（应用数学专业论文）局部环上矩阵几何的一些研究.pdf

摘要 矩阵几何是华罗庚院士于上世纪四十年代开创的个数学研究领域，其成果和价 值长期受到国内外许多学者的重视几十年来，产生和应用了六类矩阵群上的矩阵几何 成果；同时，这几类矩阵群上的矩阵几何基本定理的条件也不断得到简化近些年来， 矩阵几何呈现出从域( 或除环) 向其它类型的环拓展的趋势，相继形成了p ，d 和b e z o u t 整 环上矩阵群的矩阵几何 局部环是一类很重要的环，局部环上的矩阵几何与矩阵论在很多实际问题中有重 要的应用但是由于零因子带来的困难，非域的局部环上矩阵几何的研究很复杂，目前 尚未见到成果发表本文是对交换局部环与特殊伽罗瓦( g a h o s ) 环z 矿z ( 其中z 为整 数环，p 为素数，s 为正整数) 上的长方矩阵几何进行初步的研究，主要讨论特殊伽罗瓦环 上矩阵的算术距离与极大集的性质，以及关于伽罗瓦环上矩阵的双向保粘切的双射的 一些性质，同时本文也讨论了交换局部环与特殊伽罗瓦环上线性代数与矩阵论的一些 基本性质本文的结果对有限环和局部环上矩阵几何的进一步研究有较好的理论意义， 也具有较好的应用背景 本文共分四章第一章介绍本文的研究背景、矩阵几何的发展动态以及本文的主 要结论第二章讨论局部环上矩阵论，主要讨论伽罗瓦环上矩阵在初等变换下的标准 形，矩阵的内秩与m c - 秩，酉模矩阵，向量组的线性关系第三章为本文的主要结果，其 中讨论了伽罗瓦环上矩阵的算术距离与距离，证明了算术距离与距离是相等的讨论 了伽罗瓦环上矩阵的极大集的代数结构，以及极大集的几何性质在第四章中，我们讨 论了关于伽罗瓦环上矩阵的保m c 距离的映射与保酉模矩阵映射的关系，初步讨论了 一定条件下关于伽罗瓦环上矩阵的双向粘切的双射的一些性质 关键词：矩阵几何；伽罗瓦环；局部环；极大集；保粘切；算术距离 a b s t r a c t t h eg e o m e t r yo fm a t r i e e sw a si n i t i a t e db yt h ep r o f e s s o rl k h u ai nt h ef o r t i 髑 o ft h e1 a s tc e n t u r y a n dt h e n ，1 0 t so fs c h 0 1 a 鹪a r ei n t e r e s t e di ni t t h e r e 耵es i ) ( t y p e 8 o fg e o m e t r yo fm a t r i c e sp r e 订0 1 l s l y t h ec o n d i t i o 璐o f 如n d 锄e n t a lt h e o r e l s 缸e 札s o s i m p l i f i e d r e c e n t l y it h eg e o m e t 巧o fm a t r i c e sh 弱b e e nf u r t h e rd e v e l o p e d i th 鹪 f o m l e dt h eg e o h l e t 珂o fm a t r i c e so v e rap da n dab e z o 疵d d m 以n t h e1 0 c a lr i n gi sa ni m p o r t a mr i n g ，a d l dt h e r e 缸em a n ya p p l i c a t i o n sf b rt h e g e o m e t r yo fm a t r i c e sa n dt h e o r yo fm a t r i c e s0 、r e rt h el o c a l lr i n g h 陀v e r ，d u et ot h e m m c l l l t i e 8c a u s e db yz e 恰f a u e t o r s ，t h e r ei sn or e s u l t sr e l e a s e d t m sp a p e rr e s e 甜c h 铝 t h eg e o m e t r yo fr e c t a n g l l l a rm a t r i c e 8o v e rt h ee x c h a n g e a b l e1 0 c a lr i n go rt h es p e c i a l g o 玩d sl o c a lr i n g 互7 - 8 z ，w h e r ezi sa ni n t e g r a l 血g ，pi 8ap r i m ea n ds 1i st h e p o s i t i v ei i l t e g e r w - em a j o ro nt h ep r o p e r t i e so ft h ea u r i t l l i n e t i cd j j s t a n c e ，t h em a x i i i l a l s e t sa n d 七h eb i j e c t i v em a pp r e s e r 、，i n gt h ea d j a c e n c yi i l 拥协w a yo v e rt h e2 伽s z w - e a l s o 血8 c u s ss o m ef u n d 锄e n t a lp r o p e r 蚵o ft h eh n e 盯a l g e b r aa n d m a t r i ) ( t h e 0 珂0 v e rt h e 2 伽8 z t h e s ec o n c l u s i o n sh a v et h ei m p o r t a n tm e 砌n go ft h e o r ya n dt h eb a c k g r o u n d o fa p p l i c a t i o n sc i v e rt h e 丘i l i t er i n ga n dt h eg e n e r a ll o c a lr i n g t h ec o n t e n to ft h i st e ) c 七i sc o m p o s e do ff o u rc h 印t e r s i nt h ei l r s tc h a p t e r ，w e p r 嘶d ea ni 卫i t r o d u c t i o na b o u tt h ed e v e l o p m e n to ft h eg e o m e t r yo fm a t r i c e sa n dt h e m a i nc o n c l u s i o n so ft h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，瓢陀e x a 曲et h em a t r i ) ct h e o 珂 0 、r e rt h e1 0 c 出r i n g i ti i l c l u d i 粥t h en o m a l i z e df o r mu n d e rt h ee l e m e n t 奶rt r a i d o 咖跏 t i o n ，t h er a n ka n dr m co ft h em a t r i c e s ，t h eu 删m d d 让z n 疵幻o ft h em a t r i c e s ，t h eh n e 甜 r e l a t i o no ft h ev e c t o r 8 t h et l l i r dc h a p t e ri st h ep r i m a 珂p a r t0 ft h ep 印e r w ed j s c u s s t h e 出s t a n c ea n d 盯i t h m e t i c 出s t a j l c eo ft h em a t r i c e sa v e rt h e 纠矿za n dp r o v e t h e ya r e e q l l i 、，a l e n t a n dt h e n ，w ed e s c r i b et h ea l g e b r 缸cs t r u c t u r ea n dt h eg e o m e t r i cp r o p e r t i 鹤 o ft h em 幽a ls e t 8 i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ee x a m i n et h er e l a t i o nb e t w e e nt h em a p p r e s e i n gt h ed 沈a n dt h em a pp r e s e n ，i 1 1 9u 俄m d d 谢口庀匆o ft h em a t r i c 朗a tl a s t ， w ed i s c u s 8t h ef o r mo ft h eb i j e c t i v em a pp r e s e i n gt h ea d j a 胱i l c yi n 拥n d - w a yo ns o m e c o n d j t i o n so v e rt h ez 矿z k e yw o r d s ：g e o m e t 巧o fm a t r i c e s ；g 训i d sr i i l g ；1 0 c a lr i n g ；m a 对m 村s e t ；a d j a c e n c y p r e 8 e r v i n g ；a r i t h m e t i cd i s t a n c e i i r r 出仇( y ) 舻 m r r m n g l m ( r ) e 铅 如t ( a ) t a r o 佗后( a ) ( a ) 0 d ( a ，b ) d ( a ，b ) ( a ，b ) a b m i ( m ) z | 矿z 每) 垡 i r 本文符号列表 局部环r 上的所有可逆元的集合 局部环r 上的所有非零元的集合 自由尼模的维数 环r 上的n 维行向量空间 环r 上的m 维列向量空间 环r 上m 扎矩阵的集合 环兄上m m 可逆矩阵的集合 ( i ，歹) 位置元素为1 ，其余元素为。的矩阵 矩阵a 的行列式 矩阵a 的转置矩阵 矩阵a 的内秩 矩阵a 的m c - 秩 矩阵ab 的算术距离 矩阵a ，j e i 的距离 矩阵ab 的m c 距离 矩阵a 粘切于矩阵b 长方矩阵的一种秩1 极大集 特殊伽罗瓦环，整数环z 模p s 的剩余类环 伽罗瓦环z 矿z 的极大理想 矩阵等价符号 ，r 阶单位矩阵 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担 作者签名撇日期叫年j 月加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书2 、不保密c z f ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名德是皮日期叩咐月加日 导师签名：，坼日期：撕7 年，月三日 第一章绪论 1 1 课题背景与发展概况 矩阵几何是我国著名数学家华罗庚先生于二十世纪四十年代开创的研究领域，矩 阵几何基本定理用尽可能少的不变量刻画矩阵群的变换群，其成果和价值长期受到国 内外不少学者的重视几十年来，先后产生和应用了长方矩阵，对称矩阵，交错矩阵，日e r 仇讹口佗矩阵，斜日e r m 讹n n 矩阵这六类矩阵群上的矩阵几何成果；同时，这几类矩阵群 上矩阵几何基本定理的条件也不断得到简化上个世纪9 0 年代及以前的矩阵几何的研 究工作，由我国数学家万哲先院士总结成矩阵几何( 英文) f 6 1 一书，由新加坡w o r l d s c i e n t i 丘c 出版社出版近些年来，矩阵几何又获得进一步发展，一方面，对矩阵几何基 本定理进行条件简化和应用( 参见 1 ，1 8 ，19 】，【2 2 】，f 2 6 】， 4 1 4 4 ) ；另一方面，呈现出从 域( 或除环) 向环上矩阵拓展的趋势，相继形成了p ，d 和b e z o u t 整环上的矩阵几何理论， 参见黄礼平教授的专著环上矩阵几何( 英文) ， 1 】 f 4 0 】，f 4 4 】 目前，局部环上的矩阵几何的研究尚是空白，仅有一些关于交换局部环上的射影 几何的文献【1 5 】另外，存在一些关于局部环上的矩阵及其上映射的文献f 1 6 1 ，f 2 8 1 一3 2 1 ， 它们或者从某类特殊局部环的结构出发构造矩阵群上映射，或者在有限局部环上进行 编码和结合方案的研究其中，w b n g ( 见【2 & 3 0 1 ) 在研究结合代数和李代数的过程中获 得了无零因子非交换环上的幂零矩阵的几种保秩1 映射，并提出了局部奇异矩阵的概念 等；刘绍武等( 见【3 8 】) 曾研究了关于交换局部环上长方矩阵的保秩1 的线性映射，其方 法是应用分式域将问题转化为域上长方矩阵的保秩1 的线性映射，但此方法不能应用到 交换局部环上长方矩阵的保秩1 的加法映射的研究之中 同时，在有零因子的局部环上的矩阵的研究过程中，他们定义矩阵秩的方式不全 相同，各种方式都很难准确地刻画变换的形式，难以摆脱零因子带来的困扰因此，对 于有零因子的局部环上矩阵几何研究尚需寻求新的思想方法和途径 1 2 本文的选题依据和主要内容 特殊伽罗瓦局部环冗= 引矿z ( z 为整数环，p 为素数，s 为正整数) 是一种重要的局 部环，它在组合数学和编码结合方案理论中有许多重要的应用，其中，游宏 3 7 】，南基洙 和吴炎【1 6 】等曾对此进行过研究z p 8 z 也是一种最简单的含零因子局部环，跟有限环 联系非常紧密，任意有限环可视为某g a h o s 局部环上的忠实代数 1 4 】因此，对研究有限 环和一般的局部环上的矩阵几何有重要的理论意义与应用背景同时，特殊g a l i o s 局部 环z p s z 上的矩阵具有完美的标准型，便于定义矩阵的秩，有利于研究的开展 另外，特殊g m i o s 局部环聊8 z ( z 为整数环，p 为素数，s 为正整数) 上的奇异矩阵与 局部奇异矩阵等价，有利于刻画它上的长方矩阵空间的某类映射的形式 本文共分四章第一章介绍本文的研究背景，矩阵几何的发展动态以及本文的主要 结论 第二章讨论局部环上矩阵论，主要讨论伽罗瓦环上矩阵在初等变换下的标准形，矩 阵的内秩与m c 秩，酉模矩阵，向量组的线性关系其中有以下结论： ( 1 ) 设q 1 ，q m 舻是线性无关组，尻，风舻是非酉模的向量组，则q 1 + 历，q m + 风也是酽中的线性无关组 ( 2 ) 设a 舻跏，则初等变换不改变矩阵a 的内秩和m c 一秩 c 3 ，设a = ( 乏2 ) 驴黼如果m 砒( 瓦二：石2 ) = 1 ，任意肼环 炳航眦= ( 1 之2 ) 或( 三0 ) ( 4 ) 设a 妒肌( 仇，m 2 ) 则a 是一个酉模矩阵的充要条件是：a 的m c 秩 与r n n 七( a ) 相同 第三章为本文的主要结果，其中讨论了伽罗瓦环上矩阵的算术距离与距离，证明 了算术距离与距离是相等的讨论了伽罗瓦环上矩阵的极大集的代数结构，以及极大 集的几何性质其中有以下结论： ( i ) 在舻期中，所有的朋i 和m = 1 ，m ；j = 1 ，n ) 都是秩1 极大集 ( i i ) 在j p 期( m ，n 2 ) 中，每个包含一个平面的秩1 极大集m 可由变换xhp x q + 正以兄m 煳化为朋l 或者m ，其中尸g k ( 冗) ，q g 厶陋) ，t 驴黼 ( i i i ) r 仇加中的任意一个包含一个平面的秩1 极大集是以下两种形式之一： 类型i 的秩1 极大集：p m l q + t ，其中p g l m ( 兄) ，q g l n ( r ) ，t 舻n ； 类型i i 的秩1 极大集：卧丘q + l 其中p g l m ( r ) ，q g l n ( r ) ，t 舻跏 ( i v ) 在加中，设m 为一个包含0 与一个酉模矩阵的秩1 极大集则存在固定的p g l m ( 冗) ，q g l n ( j r ) ，使得 m p c l q ( v ) 设r = z 矿z ，m = m i 是舻n ( m ，n 2 ) 中的类型i 的秩1 极大集，1 i m 则( a ) 2 是a g ( m ) 中的直线兮z = mnm 7 ，其中m 是眇n 中的类型i i 的秩1 极 大集，且i mnm ，l 2 ；( b ) a g ( m ) 中的直线f 和f 7 是平行的仁今z = mn 朋7 ，2 7 = 朋n m ，其中m7 和m 是类型i i 的平行的秩1 极大集，且i m n m 7 i 2 ，l 朋n m l 2 2 ) 设r = z p 3 z ，m = m 是r m 黼( m ，n 2 ) 中的类型i i 的秩1 极大集，l 歹n ，则( a ) f 是a g ( m ) 中的直线兮z = mnm 7 ，其中朋7 是类型i 的秩1 极大集， 且i 朋n m ，i 2 ；( b ) a g ( m ) 中的直线z 和f 7 是平行的错f 朋n 朋7 ，f 7 = 朋n m ， 其中m 和朋是平行的类型i 的秩1 极大集，且l mnm 7 i 2 ，l 朋nm ”i 2 第四章讨论了关于伽罗瓦环上矩阵的保m c 一距离的映射与保酉模矩阵映射的关系， 初步讨论了一定条件下关于伽罗瓦环上矩阵的双向粘切的双射的一些性质其中有以 下结论： ( i )设a ，b 是r m n 中两个不同的点，则a ，b 的m c 距离为满足以下性质的最小正 整数r ：存在r + 1 个点凰，墨，墨矽。加( 其中= a ，* = b ) 使得d 僦( 五一1 ，五) = 1 ，i = 1 ，r ( i i ) 设妒：尼“跏_ 妒期为一个映射如果妒为保粘切的满射，并且妒保m c 一距离， 则妒为双向保粘切的双射，并且妒保酉模矩阵 ( i i i ) 设妒：r 2 黼一砰她m 2 ) 是双向保粘切和保m c 一距离的双射，且满足 妒( x ) = x ，vx m t ，云= 1 ，2 设a r 2 吲寿足r a 礼忌( a ) = ( a ) = 2 ，则 妒( a ) = a 3 第二章交换局部环上矩阵理论 本章首先介绍局部环的一些基本概念和性质，然后着重讲述g a l i o s 环z p s z ( z 为整 数环，p 为素数，s 为正整数) 的性质及环z 矿z 上的矩阵基础在本文中，所有的环均有单 位元1 ( 1 0 ) ，即环r 是非平凡的用口表示环r 中所有可逆元的集合，r 表示兄中的非 零元素的集合，胛肌表示r 上m n 阶矩阵的集合，且舻= 兄1 x n ，g l n ( r ) 表示r 上n 阶 可逆矩阵的集合用i x i 表示集合x 的势设a = ( t f ) 舻x n ，用t a 表示a 的转置矩 阵用礤n ( 简写晟，) 表示( i ，j ) 位置元素为1 ，其它位置元素全为0 的m n 阶矩阵，l 表 示r r 阶单位矩阵一般地，矩阵中的0 元素我们忽略不写 2 1 局部环概述 下面介绍局部环上一些与本文相关的基本性质和几何知识，所介绍的基本性质多 数都未加证明，可以在相关参考文献中找到 定义2 1 1 ( 见 1 2 】，【4 5 】) 设r 为交换环并且它有唯一的极大理想，则称r 是局部环 局部环是很重要的一类环关于局部环的性质，可参见很多代数著作，例如【4 5 】中 的第1 9 节 引理2 1 2 ( 见【1 5 】，【4 5 】) 设r 是含幺交换环，则下列诸条件是彼此等价的 ( 1 ) 冗是局部环 ( 2 ) r 的非可逆元全体形成同掏一个真理想 ( 3 ) 再= r j 是一个域，其中厂= r a d 臁示r 的j a u c o b s o n 根 ( 4 ) 任取o 尺，口可逆或1 一。可逆 ( 5 ) 任取q ，6 r ，a + 6 可逆可以推出。可逆或6 可逆 ( 6 ) r 舻是r 的一个加法子群 引理2 1 3 ( k a p l a n s k y ，1 9 5 8 ，参见 4 5 】) 设r 是局部环，则每个投射皿模是自由模 定义2 1 4 环兄称为h e r m i t e 环( 参见【1 1 ) ，如果r 且有不变基数性质( 简记为i b n ) ， 并且每个稳定自由皿模是自由模 环兄为h e r 血t e 环的一个充要条件是：兄上每个有右( 左) 逆的矩阵可扩充为一个r 上 的可逆矩阵( 参见 1 0 ，1 1 】) 因为每个稳定自由尼模是投射r 模，从而有 引理2 1 5 局部环是h e r 嘶t e 环 4 引理2 1 6 ( 见 3 1 1 中引理4 2 3 ) 设兄是局部环，j ：= r a d r 为r 的j a c o b s o n 根( j 也 是吲! i 勺极大理想) 设a 舻n ，则存在p g l m ( r ) 与q g l n ( r ) 使得p 4 q = d i a g ( ，a 2 ) ，其中a 2 为j 上矩阵r 是由a 唯一确定的，称为a 的m c - 秩 以下用r 僦( a ) 表示局部环上矩阵a 的m c 一秩a 的m c 秩与【2 】中定义的交换环上矩 阵的秩是相同的设a 舻舰，由 3 1 】中4 1 1 知：o 厂眦( a ) 血n m ，n ) ；。( a ) = ( 。a ) ；( a ) = r 僦( 尸a q ) ，其中p q 是冗上可逆矩阵因此，初等变换不改变局部 环上矩阵的m c 一秩 由 3 1 中引理4 2 3 ，我们有 r 舭( ab ) = ( a ) + ( b ) ，v 局部环r 上矩阵a ，丑 ( 2 1 1 ) 由 2 】中引理4 1 4 ，我们有： r m 。( b c ) m i l l r 僦( b ) ，r 竹记( c ) ) ，( 2 1 2 ) 任取局部环冗上满足b c 唷意义的方阵b ，c 下面我们证明： ( a + b ) r 僦似) + ( b ) ，v 局部环r 上同阶矩阵a ，j e j ( 2 1 3 ) 事实上，因为初等变换不改变局部环上矩阵的m c 一秩，由引理2 1 6 不妨设后= ( a ) ， a = 出a g c 厶，a 2 ，其中a 2 为j ：= r a d r 上矩阵设b = ( 主：主：) ，其中b ，为忌阶矩 阵则c a ，b ，竺( 台羔三。三2 ) 由c 2 1 1 ，知r 舢c a + b ，= 七+ c c a 。，岛，易2 ， 因为j 为r 的极大理想，由引理2 1 6 显然有( a 2 ，岛l ，岛2 ) = 7 眦( 岛1 ，岛2 ) ( b ) ， 从而我们有( 2 1 3 ) 定义2 1 7 设r 是局部环，y 是一个有有序基 口l ，q n ) 的佗维自由r 模，如果向 量q = o t ，并且砚冗= r ，那么称向量q 是酉模的 i = 1i = l 引理2 1 8 【1 5 】设r 是交换局部环，w 是有限生成肛模，如果 u 1 ，) 和 抄1 ， ) 都是的最少生成元集合，那么m = 礼 引理2 1 9 设r 是局部环，并且j ：= r a d 尺中的元素均为零因子设q 1 ，q m 舻 ( m n ) ，则 5 q 一，q 仇线性无关号矩阵( 三) 有右逆 关的。令a = ( 三) 则由引理捡1 5 知存在p g l m c r ，与q g l n c 聊使得p a q = c 仁，由矩阵( 三) 有右逆知，存在b 彤m 使得( 三) b = k 设蓥觑= 。c 硒，则c h ，k ，( 二) = 。于是，上式两边右乘以b 得c h ，k ，= 。， 定义2 1 - 1 0f 1 5 1 设兄是局部环，y 是n 维尼空间，则在y 上定义如下几种初等矩阵 ( 1 ) 用可逆元入r 乘朋勺第 行，记作d t ( 入) ( 2 ) 用，的第z 行乘以某一元a 尼钿到第歹行上去( 1 歹) ，记作( 入) ( 3 ) 交换j 的第i 行和第j 行( t j ) ，记作 回忆域上方阵的行列式定义可以平凡地推广到交换环上的方阵的行列式，并且有 类似的行列式性质( 参见 2 】) 我们用如t ( a ) 表示交换环上方阵a 的行列式 定义2 1 1 1 设r 是局部环，a 胛n ，1 七而佗 m ，n ) ，则a 的七尼阶子矩 阵b 的行列式叫做a 的一个七阶子式，记作d e ( b ) 引理2 1 1 2 【2 1 设r 是交换局部环，a 舻跏，则 a g l n ( 冗) 铮d 以( a ) r + 引理2 1 1 3 ( 参见【1 5 】) 设r 是局部环，则研( n 2 ) 上的可逆矩阵集合g l n ( 冗) 是 由 码( a ) ，趿( p ) i a 冗，p 彤， j ) 生成的 定义2 1 1 4 ( 见 1 1 】) 设r 是任意一个环，o a 舻n ，则存在一个最小正整数7 - 使 得以= b c ，其中b 驴r ，c 口n ，我们称有此性质的最小正整数r 为a 的内秩，简 称a 的秩，记作r 彻，七( a ) = ，特别地，定义r o n 七( 0 ) = 0 6 命题2 1 1 5 【3 1 设r 是任意一个环，a ，b 妒黼，则 r n n 尼( a + b ) r o n 忌( a ) + r o n 尼( b ) ( 2 1 4 ) 定义2 1 1 6 1 6 】如果交换环r 有单位元l ，p 是素数，并且环r 的零元和它的所有零 因子构成周拘一个主理想细1 ) ，则称r 是一个g a j o i s 环g a l o i s 环是局部环 例2 1 1 7 设z 为整数环，p 是一个素数，s 为大于1 的正整数，剩余类环 r = 耵z = 西，t ，虿，歹丁】( 2 1 5 ) 具有唯一的极大理想 ，并且r 中零元素。和它的所有零因子构成r 的主理想 ，故r 是 一个g a l o i s 环 2 2 特殊g 出o i s 环z 肋s z 的性质 本节和下一节所涉及的环兄都是特殊g a l o i s 环2 r p 。z ，其中z 为整数环，p 为素数， s 为大于1 的正整数记兄= 聊8 z 中的元素为瓦= n + 矿z = n 1 + p 8 z ，其中i n l i 矿 显然，r a d ( 纠矿z ) = 侈) 为r = z 缈z 的唯一的极大理想，而且彤= r 以下简 记1 = t ，o = 石显然，i z 矿z i = 矿 设o z p 8 z ，则口可唯一地写成o = 矿，其中f 彤，o ，s 我们定义：护= 1 ， 矿= 西 因为1 是同拘生成元，因此同拘每个自同构必为恒等映射另外，我们回忆1 的特征 为矿 引理2 2 1 ( 见 1 6 】中定理2 1 1 ) 设r = 聊5 z ，则对于任意瓦r ，有瓦= 矽，其 中i 彤，0 ，s 特别地，具有以下结论： ( 1 ) 当，= o 时，有瓦尼 ( 2 ) 当o ，s 时，有石( - ) ；且当厂= s 时，有瓦= 谚= 百 ( 3 ) 若f 科和瓦，6 ( 劢，则2 + 石r + ，动侈) ( 4 ) 当素数p 2 时，若对于_ r 有窥= 西，则西= 百 引理2 2 2 ( 见【1 6 】中定理2 1 2 ) 方程万= 石在有限局部环r 上有矿个不同的解 于是，我们可以直接得到以下推论 推论2 2 3 设冗= z 矿z ，j = r a d ( z 矿z ) = 侈) 则 l r + l = 一1 ) 矿，i j i = 矿 7 证明显然，r 的极大理想够) 中有矿- 1 个元素从而，由引理2 1 2 知r 中的所有可 逆元集合为兄 因此，r 中共有一1 ) p 卜1 个可逆元素因为i r l = p 8 ，我们有m = i r i i 彤i = 矿一证毕 由引理2 1 2 ( 5 ) ，显然有 推论2 2 4 设q = ( 瓦l ，瓦) 舻是任意酉模的向量，则瓦1 ，瓦中至少有一个 可逆元 因为r a d ( z 矿z ) = ( - ) 中元素均为零因子，由引理2 1 9 显然有 推论2 2 5 设q = ( - 1 ，瓦) 舻是任意酉模的向量，p = ( 占1 ，瓦) 即是任 意非酉模的向量，则向量q ，p 线性相关 推论2 2 6 设口1 ，q m 舒是线性无关组，岛，风彤是非酉模的向量组， 则q 1 + 尻，o 钿+ 风也是册中的线性无关组 证明设屈= ( i i c l ，k ) 0 = 1 ，m ) ，则由引理2 2 1 知，可以设砀= b 矽j ( 幻r + ，o o 假设口1 + 角，+ 风线性相关，则存在一组不全为零的数瓦= 瓦砂冗( 瓦 p ，o s ) 满足+ 屈) = o 令 = 叫p ( 五) ，则 m竹l 瓦瓴+ 瓦屈= o i = 1i = 1 ( 2 2 1 ) 于是，若而+ s ，则瓦a t = o ，这与q 1 ，线性无关相矛盾，若 + s ，则 t = l 由( 2 2 1 ) 矿一，o 一，1 得矿一，0 一，1 瓦啦= o ，同嘟一，o 一 - t 冗q = 1 ，m ) 不全为零， 这也与q 1 ，q m 线性无关相矛盾证毕 推论2 2 7 设q 1 ，q 2 ，p 舻，且q 1 ，0 2 线性无关，q 1 ，卢线性相关，则口1 ，q 2 + p 也线性 无关 证明由向量q 1 ，p 线性相关知，存在一组不全为零的数i t 砂( l 彤，o 五s ，t = 1 ，2 ) 满足 z 1 矿1 q 1 + z 2 矿2 p = o ( 2 2 2 ) 假设a 1 ，口2 + p 也线性相关，则存在一组不全为零的数瓦矿t ( 瓦彤，o 屯s ，i = 1 ，2 ) 满足 石1 矿t q l + 2 矿2 ( 口2 + ) = o ( 2 2 3 ) 8 于是，当t 2 厶时，由( 2 2 3 ) 一( 2 2 2 ) - 2 i 1 矿：一，2 得 ( 石。矿t 一_ 2 i l i l 矿。一，2 + ，1 ) a 1 + - 2 矿z a 2 ：o 从而，由q 1 ，q 2 线性无关知 2 矿z = o ，即( 2 2 3 ) 式可以表示为石1 矿- q 1 + - 2 矿：q 2 = o ；同 样，又由q 1 ，q 2 线性无关知石。矿- = o 这与假设i 1 矿，瓦矿：不全为零矛盾 当t 2 厶时，由( 2 2 3 ) 万1 - 2 妒一t ：一( 2 2 2 ) 得 ( i 1 爵1 2 矿吨柏一i 1 砂) 口。+ 2 矿q 2 ：o 从而，由q 1 ，q 2 线性无关知- 2 砂= o ，即( 2 2 2 ) 式可以表示为7 1 砂q 1 = o ；显然，q 1 是酉 模的向量，从而瓦矽= o 这与假设- 1 砂，- 2 矽不全为零矛盾 故q 1 ，q 2 + p 也线性无关证毕 一个交换环r 称为b e z o u t 环，如果r 的每个有限生成的理想均为主理想一个交换 环冗称为主理想环，如果r 的每个理想均为主理想显然，主理想环是b e z o u t 环，但反之 不真因为r = z 矿z 中的每个理想均为主理想，因此我们有 引理2 2 8 设冗= z 缈z ( z 为整数环，p 为素数，s 为正整数) ，则r 是主理想环 2 3 环z 缈z 上矩阵理论 本节中设r = 纠矿z ，其中z 为整数环，p 为素数，s 为大于l 的正整数 引理2 3 1 ( 见 3 9 】) 环勿矿z 上任给一个m 行佗列非零矩阵a = ( ) ，仇几，则a 可 经有限次z z 上的初等变换化为矩阵 一1a 2 石矽 石 百 石石 石石 a ，七+ 1 岛詹+ 1 瓯知+ l o 0 g n g n g n 0 0 ， 其中o s ，砂i ，t m ) ，则 从而 同理可得 帆。( 三小1 知 0 1 10 1 2 口2 1 0 2 2 瓦1 1 _ 2 2 一瓦1 2 石2 1 g - ， 瓦1 2 = 耐瓦1 1 瓦2 2 一对i 2 矿( 2 r + ，o 如s ) 石1 3 = 石爿西1 1 - 2 3 一瓦爿f 3 矿3 ( z 3 彤，o s ) ， q 1 32n 2 f q l l n 2 3 一0 2 i lz 3 歹4 【c 3 “。，u ( 3 2 1 ) 我们称舻黼中的一个子集f 为舻肌中的一条直线，如果 z = p z 局l ：z r ) q + a ， 其中p g 三m ( r ) ，q g l n ( r ) ，a 舻x n ，p ，q ，4 均为固定的矩阵 我们称r 仃l 肌中的一个子集伽为舻n 中的一个平面，如果 加= p z e l l + y 邑2 ：z ，! ，冗) q + a ，或者伽= 尸 z 毋1 + 秒易l ：z ，y r ) q + a ， 其中p g 三m ( r ) ，q g k ( 兄) ，a 舻n ，p ，q ，a 均为固定的矩阵 我们称两条直线2 ，z 7 是平行的，如果存在一个固定的a 舻n 使得c 7 = 2 + a 我 们称两个平酞，硝是平行的，如果存在一个固定的a 舻加使得= 伽+ a 命题3 2 1 在胛n ( m ，n 2 ) 中，每个包含一个平面的秩1 极大集m 可由一个形 如( 3 1 1 ) 的变换化为朋1 或者m 证明朋为包含一个平面的秩1 极大集，由一个形如( 3 1 1 ) 的变换后，不妨设 伽：= z e l l + 秒蜀2 ：z ，r ) m 1 7 均0 0 怔 一或 1l 刨a o 、n d 以 u 矾o m 似 矽 4 2 a 前 a o 设 们 。 钒 我 矶0 珊弧弋 竺 融 栅 拗 刁 陵 怀 兄 戒 脯 忆 觚 睢 t = v 州 岫 加 默 叭 、i， o ；o 因为胛肌为有限集，妒黼中每个秩1 极大集可由添加互相粘切的点来得到设a 舢a 则从加，叫m 印自定理2 - 3 嘶m = ( 1 名2 ) ，其 中a 2 。，或者a = ( 髦尝) ，其中a 。，0 但是由a 一夕且z m ，v 可r ，我们 必需有a m 1 由此证明了m = 州1 证毕 推论3 2 2r m 期中的任意一个包含一个平面的秩1 极大集是以下两种形式之一： 类型i 的秩1 极大集：只m 1 q + 丁，其中p g l m ( 兄) ，q g 厶( r ) ，丁舻加 类型i i 的秩1 极大集：p m q + t ，其中p g l m ( r ) ，q g k ( 兄) ，t 舻肌 由命题3 2 1 的证明，易知有 推论3 2 3 在舻期中，设m 为一个包含一条直线的秩1 极大集则存在固定的p g l m ( r ) ，q g l 竹( r ) ，t r m n ，使得 m p c i q + z ( 3 2 2 ) 定理3 2 4 在m 中，设m 为一个包含0 与一个酉模矩阵的秩1 极大集则存在固 定的p g l m ( 冗) ，q g 厶( 兄) ，使得 m p c i q 证明经过一个形如xhp 1 x q l 的变换后，其中p 1 g l m ( r ) ，q 1 固定的，我们可设0 ，日1 m 设a = a 1 a 2 朋且a 0 ，局1 ，其中a 1 r 1 黼由引理2 3 2 ，可设a 1 = 咖慨也，o ，川( 1 q 2 ( 3 2 3 ) g 三n ( 兄) 是 舻m ，a 2 b ) ( 吾) ，其中a ：兄2 l ，马g l m 一，c 兄， 中q 2 g l n 一1 ( r ) 经过一个形如 x h ( 1 岛) x ( 1q 2 ) 一 c 3 2 4 ， 的变换后，点0 与e 1 1 不变，我们得到 a ：他 f 1 8 毗、)、 0 2 2 i o1 ， l 其 ，、l， 因为a 一。，a e ，我仃，有d e t ( 三：三：) = d e t ( m 二：1 三：) = 。，因此n z 。= n 2 1n 2 2 0 2 1 口2 2 o ，从而a = 言) 。o n 一2 幽蹴- o 删黝将a 写成 a = 2 。， 2 脚 其中o 1 m i n ，2 1 ， 2 ) 5 ，并且厶1 + 2 s + 1 注意到形如c 3 2 4 ，的变换将c 中的点映射为c 中的点又( 1b ) 4 ( 1q 2 ) 在p 1 c 1 q 1 中，存在固定的尸g 厶m ( r ) ，q g k ( r ) ，使得m p c i q 证毕 推论3 2 5 在n 中，设m 为一个秩1 极大集且包含点a ，b 使得b a 是酉模的 则存在固定的p g 。f r l ，( g l ( 剐，使得 m 尸1 q + a ( 3 2 6 ) 推论3 2 5 基本上给出了含有点ab 使得b 一4 是酉模的秩1 极大集的初步的代数结 构由于涉及到数论与组合计数问题，要完美地确定秩1 极大集的代数结构仍是一个复 杂的问题我们下面给出一些进一步的例子与讨论 我们显然有 引理3 2 6 设兄= 聊8 z ，则在驴黼中( m ，n 2 ) ，如果点a c 1 ，a 譬朋1 ， a 芒m ，且a 一0 ，则我们有 肚b 一 考查驴n 中( m ，n 2 ) 的秩1 极大集m 1 ，m ，易知：m 1 中的酉模点有i r l n l r r + i n = l r i n l ( p ) l n = p 跏一p ( p 1 ) n = 杪一1 ) p ( 5 。m 个，m 中的酉模点共有i r i m i r 冗+ i 仇= i r l m i 佃) l m = ( 矿一1 ) p ( 8 1 ) m 个 1 9 例3 2 7 设r = z 2 2 z = 【0 ，1 ，2 ，3 ，则兄+ = t 1 ，3 j 征r 。“甲，包笛点【】，e 1 1 明 秩1 极大集m 仅有两个，它们是m 1 与m 事实上，设点a m ，a 隹m l ，a 隹m 则a o ，a 一研1