（计算数学专业论文）一类非线性schrodinger方程的差分legendre谱元法.pdf

中文摘要 中文摘要 非线性s c h r & l i n g e r 方程是一类重要的非线性发展方程，这类方程在量子力学、非 线性光学、超导等方面的研究中有着重要的应用，因而吸引了许多学者对此进行了多 方面的研究。虽然人们提出了许多针对该方程的数值解法，但以往的数值方法主要以 有限差分法和有限元方法为主【1 - - 4 1 。也有一些作者【5 】提出了用f o u r i e r i 着和拟谱方法求 解非线性s c h r o d i n g e r 方程的周期边值问题，但显然仅仅考虑周期边值问题是不够的。 本文的目的在于考虑d i r i c h l e t 边条件下s c h r s d i n g e r 方程的谱逼近。此时f o u r i e r 谱方法 不可用，因此寻求l e g e n d r e 谱方法成为一个自然的选择。另一方面，s c h r o d i n g e r 方程 具有一定的能量守恒性质，因而构造的数值逼近格式应该能较好地拟合这一性质。 本文考察一类带幂次非线性项的s c h r & l i n g e r 方程的d i r i c h l e t 初边值问题，由于幂 次非线性项的存在，构造守恒的逼近格式更加困难。我们提出了一个有效的计算格 式，其中时间方向上应用了一种守恒的二阶差分隐格式，空间方向上采用l e g e n d r e 谱 元法。对于时间半离散格式，证明了该格式具有能量守恒性质，并给出了驴误差估计。 对于全离散格式，应用不动点原理证明了数值解的存在唯一性，并给出了驴误差估 计。最后，通过数值试验验证了结果的可信性。 关键词：s c h r o d i n g e r 方程；l e g e n d r e 谱元法；误差分析 a b s t r a c t a b s t r a c t t h en o n l i n e a rs c h r f d i n g e re q u a t i o n ( n l s ) i sak i n do fi m p o r t a n tn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n i th a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si np l a s m ap h y s i c s ，n o n l i n e a ro p t i c s ，s u p e r c o n d u c t o r , a n dh a sb e e ni n v e s t i g a t e di nm a n yw a y s t h e s ei n v e s t i g a t i o n sa r ef o c u s e do nt h ed e v e l o p - m e r i to fn u m e r i c a lm e t h o d s ，m o s to fw h i c ha r et h ef i n i t ed i f f e r e n c ea n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s 1 卅af e ww o r k sh a v eb e e nd o n eo nt h ef o u r i e rs p e c t r a lm e t h o da n dp s e u d o - s p e c t r a l m e t h o dt os o l v et h en l se q u a t i o nw i t hp e r i o d i cb o u n d a r yb ym a n ya u t h o r s 5 1 h o w e v e r , t h e r ei san e e dt oc o n s i d e rt h en o n - p e r i o d i cp r o b l e m o u rg o a li st od e v e l o pt h ef i n i t ed i f f e r - e n c ei nt i m ea n ds p e c t r a la p p r o x i m a t i o ni ns p a c ef o r t h en l s e q u a t i o nw i t hd i r i c h l e tb o u n d - a r y s i n c et h ef o u r i e rs p e c t r a lm e t h o di sn ol o n g e rs u i t a b l ef o rt h en o n p e r i o d i cp r o b l e m , w e t u r nt ot h el e g e n d r es p e c t r a lm e t h o d p r e c i s e l y , w ec o n s i d e rt h ei n i t i a l - a n dd i r i c h l e tb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e mf o rac l a s so f t h en l s e q u a t i o nw i t hp o w e rn o n l i n e a rt e r m t h ep r e s e n c eo ft h en o n l i n e a rt e r mm a k e st h e c o n s t r u c t i o no ft h ec o n s e r v a t i v es c h e m ed i f f i c u l t b a s e do ns e c o n d o r d e ri m p l i c i td i f f e r e n c e s c h e m ei nt i m ea n dl e g e n d r es p e c t r a le l e m e n tm e t h o di ns p a c e ，w ed e v e l o pa nc o n s e r v a t i v e a n de f f i c i e n ts c h e m et ot h en l s e q u a t i o n f o rt h es e m i - d i s c r e t ea p p r o x i m a t i o n ，w ep r o v et h e c o n s e r v a t i v ep r o p e r t i e sa n dg i v et h el 2e r r o re s t i m a t e f o rt h ef u l l d i s c r e t ea p p r o x i m a t i o n ， w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nb yu s i n gt h ef i x e d - p o i i l tt h e o r y , a n d p r o v et h e e r r o rb o u n do fo p t i m a lo r d e ro fa c c u r a c y f i n a l l y , s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s a r ep e r f o r m e dt os u p p o r to u rt h e o r e t i c a lc l a i m s k e yw o r d s ：s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ；l e g e n d r es p e c t r a le l e m e n tm e t h o d ；e r r o re s t i m a t e i v 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人 在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式 标明。本人依法享有和承担由此论文产生的权利和责任。 声明人( 签名) ： 苍确 如0 7 年岁月，口e t 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大学有 权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有 权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被 查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文 的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密( ) ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密() 作者签名：苍面 日期：知刁年岁月厂口日 翮魏洚冶吼。净月即 第一节引言 第一节引言 谱方法是一类高精度的数值方法，它采用整体无限光滑的函数( 三角多项 式、c h e b y s h e v 多项式、l e g e n d r e 多项式等) 逼近解，因此谱方法具有所谓的“指数阶 收敛性，这一优点是有限差分法和有限元法所无法比拟的。近几十年来，谱方法的理 论不断地发展完善 6 - 1 3 ，如今，它已广泛应用于物理、力学、海洋等领域的科学计算。 但是谱方法一般只能用于简单区域，而大多数实际问题涉及复杂区域。为了解决这个 问题，p a t e r a 1 4 】等人从变分原理出发，提出了集谱方法的高精度和h 型有限元的灵活 性于一体的谱元法。近年来，谱元法获得了很大的发展，已被成功应用到不可压流体 的计算中【1 5 ，1 6 】。本文的工作正是基于谱元法这一高阶方法的。 非线性s c h r o d i n g e r 方程是一类重要的非线性发展方程，这类方程在量子力学、非 线性光学、超导等方面的研究中有着重要的应用，因而吸引了许多学者对此进行了多 方面的研究。虽然已经有许多学者提出了针对这类方程的数值解法，但以往的数值方 法主要以有限差分方法和有限元方法为主【l 卅。c h a n g 等人【2 】讨论了有限差分格式，特 别介绍了时间上线性化的c r a n k n i c o l s o n 格式，即将外推法应用于非线性项。a k r i v i s 等 人【4 】提出在时间上应用c r a n k - n i c o l s o n - - 阶隐格式，在空间上采用有限元逼近，并证明 了离散解的存在唯一性，给出了驴误差的最优估计。 通常的有限差分方法和低阶有限元方法提供的数值解的精度不高，要得到较精 确的解只有加密网格，但此时需要很高的计算量，这给计算机处理能力带来很大的挑 战。谱( 元) 方法作为高精度的数值方法，它可以取较少的插值结点达到较高的精度， 计算量大大减小。可见，对非线性s c h r 6 d i n g e r 方程进行高精度的数值求解，谱( 元) 方 法是一个很好的选择。 近年来，有一些作者【5 】提出了用f o u r i e r i 普和拟谱方法求解非线性s c h r 6 d i n g e r 方程 的周期边值问题，但显然仅仅考虑周期边值问题是不够的。本文研究的目的就在于 考虑d i r i c h l e t j 2 条件下s c h r s d i n g e r 方程的谱逼近。此时f o u r i e r i 普方法不适用，因此寻 求l e g e n d r e 谱方法成为一个自然的选择。 具体地，本文考察一类带幂次非线性项的s c h r l f s d i n g e r 方程： i a t u + 砖h + 允f ( 1 u 1 2u = 0 ，o ，t ) ( 一，+ ) ( 0 ，r 】， ( 1 一1 ) 其中f = = t ，“ ，f ) 为复值函数，工r ，九为实常数。实函灯( s ) = s t q 为正整数) 。此 类方程被广泛应用于非线性色散波传播问题。本文采用l e g e n d r e 谱元方法求解此类方 第一节引言 程的d i r i c h l e t 初边值问题。 另一方面，s c h r t s d i n g e r 方程通常具备一定的能量守恒性质。如果数值解无法拟合 这些性质，容易产生解的爆破现象。因此，构造一种能量守恒的数值逼近格式是很重 要的。然而，非线性项的存在为构造守恒的逼近格式带来困难，本文将致力于解决这 个问题。 本文的工作是：对于方程( 1 1 ) 的d i d c h l e t 初边值问题，提出一个有效的计算格式， 其中时间方向上应用了一种守恒的二阶差分隐格式，空间方向上采用l e g e n d r e 谱元 法。对于时间半离散格式，证明了该格式具有能量守恒性质，给出驴误差估计。对于 全离散格式，应用不动点原理证明了数值解的存在唯一性，并给出了萨误差估计。最 后，通过数值试验验证了结果的可信性。 2 第二节问题及基本记号 第二节问题及基本记号 首先，我们介绍几个函数空间及相应的范数。 i e _ a = ( 口，6 ) 为一开区间，对任意1 p o o ，定义 上尸( ，) = 1 ，；i i v l l ) ， ( f l v l p 彬l 舛， e s s s u pi ， ) ，p = o o 特别地，( ，) 和1 1 1 1 分别为空间妒的内积和范数，其中( “， ，) = f “ ) v ) 出，可为y 的共 轭。记磷1 ，= 券，对任意正整数研，定义 日优( j ) = v ；磷v r ( ，) ，0 k m ) ， 并赋予下列的半范和范数 = 1 1 0 m v l l ，i l v l l m = ( 吣) 为论文中叙述的方便，引入记号a 焉b ，用来表示存在与任何函数和离散参数无 关的常数c ，使徽焉c b 。 本文讨论如下初值问题： 届“+ 砖“+ 1 , f ( i “1 2 ) “= 0 ，f ) ( 一，+ ) ( o ，卅， ( 2 1 ) n o ，0 ) = u o ，工( 一，+ ) ， 当h o o 时，l l o o ) i 指数衰减到零。 事实上，问题( 2 1 ) 的衰减解满足三个守恒律。将( 2 1 ) 中的第一式，乘以厅，并 咖( 一，+ ) 积分取虚部，得到质量守恒律： 知垆o ，其帕= 仁评t 出( 2 - 2 ) 类似地将( 2 1 ) 中的第一式，乘以a 露，取实部，积分得到能量守恒律： 石d 场( h ) = o ，其中场( 比) = 2 乏1 。0 埘1 2 一一2 p 允+ 2 1 “1 2 升2 出 ( 2 3 ) 3 ，lii-，、_i_、 = 驴 i i i眇 里这 第二节问题及基本记号 还有第三种能量守恒律：若将( 2 1 ) 中的第一式，乘以巩厅，取实部，积分得到守恒 律： 丢卧) 0 其中脚) = 仁2 1 m ( 咖) d x ( 2 - 4 ) 由于带幂次非线性项的s c h r 6 d i n g e r 方程具有如上三种能量守恒律，因此，进行数 值计算时，所构造的逼近格式应该较好地拟合这一性质。 问题( 2 1 ) 是定义在整个实轴r 上，一般而言，有三种方式求解无界区域问题： 截取有限区域，并加入人工边条件； 用l a g u e r r e 多项式或l a g u e r r e 函数进行逼近； 先用映射把无界区域变换成有界区域，再对变换后的有界区域上的问题 用l e g e n d r e 多项式逼近。 本文采用第一种方法，即将问题( 2 一1 ) 转化为z 7 = 陋，h i 上的初边值问题。其 中a ，b 的选取取决于u 的衰减情况。 机= a ，工= b 上设置齐次d i r i c h l e t 边界，考虑如下初边值问题： i d t u + 0 2 u + 九f ( 1 u 1 2 ) “= 0 ，x ，t ) ( 口，b ) ( o ，丁】， u ( x ，0 ) = o ) ， 工( 口，6 ) ， ( 2 - 5 ) u ( a ，t ) = u ( b ，t ) = 0 ，t ( 0 ，砷 易验证问题( 2 5 ) 也满足守恒律( 2 2 ) ( 2 3 ) ，如果五( 口，t ) = 西( 6 ，t ) = 0 ，那么( 2 - 4 ) 也 满足。本文尝试构造出逼近( 2 5 ) 的半离散和全离散格式，使离散解也满足一定的能量 守恒性。 问题( 2 5 ) 的弱形式为：对给定的l l o 础( ，) ，求u ( t ) h 1 ( o ，丁；础( 聊，使得“ ，0 ) = u o ) ，且成立： i ( j t u ，9 ) 一( 袁“，反9 ) + x ( f ( 1 u 1 2u ，9 ) = 0 ，v 9 础( ，) ， ( 2 - 6 ) 4 第三节差分l e g e n d r e 谱元法 第三节差分l e g e n d r e 谱元法 本节引进差分】- g e n ( h 谱元法求解问题( 2 5 ) 。为此，先介绍几个投影算子及相关 的逼近结论。 设为任意给定的正整数，令p ( ，) 表示j 上次数不超过的复系数多项式全体。 记人：【一1 ，1 1 ，对任意的函数1 ，l 2 ( a ) ， ，的地e n d r e 多项式展开为v = 眦七0 ) ，其 中k ( 功为七次i 七g e n d r e 多项式。 定义p ，= 姚 ) ，那么厢为铲( 人) _ p n ( a ) 的正交投影算子，满足： l 2 ( 人) ，厢 ，p n ( a ) 使得 ( p n v , 9 ) = ( u 9 ) ，v 9 p n ( a ) 为了应用谱元法，将区间，= ( 口，易) 剖分为k 个子区间如，k = 1 ，k ，这里如= ( 砚一1 ，毗) ，印= 口，a k = b ，7 = u l l h 。冬r h k = a k 一鲰一l ，h = 1 m 七a 0 ，及1 ， 有定义的。 显然( 3 9 ) 有解的充要条件是，对1 ，= 酊1 ，算子瓦有不动点。 口 引理3 6 ：给定口 0 ，若，嘿，r i i v l i 仅，则存在常数卢 0 ，当2 h 一2 p 肿 p 时，瓦是从球口= u 蝶；i l u l i 2 口) 到其自身的压缩映射。 1 2 、lij， 状科 、ilj， m 瓦a a 嗜 ，ili 矽 舡 孤、-、算培幛；咭怒a缸 ， 一 f 一汀前0乞磊 中 证 p 舯 瓤 第三节差乡f f l e g e n d r e 谱元法 证明：在( 3 - 1 2 ) ，令9 = w + ，并取虚邵，得： 唑拦+ x l m ( o ( ) t u - l - v 肿v ) _ o ， l i p 1 1 w l l 2 = i i v l l 2 一z a t t m ( 妒( u ，y ) ( “+ 1 ，) ，w + ，) 上式最后一项有如下估计： i 一允，砌( 妒 ，d + 力，w + y ) i i z l a t l l 妒( u ，v ) ( u + v ) l l l l w + v l l ；12 f 2 愀“，) ( “+ ，) 1 1 2 + 刘1w 圳2 九2 血2 0 妒( 州) ( “+ y ) 1 1 2 + 扣1 1 2 + 扣1 2 若l l u l l 2 a ，i l v l l 倪，则由引理3 4 得l l u l l 。sj l 一 n a ，i l v l l 。焉h - n o t 。另外 由妒( “， ，) 的定义，容易得到 i i 妒( “，y ) ( “+ 1 ，) l | 2s ( i l 一 n a ) 4 p lj u - i - v i i 2 焉( j l 一；n a ) 4 p a 2 ， 所以 1 1 w l l 2 焉九2 a t 2 h 一2 p 和a 和+ 2 + a 2 = ( 九2 2 h 一2 帅a 4 p + 1 ) a 2 故当f 2 j l - 2 哪和焉牙丢时，i l w l l 2 a ，即瓦映射b 到其自身。 对u l ，u 2 b ，记w l = 瓦 1 ) ，忱= t v ( u 2 ) ，即w l ，w 2 分别满足方程： i ( 蔷，卅( 塑产，州似) 竿，护o v 妒嵋， i ( 哥，旷( 塑竽，州嘶2 州) u 2 2 + v ，9 ) = o ，峨 上面两式相减，得： 峨w l _ 矿- w 2 ，卅( 学，州眠v ) u l 二+ v 刊v j , t u 2 + v ，护。 取9 = w l 一耽，并取虚部，则有 噼+ z l m ( o ( 州, t u l + v 叫酬u 2 2 + v ， w 2 ) = 0 第三节差分l e g e n d r e 谱元法 进一步计算得： 竿m y ) ( “1 + v ) 一妒( y ) ( “2 + v ) 1 1 2 + 扣l 一耽1 1 2 兰竽i i 妒 l ，v ) ( h l + ，) 一驴( “2 ，y ) ( “l + v ) + 妒( “2 ， ，) ( “l + y ) 一妒( v ) ( “2 + 邢+ 扣一w 2 1 1 2 墨兰丢! 兰l i ( 妒( “。， ，) 一妒( “2 ， ，) ) ( “。+ ，) 1 1 2 + 竿愀屹，力( “，一眈) | 1 2 + 扣。一耽| | 2 接下来估计上式右端的各项，由h 6 l d e r 不等式，并注意到妒( “，) 关于“是局 部l i d s c h t i z 的，容易得到： f i ( 妒( h l ，v ) 一妒( “2 ，1 ，) ) ( “l + ，) i i 二 = z v ) 一蚴2 ，y ) + y 1 2 出 ( 加( 旷帕2 ，v ) 陬以1z l u l + v 1 4 出) 2 1 焉( f t l u l - u 2 1 4 出1 z h + v 1 4 出) z 1 利用引理3 4 ，取p = 2 ，q = 4 ，那么 | i ( 妒 1 ，d 一妒( 屹， ，) ) l + v ) 1 1 2 焉j j i 一；n i l u l 一眈f f 2 h z 1 口2 而i l 妒( 屹，1 ，) l 一“2 ) 1 1 2 焉伪一；n 0 0 4 p l l u l 一“2 i t 2 ，i 天1 1 1 七， l | w l 一耽1 1 2 焉z 2 a t 2 ( 一z p ( n 0 0 4 v + h 一1 ( a ) 2 ) l l u l 一u 2 1 1 2 由此可知当离散参数f ， 和满足条件f 2 | l 一2 p n 4 p 焉殍丽万i 丽时，成立1 1 w 1 一 w 2 i | y l 一“2 i i ，o y l 。取卢。牙丽方l _ 矛可，则当f 2 一种焉卢时，瓦为压缩 映射。 口 于是由不动点原理，我们有： 推论3 1 ：设对任意，l 0 ，布1 峨，当离散参数f ，j l 和满足相容性条 件f 2 h 一2 p 胂= d ( 1 ) 时，( 3 9 ) 有唯一解。 1 4 第三节差分l e g e n d r e 谱元法 推论3 2 ：存在常数仅依赖于及逆不等式的常数c ，使得当f 2 h - 2 p n 4 p c 时，( 3 9 ) 对所有的n 0 有唯一解。 证明：由引理( 3 6 ) 及推论( 3 1 ) 得。 下面给出全离散格式的误差估计。 口 定理3 4 ：假定f 充分小，m = 忐，岛= n a t ，若n d ( ，) ，且问题( 2 1 ) 的解“满 足“r ( o ，丁；胪( ，) n 础( 聊，a “f ( o ，t ；h m ( 纠，那么存在与“，a “有关的常数g ， 使得全离散格式的解咯满足： i l l ：r 一掰( 岛) i i 焉c k ( 俨n + 1 朋) 一小+ a t 2 ) ，n = 1 ，2 ，m ( 3 1 3 ) 证明：i g u = “) ，e n = l ，l 一赡，竹= 矿一矿，吃= 矿一咯，则矿= 砰+ 蠼，( 反竹，d x 4 ) = o 。由引理3 2 ，1 1 41 1 焉g 碰n + 1 朋 一肼，i i a p 钏焉g 曲 + 1 川) 一m 。 利用( 2 - 6 ) t a y l o r 展开， l l ，l + l 一矿一1 2 a t 将( 3 1 4 ) 减( 3 9 ) 得： 矿+ l e n 一1 2 赴 ，9 ) 一 + ( o x u n + _ l + 广0 3 x u n - i ，a 一、x q n 、, ) l 一 允( 妒( 矿+ l ，矿) u n + l - z i - u n - 1，9 ) = ( o ( a t 2 ) ，9 ) ( 皇型竽，袁9 ) + 九( 驴( u n + 1 矿一1 ) u n + l + 二u n - l - 一妒( 秽- ，订) 盟乒_ ( d ( 吮办 取9 = + 1 + 哆，并取虚部 1 1 4 + 1 1 1 u 夏- t - 一1 1 ：z = 砌( 。( f 2 ) ，已矿1 + 镌一1 ) 一害i m ( c p ( u n “，矿一1 ) ( 1 l ，l + l + 矿一1 ) 容易得到 一妒( 对1 ，布t ) ( 付+ 布t ) ，矿- + 一t ) 一尺p ( 1 + 1 一型1 ，p 矿1 + 一t ) i m ( o ( z s , t 2 ) ，+ 1 + 哇一1 ) i 焉a t 4 + 1 1 4 + 1i 2 + i | p ! 一10 2 ， m e + l 巫产t 舞- i ，矿+ 一- ) 1 5 ( 3 - 1 4 ) 第三节差分l e g e n d r e 谱元法 害砌 鲁砌 i | 芝i | i l 矿t 何l i | 扣百4 + , _ 4 - 11 1 2 + l l l + l + 哇一t i l 2 焉i l a , e i ) 2 + a t 4 + i i p ! + 11 1 2 + i k ! 一10 2 焉c ；( n m 2 + 1 妒) 一2 m + f 4 + i i 吃+ 10 2 + l i d l 2 ) ， ( 妒( 矿+ 1 ，矿_ 1 ) ( 矿+ 1 + u n - 1 ) 一妒( 付1 ，酊1 ) ( 付1 + 带1 ) ，矿1 + 已! - 1 ) ( 妒( 矿+ 1 ，矿一1 ) ( 矿+ 1 + 矿一1 ) 一妒( 矿+ 1 ，l l ，l 一1 ) ( 对1 + 酊1 ) - l - q t ( u n + l , 矿- 1 ) ( 付1 + 酊1 ) 一妒( 秽1 ，带1 ) ( 付1 + 有1 ) ，矿1 + p ! _ 1 ) 蛐妒( ，) ( 1 + e - 1 ) l l l l + l + 蠼一1 | | + 学( 矿“，矿一1 ) 一妒( 付1 ，带1 ) ) ( 带1 + 带1 ) l l l l e ! + x + 蠼一1 1 1 注意到矿+ 1 ，矿，对1 ，l 布1 的有界性，驴为l 如s c h t i z 函数，及矿= 4 + 4 ， f 妒( 矿+ 1 ，矿一1 ) ( e 一+ 1 + 矿一1 ) 1 1 2 一抽+ f 4 + ea t ( 1 l + 11 1 2 + i l e 2 l l m2 ) ) 一1 n = 0 1 6 第三节差分l e g e n d r e 谱元法 由g r o n w a l l 不等式： 所以 l 孝l f 2 + i | 孝一1i 2sg ( 矿曲 n + l , m n 一2 m + a t 4 ) 1 2 焉g ( 炉曲 n + l , m ) n 一2 m + a t 4 ) ， 再利用三角不等式，定理得证。 1 7 口 第四节数值实验 第四节数值实验 本节旨在考察全离散格式( 3 9 ) 的收敛性及能量守恒性质，验证前面证明的结果。 全离散格式( 3 9 ) 是隐格式，为此我们采用预估校正算法来进行计算，具体步骤如 下： 预估： 求“铲1 ，o v n ，满足： f ( 簪n + l , 0 _ n - i 川一( 鲨型却) + x c l u l 印川_ o v 9 v 校正： 求付1 ，v ，s = 1 ，2 ，满足2 z ( 一( 鲨型砌) + 九( 妒( 秽1 川，有1 ) 盟, n + l , s - 1 望，9 ) ：o ，v 9 v ， 这里付1 声在边界a 珀勺值由精确解给定。显然若对1 声收敛，那么其极限就是( 3 9 ) f l 勺解。 在计算中，预估：校验算法的收敛原则设定为前后步误差不超过1 0 1 0 。为了 便于实际计算，所有积分项都采用l e g e n d r e g a u s s l o b a a o 积分公式近似。我们考 察( 2 1 ) 中九= 2 的情形【2 1 1 ，其精确解为 u ( x ，t ) = 如x ，t ) e x p 2 i ( x 一言f ) 】， 其中 讹f ) _ 掣蒯( 挈 嘶5 ) ) r 对任意的p ，上述解均为孤立子，初始中心为工= 一5 ，以速度4 向右传播。 数值试验中，我们检验两种情形：p = 1 和p = 2 。方程( 2 1 ) 在这两种情形下分别称 为三次s c h r 6 d i n g e r 方程和五次s c h r & l i n g e r 方程。我们对上述两个方程进行数值计算， 取t ( 0 ，1 1 ，并且对应p = 1 和p = 2 分别取( 口，b ) = ( 一2 0 ，2 0 ) ，( a ，b ) = ( - 3 0 ，3 0 ) 。通过 改变时间步长a t ，多项式阶数n ，及单元数k 来观察离散格式的逼近效果。 1 8 第四节数值实验 ( a ) 图4 1t = i 时，l 2 误差随f 的变化曲线。( a ) p = l ，c o ) p = 2 图4 1 给出弘误差随时间步长f 变化情况( 1 0 9 1 0 9 尺度) ，仔细验证发现，p 误差 曲线几乎成直线，且关于时间步长轴的斜率为2 ，因此，正如我们理论所分析的，所构 造的离散格式关于时间是2 阶精度。 1 9 第四节数值实验 ( a ) 图4 2t = 1 时，l 2 误差随多项式阶数n 的变化曲线。( a ) p = l ，( b ) p = 2 图4 2 显示弘误差与多项式阶数的关系。从图中可见，随着的增大，f 误差呈 指数衰减，这说明对光滑解，数值解具有所谓的谱精度。 第四节数值实验 ( a ) 呻d l - 0 0 0 1 蜊 图4 3t = l 时，l 2 误差随谱元个数k 的变化曲线。( a ) p = l ，( b ) p = 2 图4 3 显示妒误差与谱元个数k 之间的关系。仔细观察发现收敛率大约是型 ( 圭) ，这和理论估计是一致的。 2 1 第四节数值实验 。 日 、 f 2 一- - 旺1 一 e e 一 电 ( a ) 。 臼 e 2 一 e e l 啦一 l 耻 图4 4 能量，( a ) p = l ，p 乾 为了验证所构造的逼近格式的能量守恒性质，我们取t = 2 5 ，计算定理3 3 中的两 个能量。图4 4 中，e e l ，e e 2 表示精确解的能量，e 1 ，e 2 表示数值解的能量，数值解与 精确解拟合得较好。当孤立子在所选取的计算区间内传播时，e 1 ，e 2 基本保持不变， 当孤立子离开计算区间内后，计算区间内的两个能量e 1 ，e 2 都为零，与理论上一致。 数值结果显示我们所构造的离散格式是一个守恒格式。 第四节数值实验 ( a ) 图4 5 孤立子的传播，( a ) p = l ，c o ) p = 2 图4 5 是对孤立子的模拟，表示t = 0 ，t = 1 0 ，t = 1 5 ，t = 5 0 的波形。从图中 可以看出波向右传播，波形保持得比较好。 以上数值试验表明我们构造的全离散格式是一个具有能量守恒性质的二阶格式， 这验证了上一节所得到的理论结果。 参考文献 【1 】 【2 】 【3 】 【4 】 【5 】 6 1 【7 】 【8 】 【9 】 【1 0 1 【1 1 】 【1 2 【1 3 】 【1 4 】 【1 5 】 【1 6 】 参考文献 s a n z - s e r n aj m e t h o d sf o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h en o i l l i n e a rs c h r o e d i n g e re q u a t i o n j m a t h e m a t i c so fc o m p u t a t i o n ，1 9 8 4 ，4 3 ( 1 6 7 ) ：2 1 - 2 7 c h a n gq ，j i ae ，s u nw d i f f e r e n c es c h e m e sf o rs o l v i n gt h eg e n e r a l i z e dn o n l i n e a r s c h r o d i n g e re q u a t i o n j j o u r n a lo fc o m p u t a t i o n a lp h y s i c s ，1 9 9 9 ，1 4