（应用数学专业论文）一类新型二相stefan问题局部的解的存在与唯一性.pdf

一类新型二相s t e f a n 问题局部解的存在唯一性 专业：应用数学 硕士生：闫德宝 指导老n i ：崔尚斌教授 摘要 本文讨论了一类新型二相s t e f a n 问题局部解的存在与唯一性。 这类新型问题在自由边界 ( f ) 上的条件和一般的s t e f a n 问题有较大 的不同。在证明解的存在唯一的过程中，先将原问题转化为等价的积 分方程组，然后针对这个积分方程组定义一个由连续向量函数组成的 b a n a c h 空间c 。及其上的一个映照r 。我们证明了丁是c 。的一个闭子 集c 。上的一个压缩映照，从而得到了积分方程组局部解的存在唯一 性。由等价性也就证明了这类新型二相s t e f a n 问题局部解的存在唯 一性。 关键词：二相s t e f a n 问题局部解积分方程g r e e n 函数压缩 映照原理 类新型二丰目s t e f a n 问题局部解的存在与唯一性 i t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fl o c a ls o l u t i o n st o an e w t y p eo ft w o - p h a s es t e f a np r o b l e m m a j o r ： n a m e ： a p p l i e d m a t h e m a t i c s y a nd e b a o s u p e r v i s o r ：c u is h a n g b i n p r o f e s s o r a b s t r a c t t h i sa r t i c l ed i s c u s s e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fl o c a l s o l u t i o n st oan e wt y p eo ft w o - p h a s es t e f a np r o b l e m t h i ss t e f a n p r o b l e mi s d i f f e r e n tf r o mc o m m o ns t e f a np r o b l e m so nt h ef r e e b o u n d a r y i no r d e rt oa t t a i nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s ，w ef i r s t t r a n s l a t et h es t e f a np r o b l e mi n t oa n e q u i v a l e n ts y s t e mo fi n t e g r a l e q u a t i o n s t h e nw ed e f i n eab a n a c hs p a c ec 。a n dam a p p i n gto n i t b yp r o v i n gt h a t ti sac o n t r a c t i o nm a p p i n go nac l o s e ds u b s e t c 。w o f c 。，w eh a v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fl o c a ls o l u t i o n st o t h e i n t e g r a le q u a t i o n s b e c a u s eo ft h ee q u i v a l e n c eo ft h ei n t e g r a l e q u a t i o n s w i t ho u rs t e f a n p r o b l e m ，w eg e tt h e e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f l o c a ls o l u t i o n st ot h en e w t y p eo f s t e f a np r o b l e m k e y w o r d s ：t w o p h a s e s t e f a n p r o b l e m l o c a ls o l u t i o n i n t e g r a l e q u a t i o n g r e e nf u n c t i o nc o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r e m 一类新型二相s t c f a n 问题局部解的存在与唯一性 第一节引言 s t e f a n 问题是一种常见的自由边界问题，它是在研究固体融化或者液体结晶 过程中出现的自由边界问题。一个十分简单且典型的例子是水凝结成冰或者冰融 化成水的过程。考虑在as xcq o 上的一块冰，设它的温度处处为0 。c ，而在x = a 点保持t c 不变，其中t 0 。于是冰块开始融化，对每一时刻t 0 ，水将占据区间 asxc o ) 。以“记水的温度，则有 au 肼一u f ! o ， a 0 ， u ( h o ) ，t ) = 0 ，t 0 ， “ ，0 ) = 妒o ) ， acx c ( 0 ) 其中a 是正常数， “) 是自由边界，不是预先给定的。由能量守衡律，可给出它 满足下面的方程： ( b )_ d h ( t ) ：一k “， o ) ，f ) ，f 0 a l ： 其中k 是某个正常数。 但是，如果冰的温度v 不是处处为0 c ，则v 满足 卢2 v 。一v f = 0 ，h ( t ) 0 ， ( c )v ( o ) ，f ) = 0 ，t 0 v ( x ，0 ) = 妒o ) ， ( o ) 其中卢为正常数，而条件( b ) 则变为另一形式 ( d ) d h - ( t 一) ：一k “。( a o ) ，f ) + k ov x ( ( f ) ，f ) a t 其中k 同上，k 。为另一正常数。我们把问题( a ) 、( b ) 称为一相s t e f a n 问题，而问题 ( a ) 、( c ) 和( d ) 称为两相s t e f a n 问题。 很长时间以来，人们对一般的s t e f a n 问题已进行了相当深入的研究。早期的 研究主要是针对一相s t e f a n 问题，如文献，【2 1 ，【3 干x 1 1 8 等；文献【9 】讨论了二 相多边界的s t e f a n 问题；文献 s i 贝u 讨论了一相和二相问题。从上世纪九十年代 一类新型二相s t e f a n 问题局部解的存在与唯性 1 开始人们对非线性方程的s t e f a n 问题也进行了研究，如文献1 1 0 1 , , 及 1 2 。随着对 s t e f a n 问题认识的不断深入，人们发现s t e f a n 模型和其它模型存在着某种关系， 文献【7 】就研究了s t e f a n 模型和另外一种模型与p h a s e f i e l d 模型的渐近关系。近 年来人们对s t e f a n 问题的研究已不在拘泥于过去的形式，开始从其它角度发掘 s t e f a n 模型新的问题，文献【4 】就研究了当自由边界的速率为常数时的一类s t e f a n 问题。 本文考虑的正是一种新型的二相s t e f a n 问题，它在边界 “) 上的条件和一般 的s t e f a n 问题有着较大的不同。这种新型的二相s t e f a n 问题可表述为如下形式： ( 1 1 )u ，= a2 u 。，0 x 0 ， ( 1 2 )v ，；卢2 v 。 ( f ) 0 ， t 0 ， ( 1 5 )u x 0 0 ) ，t ) + ( “o ) ，t ) 一c ) = o ，t ，0 ， ( 1 6 )一v x ( o ) ，t ) + 2 ( v ( ( f ) ，f ) 一c ) z0 ，t 0 ， ( 1 7 ) o ) = 一j f l “。( p ) ，t ) + 盯2 叱( o ) ，t ) ，t 0 ， ( 1 8 )u ( x ，0 ) = 伊( 石) ，0 x i l ( o ) ， ( 1 _ 9 )v ( x ，0 ) = 妒“) ， ( o ) c x c l ( 1 1 0 ) ( 0 ) = h o 其中0 h 。1 已知，a ，b 及c 为常数且ntc 扫， ，a 2 及l 1k 2 为正常数，妒 ) ， 妒0 ) 为已知的连续函数，且a 妒0 ) c ，cs 妒0 ) s b 可以看出，以上新型s t e f a n 问题与经典的s t e f a n 问题的区别在于：经典的 s t e f a n 问题中未知函数g ，v 在自由边界x = 0 ) 处满足第一类边界条件 ( 1 1 1 )“( f ) ，t ) = v ( f ) ，t ) zc ， 即u ( h ( o ，t )v ( h ( o ，t ) 已知( 在前述冰融化或水冻结问题中c = 0 ) 。而以上新型 类新型二相s t e f a n 问题局部解的存在与唯一性 2 的s t e f a n 问题中的未知函数u ，v 在自由边界x = h ( t ) 处满足下列第三边界条件： f 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) “。 ( f ) ，t ) + 0 0 0 ) ，f ) 一c ) = 0 ， 一v ，( ( r ) ，f ) + a ：( y ( j 1 0 ) ，f ) 一c ) = 0 其中c 为“态和v 态之问的临界值( 在冰融化成水或水冻结成冰的问题中c = 0 ) 。 这种边界条件的物理意义解释如下：经典的s t e f a n 问题认为在g 态和v 态之问存 在一个严格的分界面，在此分界面上和v 严格地取值c 。然而更深入的研究表 明，在实际物理问题中，删t n ( 1 1 2 ) 和( 1 _ 1 3 ) 的第三边值条件比由( 1 1 1 ) 给出的第 一边值条件更能准确地反映物理实际，由( 1 1 1 ) 给出的第一边值条件只是l q ( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 给出的第三边值条件当 一0 0 ，a ：一0 0 时的近似。如果“态和v 态在自由 界面x = h ( t ) 附近的值相差不大( 即u 和v 都很接近于c ) ，那么边值条件( 1 1 1 ) 能 比较好地反映物理实际。但若u 态或v 态在自由界面x = ( f ) 附近与c 相差很大 ( 比如在冰的融化问题中，假如冰的温度很低而水的温度很高就属于这种情况) ， 那么条件( 1 1 1 ) 就不再能够真实地反映物理实际，而必须代之以条件( 1 1 2 ) 和 r 1 1 3 ) 。 我们如下定义问题( 1 1 ) 一( 1 1 0 ) 的经典解。 定义1 1 称 0 ，f ) ，v 0 ，f ) ， o ) ) 是问题( 1 1 ) 一( 1 1 0 ) 在时间区间0 s t o r 的经典解，如果对所有的tc o ( o c 仃co 。) ，满足 ( i ) a 2 “缸2 ，o u a t ，a2 a2 x 及o v a t 都在0 x ( r ) ，h ( t ) z 1 ，0 s t ( 3 r 上连 续， ( i i ) “，v 及a u a x ，a v a x 在0 s 工 o ) ，h ( t ) s xs 1 ，0s t o - 上连续， ( i i i ) 对于0s t 仃， o ) 是连续的，且对0 t ( 3 r ，j l o ) 连续， ( m 方程( 1 1 ) 一( 1 1 0 ) 得到满足。 本文的目的就是证明问题( 1 1 ) ( 1 1 0 ) g 叠典局部解的存在唯一性。 第二节预备内容 本文所用方法是化积分方程的方法，即把问题( 1 1 ) 一( 1 1 0 ) 化为等价的 积分方程。通过做适当的未知函数的代换，我们不妨设c = 0 相应地我们应设 类新型二相s t c f a n 问题局部解的存在与唯性 3 ac o c 6 ，且口5 妒g 0 ，0 s 妒s b 另外，为简单起见我们设口= 一1 ( 这并不影 响问题的讨论) 为了化积分方程的方便，将( 1 5 ) 一( 1 7 ) 三式稍做整理，把问 题( 1 1 ) 1 1 1 0 ) 变为下述等价的形式： ( 2 1 )u ，z u 。，0 o t o ( 2 5 ) “。o o ) ，f ) ；一 “ o ) ，f ) ，t ，0 ， ( 2 6 ) v 。伪o ) ，t ) = z 2 v ( h ( t ) ，t ) ，t ，o ， ( 2 7 ) 矗( f ) = ，“( o ) ，t ) + 2 v ( ( f ) ，t ) ，r 0 ， ( 2 8 )u ( x ，o ) 一伊0 ) ，0 工 ( 0 ) ， ( 2 9 )v ( x ，0 ) = 妒 ) ，h ( o ) z 1 ( 2 - l u )，l ( u j = h o 其中，肫= k ，：= t k 下面用g r e e n 函数将上述问题化为等价的积分方程，要 用到的g r e e n 函数如下 g 0 ，f ；亭，_ r ) = k 0 一手，r f ) 一k ( x + 宇，f f ) ， 其中k 。力。：焉1 e x 一 一丢 下面就先把问题( 2 1 ) 一( 2 1 。) 转化为积 分方程。 假定 ，f ) ，v ，f ) ， ( f ) ) 是问题( 2 1 ) 一( 2 1 0 ) 的解。对( 2 1 ) 式应用g r e e n 公式，有 ( 2 1 1 ) 喜( g 面o u 一“詈卜喜( g m ) = 。 其中g = g 仁，矗宇，r ) ，越= h f ) v ( x ，f ) ，矗( f ) c 工 1 ，f ，0 ，做如下的变换 x ，= ：l ，- 工及i ，r ) 一v 。，t ) 于是，( 2 2 ) 式就等价于 0 x 7 0 由上述变换知，v ( x ，f ) 适用的g r e e n 函数为 g ，r ；亭，r ) = g ( 1 一z ，t ；1 一亭，f ) 故( 2 2 ) 满足的g r e e n 公式为： ( 2 1 2 虿o 哆面o v i 誊卜e g 乃z 。 其中g ：g ( x7 ，f ；亭，r ) ，石：i ( 亭。) j t , j - ( 2 1 1 ) 式在0 亭 h ( o ，0 e f t 一上积分 r r 素c g 詈一“嚣十彰r f 。f 扣言，d 如= 。 即有 柳计嚣力叫批，啪卜 一卟一势矿哪神秘加力卜辟舻瞒卜 + f 一5g ( x ，l ；矗( f ) ，f ) “( ( z ) ，f ) ( f ) d f = 0 j f 而 。：。- 击r i f 。g a e j d r = f 。一6 g ，t ；亭，t s ) “( 亭，t s ) d 亭一f 扣g 。，f ；亭，s ) “( 亭，s ) d 亭 已知有性质( 见文献f 1 5 】) 偿鲥g ，r 一咖候肛 盂妒 且易见g ( x ，t ；0 ，f ) = 0 所以在( 2 1 3 ) 中，令一0 ，得到 j ：“ 如) ，f ) g o ，f ； o ) ，r ) d f 一上“ ) ，f ) g ，f ；矗o ) ，f ) d f + j ：“( o ，r ) g o ，f ；o ，r ) d - r 一“ ，f ) + r “售，o ) g o ，f ；亭，o ) d 亭+ i 比扣) ，r ) p ) g ，f ； 扛) ，r ) d r = o 即 ( 2 1 5 ) “ ，f ) = _ h o ) ，f ) g o ，r ； p ) ，f ) d f 一上“q ( r ) ，r ) g ，f ； p ) ，r ) d r 一类新型二相s t c f a n 问题局部解的存在与唯一性 5 “( 0 , r ) g e ( x ，t ；o ，f ) d f + f “( 亭，o ) g ( x ，f ；亭，o ) d 亭 上“q o ) ，f ) o ) g o ，f ；j l o ) ，f 矽f 扣口旷g 印式代入e 式，整回舌得到 ( ：1 0 3 “o ，f ) = 一“比 o ) ，r ) g q p ) ，f ； p ) ，f 矽f 一工“p ) ，r ) 瞑o ，t ； o ) ，r r + a f o g ( x o ，f ) d r + r 妒皓) g 一宇，o m 芋 + 心上“2 ( p ) ，r ) g o ，f ； o ) ，z r + z j ：o “( p ) ，z ) v 辑p ) ，r ) g o ，f ； o ) ，r 矽r 令z h ( t ) 一0 ，同时令a p ) = “( o ) ，f ) ，f l ( t ) = v o ) ，f ) ，则有 ( 2 1 7 ) a o ) _ 一a l f o o a ( v ) g ( h ( t ) ，f ； o ) ，f ) d f 一上。o ) g q o ) ，f ； p ) ，f r + a f o oa ( f ) ，f ；o ，r r + f 徊g ( f ) ，f ；宇，o ) 妒( 宇亭 + 弘- s 0 0 a2 p ) g ( o ) ，； p ) ，f ) d f + 岸：上口p 垆一) g ( f ) ，f ；，l o ) ，f ) d f 下面来求( 2 2 ) 式等价的积分方程。 在o f t t e , o 亭 0 上积分( 2 1 2 ) ： 厂r 砷专 g 蝣力喜c e 矿碓7 一詈堞一卜如 一；7 0 “扣鲁( g 话力瑚r = o 即f 1h x ，f ；1 一 。) ，r 声 ，( 1 一 。) ，r ) 一v ( 1 一h ( o ，r ) g x ，f ；1 一 扛) ，r ) k r 一厂k 加一西( o ，小_ ( 0 ，r ) g r 叽) k r 一厂嘉旷g i ( 楷卜 + f g ( x ，t ；l h ( o ，r ) i ( 1 一 o ) ，r ) ( 一 p ) ) d r = 0 令f 一0 ，并利用( 2 1 4 ) ，得到： v o ，f ) 2 i g o ，t ；1 一h ( o ，f p ( 1 一 扣) ，f ) d r 一一c v ( 1 一h ( o ，z ) g ，o ，；1 一h ( o ，r 矽r + f og o ，r ；o ，f ) i ( o ，f ) d r + f “g “，f ；亭，o ) - ( 占，o m 亭 一f og ( x ，f ；1 一 ) ，r ) v ( 1 一 ( f ) ，f 妒o ) d f 故有 ( 2 1 8 ) v o ，f ) = - f o v ( r ) ，f ) g ( 1 - x , t ；1 一 o ) ，r m 7 类新型二相s t e f a n 问题局部解的存在与唯一性 6 + v ( 扛) ，f ) 呸( 1 - x , t ；1 一h ( o ，f 矽f 一- j = v q f ) g ( 1 一f ；o ，f m f + v ( 亭，0 ) g ( 1 一置t ；1 一亭，o ) d 占一上”o ) ，f 妒p ) g ( 1 一墨f ；1 一 p ) ，r ) d t 把( 2 3 卜_ ( 2 8 ) 式代入上式，得 ( 2 1 9 ) v ( x ，f ) = a 2 工”( ) ，r ) g ( 1 一只t ；1 一 p ) ，f m f + 丘”q 扣) ，百) g ( 1 一工，t ；1 一 p ) ，f 矽f 一锤g 5 ( 1 一工，f ；o f ) d 百 + 妒( 亭) g ( 1 一工，t ；1 一亭，o ) d 亭一岸，j ：“ o ) ，f p 扛) ，z ) g ( 1 一工，t ；1 一h ( o ，f ) d f u 2 f o v 2 ( ( r ) ，f ) g ( 1 - x , r , 1 一 ( r ) ，r ) d r - 令x 一 o ) + o 并注意到口o ) = “( o ) ，f ) ，芦p ) = v ( ( r ) ，f ) ，得到 ( 2 2 0 ) 芦( f ) = a z 上卢扛) g ( 1 一 o ) ，t ；l 一 ( r ) f f j e f l f f ) c ( 1 一h o ) ，f ；1 一 p ) ，r m f 一钰g ( 1 一 p ) ，t ；o ，f 沙+ 妒( 亭) g ( 1 一 ( f ) ，t ；1 一亭，o 嵫 一肛：j = 卢。o ) g o ) ，f ； o ) ，z ) d r 一口一一c 。p ) 卢o ) g o ) ，f ； o ) ，r ) d f 另外由( 2 7 ) 式，我们还可以得到： ( 2 - 2 1 ) h ( o 。p 0 “p ) d f + 比f o p ( t ) d f + 。 这样问题( 2 1 ) ( 2 1 0 ) 就转化为下列等价的积分方程组 ( 2 2 2 ) a q ) = 一 _ 口一) g o ) ，f ； p ) ，r ) 一f o a ( f ) g ( o ) ，f ； p ) ，f 矽r + a f o g ( h ( t ) ，f i o ，r ) + r 妒( 亭) g o ；亭，o 矽亭 + ，c l2 0 ) g o ) ，f ； ) ，r 矽r + p z a o ) 卢o ) g q ( f ) ，f ； o ) ，r f - ( 2 2 3 ) f l ( t ) a 2 上f l ( v ) g ( 1 一 p ) ，t ；1 一 p ) ，f ) d r f l ( r ) g s ( 、1 一 ( f ) ，f 丑一，l 一) ，f ) d f 一q ( 1 一 p ) ，f ；o ，r 矽r + 妒g 归( 1 一h ( o ，t ；1 一宇，o 矽孝 一p ：j ：卢2 p ) g q o ) ，f ； p ) ，f ) d f 一地a ( v ) f l ( r ) g ( h ( t ) ，； ) ，f 矽f ( 2 2 4 ) ( f ) 2 0 a p ) d z + 卢：f o f l ( f ) d f + h 。 下面我们给出上述积分方程组经典解的定义 定义2 1 称 ( ，) 卢( ，) ， ( ，) ) 为积分方程组( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 的经典 解，如果对所有的0 s ts o ( 0 盯 。1 ，满足 类新型二相s t e f a n 问题局部解的存在与唯一性 7 价性 ( d ( 口o ) ，f l ( t ) ，h ( t ) ) e c o ，仃 c o ，盯 c o ，仃 ( 回似p ) ，f l ( t ) ， o ) ) 满足积分方程组( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 下面的定理保证了积分方程组( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) a x l l ( 2 2 4 ) , 1 1 i ； 题- ( 2 1 ) 一( 2 1 0 ) 的等 定理2 1 如果 0 ，f ) ，v ( x ，f ) ， o ) ) 是问题( 2 1 ) 一( 2 1 0 ) 的经典解，则当 a ( t ) = “o ) ，f ) ，f l ( t ) = v o ) ，f ) 时， p ) ，f l ( t ) ， o ”必是积分方程组( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 和 ( 2 2 4 ) 的经典解反过来，如果p ( f ) ，卢( ，) ， p ) ) 是积分方程组( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 的 经典解，则当令“0 q ) ，f ) = a ( r ) ，v ( h q ) ，f ) = f l ( t ) l l u ( x ，t ) ，v ( x ，f ) 分别由( 2 1 6 ) ，( 2 1 9 ) 给出时，( h 0 ，f ) ，v ( x ，r ) ， p ) ) 必是问题( 2 1 ) ( 2 1 0 ) 的经典解 证明：讵面的结论由前面的推导就可以得到，反过来的结论可用经典的位势理论 ( 参看文献【1 5 】) 来证明，这罩从略 第三节主要内容 这一节来证明本文的主要结论： 定理3 1 假定妒o ) ，妒0 ) 分别在0 s 工s h ( o ) n h ( o ) 5 x s l 上连续，则对 某( j r ，o ( a 充分4 、) ，定解问题( 2 1 ) 一( 2 1 0 ) 在 o ，盯 上存在唯一解 0 ( x ) ，v ( x ) ， o ) ) 。 在下面的内容里，我们就来证明对充分小的盯，0 ，积分方程组( 2 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 在0 e t 盯( c 1 ) 上存在唯一解。 用c 。表示由 o ，仃 上的连续向量函数以o ) ，芦( f ) ) ( 0 s ts ) 形成的b a n a c h 空 间，范数取为 j j ( c r ，m j2 。m 。，a 。x 。j a ( t ) j 十m 。；，a ；x 。j f l ( t ) j 对给定的m ，0 ，令c 。为c 。的下列闭子集： c 。埘= ( 口，f 1 ) c 。：1 l ( 口，卢州sm 在q 上定义一映照如下： t ：c 。_ c 。， r ( a ，卢) = ( a ，卢) ， v ( 口，卢) c 。， 一类新型二相s t c h 口蒯题局部解的存在与唯一性8 具中 ( 3 1 ) 。o ) _ 一 i a p ) g ( ( f ) ，f ；a o ) ，r m r i a p ) g ( f ) ，f ；矗o ) ，r 矽r + a i o og o o ) ，f ；o ，f ) + f 。妒( 宇) g o ( f ) ，f ；亭，o 矽亭 + “a 2 p ) g o ) ，f ；矗o ) ，f m f + 口：i 。o ) 卢一) g q ( f ) ，f ； ( r ) ，f ) d f - ( 3 2 ) f l ( t ) = 2 f o f l ( v ) g ( 1 一_ j z o ) ，t ；1 一h ( o ，r ) d r f o f l ( o a ( 1 一i l o ) ，t ；1 一 p ) ，f ) d f b f o g ( 1 一 ；o ，r 矽r + 妒( 亭) g ( 1 一 ；1 一亭，o y 亭 一肛z i 卢2 0 ) g ( o ) ，f ； 如) ，f ) d f 一| i - f o a ( f ) f l ( v ) g ( h ( ) ，f ； o ) ，r ) d i 其中h ( t ) 由( 2 2 1 ) 给出。 下面证明，对适当选取的m 和盯，t 把c 。，。映入c 。埘且是c 。上的压缩映照。 首先证明，对适当选取的m 和盯，t 把c 。映入c m 。为此，对待定的m 和 盯，设以，f 1 ) c 。，并令匠，一f 1 ) = t ( a ，f 1 ) ，a 一, 一f 1 分别由( 3 1 ) 和( 3 2 ) 给出，其中的 o ) 由( 2 2 1 ) 式给出。 首先由( 2 2 1 ) 式注意到 ( 3 3 ) i h ( t ) 一 ( t h s i p 。c “( h g ) ，s ) d s + p ：f v q o ) ，s ) d s s 【肛i + 2 弘w 【t 百j ，( u 量f te 盯j 所以，以下我们总设盯，0 充分4 、，使得下式成立 ( 3 4 )( 肛。+ 口：) m o f ) s ( 芦，+ 肛：) m 盯s 皂， 即0 c 盯s 生弋同理，由( 2 2 1 ) 还可以得到 2 m ( 一4 - p 2 ) 、。 ( 3 5 )陋( f ) 一 ( o ) ls ( 口。+ ：) m t e ( 一+ 岸2 ) m 盯 所以，由( 3 4 ) 和0 5 ) 有下列估计 ( 3 6 ) 等s s 了3 h o ，。s t 一 下面寻找使i l ( 云o ) ，万o ) 忙m 的条件。 类新型二相s t e f a n 问题局部解的存在与唯一性 9 由( 3 3 ) 捌( 3 6 ) 内式，小难得剑f 歹0 事实 ( 3 7 ) j = g ( ( f ) 一言，o ) d 纠52 ；c 1 ，v r ，o ( 3 8 ) i g p ) ，t ；o ，r ) isc ：， ( 3 9 ) g o ) ，以 ) ，r lsc 3 p f ) 一， ( 3 1 0 ) l g q o ) ，t ；h ( o ，r ) lsc 。( f r ) 一 注意在推导( 3 7 ) 和( 3 8 ) 两式时只用到( 3 6 ) ，因此常数c 1 ，c 2 不依赖于m 的选 取。但在推导( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 时用到( 3 _ 3 ) ，因此q ，c 4 与m 的选取有关。其中，( 3 7 ) 的推导如下： f o l g ( h o ) ，f ；亭，o ) p 宇s _ i k 伪o ) 一f ) p 亭+ f o l k ( h ( t ) + 亭，f ) p 亭 5 叮。k ( x ，t ) d x 2 从而，可以得到下列估计式： i 一 上口。) g ( 。) ，r ； p ) ，r ) d r l s j t 。m 。a ，x 。j 口( r ) k g ( ( f ) ，r ； 。) ，t m r i s c ；r j l s c ，盯；， f 吐g ；q p ) ，f ；o ，f ) d f fs a c ：zsc 。仃， 嵋妒( 亭) g 伪p ) ，f ；亭，o 矽亭j s c 1 踺：| 妒停) i ， 卜f oa ( r ) g 辑o ) 囊晟扛) ，r 矽7 sc 。翼毛p ( r ) 慌。一r ) 2 d z sc 7i 1 盯j 1 ， p ，_ c a2 ( r ) g o ) ，l p ) ，f 矽f l 啊o ) 如果 ：( f ) h o ，我们将( 3 3 3 ) 式表示为 ( 3 3 4 ) ，4 ，= r “妒( 亭) k 。( f ) 一亭，f ) 一k ( h ：( f ) 一亭，f ) p 亭 + j ：) 驴售) k q 。o ) 一亭，f ) 一k ：( f ) 一亭，f ) p 宇 啦。) 驴( 亭) k ( ，o ) 一一k ( h z o ) 一p 宇 = f + f 0 + f k 如果_ j l | o ) c h os 2 p ) ，( 3 3 3 ) 式表为 ( 3 3 5 ) ，4 = r 。妒( 亭) 【k 。( f ) 一亭，f ) 一k ( 惋o ) 一亭，f ) p 亭 类新型二相s t e f a n 问题局部解的存在与唯一性 1 7 坑。) 妒( 亭) k 。p ) 一亭，f ) 一k 强：( f ) 一曼f ) p 事 而如果 。s 啊( f ) ，我们就不用对，4 再作重新表示下面就仅对第一种情况( 3 3 4 ) - 3 杉 估计，47 ，另外两种情形可用类似方法进行相应估计 对，4 l ，首先应用中值定理，并注意到这样一个事实，即如果啊( f ) c 石o ) c ：p ) ， 那么有 唧 一掣卜 一掣卜叽 因此，g i g ( 3 1 舢式，得到 s 巨罂蔫i 妒( 亭) i ( m 。a ；。x i a - o ) 一口z o ) + m 。a 。x l f l , t ) 一p z 娜盯i ， 尼可用类似的方法加以估计，并且得到的结果也和上述估计相似最后，对，4 2 ，有 ( 3 - 3 7 ) 蚓蚰墨缀懈) ( f ) 一h a t ) l 。f j s 8 。j 翌笺l 妒( 亭) l ( m 。a x 。陋，0 ) 一az 0 m + m 。a 。x 。1 1 3 - o ) 一芦z p l ) 仃j 这样我们可阻得到f 的估计 ( 3 3 8 ) i 厂4 ，l s e j 翌鬣j 妒( 亭) i ( m 。a x 。i a - ( r ) 一a z p ) l + m 。a x i , a ，p ) 一卢z ( o i ) o j 其中影：一b 。+ 否。 用相似的方法，也可以得到关于，4 一的与爿相似的估计结果( 实际上， ，4 一f 与，4 ，的右端是相似的，只不过一亭用亭代替而己) 因此，我们有 ( 3 3 9 ) ，4 l s 皿；! 鬣i 妒( 亭) j ( m 。a 。x i a - 扛) 一口：p ) i + m 。a 。x 。i f l ，扛) 一卢z p ) i ) 口j 对六的处理和和，1 的处理一样。首先 一类新型二相s t e f a n 问题局部解的存在与唯一性 1 8 学 半 躐 姆 ，5 = p ，_ 陋? 扛) 一。；o ) ) g q - o p ；j l l t 扣) ，z m z + 肛0 a ? o ) ( g 。o ) ，t ； 。扣) ，r ) 一c ( h ：( t ) ，f ；1 l ：o ) ，r ) m r = f s l + f 5 2 对兀，f r j 用( 3 9 ) 及已知k l s m ，( f = 1 ，2 ) ，有 ! ( 3 4 0 ) i ，5 l s 4 卢- c 。m 。m 。a 。x ；。l a ，0 ) 一a z ( r ) p 2 利用( 3 2 1 ) ，对，5 ：有 ( 3 4 1 ) l 六：lsc 1 2 肛，( 。+ p ：2 1 ( 。m 。a ：x 。l a ， ) 一a ：p ) l + 。m a ，x ；。l f l 。p ) 一卢：o ) 1 ) “o r ) 一j d r ! s 2 c 。：p t ( - + p ：) m2 ( 。竺恐卜。0 ) 一a ：p ) i + 。m a ，x 。l ，。p ) 一卢z p ) i ) 盯2 l s2 c 。：。( h + ：) m 2 ( 。m a 。x ；。l a t 0 ) 一口：( r ) l + 。m 。a ，x 。l f l t 0 ) 一卢：0 ) i ) 盯j ， 令b s = 4 z 1 c 3 m + 2 c 1 2 p l ( 一i + 卢2 ) 朋2 ，则有 ! ( 3 4 2 ) l ，5 ls 岛( 。m 。a 。xa ，p ) 一a z p ) + 。m 。a ，x ；。l f l ，0 ) 一卢：p ) 1 ) 盯2 对丘有如下估计， ，6 z 一：j ：a 。p 皿：( o g ( h 。( f ) ，f ； 。( r ) ，f ) d f + ：上卢。p 妒：o ) g ：( f ) ，f ； ：p ) ，f 矽f i 一岸：工 ( f ) 一a z ( r ) ) 卢，( o c ( h ( f ) ，f ； ，p ) ，- r m f 一：上口：o ) 卢。扣) g - ( f ) ，f ； 。p ) ，f ) d r + z 丘口：扣) 卢z 一) g ：( f ) ，f ； ：p ) ，f ) d r = 一z j ：似o ) 一口z o ) ) 卢- o ) g ，( f ) ，f ； o ) ，r m r p ：j ：a ：p ) ( 卢- p ) 一卢z p ) g - o ) ，f ； - p ) ，f ) d f 一z 上a - ) 卢：o ) ( c ( h l o ) ，f ；i l l 扛) ，f ) 一c ( h 2 ( f ) ，f ； 2 ( r ) ，r ) ) d r = f 6 1 + f n + 卷新型一帽, q t e b o 阎颢屠窘e 超的存存与唯一件 1 9 由前面的证明易知 f 3 4 3 ) ，6 。i s c ，卢z m 。m a ，x 。i a ，p ) 一a ：o ) k ( f r ) 一j d f l s 2 c ，卢：材。! ! 怒 a - ( r ) 一口：( f ) 盯j ， ! ( 3 4 4 ) i ，岛l5 s 2 c ，芦z m 。m 。a 。x 。l p ，0 ) 一卢z p ) p 2 ， ( 3 4 5 ) l ，6 3 l s i t 2 m 2c l ：( 一+ f ：) ( 。m a ，x ，。陋。扛) 一a ：。) l + 。m a 。x 。l , 6 。扛) 一卢。o m ) 。zo f ) 一j 1d z s 2 c l ：( h + ：) m 2 ( 。婴三l d - o ) 一。：p ) | + m a xj i l l ( v ) 一声：( 0 1 ) o j 令 b 6 ；4 c 3 口2 m + 2 c 1 2 2 ( l + 2 ) m 2 则得到关于，6 的有界估计 l ( 3 - 4 6 ) j ，6 is b 。( 。m ，。a 。x a ，p ) 一a ：p _ + o m 2 x f l ，p ) 一声：( f ) j ) 口j 这样，利用所上面所得到的关于，1 一，6 的估计式( 3 2 3 ) ，( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) ，( 3 3 9 ) ，( 3 4 2 ) 及( 3 4 6 ) 我们得到 ( 3 4 7 ) 融) 一面1s 曰- ( m a 。x 。h p ) - - t 2 2 0 l + 。m a x l , 6 。p ) 一卢：p w ) 盯i ! + 口z ( 搬三k ， ) 一日：仁l + 。m 。a x 。j f l ，p ) 一声z 0 _ ) 盯2 1 + b 3 ( 。m 。a 。x 。i a ，0 ) 一。：0 l + 。m 。a ，x ；。i , 8 。p ) 一卢：0 ) 1 ) j 1 + b 4 j 罢鬣眵( 占) i ( 。罂三l 口，p ) 一口zp ) i + 。m 。a x 。 , 6 t0 ) 一卢：( o i ) o j l 曰s ( 册三陋t p ) 一a ：扛l + 。m 。a x 。, 6 , ( v ) 一声：p i ) j 1 + b 6 ( 。m 。a x 。a - 一) 一a ：扛l + 。m a x 。1 , 6 ，0 ) 一卢z 扛m ) 盯i 类新型二相s t c f a n 蒯题局部解的存在与唯一性 2 0 ! s b 7 ( 。翼三b ，p ) 一。：p ) i + 。m 。a x ；。i p ) 一声：p ) 1 ) 盯2 而岛2 善量，显然，占，是依赖于“，p 2 , a , c 3 , c 1 2 , m f t ( 妒( 宇) 的正常数。 同理，对于岛o ) ，芦：o ) 可以得到类似的结果 ( 3 4 8 ) 胁) 一劢) | sb 8 ( m a x 。- ( r ) 一a z o ) l + m a 。x f l - ( r ) 一声：口j 其中最= 壤( h ，卢：，b ，c 3 ，c l ：，m ， ；f ，( ) ) ，为正常数。 于是，由( 3 4 7 ) 和( 3 4 8 ) 得到 ( 3 4 9 ) i i p ) 一i ( f l + i 酉( f ) 一万( f ) l ! s b 9 ( 。m a 。xi a t p ) 一口z 0 ) i + 。m a ，x ；。i f l ，p ) 一卢： ) l p 2 其中，b 9 = b 7 + b 8 综合上面的分析我们可以得到： ( 3 5 0 ) i i o ) 一i p ) ，酉( f ) 一万删 1 s 风( 。婴l 口，p ) 一a ：p ) l + 。m a 。x 。j i l l ( v ) 一卢：p ) i p j 而由前面对c 。上的范数定义 ) ，f l ( t ) | i2 m a x 。i a ( t ) l + m 。a 。x i f l ( t ) i 故1 丰t ( 3 5 0 、得 ( 3 5 1 ) 阿p ) 一一a 2 ( t ) ，鬲( f ) 一矾) | i 1 s b g o j l l a b ( t