（应用数学专业论文）高维多参数连续平均族.pdf

摘要 平均数理论研究的历史久远，经典的平均数包括算术平均，几何平均，调和平均 等平均数理论研究在发展过程中，建立了平均族的理论平均族理论定义了参差域， 参差组，平均函数、平均族等，提出了一般乎均族参差域转换定理，从而找到了构造新 的平均的途径，同时也得出了经典平均数均为幂平均族的一种特殊形式。 本文在单参数连续单指标平均族的基础上建立了多参数连续多指标平均族文章 根据空间的不同，定义了两类平均泛函集合和两类平均算子集合，并由集合的类型将文 章大致分为四大部分。每一部分都具体研究了集合的性质，并在集合内分别给出了单 参数连续多指标平均族、多参数连续多指标平均族和有序平均族等的定义，还通过函数 变换、参数作用位置的变化等方法，构造出多种具体的平均族 关键词：连续单指标平均泛函集合；连续多指标平均泛函集合；单参数连续单指 标平均族；多参数连续多指标平均族 a b s t r a c t t h er e s e a r c hf o rt h en l e a n sh a sa l o n gh i s t o r y ，t h ec l a s s i c a lm e a n s i n c l u d ea l g e b r a i c m e a n ，g e o m e t r i cm e a na n dh a r m o n i cm e a ne t c d u r i n gt i l ed e v e l o p m e n to ft h e o r yo f i l e a n ，t h et h e o r yo fi n e & uf a m i l 3 ri sb u i l t i nt h i st , h e o r y ，al o to fr e l a t e dc o n c e p t sa r e i n t r o d u c e da n das i g n i f i c a n tt h e o r e mi sp r o v e d t h i sp a p e ri sb a s e do nc o n t i n u o u sm e a n f a m i l yw i t hs i n g l ep a r a m e t e rw h i c hi si n r e a ln u m b e rs p a c e ，a n db u i l d sm u l t i p a r a m e t e rc o n t i n u o u sm e a n f a m i l yi nh i g h e rs p a c e a c c o r d i n gt o t h ed i f f e r e n c eo ft h es p a c e ，t w ot y p e so fm e a nf u n c t i o n a ls e t sa n dt w o t y p e so fm e a no p e r a t o rs e ta r ed e f i n e d t h i sp a p e rc a nb ed i v i d e di n t of o u rp a r t sb yt h e t y p e so fs e t sp r o p e r t i e sa r er e s e a r c h e dd e t a i l e d l yi ne a c hp a r t t h ed e f i n i t i o n so fo n e p a r a m e t e rc o n t i n u o u sm e a nf a m i l i e so fs e v e r a lv a r i a b l e s ，m u l t i p a r a m e t e rc o n t i n u o u s i 1 e a nf a r n i l i e so fs e v e r n lv a r i a b l e sa n do r d e r e dm e a nf a r a l l i e sa r eg i v e ni nt h es e t sw i t h t h ec h a n g eo fp o s i t i o nw h i c ht h ep a r a m e t e r sa c to n ，w ec a ng e tm a n ym e a nf u n c t i o n a l f a m i l i e s k e yw o r d s ： c o n t i n u o u sm e a nf u n c t i o n a ls e to fs i n g l e v a r i a b l e ；c o n t i n u o u s m e a nf u n c t i o n a ls e to fs e v e r a lv a r i a b l e s ；o n e p a r a m e t e rc o n t i n u o u sm e a nf a m i l i e so f s i n g l ev a r i a b l e ；m u l t i p a r a m e t e rc o n t i n u o u si n e a , nf a m i l i e so fs e v e r a lv a r i a b l e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名：睦! 翕日期：兰! ! 当垒兰旦27 日学位论文作者签名：随! 荔笪日期：兰! ! 当二至兰旦日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：茁，建指导教师签名：垒芏 日期：2 1 堕：耋：2 日期：芝! ：三17 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：送盎工业如孚 通讯地址 电话 邮编 1 引言 平均数理论是一门古老的理论，早在公元前六世纪，人们就开始对它进行研究，自 1 8 2 1 年柯西首次提出平均的概念以来，均值的理论得到了很大的发展其在物理、概 率及不等式等许多领域都有着广泛的应用，而不同方向的应用同时又促进了平均数理 论的发展。 经典的平均数一般包括算术平均、几何平均、调和平均等，构造新的平均并分析新 的平均的性质、意义，一直以来都是数学工作者研究的一个热点 冈察洛夫曾构造出了s 阶平均【，对该类平均的性质加以分析，并得出经典的平 均一算术、几何、调和平均都为8 阶平均的一种特殊形式，继冈察洛夫之后，数学工作 者对构造新的平均数研究一直未问断过，构造出的新平均主要包括以下几种【3 1 ：幂加 权平均，拟算术平均，广义对数平均等 1 9 9 5 年，盛中平老师对平均数理论作了公理化的处理，建立了平均族理论，定义 了参差域，参差组，平均函数，平均族等概念，获得了一系列结果，建立了一般平均族 参差域转换定理，从而找到了构造新的平均的途径，同时也得出了经典平均数均为幂平 均族的一种特殊形式( “。 引文 2 将有限数的平均族加以推广，提出了作用于一维连续函数空间的连续平均 泛函、连续平均族等一系列概念，给出了一些相关定理，并构造了具体的连续平均族的 实例 以上对连续函数的平均族的理论研究仅限于一元连续函数的平均族，本文将推广 至高维的情形为了方便在高维情况下的研究，本文首先在引文f 2 i 的基础上详细的分 析了单参数连续单指标平均族的性质，介绍了一些构造族的新方法，然后再将之推广到 多参数连续多指标的情形 文章根据作用空间的不同，定义了两类平均泛函集合和两类平均算子集合根据 集合的类型文章分为四部分：第一部分是关于一元连续函数值的平均值及平均族的研 究；第二部分和第三部分则是在高维的情况下研究；第四部分是关于一系列连续函数的 均值函数和平均算子族的研究每部分都对集合的性质，平均族的性质等加以分析，同 时还构造了一些新的具体的平均族 2 预备知识 为了文章后面叙述和证明的方便，下面介绍一些与本文相关的定义与定理 记r + = z i 。 0 ，z r ) ；詹= ( 一。，+ 。】( 定义2 1 1 1 】设鬈! = ( s 一，s + 为矗上的闭区间，则称e ! 为矗上的参数闭区间 定义2 2 设露! = b 1 一，s l + ( s 2 一，s 2 + 1 - s 。一，s 时 ，其中【s 。一，s i + j 为r 上 的闭区间，i ：1 ，2 ，一，t t ，则称f 为詹“上的向量参数区间 设h6 1 为矗上的闭区间，记b 叼表示hb 】上的全体实值勒贝格可积函数； h 纠表示k 纠上的全体实值连续函数；c h6 表示 0 1b 】上的全体正实值连续函 数 设【“，6 】【c ，d 】费，记c ( n ，b 【c ，d 】) 表示l o ，b 】 c ，d 】上的二元连续函数的全 体 设d 厨为闭集，记工【d j 表示d 上的全体n 元实值勒贝格可积函数；c d 】表 示d 上全体n 元实值连续函数；c + 【d j 表示d 上全体n 元正实值连续函数；d i n t ” 表示d 上全体札元m 维向量值连续函数，即d i d “= 0 ，五。使得 跏 z e ，则记“= s u p a ( b ) 若a 无上界，则记s u p a = 十o 。 定义2 4 设a 屈，( a ) 若孔月，使得对v 茁a 都有。“；垤 0 ，i 使得 。o “十e ，则记扎= i n f a ( b ) 若a 无下界，则记s u p a = 一o o 定义2 5 设a 盈，a 也 f 1 ) 若3 m a 对比a 都有茁sm ，则记m a x a = m ；特另0 的若+ o 。a ，则记 q n - a , x a = = + o 。 f 2 ) 若| m a 对v z a 都有m ，则记r a i n a = r n ；特别的若一o o a ，则记 i t l i i l a = 一。 f 面给出勋和g h6 1 空间上的序的定义 定义2 6v x ，y 矗”，x = ( z 1 ，2 ，。) ，y = ( l ，9 2 ，一，鲰) ，若z l y l ，。2 2 ，z n 骱都成立，则称x y ；若z l = 1 ，a ：2 = y 2 ，z ，。= y n 都成立，则称 x = y 定义2 7 设 厂，g a k 乩若，( 茁) g ( z ) 对如【a ，b 都成立，则称f 9 ；若 ，( z ) = g ( z ) 对v z k 翻都成立，则称，= g 2 定义2 1 8 【2 1 设m 是线性空间， ecm ，若对v x ，y e ，v 0sa l ，有 ( 1 一a ) x + a y ee ，则称f 是凸集若e 又是闭集，则称e 是闭凸集， 定义2 9 1 2 1 设m 是线性空间，acm ，则m 中所有包含a 的凸集的交称为a 的凸包，记为c o ( a ) 若c o ( a ) 又是闭集，则称之为a 的闭凸包，记为历( a ) 定义2 ，1 0设ec 舻，v x = ( z l ，x 2 ，- t 、，z 。) ，y = ( y l ，y 2 ，一，y 。) e ，若 m i n x i ，蛳 z ；i l l d , x 3 9 i ，玑) ，z = l ，2 ，n 时，有z = ( 。l ，z 2 ，) e ，则称 集合e 是方集若e 又是闭集，则称e 是闭方集 定理2 1 设，是任意指标集，v i j ，若集合最是豆”中的方集，则e = ne i z f 是础中的方集 证明如果e 是空集或仅包含一个点，结论显然成立 否则设x ，y e ，x = ( z i ，x 2 ，一，z 。) ，y = ( y l ，y 2 ，- ，) ，则对v i j ，x ，y 皿 若m i n x i ，玑 盈sm a x ，y i ，i = 1 ，2 ，一，礼，则z = ( z 1 ，z 2 ，一，z n ) 皿，i = 1 ，2 ，n ，故z e 由方集的定义知e 为方集 根据定理2 1 ，任意多个方集的交仍为方集，所以对于任意集合ac 廖，存在包含 a 的最小方集，即为包含a 的所有方集的交 定义2 1 1设ac 舻，则月“中所有包含a 的方集的交称为以的方包，记为 g u ( a ) 若c u ( a ) 又是闭集，则称之为a 的闭方包，记为瓦) 3 3 数值域单参数连续单指标平均族 本节主要研究一元连续函数的平均值、单参数平均族及其性质，并给出了构造平均 族的些新方法和平均族的例子 为了便于叙述和证明，首先给出作用于c hb 上的泛函构成的空间的定义 定义3 1 设e 为c a ，b 1 上的全体泛函构成的集合，即e = f i f ：g o ，b 】斗r ) 对v 日，r e ，规定： ( a ) ( r + f 2 ) ( ，) = 日( ，) + 玛( ，) ，v f g hb 】 ( b ) ( o n ) ( ，) = a ( f l ( f ) ) ，v f c a ，6 】) v a r 显然，根据定义3 1 规定的加法和数乘，集合e 可以构成一个线性空间，称为e 盘，b 上的泛函空间，记为f ( e hb 】) 下面给出函数的平均值的概念 定义3 2 设f ( x ) l a ，6 j ，若u r 且满足e s si 争f ，、 ，( 。) u e s ss u p ，( z ) ， o l o ，q z f o 、州 则称“为区间【a ，纠上关于f ( x ) 的函数值的平均值 定义3 3 ( 2 1 设，( z ) c 【n ，6 】) 若u 墨五且满足。r a i n 】( ，( 。) 蚓m a 叩x f f ( z ) ，则 称“为区间f a ，6 1 上关于f ( x ) 的函数值的平均值 定义34 设f 为f a ，b j 上的泛函，若v f l 陋，酣均有e 8 8i p f 。 ，( z ) ) f ( f ) s o e f d ，圳 g s ss u p ，( z ) ) ，则称f 为l h 纠上的单指标均值泛函由上h b 上的单指标均值泛 o 陋，圳 函f 构成的集合称为f a ，6 】上的单指标平均泛函集合，记为m 1a ，坫 定义35 设f f ( c a ，h i ) ，若v f c a ，纠均有僻i ! ， ，( 。) ) f ( f ) 。m 。f a 。x 1 ，( 。) ) ，则称f 为c h 6 上的连续单指标均值泛函，并称由c 【n ，6 上的连续单指 标均值泛函构成的集合为c a ，b 】一h 的连续单指标平均泛函集合，记为f 1 a ，6 j 根据定义3 5 可以得出集合f 1a ，b 1 是凸集 定理31f 1 陋，6 是线性空间f ( c e ，叫) 上的凸集 证明v r ，咒f 1 【a ，6 1 ，对v t 【0 ，1 ，总有 ( z 尻+ ( 1 ) 尼) ( ，) = z r ( f ) + ( 1 一 ) 玛( ，) 根据f 1 【n ，翻的定义，对v f g 【n ，b 有 邺r a i n q f ( 。) ) 月( ，) 哪m a x q f ( z ) j 鄂m i n 。j f ( z ) f 2 ( f ) 娜m a x “ f ( z ) ) 故 粤i ，j 、 ，0 ) ) t 日( ，) + ( 1 一t ) f 2 ( f ) s 粤艇、 ， ) ) z t l n ，o ltj d 口j 4 所以 f r + ( 1 t ) 局f 1 k ，b 即证出f 1 a ，b 1 为凸集 定理3 2 设f f 1 口，b l , f ( x ) g ( n ，乩9 ：詹叶矗为同胚映射，则a ( f ) = 9 1 ( f ( go 门) f 1a ，6 j 证明显然go fea 【n ，酬，由于f f 1 f a ，6 】有 非m i n 6 】 ( 9 。，) ( 。) ) s f ( g o ，) 踊 ( 9 。，) ( z ) ) 因为g 为同胚映射，所以为严格单调的，不妨设为单调递增的，则g 。也是增的，所以 有 g - i ( 蚓m 。i t ，t 。1 o 。，) ( z 川2 掐 ，o ) 1g _ 1 ( 鬈蒿( 国。，) ( z ) ) ) 2 罂罱 ，( z ) 进而得到 。m 。l 。i n ，q f ( 。) ) g - 1 ( f ( 9 。，) ) s 。m 。陋3 x ，q ，( 。) ) 所以c ( f ) f 1 n ，州 定理3 2 说明已知的v i a ，b 】上的连续单指标均值泛函通过变换可以构造出新的连 续单指标均值泛函 定义3 6 已知【s 一，s + 】是r 上的闭区间，若v s 【s 一，s + ，都有u s m 1 0 ) a 且对v f ( z ) l a 力】，满足巩( ，) 关于8 是连续的，则称 乩i s 【s 一，s + 为参数区间 是 s 一，s + 的单参数单指标平均族，将所有参数区间为【s 一，s + 的单参数单指标平均 族构成的集合记为懈( 。，h i ； s 一，s + ) 定义3 7 已知【s 一，s + 】是r 上的闭区间，若v s 【s 一，s + ，有讥ef 1a ，卅，且 对v f ( x ) v i a ，b 】，满足以( ，) 关于s 是连续的，则( u s l s s 一，s + 】 称为参数区间是 【s 一，s + 的单参数连续单指标平均族，将所有参数区间是【s 一，s - l - j 的单参数连续单指标 平均族构成的集合记为只( ( o ，h i ；卜一，s + 】) 注3 1定义3 6 ，3 7 中参数8 的范围也可以取开区间( 8 一，s 十) ，左开右闭区间 ( s 一，s + 或左闭右开区间【s 一，s + ) 以下研究单参数单指标平均族中较为特殊也是极为重要的族 定义3 8 已知s l * 是r 上的参数闭区间，设 巩f se 譬! ) a 玷( k ，6 ；e 二) ，若对 v ，( z ) 己k 研，总有以下的性质成立： ( a ) 正规性：u s 一( ，) = e s si n f f ( x ) ，阢+ ( f ) = e s ss u p ，( 2 ) ) zeto,hi剖：fo川 5 ( b ) 单调性：v s 。，s 。e ，若s s 2 ，则有玩。( f ) 乩。( ，) ，当且仅当，( 。) 在 f a ，b 1 上几乎处处为常值函数时，上式有等号成立 则称 乩i s g 二 为单参数单指标有序平均族，所有参数区间为g 二的单参数单指标 有序平均族构成的集合记为| ) i 露( 。，h i ；啦) 定义3 9 已知鬈! 是r 上的参数闭区间，设 以f s e ! ) e ( a ，h i ；，) ，若对 v ，( z ) g n ，6 ，总有以下的性质成立： ( a ) 正规性： 仉一( 厂) 5 蚓r a 础i n l ，( z ) ) ，仉+ ( ，) 2 踊o f ，( z ) t f d 、0 i t l ， ( b ) 单调性；v s t ，8 2 e ! ，若s 1 s z ，则有仉。( f ) s 仉。( f ) ，当且仅当f ( x ) 为常 值函数时，上式有等号成立 则称 仉扣片! 为单参数连续单指标有序平均族，所有参数区间为e ! 的单参数连 续单指标有序平均族构成的集合记为瑶( 【o ，b l ；譬! ) 下面给出单参数连续单指标有序平均族的一些性质 定理3 3 设 u s j s 乓! ) 霹( n ，纠；啦) ，则v f c a ，b 都有 ，( z ) l 茁【a ，h i = ( 川s e ! ) 证明已知 以| s e 二) 露( h 咄1 2 ) ，所以有 仉娜r a i n 。l f ( 茁) ) i 阢一娜m a x q f ( 茁) ) 因为玑( ，) 关于s 是连续的，根据介值定理，对任意y 器 ，( z ) l 。h 。i f a 。，x q ，( z ) 孔都 存在勘嚣! 满足以。( ，) = 可所以有 ，( z ) f x ( a ，6 】 阢( ，) ；s 露! ) 又根据 玩f s 口二】满足单调性，而啦= f s 一，舛l 所以v s 鬈! 都有 仉( ，) 阢一( ，) ，仉+ ( ，) = 州r a 叫i n 】 ，( z ) ) ，珊高 ，( z ) 即 阢( ，) l s e ! f ( x ) l x a ，h i p 5 7 1 ：2 ，( z ) 。 a ，6 = 阢( ，) i s 露! ) 定理3 3 说明v u 。( f ) l se ：f - ) 瑶( ( 0 h i ；嚣! ) ，都满足当s 跑遍，时，阢( ，) 将跑遍，( z ) 在 a ，b 上的值域 定理3 4 已知 u , 1 8 2 ) e 露( 陋，6 】 ，) ，( 。) ec ( 口，6 设妒：矗啊宠为连续严 格单调增函数，若v s e 三，有k ( ，) = 妒。( u ( 妒o ，) ) ，则 k i s e ! 砖( 【n ，6 j ) e 三) 6 证明根据定理3 2 ，显然有 e i s e ! ) 霹( n ，b j ；e 二) 下面证明 k f s e ! ) 满足正规性和单调性 ( 1 ) v f v i a ，b l 、由于 乩l s 鬈! 露( ( 0 ，h i ；鬈二) ，所以 乩一( 砂。，) 。矧r a i 。n 制 ( o 。，) ( 。) ，以+ 。，) 2 婴暑菊 ( 妒。，) ( z ) 又根据妒。为严格单调递增的，所以有 亿一( ，) - 母。( 仉一( 妒。埘2 蕊 m ) ，k + ( ，) = t 1 。( 玑+ ( 妒。，) ) 2 叫m a 叫x ( f ( g ) ) 正规性得证 ( 2 ) v s 。，8 2 g ! ，若8 ， 0 ，且p ( x ) 在f a ，b 上几乎处处连续，f ( x ) c a ，纠，则 u s l s f 0 ，+ 。】) 曰( bb l ； 0 ，+ 。】) 7 定理3 5 已知 阢j s p ! ) 露( o ，b ；口! ) 设g ：f t ，抖】叶 8 一，s + ) ，且g 为连 续严格单调增函数，令k ( ，) = ( t ) ( ，) ，则 v d t j 芒) 碟( a ，h i ；j 芒) 证明 因为 仉i s 鬈! ) 掣( 【o ，b l ；露! ) ，所以仉( ，) = 罂i j ， ，0 ) ) ，玑+ ( ，) = 粤骶 ，( z ) ) ；且v s l ，8 2 e ! ，若有8 1 s 2 ，则有巩。( f ) 乩。( ，) ，当且仅当f ( x ) 为 常值函数时，上式有等号成立， 由于g 为严格单调增的函数，所以8 9 ( t ) ，s + = 9 ( t + ) ，进而有 k 一( ，) 2 ( t 一) ( ，) 2 揶r a i n q f ( 。) ) ，k + ( ，) = ( ( ，) = 啪m m w 1 ( z ) ) 所以 k 心曩! ) 满足正规性 又根据g 是连续函数，所以v s t ，8 2 p 三，都丑1 ，t 2 ，苎使得s l = g ( t 1 ) ，s 2 = g ( t 2 ) 若8 i 8 2 ，则t i 0 , 9 5 l ，6 2 0 ： v x = ( x l ，。) d 满足当f f x 一酬 m e ；当f i x 一硎 ( m 厶旭，z 。) = 1 得到 o ：h 加。，训岫 l 进而得到 。旦( z | 蹦) ，x 1 1 x n ) 咖出n ) = l 由此又有 。量( 厶p ( 而) ，8 ( 巩，z 。) 出出。) 2m s 由e 的任意性，可得 。旦( r 厶，) ( 钆，z 。) ，。( ，。) 出，如。) m zd z d z d 、 z z ， d r 茁 茹 一 ， i 0 z 烈 m 一 烈 陋 n d ( 硼以加训厂 厶止 而【，- bp ( x 一，。) 广( z l 所以得出。里l r + ，d p ( z l ， 当8 ( m 刊8 r ：酬。叫出1 ，慨 根据 厶p ( ，z 。) 炳= 1 o o 令妒( 印= f 伽f ，将妒( ) 在t = t + 处泰勒展开，其中矿 0 ，得到 扔砭= 剃+ ( t - t * ) ( 百d ( t i n t ) ) 州川甲( 掣k f 2 l * i n t + + o f 4 ) u 总矿+ 1 ) + ；( c f ) 2 ，( m i n t + ， ，m a x o 时，也为正值这样歙有 o i n t2 t i n t + ( t t j ( i n t + + 1 ) 即有 丁( z 】，。n ) l n t ( x l ，z n ) 2t * l n t + + ( 丁( z i ，r ，。) 一丁+ ) ( f 扎丁+ + 1 ) 由此得出 厶_ 口( ，z 。) 丁( ，z 。) 2 地丁( 。) 出。，出。 上p ( ，z 。) ? ( 而) 轨r 出， + 厶p ( ) t ( ，z 。) 衄 - 厶p ( 钆- 一，) f + 出。出。 进而得到下式 厶p ( 轧，。) 丁( ，z 。) m ( ，z 。) 出- 如。 ( 厶p ( 钆，。) t ( 钆，z 。) 岫 ( z n ( 厶p ( 巩，z 。) 丁( ，z 。) d t 吨。) ) 即有 ，- 如p ( x i ，z 。) ，8 ( z ，- ，x n ) f n ( ，8 ( z t ，- ，x