（运筹学与控制论专业论文）littlewood问题和gabor框的存在性问题.pdf

摘要 文章讨论g a b o r 分析一个基本问题：如何刻画参数g l 2 ( 冗) 以及n ，b r ， 使得( g ，a ，b ) 是一个w h 框。文中所讨论的g 都是某个集合e 的示性函数。我们 进行了两部分的工作： ( 1 ) 我们讨论对于不同的正整数k ，当集合。，。一，】= u 譬h ，啦+ 1 ) ， 啦) 扛k - 0 1cz 时，( x e m 。】，1 ，1 ) 是否成为w 日框文章通过对等价 的l i t t l e w o o d 问题的解答，给出了当k 1 ，2 ，3 ，4 的时候完整的刻画；对 于一般的k 5 的情形，给出了一些特殊情况下的结论。并且指出了当a 1 时，( x e ，a ，1 ) 和( x e ，1 ，1 ) 之间的一些联系。 ( 2 ) 运用仇，h a n 解决a b c 问题的手段，判断当0 d 0 ，9 = 銎o x ( 脚 ) ，mcn 的时候，n ，b 满足什么条件 时，( g ，a ，b ) 是w h 框； 关键词：日框；l i t t l e w o o d 问题 a b s t r a c t w ec o n s i d e rab a s i cq u e s t i o ni ng a b o ra n a l y s i so f c l a s s i f y i n g a l lt h et r i p l e s ( g ，a ，6 ) s u c ht h a tgg e n e r a t e saw e y l - h e i s e n b e r gf r a m ew i t hr e s p e c t st ot h ep a r a m e n t e r sa a n db t h ef u n c t i o ngw ec o n s i d e rh e r ei s 尬，e r t h ee a s e 8w es t u d yr e a da 8 f o l l o w s ： ( ( 1 ) w es t u d y t h ec a s eo f ( x m 。1 ，1 ，1 ) w h e r e 讥) 扛k - 。icza n de 1 0 m ， = u 枷k - 1 魄，m + 1 ) b ys o l v i n gt h ee q u i v a l e n tl i t t l e w o o dp r o b l e mw ec h a r a c t e r 啦 k = o - 1c zf o rw h i c h ( x 唧1 0 川。- 一l l ，1 ，1 ) i saf r a m e w eg e tf u l lc h a r a c t e r i z a t l o n w h e nk 1 ，2 ，3 ，4 ) a n dg e ts o m er e s u l t sf o rk 5 t h e nw ef i n ds o m ec o n n e c t i o n b e t w e e n ( x e ，a ，1 ) ，a 1a n d ( x e ，1 ，1 ) ( 2 ) b yt h ea p p r o a c hg u ，h a nu s e dt os o l v et h ea b cp r o b l e m ，w es t u d y t h ee a s e o f ( x e ，n ，6 ) w h e r ee = ( u 岛1 【o ， ) + 譬) u ( 1 0 ，d ) + 警) ，0 d 0 - k e yw o r d s ：w hf r a m e ；l i t t l e w o o dp r o b l e m 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个 人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：二雌日期：! 与生 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版或纸质版。 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被 查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的 标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：! ! ：壁登 导师签名： e t 期： 幽：! ：】： 丝耻 日期：塑i 垒异z 鱼 第一章引言 傅立叶变换是信号及其频谱的分析中最常用的工具，它能反映信号以及频谱的 整体特征a 但是从，( u ) = = f ( t ) e 一缸出可知，要从一个信号得到频谱，) ，必 须获得它在时域内的全部信息，并且一个信号在一个小的领域里变化了，整个谱 都受到影响。反之要用频谱来描述信号，无论这个信号多么短，也需要整个频域 内的信息。因此傅立叶变换不适合用来处理非平稳和实时的信号。 为了弥补傅立叶变换的不足，d g a b o r 于1 9 4 6 年引进了形如e 2 批9 0 一 僦) ，a b = 1 ，m ，n z 的函数来改进傅立叶变换( 其中窗口函数g = e - 等是高斯函 数) 。这种方法后来进一步发展成为短时傅立叶变换，为非平稳信号处理提供了 有效途径。然而到八十年代初，j a n s s e n ( 见【2 4 1 1 2 5 1 ) 和d a v i s ，h e l l e r ( 见 3 0 1 ) 等 人发现g a b o r 引进的这类特殊的函数容易会引起不稳定展开，而且对于大多数应 用都不合适。d a n s s e n 的文章 2 4 】和 2 5 1 可以看作对g a b o r 变换进行数学分析的起 点。 框的概念最早是1 9 5 2 年r j d u f f 讥和a g s c h a e f f e r 在 1 7 1 中研究非调和 傅立叶级数( 即函数在l 2 ( 【o ，1 ) ) 中按复指数幂e 认一，k 2 r n 展开) 中首 先引入的。最初框架理论在非调和傅立叶以外并没有引起人们兴趣或重 视。1 9 8 6 年d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n n 和m e y e r 的文章| 9 1 第一次将g a b o r 分析和 框理论联系起来，为g a b o r 分析和框理论的发展指引了全新的方向。 目前框架理论得到了广泛的发展，发展至今框架理论已经在很多领域得到了应 用，它被广泛应用于信号处理、图像分析、数据压速以及抽样理论、光学、信号 探测以及b a n a c h 空间理论中的b e s o v 空间等等的研究中。 在本文中我们要讨论的g a b o r 框是时频分析的一个重要工具，也是框理论中最 重要的运用之一。 第一章引言 1 1基本概念和问题的提出 定义1 1 1 - 希尔伯特空间澎中的函数列 咖 j j 称为一个框架，如果存在 常数0 a b + o 。，满足对所有的，乡纩，有 a i i 1 1 2 i 1 2 b i i 1 1 2 。 j j 常数a ，b 被称为框界。如果a = b ，那么 咖) j ，称为紧框；如果a = b = 1 ， 则 咖) j “称为规范紧框。 定义1 1 2 ：对于实数a ，6 和l 2 ( 皿) 上的任一函数9 ，定义铲( r ) 一l 2 ( r ) 上的 平移算子为t 。g ( t ) = g ( t a ) ；模乘算子为e b g ( t ) = e 2 ”啪9 ( t ) 。对l 2 ( r ) 上的任 一函数g ，我们用三元组( g ，a ，b ) 来记述 t n a g ：m ，n 刁，如果 夕： 仇，n 刁是l 2 ( r ) 中的一个框架，我们称( g ，a ，6 ) 是一个g a b o r 框( 或者叼z h e i s e n b e r g 框) 。本文中表述时采用w e y l h e i s e n b e r g 框，简记为日框。 g a b o r 分析的一个基本问题是：如何刻画参数g l 2 ( 兄) 以及n ，b r ，使 得( g ，a ，b ) 是个日框。如果( g ，a ，b ) 是一个w h 框，那么o ，6 必须满足曲 1 ，这个结论是由m r i e f f e l 在【6 】中证明的。除了在后文2 6 中提到的c c 条件 外，另外还有一些其他关于日框的充分或必要条件，因为在本文的阐述中没有 用到它们，所以没有列出来。感兴趣的话可以参考 1 1 】， 1 2 【2 1 和 2 2 】o 日框的具体刻画是一个相当复杂的问题。目前人们关于这个问题已有的结 论基本上集中在两方面：( 1 ) 9 是一个单区间集合的示性函数，即g = x f o ，c ) ，c r 。通常将这类问题称为a b c 问题；f 2 ) a = b = l ，g = x e ，ecr 。 下一小节中我们就这两方面已有的成果作一个简单介绍。因为我们感兴趣的 是他们处理的手段，结果反而在其次。所以下面我们主要给出解决上述问题的方 法，只列出与本文相关的结果。 1 2前人的方法与成果 在文引4 中j a s s e n 除了运用z a k 变化以外，主要还是用r a n s e n 矩阵处 第一章引言 理a b c 问题。 3 引理1 2 1 1 4 1 ：任给函数ge l 2 ( r ) ，实数a 0 ，函数f l 2 ( r ) 有界且具有紧支撑，那么。n z i 2 = e 。舒l 珊，( t ) 1 2 d t ，其中联4 ( t ) = f ( t p ；) 9 ( t n n 一 ) 。 虽然处理的手段不同，但是最后殊途同归。对于a b c 问题他们给出了一致的 刻画，但是对于这个问题同样都没有彻底解决。有兴趣的可以具体参看 3 】和 4 】。 在后文中我们会用到下面这个结论： 引理1 2 3 ：对任意c = 2 ，3 ，0 a 1 ，( x o ，c ) ，a ，1 ) 不是形日框。 在1 9 6 8 年，l i t t l e w o o d 研究了由多项式组成的形如t 啦( 啦 o ，1 ) ) 的一类 函数，其中一个由他提出的主要问题是： l i t t l e w o o d 问题 2 】：任给自然数k ，找出整数集中的七个不同的整数 珊，n 1 ， ，n k - 1 应满足的条件，使得函数，( z ) = e k 仁- 0 1 z n i 在平面内的单位圆上不存在 零点。 对于日框的具体刻画的另一个子问题，即a = b = 1 ，g = x e 的情 况，c a s a z z a k a l t o n 【1 发现并证明了当e = u k ：- o i o ，1 ) + h i ， ) j k ：- 0 1cz 时， 该问题与l i t t l e w o o d 问题等价。 引理1 2 4 1 1 ：对于整数伽 n l 0 ，使得f = u i e l 只( 指标集i 有限或者无限) 。其中每个只都 是长度k 的基本a 一日框集，而且对所有的i j 和m ，仃z ，( f i + n ) n ( 乃+ m ) = 0 。 虽然前人已经对于w 日框的具体刻画做出了大量的工作，但是我们对于这个 问题的研究也许只是冰上之一角。即使对于( x e ，a ，6 ) ，ecr 这样的特殊情况， 当e 是一般的集合时，这个问题依然非常棘手。因为我们要不仅要考虑e 本身的 测度，各个组成部分的测度和相对位置关系，而且还要兼顾到a ，6 参数，其中任 何一个条件的变化都会导致不同的结果。例如这个例子可以说明：( x f o ，3 1 ，o 1 ，1 ) 不 是彬口框，但是( x o ，i lu 2 ，4 1 ，o 1 ，1 ) 是彤日框。 再退一步讲，对于( x f ，1 ，1 ) 是否是w h 框的问题，虽然它与l i t t l e w o o d 问题 等价，但是l i t t l e w o o d 问题悬而未决，所以从本质上来说，这个问题并没有真正 得到解答。 1 3 本文的主要工作 设 啦) 豁cz ，0 = ，幻 n 1 n 2 n k 一1 ，记目。m ，k 一。1 = u 譬h ，啦+ 1 ) 在第二章中，我们讨论对于不同的七，( x 。j ，1 ，1 ) 何时成为w h i l e 对于k l ，2 ，3 ，4 的情况给出了完整的解答，对于一般的后给出了一些特殊情况 第一章引言 下的结果。对于这部分的内容我们列出下面三个主要结论，对这三个结论的简化 或者补充则以推论的形式给出。其中，形如后【托捌，m ， l z 的数值的含义是 由后文中的命题2 0 1 定义的。 定理2 1 1 ：设n o = 0 ，礼1 ，n 2 n ， 1 ) ，晃1 = k i n l ，( n 1 + m ) ，3 】，如= k m ，( n 1 + 1 2 ) ，3 1 ， ( 1 ) ( x e t 。蚓，1 ，1 ) 是日框； ( 2 ) ( 仃1 + 佗2 ) r o o d3 。- o ； ( 3 ) ( n 1 + n 2 ) r o o d3 k 2 0 。 n 1 n 2 ，记e m ，1 2 】= u 圣o 【啦，n + 以下三个陈述等价： 定理2 2 1 ：设n o = 0 ，n l ，n 2 ，n 3 n ，n 1 n 2 n 3 ，记互7 【，1 0 ，n l ，m ，。3 】= u 耋。陋i ，n + 1 ) ，七1 = 七【”1 ，。l + n 2 一n 3 ，2 l ，如= 七m 2 , n 2 十一n 1 ，2 l ，k 3 = h 3 ，n 3 + n l 一2 ，2 】， 以下两个陈述等价： ( 1 ) ( x e 。叫，1 ，1 ) 是日框； ( 2 )( n 1 + n 2 一礼3 ) m o d2 膏1 0 ，( n 2 + n 3 一n 1 ) r o o d2 b 0 ，( n 3 + n l 二、 礼2 ) r o o d2 k 3 0 同时成立。 定理2 4 3 ：n o = 0 ，k 5 ， m ) 皆是七一1 个连续的正整数，即对于某个 正整数m ， m ) 旨= m ，m + 1 ，m + 2 ，m + t ：t = k 一2 ，e 【伽m ， 一l l = u 譬咄，啦+ 1 ) ，那么( x 目。j ，1 ，1 ) 不是日框，当且仅当下面两个条件 之中至少有一个成立： ( 1 ) ( m 一1 ) ，詹互素； ( 2 ) 设亡生= ，其中而，七一2 z ，且而，k 一2 互素a 七一2 m o d 2 = 厅一。 第二章的最后一节给出了两个定理，指出了某些情况下，a 1 时，( ，a ，1 ) 和 ( x e ，1 ，1 ) 之间的联系。 定理2 6 3 ： 设伽= 0 ， 啦) b k - 1 1cn ，n o n 1 1 , 2 辄一l ，玩= u 譬【啦，m + 1 ) ，0 1 。如果( x 最，1 ，1 ) 是w h 框，那么( x 取，8 ，1 ) 是日 第一章引言 框。 6 定理2 6 4 ： 设e r ，如果( 地，1 ，1 ) 是w h 框，那么对于任意的正整 数，( x e ，寺，1 ) 也是w h 框。 在第三章中，我们不再限制a = b = 1 ，因此第二章处理问题的方法不再适 用。这一章节里，我们主要用g u ，h a n 解决a b c 问题的手段来判断某些特殊情 况下，( h ，a ，6 ) ，ecr 是否是w h 框。主要结论如下： 定理3 1 1 ：如果e = u 2 l h ，啦+ 屈) c 【o ， ) ，而且0 a 仃m z 。p 1 ，那么( h ，a ，b ) 是彤日框。 定理3 1 2 ：设 吩) 凳1cz ，n 1 n 2 n m ，m 2 ，0 d 0 ，0 d ；，m z + u o ) 。如 果c = 警+ d ，e = o ，c ) ，g = 墨o x ( e + ) ，f l , z + ，那么对任何满足o b 1 的 正实数a ，b ，( g ，n ，都不是日框。 第二章 ( ) ( e 川，棚“】，1 ，1 ) 的刻画 在本章中，我们试图对不同的k ，寻找( x e h 。】，1 ，1 ) 成为日框的条 件。根据引理1 2 4 ，我们对该问题的解答本质上归结为对l i t t l e w o o d 问题的 解答。因为= 1 ，所以l i t t l e w o o d 问题中，( z ) = 笔j 在单位圆上是否 存在零点，- 与a ( z ) = 譬z 唧“o 在单位圆上是否存在零点的问题完全等价。 从而我们在讨论( e h 。，。一。1 ，1 ，1 ) 的刻画时，总是l l t ，。，j k ：- 0 1 满足这样的关 系：0 = n o 佗1 n 七一l 。 当k = 1 时，因为n o = 0 ，所以对于任意的h = 1 ，f ( z ) = 1 在单位圆上都没 有零点。由引理1 2 4n - - j 失i ，( x e t 。o ，1 ，1 ) 是日框 k ：2 的时候，也比较容易刻画： 定理2 0 i - 如果n o = 0 ，n 1 是正整数，目m ，m l = 【0 ，1 ) un l ，1 + 1 ) ，那么 ( x 。l ，1 ，1 ) 不是日框。 证明：由引理l 2 4 可知，( x f 。】，1 ，1 ) 是w 日框，当且仅当对于任意的例= 1 ，( z ) = ；1o z m 在单位圆上没有零点。而对于任意的正整数n l ，令z o = e 。1 1 ，那么i z o l = 1 ，l ；l f ( z o ) = 0 。所以对于任意的正整数n 1 ，( x e 川，1 ，1 ) 都不 是彬仃框。 口 但是当k 3 的时候，则会困难许多。下面这个命题对于解决k = 3 ，4 的情况 起着重要的作用： 命题2 0 2 ：对任意m ，l n ，一定存在k n ，使得( m m o d l 扣1 ) ( nm o dl 卜1 ) = 0 ，( m m o d l ) ( n m o d l 。) 0 。 证明：当p = 1 时，有( m m o d l 2 - 1 ) ( n m o d l 2 - 1 ) = 0 。如果整数p 满 足( m m o d i f - 1 ) ( n m o d l 2 - 1 ) = 0 ，那么p r a i n l o g l 尬l o g l ，所以这样 的p 只有有限多个。取其中最大的那个记做k ，就有( m m o d l ) ( n m o d l ) 我们将满足上面命题的记做k t m ，l l 。 口 第二章仅z h n 。1 ，1 ，1 ) 的刻画 8 下面这个命题使我们用己知结论来判断( x e 。一，1 ，1 ，1 ) 是否是日框变得 简便。 命题2 0 3 ：设o = 伽 n 1 毗是后个整数，e n o 丹。1 = u 旨h ，啦+ 1 ) ，e 1 一。m 一1 一。 。，。 一l t 1 0 1 = u _ k - o i h 一1 一啦，n k 一1 一n i + 1 ) ，那么下面两个 陈述等价： ( 1 ) ( x e _ 。m 。】，1 ，1 ) 是w 日框； ( 2 ) ( x 。 。，1 。m ，州，1 ，1 ) 是日框。 证明：根据引理1 2 4 ， b ，。m 一。l ，1 ，1 ) 是日框， 1 ，i f ( z ) l = f 蹦。唧f 0 。 同理，( x s t ，1 。1 。m 一，一1 0 1 ，1 ，1 ) 是w 日框， 1 ，b ( z ) l = i k = 0 - 1 z n k - 1 - i 0 。 因为对于任意= 1 ，都有i 蜀z i = i k 忙- 0 1 z - 叫 以结论成立。 等价于对任意的m = 等价于对任意的= = i 名j 扩“一叫。所 口 2 1 对( 弛咿。舰j ，1 ，1 ) 的刻画 在这一小节中，我们根据引理1 2 4 ，通过寻找三个单位向量和为零的等价条 件来对( x 。，吲，1 ，1 ) 是否是w 日框进行刻画。 定理2 1 1 ： n o = 0 ，n l ，n 2 n ，礼1 r $ 2 ，记e 【加，竹2 i = u 墨o 【啦，m - i - 1 ) ，k l = 七h 。，( 。，押2 ) ，3 1 ，= 七h 。，( 。，。) ，3 1 ，以下三个陈述等价： ( 1 ) ( x s t ，m l ，1 ，1 ) 是日框； ( 2 ) ( n l + 砌) m o d3 h o ； ( 3 ) ( 1 1 + 砌) r o o d3 乜0 。 证明：由引理1 2 4 可知，( x 毋1 0 。m l ，1 ，1 ) 不是日框，等价于存在0 0 【0 ，2 7 r ) ，使得1 1 + e ”- a o + e “z 曲l = 0 ，即 1 + 0 0 8 m o o ) 机咧砌0 0 ) = 0 ( 1 o ) 【s i n ( n ：t o o ) + s i n ( n , z o o ) = 0 而等式组( 1 o ) 等价于c o s ( n 。如) = c o s ( 扎。o o ) = 一 ，也就是 第二章仅8 【m 。hj ，1 ，1 ) 的刻画 ( 1 2 ) 所以，( x f m m l ，l ，1 ) 不是麒眶，当且仅当( 1 1 ) 或者( 1 2 ) 成立。 如果( n 1 十n 2 ) m o d 3 0 ，并且存在 o 2 7 r ) ，使得( 1 1 ) 成立。由1 + n 2 ) 如m a d2 7 r = 0 ，可知存在p z ，使得岛= 焉。由n 1 0 0 r o o d2 7 r = ；7 r ，可知存在口z ，使得= ( 2 q 7 r + 誓7 r ) 。所以等= 1 ( 2 q 丌+ 誓7 r ) ，即3 n l p ：( 几l + 礼2 ) ( 3 q + 1 ) 。由h 的定义可知，n 1r o o d3 h _ 1 = 0 ，( n 1 + 他，删s 似1 以一o ，所以耥= 唰删，羚印，孚掣 z 。而此时因为( 佗1 + n 2 ) r o o d3 h o ，所以唰( 3 口+ 1 ) m o d3 o ，这 与害睾鸯m o d3 = o 矛盾 同理，如果( n l + 砌) r o o d 3 。1 0 ，并且存在如【0 ，2 7 r ) ，使得( 1 2 ) 成立，也 会产生类似的矛盾。 也就是说，如果( n 1 + n 2 ) r o o d 3 1 0 ，那么对任意0 0 【o ，2 7 r ) ，( 1 1 ) 和( 1 2 ) 都 不成立。所以此时( x e h 。1 ，i ，1 ) 是w 日框。 反之，如果( n 1 + n 2 ) m o d3 h = 0 ，必定有善譬z ，且善br o o d3 0 。 于是存在某个s z ，使得b = 3 s + 1 ，或者孑孙= 3 s + 2 。如果争b = 3 s + 1 ，0 0 = 万2 7 ，那- , 0 0 【o ，2 7 r ) ，且( 1 1 ) 成立；如果了睾可= 3 s + 2 ， 令口o = 2 7 r 一= 2 百7 r ，那么0 0 【0 ，2 7 r ) ，( 1 1 ) 也成立。所以此时( x e t 。l ，1 ，1 ) 不 是日框。 综上可知，( x 。l ，1 ，1 ) 是日框，等价于1 + n 2 ) m o d3 ”0 。 同理可证，( x 。，。j ，1 ，1 ) 是w h 框，等价于( n 1 + 他) r o o d3 舰0 。得证。 口 由上述定理可知，对任意的n 1 ，砌n ，判断( x q 。m 。1 ，1 ，1 ) 是否成为彤日框， 等价于对条件( 2 ) 和( 3 ) 的判断。其中条件( 2 ) 和( 3 ) 又依赖于，如的计算a h ，南2 看起来比较复杂，实际上如果( n 1 + 礼2 ) m o d 3 0 ，那么，k 1 ，兢的取值都非常简 单，相应的，条件( 2 ) 和( 3 ) 也易于判断。注意到( 1 7 , 1 + 7 1 , 2 ) r o o d 3 0 已经涵盖了 丌 丌 = = 豺 新 删 砌 如 m 阮 ，jl 耆或 d0 丌 丌 = i i 丌 丌 2 2 删 刺 如 m 砌 ，、 第二章f x e m m 一，】，1 ，1 ) 的刻画 1 0 所有n 1 ，几2 n 中一半的可能，那么在这种情况下简化定理2 1 1 ，还是很有意义 的。 推论2 1 2 ：如果n o = 0 ，整数n 1 ，n 2 满足( n 1 + n 2 ) m o d 3 0 ，集合五k ，。1 m 】 = u l o 【啦，啦+ 1 ) ，那么( x e 卜。，。1 ，l ，1 ) 是日框。 证明：如果( 钆1 + n 2 ) m o d 3 0 ，那么n l m o d 3 0 ，或者n 2 m o d 3 0 。 如果k l ，k 2 如定理2 1 1 中定义，那么k 1 = 1 ，或者如= 1 。所以( 几1 + n 2 ) r o o d3 k l = ( n 1 + n 2 ) r o o d3 0 成立，或者( n l + n 2 ) r o o d3 乜= ( 仃1 + 砌) m o d3 o 成立a 由定理2 1 1 可知，( x e m ，吲，1 ，1 ) 是日框。 口 前面都是针对一般的n 1 ，砌n 来讲的，在推论2 1 2 当中，虽然简化了判断条 件，但是给出的条件仅仅是充分的。下面两种情况是我们思考问题的时候容易联 想的特殊形式，由命题2 0 2 ，这两种形式可以看成是对称的。在这两种情况下， 判断条件可以进一步得到简化，而且是充要的。 推论2 1 3 ：如果n o = 0 ，整数n 1 ，n 2 满足礼2 = n 1 + 1 ，互，蚓= u l o h i ，啦+ 1 ) ，那么( x ，m l ，1 ，1 ) 是w hi t e _ ，当且仅当n lr o o d 3 1 。 证明：如果n l r o o d3 = 0 ，那么( 7 1 , 1 + n 2 ) m o d3 = 1 ，由推论2 1 2 可知， ( x e l t l o m n 2 l ，1 ，1 ) 是日框；如果m r o o d3 = 2 ，那么( 竹l + n 2 ) m o d3 = 2 ，同样 由推论2 1 2 可知，( x e t t l o m m l ，1 ，1 ) 是彤日框；如果n l m o d3 = 1 ，那么k l = 1 ， 而( n l + n 2 ) r o o d3 1 = ( n l + n 2 ) m o c l3 = 0 ，由定理2 1 1 可知，( x e t ，1 0 m m j ，1 ，1 ) 不 是w h 框。 综上可知( x e 【。m m l ，1 ，1 ) 是w 日框，当且仅当n l r o o d 3 1 。 口 推论2 1 4 ：如果礼1 = 1 ，即蜀t l o ，n 。m l = 【o ，2 ) u h 2 ，砌+ 1 ) ，那么( x e 卜。m m l ，1 ，1 ) 是w h 框，当且仅当7 1 , 2 r o o d 3 1 。 证明：根据命题2 0 2 可知，( x o ，2 ) u h 。，。2 + 1 ) ，1 ，1 ) 是日框，等价于 ( x o ，1 ) u i - 。一1 ，m + 1 ) ，1 ，1 ) 是日框。 根据推论2 1 3 ，( x o ，1 ) u m 一1 ，。2 + 1 ) ，1 ，1 ) 是w h 框，等价于n 2 1r o o d3 1 ， 即站2 m o d3 2 。得证。 口 第二章仅2 h m 。l ，1 ，1 ) 的刻画 1 1 2 2 对( x ，m 也删，1 ，1 ) 的刻画 在这- 4 , 节中，我们根据引理1 2 4 ，通过寻找四个单位向量和为零的等价条 件来对( x e 。蚓，1 ，1 ) 是否是彤日框进行刻画。首先我们寻找四个单位向量 和为零的等价条件： 引理2 2 1 - 如果四个单位向量与z 轴正方向的夹角分别为o ，卢，- y ，和0 ，那么 下面两个陈述等价： ( 1 ) 这四个单位向量的和为零； ( 2 ) 下述三个条件：( i ) ( o l 一卢) r o o d 2 7 r = 7 r ，7 r o o d 2 7 r = 7 r ；( i i ) ( 卢一7 ) m o d 2 1 r = 霄，a m o d 2 n = 7 r ；( i i i ) ( 7 一o t ) r o o d 2 n = 7 i ，# m o d 2 r = 7 r ，其中至少有一个成 立。 证明：如果这四个向量的和为零，那么 1 + 删机0 8 肚c o s 7 一( 2 o ) is i n o + s i n p + s i n ，y = 0 从等式组( 2 0 ) 得到，( c 0 6o t + c o s 卢+ c o s ，y ) 2 + ( s i no t + s i n 卢+ s i n 7 ) 2 = 1 。我们 将该等式展开，并且利用公式 c o s 5 1c o s 如+ s i n 巩s i n 5 2 = c o s ( 5 1 5 2 ) ，矗，5 2 r 对其整理司得1 + c o s ( o f 一卢) + c o s ( z 一7 ) + c o s ( 3 , 一a ) = 0 。再利用公式 c 0 8 6 + c o s 5 2 ：2 c o s 半c o s 半，5 1 ，晚r 对其进一步整理可得c o i l 生c o s 巨尹c 。s 工笋一o 。 如果c o s 盟= o ，即( a 一卢) m o d 斯= 7 r 成立，那么就有 fc o s a + c o s 卢= 2 c o s 学c o s 学= o is i n c t + s i n = 2 s i n 学c o s 掣= o 再根据等式组( 2 0 ) 可得，c o s ，y = - 1 ，s i n7 = 0 ，即7 m o t 2 r = 7 r 。也就是说，如 果c o s 生= o 成立，那么条件( i ) 成立。 同理，如果8 巨尹= o 成立，就有条件( i i ) 成立；如果c o s 工泸= o 成 立，就有条件f i i i ) 成立。 第二章仅坼。m 。j ，1 ，1 ) 的刻画 综上可知，如果等式组( 2 0 ) 成立，那么条件( i ) 、条件( i i ) 和条件( i i i ) 之中至 少有一个条件成立。 反之，如果条件( i ) 、条件( i i ) 和条件( i i i ) 之中任何一个成立， 组( 2 0 ) 成立。也就是说，那四个单位向量的和为零。 所以两个陈述等价。得证。 那么都有等式 口 下面我们根据引理1 2 4 和上述的等价条件来对( x 。j ，1 ，1 ) 是否成 为w 日框进行刻画。 定理2 2 2 ：设伽= 0 ，n l ，他，n 3 n ，t 1 n 2 7 , 3 ，记五；【，l o ，”l ，m ，w 1 = u l o h i ，啦+ 1 ) ，k l = 七h 1 ，( n 1 + n 2 一m ) ，2 1 ，如= 七n 2 ，( n 2 + m n 1 ) 2 】，= 七时3 ，( m + n l m ) ，2 】， 以下两个陈述等价： ( 1 ) ( x f m ，吲，1 ，1 ) 是w 日框； ( 2 )( n 1 + n 2 一礼3 ) r o o d2 k 1 0 ，( n 2 + 7 , 3 一礼1 ) r o o d2 b 0 ，( z 3 - t - n l n 2 ) r o o d2 k 3 0 同时成立。 证明：由引理1 2 4 可知，( x 。，。】，1 ，1 ) 不是彤日框，当且仅当存在0 0 0 ，2 7 r ) ，满足1 1 + e n l 0 0 - i - e ”。加+ e n 3 0 0 i = 0 ，也就是说，与z 轴正方向的夹角分别 为a = n 1 0 0 ，卢= 几2 0 0 ，y = n 3 0 0 和0 的四个单位向量的和为零。根据引理2 2 1 可 知，这等价于下列三个条件( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 之中，至少有一个成立： ( i ) ( n l n 2 ) o o m o d2 7 r = 7 r ，n a o o r o o d2 7 r = 7 r ； ( i i ) ( n 2 一h a ) 0 0 m o d2 0 r = 7 r ，n 1 0 0 r o o d2 7 r = r ； ( i i i ) ( n 1 一n a ) o o r o o d2 7 r = 7 r ，n 2 如r o o d2 l r = 7 r 。 下面我们考虑( i ) ，( i i ) 和( i i i ) 的等价条件。 如果存在，满足( i ) ，那么由1 一耽 4 - n a ) o or o o d2 u = 0 ，可知存在p z ，使得= 两于；由n 3 0 0 r o o d2 r = 7 r ，可知存在g z ，使得如= 砺1 ( 2 q 7 r + 7 r ) 。所以瓦_ = 两1 ( 2 q r + r ) ，b p2 n 3 p = ( n 3 + n l 一锄) ( 2 口+ 1 ) 。 由的定义可知，佗3m o d2 b n ：0 ，( 扎3 + n 1 一n 2 ) m o d2 ( b 一1 1 ：0 ，所以 辫= 虹垫蔷掣，且舞z 虹皆z o 第二章仅e 【m 。m 一。j ，1 ，1 ) 的刻画 - 1 3 此时如果( 札。+ 礼。一n 。) m o d2 b40 ，那么q 芷上生与害掣丝生业m o d2 o ， 这与系等r o o d2 = o 相矛盾。所以对任意o o 【o ，2 丌) ，条件( i ) 都不成立。反 之，如果( n 3 + n 1 一他) r o o d2 b = 0 ，则有鼎r o o d2 0 ，所以存在s z ， 使得毒= 2 s + l 。令q = s ，岛= 丽1 ( 2 9 7 r + 7 r ) ，那么【o ，孙) ，且条件( i ) 成 立。 所以，存在0 0 【o 2 7 r ) ，使得条件( i ) 成立等价于( n 3 + n l n 2 ) r o o d2 b = 0 成立。 同理存在e o 【o ，2 7 r ) ，使得条件( i i ) 成立等价于( n l + 砌一勘) r o o d2 。1 = o 成 立；存在o o 【0 ，2 7 r ) ，使得条件( i i i ) 成立等价于( n 2 + n 3 7 7 , 1 ) r o o d2 b = o 成 立。 综上可知，( x f 。m 】，1 ，1 ) 是日框，等价于( n l + n 2 一心) r o o d2 。1 0 ，( n 2 + n 3 一n 1 ) m o d2 2 o 和( 礼3 + n 1 1 7 , 2 ) m o d2 b 0 同时成立。 1 7 在上述定理中，可以看出判断( x 。1 ，1 ，1 ) 是否成为w 日框，依赖于对 数值k 1 ，如和k 3 的复杂计算。如同在上一小节中的讨论，我们下面同样考虑在特 殊情况下，数值k 1 ，如和的简化，从而进一步简化定理2 2 2 中的判断条件。下 面这个推论中的情况，涵盖了所有n 1 ，n 2 ，珊n 中一半的可能。 推论2 2 3 ：设n o = 0 ，n l ，n 2 ，n 3 n ， l n 2 n 3 ，记局m m ，n 3 1 = u 函【m ，他+ 1 ) ，如果n 1 + n 2 + 珊) r o o d2 0 ，那么( x e _ 。n ，l ，1 ，1 ) 是矿日框。 证明：如果( n 1 + 砌+ 锄) m o d 2 = 1 ，那么1 + 他一n 3 ) m o d 2 = 1 ，( n 2 + n 3 一n 1 ) m o d 2 = 1 且( n 3 + n l 一砌) m o d 2 = 1 。即詹l = k 2 = = 1 ，( n l + n 2 一 n 3 ) m o d2 k 1 0 ，( 礼2 + 他一礼1 ) m o d2 虹0 ，( 砌+ t , 1 7 2 ) m o d2 b 0 同时成 立。由定理2 2 2 可知，( x e ，。m m l ，1 ，1 ) 是w 日框得证。 口 下面同样是我们思考问题的时候容易联想的两种特殊形式，由命题2 0 2 ，这 两种形式同样可以看成是对称的。而且在这两种形式下，简化后的判断条件同样 是充要的。 第二章仅2 【t 1 0 m 。l ，1 ，1 ) 的刻画 1 4 推论2 2 4 ： 设伽= 0 ，n 1 ，他，n 3 n ，几1 砌 n 3 ，记五；f r i o ，h 一2 ，1 = u l o 啦，啦+ 1 ) 。如果n 3 一n 2 = n 2 - - t t l = 1 ，即e t t l o 。l ，m m 】= 【0 ，i ) u 陋1 ，n l + 3 ) ， 那么( x e r ，l o m 吲，1 ，1 ) 是w 日框，当且仅当n l m o d 2 1 。 证明：如果仃1 r o o d 2 1 ，那么( 竹1 + n 2 + n 3 ) = 3 ( n l + 1 ) r o o d2 0 ，由推 论2 2 3 可知( x 。m 。j ，1 ，1 ) 是日框。 如果n l m o d 2 = 1 ，那么( 礼1 + n 2 一n 3 ) = ( n 1 1 ) m o d 2 = 0 ，所以h = 0 ， 且( n 1 + 砌一砌) r o o d2 。1 = 0 由定理2 2 2 可知( x 目1 0 m m m 】，1 ，1 ) 不是w 日框。 得证。 口 推论2 2 5 ： 设s n ，s 3 ，贝i l ( x t o ，3 ) u + 1 ) ，1 ，1 ) 是日框，当且仅当 s r o o d 2 1 。 证明：由命题2 0 2 可知，( x o ，3 ) u 阶+ 1 ) ，1 ，1 ) 是w 日框，当且仅当( x o ，1 ) u s 一2 肿1 ) ， 1 ，i ) 是w h l f 匡_ 。再由推论2 2 4 可知，( x o ，1 ) u 卜2 一十1 ) ，1 ，1 ) 是日框，当且仅 当0 2 ) r o o d2 1 ，即s m o d2 1 。得证。 口 2 3 对( x ”。叫1 ，1 ) 的部分刻画 k = 5 时，( x e w n 。一，1 ，1 ，1 ) 是否成为彬日框的刻画变得不太容易。 从前面两小节处理的手段来看，我们是通过寻找三( 或者四) 个单位向量和 为零的等价条件，然后根据等价条件来求解得到刻画的。如果要继续用上述的方 法解决刻画问题，那么我们面临的首要问题就是如何判断k 个单位向量和为零。 当詹= 5 时，不管是从几何关系，还是从等式乞oe 嘞9 = 0 ，都很难找出五个单 位向量和为零时他们位置关系的等价条件。当然我们从直观上可以看出有下面三 种位置关系是比较明显的： ( 1 ) 五个单位向量在单位圆上均匀分布； ( 2 ) 两个单位向量共线，另外三个在单位圆上均匀分布； ( 3 ) 有两组向量在单位圆上分别关于第五个向量所在的直线对称。 第二章仅8 。】，1 ，1 ) 的刻画 但是上述三种情况是不是