（运筹学与控制论专业论文）被动目标定位与跟踪的状态估计器研究.pdf

内容摘要 本文利用现代控制理论中的状态观测器理论及线性二次( l q ) 最 一、h ，一 f 优控制理论对被动目标的定位和跟踪问题做了一些探讨我们主要 针对水面或水下目标进行了讨论水声目标与雷达目标相比，其被动 跟踪更加困难，主要是由于其数据率低和量测误差大本文主要做了 、，一 以下四方面的工作： 模型的统一化( 第二章) 、f 我们提出了利用以b 6 ：i e r 曲线来逼近目标运动轨迹的思路，指出 了用b 6 z i e r 曲线可以高精度地逼近目标所能进行的各种运动轨迹，而 多项式目标的识别和估计比较容易，依此导出了统一的目标运动状 态方程和量测方程r j 状态估计器的设计( 第三章和第四章) 、1 这一部分分二章来讨论第三章讨论无噪声情形下连续形式的 状态估计器设计其增益阵的选取依赖于原系统的对偶系统的一个 倒向l q 问题所引出的r i c c a t i 方程之解给出了状态估计的误差界，讨 论了收敛性条件指出在一致能检测和一致能达的条件下，估计器渐 近收敛第四章对无噪声离散情形进行了相应的讨论这两章是本文 的核心之处目前披动目标跟踪研究( 理论上和工程上) 进展不大( 水 下被动跟踪问题的低可观测性及非线性所导致1 ，本文给出了一种新 2 的尝试：一是构造一种线性估计器的框架；二是用l q 理论给出一种 新的算法形式：三是提出一种新的观测者机动准则仿真表明理论正 n 确计算可行， 可观测性分析( 第五章) 、嘞动跟踪由于没有距离量测量，其可观测陛不是自动满足的，它依 赖于观测者和目标的相对运动形式本章在假定目标做n 次多项式运 动的情形下用线性系统理论给出了可观测的一般条件，并针对实际 中观测者一般做( 匀速) 折线机动的情况，证明了最多除去一个转向 只 要观测者做变向机动系统皆可观测这一结论对工程具有重大实用 意义 为保证状态估计器收敛还对被动定位与跟踪问题的一致能检测 性进行了研究提出了把一致能检测性条件转化成一系列完全能观 测条件从而简化了问题，相应地给出了指导性机动原则特别提出了 观测者的一种机动准则庀使得量测量呈现周期性变化，进而确保了 系统的一致能检测性“_ ! 厂 j 仿真计算( 第六章) 、弋主要对三种目标运动模式进行了验算：匀速直线航行匀加( 减) 速 直线航行和匀速圆弧( 四分之一圆周) 曲线运动仿真计算表明，当观测 者机动使得系统一致能检测的条件( 一致能达条件自动满足) 下献态 估计器渐近收敛l 3 abstruct i nt h i sp a p e r ，t h ep r o b l e ma b o u t l o c a t i n ga n dt r a c k i n gp a s s i v et a r g e t si sd i s c u s s e db yt h es t a t e - e s t i m a t o r t h e o r ya n d t h e l i n e a rq u a d r a t i c ( l q ) o p t i m a lc o n t r o li 1 1m o d e r nc o n t r o lt h e o r y t r a c k i n gm a r i n et a r g e t si s m o r e d i f f i c u l t yt h a nt r a c k i n g r a d a rt a r g e t sb e c a u s eo ft h el o wd a t ar a t ea n d g r e a tm e a s u r e m e n te r r o ro fm a r i n et a r g e t s t h ef o u rp a r t sa r em a i n l yw o r k e do u ti nt h i sp a p e r ： , u n i f i e dm o d e l ( c h a p t e r2 ) w ea d v a n c et oa p p r o a c hat a r g e t sm o v i n gt r a c eu s i n gt h e b 4 z i e rc u r v e ，a n dp o i n to u tt h a tt h eb z i e rc u r v ec a na p p r o a c h at a r g e t sv a r i o u sm o v i n gm o d e s 。b e c a u s et h et r a c eo ft h eo b j e c t i s a p p r o x i m a t ep o l y n o m i a l ，i t i se a s i e rt oe s t i m a t ea n d i d e n t l 【f yt h em o v e m e n tm o d e b yt h i sf a c t w ei n d u e et h eu n i f l e ds t a t ee q u a t i o na n dm e a s u r e m e n te q u a t i o nf o ram o v i n g t a r g e t d e s i g n i n gt h es t a t ee s t i m a t o r ( c h a p t e r 3a n d c h a p t e r4 ) t h e c h p t e r4d e s i g n e sas t a t ee s t i m a t o rf o rt h ec o n t i n o u s s i t u a t i o nw i t hb on o i s e t h es e l e c t i o no fg a i nm a t r i xd e p e n d s o nt h es o l u t i o no ft h er i c c a t ie q u a t i o nw h i c hi si n d u c e d b yt h e b a c k w a r dl qp r o b l e mo ft h ed u a lp r o b l e mo ft h ei n i t i a lp r o b l e m t h es t a t ee r r o r u p p e r b o u n di sg i v e no u t t h ec o n v e r g e n c e c o n d i t i o ni sd i s c u s s e d ：t h es t a t ee s t i m a t o rc a na s y m p t o t i c a l l y c o n v e r g e n c ei ft h es y s t e mi si d e n t i c a l l yd e t e c t a b l ea n di d e n t i c a l l ya t a i n a b l e t h ed i s c r e t es i t u a t i o nw i t hn on o i s ei sd i s c u s s e di nc h p t e r5 t h e s et w oc h p t e r sa r et h ek e r n a lo ft h i sp a p e r l i t t l ep r o g r e s sf o rt h ep a s s i v et a r g e tt r a c k i n gr e s e a r c h ( i n t h e o r y a n di ne n g i n e e r i n g ) h a sb e e nm a d e p r e s e n t l y ( b e c a u s eo f t h el o wo b s e v a b i l i t ya n dn o n l i n e a ro fp a s s i v et r a c k i n gp r o b 一 4 l e m ) t h i sp a p e rg i v e s o u tan e wa t t e m p t ：an e wk i n do f a l g o r i t h m ，af l a m eo ft h ec o n s t r u c t i o no fl i n e a re s t i m a t o r ，a n d an e w m a n e u v e r i n gc r i t e r i o n t h es i m u l a t i n gc o m p u t a t i o n r e s u l t ss h o wt h a tt h et h e o r yi sc o r r e c ta n dt h ec o m p u t a t i o ni s f e a s i b l ei ne n g i n e e r i n g , o b s e v a b l ea n a l y s i s ( c h a p t e r5 ) t h ep a s s i v et r a c k i n go b s e v a b i l i t yc a nn o tb es a t i s f i e da u t o m a t i c a l l yb e c a u s eo ft h el a c ko fd i s t a n c em e a s u r e m e n td a t a i td e p e n d so nt h eo b s e v e r sm o v i n gm o d e s t h eg e n e r a lo b s e v a b l ec o n d i t i o ni sp r e s e n t e db yl i n e a rs y s t e mt h e o r yu n d e r t h ea s s u m p t i o nt h a tt a r g e t sm o v ei nn o r d e rp o l y n o m i a lr o o d e w h e nt h eu n i f o r m o b s e r v a b i l i t yc o n d i t i o ni s r e p l a c e db ya s e r i e so fo b s e v a b i l i t yc o n d i t i o n s ，t h ep r o b l e mi ss i m p l i f i e d ，a n d t h ei n s t r u c t i v em a n e u v e r i n gc r i t e e r i o n sa r eg i v e dc o r r e s p a n d e n t l y u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h eo h s e v e ra l w a y sm o v e w i t hc o n s t a n tv e l o c i t ya l o n gb r o k e nl i n e si np r a t i c e ，w ep r o v e t h a tt h et a r g e ti s a l w a y s o b s e v a b l es o l o n ga s t h eo b s e v e r t u r n si t sc o u r s ee x c e p to n l yo n et u r n i n gc o u r s ea tm o s t t h i s r e s u l th a sg r e a te n g i n e e r i n ga p p l y i n gs i g n i f i c a n c e m o r e o v e r ， w ep r e s e n ts o m eo p t i m a lm a n e u v e r i n gc r i t e r i o n sb yo b s e v a b l e d e g r e ed e f i n i t i o n , s i m u l a t i n gc o m p u t a t i o n ( c h a p t e r6 ) w e m a i n l y e x a m i n et h r e e k i n d so f t a r g e tm o v i n g m o d e ：l i n e n a v i g a t i o nw i t hac o n s t a n tv e l o c i t y , l i n e n a v i g a t i o nw i t ha c o n s t a n ta c c e l e r a t i o na n da r cm o t i o nw i t hac o n s t a n tv e l o c i t y t h e s i m u l a t i n gc o m p u t a t i o ni n d i c a t e st h a tt h es t a t ee s t i m a t o rc a n c o n v e r g e n c ei ft h eo b s e v e r sm a n e u v e r i n gm a k e st h es y s t e m i d e n t i c a l l yd e r e c t a b l e f i d e n t i c a l l ya t t a i n a b l ec o n d i t i o nc a nb e a u t o m a t i c a l l ys a t i s f i e d l t h i sm a k e sc l e a rt h a tt h r e e o r d e rp o l y n o m i a la p p r o a c ht oac i r c l ei sc o m p l e t l ys a t i s f a c t o r y 5 致谢 本文是在导师陈叔平教授的悉心及耐心指导下完成的陈教授 知识渊博，治学严谨，要求严格，使我三年来受益非浅陈教授不仅在学 习上而且在生活上也给了我很大帮助，在此表示由衷的谢意 刘康生教授也不断地给予指导和帮助，表示深深地感谢 三年来与诸位师兄弟们建立了深厚的无产阶级革命感情我们 共同学习互相帮助互相勉励经常进行有益的讨论和争执，对我的学 习和认识有很大的促进在此向他们表示感谢诸位是：徐文胜禹新 辉，张维海，司守奎，孙煜等博士特别是孙师弟，协助我完成了本文，再次 感谢 感谢中国船舶总公司第七六研究所的领导们，他们高瞻远瞩，坚 决执行“请进送出”的政策 把我送到了浙江大学进修；感谢十室领 导，放眼远量，让我脱身出来学习；感谢十室软件组的同志们，他们毫不 犹豫地分担了我留下的工作直至入学前几天还在与他们进行工作交 接 感谢李素民老同学，为了我的学习，辛苦地照看着我的家和孩子， 如果说获得博士称号也是人生的一种荣誉那么我将把它献给我 敬爱的父母亲和所有培养过我的辛勤的老师们! l _ 1 问题背景 第章引言 被动探测目标的定位与跟踪问题源于潜艇隐蔽攻击所谓隐蔽攻 击，是指潜艇利用被动探测器量测到的目标信息( 主要是方位涞确定 目标的运动参数，以便对目标发起攻击这一手段对潜艇来说极其重 要周为潜艇的优势在于其隐蔽性不言而喻，它更能提高潜艇的生命 力潜艇对于海战的重要性是众所周知的远不说二战及马岛战争中 潜艇的作用，单说1 9 9 6 年的上半年，我海军在台湾海峡施实军事演习，美 军悍然出动二个航母编队驶入台海附近当美军卫星侦测到我三艘 核攻击潜艇驶出基地不知去向后，美军总部急令美航母编队又远离台 岛1 0 0 多海哩举此一例，可见潜艇威力之一斑而潜艇能力的大小取决 于其对目标的被动定位与跟踪之能力 随着探测器材的发展，目标的被动定位与跟踪也应用于其它探测 系统，如从红外警戒与跟踪系统和电子支援系统等提供的目标方位 及仰角从侦察雷达和侦察声纳等提供的目标方位及频率来求取目标 的运动参数，以实现对目标的定位与跟踪 因此，被动目标的定位与跟踪的研究倍受各国海军的重视，各国海 军从开始至目前一直投人很大的人力和财力不断地进行新原理新方 法的探索和研究被动目标定位与跟踪比主动目标定位与跟踪更加 困难其困难之处有以下几点：首先，无论怎样选取坐标系，被动跟踪 系统都呈现出非线性性而非线性状态估计器的理论尚不十分完善，特 别在具体应用中少有成功之例；其次，状态估计器的设计都依赖于系统 的某种“能观性”被动跟踪系统的能观性依赖于观测者相对于目标 运动的机动方式为了使目标可观测，观测者必须进行机动观测者如 何机动以使目标的可观测度最大，目标运动本身又是需要估计的，这 两者相互关联相互依赖艟问题变得十分困难( 参见图1 1 ) 筛三从实 用观点看观测者的机动“程度还要受到一些限制，如观测者的最大 航速、占领有利阵位等这实质上是一个动态多目标优化或对策问题 实际上不管是空中目标或是水面( 水下) 目标萁机动航行总是存在的 到目前为至，这些困难从理论上讲仍未完全克服 图1 1 被动定位与跟踪的一般框图 本文仅对单个目标的被动跟踪问题进行讨论，主要研究如何利用 方位信号来估计目标的状态及观测者应如何机动以保证所需的能检 测条件在讨论观测者的机动策略时暂不考虑观测者自身运动的其 他限制 1 2 文献综述 被动目标定位与跟踪的研究从开始至今经历了数个阶段五 十年代的确定性方法六十年代的最小二乘法，六十年代末至七十 年代的线性及非线性k a l m a n 滤波方法直至当今的现代控制理论的 综合应用：系统辨识理论，最优控制理论对策论及识别+ 滤波+ 控制 2 ( i d e n t i f i c a t i o n ，f i l t e r i n ga n dc o n t r 0 1 ) 的i f c 理论有关这方面的综述参见 文献【1 【2 3 可观测性是被动目标定位与跟踪的重要一环，这实质上是一个观 测者如何机动的问题中外学者对此做了许多研究。文f 4 网c r a m e r - r a o 下界研究了纯方位目标运动分析中的跟踪策略文f 5 1 分析了观测 者如何机动才能使常速( 匀速直航) 目标状态可观测的问题，并对连续 模型给出可观测的充分必要条件文 6 】研究了目标机动情况下的可观 测性问题7 1 对固定目标用f i s h e r 信息阵推导了观测者最佳航向萁中 所用模型为离散模型而【1 1 】则对连续模型情形进行了研究【1 3 1 1 4 用 控制理论中的可观测性理论分别对三维和二维连续情形进行了讨论 而1 5 1 则从离散角度讨论了目标可观测性的各种情况：目标不机动或 做折线机动 并对观测者的最优航迹也做了理论探讨 1 6 】是潜艇攻击 中海军实践经验的总结【1 7 利用目标推算位置线对潜艇机动策略做 了一番探讨p 6 1 7 均假定目标不机动 目前已有许多被动目标的跟踪方法，综述性文章可见 1 【2 【3 其 中大致可划分为静态模型方法和动态模型方法静态模型假定目标 匀速直航其方法可分为确定性方法| 1 】【2 【3 】，线性最小二乘法犯3 【2 4 ，非 线性最小二乘法 1 8 】f 1 9 ，统计方法f 2 1 j 2 2 动态模型方法可允许目标做 一些机动航行所用方法为线性k a l m a , n 滤波拟线性k a l m a n 滤波威非 线性k 以m a n 滤波方法 1 l 2 0 】其中文 2 0 7 寸目标匀速直航的情况从理论 上做了较为全面的讨论目前对机动目标情形已引入了识别+ 滤波 的综合方法更进一步还以加上观测者的运动控制，这样先使得目标 可观测，再对目标运动进行识别，最后对目标运动状态进行滤波计算 这就是所谓的i f c 原理该理论的深人研究可望能大力地推动被动目 标定位和跟踪研究的发展当然，它对主动目标同样重要( 此时观测者 可不必机动) 3 然而，以上研究进展远不能满足工程要求首先，可观测性分析的 结论只具有理论意义，还不足以指导观测者的实际机动在实际中观 测者的轨迹是由折线组成的新线机动对于非直航目标是否有效还无 有讨论其次所提及的各种跟踪算法之效果也不是很令人满意，每 种算法只对某些航路收敛 1 3 本文工作 本文另僻蹊径用状态估计器来解决被动目标跟踪问题用伪量 测把该问题转化为线性时变系统并用其对偶系统的倒向线性二次最 优控制所导出的r i c c a t i 方程之解构造了一个状态估计器我们给出 了状态估计误差的一个上界并证明了当系统具有一致能检测性和一 致能达性时状态估计器渐近收敛我们分别对连续和离散两种情形 做了讨论提出了把一致能检测性条件转化为一系列完全能观测条 件从而简化了问题，相应地给出了指导性的机动原则，特别是论证了 当观测者采用某种机动方式时量测量呈周期性变化，这样能确保系 统的致能检测性用线性系统理论证明了目标做n 次多项式运动时 系统可观测的充要条件提出并证明了观测者的折线机动能够保证 系统的可观测性初步的仿真计算表明了我们所提算法框架的正确 性和工程可行性为有量测噪声情形及目标变轨情形的进一步研究 奠定了基础 全文共分四大部分，主要为： 模型的统一化( 第二章1 利用b d z i e r 曲线对各种连续曲线的逼近性质，提出用多项式来近 似描述目标运动轨迹，据此导出了统一的目标运动状态方程和量测 方程 4 状态估计器的设计涕三章和第四章) 这一部分分二章来讨论第三章讨论无噪声情形下连续形式的 状态估计器设计其增益阵的选取依赖于原系统的对偶系统的一个 倒向l q 问题所引出的r i c c a t i 方程的正向迭代之解给出了状态估计 的误差界，讨论了收敛性条件指出在一致能检测和一致能达的条件 下4 古计器渐近收敛第四章对无噪声离散情形进行了相应的讨论这 两章是本文的核心之处目前澉动目标跟踪研究( 理论上和工程上1 进 展不大( 水下被动跟踪问题的低可观测性及非线性所导致) ，本文给出 了一种新的尝试：一是给出一种新的算法形式；二是提出一种新的供 观测者选优机动准则仿真表明方法是正确和可行的 可观测性分析涕五章) 被动跟踪由于没有距离量测量，其可观测性不是自动满足的，它 依赖于观测者的运动形式本章在假定目标做n 次多项式运动的情形 下，用线性系统理论给出了可观测的一般条件并针对实际中观测者 一般做( 匀速) 折线机动的情况) 证明了最多除去一个转向，只要观测者 做变向机动系统皆可观测这一结论对工程具有重大实用意义 为保证状态估计器收敛，j 丕对被动定位与跟踪问题的一致能检测 性进行了研究提出了观测者的一种机动准则，它使得量测量呈现周 期性变化，进而确保了系统的一致能检测性对保证系统一致能检测 的一般机动准则也做了初步研究 并给出了指导性机动原则 仿真计算( 第六章) 我们提出了一种观测者机动的策略，使得方位量测序列具有周期 性，保证了系统的一致能检测性从而保证了状态估计器的渐近收敛 性 我们主要对三种目标运动模式进行了验算：匀速直线航行匀 5 加( 减) 速直线航行和匀速圆弧( 四分之一圆周) 曲线运动仿真计算表 明，当观测者按照给定的方式机动时使得系统致能检测f 一致能达 条件自动满足) ，状态估计器渐近收敛 6 2 1 问题概述 第二章统一模型 一般表述 被动目标运动分析示意图如图2 1 所示 e 崖 图2 1 目标运动分析图示 在时刻t ，目标位于尬观测者位于m ，目标相对于观测者的方位为占( t ) ，仰 角为妒( t ) ( 目标位于观测者上方m t 妒( t ) o ，位于下方时妒( t ) o ) 定位与 跟踪的任务就是依据方位量测 b ( z ) ，t j ) ，仰角量测 妒( t ) ，t j ) 及观 测者相应的观测位置 m ，t j 涞估计目标的运动状态( 位置速度，航 向1 当目标匀速直航时可用静态模型或动态模型来处理丽当考虑目 标机动航行时就只能用动态模型来处理一般处理过程为：观测者先 机动航行使得目标可观测，再对目标的运动模式( 匀速，匀加速或转弯 运动等) 进行识别，而后对目标运动状态进行估计用估计值再指导( 或 7 控制) 观测者做进一步机动以提高目标的可观测度这个过程一直进 行下去，定位和跟踪精度将会趋于要求 坐标系选择 可选用的坐标系有直角坐标系叛坐标系和混合坐标系选用的 标准是使得状态方程和量测方程尽量为线性的，以便运用成熟线性 估计理论，并且尽可能使得估计稳定和收敛在直角坐标系中献态方 程是线性的，量测方程是非线性的在极坐标系中戕态方程是非线性 的，量测方程是线性的而在混合坐标系中 状态方程在直角坐标系中 考虑表现为线性的观测方程则在极坐标系中考虑也表现为线性的 两者状态之间用一非线性变换相联系 运动假定 在本文的讨论中我们允许目标机动航行旭不假定目标任意机动 这一限制基于以下两点考虑：一是实际上舰船，飞机或导弹不可能做 任意机动考虑过细没有必要；二是从数学理论是讲者考虑目标可傲 任意运动，数学模型会很复杂处理起来很麻烦，甚至根本就不可能处 理好 因此，结合水面( 水下) 目标的运动特性，我们假定目标只做如下几 类运动：( 一) 静止不动，( 二) 匀速直航，( 三) 匀加( 或减) 速直航，( 四) 匀速圆 弧运动目标可以从一种运动模式转换到其它运动模式但我们还假 定目标的一种运动模式的持续时间有下界，即不能在任意短的时间内 发生变化去掉这一假设等价于对目标运动类不作限制盖因折线函 数可逼近任意连续函数 信号噪声 如图2 。1 示，设目标在时刻的位置坐标为u ( t ) = ( 卸( t ) ，n ：( t ) ，n 。( 1 ) ) 观 测者的位置坐标为v ( t ) = ( ”。( t ) 渤( ) ，均( t ) ) ，量测方位b ( ) 和仰角妒( t ) 与 8 u ( t ) ，y ( t ) 的关系为 即) = a r c t a n 黼 ) a r c t r n 而萨蒜高犏 其中0 b ( t ) s2 ，一j 妒( t ) ； ( 1 ) ( 2 ) 当有量测噪声时，( 1 ) 和( 2 ) 式为 即) - a r c t a n 描删 ( 3 ) 妒( t ) = a r c t a u川刁万i 玎开下面而= i 币铲 其中 e ( t ) ) ， q ( t ) ) 为白噪声过程这样假定是符合实际情况的 2 2 目标运动轨迹的逼近 直航，抛物线运动等是多项式函数而圆周则要用三角函数描述要 用一个估计器来这两类不同的状态，即使可能，也将会十分复杂因此，我 们准备用逼近这些曲线的办法来刻画目标轨迹 并能使得系统模型能 够统一起来所用工具就是b d z i e r 曲线 2 5 b d z i e r 曲线 b d z i e r 曲线的定义如下 臂( t ) ：= 1( 5 ) f t ( 小= 篇而d i - 1 ( 些等) ”，n ) ( 6 ) 宵( z ) ) ：叫做b z i e r 基函数再设a o ，n ，为空间r 2 或科中给定的女+ 1 个向量由它们作成的参数曲线 p ( ) = 片( z ) m ( 7 ) 9 被称为”阶b 6 z i e r 曲线可以证明它与b e r n s t e i n 多项式的关系为 f g ( t ) = b ? ( t ) + b 5 ， ) + t - + b t , ( z ) ( i = 0 ，1 ，n )( 8 ) 这样曲线f 7 ) 可写为 p ( t ) = f t ( t ) n ，= 曰( t ) 啦 ( 9 ) 0 i = 0 j = i 即 p ( t ) = 唧( ) 6 ， ( 1 0 ) 0 其中b 。= 口o + 口1 + + 口，i = 0 ，1 ，札 对圆弧抛物线等的逼近 根据b e r n s t e i n 的连续函数之多项式逼近定理，b e r n s t e i n 多项式可 以任意精度逼近一维连续函数，再由b z i e r 曲线与b e r n s t e i n 多项式的关 系式( 1 0 ) 知，三维b 4 z i e r 由线可以逼近任意空间曲线而二维b 6 z i e r 曲线 可以逼近任意平面曲线作为一个简单而又重要的应用，我们下面给 出平面曲线的逼近的一个例子 考察圆心在圆点 半径为1 的圆周，特别考察它在第一象限中的那 部分用三次b 6 z i e r 曲线去逼近它设参数点为b 。，b 。，b ：，b 。由端点的插 值性质和切向性质( 详见【2 5 】) 可知 ( 。1 ) ，虻( 小= ( ：) 即，= ( = 善删 m ， 其中a o 为可变参数通过选取a 的值，可以改变曲线的形状 1 0 当 = ；( 讵一1 ) 时所得曲线与真正圆弧的偏差肉眼是无法分辨 的可以证明 e ( z ) = z 2 ( t ) + 掣2 ( z ) 一l l e ( z ) iso 0 0 3 6 7 9 6 5 6 再取 = ；，这时 ( 小= ( ；1 ) ，”( 弧= ( 0 。) 可算出 p 。，= ( ；l ；) = ( 去二丢) = ( 舅； ：；：尝| ： ) 这是一条抛物线 从上面讨论可知三次多项式足以描述二维目标实际中所能进行 的任何转向机动( 圆弧机动，抛物线机动，等等) 此外，b 6 z i e r 曲线还具有 良好的保形特性这也便是我们用三次多项式运动来统一描述平面 目标运动的理由 2 3 统一模型 状态方程 目标的运动轨迹可描述如下 u ( t ) = u 1 ( t ) u 2 ( t ) u 3 ( t ) 其中u c t ，= ( 芝u a l | ；( t ) 为目标位置坐标 ) ， ( 1 2 ) 五疋乃 一 一 一 i 一 0 为一常数，q 为任意向量问题解的反馈形式为 + ( t ) = r “( t ) 口印) p ( t ) x ( t )( 1 4 ) 其中尸( t ) 是彤c c a t i 微分方程 p ( t ) 一p ( t ) a ( t ) 一a 7 ( t ) p 0 ) + p ( t ) 口( t ) 丑一1 ) b 。( t ) _ p ( t ) 一q ( t ) = 0 ( 1 5 ) 的唯一解 证明：令 p ( a ) = p i y ( t ) = x ( b t ) q ( t ) = q ( t ) a ( t ) = a ( b t ) v ( t ) = u ( b t ) r ( t ) = r ( b t ) b ( t ) = b ( b t ) 则原系统化为( t = b n ) ： 蕊z 7 阳) 审( z ) y ( t ) 川( t ) 矗( t ) 。( t ) 卜+ p i i y ( t ) i e ( 1 6 ) s t p ( t ) = 一1 0 ) y ( t ) 一西( ) ”( t ) y ( 0 ) = q( 1 7 ) 2 0 由标准的l - q 理论 2 8 】给出 7 2 ( z ) = 豆- 1 ( t ) 西 ) p ( t ) y ( t )( 1 8 ) 而p ( t 1 是下列r 1