（应用数学专业论文）时滞系统的鲁棒h∞控制和正实控制.pdf

时滞系统的鲁棒上k 控制和正实控制 左宁 摘要：在实际工业过程中，时滞和不确定现象是普遍存在的，是系统不稳 定和性能变差的根源，而且使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难在时滞 系统诸多稳定性条件中，通常有两大类，时滞独立条件和时滞相关条件由于时 滞相关条件需要知道系统时滞的精确信息，因此保守性较时滞独立条件小，因此 对系统的时滞相关条件研究是有必要的 风。性能是系统诸多性能中一个关键的指标，因此对系统的日。性能分析和 z k 控制是系统控制的一个重要组成部分近些年来，对不确定时滞系统的时滞 相关稳定性的研究以及与f k 控制相结合深受控制届的关注同时正实概念在系 统的鲁棒性、耗散性及非线性控制中具有广泛的应用正实控制和上k 控制有着 密切的联系，有时可以将正实控制问题转化为上k 控制问题来解决由于时滞和 不确定性的存在，因此对不确定时滞系统正实性的分析和综合具有实际意义 本论文利用线性矩阵不等式( l m i ) 工具，对几类不确定时滞系统的鲁棒王k 稳定性，王k 控制和正实控制进行了研究 本论文得到的主要结论有t ( 1 ) 利用l m i 工具，得到了一类不确定区间时变时滞系统鲁棒稳定的时滞相 关充分条件；在此基础上给出了系统具有风。性能指标的条件，即有界实引理； 接着讨论了系统存在鲁棒上k 控制器的条件，使得对所有的不确定性和时滞，闭 环系统是鲁棒稳定的且闭环传递函数矩阵的三k 范数小于给定的常数，进一步给 出了控制器的设计方法通过数值算例表明结论的有效性和较小的保守性 ( 2 ) 通过建立适当的l y a p u n o v 泛函，引入自由矩阵和零项式的方法，给出 了一类具有范数有界不确定性离散多时滞系统的时滞相关鲁棒稳定性条件和具有 如性能指标的条件，推广了已有文献的结论 ( 3 ) 得到了一类具有范数有界不确定性和混合时滞的中立型系统存在扩展严 格正实态反馈控制器的条件，使得对所有不确定性，闭环系统是鲁棒稳定的且闭 环传递函数矩阵是扩展严格正实的，并得到了控制器的设计方法最后通过举例 说明设计方法的可行性 关键词；时滞系统不确定性鲁棒f k 控制中立系统正实控制线性矩 阵不等式( l m i ) r o b u s th c o n t r o la n dp o s i t i v er e a lc o n t r o lf o r t i m ed e l a ys y s t e m s z u o n i n g a b s t r a c t ：i np r o c e s so fa c t u a li n d u s t r i e s ，t i m ed e l a y sa n du n c e r t a i n t i e sa l w a y se x i s t w h i c hm a k et h ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i so fs y s t e m sm o r ed i m c u l ta n d c o m p l i c a t e d ，a n da r et h es o u r c e so fi n s t a b i l i t ya n dp o o rp e r f o r m a n c e so fs y s t e m s t h e r ea x em a n ys t a b i l i t yc r i t e r i a so ft i m ed e l a ys y s t e m s ，w h i c hc a nb eg e r n e a l l y c l a s s i f i e di n t ot w oc a t e g o r i e s ：d e l a y - i n d e p e n d e n ta n dd e l a y - d e p e n d e n to n e s s i n c e d e l a y - d e p e n d e n tc r i t e r i am a k eu s eo fe x a c ti n f o r m a t i o no fd e l a y s ，t h e ya x el e s sc o n - s e r v a t i v et h a nd e l a y - i n d e p e n d e n to n e s s os t u d i e so ft h ed e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t y c r e t e r i aa r en e c e s s a r y h o op e r f o r m a n c ei sa np i v o t a li n d e xo fm a n yp e r f o r m a n c e so fs y s t e m s ，t h u s t h ea n a l y s i so fh p e r f o r m a n c ea n dh c o n t r o lf o rs y s t e m sa r ei m p o r t a n tp a r t so f s y s t e mc o n t r 0 1 r e c e n t l y , m u c ha t t e n t i o ni sp a i do nt h es t u d i e so fd e l a y - d e p e n d e n t s t a b i h t yc o n d i t i o n sa n da p p l i c a t i o n si nt h e 比p r o b l e m a n dt h en o t i o no fp o s i - t i v er e a l n e s si saf u n d a m e n t a lp r o p e r t yo ft h e o r yo fc i r c u i t sa n ds y s t e m s ，w h i c hi s w i d e l ya p p l i e di nt h ea r e a so fr o b u s t n e s so fs y s t e m s ，d i s s i p a t i v e n e s sa n dn o n l i n e a r c o n t r 0 1 t h e r ea r ec l o s ec o n n e c t i o n sb e t w e e np o s i t i v e - r e a lc o n t r o la n dh o oc o n t r 0 1 t h ep r o b l e mo fp o s i t i v e - r e a lc o n t r o ls o m e t i m e sc a nb ec h a n g e di n t o 乩c o n t r 0 1 b e c a u s eo ft h ee x i s t e n c eo ft i m ed e l a y sa n dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s ，t h ea n a l y s i s a n ds y n t h e s i so fr o b u s tp o s i t i v er e a l n e s so fs y s t e m sw i t hd e l a y sa n du n c e r t a i n t i e s a r eo fp r a c t i c a li m p o r t a n c e b yu s i n gt h et o o lo fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，t h i sp a p e rc o n s i d e r sr o b u s t h s t a b i l i t ya n dh c o n t r o lf o rs e v e r a lk i n d so fu n c e r t a i ns y s t e m sw i t ht i m ed e l a y s t h em a i nc o n c l u s i o n si nt h i sp a p e ra r e ， ( 1 ) b yu s i n gt h et o o lo fl m i ，t h es u f f i c i e n td e l a y - d e p e n d e n tc o n d i t i o no fr o b u s t s t a b i l i t yf o r t h i ss y s t e mi so b t a i n e d ；b a s e do nt h ec o n d i t i o no fr o b u s ts t a b i l i t y , t h ed e l a y d e p e n d e n tc o n d i t i o no ft h es y s t e mw i t hh p e r f o r m a n c ei n d e x ( b o u n d e d r e a ll e m m a ) i sp r e s e n t e d ，c o n s e q u e n t l y , t h ec o n d i t i o no fe x i s t e n c eo fr o b u s t 如 c o n t r o l l e rs u c ht h a tt h er e s u l t i n gc l o s e d - l o o ps y s t e m si sr o b u s ts t a b l ea n dh n o r l t l o fi t i ss m i l e rt h a nag i v e ns c a l a ri sd i s c u s s e d f u r t h e r m o r e ，t h ed e s i g no ft h e i l l c o n t r o l l e ri s 舀n v e n f i n a l l y , s e v e r a le x a m p l e si l l u s t r a t et h a tt h e s ec o n c l u s i o n sa r e e f f e c t i v ea n d1 e s sc o n s e r v a t i v e ( 2 ) b yi n t r o d u c i n ga p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n ，f r e em a t r i c e sa n dz e r o - e q u a l i t i e s ，t h ed e l a y - d e p e n d e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o no fr o b u s ts t a b i l i t ya n db o u n e d r e a ll e m m af o rac l a s so fd i s c r e t es y s t e m sw i t hn o r m - b o u n d e du n c e r t a i n t i e sa n d m u l t i p l et i m ed e l a y si sg i v e n t h ec o n c l u s i o n so fs o m ee x i s t e dl i t e r a t u r e sa r eg e n e r - a l i z e d ( 3 ) t h ec o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fm e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri s g o t t e n ，i no r d e rt og u a r a n t e et h es t a b i h t ya n de x t e n d e ds t r i c tp o s i t i v er e a l n e s so f t h ec l o s e d - l o o ps y s t e mf o ra l la d m i s s i b l ep a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s t h em e t h o do f t h ed e s i g no fs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e r i v e d a ne x a m p l er e s u l ts h o w st h a tt h e f e a s i b i l i t yo ft h em e h t o d o ft h ed e s i g n k e y w o r d s ：t i m ed e l a ys y s t e m ，u n c e r t a i n t y , r o b u s t c o n t r o l ，n e u t r a ls y s - t e r n ，p o s i t i v e - r e a lc o n t r o l ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) i v r c r ，。“ z x ， a t a 一1 a r x ( ( 0 ，系统是渐近 稳定的由于这样的条件无需知道系统滞后时间的信息，因此，适于处理具有不 确定滞后时问和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析问胚 一般而言，时滞无关的稳定性条件比较保守因为，若系统满足时滞无关的 稳定性条件，则对任意大的滞后时问，系统都是稳定的显然，这样的要求比较 强，特别是对于小时滞系统但是，这种条件也有其自身的优点：首先，这种条 件在表述形式上比较简单；其次，可以允许系统的时滞是不确定的或未知的，从 而无需确切知道系统时滞的信息关于这方面的研究开始于二十世纪初。现在其 理论成果已经比较成熟 1 4 , 1 9 , 2 叫 ( 2 ) 时滞相关稳定性条件，即在该条件下，对滞后时间d 的某些值，系统是 稳定的；而对滞后时问d 的另外一些值，系统是不稳定的因此系统的稳定性依 赖于滞后的时间这种条件通常保守性比较小，但是计算比较繁琐 近年来，关于不确定时滞系统的时滞相关稳定性条件的研究以及和如控 制问题相结合取得了很丰硕的成果传统方法是利用l e b n i z - n e w t o n 公式对原系 统进行各种模型变换，然后引入l y a p u n o v 泛函和基本不等式，所获得的时滞相 关充分条件具有较大的保守性为减少保守性，1 9 9 9 年，p a r k 2 1 l 建立了一个新 的不等式( 称为p a r k 不等式) 2 0 0 1 年，m o o n 2 ：2 1 提出了一个比p a r k 不等式更一 般的不等式( 称为m o o n 不等式) ，用这些不等式替代基本不等式后，使得由模型 变化建立的时滞相关条件的保守性得到了较大的改善，但是由于模型变换后得到 的系统可能含有另外的动态，从而不一定与原系统等价，因此，这些新的条件仍 然具有保守性2 0 0 1 年，f r i d m a n l 2 3 1 提出了一种新的模型变换一一广义模型变 换方法，结合p a r k 不等式或m o o n 不等式，获得了一系列新的时滞相关条件， 但是这些条件仍然具有保守性2 0 0 3 年， g a o l 2 4 1 利用广义模型变换方法以及 m o o n 不等式、迭代算法，改进了f r i d m a n 的相应结论，虽然保守性得到了进一 5 步的改善，但是迭代算法只能得到次优条件，因此保守性依然存在 2 0 0 4 年， l e e 2 s 通过引入一个新的l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函，以及迭代算法重新讨论了 线性时滞系统何。控制问题2 0 0 4 年，w u 和h e 等例提出了一种新的方法， 即不对系统作任何模型变化并且不利用任何不等式，利用l e b n i z - n e w t o n 公式， 在l y a p u n o v 泛函中引入自由权矩阵和零项式，讨论了不确定连续时滞系统的时 滞相关稳定性条件后来他们将这种方法应用到了多种系统，得到了许多好的结 论【2 7 一冽2 0 0 6 年，w u 2 9 1 利用这种方法讨论了一类跳跃时滞系统的鲁棒上k 控 制问题另外，同时具有状态时滞和输入时滞的线性系统的时滞相关控制问题仍 然是一个没有解决的问题2 0 0 4 年，z h a n g 等在此方法的基础上基于m o o n 不等式提出了一种新的方法一一积分不等式方法，讨论了带有状态和输入时滞的 变时滞系统的时滞相关稳定性条件，在很大程度上降低了保守性后来用此积分 不等式讨论了许多类型的系统的时滞相关鲁棒稳定性分析和控制问题 3 1 - 3 2 , 删 1 4 数学基础与预备知识 近些年来，线性矩阵不等式被广泛地用来解决系统与控制中的一些问题，随 着解决线性矩阵不等式的内点法的提出、m a t l a b 软件中的线性矩阵不等式工 具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的关注和重视，应用线性 矩阵不等式来解决系统与控制问题已成为这些领的一大研究热点在这一节里给 出线性矩阵不等式的一些基础知识 定义1 4 1 【3 1 以下形式的矩阵不等式称为线性矩阵不等式( l m i ) f ( x ) = 昂+ x l 凡+ + z 。r 0 ， ( 1 4 1 ) 其中，z 。，z 。是m 个变量，称为线性矩阵不等式( 1 4 1 ) 的决策变量，z = ( z l ，z 。) r r m 是由决策变量构成的向量，称为决策向量，只= 掣 r n n ，i = 0 ，1 ，m 是一组给定的是对称矩阵，( 1 4 1 ) 式中的不等号。 ”指 的是矩阵f ( z ) 是负定的，即对所有非零的向量v r n ，v t f ( x ) v 0 ，或者f ( x ) 的最大特征值小于零若下式成立 f ( x ) = f o + z 1 r + + 晶0 ，( 1 4 2 ) 6 则称之为非严格线性矩阵不等式 在系统与控制问题中，许多问题起初看来不是一个线性矩阵不等式问题或不 具有( 1 4 1 ) 式的形式，但可以通过适当的处理将其转化为( 1 4 1 ) 的形式下面 给出了一些例子： 1 多个线性矩阵不等式 f 1 ( 。) 0 ，最( z ) 0 ，( 1 4 3 ) 称为一个线性矩阵不等式系统引进f ( z ) = d i a g 日( z ) ，f k ( z ) ) ，则( 1 4 3 ) 式 成立当且仅当f ( x ) 0 因此一个线性矩阵不等式系统也可以用一个单独的线性 矩阵不等式来表示 2 例如l y a p u n o v 矩阵不等式 f ( x ) = a t x + x a + q 0 ，( 1 4 4 ) 其中。a ，q “是给定的常数矩阵且q 是对称的，x 舯是对称的 未知矩阵变量，因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵设局，易，勖是 扩中的一组基，则对任意对称矩阵x 舻，存在动，z 2 ，：r m ，使得x = 茁1 e 1 + z 2 e 2 + + x m e 2 i f 因此 f ( j r ) = f ( 丝1 e ；) = a r ( ；m 1z 。最) + ( 兰1z 。e ) + q = q + z l ( a r e l + e 1 a ) + + x m ( a 丁如+ e m a ) 0 ， 即( 1 4 4 ) 式写成了线性矩阵不等式的一般形式( 1 4 1 ) 3 在控制理论中，我们经常遇到二次矩阵不等式，往往可以通过下面的s c h u r 补性质转化为l m i ，这也是l m i 工具在系统与控制中得以广泛应用的主要原因 引理1 4 1 m ( s c h u r 补性质) 对给定的对称矩阵s = s 1 。1 龛 ，其中岛 是r r 维的以下三个条件是等价的 。 ( 1 ) s o ； ( 2 ) $ 1 1 0 ，岛2 一s 1 蜀2 o ； ( 3 ) 2 0 ，s l l 一2 镑踞 0 我们应用引理1 4 1 可得线性矩阵不等式f ( 垆蓦黝 。成 立当且仅当 f 月1 ( z ) 0 ， 【足2 ( z ) 一罐( z ) 昂1 f 1 2 ( x ) 0 ， 或 f 易2 ( z ) 0 ，如果系统( 2 1 1 ) 对任意满足 ( 2 12 ) 的时滞r ( t ) 和所有的不确定性( 2 1 3 ) 具有以下性质： i 1 系统是鲁棒稳定的； i i ) 从外部扰动u ( ) 到被调输出z ( t ) 的传递函数g 。( s ) 的 k 范数不超过给 定的常数1 ，即在零初始条件z ( t ) = 0 下， i i z ( t ) 1 1 2s rj l w ( t ) 1 1 2 ，( 2 1 5 ) 1 1 2 表示空间e o ，o o ) 中的标准范数，则称系统( 2 1 1 ) 具有风。性能指标7 引理2 1 1 3 0 , 3 6 1 对任意适当维数的矩阵m ，j ! l 如，x = x t 0 和数量函数 h 1 ：= h i ( ) 20 ，h 2 ：= h 2 ( t ) 0 ( h i h 2 ) ，以下积分不等式成立； t - h lr ( s ) 冽d s s r t ) 哪：m 埘- m f + 一m 2 + ( h 2 - h i 炉( t ) 别一 m 尬 她 ) = 雠x ( t 也- - h i ) 引理2 1 2 1 3 7 1 给定适当维数的矩阵d ，e ，y ，且y = y r ，则 y + d f e + e 丁f 了1 d _ r 0 ，使得 y + e d d t + e 一1 矿e 0 2 2区间时变时滞系统的时滞相关鲁棒稳定性和日0 性能分析 在这一节我们首先讨论系统( 2 1 1 ) 对应的无控制系统( “( ) 三0 ) f 圣( t ) = ( a + a a ( t ) ) x ( t ) + ( a d + a a d ) ) z 0 一下( t ) ) + 且。u o ) ， i = 锱黜 江。m | lz ( t ) = ( t ) ，v t 一见，0 】， 的鲁棒稳定性( 女) 兰0 ) 和也。性能 定理2 2 1 对于给定的常数n 和乃，如果存在正数f ，对称正定矩阵只q ，r 和s ，以及适当维数的矩阵 以， 如，m 3 ，n 1 ，n z ，啊和矸乞使得下面l m i 成立 其中 吾1 1 + e e r e 要1 2 + e 上尹e d 0 要1 47 2 孵0m 1 h 要2 2 + e 砑玩邑3 吾2 4 下2 孵岬日 三3 3 00 翟0 =44 00h 一亿冗0 0 事 宰 一s 0 幸幸车奉奉 一e ， 要l l = f + 1 + q + m i a + a r 肘f 吾1 2 = 一j v ，+ 2 + m 也+ a t m 手 言2 2 = 一手一飓+ w f + 毗+ 尬a d + a i 孵 要2 3 = 一w f + ，吾2 4 = 一m z + a j m 3 r 三= 一”7 一w z q ，暑1 4 = 一 矗+ p + a t 孵 一e , 4 4 = 一m 3 一肘 + 见r + 2 乃s 1 3 0 ，如果系统具有以下性质： i 1 系统是渐近稳定的； i i l 在零初始条件下，被调输出z ( k ) 满足 i i z ( 七) | f 。s7 i i u ( 七) 1 1 2 ， 2 表示空间q 【o ，o o ) 中的标准范数，则称系统具有风。性能7 指标 3 2系统的鲁棒稳定性分析 在这一小节我们首先分析标称系统( ) ： g x ( k + 1 ) = a z ( 七一d i ) + 风u ( 七) i - - - o i = o 在u ( e ) 三0 时的稳定性 定理3 2 1 如果存在对称正定矩阵p q ，勿，半正定矩阵 x u ) ： 髫 i x 霭 0 = 1 ，2 ，一，q ) ，( 3 2 1 ) 及矩阵( i = 0 ，1 ，口；j = 1 ，2 ，g ) 使得下面l m i 组成立 西= g p o o + ( a o 一，) t h ( a o i ) 虬= 础 x ： ： + ( a o 一，) 7 h a g 垂l 口+ a t h a g ： 垂q q + a t h a 口 0 ( 3 2 2 ) 0 ( j = 1 ，2 ，g ) ，( 3 2 3 ) a 啊山 d h 一丁l a； + 吼 o i e i ；勿 d呻u：u钾础魁；砖。 其中， 口qg h = p + 也五，= p a 一+ 堙+ u s k n y 町( k o = 1 川2 - ，g ) i = 1i = l k = 1 = 一岛一一瑶+ 也砖u = 1 川2 一，g ) ， k = l 口 = 一一瑶+ 也砖( i = 1 川2 一矧i 0 定义y 的前向差分为a v = y 扛( 七+ 1 ) ) 一y 0 ( 女) ) 对k 求前 差分 u = ，( 七4 - 1 ) p z ( k4 - 1 ) 一x t ( k ) p x ( k ) = 2 x r ( k ) p y ( k ) + y t ( 七) 勖( 七) ， q叮 = x t ( k ) q ( 七) 一x t ( k 一画) q t x ( k 一画) l = 1t = 1 rq1 qi 一1 = y t ( ) l 也五l 耵( 七) 一y t ( 0 z , y ( 0 l i = 1ji = 1 l = 七一也 那么，a v = a k4 - a + a 将( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) 式分别对j 求和代入y 并进行变量替换得 q a v = t ( ) 蜓( ) 一 七一1 ( r ( ，2 ) ( ( ，f ) j = 1 仁女一由 其中，c ( k ，z ) = f r ( 七) y r ( 1 ) ， 由定理中( 3 2 ，2 ) ，( 3 2 3 ) 式得v 0 ，则系统( 1 ) 渐近稳定定理得证 对于系统( ) ，利用引理2 1 2 和定理3 1 ，1 可得下面不确定系统( ) 在u ( ) ； 0 时是鲁棒稳定的充分条件 定理3 2 2 对所有容许的不确定性( 3 1 1 ) ，如果存在正数a ，对称正定矩阵 p ，q ，乃，形如( 3 2 1 ) 式的半正定矩阵x o ) 及矩阵，( i = 0 ，1 ，q ；j = 1 ，2 ，g ) 使得( 3 2 3 ) 式和下面l m i 成立 中= 瓦虱1 面呻p m + ( a o 一，) 丁h m 五l 面1 口 a 丁h m 幸 中口口 车率 女 其中， 圩定义于( 3 2 2 ) 式且 a t h m a ，+ m r h m 面0 0 = 中+ ( a o 一，) t h ( a o j ) 4 - a 日e o 0 ， ( 3 2 8 ) 面o j = 垂町+ ( a o j ) r h a j + a 瑶弓( j = 1 ，2 ，q ) 毛= 垂玎+ 卵日 + 霹e j ( 1 i j 口) ， 那么系统( ) 在u ( 七) 三0 时是鲁棒稳定的 证明对于定理3 2 1 中的m ，将其中的j 4 用a + m r ( k ) b ( i = 0 ，1 ，q ) 替换，并利用引理1 4 1 得到不确定系统( e ) 在u ( 七) = 0 时是鲁棒稳定的的充分条 件是( 3 2 2 ) 式和 垂l + r r f ( k ) r 2 + r 手f t ( k ) r 1 0 ，使得 圣1 + a 一1 r r r l + x r ；r 2 0 ，如果存在对称正定矩阵p ，q ，历，半正定 矩阵 x ( j ) ： x g x ： 奉 r 0 = 1 ，2 ，口) ，( 3 3 1 ) 臻；融为 及矩阵场，嵋( i = 0 ，1 ，q ；j = 1 ，2 ，g ) 使得下面l m i 组成立 i i j = l = 0 0 = 0 1 。 o q= o q + l ：1 1 。一：1 口：1 ，q + l ；! 。 ； 。二钾l = “q + l = 叶1 ，升1 瑞础x 留础+ ， x g x 9x 臻+ l m j ； ； + + 、碟x 黔。 础1 肿1 历 其中，日定义于( 3 2 2 ) 式且 0 ，( 3 3 2 ) 0 ( j = 1 ，2 ，g ) ，( 3 3 3 ) 三= 西+ c 手c o + ( a o j ) r h ( a o 一，) 三嘶= 垂町+ c 手c ：+ ( a o j ) r 日如o = 1 ，2 ，- - ，口) ， 勖= 圣玎+ c ，c ；+ a 日a ( 1 i j 口) ， 圣。，叶1 = p b o + ( a o 1 ) r n b 。+ c 吾od 。+ w + u d i n r 。( k ，叶) 】， 画，q + 1 = 一仰+ c ，仉+ a t h b , o + d 。x ，( ，k ，) + 10 = 1 ，2 ，g ) ， 圣q + l ，州= 一7 2 ，+ 珑t 仇+ 霹舳乙+ u d k n w q ( 扎k ) 口+ 1 那么系统( 1 ) 具有日o 。性能指标7 证明对任意适当维数的矩阵o = 1 ，2 ，g ) ，有 扎t(k)wj卜c砷一兰，可cz，一x(kdj)i=k-d = 。， c s s a ，扎t ) 一可( f ) 一一l = o ， ( 3 删 l，l a v + z t ( 七) z ( 七) 一1 2 u 丁( 七) u ( 七) = y t ( 女) 画叩( 七) 一7 ( k ，l ) r l j p ( k ，f ) j = ll = k 一由 其中，町( 七) = 【 丁( 七) u t ( 七) t ，p ( 七，f ) = 矿( 七) y r ( o r 由( 3 3 2 ) ，( 3 3 3 ) 式得y + z r ( k ) z ( k ) 一7 2 w r ( ) “，( 七) 0 和所有容许的不确定性( 3 1 1 ) ，如果存在正数 a ，对称正定矩阵p 岛，勿，形如( 3 3 1 ) 式的半正定矩阵x o ) 及矩阵，w 0 ( i = o ，1 ，一，口；j = l ，2 ，q ) 使得( 3 3 3 ) 式和l m i 成立 = 0 q + l 二1 ，口十1 = q ，q + l 。- q + 1 q + l 尸m + ( 一，) r h m a t h m a t q h m 毋h m 一) 、l + m t h m 其中， 要u = 三巧+ a 可易( i = 0 ，1 ，g ；i j q ) 三，g + l = 三，什1 + a 印既( i = 0 ，1 ，g ) ， ；l 口+ 1 = 三q + l 州+ a 霹日， 那么系统( ) 具有鲁棒月0 性能指标7 证明证明过程类似于定理3 2 2 故在此省略 0 ，d 0 其中。x ( t ) ，u ( t ) r m ，“，( f ) r p ，。( t ) r q 分别是系统的状态、控制输入、 外界干扰、被调输出；妒( ) 是系统的初始函数向量；a ，a h ，a d ，b ，e ，c ，d 是已 知的适当维数的实常数矩阵；a a ，a a h ，a 也，a b 为容许的适当维数的时不变不 确定矩阵，即 a a a ha a d 口】= 日f 【mm d 】，f t f i ( 4 1 2 ) 定义4 1 1 【4 1 如果系统的传递函数矩阵g ( s