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浅谈存在性问题 山东省庆云县渤海中学（253700） 孟德俊 在数学的探索型问题中有一类存在性问题，它常常提出这样的问题：某个数学对象是否存在，或某种特性是否成立？若存在，请求出这个对象或论证该特性;若不存在，请说明理由。 解这类问题的一般方法是：先假设所求的对象存在或特性成立，以此假设为依据进行求解或推理论证，若能对该对象求出结果，或在推理论证过程中没出现矛盾，得出了肯定的结论，则该假设成立，存在此数学对象或特性；若在求解或推理过程中得出矛盾，则假设不成立，即不存在该数学对象或特性。下面以两道中考题对存在性问题加以阐释。例1 已知二次函数（）的图象经过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解析式；yxO（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由yxOBADC(x=m)(F2)F1E1 (E2)分析：（1）（2）略；（3）假设存在该点，使得四边形为平行四边形。然后利用这一假设充当已知条件，运用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解。解：（1）（2）求得；（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为。、当点的坐标为时，点的坐标为，点在抛物线的图象上，（舍去）， ，SABEF =、当点的坐标为时，点的坐标为，点在抛物线的图象上，（舍去），SABEF =16=6例2 已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由，并写出你的猜想。图2ADBCEMNF26解：（1）先假设图2成立。 过点作 则 再证有 由信息可知（2）假设图3成立。 连接CD。 AC=BC,ACB=900,D为AB的中点 由,得 故上述假设不成立，即不存在的关系应是： 评注：解决类问题时，因结论不明确，所以不要一概而论，要结合已知条件做到具体问题具体分析，得出相应的结论。由以上两例可以看出，由于问题的结论不明确，所以在求解时常常要假设问题的某个数学对象或特性存在再经过分析、归纳、演算、推理得出了肯定的结论，则表明原来假设问题存在并且经过分析、归纳、演算、推理的过程就是解题的全过程：若
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