（物理海洋学专业论文）波群中波高分布的研究.pdf

波群中波高分布的研究 摘要 海浪波高分布在海浪理论和工程应用中受到普遍关注。在海浪中，具有较大 波高的波经常相继出现构成波群。波群中的波高分布对海洋工程和波破碎等研究 具有重要意义。 波群中多个波波高累积概率是海洋工程中受到关注的问题。n o l t e 等在线性 海浪模型下，通过波群中单个波波高的r a y l e i g h 分布和各波波高相互独立的假 定，导出波群中多个波波高的累积概率。然而大量观测表明，波群中相邻波波高 之间存在相关性。本文将波群中波高序列视为m a r k o v 链，根据海浪波高的一元 和二元瑞利分布，导出波群中多个波波高累积概率的理论公式。通过与观测结果 对比，本文理论结果明显地优于n o l t e 等结果。 n o l t e 等理论的一个基本假定是波群中各波波高相互独立。当波群连长增 大，n o l t e 理论结果与实验结果的偏离增大。在本文研究中，波群中相邻波波商 间存在相关性，当波群连长增大时，理论结果和实测结果并未发生偏离。本文结 果在海浪理论和海洋工程方面具有重要意义。 目前在波群研究中，各种连长波群中的单个波波高分布被视为是完全相同的 分布。将各种连长波群中的单个波波高分布视为r a y l e i g h 分布的假定，迄今在 波群中波高分布的研究中均被认为成立。本文将信息熵概念应用于波群中波高分 布的研究，通过分析实验室风浪观测资料，发现随着波群连长的增大，波群中波 高的信息熵增大。这一结果说明，在不同连长的波群中波高值的不确定性不同。 当连长增大，波高值的不确定性增大。当以平均波高无因次化，波群连长较大时 波群中波高累积概率明显大于连长较小时的倩形。实验结果表明，在波群中波高 分布的研究中，波群连长必须是一个予以考虑的因素。实验结果同时表明，波群 中波高分布受谱宽度的影响。当谱宽度增大时，波群中波高累积概率降低。引入 一个体现波群性质的无因次化波高参量，在不同连长的波群中得到一致的波高累 积概率分布，但波群中波高分布的信息熵仍不相同。这一结果表明不同连长波群 中波高分布有一种内在的不同，这种内在的不同不能通过改变无因次化波高予以 消除，不同连长波群中波高分布不是等价的。波高值的不确定性程度与波群连长 密切相关。此结果对波高分布的细结构等理论问题有重要意义。 关键词：波群；累积概率；连长；信息熵 t h ed i s t r i b u t i o no fw a v eh e i g h ti nw a v eg r o u p s a b s t r a c t t h ed i s t r i b u t i o no f w a v eh e i g h to f o c e a nw a v e si so f i n t e r e s tb o t l li nt h e o r ya n di n e n g i n e e r i n g i no c e a nw a v e s h i g hw a v e so f t e no c c u rw i t hw a v eg r o u p s t h e d i s t r i b u t i o no f w a v eh e i g h ti nw a v eg r o u p si so f i m p o r t a n c ei na r e a so f w a v eb r e a k i n g a n di nm a l i n ee n g i n e e r i n g n o l t ed e r i v e dt h ea c c u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yo f m u l t i w a v eh e i g h t si naw a v eg r o u p o nt h eb a s i so f t h el i n e a rt h e o r yo f o c e a nw a v e sa n dt h er a y l e i 曲d i s t r i b u t i o no f w a v e h e i g h t t h ed e r i v a t i o ni sb a s e do nt h ea s s u m p t i o no ft h ei n d e p e n d e n c eo fi n d i v i d u a l w a v eh e i g h t si naw a v eg r o u p h o w e v e r ，o b s e r v a t i o n ss h o wt h a tt h ea d j a c e n tw a v e h e i g h t si naw a v eg r o u pa r ec o r r e l a t e d i nt h i sp a p e r t h ew a v eh e i g h t si naw a v eg r o u p i sc o n s i d e r e d 勰am a r k o vc h a i na n dt h ea c c u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yo fm u l t i - w a v e h e i g h t si naw a v eg r o u pi sd e r i v e du s i n go n e d i m e n s i o n a l a n dt w o d i m e n s i o n a l r a y l e i g hd i s t r i b u t i o no fw a v eh e i g h t i nc o m p a r i s o nw i t hn o l t e sr e s u l t s ，t h er e s u l t s o f t h em a r k o vc h a i nm o d e ls h o wr e m a r k a b l yb e t t e ra g r e e m e n tw i t ho b s e r v a t i o n s i nn o l l e s s t u d yt h ed e v i a t i o no ft h et h e o r e t i c a l r e s u l tf r o mt h er e s u l to f o b s e r v a t i o n si n c r e a s e sw i mt h er u no ft h ew a v eg r o u p t h i si sd u et ot h e ( u n j u s t i f i e d ) a s s u m p t i o no ft h ei n d e p e n d e n c eo fi n d i v i d u a l w a v eh e i g h t si naw a v eg r o u pi n n o l t e st h e o r y i nt h em a r k o vc h a i nm o d e l ，t h ea d j a c e n tw a v eh e i g h t si naw a v e g r o u p sa r ec o r r e l a t e d t h ei n c r e a s i n gd e v i a t i o n so ft h et h e o r e t i c a lr e s u l t sf r o mt h e r e s u l t so f o b s e r v a t i o n si nw a v eg r o u p sw i t hl o n gf u n si nn o l t e st h e o r ya r ee l i m i n a t e d s of a rt h ed i s t r i b u t i o n so fw a v eh e i g h ti nw a v eg r o u p sw i t hd i f f e r e n tr u n sa r e c o n s i d e r e dt ob ei d e n t i c a l t h er a y l e i g hd i s t r i b u t i o no fw a v eh e i g h ti nw a v eg r o u p si s c o n s i d e r e dt ob eav a l i da s s u m p t i o n i nt h i sp a p e rt h ec o n c e p to fi n f o r m a t i o ne n t r o p y i sa p p l i e di nt h es t u d yo f t h ed i s t r i b u t i o no f w a v eh e i g h ti nw a v eg r o u p s b ya n a l y z i n g w i n dw a v ed a t ai nt h el a b o r a t o r yi ti sf o u n dt h a tt h er i mo ft h ew a v eg r o u pi sa n i m p o r t a n tf a c t o ri ni n f l u e n c i n gt h ed i s t r i b u t i o no fw a v eh e i g h ti nw a v eg r o u p s t h e i n f o r m a t i o ne n 订o p yo ft h ed i s t r i b u t i o no fw a v eh e i g h ti n c r e a s e sw i t ht h er u no ft h e w a v eg r o u p t h er e s u l ti n d i c a t e st h a tt h eu n c e r t a i n t yo ft h ew a v eh e i g h t si n c r e a s e s i “ w i t ht h er u no ft h ew a v eg r o u p n o n d i m e n s i o n a l i z e dw i t l la v e r a g ew a v eh e i g h t , t h e a c c u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yo fw a v eh e i g h ti nw a v eg r o u p sw i t hl o n gn l n si sr e m a r k a b l y l a r g e rt h a nt h a tw i t hs h o r tr u n s t h i sr e s u l ti n d i c a t e st h a tt h er l l no f w a v eg r o u p sm u s t b ec o n s i d e r e da saf a c t o ri nt h es t u d i e so ft h ed i s t r i b u t i o no fw a v eh e i g h ti nw a v e g r o u p s i ti s f o u n dt h a tt h ew a v eh e i g h td i s t r i b u t i o n i nw a v eg r o u p sd e p e n d so n s p e c t r a lw i d t h t h ea c c u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yo f w a v eh e i g h td e c r e a s e sw i t hi n c r e a s i n g s p e c t r a lw i d t h t h ee f f e c to fs p e c t r a lw i d t ho nt h ea c c u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yo fw a v e h e i g h ti sc o m p a r a b l et ot h a to ft h en m an o n - - d i m e n s i o n a l i z i n gw a v eh e i g h t p a r a m e t e rr e f l e c t i n gt h ep r o p e r t i e so fw a v eg r o u p si si n t r o d u c e di ns t u d y i n gt h e a c c u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yo f w a v eh e i g h ti nw a v eg r o u p s n o n - - d i m e n s i o n a l i z e dw i t h t h i sp a r a m e t e r , t h ed i f f e r e n c eo f t h ea c c u m u l a t i v ep r o b a b i l i t yo fw a v eh e i g h ti nw a v e g r o u p sw i 血d i f f e r e n tr u n sc a l lb ee l i m i n a t e d h o w e v e r t h ed i f f e r e n c eo fi n f o r m a t i o n e n 仃o p yi nd i f f e r e n tw a v eg r o u p sc a n n o tb ee l i m i n a t e d t h er e s u l ti n d i c a t e st h a tt h e r e i si n t r i n s i cd i f f e r e n c ei nw a v eg r o u p sw i md i f f e r e n tm l l s t h i sd i f f e r e n c ec a n n o tb e e l i m i n a t e db yc h o o s i n gd i f f e r e n tn o n d i m e n s i o n a lw a v eh e i g h t t h ed i s t r i b u t i o no f i n d i v i d u a lw a v eh e i g h ti nw a v eg r o u p sw i t hd i f f e r e n tn l l l si sd i f f e r e n t k e y w o r d s ：w a v eg r o u p ：a c c u m u i a t i v ep r o b a b iii t y ：r u n ：i n f o r m a t i o ne n t r o p y 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含未获得洼；垫翌直墓丝益要挂剔直盟 鲍：奎拦互窒2 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名；签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权学校可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：烈鼻梅 签字日期：皿1 年6 月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签字：复亿 签字日期：2 叼年石月7 日 电话： 邮编 波群中波高分布的研究 0 刖蓦 0 1 研究背景 海浪波高分布在海浪理论和工程应用中受到普遍关注。在海浪中，具有较大 波高的波经常接连出现构成波群，波浪的群性对于波浪与建筑物作用有重要影 响。因此波群的研究日益受到人们的重视。 波群中多个波的波高累积概率是海洋工程中受到关注的问题。n o l t e 等 ( 1 9 7 2 ) 在线性海浪模型下，通过波群中单个波波高的r a y l e i 曲分布和各波波 高相互独立的假定，导出波群中多个波波高的累积概率。但大量观测表明，海浪 各波波高并不相互独立，大波倾向跟随大波出现，小波倾向跟随小波出现，n o l t e 等理论的基本假定并不成立( 在r y e ( 1 9 7 4 ) 的观测结果中，风浪的相邻波高间的 相关系数平均为0 2 4 ) 。在近年的一些研究中，众多研究者考虑了波群波高间存 在的相关性，并认为这种相关性只存在于相邻波波高之间，非相邻波波高间的相 关性较弱，假定波高序列具有m a r k o v 链的特性，得到了与观测符合很好的结果。 k j m u r a ( 1 9 8 0 ) 将波高序列作为m a r k o v 链，由波高间相关性提出波群连长的概 率分布理论，其结果与观测结果相当符合。d a w s o n ( 1 9 9 7 ) 假定相邻接的波高 是相关的，用m a r k o v 链理论对随机波群的连长进行了研究，其理论和实际观测 结果符合很好。p a u ls t a n s e l l ( 2 0 0 2 ) 等根据北海北部的风暴海浪记录，用m a r k o v 连长理论分析了2 0 分钟波列资料的波群连长和高波连长，用5 种方法计算了 m a r k o v 链中的转移机率，结果显示m a r k o v 链理论模型能正确地预测连长和平 均连长。但迄今为止，m a r k o v 链理论方法没有被用于研究波群中多个波波高的 累积概率问题。 目前在波群研究中，波群中波高分布均被认为是相同的分布，该分布与波群 连长无关( k i m u r a ，1 9 8 0 ；l o n g u e t - h i g g i n s ，1 9 8 4 ；d a w s o n ，1 9 9 7 ；p a u ls t a n s e l l ， 2 0 0 2 ) 。n o l t e 等( 1 9 7 2 ) 在关于波群中波高的累积概率问题的研究中将各种连长波 群中的波高分布视为r a y l e i g h 分布，这一假定迄今在波群中波高分布的研究中 均被认为成立。不同连长波群中波高分布是否相同? 这一问题有待于研究。 波群中波高分布的研究 0 2 本文工作 n o l t e 等( 1 9 7 2 ) 根据各波波高相互独立的假定对波群中多个波波高累积概 率进行了研究。但观测表明相邻波波高间存在一定的相关性。本文通过波群中波 高序列的m a r k o v 链理论模型，根据海浪波商的一元和二元r a y l e i g h 分布，导出 波群中多个波波高累积概率。通过与观测结果对比，本文的理论结果明显地优于 n o l t e 等结果。此结果在海洋工程应用方面具有重要意义。 本文将信息熵概念应用于波群中波高分布的研究，通过分析实验室风浪观测 资料，发现不同连长的波群中波高分布的信息熵和波高累积概率均不相同，随着 波群连长的增大，波群中波高的信息熵增大。这一结果说明，在不同连长的波群 中波高值的不确定性程度不同，连长越大，波高值的不确定性程度越大。同时发 现波群中单个波波高分布也受谱宽度的影响。随着谱宽度增大，波群中波高累积 概率降低。引入一个体现波群性质的无因次化波高参量，在不同连长的波群中得 到相同的波高累积概率分布，但无因次波商分布的信息熵仍不同。这一结果表明 不同连长波群中波高分布的细结构不同，这对波群中波高分布的研究有重要理论 意义。 2 波群中波高分布的研究 1 波群中波高分布研究的理论基础 1 1 分析波群研究的方法 波群研究的主要内容为波群出现的次数、波群经历的时间、波群内包含的波 数和表征群性的参数。现已提出了多种方法，主要有以下几种： 1 1 1 包线理论 在古典水动力学中己提出波群的概念：两个振幅相同而波长和周期略有不同 的余弦波，在同一个方向传播时就会形成包络波形( 包线) 非常规则的波群，波 浪理论已证明，波浪能量是以群速向前传播。 ， 对复杂的实际海浪，假定在窄谱条件下，波形如图1 1 1 所示，并可用式 ( 1 l 1 ) 描述。 r ( t ) = a ( t ) c o s t o e + 庐o ) 】 ( 1 1 1 ) 图1 1 1 海浪波包示意图 此处彳( f ) 为波浪振幅随时间的变化，即图中的峰包线，石为频率，( f ) 为相 位随时间的变化，图中出现三个波群，今于平均水面以处作一水平线，与峰包 交于口b 。厂。时段曲，e d ，e y 称为水平为a 。的波群历时长度，分别p a t i 、f ：、 t 3 表示。每个波群中包含的波数以，。表示，i 为他们的均值，相邻两波群起点间 的波浪个数以f ：表示。 3 波群中波高分布的研究 a 超过a c 的概翠为 ，( 4 ) 叫4 舢= 刑) 枷= e x p ( 一争 ( 1 1 2 ) 现计算峰包线上升并横截面给定线a = a 。的次数，单位时间内峰包线上升横 截4 = 以的平均次数为 + ( 4 ) = f 砂( 4 ，五) 幽 ( 1 1 3 ) a 与a 。的概率密度函数： f ( a , a c ) = 赤唧( _ 丢) 酬一百2 ) ( 1 1 4 ) 代入式( 1 1 2 ) 并积分得 + = ( 盖) 1 ，2 坐m oe x 卧乌z m o ( 1 1 5 ) z 删0 峰包线上升横截面4 = 4 的点间的平均时距等于n + ( 4 。) 的倒数，如再乘上 单位时间内波形的上跨零点次数联，就得到两个波群起点间的平均波数： 7 2 = 囔) l ，2 警酬一刍2 t o o n ， 其中a 一。的概率如式( 1 1 6 ) 所示。因此峰包线超过爿。的平均长度( 以波数 表示) 为 i i = 瓦m 2 ) l 2 等1 2 ( 1 1 7 ) 当谱宽度较大时，由上式算得的l h c 的发生 概率为p o ，不发生的概率为q 。= l - p 。长度为 的连是这样一个过程，其中第 一个波高超过日。，且相继而来的( ，一1 ) 个波高也超过h c ，而第 + 1 个波高小 于比值。因此长度为j 。的连发生的概率为p ( j ，) = p 毒4 ( 1 一p 。) ，因为p 。 h l ，) = o 。1 3 4 8 ，q o = o 8 6 5 2 代入上式可得j l = 1 1 6 ，盯( ，1 ) = 0 4 2 ，如= 1 1 6 ，盯( ) = 6 9 1 以上假设波序号是完全随机的，实际海浪并非如此。r a y ( 1 9 8 2 ) 实测得相邻 波之间的相关系数( 1 ) 为0 2 4 ，俞聿修等( 1 9 8 8 ) 在日照港实测得波浪相关系 数为i 。( 1 ) = 0 3 2 ，从远洋传来的涌，j w ( 1 ) 可达0 5 0 8 ，所以上述公式给出的 连长偏小。 k i m u r a ( 1 9 8 0 ) 按波高相关给出波浪连长的概率理论，他对于一个具有概率密 度函数p ( 凰，凰) 的马尔可夫链引进了一个变换方程式，假定波高符合r a y l e i g h 分布，导得相邻波高甄，日：的联合概率密度函数为 ，( h i , h 2 ，= 虢晰南警h c 挠 式中，日。是波高的均方根值；厶是零阶贝赛尔函数；p 为相关函数，p 可 定义成h 。，h ：的相关系数( 1 ) 的函数，即 m ( 1 ) = e ( 2 力一0 5 ( 1 4 , 0 2 ) k ( 2 力一0 2 5 z ( 1 - 0 2 5 z ) r m ( 1 ) 的定义见式( 1 1 3 2 ) 。 设q ，都不超过jj 槛敬向爿c 删慨率为a l ，两者同时超过的概率为 p 2 2 ，即 其中g ( 且) 为波高分布，采用r a y l e i g h 分布 q ( h 1 ) = ( 2 h 1 ，日二，) e x p ( 一日? h k ) 于是可以得到连长为。的概率 6 h k 泓灿 m 如 马 。g “ 毛_ l r 也 剐叫灿m h 凡 皑 帆 卜 广k广 = | 一m 一卜 波群中波高分布的研究 p ( j o = p 2 2 - 1 ( 1 一p 2 2 ) 连长均值和标准差为 = 1 ( 1 一p 2 2 ) t r ( j o = 4 p 2 2 0 一p 2 2 ) 总连长的概率为 p ( _ ，：) ：坠旦必鳓一p 盘。) p l l p 2 2 总连长的均值和标准差 j 2 = 1 ( 1 一p 1 i ) + 1 ( 1 一p 2 2 ) d ( 歹z ) = 石= 弓i 了7 + 石习1 一石= 土i 了一石= 三方2 为t 1 2 k i m u r a 的理论结果应用于实测的波浪记录，必须由分析确定的( 1 ) 值通过式( 1 1 1 9 ) 1 拘数值解求解相关参数p ，然后可确定p ( 日，上，2 ) ，a ，p 。等。 对山东省日照港外实测的7 3 组波浪资料分析的结果显示只有涉及相邻波的相关 性的k j l n u r a 公式能给出相当符合的结果。 1 。1 3 波能过程线法 s e d i v y ( 1 9 7 8 ) ，f u n k ( 1 9 8 0 ) 以及n e l s o n ( 1 9 8 0 ) 等提出了相似的方法。他们 认为用半波或全波的波形包线来描述波群过于粗糙，建议从波动记录的能量与记 录的方差成正比出发，计算某个时间窗l 内波形的方差作为此时段中点时刻t 时的瞬时波能。此处描述f u n k 等的方法。取 删= 毒k 栅+ f ) 咖 加上光滑化处理后为 刖2 毒厶批 ) q 1 ( r ) d r 乙s f l 一 式中瓦一谱峰波周期： 波群中波高分布的研究 l ：一贸科思长： q ( f ) 一光滑函数。i 玟b a r l e e t 谱窗： g = 磐喝毳? 对波形记录的两端作如下处理： o f 耳 即) = 志矿( f + f ) q 1 ( r ) 打o 耳刖) 2 志匕，7 2 ( f + 7 ) q 1 ( 7 ) 打 l 一乙f r ，即) = 南眨矿o + r ) q l ( r ) 如 层( f ) 叫做光滑化瞬时波能过程线，简称s i w e h ，它能较好地描述波群的情况， 波浪的群性越明显，占( r ) 的峰越大。 1 1 4 表征波浪群性的参数 除了上述超过某一个门槛高度日。的波群中的波数，；和两波群重复出现时段 内的波浪个数，：等波群要素外，人们还提出了多种表征波群群性的参数，主要有 以下几个： 1 相邻波高的相关系数( 1 ) 们) = 专喜( 皿一- i f ) 2 锄( 1 ) = 丽1 而1 备n ( 日。一再隅一蔚 ，抽( 1 ) 值大意味着大波紧跟大波，风浪的钿( 1 ) 为0 2 左右，远来的涌浪可达0 6 。 2 周期相关系数，竹( 1 ) 枷) 2 赤击善l v - i 1 ( 互巧肌一两 h i uj 川一百 其值变化为o o 5 之间，但有时也出现负值。 8 波群中波高分布的研究 3 波高和周期的相关系数，胛 ，胛= 丙麦i 姜( e 一耳) ( 五一而 ，胛通常大于零。 4 波群因子 现有多种定义波群因子的方法。有群因子g 。和波群因子g f ，还有俞聿修等 参考l i s t 的建议，定义波高因子g f h 为 g f h = 4 2 0 a ( t ) ( 1 1 3 6 ) 式中吒，4 0 ) 分别为波包线的标准差和均值。波包线利用h i l b e r t 变换技术由波 面记录直接算得，而不需进行滤波，g f h 值有明确的界限，在0 l 范围内变化。 波面叩( r ) 的h i l b e r t 变换定义为 ；( f ) ：里 翌嗡r = r 1 ( f ) ，三 ( 1 1 3 7 ) 万+ 。t f厦 式中，p 表示在t = 1 5 取柯西主值。波浪的波包线为 a ( t ) = 【r ( t ) 2 + 叮( r ) 2 】l 2 ( 1 1 3 8 ) 但由t k t ) 直接计算，7 ( f ) 是困难的，通常利用h i l b e r t 变换的特性，可将波面 记录作傅立叶变换得f r ( t ) l ，然后将其国 0 的部分加倍；脚 h o 的累积概翠 p ( h 。) = f ( h ) a h = e x p ( - 2 h 0 2 ) 无因次波高大于 。的条件概率为 鲋：器 将式( 1 2 1 6 ) 和式( 1 2 1 7 ) 代入式( 1 2 1 8 ) ，有 g ( 矗) = 4 h e x p - 2 ( h 2 一瑶) 】 因此在波高大于的条件下，某一波高小于 的概率为 ，= q ( h ) d h = 1 一e x p - 2 ( h 2 一瑶) 】 设为一临界高度，波高超过的波构成波群，由于这一波群中每个波的 波高均大于，因此式( 1 2 2 0 ) 也就是以为临界高度定义的波群中某个波 波高小于h 的概率。 如果各波波高相互独立，对于一个波群内包含的高于玩的个波，所有这 个波小于h 的概率为 p = 1 一e x p 一2 ( h 2 一h o b ) j ” ( 1 2 2 1 ) 所有个波小于h 的条件相当于个波中最大波高小于h 的条件，故式 ( 1 2 2 1 ) 给出在一个水平为包括个波的波群中最大波高小于h 的概率。 1 2 3 群性对波高分布的影响 假设波浪是平稳随机过程，谱为窄谱，可导出波高分布为r a y l e i g h 分布，但 经过一些实测资料分析，在大波高区或谱较宽时，r a y l e i g h 分布和实际情况有一 定的差别。 俞聿修等( 1 9 9 8 ) 探讨了群性对波高分布的影响，一般认为深水波高符合 r a y l e i g h 分布，渤海波浪的h d h 0 的累积概率 p ( 而。) = e ( 矗) 幽= e x p ( - 2 h g ) ( 3 1 2 ) 无因次波高大于的条件概率为 删= 器 ( 3 ) 将式( 3 1 1 ) 和式( 3 1 2 ) 代入式( 3 1 3 ) ，有 g ( ) = 4 h e x p - 2 ( h 2 一瑶) 】 ( 3 1 4 ) 因此在波高大于的条件下，某一波高小于 的概率为 2 l 波群中波高分布的研究 p = q ( h ) d h = 1 一e x p - 2 ( h 2 一瑶) 】 ( 3 1 5 ) 设 o 为一临界高度，波高超过的波构成波群。由于这一波群中每个波的 波高均大于，因此式( 3 1 5 ) 也就是以为临界高度定义的波群中某个波波 高小于h 的概率。 如果各波波高相互独立，对于一个波群内包含的高于的波，所有这个 波小于自的概率为 p = l e x p 一2 ( h 2 一瑶) 】) ” ( 3 i 6 ) 所有个波小于h 的条件相当于个波中最大波高小于h 的条件，故式( 3 i 6 ) 给出在一个水平为包括个波的波群中最大波高小于 的概率。 图3 1 17 m 风区，1 0 m s 风速时波群中波高累积概率理论结果和实际结果的比较 图3 1 21 4 3 5 m 风区，6 m s 风速时波群中波高累积概率理论结果和实际结果的比较 波群中波高分布的研究 图3 1 31 8 m 风区，8 r i g s 风速时波群中波高累积概率理论结果和实际结果的比较 图3 1 42 5 4 m 风区，4 m s 风速时波群中波高累积概率理论结果和实际结果的比较 图3 1 1 图3 1 4 为本文实验结果与n o l t e 等理论结果的比较。图中黑点， 圆圈，叉号和三角分别表示连长为1 ，2 ，3 ，5 时实验结果；实线，虚线，点 划线和长虚线分别为连长为l ，2 ，3 ，5 时n o l t e 等的结果。由图可见，在所 有连长情况下波高累积概率的实验值均高于理论值，且随着连长的增大，实验结 果相对于理论结果的偏离增大。上述特征可以从以下两个方面加以解释。 海浪波高分布的r a y l e i g h 分布是在窄谱假定下导出。谱宽度的影响可使波 高高于某一高度的累积概率的实验结果低于理论结果，这一特征被大量观测证实 ( f o r r i s t a l l ，1 9 7 8 ) 。根据这一特征，波高低于某一高度的累积概率的实验结果 应高于理论结果。图3 1 1 图3 1 4 中连长为1 时，实验结果高于理论结果 的现象说明了这一点。 在n o l t e 等的研究中，波群中各波波高被视为相互独立。如果各波波高相互 独立，某个波波高低于h 的概率如式( 3 1 5 ) 为1 一e x p - 2 ( h 2 一瑶) ，则个波波 波群中波高分布的研究 高低于h 的概率为【1 - e x p - 2 ( h 2 一瑶) 】”。由本文2 3 节实验结果可见，相邻波波 高间存在明显的相关性。如果各波波高间存在相关性，则个波波高均低于h 的 概率必然大于【l e x p 一2 ( h 2 一瑶) 】”。因为当各波波高间存在相关性时，低的波 高倾向于随低的波高出现，这时个波波高均低于h 的概率必然大于这个波 波高相互独立时的情形。值越大，理论结果相对实验结果的偏差将越大，这 一点在图3 1 1 图3 1 4 中明显地表现出来。 在本文的研究中，将考虑波高间存在的相关性，波群中波高序列被视为 m a r k o v 链，研究波群中多个波波高的累积概率。通过与观测结果对比，本文所 得理论结果比n o l t e 等的结果明显地接近实际观测结果。 3 2 各波波高具有相关性时波群中多个波波高累积概率理论模型 3 2 1m a r k o v 链的基本概念 设有随机变量序列墨，互，x n ，其中的随机变量为离散型的，且都以随机 方式取值于离散值集合 a i a 2 ，a h 如果此序列具有如下性质： p x n = a i 以一l = 4 五= 口h ) = p x n l = a i x n = a ( 3 2 1 ) 则称此随机变量序列为m a r k o v 链。 马尔可夫链( m a r k o vc h a i n ) 为一序列的机率过程，考虑了两物理量在前后 时刻不同状态特性的机率过程。其具有下列性质： a ) 每一次试验结果为状态q ，a 2 ，a n 中之某一个。 b ) 若某次试验之结果为一状态a ，若a t 与另一试验( 状态口，) 之间的关系以 机率表示为机率乃，则机率p ，只与d 。以及口，有关，则p d 称为由状态q 转变到 状态口，的转移机率( 仃a n s “i o n p r o b a b i l i t y ) ，p - - i f i 称为此马尔可夫链的转移 机率矩阵( t r a n s i t i o nm a t r i x ) ，定义如下： 波群中波高分布的研究 驴轰k 啦，飓川2 一m z 。 p = 马2 p 2 2 ： p , a p l ” p 2 。 ： p m ( 3 2 2 ) 式中z 。为在状态f 的情况下转变为状态，所发生的概率当转移机率p ，只 与i ，_ ，及时间间距有关时，称转移机率具有平稳性，称之为齐次马式链。齐 次马式链有一个重要特征，即它的步转移机率矩阵是其一步转移机率矩阵的 次方。 3 2 2m a r k o v 链理论模型的建立 在近年的波群研究中，很多研究者认为波群中相邻波的波高之间存在相关 性，非相邻波波高之间的相关性很弱( k j m u r a ，1 9 8 0 ；l o n g u e t - h i g g i n s ，1 9 8 4 ； d a w s o n ，1 9 9 7 ；p a u ls t a n s e l l ，2 0 0 2 ；本文实验观测结果也证实了这一点) ，将海 浪波高时间序列视为m a r k o v 链。本章将波群中波高序列作为m a r k o v 链，利用波 高的一元和二元r a y l e i g h 分布，研究波群中多个波波高累积概率的问题。 海浪通常被看作是一个平稳随机过程。如果将一个波群中的波浪都视为平稳 随机过程，那么波群中的波高序列就可视为一个齐次m a r k o v 链。由齐次m a r k o v 链的性质可知链的有限维分布可由初始分布与一步转移机率完全确定。 1 一步转移机率矩阵的确定 合田良实等( 1 9 7 6 ) 用上跨零点法顺序确定各个波浪的波高，定义波高超过 某个i 临界高度值的波群为连，连内的波数称为连长。取无因次波高为临界波高。 将连长为n 的波群内的波高分成大于小于办，大于 两种状态，并分别用下标 1 ，2 表示以示区别。p ，。表示波群中相邻接的两个波波高均大于 的概率；p ，：表 示波群中波高大于 的波其邻接波的波高大于小于h 的概率，p ：。表示波群中 波高大于小于h 的波其邻接波的波高大于h 的概率；p ：则表示为波群中相邻 2 s 波群中波高分布的研究 接的两个波波高均大于小于 的搏率；只则表示波群中相邻接的个波波高 都大于小于 的概率。 根据m a r k o v 链理论的性质和定义，体现波群波高问相关性的个波波高累 积概率分布的m a r k o v 链理论模型的一步转移机率矩阵p 就可以表示为 舻。p p l ：l 。p p n 。) 由p 1 l 和p 1 2 p 2 l 和p 2 2 之间的关系可知 p = 瞄2 。0 ，) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 根据上述海浪波高序列的m a r k o v 链模型可研究波群中多个波波高累积概率 问题。一个波群中波高序列被视为一个m a r k o v 链，这个波群中个波的波高都 大于小于 的概率问题可归结为第一个波高大于小于厅的波，经过次转移 之后，最后一个波波高也大于h 。小于h 的问题，也就是确立m a r k o v 链中步转 移矩阵。 对齐次m a r k o v 链而言，步转移机率矩阵是一步转移矩阵的次方。一步 转移矩阵p 确立之后，根据矩阵p 的特征值，依据线性代数理论，利用相似矩阵 的性质，将p 表示成对角阵的相似矩阵，就可得到步转移机率矩阵。 2 n 步转移机率矩阵的确定 由齐次m a r k o v 链的特征，可知n 步转移机率矩阵p ( ) = p ”。先求出矩 阵p 的特征值。由 i p - 兄，l = 1 1 一只；：旯。一之2 _ 一 = ( 1 一p 1 2 一x ) o p 2 l 一旯) 一p 1 2 p 2 1 ( 3 2 5 ) 波群中波高分布的研究 2 ( 兄+ ( p 1 2 + p 2 i 一1 ) ) ( 五- 1 ) = 0 可得 = 1 ，如= 1 一p 。：一p ：。，由线性代数理论，可将p 表示成对角阵 = pz = ( ：。一p o 礓， z e ， 的相似矩阵。 ，五对应的特征向量分别为 ( 1 ) 当 = 1 时，由方程q 1 ) x = 0 。 有 c p 一，x = ( 1 一e 最1 2 。一10 b 。一。 ( i = ( 一e 县1 2 。一? , 2 。八y z x ：l ， = ( ： 特征向量可取 ( 乏 删 ( 3 2 7 ) 铲( 1 c 。z s ， ( 2 ) 当五= 1 一p 1 2 一p 2 l 时，由方程【p 一( 1 一p 1 2 一p 2 1 ) ，】x = 0 。 p - ( 1 一p 1 2 一p 2 1 ) h = f 1 一p 1 2 一( 1 一p 1 2 一p 2 1 ) f p 2 1 有 特征向量可取 令 也 铲f 咱： lp 2 1 一。一e。l一21pp 。：一p ：， ( 乏一2 1 一( 1 一1 2 2 1 ) 八x 2j ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 波群中波高分布的研究 则p = h a 一。因此有 日：) ：l 嘞 l 1 7 2 1 p “= ( h a h 一1 ) ”= h n v h 一1 = - p 1 2 ( ：。嘞0 他肌- 砌p 1 2 ) 。1 f p 2 1 + ，1 2 ( 1 一p 1 2 一，2 i ) p 1 2 - p 1 2 ( 1 - p 1 2 - p 2 1 ) 1 一l 多2 1 一p 2 1 ( 1 一p 1 2 一p 2 1 ) ”p 1 2 + p 2 l ( 1 一p 1 2 一p 2 1 ) ”j p 1 2 + p 2 1 由此可得条件概率 ! ! 二如二世! p - 2 一p 1 ： 。( 3 2 1 2 ) e 1 2 + p m 一p 2 1p 2 1 j p z 。= 2 z 。= 2 ：p 2 2