（概率论与数理统计专业论文）两种不同风险模型下lundberg指数及破产概率大小的比较.pdf

摘要 受文章【i ，【2 】的启发，本文讨论在单位时间的平均赔偿总额数相等的条件下，对普 通更新风险模型和广义普通更新风险模型的两个主要风险指标：l u n d b e ，g 指数和破产 概率的大小进行了比较。证明了前者的l u n d b e r g 指数严格大于后者；并通过举例证明 两者破产概率的大小是无法确定的这说明了在更广的更新模型下文章1 2 2 中的结论不 成立。接下来，对索赔时间间隔服从e r ( 2 ) 分布的更新过程我们分析了产生这种结果的 原因，并且对广义普通更新风险模型进行了分析，得出与普通更新风险模型相对应的一 些结论。 关键词： 广义普通更新风险模型，l u n d b e r g 指数，安全负荷，破产概率，l a p l a c e s t i e t t j c s 变换，l u n d b e r 9 基本方程，c r a m d r - l u n d b e r g 渐进方程，l u n d b e r g 界。 a b s t r a c t i n s p i r e db yp a p e r s 1j ， 2 】i nt h i sp a p e r ，w ec o m p a r et h es i z e so ft w ok e yi n d i c e so f i n s u r a n c e ：l u n d b e r ge x p o n e n ta n dr u i np r o b a b i f i t y , b e t w e e no r d i n a r yr e n e w a lm o d e la n d g e n e r a l i z e do r d i n a r yr e n e w a lm o d e lu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt w om o d e l sh a v et h es a m e n l e a nv a l u eo fa g g r e g a t ec l a i m sc a u s e di nau n i tt i m e w ep r o v et h a tt h el u n d b e r ge x p o n e n to ft h ef o r m e ri ss t r i c t l yl e s st h a nt h a to ft h el a t t e r ，b u tu n f o r t u n a t e l y ，t h r o u g hs o n l e g i v e ne x a m p l e s ，w ec o n c l u d ec o m p a r i s o no fr u i np r o b a b i l i t i e sb e t w e e nt h et w om o d e l si s n n d e f i n i t e d t h i si n d i c a t e st h a tf o rt h et w ob r o a d e rm o d e l s ，t h ec o n c l u s i o n so ft h ep a p e r 【2 1 2 d o e sn o te x i s t t h e n ，u n d e rt h er e n e w a lm o d e l sw i t he r ( 2 ) c l a i mi n t e r a r r i v a ld i s t r i b n t i o n s ，w ea n a l y s i st h er e e s o n sc a u s i n gt h er e s u l t , ，i nt h ee n d ，w es t u d yt h eg e n e r a l i z e d o r d i n a r yr e n e w a lm o d e la n dg e ts o m er e s u l t sc o r r e s p o n d i n gt ot h eo r d i n a r yr e n e w a lm o d e l k e y w o r d s ：g e n e r a l i z e do r d i n a r yr e n e w a lm o d e l ，l u n d b e r ge x p o n e n t ，s a f e t yl o a d - i n g ，l a p l a e e - s t i e l t j e st r a n s f o r m ，l u n d b e r gf u n d a m e n t a le q u a t i o n ，c r a m 6 r l u n d b e r ga p p r o x i m a t i o n l u n d b e r gb o u n d s 引言 在普通的更新风险模型中，每次索赔时间间隔内只发生一次索赔。但在实际中， 我们经常会遇到在同一时刻有两个以上的顾客要求索赔的情形例如，工程保险中，每 次索赔会涉及到对多个利益关系人的索赔，如项目所有人，承包人，甚至贷款银行；再 如，汽车保险中，每次车辆事故中要求索赔的关系人的数目不止一个，而所有这些关系 入的个数可能服从离散分布于是，受文章1 1 1 2 的启发，我们对普通更新模型进行推 广，将其推广为广义普通更新模型文章f 2 1 中作者对时齐p o i s s o n 模型和推广后的广 义时齐p o i s s o n 模型的两个指标：l u n d b e r g 指数和不破产概率大小进行了比较，得出 前模型的两指标均严格大于后者，这就说明了采用推广后的模型会使保险风险加大那 么我们猜想，对于更广泛的更新模型会不会有同样的结论呢? 2建立广义普通更新风险模型 我们熟悉的普通更新模型为： k = i t + c t 一& t 0 ( 2 1 ) 其中，五表示保险公司在t 时刻的盈余，u 为资本初始金，常数c 代表单位时间收 取的保费即保费率& 表示t 时刻的索赔总额，其具体表达式为，巩= x i ，t 0 f 是一个计数过程，表示在0 到t 这段时间内的索赔次数，它具有一般分布。五表示第 i 次索赔的索赔额，并且 冠) 必是i id 随机序列；正表示第i 1 次索赔到第i 次索赔 的间隔时间， 正) l o 也是i i d 随机序列，这样一来婀就是一个更新过程。我们假定 1 3 广义普通更新风险模型转化成普通更新风险模型 文献 1 中证明了广义复合齐次p o i s s o n 模型可转化成普通齐次p o i z s o n 模型，同 样我们也可将广义普通更新风险模型转化成普通更新风险模型。 定理3 1 广义普通更新风险撬型可以转化成普通更新模型 证明： s t = 茂 而+ + x z l + x z l + 1 十+ x 2 。+ 如+ - + x z - + z 2 + + 2 厩一1 + 爿五+ 面+ + z 而( 3 1 ) 令， m = x 五+ 玩十+ 磊l + 1 + 十) 匕1 + & 扣+ z ：f 3 2 ) 于是有，2 蚤现只需证明 k ) 是独立同分布的随机变量即可v z r ：当。茎0 时，p ( ms0 ) = 0 ；当z 0 时， _ p ( ks ) = p ( x z i + z 2 + 斗互一。+ l 十+ x 历+ 面+ + 五sz ) = p ( x 蜀+ z 。+ 一+ 五，+ l + n = l 。p ( x 甜讲憾时l + + x z l + 邑_ + z 。r l 五z & = 九) p ( 磊= 7 ) + x z - + 邑+ + z + 儿。) p ( 五= 礼)( 3 3 ) 第三个等式成立是由于( x ； 础和 五) 础是相互独立的随机变量序列。又因为对任意 大于等于1 的一列整数，弼，玛，甄，甄一1 p ( x z l + 忍+ + 互一1 + 1 + + 叉j 1 + + + 五一1 + 。z ，z l = k 1 ，z 2 = k 2j ，五一1 = k i 1 ) p ( x j c - + 虬_ + k 。十+ x k ：+ 托十+ 托，+ n z ，五= ，l ，磊= 托，五一1 ：k 一1 ) = p ( x k l + 耽+ + 墨1 + + x k l + h + l _ 1 h 墨x ) p ( z l = q ) 尸( 易：k 2 ) p ( 五一1 = k 一1 ) ( 3 4 ) 式两边对甄，娲，喝，k 一。求和得， p ( x z l + 岛+ + z 。一1 + l + + 也l + 忍+ + z 。一1 + 。s 。) = f 4 ”( 。) 其中， f “( 嚣) 是索赔额分布的n 重卷积，于是( 3 3 ) 式为， p ( h 。) = f ”( z ) r ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 36 ) 争景 等式( 3 6 ) 说明k 分布跟i 没关系，所以k ，i = 1 ，2 ，3 是同分布的。下面证明， 不仅同分布，而且相互独立。v n 2 ，尬= l ，2 ，3 ，利用i i d 随机序列 五) ，! l 之问的独立性 我们有， e ( e ( 8 1 7 1 十9 2 。2 + + 。“) 、 = = e ( e 。1 ( x t + x 2 + - - + x 。1 ) + 。2 ( x z i + i + + x z i + 墨) + + “( x z l + z 2 + 十z + 1 + + x z l l z 2 + + 2 n ) 、 = _e 【e 。1 ( x l + x 2 + + x z l ) e 如( 工丑+ 1 + + x z l + z 2 ) e “( x z l+z2+zn1 + 1 + 一+ x z l + z 2 卜+ 4 - ) k i ，如! l - ( z 1 = k 1 ，磊= 娲，么= ) 】) = e e o l ( x t + x 2 + + x k i ) ，( 五= k 1 ) i 拶x k i + i + + x k i + k = ) i ( z 2 = 虬) 】 n ，t t 三1 e “( x ：q + “2 w 一+ 1 十+ 。x t + 如+ * n ) ，( 磊= 虬) 1 = e e 0 1 ( x l f l x 2 + , + x k t ) j ( z l = k 1 ) e c 0 2 ( 。t + 。咐x 。) i ( z 2 = ) 】 k h 、n 1 1 冒( e ( 。m 褂+ _ i + z + + 叛斗+ ，( 磊：k ；) = e e 8 1y 1 e e 屯虬- e e 。n h f 3 7 1 于是，我们将广义普通更新风险模型转化成了普通更新风险模型 转化后的模型分另为： m 五= u + 矗一 m 茏：“+ 西一f 鼍，t 0 ( 38 ) ( 39 ) 令e y l = 面， h f ( x ) = f “( z ) r 设两个模型的破产概率分别为砂( “) ，巧( “) 我 们还假定广义普通更新风险模型的带正漂移，即c 芦一面 0 ( 实际上，在接下来的第五部 分中，当满足某个条件时，我们可以推出该不等式与印一p 0 是等价的) 另外值得 强调的是，更新过程包括普通更新和平稳更新两种，在这里我们只定3 、j、，慨 4 两种风险模型l u n d b e r g 指数大小的比较 为了对( 3 8 ) ，( 3 9 ) 两风险模型l u n d b e r g 指数及破产概率进行比较，实际而且合理 的条件是假定两者单位时间平均索赔额数相等，即有关系式， 也就是，舢1 ( t ) = 鼢2 ( t ) ，又因为 我们立刻得出 另外 t e 五 札 e k ( 4 1 ) 面= e m = e ( x i + 恐+ + x 盈) o 。 = e ( x - - 7 - 凰+ + 也，五= n ) p ( z l = n ) n = i = p mf 4 2 1 ( 4 3 ) e n t = a - ( ) = p ( 肌n ) n = 1 = p ( r l 十正+ + 5 t ) n 2 l = h “( t ) ( 4 4 ) 2 l 同样我们有， e 丽= 沁( t ) = 咖( ) 对( 4 4 ) ，( 4 5 ) 两式分别求l a p l a c e s t i e l t j e s 变换得 ( r ) = ( 瑶( r ) ) ” n = i l h + ( r ) l l h + f r ) z + ( ，) ：圭馨1 2 1 一l * h ( r ) 4 ( 45 ) ( 46 ) ( 4 7 ) 其中，( r ) = fe - - r x d a l ( t ) o 。 口( r ) 一fe 烈2 ( t ) 再由( 4 3 ) 知 0 f ( r ) = z + ( r ) m ( 4 8 ) 由文献 5 ( p 5 8 5 9 ) 知，两个模型所对应的l u n d b e r g 方程分别为， ( h 2 ( r ) + 1 ) - 三+ ( 5 r ) = 1 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 其中， r ) = g = d f ( z ) _ 1 ( 4 1 1 ) 。( r ) = e “d f ( z ) 一1 ( 41 2 ) 两个模型的l u n d b e r g 方程实际上是在寻找l u n d b e r g 不等式和构造指数鞅的过程中确 立的设两个模型的l u n d b e r g 指数分别为r 1 ，月2 定理4 1r l r 2 证明：由( 4 6 ) ，( 47 ) 知 于是根据( 4 9 ) ，( 4 1 0 ) 我们得到 研) = 尚 聃= 嵩 l + ( c r l ) ， 1 + l * ( c r l l l ( c r 2 )， 1 十l 4 ( c r 2 ) ( 4 1 3 ) f 4 1 4 1 也即，三+ ( c r ，) = h i ( 冗1 ) ；弘( c 岛) = h 2 ( 岛) 一立刻得到， 勰= 榴 ( 4 1 5 ) d ( c 疡) l ( 埔j 、 5 再由于 。萼 h z ( r ) = ( d f ”( z ) 只) 一l n 2 i ； = ( r ) + 1 ) “一1 心 。 = 匹r n ：l 1 记r ( h l ( r ) + 1 ) 。= l ，于是， n = 1t = 0 h 2 ( r ) = l h i ( r ) 由( 48 ) ，( 4 1 5 ) ，( 4 1 7 ) 我们得到， l ( r 1 ) h i ( r 2 ) 1 ( r 1 ) h l ( r 2 l 4 ( c 兄1 ) l + ( c r 2 ) l + f c r l ) - m f 4 1 6 1 f 4 1 7 1 【4 1 8 j 又由文章f 2 知，不等式l m 成立。于是有， 糍譬l 焉r 2 圳 h l ( r 2 ) + ( c ) 。 。7 定义a ( r ) = h l ( r ) p ( c r ) ，如果我们能证明a ( r ) 在( 0 ，o 。) 严格单调递增，问题就解决 了。但是我们在证明过程中遇到了困难，也就是说我们无法证明a ( r ) 在整个正半轴上严 格单调递增我们发现如果在 兄，r o 。) 能证明上述结果，问题同样可以解决。我们考虑 轻尾的索赔额分布，这里亿。= i n f r 0 ，h i ( r ) = o o ) ，r 。可能为无穷大。接下来我们 将转而证明a ( r ) 是陋，r 。) 上严格递增的函数 的) = e ( e x - 1 ) 高 = 酢“_ 1 ) 篙 ：警叫以1 ) ( 4 2 0 ) 1 一e e c r y 一” 、”7 对a f r ) 求一阶导数的。 a 7 f r l e x e 7 x ( 1 一e e 一盯y ) 一e ( e x 一1 ) ，e c y e c r y e x e 7 y ( 1 一e e - 凹- y ) 2 ( 1 一e e 一“7 ) 2 e x s 7 x e ( 1 一e c r y l e c 一盯y e f 矿x f 1 一e e 一一0 1 2 6 ( 42 1 ) r 饥+一 令上式的分子为b ( r ) ，则 口一) 蓝e x e r 盖e ( 1 一e c r y ) f e 一凹y e ( e 7 x 一1 ) - e c y e 一盯y ( 4 2 2 ) 如果我们能证明b ( r 1 ) 0 ，而且b 协) 0 ，协( r 1 ，r 。) ，我们就能得出b ( r ) 0 ，v r 兄1 ，r 。) 我们将分三步来证明这个结论 第一步，我们来证明e x e r 1 ( x 一。7 e c y e 且1 陋一c v ) 证明：令，9 ( r ) = e e l ( x 一。”，我们简单说明9 ( r 1 ) 0 。由g ( r ) 的可导性及拉个朗日 中值定理知，x ( 0 ，r 1 ) 使得， 9 ( 风) = g ( o ) + r 1 9 k ) f 4 2 3 1 如上图所示，由于g ( o ) = 9 ( r t ) = 1 ，所以9 7 ( 冗，) = 0 再由于风险模型带正漂离 故有矿缸) = e ( x c y ) 2 e c y 0 ，这说明了9 ( r ) 是 o 。) 上严格凸函数，我们立刻 得到关系式9 7 ( r 1 ) g l ( ) = 0 这就证明了e x e r l ( x 一。y ) e c y e r l ( x 一。y ) 第二步，我们来证明b ( r l ) 0 证硝： 我们已证明f x e 咒一c y ) e c y e r - 一c y ) ，由于随机变量序列 五) 。l 和 互h ! l 之间 得相互独立性，我们有， 7 b ( ，1 ) =e x e 见( x 一6 e ( 1 一g - 。r 1 r ) 一e ( e 一。r y 1 )e c y e 一。r 1 y e c y e r ( x 一。y ) e ( 1 一e 一。r 1 r ) 一e ( e 。且- r 一1 ) e c y e 一。r 1 y =e c y e - c 尺l y e c y e r i ( x c y )e 一c r i y =e c y e 一露i y n e e 巩( x 一y ) 、 =0( 4 2 4 ) 第三步，我们来证明b ( r ) 0 ，v r ( 冗l ，r o 。) 证明： b 7 ( 7 ) = e x 2 ，x e ( 1 一e c r y ) - e e 盯y + e x e 7 x e c y e 一贯y e x e 7 y e ( 1 一e c r y ) e c y e y e x c x - e c y e 哪y + 凹( e ”x 一1 ) - e ( c y ) 2 e c r r =e x 2 e x e ( 1 一e c r y ) e e 一盯r + 2 e x e x e e c r ，e c y e - c r r 一2 e x e r x e c y - o r y + e f c y l 2 e c r y = e x 2 e 7 x e ( 1 一e 一盯y 1 e e 一盯y 一2 e x e 7 上e ( 1 一e c r y l ，e c y e 甜y 十e f ，x 一1 ) ，e ( c y ) 2 e 一时y =e ( x c y ) 2 ，( x 一。y ) e ( 1 8 一甜y ) + e ( c y ) 2 e - c r y ( e e 7 ( 五一。y ) 一1 ) ( 4 2 5 ) 由于当计( r 1 ，咒。) 时，e e 7 ( 。_ c 7 ) 一1 = g ( r ) 一1 0 ，所以b ，( 厂) 0 因为b 协) o ，y r ( r 1 ，r 。) ，而且b ( 月1 ) 0 ，所以在! 矗l ，如) 上，b ( r ) 是严格单 调递增的。于是有a 协) 0 ，r 【r 1 ，r 。) ，且( r ) 在 兄，) 上也是严格单调递增的 如果惑r 1 ，则a ( 奶) 一( r 1 ) 鄂h i ( r 2 ) p ( c l i 2 ) h i ( 甩) 口( c 蜀) ，这就与( 4 1 9 ) 式 矛盾，所以r 1 r 2 5两种模型下破产概率大小的比较 在文章2 1 中作者对普通复合p a i s 8 0 n 模型和广义复合p a t s s o n 模型的破产概率大 小进行了比较，得出在单位时间平均索赔额数相等的条件下，后者的破产概率严格大于 前者这就说明如果采取更符合现实的广义复合p o i s s o n 模型保险公司面临的破产风险 就会加大这主要是由于索赔过于集中的结果。那么我们会问，对于更广泛普通更新模 型是不是会有同样的结果呢? 是不是广义普通更新风险模型的破产概率要严格大于普通 更新风险模型呢? 很遗憾的是，这一结果不成立，下面我们将证明两种更新模型下的破 产概率妒阻) 和砂( u ) 的大小无法确定。 8 定理5 1普通更新风险模型的破产概率妒( “) 跟广义普通更新风险模型的破产 概率砂( “) 的大小无法确定 为了证明这一定理我们首先给出几个引理 引理5 1 在该两种更新风险模型下，如果满足条件“圳，则c 卢一p 0 甘 c 卢一互 0ip = 卢m ，于是当索赔时间间隔正和n 分别服从参数为7 和彳的e r ( 2 ) 分布时，有1 = 彳m 证明： l i m 醴 州。t 豇e n t t 口 ：l i 。生墨盟 o 。t = 竺 口 第四个等式成立是利用条件( 4 1 ) 我们马上能得出印一， 0 曹审一互 0 ，再利用等 式( 4 2 ) 得到卢= p m ，当索赔时间间隔乃和丑分别服从参数为7 和了的e r ( 2 ) 分布 时，卢= ；卢= ；，立刻可以得到7 = 彳m 实际上，即使没有引理51 ，我们依然可以通过简单计算得出= 彳m ，这里只是作为一 个小例子其简证如下： e = p ( t n ) = p + 噩+ + s t ) 由于孔一e r ( 2 ，7 ) ，所以乃4 - t 2 + + 咒一e r ( 2 n ，叫) ，于是有， e 肌2 薹等等幽 2 互似 同理e m = 筘t 再由( 4 , 3 ) 知， 1 = 彳m 引理5 2 在索赔时间间隔服从e r ( 2 ) 分布的情况下， r l j r l 钟9 1 ( 见m ) 9 1 ( 且1 ) = 0 由( 42 ) ( 5 3 ) 式我们得到， m ( r 2 m ) 一m 9 2 ( 恐) = 9 i ( r 2 m ) 9 1 ( r 1 ) 0 营7 2 u ( q 4 ( 疡m ) 一矿( r 2 ) ) 0 ，了，芦 0f 5 6 ) 所以， 飓m r 1 甘矿( 恐m ) 矿( r 2 ) ， 又因为q + ( r ：m ) = 生铲；矿( 嘞) = 警故有， r l r 2 m 甘f 4 ( r 2 m ) f + ( 疡) ； r l = 岛m 讳f + ( r 2 m ) = f + ( 疡) 妒( o ) ，砂( o ) 表示资本初始金为0 ，即“= 0 的两个模型的破产概率， 引理5 3 索赔时l 司间隔为e r ( 2 ) 分布的情况下， r 1 = r 2 m 甘妒( o ) 0 。比较上式显然有 r i r 2 m 兮砂( o ) 砂( o ) r 1 = r 2 埘甘砂( o ) = 妒( o ) 由引理5 2 ，引理5 3 我们给出了两组等价关系： ( 5 1 1 ) ( 5 1 2 ) r m 甘f 4 ( 嘞m ) 乒+ ( r 2 ) 讳妒( o ) 石( o ) ； r 2 m 甘p ( r 2 m ) = j 4 ( 兄) 甘妒( o ) = 万( o ) ，( 5 1 3 ) 在此基础上我们给出几个例子来说明妒( o ) 和万( o ) 的大小。 例1 ， 当_ = ( ) ”，( n 1 ) ；f ( 。) = 1 一e ，z o ；f ( x ) = 0 ，z o ；f ( ) = 0 ，t 0 p ( r ) = ( 熹) 2 尸( 2r 2 卜两面再杀丽( 51 7 ) 就r 2 ) = 两可喾面丽 显然f + ( 2 r 2 ) 乒4 ( r 2 ) 根据引理我们可知，妒( o ) 万( o ) ；咒l 妒( o ) ；r 1 ；r 2 上述三个例子说明当五，i 1 和索赔额五，i l 的分布不同时，两个模型在= 0 时 的破产概率大小是不确定的 那么当” 0 时，妒( “) 和妒( u ) 的大小如何呢? 由文献 4 第三章我们知道存在常数 a ，岛使得， l i r ae 8 1 “妒( u ) l i r ae 跏万( u ) 1 2 c 1 g ( 52 2 ) 由于r 1 r 2 ，所以必存在u 0 ，使得当 u 时都有妒( u ) 妒( “) 那么是否存在u 0 ，使得砂( u ) 0 使得妒( “) o ) ( 5 2 5 ) 1 3 f m 托 者 如 、j扛 f一1 妒 吣 rpzr 叩 | | 取索赔额分布f ( z ) = 1 一e - - r x i 扛o ) ，则易知g ( g ) = 矗e 一蛔 于是， 研+ ( r ) = ”f 。r y 丽1 ：c - a y 却 ( a + r 1 ) ( a 十r ) 结合( 5 2 5 ) ，( 52 6 ) ，( 52 8 ) 我们得到t ：善掣 + 西面薪 令r = ( ；) “，( n 1 ) ，由于， f ( x ) = f “( z ) p n f “( 。) 对应的分布密度为， ，+ ”( z ) = 墨篇；产，带入上式得到f ( z ) = 1 6 - n 同样我们可以得到： 矾r ) - 嚣 其中彳为相应广义模型的e r ( 2 ) 分布的参数。再由例1 知妒( o ) = 万( o ) 2 尝 c 2 ( 1 一砂( 0 ) ) c 2 + 两柄 妒+ ( r )p 0 ) ( 52 6 ) ( 5 2 7 ) f 5 2 8 1 r 1 2 r 2 则， 所以哥( r ) 砂+ ( r ) 因此必存在一个l e b e s g u e 测度大于零的集合，对任，都有万( ) 妒m ) 1 4 ( 52 9 ) 乡( o ( o ) 如上图所示，例4 充分说明了在( 0 ，u ) 上，妒( ) 跟吵( u ) 的大小是无法确定的。 对于索赔时间间隔服从指数分布的更新模型，根据文章 3 ，我们恒有妒( u ) 妒( u ) ，但是 对于索赔时间间隔服从e r ( 2 ) 分布的更新模型，妒( u ) 跟妒( u ) 的大小却无法确定的，只 有当“充分大时才能比较出大小，这是为什么呢? 我们的前提假设是两模型单位时间的 平均索赔额相等，这是符合客观实际的。但是，我们却发现0 到t 时间里发生索赔次数 有e m 。，这说明了虽然索赔次数减少，但索赔额加 大，索赔变的集中，破产风险加大了但是对于索赔时间间隔服从e r ( 2 ) 分布的更新模 型来说，e r ( 2 ) 分布可以看成是两个独立的指数分布的复合，从概率的角度来说它将索 赔时间延长了这样一来，这种集中的强度就被弱化了，我们就不难想象正是由于这个 原因使得更新模型下的两个破产概率难于比较 6广义更新模型的一系列风险分析 显然，对于广义普通更新风险模型我们也有： 万( “) e 一8 z u ( 见文献【5 ) ，而且存在常数c 使得l i r n 。e 飓u 万( u ) = c ( 见文献 6 ) 其中c = 害堡坐盟，g + ( u ) 为阶梯高度的分布函数， 如f9 e r 2 v d g + ( 0 1 1 5 而且有 怒型t = 熙掣一言一笔p ( 6 ，) 一o 。 e _ + 。o 阿 我们给出广义普通更新风险模型的l u n d b e r 9 界，即有如下不等式成立 其中 6 二e - r 。“茎石( “) b ；e 一施” ”唧s u ，p 训嚣 e r 。ef 叫z ) r 2 s u p 百_ f 一 2 6 0 , x 0 ，c r 。_ d ( f + n ( g ) r ) t n = l ( 62 ) 一 兀e r 2 p ”( 。) s u p 丽璺丽一 ( 6 3 ) “圳r ( ，e 飓v d f 一( ) ) 订e r 。r 。f ”( 。) 6 鼻蚓i n 吣f 。，i n = l 丽磊丽 6 4 其中z o = s u p x ：ef ”( z ) r 疡m 时。砂( o ) 就有正的下界m a x 渺( o ) ，1 一! 皆) 广义普通更新模型 生存概率的l a p l a c e s t i e l t j e s 变换为； 孙) 2 蒜 ( 6 ，) 其中， 声訾= 击卜一可鼢) ( 1 越瑚如 l 凡 嘞一r ，卡 f ”( z ) r ) 出 = 毒杀耋础州卜( 州聊 ( 6 8 ) p ( r ) ：f 。e - 一d f ( 。) 于是化简后生存概率l a p l 。c e s t i e l t j e s 变换为： 哥( ，) ：兰业生芝坠型型( 6 9 ) c 2 m 2 r 。( r 2 7 ) 。+ 7 2 岛至r ( p ( r ) ) “一( p ( 飓) ) 7举例进行数据分析 我们给出一个复合p o i s s o n 的例子来简单说明一下两模型的风险指标的关系。 m x t = “+ c t 一x 。t 0 ，为普通复合p o i s s o n 模型，置和x l 都服从参数为a = 1 i x i 的指数分布。安全负荷p = ! 警= c 一1 ，于是由文献嘲知， 州= 两1e 一焉= 1 c ；? ，- o - 跏 r - 2 而p 砑2 ，一； ( 7 1 ) f 7 2 1 相应的广义复合p 。模型为豆：。+ d 一墨k ，令p 札：( ；) n ，我j 易知于1 服从参 数为i 1 的指数分布。并且索赔额的分布密度为，i l = f ( x ) 薹高c 抄 1 7 ( 7 3 ) 万= p = c 一1 破产概率和l u n d b e r g 指数分别为， = ；1 e 一学 r 。= ；( ，一；) c = 1 2 5r ，= 0 2 r 2 = 0 1 u 妒( )妒( u ) o0 8 0 0 0 00 8 0 0 0 0 106 5 4 9 8 07 2 3 8 7 40 3 5 9 4 60 5 3 6 2 6 70 1 9 7 2 803 9 7 2 7 1 00 1 0 8 2 70 2 9 4 3 0 1 300 5 9 4 20 2 1 8 0 3 1 60 0 3 2 6 10 1 6 1 5 2 1 90 0 1 7 9 00 1 1 9 6 5 2 20 0 0 9 8 2 0 0 8 8 6 4 2 500 0 5 3 90 0 6 5 6 7 ( 7 4 ) ( 7 5 ) 我们看到，当初始准备金足够大时( 比如在2 0 左右) ，采用广义普通更新模型所产生的 破产概率是普通更新模型破产概率的八九倍显然这种推广后的模型使得破产风险明显 加大了。 1 8 参考文献 1 】戚懿，广义复合p c , i s s o n 模型下的破产概率，应用概率统计，第十五卷，第二期 t 9 9 9 年5 月 【2 张春生，李学昆，带干扰广义复合p o z s s o n 模型与带干扰复合p o i s s o n 模型相比较 的两个结果待发表。 3 】dc ，m d i c k s o n ，c h i p p ，o nt h et i m et o a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c 8 ，2 9 。2 0 0 1 m m 加re r l a n 9 ( 2 ) r i s kp t o e e s s e s ，i s z u r p p 3 3 3 _ 3 4 4 妈bc ，m d i c k s a n 、c h i p p 。r u i np w b a b j l i