（概率论与数理统计专业论文）考虑信用风险的可转换债券价值分析.pdf

摘要 摘要 长期以来，可转换公司债券( 以下简称可转债) 的理论价格与实 际价格存在一定的价差。范辛亭提出两者之间的不一致是由于传统 的可转债定价中没有考虑信用风险。因此，考虑把适当的信用风险模 型引入到对可转债的定价中来就很有必要。本论文就试图在这方面做 一些探索性的工作。 具体而言，本论文主要包括以下几个方面的内容： ( 1 ) 利用投资组合动态复制技术及无套利原理，得到了包含有违 约概率、风险补偿因子等诸多参数的偏微分方程。 ( 2 ) 尝试同时考虑两个具有相关性的随机过程，即公司价值过程 和股价过程。用公司价值的波动来描述信用风险。利用风险中性定价 理论，得到了含信用风险可转债定价的解析表达式。 ( 3 ) 前面两种方法都无法考虑到可转债附加条款对其价值的影 响。为了克服这一缺点，我们引入密度模型。这一方法的特点就是在 其相应的数值解法中，我们能使用二叉树法和蒙特卡洛模拟方法把诸 多附加条款都考虑进去。 关键词可转换公司债券，信用风险，无套利原理，风险中性定 价理论，蒙特卡洛模拟 中南大学硕士学位论文英文摘要 a bs t r a c t t h e r eh a sb e e nd i s c o r d a n c eb e t w e e nt h e o r e t i c a lp r i c ea n da c t u a l p r i c eo fc o n v e r t i b l eb o n d sf o ral o n gt i m e f a nx i n t i n gs t a t e dt h a t t h i s d i s c o r d a n c ew a sb e c a u s eo fn oc o n s i d e r a t i o no fc r e d i tr i s k i np r i c i n g c o n v e r t i b l eb o n d s oi t sv e r ye s s e n t i a lt ot a k ea c c o u n to fp r o p e rc r e d i t r i s km o d e lw h e np r i c i n gc o n v e r t i b l eb o n d t h i sp a p e rt r yt od os o m e t h i n g i nt h i sf i e l d s p e c i f i c a l l ys p e a k i n g ，t h i sp a p e rc o n s i s t s o ft h r e em o d e l sa st h e f o l l o w i n g ， ( 1 ) b ym a k i n gu s eo ft h et e c h n o l o g yo fr e p l i c a t i o np r i n c i p l ea n d a r b i t r a g ep r i c i n gt h e o r y ( a p t ) ，w e a t t a i na p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( p d e ) c o n s i d e r i n gs e v e r a lp a r a m e t e r ss u c ha st h ep r o b a b i l i t yo f d e f a u l t i n ga n df a c t o ro fc o m p e n s a t i o n ( 2 ) w et r yt oc o n s i d e rt w os t o c h a s t i cp r o c e s s - t h ep r o c e s so ft h e v a l u eo fc o m p a n y sa s s e t sa n dt h ep r o c e s so fp r i c eo ft h i sc o m p a n y s s t o c ka tt h es a m et i m e i nt h i sm o d e lc r e d i tr i s ki sd e s c r i b e db yt h e v o l a t i l i t yo ft h ec o m p a n y sv a l u e w ec a nd e d u c eaf o r m u l ao fp r i c i n g c o n v e r t i b l eb o n dc o n t a i n i n gc r e d i tr i s kv i an e u t r a lr i s kp r i c i n gt h e o r y ( 3 ) t o wm e t h o d sb e f o r ec a n tt a k ea c c o u n to ft h ea t t r i b u t i o nt ot h e p r i c eo fc o n v e r t i b l eb o n dt h a tm a d eb ya d d i t i o n a lc l a u s e s t oo v e r c o m e t h i ss h o r t c o m i n g ，w ea p p l yd e n s i t ym o d e l t h ec h a r a c t e r i s t i co ft h i s m e t h o di st h a tm a n ya d d i t i o n a lc l a u s e sc a nb es i m u l a t e db yb i n o m i a l 中南人学硕土学位论文英文摘要 t r e e sm e t h o da n dm o n t e - c a r l os i m u l a t i o ni ni t sa l g o r i t h m k e yw o r d sc o n v e r t i b l eb o n d ，c r e d i tr i s k ，a r b i t r a g ep r i c i n g t h e o r y , n e u t r a lr i s kp r i c i n gt h e o r y , m o n t e - c a r l os i m u l a t i o n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：遂日期：丛年旦月旦日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 日期：边年卫月且日 中南人学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 1 9 9 0 年1 2 月1 9r ，上海证券交易所正式挂牌开业，标志着新中国证券市 场的诞生，也标志着中国资本市场的崛起。十几年来我国资本市场得到了长足的 发展，取得的成就举世瞩目。截至2 0 0 7 年1 0 月1 6 日，我国沪深两市总市值 己达到3 0 1 7 2 4 亿元，流通市值达到8 2 6 0 0 亿元，证券化率已经达到1 4 3 ，超 过发展中国家的平均水平，两市个人a 股帐户总数达到1 0 2 6 2 万户，两市上市 公司1 5 0 0 家，发行证券1 9 6 5 只，基金帐户数达到2 2 8 4 万户，开放式基金资 产净值总额达到2 2 2 4 6 亿元，封闭式基金市值达到1 7 6 9 亿元，截至2 0 0 7 年9 月末，政府债券规模已达到3 7 4 7 亿元，金融债券和企业债券分别达到2 9 8 7 7 亿元和3 4 7 1 亿元。此外，我们还有大量的h 股、n 股和s 股在境外上市。 但是我们也应当看到，我国资本市场发展过程中仍然存在着许多问题，其中， 较为突出的一个问题，就是资本市场的结构很不合理。我国股票市场发展很快， 但是公司债券市场却没有得到相应的发展，2 0 0 7 年9 月企业债总值为3 7 4 1 亿 元，不及同期股票市场市值的七十分之一。大力发展公司债券市场，已成为优化 资本市场结构的重要途径。 可转换公司债券是一种很特殊的公司债券。在西方发达国家，可转债以其独 特的融资模式已成为证券市场的重要组成部分，并为这些国家和地区金融市场的 繁荣和企业竞争力的提升起到了积极的推动作用。中国可转债市场起步于2 0 世 纪9 0 年代初期，虽然随后的十几年中取得了很大的发展，但与西方发达国家相 比，中国可转换债券市场尚处于起步阶段。而且，中国的资本市场一直存在着股 权融资比例过高、投资品种匮乏、金融创新困难等问题，需要尽快地推出债券类 和权证类的金融产品并完善相关交易市场。可转换债券作为一种中间性的投、融 资工具，其市场体系的繁荣和发展将十分有利于中国资本市场的成熟和金融风险 的化解。随着中国正式加入w t o 和中国资本市场的进一步开放，如何借鉴海外 可转换债券市场的发展经验来构建中国自己的可转换债券市场体系，已经成为一 个亟待研究和应对的课题。学术界和行业高度关注着我国可转债市场的发展动 向。可转换债券作为我国资本市场上的新型金融工具，市场参与者( 发行公司、 投资者、监管机构和中介机构) 都迫切要求对可转债进行合理定价。可转债的准 确定价将决定其发行、转换的成功与否，也有利于可转债的风险管理和市场的稳 定与发展。 而要求对任何一种金融衍生产品进行合理定价，信用风险是我们必须考虑的 一个重要因素。 信用风险可以定义为：由于合约的债务方未履行合约订立的义务而导致债权 人发生经济损失的可能性。不论对方是由于财务困难而未能履行合约规定，还是 由于不愿意而不履行非强制性合约，都广义地被称为信用风险。 长期以来，人们就将信用风险看作是债务价格与债务承诺回报率的关键决定 因素。较之那些市场参与者认为信用风险较低的合约，隐含高信用风险的债务合 约必须向投资者承诺更高的回报率。较高的承诺回报率意味着：在其他合约条款 相同的条件下，债券的价格较低。表1 1 列示了美国公司债券1 9 8 5 年l 中南大学硕士学位论文第一章绪论 表1 1 美国公司债券利差( 1 9 8 5 1 9 9 5 ) 不可旱赋不可旱兑公司便存与美匿匿库葬的平均利筮月闭缩对利签的垢惠筮以及早均刽期年限瓷l 束酒 d l 丘b 1 9 孵) 1 9 9 5 年3 月期间不同信用级别债务的平均信用利差。信用级别是证券隐含信用 风险的代名词。 市场参与者长期以来就知道信用风险对债券价格存在影响，但直到最近才发 展出量化这一影响的分析模型。b l a c k 和s c h o l e s 2 j 在他们关于期权定价的开创性 论文中朝信用风险模型迈出了关键的第一步。m e r t o n 3 j 进一步发展了布莱克和舒 尔茨的直觉，并将其融入分析框架。之后，人们追随布莱克、莫顿以及舒尔茨进 行了大量研究。 同时，人们还提出了各种其他评估信用风险的理论，如简化式研究。然而， 当前的许多理论都是以早先探讨的基本理念为基础，或是其扩展。 有别于别的文献，本文就将尝试把公司价值模型和违约密度模型引入到可转 债的定价模型中来，并对原有的风险模型进行适当的改进，以期更贴近现实金融 市场。另外，很多传统的关于可转债的价值分析并没有考率信用风险因素，我们 这里就可以与它们进行比较，在比较中得到一些更有价值的结论。 1 2 可转换债券的特征及构成要素 可转换债券本质上是一种期权式债券，其持有人有权利在债券到期日( 或到 期日前的任何时候) 按照事先约定的某个特定的转换比率( 或转换价格) ，将债券 转换成发行公司股票在到期同( 或到期前) ，当债券持有人行使转换权利时，发 行公司收回债券并向持券人发放公司股票：反之，如债券持有人放弃转换权利， 则发行公司必须还本付息。可转换债券按照转换条款的执行时间可分为固定转换 制度( 相当与其中的期权为欧式) 的转债和自由转换制度( 相当于其中的期权为美 式) 的转债。一般而言，可转换债券具有以下一些要素： ( 1 ) 基本股票：它是可转换债券的标的物，即可转换债券可以转换成的那种 股票： ( 2 ) 票面利率：它给予投资者一个最低收益的保证，但通常低于普通债券利 率和银行利率，以体现其期权价值： ( 3 ) 转换价格：即债券发行时就确定了的将可转换债券转换成股票时应付的 2 中南大学硕e 学位论文第一章绪论 每股价格，一般高于发行时股票的市场价格，否则就意味着贴现发行： ( 4 ) 转换期限：即可转换债券的有效期限在到期日或到期日之前的任何时 刻，可转换债券的持有人或行使转换权，或要求发行公司还本付息； ( 5 ) 转股价格调整( 修正) 条款：当发行人股份发生变动时，应就股份变动 前的转股价格进行适当的调整； ( 6 ) 赎回条款：在标的股票的价格上涨到一定幅度，并且维持了一段时间后， 公司有权按事先约定的价格买回未转股的可转债； ( 7 ) 回售条款：当公司股票价格在一段时期内连续低于转股价格并达到一定 幅度时，可转债持有人有权按事先约定的价格将所持债券卖给发行人。 1 3 研究现状 1 3 1 可转债定价模型的研究 在7 0 年代中期以前，理论界对可转换债券的研究主要集中在可转换债券基 本概念的建立、转换价格的确定与调整方法等方面。对于定价本身囿于理论方法 与研究工具的落后，大部分工作仅限于对可转换债券价值特征的大致刻画上，无 法展开深入的讨论。 2 0 世纪7 0 年代中期，b s 期权定价理论的问世，使得可转债的定价研究 进入了飞速发展的阶段。经过近三十年的发展，可转债定价理论已同趋成熟。可 以概括为结构法( s t r u c t u r a la p p r o a c h ) 和简化法( r e d u c e d f o r ma p p r o a c h ) 两 种模型体系。 结构法模型是通过研究公司的资本结构，视公司价值为基本变量来评估可 转债的价值。按照影响可转债价值因素的数量不同，结构法模型又分为单因素和 双因素模型。 最早将b s 期权定价理论应用于可转债定价f 1 题的是i n g e r s o l l 4 j 和b r e n n a n & s c h w a r t z 5 j 【6 。在他们的模型中，可转债的价值只依赖于公司价值这一个标的 变量，他们假设公司价值的变化服从几何布朗运动，并运用b s 期权定价方法 导出可转换债券满足的偏微分方程。再利用无套利原理( a t p ) 根据可转换债券的 条款如转换条款、赎回条款等确定可转换债券的最优转换、赎回策略，由此确定 偏微分方程的边界条件和终值条件，最后利用偏微分方程的数值算法计算可转换 债券的价值。 b r e n n a n & s c h w a r t z 在单因素模型的基础上将利率的不确定性引入定价模型 中，使用v a s i c e k 利率模型提出了双因素模型。n y b o r g 7 j 又将b r e n n a n & s c h w a r t z 模型扩展应用到有回售条款和浮动票息的转债上他利用r u b i ns t e i n 的扩散模型 分别对公司的风险资产和无风险资产进行定价，并且得到可转债价值的解析解。 简化法模型的特征是可转债的定价以公司股票价格为基本变量。相对于公司 的价值来说，公司的股价可以直接观察到，并且股票价格的运动过程也比较容易 刻画，因此基于股价运动的定价模型要较基于公司价值运动的定价模型更加实 用。按照影响可转债价值因素的数量不同，简化法模型又可分为单因素、双因素 与三因素模型。 m e c o n n e l l & s c h w a r t z 首先建立了以公司股票价格为基础变量的定价模型。 他提出了一个零息票、可转换、可赎回、可回售的单因素可转债定价模型。他推 导出可转债价值所满足的偏微分方程，并通过确定方程的边界条件求出可转债的 理论价值。s a c h s 8 j 认为在对可转债定价时，不同情况下应使用不同的折现率。 s a c h s 使用基于表达股票价格的单因素模型并用二叉树定价方法，他在每个节点 3 中南人学硕士学位论文 第一章绪论 上都考虑转股的概率，使用无风险利率和风险利率的加权平均作为折现率。s a c h s 所应用的方法被t s i v e r i o t i s & f e m a n d e s 9 l 应用，他们将可转债的价值分解为两部 分，现金部分和股票部分，写出一组两个p d e ：第一个方程表示转债持有者可获 得债券现金流而没有股票流，因此折现率为风险折现率；第二个方程表示转债与 股票相联系的收益，因此折现率为无风险利率。t s i v e r i o t i s & f e r n a n d e s 模型仍是 基于标的股票的单因素模型。 为了更加准确地对可转债进行定价，国外许多学者将利率的波动性加入了基 于股价运动的定价模型中，从而产生了基于股价与利率随机运动的可转债定价双 因素模型。 h o & p f e f f e r ( 1 9 9 6 ) d 0 】提出了基于股价运动的可转债定价双因素模型，其中 利率波动模型采用h o & l e e ( 1 9 9 6 ) 模型。 d a v i s & l i s c h k a ( 1 9 9 9 ) i l lj 提出了一个可转债定价三因素模型。他们认为可转 债的价格波动取决于三个因素：利率、股价和违约风险。 与d a v i s & l i s c h k a 类似的还有t a k a h a s h i e t a l ! 1 2 j b l o c h & m i r a l l e s ! , a r v a n i t i s & g r e g o r y i l 4 j ，他们将破产强度的形式进行了拓展。 国内的可转债市场起步较晚，因此对可转债的研究也相对比较落后。概括起 来，目前国内的研究主要可以概括为两个方面：一是对可转债的定价方面的研究； 二是对可转债投融资策略，投资价值分析以及相关的法律会计问题方面的研究。 在可转债定价研究方面，又可以分为两类，一类是引进国外的可转债定价解析模 型并结合我国实际情况加以改进的研究；另一类则主要集中在对可转债定价的数 值方法及实证的研究。在解析模型的研究方面，郑小迎、陈金贤i l5 j 在详细考察基 础变量利率和股票价格行为特征的基础上，运用无套利原理推导出可转换债 券的双因素定价模型，但是这一模型没有具体考虑中国的实际情况与国外8 0 年 代定价模型差不多王承炜、吴冲锋【l6 】利用m o n t ec a r l o 模拟求得达到赎回条件和 回售条件的概率，利用有限差分方法，进行了求解，指出回售条款对投资者的贡 献较小。范辛亭，方兆本把利率看作一个随机过程，发展了随机利率条件下企业 可转换债券定价的离散时间方法。张鸣n 7 1 将可转债的价值分成：纯粹价值以及期 权价值两部分，并且对机场转债进行了案例研究。龚朴等利用有限元方法求解了 单因素的可转债定价模型，为可转债的定价方法提供了一条新的思路。 除了对可转债定价的研究外，国内的学者也有一些关于对可转债投融资策略 【1 8 】- 【2 2 1 、投资价值分析方面的研究【2 3 】- 【2 7 1 以及国内可转债市场的论述1 2 8 j - 【3 4 1 。 1 3 2 信用风险度量模型 ( 1 ) 违约风险的结构性模型： 在结构模型中，企业债务偿还的不确定性源于企业的资产价值变化，这也是 银行贷款和公司债券等现货市场债务工具以及信用违约互换等衍生品市场产品 价值不确定的根源。 模型把企业资产价值和资本结构作为预期债务违约率的决定因素，如果企业 资产价值低于贷款价值就出现违约行为，因此企业股权和企业债权视为企业价值 的期权，内含信用风险的银行贷款就是企业资产价值的衍生品，可以通过 b l a c k s c h o l e s m e r t o n 方法进行定价，即l9 7 4 年创立的m e r t o n i 驯模型。 在m e a o n 模型的基础上，l o n g s t a f f & s c h w a r t z 3 5 】不考虑企业特定债务结构 情形，而直接采用一个外生的违约边界或违约点，当触发违约点( 边界) 时，设 定：所有债务都处于违约状态并获得其面值一定比例的支付( 即违约清偿率) 这 个“隐含的违约点”代替了实际的债务和资产价值，以给定市场可观察的信用违 4 中南大学硕士学位论文第一章绪论 约互换价值作为企业资产波动性的替代产品。 ( 2 ) 违约风险的密度模型： 密度模型通过分析隐含在交易证券中的价格信息推演违约期权的价格，这种 方法不强调对企业特定违约可能性进行的分析，而是通过市场价格直接换算“无 套利”价格。违约是非预期事件的随机密度分布，随机密度过程包含了违约事件， 或者更广泛地包含了所有信用状态转换，这些状态可以直接通过市场价格度量。 密度模型无需设定企业的资本结构或债务清偿次序，只需外生给定违约事件下的 违约清偿率，结合市场价格推算出来的风险中性概率，就可以得出违约风险的价 值。因为市场价格应该隐含了一切影响违约行为的信息，所以从理论上讲，模型 数据输入不存在不可观察的问题。 早期的模型设定两种信用状态：违约和不违约，并通过一些假设条件获得债 务工具价格和观察信用价差水平，j a r r o w & l a n d o & t u r b u l l ( 1 9 9 7 ) 1 3 6 j 将归纳形式 推广到多期离散信用状态或评级中，因而也称为评级模型，也称为j l t 方法。 后来的d a s & t u f a n o ( 1 9 9 5 ) 1 3 7 】运用风险中性框架模拟企业信用等级状态的 变迁概率，d u f f l e & s i n g l e t o n ( 1 9 9 9 ) 1 3 8 j 将违约清偿率模拟为随机变量。 国内在风险模型方面也做了不少研究工作【”j - 1 4 1 1 ，为后续金融衍生工的风险 定价提出了好的建议。 1 4 论文结构 全文分为五章。 第一章为绪论，分析了目前我国资本市场的现状，提出了大力发展可转债的 重要意义介绍了可转债的特征及其基本要素，简要回顾了可转债定价理论的研 究历史及两个常见的信用风险模型。 第二章预备知识，对金融衍生工具的价值分析经常用到的基本理论和方法作 一些回顾。 第三章利用投资组合动态复制技术及无套利原理，得到了包含有违约概率、 风险补偿因子等诸多参数的微分方程。并有限差分法给出其数值解。 第四章尝试同时考虑两个具有相关性的随机过程，即公司价值过程和股价过 程。利用风险中性定价理论，得到了可转债定价的解析表达式。 第五章把信用风险密度模型引入到可转债的定价模型中，用二叉树法和蒙 特卡洛模拟方法给出其数值解。 中南大学硕十学位论文 第二章预备知识 第二章预备知识 这一章首先对金融衍生工具的价值分析经常用到的基本理论和方法作一些 回顾。 2 1w e i n e r 过程 设形表示遵循w e i n e r 过程的变量，a w 表示它的值在一段短时间区间出内 的变化。a w 和，之间的关系由下面方程给定： a w = g 厄 ( 2 1 ) 其中s 是取自具有零均值和单位标准差的j 下态分布的一个随机样本。 如果合理地取两个时问区问，那么a w 的值是独立的。利用这些性质，很明 显，a w 也服从具有期望为零、标准差为址、方差为，的标准正态分布。 。 现在，如果考虑形在一段长时间周期( o ，丁) 内的变化，这一周期由个短时 间区间a t 组成，即t = n a t ，那么w 在这段时间内从( o ) 变到( r ) ，或者说， 在这一时间周期上的变化肜( 丁) 一( o ) 等于各短区间变化之和。因此，可记作： w ( r ) - w ( o ) = e r ( 2 - 2 ) 利用独立性，由后一方程得到变化( 丁) 一( o ) 服从均值为零、方差为n a t = r 、 标准差等于丁的正态分布，这就是具有零均值( 或者说是零漂移率) 和单位方 差率的基本w e i n e r 过程。零均值或零漂移率意味着未来的变化等于当前的变化。 l 方差率意味着在时间丁的变化为l t 对于变量x ，一个广义的w e i n e r 过程可以表示为 d x = a d t + b d w ( 2 - 3 ) 其中口和b 都是常数。 这个过程指出变量关于时间和d w 的动态过程。其中第一项a d t 称之为确 定项，它意味着x 的期望漂移率是每单位时间为口。第二项b d w 称之为随机成 分，它表明对x 的动态过程添加的可变性或者噪声。这种噪声是由w e i n e r 过程 的b 倍给出的。 当随机成分为零时，趟= a d t 或者捌a r t = a 。这等价于x = + a t 。 因此，x 在任何时间的值均由它的初值托加上其漂移乘上时间周期的长度。现 在，利用对于较长的，方程( 1 ) ，可以把方程的等价物记作： 6 中南大学硕士学位论文第二章预备知识 舣：q 曲s 届。 ( 2 - 4 ) 因此，与以前一样，由于a x 服从正态分布，其均值为a a t ，标准差为6 f ，方 差为6 2 岔。 2 2 朋过程 对于变量x 的一个过程可记为下面的形式： d x = a ( x ，f ) 斫+ 6 ( x ，t ) a w ( 2 5 ) 期望漂移率与方差率都依赖于j 和时间，是它与广义过程的主要区别。这一过程 在金融文献中广泛应用，尤其是对股票价格动态过程的建模。 考虑一个带有0 - - 域流的概率空间( q ，f ，( & ) ，卸，p ) ，( 彬) ，加是一个 & - b r o w n 运动。一个肺过程是在r 中取值的过程( 置) 晒s r ，它对于所有的f 丁 满足： z = 扎+ ，k ，d s + ，h , d w ， ( 2 6 ) 其中，k 和只是适应于& 的随机过程，并且对于其对应的二阶矩的积分是有限 的。 2 3 肋引理 金融模型很少用依赖单个变量的函数来描述，一般采用的是多个变量的函 数。以6 引理是随机分析的基本工具。 定理：如果( 五) 晒r 是一个肪过程，即 x i = x o + i k $ + l h , d w , 00 并且厂是一个具有二阶导数的连续函数，那么 其中由定义 ( 2 7 ) 厂( 五) = f ( x o ) + 砂( k ) + 导砂。( 以p ( x ，x ) ， ( 2 8 ) 0- 0 第一个积分由下式给出 d ( x ，x 、l = 辩d s 0 7 中南人学硕上学位论文第二章预备知识 l f t ( x s ) a x , = l f t ( x s ) k s d s + l f t 0 x 。、) hs d w s ( 2 - 9 ) 第二个积分由下式给出 。 ，1 0 x 灌心，x 、) s = i ，l x h ：d s ( 2 - l o ) 因此，肺公式为 厂( z ) ：s ( x o ) + 砂，( k 比出+ 砂，( k ) 皿d 形+ 昙砂? ( 鼍) 研出 ( 2 - 1 1 ) 更一般的是，如果( ，x ) 对，具有一阶连续偏导数，对z 具有二阶连续偏导数， 那么 厂( ，z ) ：厂( o ，x o ) + k ( s ，以+ k ( s ，k 肌+ 导k ( s ，五矽( x ，x ) ，( 2 1 2 ) 2 4g i r s a n o v 定理 考虑概率空间( q ，( & ) 。“r ，尸) 。如果( o ，) 。g s r 是一个满足p ；出 o ，组成，并且满足条件 ( 了gc ，西+ b c 2 一，5 ， 8 串露犬孥硕圭学位论文 第二牵预备知谖 ( 2 ) 期权定价的等价鞅方法 定理：假设为艿) 是一个或有要求权，基g ( ) 在区闻【0 , t j ：- - 致有界，那 么它的价值过程满足 戈c ，) = 岛( e x p ( 一 c s ，幽 艿+ x p ( 一弘c 甜，幽 g c s ，凼l & ) c 2 - t 6 ， 0 f t ，岛= r 。 2 6 有限差分法 某些类型的编微分程不存在角攀析解，它导致人们选用近似的数值格式。这能 求得真实解的逼近。 考虑b s 偏微分方程的离散化 扣2 f 丝o s 2 ) m 塞) ( 喜) 一。 岱聊 这一依赖于标的资产价格s 和时间f 的函数c ( s ，t ) 的离散化，要求把资产价 格( 状态变量) 和到期l = l 前的时闻周期划分为有限等闻隔的长鲢度和r 。例如， 到期冈前的时间f 一，可以被分成膨份长度为a t = ( r f ) 材的子区间。这就给 出从0 到，的m + 1 个时间点。标的资产价格可以被分成n 份长度s = 为 的子区闽，其中翰是标昀资产的最高价格。这就给出从0 刹品的n + 1 个股票价 格。这种陈述可以用一张有( + 1 ) ( m + 1 ) 个点的放格图表示。 将把a t = 垂巍作时间变量的步长，或称为时间步，把a s = h 当作状态变量 的步长，或称为状态步。 在方格图中，期权价格c ( s ，) 用点( f ，j ) 来表示，其中f 代表空间指数，代 表时阁变量。每一个内点e f ，歹) 都司以通过蠢的正同差分 寨拟h 川，沪嘶) 瓠 l 、 7 “j 或倒向差分 一0e搿三，歹)一。(i-osh l ，明一搿一le l f l 一0 1 ，l1 l、7 。，。j ，j 或以上两种逼近的平均 寨去u ) 一c ( i - 4 - 蝴一一i r f l 一，l c 1 ，ll 罄2 毳l 、 7 。7 j 来近似。偏微分方程中的8 2 c 蒸2 项在点f f ，) 上可以近似表示为 9 ( 2 - 1 8 ) ( 2 1 ( 2 - 2 0 ) 中南大学硕士学位论文第二章预备知识 塞船+ 1 ，矿：明一船加( ) = 砉+ 1 ，咖c ( h ，沪2 c ( 堋( 2 - 2 1 ) 对时间的偏导数a c 研在点( f ，) 上可通过正向差分近似表示为 豢= 扣“+ 1 ) 一m ) 如果用这些偏导数的近似值代替他们在偏微分方程b s 中的值，得到，对 i ：1 至i jn 一1 和，= 0 到m 一1 有 r c ( “) = 1 2c r 2 i 2 办2 嘉+ 1 ，小c ( f - 1 ，沪2 c ( “) + ，f 办去 c ( 川，) 一c ( h ，明+ 如c ( “+ 1 ) 一f ( 洲 该系统可以重新记为 c ( i ，j 1 ) = a , c ( i - i ，) + 匆c ( f ，) + q c ( f + l ，) ( 2 - 2 2 ) 其中 q = 三厂腩一三仃2 ，2 七 6 = l + r k + d ( t ) 时发生。但这种情况在简单模型中并没有相关性，因为在这种情况 下，是全部偿付要求权的。因此，到期日7 1 时刻的要求权价值可以表达如下 x d ( 丁) = x ( 丁) 1 y ( r 净d ( r ) + 占( 丁) x ( 7 1 ) 1 y ( r ) 。叫r ) 如果市场存在鞅测度1 3 7 1 ，那么在t ，由( 1 1 ) ，( 1 2 ) 徒j l 中南人学硕士学位论文第p q 章公司价值模型 岛( 删氖) 2 丽1 e ( ( 】，( s ) z ( s ) 训 玎一e m - e x p 洳矿劫卜+ 喜一c 捌小 矿小_ ，) e x p ( - 善h ( z 牌( 矿- 4 1 谨, 00j = l 哆( z 净 矿小叫) e x p | - 善n ( z 牌( z ) 一1 陵哆( z 净i - l 十p ，一渤产+ 骞一c 蜊z 州 = 嘶) e - 4 , - ) e e x p ( p ( z 净一一圭喜巧( z 皿+ 善卜( z 地( z ) 叫，) e - b - ) e x p ( 弘t ( z 膨_ y ( ，) = 】，( ，) ip ( z 膨l y ( ，) 其中z ( ，) ：e x p f 一di n ( s ) 嵋( s p 一 2 1 量k z ( s 炒 同时由詹森不驯4 9 】可得晰玎一卜i = l 睁一最) + 也是一个q 硪 麓( p 。7 ( 圪+ ( 苦只一只) + ( p 。r ( 忍+ ( 等弓一只) + 因此可转债期权部分可看作是敲定日期为t 的看涨期权。 根据风险中性定价理论，含信用风险的可转债的价值可表示为： 五= e 岛 巧1 只+ ( 筹sc 丁，一忍) + c ，；吩2 珥，+ 磊；吩。珥，i & ) 这里，磊= 妥，q 表示风险中性测度，b 表示货币市场帐户，