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腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 摘要 首先，综述了阴极保护问题的研究现状及进展，比较了几种数值方法在研 究阴极保护问题时的优缺点。 其次，预备知识包括腐蚀系统所满足的控制方程及边界条件和l a p l a c e 方 程的边界元基本公式的推导。 再次，在阳极优化设计问题的偏微分方程反问题的均值方差模型的基础 上，提出了一个新的目标函数，给出了两个模型的边界元计算方法。得出了二 维i 型节点最优阳极位置问题的数值计算结果，与有限元结果对比显示，提出的 反问题模型及边界元解法是合理、有效的。 最后，研究了腐蚀工程中三维无限区域中超长管线阴极保护设计问题，提 出了一个新的数学模型，将介质电阻、金属面电阻及金属自身电阻作了系统处 理，给出了本问题相应的边界元解法。通过数值试验与有限元结果和实验结果 的对比，肯定了所提出的数学模型及所用边晃元法在处理此类问题时的合理性 及有效性。 关键词：阴极保护；数学模型；边界元；反问题；最优化 t w on u m e ric alp r o bi 鲫sa b o u tc a t h o d icp r o l ：e c tio r l i no o r r o s i o r le n g ir l e l e ri n g k , b s tt a c t f i r s t , t h er e s e a r c hp r o g r e s so fc a t l a o d i ep r o t e c t i o ni sd i s c u s s e d a n d af e wo f m t m e r i e a lm e t h o d sa r ec o m p a r e dw h e nt h e ya r eu s e dt os e t t l et h ee a t l a o d i ep r o t e c t i o n p r o b l e m s e c o n d t h ep r e l i m i n a r yi n f o r m a t i o n si n c l u d et h ec o n d i t i o n st h a tt h ep o t e n t i a l si n t h ec o r r o s i o ns y s t e ms h o u l ds a t i s f ya n dt h eb e mb a s l ef o r m u l a so fl a p l a c ee q u a t i o n a r ea l s od i s c u s s e d t h i r d ，t oo p t i m i z et h ed e s i g no fa n o d e ，b e ma l g o r i t h mi sg i v i e l lf o rt l a ea v e r a g e a n dv a r i a n c em o d e lo fi n v e r s ep r o b l e mo fp a r t i a ld i f f e r e n d a le q u a t i o n an e w o b j e e l i o nf u n c t i o ni sp r e s e n t e db a s e do nt h em a t h e m a t i c a lm o d e la b o v ea n d i t sb e m a l g o r i t h mi s 昏v 印t o o t h en u m e r i c a l r e s u l t so f2 1 ) i - t y p cn o d ei ne a t l a o d i cp r o t e c t i o n a l l ：o b t a i n e db yb e m ，a n da l s oa r ec o m p a r e dw i t ht h er e s u l t so b t a i n e db yt h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o d t h eo p t i m i z a t i o nm o d e la n dn t t m e i c a lm e t l a o da r ep r o v e dt ob e r e a s o n a b l ca n de f f e c t i v e f o u r t h ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fc a t l a o d i cp r o t e c t i o no fo v e r - l o n gp i p e l i n ei n 3 di n f i n i t er e g i o nf o rc o r r o s i o ne a g i n e e r i a gi sd i s c u s s e d t h ee l e c t r o l y t er e s i s t a n c e ，$ 1 1 1 z f a c er e s i s t a n c ea n dm e t a lr e s i s t a n c ei t s e l fa r ec o n s i d e r e di nd e t a i l as e r i e so fr e s u l t s o fo v e r - l o n gc a t h o d i cp r o t e c t i o ni aa ni l l f l n j t er e g j 0 1 li e i eo b t a i n e db yb e m w e c o m p a r eo u rr e s u l t sw i t ht h ee x p e r i m e n t a ld a t aa n dt h er e s u l t so b t a i n e db yt h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o di nt h eb o u n d e dl e g i o n f r o mt h ee x a m p l e s 。w ec a n s c ct h a tt h ee a t l a o d e c a l lb ep r o t e c t e da g a i n s tc o r r o s i o nw i t ho n l yo i i ca n o d e0 1 1t h ep i p e l i n e 、 k e yw o r d s ：c a t h o d i c1 ) r o t e e t i o n ；b l a t l a m a t i e a l m o d e l ； o p t i m i z a t i o n 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 刖吾 受阴极保护的金属表面的电位只有在一定数值范围内才能使结构物受到有效 的保护。电位过正( “欠保护”) 和电位过负( “过保护) 都是应该避免的，但是在实际 阴极保护系统中，无论是牺牲阳极法或外加电流法( 也称强制电流法) ，金属结构表 面的电位以及相应的电流密度并不是到处一样的，即电位和电流分布常常是不均 匀的。典型的例子是，埋地长输钢管实施阴极保护相隔一定距离的分立布置的辅 助阳极，这时靠近阳极的管段的保护电位最负，两侧的电位最正町。 了解保护电位的分布情况对于阴极保护系统的日常维护和管理具有重要的意 义。如所周知，测量电位分布是评价阴极保护效果的依据。在传统的阴极保护工 程设计中，大多采用实际测量或经验估计的方法来掌握电位分布规律，如船舶、 浅海设施、埋地管线等可直接用参比电极进行逐点测量电位分布；而对深海设 箍、油气井等复杂结构物，往往用可测部位的数据去外推无法测量部位的电位分 布，为工程优化设计确定阴极保护参数，判断阴极保护效果。实际测量虽直观、 明了、可靠度高，但由于时空、环境等因素的限制，进行实际测量往往工作量繁 重，费用昂贵；而外推法由于自身的弱点，可靠性不高；经验估计的方法虽然简 单易行并且对于环境变化不大、被保护构件几何形状简单的阴极保护工程的设计 也不失为一种行之有效的好方法，但如果应用于复杂结构或环境条件恶劣的阴极 保护工程的设计，则需要引入较大的安全系数，可能造成不必要的浪费，而且在 某些情况下，即使引入了很大的安全系数，由于结构本身的复杂性和环境因素的 影响，也会造成局部区域欠保护或过保护现象。 由于阴极保护工程的传统设计方法中上述问题的存在，以及计算机在电化学 、 工程领域的推广应用，人们自然想到运用计算机技术用一种更加有效的方法来估 算被保护体的电位分布规律，评价阴极保护效果，从而掀开了数值方法在电化学 工程领域应用的新篇章。 阴极保护中数值计算的实质是用数学模型来描述所研究问题的固有特性，用 某些特定参数来模拟环境而进行一种抽象的数值模拟计算。一般来说，这种计算 的可靠性，主要取决于数学模型和特定参数的可靠性以及求解的方法。本文以研 究数学模型及其相应的数值方法为主 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 1 有限差分法和有限元法 1 9 6 4 年，k l l n g e n t 、l y n n 和t o b i a s t 2 1 首次用有限差分法( f d m ) 研究了电解池 的几何形状和过电位参数的变化对电流分布的影响。遗憾的是，他们的结果在腐 蚀工程领域没有得到应有的重视。7 0 年代末，d o i g 和f l e w i t t 0 1 用同一种方法计算 了电解液中二维电偶腐蚀问题的电位分布。后来，s t r o m m e n 和r o d l a n d h l 也用有 限差分法估计了海上结构物阴极保护系统的行为。f d m 法尽管在许多情况下给出 了较为准确的结果，但却存在很大的缺陷。这些早期的计算程序主要是关于二维 问题的，然而对大多数海洋结构物进行二维分析通常是不适应的。例如直径相当 大的管道，它的屏蔽效应是很重要的，要想考虑屏蔽效应的影响，就必须对其进 行三维分析。此外，由于f d m 法计算结果的准确度与节点的数目和分布有关，当 对一个阴极保护下的大的三维体进行模拟时，要想精度高，节点数目将是相当多 的。这种情况下，只有增加大型计算机的容量，f d m 法才能得以实现。另外f d m 法难以准确地描述结构的几何形状和模拟边界条件。 7 0 年代出现了一种在许多工程领域广泛使用的新的数值方法一有限元法 ( f e m ) 。h e l l e 口等应用f e m 法计算了多电极体系的电位分布并把计算结果同 w a b e r 和f a g a n 1 的解析结果进行了比较，确定了f e m 法应用于腐蚀问题的可靠 性。m u n n m 应用f e m 法第一次对二维电橱电解液区域的腐蚀问题进行了包括真 实极化曲线的影响在内的广泛研究，和前人由于遇到困难而一直没有考虑的非线 性极化行为的研究。k a s p e r 和a p i r l 4 1 用f e m 法分析了海水中钢棒的三维腐蚀问 题，研究了阴极和阳极的大小、形状、涂层电阻以及涂层缺陷对电位分布的影 响。同f d m 法一样，f e m 法也需要用网格对所研究区域离散，并且结果的精度 也与单元的大小和数目有关，因此进行三维阴极保护系统模拟时，计算量和花费 的时间将是相当大的。到目前为止，f e m 法对二维问题是非常有效的，而对三维 问题则在一定程度上影响了计算的精确度。f d m 法和f e m 法的一个共同特点是 必须对全部区域划分网格，要想得到结构表面的电位分布，要连带着计算出电解 质内部的电位分布。而在实际应用中，我们更应该注重结构表面的电位分布。计 算上的浪费和数据准备量大是这两种方法的一个明显缺陷。同时，有限元法在应 用中，求解无限域问题遇到困难。 2 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 2 边界元法 边界元法是继有限元法之后，在本世纪7 0 年代发展起来的一种数值方法， 它属于边界型解法，正好能克服有限差分和有限元法的上述缺点。它将微分方程 的边值问题和初值问题表达为相应的边界积分方程，然后利用微分方程的基本解 和离散技巧，把边界划分成单元，从而得到一组近似为一个代数方程组进行求 解。 一、边界元法的发展概述 边界元法的理论基础早在本世纪初就提出来了。1 9 3 0 年f r e d h o l m 9 1 首先证 明了积分方程解的存在性。之后许多学者对积分方程的性质，特别是奇异方程的 理论做了许多数学上的探讨，为进一步应用边界积分方程法开辟了道路。边界元 法作为一种有效的数值分析方法可追溯到1 9 6 3 年m a j a s w o n 和g t s y m m 0 1 的 工作。1 9 7 8 年b r e b b m 发表了他的著作。t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o df o r e n g i n e e r i n 9 4 ”，此书首次使用了“边界单元法”这个术语，阐述了边界元法的 基本原理和应用，并附有可计算的程序。 边界元法在腐蚀领域的首次应用是由f u 和c h o w 开始的。他们用常数单 元来划分边界，应用格林第三公式求解电位分布的控制方程，计算了受到阴极保 护的箱体的电位分布，并把计算结果同实验数据进行了比较，证明了这种新的计 算机化数值方法的准确性。同时，他们还指出，应用b e m 法时，为了得到准确 的电位分布规律，采用包括电极材料、介质流速、时间、温度等因素在内的实际 情况下的极化曲线是非常重要的，计算精度依赖于极化曲线的正确选择。在f u 和c h o w 的工作基础上，d a n s o n 和w a g l l e f l ”首次研制了b e m 法用于二维和三维 无限域腐蚀工程问题的计算机程序。这个程序由两个主要特点：1 把非线性边界 条件分成两类，一类为与时间无关的即时测量极化曲线，另一类为随时间而变化 、 的全时间极化曲线。这样可以针对不同的情况，应用不同的边界条件，提高了计 算的准确性和可靠性。2 提出了对称性的处理问题。由于对称面上无需划分单 元，减少了方程个数，大大降低了数据准备等外部消耗。 在处理非线性边界问题时，a o k i t l 4 1 等人在算法上采用了n e w t o n r a p h s o n 迭 代法，处理结果虽然仍有一定的误差，但相对于d a n s o n 和w a r n e 使用的公式法 已有很大改进。接着，n o w a k o 们、t e u e s 等人6 1 也采用同样的迭代方法处理了与 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 时间有关的非线性边界条件，得到令人满意的结果。同时，t e u e s 等人指出对阴 极保护系统来说，非常重要的一点是在阴、阳极之间电流分布存在着固有的平 衡，而在无限远处没有任何损失。按照这个特点，他们提出一种无需对外边界离 散而能够解决无限域问题的有效方法。t e l e s 等认为，对无限域问题不考虑无限 远处的影响是不对的，必须在积分方程的一侧加入无限远因子的影响，这样提出 的结构才是正确的。随着边界元技术在腐蚀领域的发展和逐步完善，国外陆陆续 续出现了一些应用型计算机软件n 7 4 ”。这些软件的共同特点是适用范围较广，准 确度较高。在模型建立方面采用了诸如管单元、面单元等新型单元来模拟复杂结 构的几何形状，使得所建立模型与实际结构更加吻合，在建立边界条件时，考虑 了时间、钙镁盐沉积、介质电阻率、温度、流速等对极化曲线的影响，增加了数 据库等内容，尽可能使模拟条件接近于实际条件。所有这些工作都使得边界元方 法更加适用于阴极保护系统的设计，为边界元方法在腐蚀领域的广泛应用奠定了 基础。 边界元得到如此快速发展，是因为它具有如下主要优点： 1 ) 由于仅将区域的边界进行离散，使问题降低了一维，即三维问题变成二 维问题，二维问题变成了一维问题。与有限元法相比，输入数据减少，方程的阶 数降低。而且可以直接计算给定问题区域内任意点的有关物理量的数值。所以边 界单元法具有数据准备简单；对表面积较小的问题，其计算量要比有限元法少等 优点。 2 ) 边界积分方程精确满足给定问题的定解方程，其计算误差仅来源于边界 的离散，所以在离边界较远的内部区域计算精度较高。再者，边界单元法中的应 力和位移均依赖于基本解计算得到，它们具有相同的计算精度。而在有限元法 中，是先求得位移，然后再由位移求得相应的应变和应力，因此应力的精度低于 、 位移的精度。 3 ) 边界元法适宜于解无限或半无限区域问题，能满足无穷远处边界条件， 同时也适宜于处理局部应力集中问题，即对场变量变化梯度较大的问题，其计算 精度较高。 4 ) 边界元法能与有限元法，或有限差分法等相耦合进行求解，特别是与计 算机辅助设计相结合，能较好地解决工程实际问题。 4 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 本文的主要工作： 首先，在阳极优化设计问题的偏微分方程反闯题的均值方差模型的基础 上，提出了一个新的目标函数，给出了两个模型的边界元计算方法。得出了二 维i 型节点最优阳极位置问题的数值计算结果，与有限元结果对比显示，提出的 反问题模型及边界元解法是合理、有效的。 最后，研究了腐蚀工程中三维无限区域中超长管线阴极保护设计问题，提 出了一个新的数学模型，将介质电阻、金属面电阻及金属自身电阻作了系统处 理，给出了本问题相应的边界元解法。通过数值试验与有限元结果和实验结果 的对比，肯定了所提出的数学模型及所用边界元法在处理此类问题时的合理性 及有效性。 5 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 第一章建立电位场数学模型及定解条件 根据平台节点阴极保护的特点，提出一系列的假设，得出了腐蚀场中电位 应满足的方程及边界条件。 1 1 提出的假设 构成海洋结构物阴极保护系统的基本要素包括：结构物表面、牺牲阳极 表面及海水电解质区域。描述阴极保护系统的两个物理量分别是电位和电流。 由于结构物、阳极和介质都是导体，而且这个系统中有电流通过，因此整个体 系形成了一个腐蚀电场。可以说电位及电流的大小确定了，该腐蚀电场就可以 被描述出来了。 在海洋环境中，阴极保护电位场中的电解质为海水，针对平台节点阴极保 护的特点，提出如下的假设脚j ： 1 电解质为均匀介质。在海洋环境中，海水的电导率从表层到底层稍有变 化，因而电位梯度并非理想的线性变化，但这对实际平台节点的影响甚微。故 在推导电位场的数学模型中，假定电解质为均匀电导的介质，电位梯度线性变 化，电导率k 为常数。 2 电位场为稳态场。因为我们主要考虑的是长期极化后阴极表面的电位分 布，该分布随时间变化很小，而本计算工作的重点是研究电位场的空间分布情 况，寻求阴极保护的最优设计，所以结合实际情况选择稳态电位分布为研究对 象。 3 电流通过电解质时遵循欧姆定律。由经典电擎和物理化学得知如此假设 是合理的。记 为电流密度，量为电位，v e 为电位梯度( v 为h a m i l t o n 算 子) ，g 为电解质海水所在的区域，由电学原理可知其关系为： f = k v e ( 在g 中) 4 在电解质中服从电中性原理，即电解质中任一点处的静电荷为零。根 据静电学原理，知电流密度的散度为零，即 v = 0 ( 在g 中) 6 腐蚀工程中用极保护的两个数值问题 5 结构物内部无电解质，端口处被绝缘介质严密封堵( 该部分表面记为 r 2 ) 。由此，在该绝缘介质表面的垂直方向上的电流应为零，即 = o( 在r 2 上) 其中n 表示g 的边界曲面上某点的外法线方向，表示电流密度矢量f 在该点的 外法线方向的分量。 6 在平台节点阴极表面( 该部分表面记为l ) 的电位和电流密度沿该处的外 法线方向的分量近似满足以下关系： 仁亡弘& ) r 在耻 其中矗，为阴极表观面电阻，为阴极的自然腐蚀电位。 7 不考虑设置在阴极节点表面的阳极厚度，而只考虑其面积；并且，阳极 的形状与管道表面形状完全吻合。显然，如此假设只相当于使阳极有效面积与 实际情况稍有差别，对此只需把数学模型中的阳极适当取大一些即可。另外， 这样做也可能略微影响到阳极边缘附近的阴极表面部分的电位，而这在阴极保 护设计中几乎是不必多虑的，因为重点考虑的往往是距阳极稍远处或受到屏蔽 的角缝。在后面的论述中阳极表面区域记为r l 。 1 2 模型的建立 e 系统中任意点的电位， x 、y 、z 该点的直角坐标。 1 2 1l a p l a c e 方程的建立【2 1 1 欧姆定律在解决线性一维导体介质的电荷移动问题时可写成如下形式： q ：制璺f ( 1 2 1 ) c r x q 一时间血内流过这个单元的电量 七一介质的电导率 a 一界面面积 善一线性一维方向 f 一时间 7 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 图1 微元体 f i g 1m i c r oc u b e 图1 所示为电解质的无穷小单元，图中e 为单元中心处的电位，在x 轴方向上 距离中点为等处的电位差为： 衄；2 罢c 三埘 由此可知在导电单元左、右侧面电位分别为 盈 从单元左侧面进入的电荷为 玩= 一m 导( 臣) & 积 = 一脚z 丢( e i ii o e 蝴血 = 血詈+ 圭蝴龇窘 从单元右侧面离开的电荷为 8 等 一 一 e f = = 打 气等 + + e f = = e 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 q x = - 一罢一圭龇蛐窘 从而可知导电单元在x 方向得到的净电荷为： a q ，= 晚一纵 一龇出罢+ 圭龇蛐害七怂舭罢一兰龇蛐争 = 脚蛐l 警 令a v = 蛐位，则 q ，班论警 衄，= 尬趾窘 这样，在二维情况下，流经该单元的净电荷为： 蛔= 尬蹦害+ 争 进一步扩展到三维，流经该单元的静电菏为： 鲍= 尬他c 窘+ 等+ 对于稳态系统，电位不随时间而变化，按照保持电中性的要求，应有： a q = o 则必定有可a 2 e + 害- o ( 二维) 或 害+ 窘+ 害= 。c 三维， 这就是电位在电解质海水所在的区域g 中应满足控锄方程。 1 2 2 边界条件的建立 第一部分r l 为牺牲阳极表面，阳极的工作电位设为定值晶，即在r l 上满 足： 剖l - - e o 9 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 第二部分r ，是绝缘面，对于三维无限区域问题明确则是管线端口处绝缘介 质表面，由流入电流与流出电流相等，假设3 和假设5 得出： 一e 瓢= o 第三部分l 是平台节点的阴极表面，由假设3 和假设6 得出： 一t 乳= 击c e 俐l b 1 2 3 平台节点阴极保护电位场的数学模型 记g 的边界曲面为粥，则加= l + r 2 + r 3 。 可得到二维有限域中平台节点阴极保护的数学模型： f ( x ，y ) = 0 ，( x ，y ) c g 叫n = 岛 瓢= o 一筠l2 扣吲l r ， 一石i l r 3 2 百饵州c 柚 最后，考虑到三维空间外问题的适定性要求，应给出电位场在无穷远处的状 态，而由模拟实验结果得知 e ( m ) = 司 其中e ( 。) 表示电位场趋于无穷远处的电位，司。表示g 的边界a g 即阴极及阳极 表面上电位按面积的平均值。 由此可得到三维无限域中平台节点阴极保护的数学模型： ( ) 以x ，y ，z ) = 0 ，( x ，y ，z ) c g e i n = 岛 孙= 。 、 一籀r ，= 亡c e 吲| r ，一万i ir ，。i 仙叫c 1 r ， e = 司。 在模型( i ) 、( ) 中，p = 为海水的电阻率，岛、岛、彤的定义如前。 1 0 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 第二章边界元基本公式的推导 2 1g r e e n 公式 2 2 z 5 1 以二维平面问题为例。 假定q 是r 2 中一有界开区域，它的边界r 是一条光滑闭曲线。 把一个区域上的积分转化为区域边界上的积分从根本上说是基于g r e e n 公 式的应用，它是线、面积分中奥高公式的推论，对于在豆上连续且在q 内有连 续偏导数的任意向量函数w ( 记为w ( c 1 ( 9 n c o ( _ ) ) 2 ) ，下式成立 d i v w d x = p 口心 ( 2 1 - 1 ) 其中z = ( 而，屯) ，血= 峨毗，衄表示r 上的长度元素，n 是r 的单位外法 线向量。 设函数u 扛) ，v ( 善) 以及它们的所有一阶偏导数在闭区域荭上连续，并且它 们在q 内有连续的所有二阶偏导数( 记为u ，v e ( c 2 ( q ) t i c l ( _ ) ) ) 。在公式( 2 1 1 ) 中 令w = v v u ，就得到g r e e n 公式 d a u d x + 廖邮v d x = v 言皤 ( 2 1 2 ) 式中v 称为h a m i l t o n 算子，v u = ( 当，马，且 c 弭ia x 2 盟= v u a l 在上式中交换1 1 和v 的位置，并把所得的式子与( 2 1 2 ) 式相减，得到g r e e n 第二公式 f q ( v a u - u a v ) 忙( v 象一u 蚤邮 ( 2 ) 假若上面所考虑的函数n 和v 在r 2 上有紧支集( 在平面上一有界闭区域外 函数值为零) 。则上述g r e e n 公式对无限区域d = 冠2 一q 也是成立的。 在三维以上的空间的g r e e n 公式同样可表示成( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式。 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 2 2l a p i a c e 方程的基本解4 l l a p l a c e 方程的基本解u ( 只q ) 是满足f 列方程 、 a u + ( p q ) + 占( 尸一t 2 ) = o( 2 2 1 ) 的二点函数。式中的尸和q 为二维或三维无限域中的任意两点，8 ( p q ) 为狄拉 享j 函数。记r ( p ，q ) 表尸点到q 点的距离， - - - 维l a p l a c e 方程的基本解u 。( 只q ) 2 去1 n ；i i l 孬 ( 2 2 2 ) 三维l 印1 a c e 方程的基本解u ( p ，q ) 2 i 二i 孬 ( 2 2 3 2 3l a pia c e 方程积分方程的建立【”2 4 1 设u 满足l a p l a c e 方程 a n = 0 在g r e e n 公式( 21 3 ) 中，将v 换成l a p l a c e 方程的基本解u ( p ，q ) ，则有 u ( p , q ) v 2u ( q ) 一u ( q ) v 2 a ( p ，q ) 】d q ( q ) = l ( u 伊，q ) q ( q ) 一u ( q ) q 口，q ) ) d r ( q ) ( 2 3 1 ) 上式等号左边是关于区域内点q 的积分，等号右边是关于边界上点口。的积分。 式中q 定义为 q n q ，= 蔫手 亿。动 根据狄拉克万函数的性质、式( 2 1 2 ) 、式( 2 3 1 ) 中的积分 i o u ( q ) v z u ( e ，q ) d q ( t 2 ) 5 i o u ( q ) s f p q ) d q ( q ) = - - u ( 竹 而 i i u * ( p , q ) v 2u ( q ) d q ( 口) = 0 因此，式( 2 3 1 ) 成为 u ( d = l ( u ，q ) q ( q ) 一u ( q ) q ，q ) ) d r ( q ) ( 互3 3 ) 1 2 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 2 4l a pia c e 方程混合边值问题边界积分方程的建立 我们已经知道二维l a p l a c e 方程的边界积分方程是 c ( p ) u ( p ) 2 【u 口，q ) q ( q ) 一u ( q 。) q 口，q ) 】d r ( q ) ( 2 4 1 ) 式e e 的c ( p ) 是与p 。点处的边界几何形状有关的常数， c ( ，) = 2 石2 石- a t 口为边界点p 处的边界切线之间的夹角。 对于光滑边界，口= ，r ，所以 c ( 户) = i 1 f 面重点来看三维l a p l a c e 方程的边界积分方程。 由2 3 知边界元积分方程是( 2 3 3 ) 。 式( 2 3 3 ) 对于区域内的任意点都适用，为了求出边界上未知的函数值和函 数的法向导数值，需要将p 点移到边界上( 用p 点表示) 。当p 与q 。点一致 时，由式( 2 2 3 ) 可知，函数将产生奇异性。为此，以q 点为圆心做半径为占的 取球在q 外) ，这个球边界曲面以l 表示，a 表示在q 点两切平面的夹角。 现设p 点位于边界r l 上，整个边界r r 分成四个区间，即l ，l 。，r 2 和 r 3 。式( 2 3 3 ) 可写成 u ( p ) 2 u ( 尸 q ) q ( q ) a r ( q 。) + t ，u ( p ，q ) 窖( q ) a r ( q ) + l u ( p ，q ) g ( q ) d f ( q ) + u ( p ，q ( q ) d r ( t 2 ) 一j ：u ( q 虮p ，q ) d f ( q ) 一t 。u ( q 虮尸。，q ) d f ( q ) 一u ( q ( 尸，q ) a r ( q ) 一u ( q ( p ，口) a f ( q ) ( 2 。2 ) 将基本解( 2 2 3 ) 代入上式，考虑s o 时的极限，等号右边的第一项 磐t u 和( q ) d r ( q ) 2 磐l 去；石艘) d r ( q 。) = “硬圭 g ( q ) a f ( q ) f q4 腮也一 一 一 曼堡三堡主堕堡堡芏塑堕! 墼篁塑墨 _ _ - _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ _ - - _ - _ _ _ _ _ 一 。 按积分中值公式 l 口( q ) d r ( q ) 2 2 q ( q ：) t z a 2 其中屯为球面上某一点。 所以 姥l u ( p ，q ) g ( 口) d r ( q ) 2 去磐固( 反2 0 等号右边第二项 瓮o + ( 声，q 。凇) d r ( q ) 。i r l u * ( p ，q ( q ) d r ( q ) 等号右边第五项 躲u ( q ( p ，q 。) d r ( q ) = 躲l u ( q ) 昙( 未i 石密d r ( q ) = 躲l 地，吾c 去i 方- - - d r ( q ， g ，l fo r 斗石r i r l ，j ，和n 的方向相同，有 鱼；1 所以 t 。i 。n u ( q 蛔( 尸，q ) d r ( q ) 2 一磐石丘u ( q ) d r ( 口) 一。l h n 上4 ，：t 8 2 2 簖2u ( 或) 一l 。i m 2 a - - 万- u 娩) 2 一丢u ( p r ) 等号右边的第六项 磐t 。u ( q 虮p ) d f ( q ) 2 l u ( q 虮p ，叼d r ( q ) 把上述结果代入( 2 4 2 ) ，得三维边界元边界积分方程基本公式 c ( e ) u ( 尸。) - - - j ：r u ( p ，q ) q ( q ) 一u ( q ) q 口，q ) 】d r ( q 。) ( 2 4 3 ) 式中的c ( p ) 是与p 。点处的边界几何形状有关的常数， c ( ，) = 三型2 r t 口为沩界点p 处的两切平面之间的夹角。 1 4 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 对于光滑边界，口= z ，所以 c ( 尸) = i 1 p h ( 2 4 1 ) 和( 2 4 3 ) 知- - 维和三维l a p l a c e 方程混合边值问题边界积分方程是 c ( p ) u ( p ) = l u 口，q 。) q ( q ) 一u ( q ) q 口，q + ) 】d r ( q ) ( 2 4 4 ) 式e p 的c ( e ) 是与p 点处的边界几何形状有关的常数， c ( p ) = 警 口对于二维问题为边界点p 处的边界切线之间的夹角，对于三维问题则为边界 点p 处的两切平面之间的夹角。 对于光滑边界，口= z ，所以 c ( p ) = 三1 2 5边界积分方程的离散化与解法 一般情况下，不可能应用解析法来求解积分方程，而必须采用近似的数值 解法。边界元法将区域分割成n 个边界单元，整个边界上的积分以n 个边界上的 积分和来表示。各边界单元上的函数值和函数的法向导数值，可以通过插值函 数( 也称形函数) 和边界单元上有限个点( 也称节点) 的函数值和函数的法向导数 值，以多项式近似。现采用常单元将边界积分方程离散成联立一次方程组。 在本问题中，把边界r 分割成n e 个边界单元r ，( ，= 1 2 ，旧。其中n e l 个 边界单元属于边界r i ，n e 2 个边界单元属于边界r 2 ，n e 3 个边界单元属于边界 l ，总的边界单元数n e l + n e 2 + n e 3 = n e 。选用常单元即节点取在边界单元的 中点，边界上的函数值和函数的法向导数值在边界单元上设为常量，并等于节 点的值。 记u l e = u t ，票i = 吼对于节点只，边界积分方程( 2 _ 4 4 ) 可离散成 扣，+ 罢u ， 牝哑，嘻吐u ) d 哑) 眵t ) 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 式中的毋为边界单元r l 的节点，q 点为边界单元l 上的任意点。上式中边界单 元0 上的积分与点和边界单元0 有关，令 岛2i g 。( 乐q ) i f c q ) 占口2 l u ( 曩q ) d r ( q ) 则式( 2 5 1 ) 可写成 进一步可简写成 式中 一 n e nel - - - u j + u ，岛= g ，g # ( 2 5 2 ) 一 j ；ij i l n eh e u ，h u = 碍，g 口 ( 2 5 3 ) ，越- 1 = 南+ 妻矗 岛谁；：； 记矩阵日= k 。，g = b ，k 。，u = ( u 。k 。，q = 瓴) s 8 。 对于n e 个节点，得到联立一次方程组，可以用下列矩阵形式表示： i t u = 6 q( 2 5 4 ) 将向量u 和q 的已知部分和未知部分开来记： u o ) = q d = ru l “ ，护：i “冀z + ： i l u l + 2 q 2 = 日1 2 日2 2 日3 2 孽 僻1 “ g t c e 2 + 2 q n e l + n f 2 盯( 毋= ，q 3 = 1 6 u m l + 2 + l i n e i + n f 2 + 2 l u 口n f l + v 9 2 + 1 g 憎l + 腰2 + 2 q n e u； 、， ” 嚣 g g g 堰 心 珏 6 g g u n ；： 旧旧旧， = g 、； 巩巩也瓢悟拭 g = 和 日 日 肾的应 一 相 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 h t t = ( ) n b h l ，h t 2 = ( ) m i x w 2 ，h t 3 = ( ) m 1 。， t l e l2 ( h q ) m 2 。，日2 22 ( ) m 2 。1 1 1 1 2 ，日2 3 = ( ) 2 。 3 h 3 1 = ( ) n 8 3 。n f l ，h 3 2 = ( 嘞) 3 x n f 2 ，h 3 3 = ( ) n e x n e 3 对于g 具有同样的划分。 则方程组( 2 5 4 ) 写成： 日1 2 日2 2 日n g 1 2 g 2 2 g 3 2 ( 2 5 5 ) 在( 2 5 5 ) 中，u 椰为已知，q 句= 口，q 哪= - p 尺，( u 一u ) ( 2 5 6 ) 其中 ，p = ( u c 腿l + 腿2 “，u c 胛“腮2 + 2 ，u c 船) 将( 2 5 6 ) 代入( 2 5 5 ) 得： 一日1 2 一日2 2 一日3 2 其中珏专g “f _ 1 2 ”整理得： 其中豆，= h r 6 l - 记a = lg 2 l l g ，。 得方程 医 日一瓦 差 越= b 一般可以用高斯消去法求解该矩阵。 - g 1 2 - g 2 2 一g 3 2 f 日i 。f 1 + 瓦，p1 b o l h 2 l f + 五5 3 ) l 【虬u ( i + 瓦，5 3 ) j 、 、， d 句卸 q q q ，。l 、， ” g g g 旧旧旧 = 、， ”匀嚣 u u u ，。l 、， b 拍 驺 日日日 旧旧旧， c 扩艺 ， q一吼一岛 一 一 一 日日日 ，。l = 、 n 对卦 q 盯u ，l 、 ” 日日日 一 一 一 ，佑旧旧， 、，l， m渤c 盯q u ，l 、，i q一吼一倪 日日日 ，。l = 、， n 鼬封 q u u ，。l 、 廿 q u u 也佤也儿 一 n n 矩 l 培 抬 珏 如如 m 一一如一民 一一一 g 一一一 7 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 第三章腐蚀工程中的最优阳极位置的确定问题 在阳极优化设计问题的偏微分方程反问题的均值方差模型的基础上，提出 了一个新的目标函数，给出了两个模型的边界元计算方法。得出了二维i 型节点 最优阳极位置问题的数值计算结果，与有限元结果对比显示，提出的反问题模 型及边界元解法是合理、有效的。 3 1 数学模型 由第一章知对于有限区域中稳态的阴极保护体系，刻画金属表面和腐蚀介 质中电位分布的数学模型为： a g ( x ，y ) = 0 。( x ，y ) c g e f l = e o 瓢= o ( 3 工1 ) 弓瓢2 古c 眦，k 其中，g 表电解质海水所在的区域，a g 表g 的边界曲面，r ic a g 表阳极所在 的位置，f ，c s g 表g 中的绝缘介质表面，r 3c a g 表阴极表面，且 l + r 2 + l = 阳。e 表示区域及边界上的电位，晶表阳极的工作电位，e c 表阴 极的自然腐蚀电位，p 为海水的电阻率，置。为阴极表观面电阻。 通常可用数值方法求解该模型，在选定的网格上，可以得到阴极表面各节 点处的电位值。不妨设有n 个节点，各节点处电位g 。构成的向量记为 e = ( 置，毛，e ) ；各阳极中心点p ，构成的向量记为p = ( a ，如，p k ) ，其中i 为阳极 、 的个数；各阳极的面积黾构成的向量记为s = ( j l ，2 ，以) 。记豆：三童蜀，令 n 百 w ( p ，s ) = 甲( v l ，1 i ，2 ) ，呐( p t s ) = 窆隔函2 ，、l ，2 ( p s ) = ( 豆一e q ) 2 ，其中g o , t 为阴极表 t = l 面平均电位的理论最优( 或实验) 值。 在上面定义的两个函数中，、l ，。表示电位分布的均匀程度，、| ，：表示平均电位 的计算值与平均电位的理论最优值的接近程度。 腐蚀工程中阴极保护的两个数值问题 提出如下阳极优化问题：求( ，s ) ，满足 ( 。) 甲( 尸，s ) = r a i n v e ( p ，s )( 3 1 2 ) p 、s 满足p ；r l ，0 圭 兰 岳 否 n 逊 越 管线长p el e n g t 图跪算例1 ，2 、3 对应不同表观 电阻在阳极附近的电位分布 f i g 2 ap o t e n t i a ld i s t r i b u t i o mn c a rt h e a n o d eo i lp 如cs u r f a c ef o rd i f f e r e n t s u r f a c er e s i s t a n c e s 阳郡 黼商0 自螫糯 p o t e m = a ld r s t n b u t m nn 明t h ea n o d e 口np i p es u r 眦u 管线e p , p el e n g t h m 4 阳极宽度- 1 o m n o d w