（应用数学专业论文）积分方程及积分微分方程的一种近似解法.pdf

积分方程及积分一微分方程的一种近似解法 摘要 本硕士论文主要讨论了几类积分方程及积分一微分方程的近似解问 题对于这几类方程，本文提出了一种简单的并且很有效的近似方法， 把求解积分微分方程转化求解线性的方程组，并给出了其中一类方程近 似解法的误差估计，通过普通的计算机运算我们就能获得丰富的数值结 果，通过相当例子的检验，说明这种方法的精确度比较高 全文由五部分组成： 第一章主要介绍了问题研究的历史背景和该领域的研究现状 第二章介绍了一类二维f r e d h o l m 积分方程的近似解法，并给出了该 种解法的误差估计 第三章分别介绍了一类f r e d h o l m 积分微分方程和一类v o l t e r r a 积分微 分方程的近似解法，并分别给出了例子进行检验 第四章介绍了一类非线性积分方程的近似解法 第五章总结了前面讨论的方法，指出了该方法具有简单，有效，高精 度等特点，期望其能得到进一步的理论完善和更多的运用前景 关键词：二维积分方程，积分微分方程，非线性积分方程，近似解 法，误差分析 翌坌查堡墨堡坌：丝坌查堡塑= 登望型壁望 a b s t r a c t i nt h i ss t u d y , w em a i n l yd i s c u s s e ds e v e r a lk i n d so fi n t e g r a l e q u a t i o n sa n d i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h i sp a p e rp r o p o s e sas i m p l ea n de f f e c t i v ea p p r o x i m a r i o nm e t h o df o rt h o s ee q u a t i o n s ，m o r e o v e r ，a ni n t e g r o - d i f f e r e n t i a ie q u a t i o nc a n b ec o n v e r t e da p p r o x i m a t e l yt oas y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n sf o rt h eu n k n o w nf u n c t i o n ，8 0i tc a nb eo b t a i n e da b u n d a n c eo fn u m e r i c a lr e s u l t sb yu s i n gc o m m o nc o m p u t e r 。 a n dw eh a v eg i v e nt h ee r r o ra n a l y s i so ft h ea p p r o x i m a t i o n0 fo n ek i n do fe q u a t i o n s s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ea c c u r a c yo ft h i sm e t h o d t h e r ea r ef i v e c h a p t e r si nt h i sp a p e r i nc h a p t e r1o f t h i sp a p e rw ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do f t h ep r o b l e m - r e s e a r c h i n g a n dt h er e c e n td e v e l o p m e n to ft h er e s e a r c hi nt h i sf i e l d t h ea i mo fc h a p t e r2i st oi n t r o d u c ea na p p r o x i m a t es o l u t i o no fac l a s so ft w o - d i m e n s i o n a ll h e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n s ，a n da ne r r o ra n a l y s i so ft h ea p p r o x i m a t i o n o fe q u a t i o ni sg i v e n i nc h a p t e r3o ft h i sp a p e r 耽i n t r o d u c ea na p p r o x i m a t es o l u t i o no fad a s so f f r e d h o l mi n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dv o l t e r r ai n t e g r o - d i t t e r e n t i a le q u a t i o n s s e p a r a t e l y , s e v e r a le x a m p l e sa r eg i v e nt ot e s tt h ea c c u r a c yo ft h i sm e t h o d i nc h a p t e r4o ft h i sp a p e rw ei n t r o d u c ea l la p p r o x i m a t es o l u t i o no fad 鼬o f n o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s i nt h ef i f t hc h a p t e r ，t h ea b o v es t u d i e dp r o b l e m sa r ec o n c l u d e d i l l u s t r a t i v e e x a m p l e sd e m o n s t r a t e t h a tt h ep r e s e n tm e t h o di ss i m p l e ，h i g ha c c u r a c ya n de i t i c e n t a l o n gt h i si d e ao ft h o u g h t ，m o r ep r o b l e mo fa p p r o x i m a t es o l u t i o na n dt h et h e o r y o ft h em e t h o dc a nb ep e r f e c t k e y w o r d s ：t w o - d i m e n s i o n a li n t e g r a le q u a t i o n s ，i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， n o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，a na p p r o x i m a t es o l u t i o n ，e r r o ra n a l y s i s i l l 积分方程及积分一微分方程的一种近似解法 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注弓1 用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：、蜿，晰，月绣日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权属湖南师范大学，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容 编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名 导师签名 董勇 名站 一4 7 日期：弘弦月谚日 日期：刎年r 月加 积分方程及积分一微分方程的一种近似解法 第一章历史背景与研究现状 积分方程及积分微分方程的研究是近代数学的一个重要分支，它与 微分方程，泛函分析、计算数学，位势理论以及随机分析有着密切的联 系，另外它又是数学与力学，数学物理以及工程等领域相联系的一个重 要工具 微分方程是从n e w t o n 第二定律开始而得到迅速发展的，与此相比， 积分方程作为数学学科的一个分支，发展稍迟些，在十九世纪三十、四 十年代才零星的露面，有时只是作为微分方程问题的另一种阐述方式 由于1 9 世纪科学技术的发展，从实际问题中提出了很多和积分方程有关 的问题，如数学物理中关于积分 g ( s ) = e 埘f ( t ) d t( 1 0 1 ) j 一 的反演问题也许是和积分方程联系最早的问题之一，后来f o u r i e r 解决了 上面的问题，指出，( t ) = 去j ：芸e 岫g ( s ) d s 是上述方程的解 以后a b e l 在研究质点力学问题时，导出了次之情形的积分方程( 后人 称之为a b e l 方程) z 9 羞) d ，7 = 何 ( 1 毗) 其中妒( q ) 是未知函数，( y ) 是已知函数，g 是重力加速度 早期人们只是对一些特殊的积分方程的具体问题进行研究，1 8 9 6 年 v o l t e r r a 的工作是线性积分方程的重要转折点，在这一工作中，他研究了 下面的方程( 后人称之为v o l t e r r a 型积分方程) f t z ( t ) 一afk ( t ，s ) z ( s ) d s = ，( t ) ， ( 1 0 3 ) 其中。( t ) 为未知函数，k ( t ，s ) ，( t ) 为已知函数，a 为一数值参数，而k ( t ，s ) 又称为方程的核，( t ) 为方程的自由项他证明了，如果k ( t ，8 ) 在正方 1 一 硕士学位论文 形区域n 8 ，t b 上连续，( t ) 在区间【o ，6 】上连续，对于任意的a 方程 有且仅有一个连续解后来，f r e d h o l m 研究了下面的积分方程( 后人称之 为f r e d h o l m 型积分方程1 一 z ( t ) 一a k ( t ，s ) x ( s ) d s = ，( t ) ，( 1 0 4 ) j 8 该方程即把v o l t e r r a 型积分方程中的积分上限以定数b 代替f r e d h o l m 在 假定区间【a ，6 】有限，以及自由项连续的条件下，建立了关于f r e d h o l m 积 分方程型积分方程理论的一般理论 1 9 0 4 年d h i l b e r t 发现了常微分方程两点边值问题与某个积分方程的 等价性，是h i l b e r t 最有价值的成就之一，后来人们发现n 阶常微分方程 边值问题、偏微分方程的问题的研究都可以转化为对某个积分方程的研 究 随着泛函分析理论的发展和完善，人们对于积分方程的研究置于抽 象空间的框架下，使积分方程的理论更加完善，用途更加广泛，为积分 方程的研究奠定了坚实的基础，而对积分方程的研究又促进了泛函理论 的发展 在积分方程发展的古典时期，由于物理学、力学、几何学等需要，数 学家们曾把主要精力集中于积分方程的求解上，并且获得了一系列重大 的发展，但后来发现绝大多数的方程都求不出通解的，或是通解不能用 初等函数来表示 一方面，在物理学和力学上所提出的微分方程和积分方程阉题，又大 多要求某种附加条件的特解，即所谓定解问题的解，这样就使人们改变 了原来的想法，不去求通解，而从事定解问题的研究 p i c a r d 用逐次逼近法证明了在l i p s c h i t z 条件下解的存在唯性定理， p e a n o 在不满足l i p s c h i t z 条件下证明了微分方程解的存在性定理p o i n c a r e h 在1 8 8 1 1 8 9 6 年先后发表了关于微分方程所定义的积分曲线的四篇论 2 积分方程及积分一微分方程的一种近似解法 文，奠定了微分方程定性理论的基础俄国数学家l y a p u n o v 的博士论文 运动稳定性的一般问题奠定了今天常微分方程稳定性理论的基础 在我国以老一辈著名数学家秦元勋、叶彦谦为代表的大批中国数学家， 在微分方程的定性理论研究方面做了大量出色的工作 对在中子迁移理论中出现的非线性积分微分方程的研究可以认为是 对积分微分方程的基本理论进行研究的开端考虑位于两平面z = 一a ，。= 口之间的无限长板式核反应堆，中子迁移理论中出现了下列非线性积分 微分方程 p 象一詈岍，) d u a = a f ( ；出删“1 ) ， 其中f ( z ) = e 取【( 1 一。) 。- l + k z ，镪o ，eck=1n n ，n 取= c ，e 1 ，c 2 ，c 至 k = 2 k = 0k = 0 少有一个不为零，边界条件t ( 吼p ) = 0 ，当p 0 时，u ( a ，一p ) = 0 ，当p 0 时 a p a z y 和p h r a b i n o w i t z ，郭大钧等分别对上述问题进行了研究，林 群等研究了上述问题的线性情形【1 】1 2 这些工作可认为是对积分微分方 程基本理论研究的开端 1 9 8 4 年，张石生在文献 3 】和 4 】研究了一类出现在化学反应动力学 和生物衍生理论中的随机非线性积分微分方程，并利用压缩影射原理证 明了该方程解的存在性和唯性1 9 8 9 年和1 9 9 1 年郭大钧，孙经先教授 在b a n a c h 空间的框架下研究了一类二阶积分微分方程的边值问题和一类 一阶积分微分方程的初值问题，并分别证明了在一定条件下上述问题正 解、解的存在性以及多解的存在性【5 1 一【7 刘立山在文 8 】中对b a n a c h 空 间混合型积分( 微分) 方程的初值问题的最大解、最小解，解的唯一性以 及解的迭代逼近进行了研究陈芳启在文 9 】中讨论了一类脉冲微分方程 的初值问题的解耦合最大解最小解的存在性定理以及单调迭代方法 申建华在文献【10 】中运用l i a p u n o v 方法对于在可变时间具有脉冲扰动的 一3 ， 硕士学位论文 v o l t e r r a 型积分微分方程建立了几个稳定性结果除了上面提到的这些工 作以外，还有很多学者做了关于积分微分方程的定性和稳定性理论的研 究，这些工作在很大程度上促进了对积分微分方程基本理论的研究， 另一方面，随着自然科学的发展，特别是有很多物理问题例如位势理 论，平衡理论，热传导理论都能够转化成求解积分方程或积分一微分方 程，这类方程在力学、数学物理和技术中所起的作用越来越大一方面 在实际应用中，近似解和数值解显得比解析解有时更重要，另一方面， 对于很多积分方程或积分一微分方程，我们只能在极少的情形下才能求 得解析解这样就显出研究积分方程或积分微分方程的近似解或数值 解的必要性同时，关于积分方程的数值解和近似解的研究也必然会促 进与该学科密切相关的其他学科如算子理论，函数逼近论、计算理论 f o u r i e r 分析等的发展近年来，关于求解积分方程的数值方法或近似方 法有了很大的发展，各种方法层出不穷，精度越来越高，操作也越来越 简单 对于解一维f r e d h o l m 积分方程或v o l t e r r a 积分方程，国类外众多学者 对不同类型的积分方程用了不同的方法来处理s o l a n 首先采用迭代的方 法解得了非光滑的第二类f r e d h o l m 积分方程的数值解【1 1 】，随后林群，石 军等对非光滑的第二类f r e d h o l m 积分方程的配置解进行了迭代校正【1 2 1 利用b a n a c h 压缩映射原理赵华敏、谢远涵等导出了线性n e d h o l m 积分方 程的近似解【1 3 】杨风翔、夏爱生等用有限元迭代校正算法得到了第二类 f r e d h o l m 积分方程的近似解【1 4 1 ，对m 次有限元经过一次迭代校正就能使 精度从m + 1 阶提高到3 m + 3 阶采用小波矩阵变换法霍春雷等给出了 第二类f r e d h o l m 积分方程的快速算法 1 5 】，并且提高了计算速度采用优 化正则化策略李公胜、张瑞等获得了较好的第一类f r e d h o l m 积分方程的 数值解1 1 6 】，选取适当的参数能够获得最优的渐近收敛率 而对于v o l t e r r a 积分方程，b r u n n e r 给出了v o l t e r r a 积分方程的迭代配 4 积分方程及积分一微分方程的一种近似解法 置法1 17 】m g i s h a i d u r o v 采用n y s t r o m 方法得到了v o l t e r r a 积分方程 的近似解【1 8 】韩国强等采用渐近展开和迭代配置获得了第二类v o l t e r r a 积分方程的渐进展开解 1 9 】丁皓江、王惠明等采用递推的方法求得了压 电弹性力学中的第二类v o l t e r r a 积分方程的数值解【2 0 ，并且对较大步长 仍有足够的精度依靠逐段积分逼近、g a u s s 型求积公式和最小二乘拟合 外推方法刘英等求得了第二类弱奇异v o l t e r r a 积分方程的近似解 2 1 1 胡 齐芽等利用高阶插值方法得到了某些奇异v o l t e r r a 积分方程的配置解【2 2 】 在近似方法当中，t a y l o r 展开解法求解积分方程和积分一微分方程的 近似解是一种强有力的工具，如所周知的它可以用来获得微分方程的近 似解在积分方程的处理中，k a n w a l 和b i u 2 3 】首先利用t a y l o r 展开式求 解了一类积分方程，然后s e z e r ，n a s 等进一步应用于求解v o l t e r r a 积分方 程【2 4 l 和积分微分方程【2 5 】这些文章一般均是对核函数采用t a y l o r 展 开，与上述方法不同，r e n 等1 2 6 】利用t a y l o r 展开式在区间某个固定点展 开所求的未知函数，利用改进方法处理一类f r e d h o l m 积分方程y a l c i n b a s 等通过类似的方法求解了高阶的线性积分方程和一类非线性的积分方程 1 2 7 ，2 8 ，m a l e k n e j a d ，a g h a z a d e h 和r a b b a n i 则利用这种方法获得了第二类 n e d h o l m 积分方程近似解【2 9 】李显方等利用函数t a y l o r 展开式来替代 被积函数里面的某个表达式，再反复的通过积分( 微分) 的方法将求解二 阶变系数微分方程方程 3 0 】和f r e d h o l m - v o l t e r r a 积分方程i 3 1 】转化为求解 线性的包含未知函数的方程组，通过求解这个方程组从而可以得到其未 知函数的近似解，这种方法简单、有效和稳定，并且随着展开式阶数的 提高，相应的误差会变小，雨对于未知函数是多项式时，用此种方法得 到的近似解就是精确解，且对一些特殊的方程我们可以在更宽松的条件 下求解，从而大大的减少了运算量 本文考虑了下面三类方程； 一5 硕士学位论文 ( 1 ) 二维f r e d h o l m 积分方程 吣，沪a z 6 2 8 k ( x , y , s , t ) m ( s , t ) d t 如= m ，n 口z 6 坯 d | ( 1 0 5 ) ( 2 ) l 阡e d h o l m 和v o l t e r r a 积分微分方程 砉只( 咖( i ) ( z ) = m ) + a 。rk 。( 甄t ) y ( t ) d t + 九f 鲍( 为t ) y ( t ) d t ，( 1 0 6 ) 只( 。) 规z ) = m ) + a l - ( 甄 + 九鲍( z ， ，( 1 0 6 ) 扛o o 口 。n 初值条件为 ( ) ( c ) = 鼽，o c b ，i = 0 ，1 ，2 ，n 一1 ( 3 ) 非线性积分方程 ，o，z v ( z ) 一a l k f f x ，t ) b ( t ) 】p d t a 2 j 已( z ，) 曲o ) j 9 d t = ，( z ) ， ( 1 0 7 ) jdjd n 0 岬z ， m n ，为l a g r a n g e 余项或截断误差 在( 2 2 1 ) ，我们已经简写岛。( 置y ) 为。一般而言，当m 较大时， 截断误差可以充分的小尤其是当未知函数在k6 】【c ，d 是无穷次可微 时，其对应的截断误差随着m 的增大而趋近于零这使得我们在下面的 处理中忽略截断误差并且，我们取m = n 注意到k o o = 皿( 。，) ，因此只 需求出t a y l o r 表达式的首项即可为了得到积分方程的近似解，下面我 们分别介绍两种方法 2 2 1 微分法 现将表达式( 2 2 ，1 ) 代入方程( 2 1 1 ) 的皿( s ，t ) ，并略去其截断误差，这样 产生了一个关于未知函数k o o ，k o l ，h o ，k 0 2 ，k l l k 2 0 ，k t o v - 1 ) ，蜘。的 一8 积分方程及积分一徽分方程的一种近似解法 线性方程 nn - n 曲一 田( 舢) 一a k ( 刚 s t ) ( 8 一z ) “( t 一尸d t d s = m ，y ) ，( 2 2 2 ) n = o m - - - - o o口oo 或者改写成 n 一” 0 0 0 ，。= f ( z ，) ， ( 2 2 3 ) 其中 ( 。，秽) = 一矗z 6 2 4 k ( 。，y ，s ，t ) ( s z r ( t y ) ”出d s ，n + m o ，m 五 此时将表达式( 2 2 1 ) 代入方程( 2 2 4 ) 中皿( s ，t ) 和这样我们就得到第 二个线性方程 o ，咖= ，( 1 埘( 训) ， ( 2 2 5 ) n = o m = o 其中 。， = 以。一嘉z 6 厂舻，o b m 引) ( s 一矿( t 刊”捌s ，n + 仇 类似的，我们反复的对方程( 2 1 1 ) 两边关于变量霉和爹求导，现在我 们假设对。求导了p 次而对y 求导了q 次0 + g ) ，然后将表达式( 2 2 i ) 代入。我们得到 9 ， 硕士学位论文 其中 _ 一n 。= ，( 。， t i 二0 m = 0 ( 2 2 6 ) 锄( 圳= 一嘉六f 。a k ( p q ) ( x , y , s , t ) ( s 叫即刊”妣， n + m p + q n 这样，由( 2 2 3 ) 式和( 2 2 6 ) 式可以看出，我们得到了一个含有( + 1 ) ( + 2 ) 2 变量的线性方程组 其中 a = o o o o o o o l o o a l o o o o 的0 0 l o o l o i 6 1 0 0 1 a ( 。，y ) y ( z ，y ) = f ( z ，y ) a o o t o o o l l o a l o l o a 0 0 0 n a 0 0 n a 1 0 1 ) n 0 4 ) n o n a o o n o g 0 1 n o a 1 0 n 0 ，a o n n o a l ( n t ) o og l ( n - i ) 0 1a 1 ( n - 1 ) 1 0 n l f n 一1 ) 0 n a l ( n t ) n o 啦( 一2 ) 0 0a 2 ( n 一2 ) 0 10 2 ( ，一2 ) 1 0r 0 2 ( 一2 ) 0 n a 2 ( n 一2 ) n o ： a n 0 0 0a n o d la n o l o y = f = 一1 0 一 a n o o n ，( o ，o ) ，( o ，1 ) ，( 1 ，o ) ，( t o ) a n o n o ( 2 2 7 ) 伽协枷：m：胂 积分方程及积分- 微分方程的一种近似解法 利用c r a m e r 法则，我们很容易求得，即皿( 墨，) ，则有下面的定理： 定理2 1 设方阵a ，y ) 对于任意的( z ，s ，) a ，6 】【c ，d 】是可逆矩阵， 则方程( 2 1 1 ) 的一个n 阶近似解( 记为霍( z ，) ) 可由下式给出 帅埘= 瓣器， ( 2 z _ 8 ) 这里，矩阵fc x ，彩表示将矩阵a ( z ，) 中的第一列用向量f 替换得 到 2 2 2 积分法 类似的，将表达式( 2 2 1 ) 代入方程( 2 1 1 ) 的皿( 8 ，t ) ，并略去其截断 误差，这样产生了一个关于未知函数，1 ，l o ，k 0 2 ，1 1 i k 2 0 ，k o ，k i n - i ) ， ，k z c o 的线性方程 k = m ，) ， ( 2 2 9 ) n = o m = o 其中 6 0 0 。( z ，可) = 一a z 6 f a k ( x ，y , s , t ) 。一z ) “。一) ”d s 出，扎+ m 接着我们对方程( 2 1 1 ) 两边同时关于变量z 从口到z 积分后可得到 z 。皿( “，) d 一a z 。h i ? ( u , y , 8 , t ) 皿( s ，t ) d s d t d “= z 2 ，( ”，”) c 轧，( z z - 。) 此时将表达式( 2 2 i ) 代入方程( 2 2 1 0 ) 中皿( $ ，t ) 和皿( ，9 ) ，这样我们就得 到第二个线性方程 k 6 - 一= 维留， ( 2 2 1 1 ) 其中 h 晰( 删) = r ( 一“砒一az 6z 4 ( s 一矿( t 一矿砖苗( 训，叫) d s 砒n + m s 硕士学位论文 l 4 ( x - u ) n 一1 ( t ，s ，t ) d u ， o 佗，m ：o ， 嘲 归 饥叫州脚m 。，懒， n _ o o 。，n + 仇 ，。( 为鲈) = 6 帆z ”( ”一) 4 如一az 6z 4 ( s z r 。一f ) 8 k 。( 。z , 。u ) t 、，t ) d s 疵，n + m l ，p z ，( 4 2 2 ) 若p = 1 时，我们利用函数的t a y l o r 展开式，将方程( 4 2 2 ) 中的未知函数 ( ) 展开成如下的形式 f ( t ) = ( + 矿( z ) ( t z ) + + ”( ( z ) 壁 磊坚+ e ， ( 4 2 3 ) 若p 1 时，令函数y ( t ) = 护( t ) ，将方程( 4 2 2 ) 中的未知函数y p ( t ) 展开成 如下的形式 y ( t ) = y 扛) + y 7 ( z ) 。一z ) + 一+ y 扣( z ) 壁云群+ e ， ( 4 2 4 ) 其中e 为l a g r a n g e 余项或截断误差，显然，当y ( t ) 是多项式时，且阶数 小于时，截断误差为零将表达式( 4 2 4 ) 代入方程( 4 2 2 ) 的矿( ) ，并 略去其截断误差，这样产生了一个关于m ( m = p n + n + 2 ) 个未知函数 ( z ) ，( 1 ( 石) ，暑，( ( 。) ，y ( z ) ，y ( 1 ( z ) ，y ( p ( ) 的线性方程 y “+ y a o ( 州+ ) = m ) ， ( 4 2 5 ) 其中 f ， 竹：0 ，1 ， 州功。i 一南z 6 脚m 叫”肌1 氓礼= + 1 + 2 一肛l 接着我们在方程两边同时对。从a 到。积分，原方程变为 f a = y ( d t - a l f a 。z 6 脚邪m 砒= 小懒 ( 4 z 6 ) 此时将表达式( 4 2 3 ) 及( 4 2 4 ) 分别代入方程( 4 2 6 ) 中( t ) 和( f ( ) ) ，这样 我们就得到第二个线性方程 口n 。1 。+ y o l ( 。+ 1 + ) = f ( u ) d u ， ( 4 2 7 ) 积分方程及积分一微分方程的一种近似解法 。，。r，=-it(zn-。(。i一-z)x“)d12fa，。z，。，。一。，。一一。，：三：，j7二。，一， y “+ l ，”o m ( l + ) = ，”( 霉) ， ( 4 2 8 ) 一 警茹吼p 一，篡盎一肛。， 在上述表达式中，尸( 。) 定义与研( 而0 定义类似在推导上述式子 时。我们利用了下面的公式 如出= 南r ( 一) , - l y 托 ( 4 。9 ) a cz，=(誊。z，黧，。王，；薹置，。，)，电肼一，) 。( z ) n ( m 一，) ，( 王) 。( | l f 一，) ( m 一，) ( z ) 硕士学位论文 x ( z ) = y ( z ) 暑，( o ) 暑，( ( z ) y ( z ) y 7 ( z ) y ) ( z ) f ( z ) = f ( z ) ，1 ( z ) ，( z ) ，+ 1 ( z ) ，+ 2 ( 。) ，( m - 1 ) ( ) 利用c r a m e r 法则，我们很容易求得( z ) ，即有下面的定理： 定理4 1 设方阵a ( z ) 对于任意的z 陋，6 1 是可逆矩阵，则方程( 4 2 2 ) 的一个阶近似解( 记为y n ( z ) ) 可由下式给出 y n ( 垆黜， ( 4 2 i t ) 这里，矩阵n ( z ) 表示将矩阵a ( z ) 中的第一列用向量f ( z ) 替换得到 4 2 2 非线性v o l t e r r a 积分方程 接着我们考虑下列形式的非线性v o l t e r r a 积分方程 ”( z ) 一a 2 k j ( 嚣，t ) b ( t ) 】q d t = ，( z ) ，z 口，q 1 ，p z ， ( 4 2 1 2 ) j 口 将表达式( 4 2 4 ) 代入方程( 4 2 1 2 ) 的陆( ) 】p ，并略去其截断误差，这样 产生了一个关于未知函数( z ) ，( z ) ，( ( z ) ，y ( 。) ，y ( 1 ( z ) ，y ( p ( z ) 的线性方程 “6 0 t i + y “6 0 似+ l + ) = ， ) ， ( 4 2 1 3 ) 其中 f ( z ) = i n = 0 ，1 ， 、，o 一巧南上恐( z ，。) o 一) 伽一。1 出，n = + 1 ，+ 2 ，m 一1 3 4 积分方程及积分一微分方程的一种近似懈法 程( 4 2 1 2 ) 两边z 积分了m 次，将表达式( 4 2 3 ) 及( 4 2 4 ) 代入方程( 4 2 ，1 2 ) ， y ”+ y “b m ( n + l + n ) = 尸 1 ( ， ( 4 2 1 4 ) 酬= 燮茹m ”妒出，：黧盘删一。 在上述式子中，我们使用了下列记号 ，zr z k ，亡) ；k z ( u ，t ) 一“一1 d u ，“( 。) = 烈口) ( 。一t 矿6 1 d u ，= l ，2 ， j tj o 这样，由( 4 2 ，1 3 ) 式和( 4 2 1 4 ) 式可以看出，我们得到了一个含有m ( m = p n + n + 2 ) 个变量的线性方程组： b 扛) x ) = f 0 ) ，( 4 2 ，1 5 ) 其中 x ( 霉) = y 蝌( z ) 6 0 ( 盯一1 ) ( z ) b 1 ( m n ( z ) ， ； 6 ( 盯一d ( m 1 ) ( z ) ，f ( o ) = 3 5 一 ，( z ) ，1 ( 互) ： ，( z ) ，+ 1 ( z ) ，+ 2 ( z ) ，m - i ) ( z ) 0 、 o 茁 i - 0 0 k 1 1 m 蹦眦；岫 功妨 枷 ，i 埘； ，。一 | l 力 b 帅喇 ；y， 硕士学位论文 利用c r a m e r 法则，我们很容易求得口( z ) 的近似解，即有下面的定理： 定理4 2 设方阵b ( z ) 对于任意的z 【n ，6 】是可逆矩阵，则方程( 4 2 1 2 ) 的一个n 阶近似解( 记为y j r ( z ) ) 可由下式给出 神) = 搿， ( 4 2 1 6 ) 这里，矩阵m ( z ) 表示将矩阵b ( z ) 中的第一列用向量f ( ) 替换得到 4 3 数值结果 为了检验近似方法的有效性，我们给出了数值计算结果由t a y l o r 展 开式( 4 2 2 ) 可知，当精确解为多项式时，我们只需使得展开式中的的 阶数大于多项式中的最高阶数，就可以得到精确解 我们考虑下面这个积分方程 出) = ；户一i 8 0 5 1 + 。石1 ( 苁+ 铲) b 腿， 其中精确解y ( z ) = 护一1 我们利用本文介绍的方法计算了当n = 2 时的 近似解，我们发现，由n = 2 时计算出来的近似解就为精确解 一3 6 积分方程及积分一微分方程的一种近似解法 第五章总结与展望 本文主要研究了一类二元f r e d h o l m 积分方程，一类微分一积分方程 和一类菲线性f 、 e d h o l m - v o l t e r r a 积分方程的t a y l o r 展开解法，并获得了相 应的近似解，值得指出的是，对于精确解是多项式的情形，通过本文介 绍的方法得到的近似解等于精确解，并通过比较多的例子展示了该方法 的简单，有效性，高精度和容易操作的特性 从文章的分析及所引用的文献来看，在很多应用学科中，有很多问 题都能转化求解积分( 微分) ，所以这类方程有非常广泛的应用前景目前 对于积分( 微分) 方程的研究，一方面，有很多学者做有关解的存在性、唯 一性、稳定性的理论的研究，使得积分( 微分) 方程的理论日趋完善；另 一方面，由于很多这类方程的懈析解难以求出，因此很多学者更加注重 对具体问题的解法，尤其是数值解和近似解方法，其中t a y l o r 展开方法 就是一种非常有效的近似解方法，对于一部分方程，仅仅是低阶的t a y l o r 展开解法就能达到很好的精度效果本文仅对二元积分t a y l o r 展开法给 出了误差估计，给出的证明还比较粗糙，条件要求还比较强对于一般 情况下的尤其是某些奇异条件下t a y l o r 展开法的适应性，以及相应的误 差估计，是作者今后努力的方向 一3 7 璺坌查墨墨墨坌：丝坌玄墨箜= 茎望堡整鎏 参考文献 【1 1 郭大钧著，非线性泛函分析济南，山东科学技术出版社，1 9 8 5 f 2 】郭大钧，孙经先著非线性积分方程济南：山东科学技术出版社。1 9 8 9 【3 】张石生著积分方程重庆：重庆出版社。1 9 8 7 【4 1 张石生。关于一类积分微分方程解的存在性定理四川大学学报，1 9 8 4 ，l ：1 - 8 【5 】d ，j g u o s o l u t i o n so fn o n l h l e a ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p ei nb a - n a c hs p a c e s j a p p l m a t h s i m ，1 9 8 9 ，2 ：1 - 1 1 【6 1d j g u o e x t r e m a ls o l u t i o n so fn o n l i n e a rf r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n si nb a n a c h s p a c e s n o r t h - e a s t e r n m a t h j ，1 9 9 1 ，7 ：4 1 6 - 4 2 3 mj x s u na n dz q z h a o e x t r e m a ls o l u t i o n so fi n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o ri n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fm i x e dt y p ei nb a n a c hs p a c e s a n n d i f f e q s ，1 9 9 2 。8 ：4 6 9 - 4 7 5 【8 】刘立山b a n a c h 空间非线性混合型微分积分方程的解r 款学学报，1 9 9 5 ，3 8 ：7 2 1 7 3 1 r f 9 】陈芳启b a n a c h 空间中混合单调脉冲微分积分方程解的存在性系统科学与 数学，1 9 9 9 。1 9 ：1 1 1 1 1 5 【1 0 】申建华脉冲积分微分方程的几个渐进稳定性结果数学年刊，1 9 9 6 ，6 ：7 5 9 - 7 6 4 【i i ji s o l a n i m p r o v e m e n tb ui t e r a t i o nf o rc o m p a c to p e r a t o re q u a t i o n s m a t h c o m p 1 9 7 6 3 0 ：7 5 8 - 7 6 4 【1 2 l 石军，林群非光滑第二类p r e d h o l m 积分方程c o l l o c a t i o n 解得迭代校正方法 应用数学学报，1 9 9 5 1 8 ：1 9 3 - 2 0 1 1 3 l 赵华敏，谢远涵线性f r e d h o l m 积分方程的近似解法西安矿业学院学报， 1 9 9 5 ，1 5 ：3 7 4 - 3 7 5 f 1 4