（概率论与数理统计专业论文）construction+of+e（fnod）optimal+mixedlevel+supersaturated+designs.pdf

摘要 摘要 超饱和设计是一类因子主效应数超过试验次数的设计，由于其在因子筛选试 验中的作用而受到广泛的关注。等水平超饱和设计及分析已经得到广泛的研究， 而混水平超饱和设计则需要进一步的研究。 s a t t e r t h w a i t e 在1 9 5 9 年首次以随机平衡设计提出超饱和设计，b o o t h 和c o x 在1 9 6 2 年提e 用e ( s 2 ) 准则来衡量这类设计的好坏。此后l i n 在1 9 9 3 年提出用p b 设 计的半拆分方法来构造超饱和设计，n g u y e n ( 1 9 9 6 ) ，t a n ga n dw u ( 1 9 9 7 ) 得到 - f e ( s 2 ) 准则的下界，y a m a d aa n dl i n ( 1 9 9 9 ) 提出了两种基于a v ex 2 准则构造3 水平 超饱和设计的方法。然而在实际中，一个试验的因子水平数不一定完全相同，因此， 混水平设计的用途也很广泛。f a n g ，e ta 1 ( 2 0 0 3 ，2 0 0 4 b ) 提出了两种构造e ( ，o d ) 最 优设计的方法。一种是h a d a m a r d 阵的半拆分方法，另一种方法由可分解的平衡 不完全区组设计得到超饱和设计，并证明了这两种方法得到的设计都是e ( a d d ) 最优设计。 这篇文章的主要目的是提供一个在f a n g ，e ta 1 ( 2 0 0 3 ) 和l i ua n dl i n ( 2 0 0 8 ) 工 作的基础上构造混水平e ( f n o d ) 最优设计的方法，我们通过一个e ( f n o d ) 最优设 计与一个正交阵的转置得到一个新m e ( f n o 工, ) 最优设计，使因子个数有很大增加。 文章的第一部分是对超饱和设计的某些准则及其关系的回顾，一些基本的概念和 符号也同时给出。第二章回顾了e ( f n o n ) 最优超饱和设计的构造方法，提出我们 的构造方法并给出了一些例子。最后一章是总结和讨论。 关键词超饱和设计；e ( 瓜o d ) 最优设计；正交性；均匀性；h a d a m a r d 阵；列并 置；k r o n e c k e r 和；正交阵。 a b s t r a c t 一。一 a b s t r a c t a s u p e r s a t u r a t e dd e s i g n i se s s e n t i a l l yaf a c t o r i a ld e s i g nw i t ht h ee q u a lo c c u r r e n c e o fl e v e l sp r o p e r t ya n dn of u l l ya l i a s e df a c t o r si nw h i c ht h en u m b e ro fm a i ne f f e c t si s g r e a t e rt h a nt h en u m b e ro fr u n s i th a sr e c e i v e dm u c h r e c e n ti n t e r e s tb e c a u s eo fi t s p o t e n t i a li nf a c t o rs c r e e n i n ge x p e r i m e n t s w h i l et h ec o n s t r u c t i o na n da n a l y s i so fs y m m e t r i c a ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n sh a v i n gb e e nw i d e l ye x p l o r e d ，a s y m m e t r i c a l ( o rm i x e d 。 l e v e l ) s u p e r s a t u r a t e dd e s i g n sd e s e r v ef u r t h e ri n v e s t i g a t i o n s a t t e r t h w a i t e ( 19 5 9 ) s t a n d sa sap i o n e e ra n dp r o p o s e dt h ei d e ao fs u p e r s a t u r a t e d d e s i g ni nr a n d o mb a l a n c e dd e s i g n s b o o t ha n dc o x ( 1 9 6 2 ) f i r s te x a m i n e d t h i sp r o b l e m s y s t e m a t i c a l l y a f t e rt h e nt h e r eh a db e e nl i t t l es t u d y o nt h es u b j e c to fs u p e r s a t u r a t e dd e s i g n su n t i lr e c e n t l y e x c e p tp e r h a p st h e w o r ko nt h es e a r c hd e s i g n ( s e e ，s r i v a s t a v a ，19 7 5 ) l i n ( 19 9 3 ) f i r s tc o n s t r u c t e ds u p e r s a t u r a t e dd e s i g n sf r o me x i s t i n gd e s i g n s ，s u c ha sh a l f f r a c t i o no fp bd e s i g n 。n g u y e n ( 19 9 6 ) ，t a n ga n dw u ( 19 9 7 ) o b t a i n e dal o w e rb o u n d o fe ( s 2 ) i n d e p e n d e n t l y y a m a d aa n dl i n ( 1 9 9 9 ) a n dy a m a d ae ta 1 ( 1 9 9 9 ) p r e s e n t e d t w oc o n s t r u c t i o nm e t h o d sf o rt h r e e 1 e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n sb a s e do na v e x 。c r i t e r i o n i np r a c t i c e ，f a c t o r si na ne x p e r i m e n tm a y b e h a v ed i f f e r e n tl e v e l sr a t h e rt h a nh a v e e q u a l l e v e l a sar e s u l t ，m i x e d l e v e ld e s i g n sa l em o r ew i d e l y u s e f u li ne x p e r i m e n t a t i o n f a n g ，e ta 1 ( 2 0 0 3 ) a n df a n g ，e ta 1 ( 2 0 0 4 b ) p r o p o s e ds o m e m e t h o d sf o rc o n s t r u c t i n g e ( 瓜d d ) 一o p t i m a lm i x e d - l e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s t h em a i np u r p o s eo ft h i sa r t i c l ei st op r o v i d ec o n s t r u c t i n gm e t h o d so fe ( f o d ) o p t i m a lm i x e d 1 e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n sb a s e d o nf a n ga n dl i u sw o r k w eu s ea e ( 如o d ) o p t i m a ld e s i g na n da no r t h o g o n a la r r a y ( 0 a ) t oc o n s t r u c tan e we ( f o o ) 。 o p t i m a ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n sw i t hm o r em i x e d l e v e lf a c t o r s c h a p t e r 1d i s c u s s e s s o m ec r i t e r i af o rs u p e r s a t u r a t e dd e s i g n sa n dt h e i rc o n n e c t i o n s i nc h a p t e r2s o m e c o n 。 s t r u c t i o nm e t h o d sf o re f a o o ) 一o p t i m a lm i x e d l e v e ls u p e r s a t u r a t e dd e s i g n sa n dp r o p e r t i e so ft h er e s u l t i n gd e s i g n sa r ei n v e s t i g a t e d ，a l s o ，t h en e wc o n s t r u c t i o nm e t h o da n d s o m ee x a m p l e sa r ep r o p o s e di nt h i sc h a p t e r t h el a s tc h a p t e rc o n t a i n ss o m er e m a r k s k e y w o r d ss u p e r s a t u r a t e dd e s i g n ；e ( f o d ) 一o p t i m a l ；o r t h o g o n a l i t y ；u n i f o r m i t y ； a b s t r a c t h a d a m a r dm a t r i x ；c o l u m nj u x t a p o s i t i o n ；k r o n e c k e rs u m ；o r t h o g o n a l a r r a y 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：同淘婴 砌8 年5 月刁日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：j 鼠匆娶 湖孑年岁月印日 c h a p t e r1 s o m e d e s i g nc r i t e d aa n dt h e i rc o n n e c t i o n s s o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n sa l en e c e s s a r yi no r d e rt or e v i e wt h eo p t i m a l i t y c r i t e r i a l e tx = ( x q ) b ea n 礼xmm a t r i xo faf a c t o r i a ld e s i g n ，觑b et h ei t hr o w o fx a n d 扩b et h ej t hc o l u m n r o w sa n dc o l u m n sa r ei d e n t i f i e dw i t ht h er u n sa n d f a c t o r s r e s p e c t i v e l y xi sc a l l e dau - t y p ed e s i g ni nt h ec l a s sh ( n ；9 1 。，) ，i fi th a se l e m e n t s 1 - ，q ja t 一s u c ht h a tt h e s eq e l e m e n t sa p p e a ri nt h i sc o l u m ne q u a l l yo f t e n h e r e q l ，g ma l ep o s i t i v ed i v i s o r so fn w h e ns o m e 劬sa l ee q u a l ，w ed e n o t et h ec l a s s b y 翻( 佗；g ：1 ，痧) w i t h ；：l 如= m au - t y p ed e s i g ni sc a l l e da nd 砌蝴讲 a r r a yo fs t r e n g t ht w o ，d e n o t e db yl n ( q l ，g m ) ，i fa n yt w oc o l u m n sh a v ea l lo ft h e i r f a c t o rl e v e l c o m b i n a t i o n sa p p e a re q u a l l yo f t e n i nt h i sc a s e ，銎1 ( 劬一1 ) 礼一1 w m e n 。m = 1 ( 田一i ) = 佗一1 ，t h ed e s i g ni sc a l l e ds a t u r a t e d w h e n 銎1 ( 劬一1 ) 亿一l ，o r t h o g o n a l i t yi sn o to b t a i n a b l ea n dt h ed e s i g ni sc a l l e ds u p e r s a t u r a t e d d e n o t e d b ys ( 几；9 1 ，g m ) t w oc o l u m n s ( o rr o w s ) a r ec a l l e do r t h o g o n a l ，i ft h e y ( o rt h e i r t r a n s p o s e s ) f o r ma no ao fs t r e n g t ht w o ，a n dc a l l e df u l l ya l i a s e di fo n ec a nb eo b t a i n e d f r o ma n o t h e rb yp e r m u t i n gl e v e l s i nad e s i g n ，i ti sn e c e s s a r yt h a tn ot w oc o l u m n sa r e f u l l ya l i a s e d ，a sw ec a nn o tu s et w of u l l ya l i a s e dc o l u m n st oa c c o m m o d a t et w od i f f e r e n t f a c t o r s t h ef o l l o w i n ga r es o m ec r i t e r i af o r c o m p a r i n g2 - l e v e l ，3 - l e v e la n dm i x e d 1 e v e l s u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s ： 1 1 e x i s t i n gc r i t e r i af o rt w o a n dt h r e e 1 e v e lf a c t o r i a l s f o rat w o l e v e ld e s i g nx ，t h et w ol e v e l sa r ec o m m o n l yd e n o t e db y 1a n d1 l e t s qb et h e ( 蟊j ：) 一e l e m e n to fx x t h ep o p u l a re ( s 2 ) c r i t e r i o np r o p o s e db yb o o t ha n d c 。x ( 19 6 2 ) i st om i n i m i z ee ( s 2 ) = 1 纵j ms 弓( 写) w h e r es 巧i st h es u m 。ft h e c r o s sp r o d u c tb e t w e e nt w od i s t i n c tc o l u m n sia n dj i t sl o w e rb o u n dw a so b t a i n e db y n g u y e n ( 19 9 6 ) n a m e l y , e ( s 2 ) 2 礼2 ( m n + 1 ) ( 仇一1 ) ( 礼一1 ) ( 1 i ) h e n c e ，a n ys u p e r s a t u r a t e dd e s i g nt h a ta t t a i n st h i sl o w e rb o u n dm u s tb ee ( s 2 ) o p t i m a l c h a p t e ris o m ed e s i g nc r i t e r i aa n dt h e i rc o n n e c t i o n s f o rt h et h r e e - l e v e lc a s e ，y a m a d aa n dl i n ( 1 9 9 9 ) d e f i n e da m e a s u r ef o rd e p e n d e n c y b e t w e e nt w oc o l u m n s 矿a n d b y ( 佗铭，一佗9 ) 2 n 9 ( 1 2 ) w h e r e 嘏i st h en u m b e ro f ( 让，u ) p a i r si n ( ，x j ) ，a n dn 9i sj u s tt h ea v e r a g ef r e q u e n c yo fa l lt h en i n e ( u ，u ) - p a i r si n ( x s , x j ) t h e nt h e yd e f i n e dac r i t e r i o nf o rt h e w h o l ed e s i g nx b ym i n i m i z i n ga v e x 2 = 1 s i 旬如x 2 ( ，) ( 写) a n da l s 。s h 。w e d a l o w e r b o u n d o f 9 、2 n ( 2 m 一扎+ 1 ) a v e x 2 丽j 而n 写1 。 ( ) i m lj l j a n da n ys u p e r s a t u r a t e dd e s i g nt h a ta t t a i n st h i sl o w e rb o u n dm u s tb ea v e x 2 - o p t i m a l 1 2 d i s c r e t ed i s c r e p a n c y t h eu n i f o r m i t yc r i t e r i o nh a sg a i n e dm o r e p o p u l a r i t yi nr e c e n ty e a r s i th a sp l a y e d ac r u c i a lr o l ei nt h ec o n s t r u c t i o no fs p a c e - f i l l i n gd e s i g n sf o rc o m p u t e re x p e f i m e n t s ( b a t e se ta 1 ，19 9 6 ；f a n ga n dw a n g 。19 9 4 ) i th a sa l s ob e e ns h o w nt ob ei n t i m a t e l y c o n n e c t e dt om a n yo t h e rd e s i g nc r i t e r i a f o re x a m p l e ，f a n ga n dm u k e r j e e ( 2 0 0 0 ) p r o v i d e da na n a l y t i cc o n n e c t i o nb e t w e e nu n i f o r m i t ya n da b e r r a t i o ni nt w o l e v e lf a c t o r i a l d e s i g n s l i ua n dh i c k e m e l l ( 2 0 0 2 ) a n dl i u ( 2 0 0 2 ) p r o p o s e dak i n do fd i s c r e p a n c y , c a l l e dt h ed i s c r e t ed i s c r e p a n c y ，t oe v a l u a t et h eu n i f o r m i t yo ff a c t o r i a ld e s i g n sw i t h e q u a l - l e v e lf a c t o r s t h e i rr e s u l t ss h o wt h a to r t h o g o n a l i t ya n du n i f o r m i t ya r es t r o n g l y r e l a t e dt oe a c ho t h e ra n dt h ed i s c r e t ed i s c r e p a n c yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ne v a l u a t i n gs u c he q u a l l e v e le x p e r i m e n t a ld e s i g n s f a n g ，e ta 1 ( 2 0 0 3 ) m o d i f i e dt h ed i s c r e t e d i s c r e p a n c yt ob eu s e da sam e a s u r eo fu n i f o r m i t yo fm i x e d l e v e ld e s i g n s a d i s c r e p a n c ym e a s u r eo fu n i f o r m i t yc a nb ed e f i n e db yak e r n e lf u n c t i o n l e t 疋 b eam e a s u r a b l es u b s e to fr m ak e r n e lf u n c t i o nk ( x ，w ) i sa n yr e a l v a l u e df u n c t i o n d e f i n e do n 疋疋a n di ss y m m e t r i ci ni t sa r g u m e n t sa n d n o n - n e g a t i v ed e f i n i t e i e k ( x ，w ) = k ( w ，x ) ，f o r a n y x ，w 彤 a n d ( 1 4 ) o a j k ( x z ，x j ) 0 ，f o ra n ya i , 吩r ，x j 疋 ( 1 5 ) 2 。一 l l 、l ， r i z ， 2 x c h a p t e r1 s o m ed e s i g nc r i t e r i aa n dt h e i rc o n n e c t i o n s l e t 只d e n o t et h eu n i f o r md i s t r i b u t i o nf u n c t i o no v e r2 f o re x a m p l e ，i fx = l ，g 8 ， t h e n 只j u s ta s s i g n sp r o b a b i l i t y 口一t oe a c hm e m b e r o ft h i ss e t l e tp = z l ，) 疋b eas e to fd e s i g np o i n t sa n dr d e n o t et h ea s s o c i a t e de m p i r i c a ld i s t r i b u t i o n ，w h e r e r ( x ) = 去l z 0 ，a n d t h e nk d ( x ，w ) i sak e r n e lf u n c t i o na n ds a t i s f i e sc o n d i t i o n s ( 1 4 ) a n d ( 1 5 ) t h e c o r r e s p o n d i n gd i s c r e t ed i s c r e p a n c yc a nb eu s e df o rm e a s u r i n gt h eu n i f o r m i t yo fm i x e d l e v e ld e s i g np o i n t s 3 zwx y nar如 卜了 uz 巧 m 触 = wx c h a p t e r1 s o m ed e s i g nc r i t e r i aa n dt h e i rc o n n e c t i o n s 1 3 e ( f n o d ) c r i t e r i o n f a n g ，e ta 1 ( 2 0 0 3 ) i n t r o d u c e dt h ee ( f n o d ) c r i t e r i o nw h i c hi st om i n i m i z e w h e r e 毗d d ) = 。 羡 2i sap r i m e p o w e r , n = q t ，m = ( 7 z - - 1 ) ( q - 1 ) a n dt 2 t h em i x e d - l e v e ls u p e r s