（理论物理专业论文）代数对角化方法在物理模型中的应用.pdf

摘要 本文主要研究了物理模型中代数对角化方法的应用。通常来讲，我们所研究 的物理模型都是具有某种动力学群对称的，因此代数方法在对角化哈密顿量寻求 精确解时具有非常重要的作用。代数对角化方法的关键点在于选择合适的变换算 子形式。在本文中，对于不同的李代数结构，我们关心两种类型的变换算子，一 种是幺正算子，另一种是一些非幺正算子的乘积。利用代数对角化方法，我们可 以研究具有某种代数结构的不同物理模型的能量本征值以及其他的性质。例如： ( 1 ) 带有不同线性相互作用的普遍双模谐振予模型具有s o ( 3 ，2 ) 代数结构，我们 利用代数对角化方法可以求得一些解析解；两类本征态分别为拓展的s u ( 1 ，1 ) 和 s u ( 2 ) 数压缩态。另外也可以得到这些态的一些统计性质。( 2 ) 原子核类似的铜酸 盐超导模型( i a c h e u o 模型) 具有s u ( 3 ) 代数结构，我们可以通过相似变换解析的 对角化平均场近似后的哈密顿量，并得到超出子代数u ( 1 ) o u ( 2 ) 和s o ( s ) 的能量本 征值。特别的，如将s d 对间的相干作为微扰，我们可以求出相干项对能谱的影 响。( 3 ) 除此之外，我们发现在线性自旋波框架下的x y z 反铁磁模型存在s u ( 1 ，2 ) 代数结构，利用相似变换可以得到该模型的能量本征值。而且我们还列出关于对 角化具有s u ( 3 ) 或s u ( 1 ，2 ) 代数结构哈密顿量的普遍变换算子解析形式。 除了以上例证之外，我们还研究了在光格以及磁场中带有排斥相互作用的自 旋为2 的冷原予模型，利用平均场方法和微扰理论，解析地得到莫特基态和零温 下的超流一莫特相交的相图。我们发现外加磁场可以导致某些相边界的分裂；对 于所有包含多个自旋分量的莫特基态而言，不同的自旋分量呈现出不同的相边 界；仅仅通过改变磁场强度的大小可以改变相边界的位置。 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nd e a l sm a i n l yw i t ha l g e b r a i cd i a g o n a i i z a t i o nm e t h o di np h y s i - c a lm o d e l s i ng e n e r a l ，t h ep h y s i c a lm o d e l sw es t u d i e da r ea l lw i t hc e r t a i nd y n a m i c a l g r o u ps y m m e t r i e s ，s ot h ea l g e b r a i cm e t h o di sv e r yu s e f u li nt h ed i a g o n a l i z a t i o no f t h eh a m i l t o n i a n st of i n de x a c ts o l u t i o n s t h ek e yp o i n to ft h ea l g e b r a i cd i a g o n a l i z a t i o nm e t h o di sc h o o s i n gap r o p e rf o r mo ft r a n s f o r m a t i o no p e r a t o r f o rd i f f e r e n t l i ea l g e b r a i cs t r u c t u r e ，w eo n l yc o n c e r nt w ot y p e st r a n s f o r m a t i o no p e r a t o r s ，o n ei s t h eu n i t a r yo p e r a t o r s ，a n dt h eo t h e ri st h ep r o d u c to fs o m en o n - u n i t a r yo p e r a t o r s b yu s i n ga l g e b r a i cd i a g o n a l i z a t i o nm e t h o d ，t h ee n e r g ye i g e n v a l u e sa n do t h e rp r o p e r t i e sc a nb ei n v e s t i g a t e df o rd i f f e r e n tp h y s i c a lm o d e l sp o s s e s s i n gs o m ea l g e b r a i c s t r u c t u r e f o ri n s t a n c e ，( 1 ) t h eg e n e r a l i z e dt w o - m o d eh a r m o n i co s c i l l a t o r sw i t hv a r - i o u sl i n e a ri n t e r a c t i o n sp o s s e s s e ss o ( 3 ，2 ) a l g e b r a i cs t r u c t u r e ，w i t hw h i c hw eo b t a i n s o m ea n a l y t i c a ls o l u t i o n sb yu t i l i z i n ga l g e b r a i cd i a g o n a l i z a t i o nm e t h o d ；w ef i n dt w o t y p e so f e i g e n s t a t e s a r ee x t e n d e d 靴( 1 ，1 ) ，s u ( 2 ) s q u e e z e dn u m b e rs t a t e sr e s p e c t i v e l y , a n ds t u d ys o m es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h e s es t a t e s ( 2 ) ac u p r a t es u p e r c o n d u c t o r m o d e lb a s e do nt h ea n a l o g yw i t ha t o m i cn u c l e i ( i a c h e l l om o d e l ) p o s s e s s e ss u ( 3 ) a l g e b r a i cs t r u c t u r e w ea n a l y t i c a l l yd i a g o n a l i z et h em e a n - f i e l da p p r o x i m a t i o no f h a m i l t o n i a nb ys i m i l a rt r a n s f o r m a t i o n s ，a n dg e tt h ee i g e n v a l u e sb e y o n ds u b a l g e - b r a s ( 1 ) u ( 2 ) a n ds o ( 3 ) i np a r t i c u l a r ，b yc o n s i d e r i n gt h ec o h e r e n c eb e t w e e n s - a n dd - w a v ep a i r sa sp e r t u r b a t i o n ，t h ee f f e c t so fc o h e r e n tt e r mu p o nt h ee n e r g y s p e c t r u ma r ed i s c u s s e d ( 3 ) w es h o wt h ex y z a n t i f e r r o m a g n e t i cm o d e li nl i n e a r s p i n - w a v ef r a m e h a v ea n s u ( 1 ，2 ) a l g e b r a i cs t r u c t u r e t h ee n e r g ye i g e n v a l u e sa r e o b - t a i n e db yu s i n gt h es i m i l a rt r a n s f o r m a t i o n s f u r t h e r m o r e ，t h eu n i v e r s a la n a l y t i c a l t r a n s f o r m a t i o no p e r a t o r sf o rd i a g o n a l i z i n gt h eh a m i l t o n i a nw i t hs u ( a ) o rs u o ，2 ) a l g e b r a i cs t r u c t u r ea r e l i s t e d b e s i d e s ，t h es u p e r f l u i d - m o t ti n s u l a t o rt r a n s i t i o no fs p i n - 2b o s o na t o m sw i t h r e p u l s i v ei n t e r a c t i o ni na no p t i c a ll a t t i c ei nam a g n e t i cf i e l di sp r e s e n t e d t h r o u g h t h em e a n - f i e l da n dp e r t u r b a t i v et h e o r y ，w er e v e a lt h em o t tg r o u n ds t a t e sa n d p h a s e d i a g r a m so fs u p e r f l u i d - m o t ti n s u l a t o rt r a n s i t i o na t z e r ot e m p e r a t u r ea n a l y t i c a l l y w ef i n dt h a ta p p l i e dm a g n e t i cf i e l dl e a d st os o m ep h a s eb o u n d a r i e ss p l i t t i n g ；f o ra j l t h ei n i t i a lm o t tg r o u n ds t a t e sc o n t a i n i n gm u l t i p l es p i nc o m p o n e n t s ，d i f i e r e n ts p i n c o m p o n e n t st a k e o nd i f f e r e n tp h a s eb o u n d a r i e s ；t h ep h a s eb o u n d a r i e sc a nb em o v e d i nd i f f e r e n tw a y sb yo n l yc h a n g i n gt h ei n t e n s i t yo ft h ea p p l i e dm a g n e t i cf i e l d c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n a l g e b r a i cm e t h o d sa r eu s e f u li nt h es t u d yo fp r o b l e m si np h y s i c se v e rs i n c e l i ea l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e db ys o p h u sl i ea tt h ee n do ft h e1 9 t hc e n t u r y , e s p e - c i “l ya f t e rt h ed e v e l o p m e n to fq u a n t u mm e c h a n i c si nt h ef i r s tp a r to ft h e2 0 t h c e n t u r y 【1 ，2 ，3 ，4 1 ，l i eg r o u p ，l i ea l g e b r ac a n d e s c r i b ea n dh e l pu st ou n d e r s t a n d t h es y m m e t r yo fp h y s i c a ls y s t e m t a k i n ga d v a n t a g eo ft h e i rr e p r e s e n t a t i o n ，s o m e c o r r e s p o n d i n gp r o b l e m sc a f j b ee l e g a n t l ys o l v e d t h ep e r f e c te x a m p l ei sp a u l ip r o - c e d u r ef o rh y d r o g e na t o ms y s t e m 【5 】o nt h eo t h e rh a n d ，i ft h eh a m i l t o n i a no f ap h y s i c a ls y s t e mc a nb ee x p r e s s e db yt h eg e n e r a t o r so fc e r t a i nl i ea l g e b r a i e t h es y s t e mp o s s e s s e sc e r t a i nd y n a m i c a lg r o u ps t r u c t u r e ，i ti sa l s oh e l p f u lf o ru st o d ot h ea n a l y t i c md i a g o n a l i z a t i o no fh a m i l t o n i a n b e c a u s e ，i nt h ei n v e s t i g a t i o no f p h y s i c a lm o d e l s ，i ti sab a s i ct a s kt og e tt h ee x a c ts o l u t i o n s ，i e ，t od i a g o n a l i z et h e h a m i l t o n i a n s i ng e n e r a l ，w es t u d yac l a s so fh a m i l t o n i a n p o s s e s s i n gs e m i - s i m p l el i ea l g e b r a i c s t r u c t u r e ，i e ， 日= 缸鼠+ ( k 鼠+ k n 。) ，( 11 ) i 口 w h e r e 趣，日，n 。 c o n s i s tt h es t a n d a r dc a r t a n - w e y lb a s i so fas e m i - s i m p l el i e a l g e b r ag ，s a t i s f y i n gt h es t a n d a r dc o m m u t a t i o nr e l a t i o n s ：【甄，毋j = 0 ，f 风，鼠】= o q 鼠，阪，n 。l = 凰，阪，昂】= 帆，口既+ 口( 血卢) u n d e rs e c o n dq u a n t i z a t i o nf r a m e w o r k h a m i l t o n i a nc a nb ew r i t t e ni nt h ea b o v ef o r mi nv i r t u eo ft h e b o s o n f e r m i o nr e a l i z a t i o no fl i ea l g e b r a s i ft h eo r i g i n a lh a m i l t o n i a ni sn o n l i n e a r ， n a m e l y , t h e r ee x i s tn o n , n e a ri n t e r a c t i o nt e r m si nt h ee x p r e s s i o no fh a m i l t o n i a n ， o n eh a st od os o m ea p p r o x i m a t i o n ，s u c ha sm e a n - f i e l da p p r o x i m a t i o n 6 】a n ds o0 n ， t og e tt h el i n e a rf o r m e q ( 1 1 ) t h r o u g hc h o o s i n gap r o p e rf o r mo ft h eg e n e r a l i z e d 1 d i s p l a c e m e n to p e r a t o rw ，s e e k i n gs u i t a b l ef u n c t i o n s ，a n du t i l i z i n gt h es t a n d a r d c o m m u t a t i o nr e l a t i o n so fs e m i s i m p l el i e a l g e b r a ，o n ei sa b l et oo b t a i nt h ei d e n t i t i e s w ( 0 。1 g j ( ) = ( ) g ( 1 2 ) l h e r e 岛r e p r e s e n tt h eg e n e r a t o r s 皿a n de 士a ，a n d ( f ) a r e r e q u i r e dt ob ea n a l y t i c a l f u n c t i o n s s e a r c h i n go u tt h ep r o p e rf o r m so f e q ( 1 2 ) i sak e y s t e pi nt h ep r o c e d u r e n o w ，f o rt h eh a m i l t o n i a n ( 1 1 ) ，w eh a v e 彬( ) - 1 日w ( f ) = 仇( ，e ，入) 皿+ 山。( ，g ，a ) 甄+ 以( ， ) e 一。】( 1 3 ) a o t h en o n _ c a r t a ng e n e r a t o r s 皿ai nt h er i g h t - h a n ds i d ec a nb e e l i m i n a t e dt h r o u g h s e t t i n g ( f ，a ) = 0 ( 1 4 ) e q ( 1 4 ) g i v e sa s e to fc o n s t r a i n t st ot h ep a r a m e t e r s 矗，占，aa n dl e a d st o 日( f ) ir e = ( ) 町i ( f ，a ) 凰jr e ( 1 5 ) t h e r e lr e d e n o t e sar e f e r e n c es t a t er e q u i r e dt ob et h ec o m m o n e i g e n v e e t o ro fa l l c a r t a ng e n e r a t o r s 甄t h e r e f o r e ，i 啦售，e ，a ) 甄c a l lb es u b s t i t u t e db yf u n c t i o n s a c t i n go nt h er e f e r e n c es t a t e s ，i e ， 日w ( ) ir e f = q ( ，入，f e f ) w ( oit e l ( 1 6 ) t h u st h ee i g e n - e q u a t i o no fh a m i l t o n i a na p p e a r s ，a n dt h e a n a l y t i c a ld i a g o n a l i z a - t i o nh a sb e e na c c o m p l j 8 h e d ，w f f ) fr e a n dq a r et h ee n e r g ye i g e n s t a t e sa n d e i g e n v a l u e so ft h ec o r r e s p o n d i n gs y s t e m ，r e s p e c t i v e l y i fi nt h es i m i l a rt r a n s f o r m a t i o n ( 1 3 ) t h e r e h a s w ：w t ( 1 7 ) t h eo p e r a t o ri s u n i t a r ya n dt h et r a n s f o r m a t i o ni st h eu n i t a r yo n e t h ef o r mo f c o h e r e n ts t a t eo p e r a t o ri st h em o s tc o m m o n f o r mo fw ，w h i c hh a db e e ns h o w nb y w m z h a n ge t a i nr e f 7 】a s 1 ( ) = e x p ( 靠e n 一e 。，) 】， ( 1 、8 ) c z o w h e r e 矗d e n o t ec o m p l e xp a r a m e t e r - f u n c t i o n st ob ed e t e r m i n e da n d fs t a n d sf o rt h e s e to f 矗) i nf a c t ，o p e r a t o r ( f ) i sag e n e r a l i z e dd i s p l a c e m e n to p e r a t o ri nt h e 2 c o s e ts p a c eg h o nc o n d i t i o nt h a ti t e i sv a c u u m s t a t e ，t h ee i g e n s t a t eb e c o m e s t h eg e n e r a ls q u e e z es t a t ew h i c hu s u a l l yp l a y st h er o l eo fg r o u n ds t a t ei nq u a n t u m o p t i c s ，i fw = e x p ( f l a t 一卢+ 口) ，n a m e l y , w i sc o m p o s e db yt h ef i r s t - o r d e rc r e a t i o n o ra n n i h i l a t i o no p e r a t o r so fb o s o n s f e r m i o n s ，e i g e n s t a t e sw 1 0 i s u s u a l l yc a l l e d c o h e r e n ts t a t e s ；w h i l ewi sc o m p o s e db yt h es e c o n d o r d e ro n e s ，w i o i sc a l l e d s q u e e z e ds t a t e s ；w i 佗 ( n 0 ) i sc a u e ds q u e e z e dn u m b e rs t a t e s 【8 】c o h e r e n t s t a t e sa r ee n d o w e dw i t hal o to fp h y s i c a lm e a n i n g sa n da p p l i c a t i o n s ，b e c a u s et h e y a r et h ee i g e n s t a t e so ft h el o w e r i n go p e r a t o r ，s t a t e so fm i n i m u mu n c e r t a i n t y , a n d d i s p l a c e m e n to p e r a t o ra c t i n go nar e f e r e n c es t a t e 【7 1 b e s i d e st h ea b o v ef o r mo ft r a n s f o r m a t i o no p e r a t o r ，i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h e r e h a sa n o t h e r n o n - u n i t a r ys i m i l a ro p e r a t o rw ec o n c e r n e d t h ef o r mc a nb ew r i t t e na s ( h e r ew ec h a n g et h ef u n c t i o n s w i t ho ) w ( 茹) = i ie x p ( x a i ) ，( 1 9 ) = l i nw h i c ha ( i = l ，n ) i sab a s i ss e ti nc a r t a ns t a n d a r df o r mo ft h es e m i s i m p l e l i ea l g e b r a ，a n d 。 c a nb es e tt oz e r oi ft h ec o r r e s p o n d i n ga i sac a r t a no p e r a t o r n o t et h a t ，f o rt h i sc a s e ，w i ne q ( 1 3 ) d e n o t e st h ei n v e r s eo fw o t h e rt h a nt h e h e r m i t i a n t h u s ，a sar u l e ，w eu s e dw i n e q ( 1 3 ) t od i s t i n g u i s hf r o mt h eu n i t a r y o n e t h ek e yp o i n to ft h ea l g e b r a i cd i a g o n a l i z a t i o nm e t h o di s s e a r c h i n go u tt h e p r o p e rf o r m so fo p e r a t o rw f o rd i f f e r e n tl i ea l g e b r a i c s t r u c t u r e g e n e r a l l ys p e a k i n g ， t h et r a n s f o r m a t i o no p e r a t o rm a yb ec o m p o s e db yn o to n l yo n es i n g l eo p e r a t o ra s e q ( 1 8 ) ，b u ta l s ot h ep r o d u c to fs o m eo p e r a t o r sa se q ，( 1 ，9 ) f o rd i f f e r e n tc a s e s f o r d i f f e r e n tp h y s i c a lm o d e l sw i t hd i f f e r e n tl i ea l g e b r a i cs t r u c t u r e ( i e ，w i t hd i f f e r e n t d y n a m i c a lg r o u ps y m m e t r i e s ) ，t h ee n e r g ye i g e n v a l u e sa n do t h e rp r o p e r t i e sc a nb e i n v e s t i g a t e db yv i r t u eo ft h ea l g e b r a i cd i a g o n a l i z a t i o nm e t h o di n t r o d u c e da b o v e t h u s ，w es t u d ym a i n l y o n a l g e b r a i cd i a g o n a l i z a t i o nm e t h o d i ns o m e p h y s i c a lm o d e l s i nt h i sd i s s e r t a t i o n t h es k e t c ho ft h et h e s i si su sf o l l o w s ：i nc h a p t e r2 ，f o rt h eg e n e r a l i z e dt w o - m o d eh a r m o n i co s c i l l a t o r sw i t hv a r i o u sl i n e a ri n t e r a c t i o n sp o s s e s s i n gs o ( 3 ，2 1a l g e b r a i es t r u c t u r e 【9 j ，s o m ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d ss u c ha sr o t a t i n g - w a v ea p p r o x i m a - t i o na r ea p p l i e di nt h ep r e v i o u sw o r k s b y u t i l i z i n gt h ea l g e b r a i cd i a g o n a l i z a t i o n m e t h o da n df i n d i n gt h eu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o no p e r a t o rw a se q ( 1 8 ) ，w ed e a l w i t ht h ef u l ld y n a m i c a la l g e b r as o ( 3 ，2 ) t og e ts o m e a n a l y t i c a ls o l u t i o n sb e y o n dt h e s u b a l g e b r a s8 0 ( 2 ，1 ) s u ( 1 ，1 ) a n ds o ( 3 ) s u ( 1 ，1 ) f o rt h ef i r s tt i m et w o t y p e so f 3 e i g e n s t a t e sw h i c h a r ef o r m u l a t e da se x t e n d e ds u o ，1 ) ，s u ( 2 ) s q u e e z e dn u m b e rs t a t e s a r ef o u n dr e s p e c t i v e l y s o m es t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h e s es t a t e sa r ec a l c u l a t e d i n c h a p t e r3 ，ac u p r a t es u p e r c o n d u c t o r m o d e lb a s e do nt h ea n a l o g yw i t ha t o m i cn u c l e i ( i a c h e l l om o d e l ) h a sb e e np r e s e n t e dt oh a v es u ( 3 ) a l g e b r a i cs t r u c t u r ea l r e a d y 【1 0 】 a f t e rt h em e a n f i e l da p p r o x i m a t i o n ，w ea n a l y t i c a l l yd e r i v et h ee i g e n v a l u e so ft h e r e d u c e dh a m i k o n i a nb e y o n dt h es u b a l g e b r a su ( 1 ) qu ( 2 ) a n ds o ( 3 ) b yt h es i m i l a r t r a n s f o r m a t i o n so f t h e n o n u n i t a r yo p e r a t o r a se q ( 1 9 ) a sa r e s u l t ，b yc o n s i d e r i n g t h ec o h e r e n c eb e t w e e ns a n dd - w a v ep a i r sa sp e r t u r b a t i o n ，t h ee f f e c t so fc o h e r e n t t e r mu p o nt h ee n e r g ys p e c t r u ma r es t u d i e d ，i nc h a p t e r4 ，w ef i n dt h ex y z a n t i f e r r o m a g n e t i cm o d e l i nl i n e a rs p i n - w a v ef r a m eh a v ea ns u ( 1 ，2 ) a l g e b r a i cs t r u c t u r e b yc h o o s i n g t h ep r o p e rs i m i l a rt r a n s f o r m a t i o no p e r a t o ra se q ( 1 9 ) o ft h ea l g e b r a i c d i a g o n a l i z a t _ i o nm e t h o d ，t h ee n e r g ye i g e n v a l u e sa r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，t h e u n i - v e r s a la n a l y t i c a lt r a n s f o r m a t i o no p e r a t o r sf o rd i a g o n a l i z i n gt h eh a m i l t o n i a nw i t h s u ( 3 ) o rs u ( 1 ，2 ) a l g e b r a i cs t r u c t u r ea r eb r i e f l yl i s t e d i na d d i t i o n t h e r eh a sa ni n t e r e s t i n gb r a n c hi np h y s i c s 一一s o f tc o n d e n s em a t t e r m o s tr e c e n t l y , t h er e m a r k a b l ee x p e r i m e n t so nt h es u p e r f l u i dt om o t ti n s u l a - t o rt r a n s i t i o ni nas y s t e mo fu l t r a c o l da t o m si na 1 1o p t i c a ll a t t i c eo p e ni n t r i g u i n g p r o s p e c t sf o rs t u d y i n gm a n y - b o d yp h e n o m e n a ，a s s o c i a t e dw i t hs t r o n g l yc o r r e l a t e d s y s t e m s i nah i g h l yc o n t r o l l a b l ee n v i r o n m e n t 【1 1 ，1 2 s i n c eo p t i c a lt r a p s 【1 3 ，1 4 ，1 5 1 l i b e r a t et h es p i nd e g r e e so ff r e e d o ma n dm a k ep o s s i b l ec o n d e n s a t i o no fs p i n o rb o s o n s t e x t e n s i v ei n t e r e s t sh a v eb e e ns t i m u l a t e di nt h es t u d yo fm u l t i - c o m p o n e n ts p i n o r b e c a tt h es a m et i m e t h er e s p o n s et oe x t e r n a lm a g n e t i cf i e l do fb e c i sa l s oa t o p i cw i t hs t u d y v a l u e s t h u st h et h e o r e t i c a ls t u d yo ft h es u p e r f i u i d - m o t ti n s u l a t o r t r a n s i t i o no fs p i nc o l db o s o n si nao p t i c a ll a t t i c ei nam a g n e t i cf i e l di sn e c e s s a r y b a s e do nt h ep r e v i o u st h e o r e t i c a lr e s e a r c h e s 【1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，w ei n v e s t i g a t et h es u p e r f i u i d m o t ti n s u l a t o rt r a n s i t i o nf o rs p i n - 2b o s o na t o m s w i t hr e p u l s i v e i n t e r a c t i o ni na no p t i c a ll a t t i c ei nam a g n e t i cf i e l d i nc h a p t e r5 ，a f t e ri g n o r i n g t h eh o p p i n gt e r mo ft h eh a m i l t o n i a n ，w eg e tt h es i t e i n d e p e n d e n th a m i l t o n i a n ，i t s e n e r g ye i g e n v a l u e sa n d t h em o t tg r o u n ds t a t e sf o rd i f f e r e n tc s s e s a p p l y i n gm e a n - f i e l da p p r o x i m a t i o na n dr e g a r d i n gt h eh o p p i n gt e r ma sap e r t u r b a t i o n ，w ep e r f o r m t h ec a l c u l a t i o n si ns e c o n d o r d e ra n dd r a wt h ep h a s ed i a g r a m s t h er e s p o n s eo ft h e p h a s ed i a g r a m st ot h ea p p l i e dm a g n e t i cf i e l di sq u a l i t a t i v e l ya n a l y z