r s h i p d a t a m o d e l a n d g e t s s o m e g o o d r e s u l t s k e y w o r d s : l i n e a r m o d e l ; a d m i s s i b i l i t y ; q u a d r a t i c l o s s f u n c t i o n ; r a n d o m c e n s o r s h i p d a t a ; f i s h e r i n f o r m a t i o n i i i 电子科技大学硕士学位论文 主要符号表 a a?0 a?b a因b a0 s o 那， . c o v ( y ) d ( y )或v a r ( y ) y 一 ( a , e ) a a- p ( a ) t r ( a ) r a n k ( a ) i p , g 矩阵a的转置矩阵 矩阵a是非负定矩阵 即a 一 b _ 0 矩阵a和 b的张量积 矩阵a是正定矩阵 集合 .的生成向 量空间 向量y 的协方差矩阵 向量y 的方差矩阵 向量y 服从均值为a 方差为e 的分布 矩阵a的加号逆 ( m o o r e - p e n r o s e 广义逆) 矩阵a的减号广义逆 矩阵月的列向量生成的线性空间 矩阵a的迹 矩阵a的秩 n 阶单位矩阵 a的 投影矩阵， 即凡二 双a a r 才 表示1 - g，即g=1 一 g 独 创 性 声 明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。 据我所知， 除了 文中特别加以标注和致谢的地 方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签 名 : 青日期:/ 月2日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、 使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、 缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签 名 厂 教醉几 导师签名 日 期:) 碑 s年 / 月12 . 日 电子科技大学硕士学位论文 第一章引言 1 . 1 线性模型(4 1 ,14 3 3 在现实生活和科学研究中， 研究一个 ( 或一组) 变量与另一个 ( 或一组) 变量之间的关系，是非常重要的。而变量之间的关系有一种是非确定关系， 又叫统计相关关系。因变量 ( 或响应变量)y 与自 变量 或预测变量或预报 变量)x = ( x , ， 一 ， 瓜) r 之间的统计相关关系可 表示为y = p ( x . . . x , ) 十 ， 其 中ax i , . . . x k ) 是在给定x二 ( x， 二 ， x k ) i 二 ( x , ， 一 ， x , ) 的 条件下， 因变量3y 的 平 均值( 条 件数学期望) ， 即u ( x， 一 x x ) 二 e ( y i x 、 = x , . . , , x = x , ) 且r . ( x- - . x k ) 中 含 有 若 干 个 ( 比 如 说p 个) 未 知 参 数戏 ， 凡， 而: 为 随 机 误 差， 满 足e “ 二 0 0 特别，当f k ( x , , . . . x k ) 为 未 知参 数a , . . - /j ， 的 线 性函 数，即 a x , ， 一 x , ) 一 艺p ;f ; ( x , , ， , x , ) 时， 称因变量y 与自 变量x = ( x， 二 ， 戈) 之间 的统计相关关系为线性统计模型， 简称为线性模型。 这样，一个线性模型就 是因变量y 与自 变量x= ( 戈， ， 一 ， 戈) ， 之间的如下类型的一种统计相关关系， y 二 叉/ 2, f j ( x . . . . . x k ) + # 。 其中乓为 未 知 参 数， .f ( x , ， 一 ， x k ) 为x = ( x , ， 二 ， x i ) , 的某种己知函数 ( 不含未知参数) ，j = 1 , 2 , . . - , p, 为随机误差，满足 e s = 0 , d e = 叮 2 0 。 1 .2一般线性模型12 - s 3 如1 . 1 所述，线性模型就是如下类型的一种统计相关关系， : 一 全 几 (、 ， ，、 卜 ( 1 . 2 . 1 ) 其 中: 为 随 机 误差， 满 足e s = o , d s = c r 2 0 - j3 . . . 凡和护为 未 知 参 数1 刀 ( x 、 i . . . , x k ) 是 不 含 未 知 参 数的 关 于x = ( x , ， 一 ， 恙) 的 某 种己 知函 数 线性模型要解决的问题有两个: 一是未知参数的估计， 二是关于未知参 数的假设检验。为了解决这两个主要问题，必须进行试验 ( 或观测) ，以获 得必要的 数据， 假设 进行了。 次独立观测， 得到y 的。 个观测值y . . y， 则 第 1页 共 3 2页 电子科技大学硕士学位论文 它们必须满足 ( 1 . 2 . 1 )式，即应有 y , = 艺八 石 ( 毛 ， ， 凡 ) + 乓1 = 1 , 2 , . . ., 11 ( 1 . 2 . 2 ) 其中耳 是当戈= 凡 1 ， 一 ， 戈= 爪时， 因 变 量y 的 观测值， e ; 是 在 第i 次 观测中 所 产生的 随机误差，i = 1 , 2 ,， ， ，独 立， 且e c = o , d e = a o , i = 1 , 2 ， 一 ， 。 。 、1、!r 月:今 zr!llt 、li.!苦厂 八凡 2苦!1!，、 j一 声 凡心 戈:戈 21!、 工一 x 、! v门，:耳 2了11、 若记y = 其 中 x ,j = 天 ( x 11 1 ， 二气) ， ， 则上面的n 个方程 = 1 , 2 , 、 二 ， 11 ; 1 二 1 1 2 1 - - - 1 1 ( 即式 ( i 2 2) ) ，可以写成一个矩阵方程的形式 y 二 x,b + 8 其中随 机误差向 量 满足e s = 0 , d - = u 2 1 ( 1 . 2 . 3 ) ( l14) 人们通常称 ( 1 . 2 . 3 ) 和 ( 1 .2 . 4 ) 为线性模型或线性模型的数据形式或一般线 性模型，易见，一般线性模型就是 1 . 1 所述线性模型的数据表现形式，有人 称其为完全线性模型， 而称其原型 ( 1 . 1 所述的线性模型)为理论线性模型， 但是人们通常并不将理论线性模型与一般线性模型严格加以区别， 而统称它 们为线性模型。 定 “ 1.2.11 一 ” 地 ，称 模 “ y = xj 3 + s e 二0 , 刀 =e ( 1 . 2 . 5 ) 为线性统计模型，简称为线性模型，其中。 维向量y 称为观测向量，而称己 知 矩 阵x x ， 为 模 型 的 设 计 矩 阵 ，9 为p 维 未 知 参 数向 量 ， 二 为。 维 随 机 误 差 向 量， 其均 值为e c = 0 ， 协 方差阵d c = e 。 通常 假定e = a 2 不 ， 或e = 犷 v ， 或 其它 的假定 ， 其中。 z 0 , v 己 知 且v ? 0 。 特别 地， 当e = a 2 凡 ， 时 模型( 1 .2 .5 ) 称为g a u s s - m a r k o v 模型，当e = 护v时，模型 ( 1 . 2 . 5 )称为一般的 g a u s s 一 m a r k o v 模型。 更一般地，可将x理解为一个线性变换 ( 线性算子) ，而将y - 理解为对 称，非负定映射 ( 称为协差算子) ，换言之，有更一般的定义。 定义1 .2 .2 l 设( 0 万 ， 川 , p e 甲是一概率空间 族，y 是0 乃 一个向量 第 2页 共 3 2页 电子科技大学硕士学位论文 空间) 的一个可测变换( 随机元) ， 若存在线性子空间z c_ 5 5 及匀 分乃 的对称 非负定映射的集合匀使得 1 0 凡 y ，助e t 2 0 sp a n ky : p e t 卜 “ 3 0 c o v , ( y ) 。 。 ，知 甲 则称y 服从线性模型m( z , d ) 说 明 : 设 a p ) 是 一 概 率 空 间 ， 乃 是 带 有 内 积(. ， . ) 的 一 个向 量 空 间 ， 94 是 b 上的一个q 一 代数， 则称。峥乃的一个可测变换y( 即y 一 ( 2 ) s, ) 为乃 值 随机元。 若 存 在。 e s j ， 使 v a e s j ， 有e ( a , 对 = ( a , 岭 ， 则 称。 为 随 机 元 y 的 数 学 期望，记作e y = 二 。 若 存 在 乃 、乃的对 称 ，非 负 定映 射 艺，使得 d 从b e s?有 c o v ( a , 玲 , ( b , 力 ) = ( a , e b ) 则 称e 为 随 机 元y 的 协 方 差 算 子 ， 记 作 。v ( y ) = e 或d ( y ) = e ， 其中s5 -b 的映射e 是对称的，记作e = e ， 意指v a , b e s 都 有 ( a , y b ) = ( z a , b ) ， 而 s 5 -4 为 的 映 射 e 是 非 负 定 的 ， 记 作 e 0 , 意 指 v a e 力 都 有( a , e a 0 。 线性模型在数理统计中具有很重要的地位，它包含一系列统计模型， 如方差模型， 协方差模型， 方差分析模型， 线性回归模型等。 线性模型的研 究也为其它的统计技术， 如试验设计， 判别分析， 生物统计， 增长曲线分析， 多元分析，时间序列分析等提供了基本的理论工具。 1 . 3可容许性【2 - 4 ) a . w a l d 2 7 为了要把形形色色的统计问题归纳到一个统一的模式内， 于 2 0 世纪4 0 年代末， 创建了统计判决理论， 这个理论对现代统计的发展产生了 重大的影响， 极大地丰富和发展了统计推断理论， 并由此产生了许多新的研 究方向， 可容许性就是其中之一， 从实际的角度看， 它把统计问题的解看成 一种行动， 通过分析这种行动的后果损失， 使问题的提法及其接更能适 合特定的应用。 对线性模型而言， 最基本的问题之一是进行参数估计， 以便人们根据参 数估计的结果来进行统计分析， 而统计分析结果的好坏往往依赖于参数估计 的好坏， 尽管数理统计学者提出了参数的各种估计， 但是如何从统计判决的 角度来衡量这些估计的优良 性， 仍然是一个重要的研究课题， 参数估计的可 第 3页 共 3 2页 电 子科技大学硕十学位论文 容许性正是用来解决这类问题的重要的统计工具。 假定研究的问题是要估计某一随机元x的分布函数f ( x , 句中的参数o , 其参数空间为0， 为评价和比较采取的判决函数s 而产生的后果， 引进损失 函数l ( b , ,5 ) 和风险函数r(9,3)， 它们分别表示当参数为。 而采取的 判决为s 时， 所遭受的局部损失和平均损失， 两个判决函数的优劣比较全基于其风险 函 数， 称s -致优于s ， 若凡 l ( 9 , 8 ) 凡 l ( 8 , 句 , v 8 e 0， 且不等号至少 对某 个b p e o 成 立， 若不存在一 致优于s 的判决， 则 称8 是可容许的。 显 然可容许性是对所采取的 判决函 数最起码的 要求。 1 9 5 6 年， s t e i n 口 田 给出 在模型y - n ( ( 3 , 几 ) 及二次 损失il d - 川尸 下， 否定了当n 3 时， y 为刀 的 可容许估计这一猜想， 这个结果给了人们极大的震动， 从而可容许性问题引 起了统计学家的普遍关注， 这一重要的发现成为以后许多工作的起点( 见【 1 一 6 1 ) 1 . 4 g m模型中的参数估计(2 - 5 1 ,(4 3 1 定 义1 .4 . 1 4 1 在g m模型 下， 称s ,6( 为己 知的， x p 矩阵)是可 估的， 如果存在l y( 其中l 为。 x n 矩阵) 使得e ( l y ) = s ,6 对一切f6 e r 成立。 定 义1 .4 .2 1 称l y 是s /3 的g a u s s - m a r k o v 估计， 若 t o l y 是s p 的无偏估计; 2 0对s ,6 的任意的无偏估计14 1,v ,都有c o v ( l y ) 5 c o v ( m y ) o 定理1 .4 . 1 14 3 在g m模型 下，s ,6 可估的 充要条件是a i( s ) c 风 x ) 证明 由定义1 .4 . 1 知，s 刀 可估的充要条件是却使得对任意的/ 3 e r , e ( l y ) = s fl q l x ,8 = s , 3 y i ， 一 ， 式 ， ) ， 月 二 ( 对 ， ， 代 ， ， . . 砚 ) , i = 1 , 2 ， 一 ， m , a ， 二 ( 。 了 ， 一 ， 可) ， x 为n x p 阶已 知 矩 阵 ，声 = ( ,6几 二 ， ， 几) ， v ? 0 , 4 -, , j 3 为 未 知 参 数夕 称 为 这个模型的共同 均值。 胡飞芳 ( 1 2 在v 0 和二次损失讨论了刀的 线性估计 在线性估计类中的可容许性，本章对一般的v? 0 ，给出了共同均值的线性 组合s 刀 ( s 为， x p 阶矩阵)的线性估计在二次损失和矩阵损失下可容许性 的充分必要条件，从而推广了 1 2 的结果。 l h 一 式 x 十 凡 儿 十 1 ， 十 凡 今鸡 ， a 2 , 、 、， 人 为 ， x n 阶 矩 阵 l i = a ,y + a 2 y 2 + 十 式 珠 + c : a , a 2 , . . ., a ,为 ， 、 确矩 阵 ， c 为 ， x ， 列 向 量 取损失函数为l ( d , s j 3 ) 二 ( d - s j 3 ) ( d - s j t ) ，称 r ( d , s 8 ; 时，2, 6 2 嵘 = e l ( d , s j 3 ) = e ( d 一 s ,6 ) ( d 一 s /3 ) 为s 刀的估计d 的风险函数，由简单的计算可知 r ( 艺a ;y ; s j3 对， 心 ， 嵘 卜艺a tra ;v a ; 十 il l( 艺a ;x 一 s ) ( 艺 a ;x 一 s ) j3 引理2 . 1 . 1 1 1 在一般的g a s s - m a r k o v 模型 e y=x刀 c o v y = u t ( 其中x为已 知的。 x p 矩阵， v 为己 知的n 阶非负定对称矩阵， 记为v z o o 卢 e r 0 t r 2 0 都 是未知参数)中，s p可估，在二次损失函数l ( d , s o ) = ( d - s )6 ) ( d - s / 3 ) 下， l y 在线性估计类中 是s 刀 的可容许估计的充分必要条件是: 1 0 l y 二 l x ( x wx ) - x b v ; 2 0 l x ( x b x ) 一i ) s ， 一 l x ( x b x ) 一1 x 7 , _ 。 : 3 0 r a n k ( l x 一 s ) ( x b x ) 一i x = r a n k ( l x 一 s ) ， 其中b=v十x x 第 5页 共 3 2页 电子科技大学硕士学位论文 2 . 1 .2 在齐次线性估计类l h中的可容许性 定 理2 ， 2工ay,不 a .s 分 必 要 条 件 是 : 为 常 数 ， 作 为 s j3 的 线 性 估 计 ， y- a , y 一 s ,6的充 找 ，2问 1 0鸿 v 二 气 a v , ， 凡v =k ,a v ， 其 中 k ， 气: 0 , 艺k ; = 1 , a = a v 二 a x ( xt x) 一 x7 v; a x ( x t x ) 一i n s 一 a x ( x t - x ) - 一 i , x a 0 ; 八u. ，气j 4 0 r a n k ( a x 一 s ) ( x t x ) 一 , x = r a n k ( a x 一 s ) ， 其中t 证 明 =v十x a， 充 分 性用 反 正 法 。 若 有 某 个 艺 b ,j y ,; 使 得 r ( 艺b ,y ; s j i , ff ; , . . . 心) 、 r ( 艺a ;y ; s ,e3 , a l ， 一 代) 即v )y c r , _1 ， 0 a 1 ， 二 。 2 十 。 有 艺时 1r b ,v b , 十 a 1( 艺b ,x 一 s y ( 艺b ;x 一 s m _ z a z tr a ,v a , + /9 ( 艺a ;x 一 s ) ( 艺a ,x 一 s ) /8 由/ 3 , a ; , i = 1 , 2 , . . . , m 的 任意 性， 可 得 i r b , v b 0 tr b ,v b , 十 tr b 2 v b , 绘tr b ,v b . 十 夸 tr b , v b , 由此得 tr ( b , + b 2 ) v ( b , + b , ) _ tr b ,v b , 十 tr b 2 v b 2 + 努 tr b ,v b i + k , tr b 2 v b 2 5 tr ( a , + a 2 )v ( a , + a , ) :5 tr a ,v a ; + tr a 2 v a z + 晋 t r a ,v a , + 夸 tr a 2 v a : 二 tr ( a ! 十 凡) v ( a , 十 凡 ) ， 当k , = 0 ， 则由鸿 v = 0 知药 v = o , 故 i r ( 汽 + 凡 ) v ( 药 十 凡 ) = tr b , 嘿 _ tr a , v a ; 二 t r ( 减+ a , ) v ( 鸿+ 凡 ) 第 6页 共 3 2页 电子科技大学硕士学位论文 当 k , = 。 ， 同 样 成 立 tr ( 尽十 凡 ) v ( 飒十 几 ) _ t r ( 鸿 + 凡 ) v ( 鸿十 a z ) 由此类推可知t r b v b 5 t r a v a 。 结合( b x - s ) ( b x - s ) _ ( a x - s ) ( a x - s ) 由条件2 0 ，3 0 ，4 。 及 引 理2 . 1 ， 可 知 优 于 艺次 茸 的 艺双 y ,. 不 存 在 。 了 1t = 色 必 要 性 1 。 先 证a ; v 二 k ;a v , 气 7 0 , 艺凡 = ， 取a = i 一 p g 夕， !从 00八u 其中g q g , a 9100 /了1，11.es.卫.、 一一 g ; ? , i 二 ( i , 0 ) = p i q分别是: x s , n x n 阶正交矩阵，先把 tr a , v a 2 = c z , ., tr a .,嘿= 几固 定 ， 由 艺a ,y ,一 s a 可知，在固定 t r 4 , v a , = c 2 , - - , t r 4 . v a , 二 c , , a = i 一 p g q 的条件下，t r a , v a 必须达到最小值， 而 鸿 = 1 一 p g q - 艺a ; . tr a ,v a = tr i v t 十 tr g q v q g + 艺tra ,v a , 一 2 艺tra ;v 7 - 2 tr p g q v i + 2 艺p g q v a ; + 艺tr a ;v a ; ,_ ,f,l . t 作 函 数h ( a , - , a , ,1, ， 二 ， a , ) = tr v i + tr g q v q g + 艺 tr a ;v a ,一 2 艺tr a ;v l - 2 tr p g q v l + 2 艺p g q v a ,+ 艺tr a ,呵十 艺a l ( tra ,v a ; 一 c ; ) .x ,i, ix l = 2 ( 1 + a 2 ) a ; v + 2 艺a ,v 一 2 ( l 一 p g q ) v = 0 第 7页 共 3 2页 电子科技大学硕士学位论文 = 2 ( l + 2 ; ) a m v + 2 艺a ;v 一 2 ( i 一 p g q ) v = 0 t r a ,v a ; = c , , i = 2， 3 ， “ ， 二 由此可得减 v = k ;a v , f = 2 , 3 ， 二. , m . 故a ,v = k a v ,k , = 1 一 艺k ; 若 某 个k ; 0 , a 脚* 1 , 尽 v -_ 0 。 显然峨四 ， 峨呵且峨呵 叫呵 。 因为 若t r b , v b , = t r a , v a , = 0 ，由k , # 0 知 a v = o,所以a , v = o .i = 1 , 2 , . . . , n z 从而 d ( 艺a ;y ,j) = 0 ， 这 与 艺a ; y , 不 a .， 为 常 数 矛 盾 ， 所以i r b , 恻 r ( 艺a ;y , 十 c , ; s ,p , 时， ， 嵘) ， 与 艺碑 茸 十 。 可 容 许 性 矛 盾 ， 故。 e p ( a x 一 s ) o 2 。由 1 0 知 。 e f c( a x - s ) ， 不 妨 设 。 = ( a x 一 s ) c , ， 若艺a ,y , l h s j3 不成立，则 存 在艺 b , y , 优 于 艺a ;y , ， 从 而 r ( 艺 b ;y , s ib , 6 ,z ， 一 。 .) :9 r ( 艺ay,; s /3 , 讨 ，. . . c r n ) 即对v 刀 e r , o 。 未知，为方便记 。 ， 二 ( c r z y a z a . _ , c r .2 ,) , 。 为k r o n e c k e r 积， v e c ( ) 为 矩阵的 按列拉直运算， 取损失 函数为l ( d , s o ) = ( d - s o ) ( d - s o ) ，其中s 为k x p 阶己知矩阵，s o是待估 参数函数阵，且可估，即p ( s ) c p ( x ) , d = d ( y , y 2 , - , y , ) 是s 。的估计。 取风险函数为r ( d , s o , o a2 ) = e l ( d , s o ) ， 显然该风险函数是个矩阵， 类似 于文 1 4 让2( 表示所有， 阶非负定矩阵组成的集合，中是定义在级 上取非负 实值的函 数， 且 满足如下的 合理 性条件:对 任意的m, m 城 e l l 有 1 0 (d ( m) 二 0 q m= 0 : 2 0 m , :5- m 2 (d ( m , ) s (d ( m z ) ; 3 (d ( c m) = c g i )(d ( m) ; 4 0 cp (m ) 作 为 匹 史 山 个 变 元 的 函 数 是 连 续 的 。 2 定 义2 .2 .7 12 8 -3 0 1 设d , + d 2 是g ( 0 ) 的 两 个 估 计 ， 如 果 对 一 切( 。 ， 。 ， ) 有 o r 佩, g ( o ) , c r 2 ) 1 心) 成立， % ( o ) 的g容许估计， 则称d ,g 优于 d 2 g 并记为d - % ( o ) . 如果不存在g 优于d 的估计，则称d是 ，如果d 在某个估计类l 中是ao ) 的g 容 许 估 计 ， 则 记 为 d - 8 ( o ) o 若记 二 = 1 a ,yj:功 “ 阵 艺碑 耳 十 。 : 找 为 k x n 矩 阵 ， a 为 k x 9阶 矩 阵 岁1悦esl - 了j l 则在齐次线性估计类l h和非齐次线性估计类灯中，风险函数分别记为 r ( 艺a y , s o , c r 2 ) 和r ( 艺a ;y , , a , s o , o z ) 2 . 2 . 2 齐次线性估计类中的泛容许性 引理2 .2 . 1在模型( 2 . 2 . 1 ) 下，有 1 0 r ( y a j; , s , 6 ) = 艺q ; y tr ( a ,a ) + o ( 艺a x 一 s y ( 艺a ;x 一 s ) o ; 2 r ( 艺a ry , a , s o , q ) = r ( 艺a ; ( y ,.+ x a o ) , s ( o + a 6 ) , 6 x ) + a ( 1 一 p * 喊 乙a x - n ) 其中a 满足条件p . ( 艺a ,x - s ) a = ( 艺a ,x 一 )a o ( 12 . 1 ) 引 理2 .2 .2 设 d 一 艺a ,y , e l h 减二 艺b ,y , e l h 是 s o 的 两 个 估 计 d o ( 泛) 优于d , 的 充分必 要条件是: i 0 t r ( a ,a ,.) t r ( b , b ,) , i = 1 , 2 ， 二 ， ， ( 2 . 2 . 2 ) 第 1 2页 共 3 2页 电子科技大学硕士学位论文 2 0( 艺a ;x 一 s y ( 艺a ix 一 s ) 。 : ( 艺b ,x 一 s ) ( z b ,.x 一 s ) o , 由于 4 ) (0 ,( 艺ax 一 s )( e a ;x 一 s )o ,) 二c (e a ;x 一 s y (j a ,x 一 s ) )ptm e (m p i) 其 中 峡 为 对 角 阵 a g ( 1 , 0 ， 一 ， o ) ， 因 而 有 (d (o ;(艺 a ;x 一 s )(全 a ,x 一 s )o ,) (d ( , (y a x 一 s )(艺 b ;x 一 s ) o , ) ( 2 , 15 ) 但由 合理性条件4 0 ， 当 d 0 ( 泛) 优于试 时， 应有 恕(d r ( d ,s o ,a ) ) 二 cb ( o ; ( y a x 一 s y ( 艺a ;x 一 s )o , ) 。 且 艺c ; = 1 ， 而a = 艺a ; ; 3 0 a a :5 a x ( x x ) + s ， 其中p x 为x的 投影矩阵 由引理 2 . 2 . 2 ，引理 2 . 2 . 3 和引理 2 . 2 . 4可得 定 理2 .2 . ， 设 艺a ;y e l h 是 s 。 的 估 计 则 客 a - s ojyx的 “ 分 必 要 条 件 是引理2 . 2 .4中的条件1 0 , 2 ” 和3 0 成立。 2 .2 . 3 一般线性估计中的泛容许性 引 理 2 .2 .5 1 6 设 艺燕 丫 十 。 e l t 是 胭的 估 计 ， 则 艺城 茸 + 。 旦 s o 的 充 分 必 要条件是: j a ,y b s o ;i-, 2 0 a 二p，a 。 c i : a ,x - g 1 由引理2 . 2 . 5 和定理2 . 2 . 1 可得 定 理 2 .2 .2 设 艺a ,y , + a e l i 是 s o 的 估 计 ， 则 艺a ;y ,. + a - s o的充分必要条 第 1 4页 共 3 2页 电子科技大学硕士学位论文 凡a 碑q 件是: 1 0 a ; 二 2 0 a i =， 其 中 c i _ (? 且 艺c , = 1 ， 而a = 艺a , ; 3 0 a a _ 0 ) ， 一个重要的问 题是研究未知参数16 的线性估计的可容许 性， 其 研究主要沿着两个方向 进行， 一是参数不受约束如文献 1 0 - 2 6 1 , 2 8 ) , 3 0 - 3 3 , 3 5 - 3 9 1 , 4 1 - 4 2 ，即( ,6 , ff s ) e r f x ( o , + o o ) , 是参数受椭圆约束如 1 7 - 1 8 , 2 2 -2 3 , 2 9 1 , 3 4 , 4 0 ， 即 ( f , 6 z ) 。 ( o z ) : f 3 ,x n (j c a 2 ， 其 中0 响 ， 从 而v ( d , u z ) e h ( x 7 v x , o ) e 有侧a y 十 马 一 s 6 ) ( a y + a , 一 s 刀 ) = a tr a v a + b ( a x 一 s ) ( a x 一 s ) o + 2 ,6 ( a x 一 s ) a , + a ,a , a t r a v a j 3 + ( a x一 s ) ( a x 一 s ) /3 + 2 ,6 ( a x一 s ) a + a a = e ( a y + a 一 s j 3 ) ( a y + a 一 s / 3 ) ( 3 . 1 . 2 ) 这说 明a y + a 、 一 致优于a y 十 a 与已 知矛盾， 故a e ,u ( a x - s ) e 2 0 由2 ” 可设a 二 ( a x 一 匀 a , ， 若存在b y ， 使得v ( 几a 2 ) e h ( x w x , o ) 有 e ( b y 一 s 刀 ) ( b y 一 s 刀 ) e ( a y 一 s 刀 ) ( a y 一 s 刀 ) ，即v ( 刀 , a ) e h ( x 9 v x , 0 ) 有 a t r b v b + 1 3 ( b x 一 s ) ( b x一 s ) t6 u t r a v a + o ( a x一 s ) ( a .￥ 一 s ) p ( 3 . 1 .2 ) 从而t r r v