高中数学 2.5从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4.ppt

5从力做的功到向量的数量积,1.向量的夹角与投影(1)夹角定义：已知两个非零向量a和b，作=a,=b,则_叫作向量a与b的夹角；范围：_；大小与向量共线、垂直的关系：=,AOB=,0180,0a与b_，180a与b_，90a_b.,同向,反向,(2)投影定义：如图所示：=a，=b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1=_._叫做向量b在a方向上的投影数量(简称投影).,|b|cos,|b|cos,大小与夹角的关系：,|b|,正值,0,负值,-|b|,2.向量的数量积(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为，我们把_叫作a与b的数量积(或内积)，记作_，即ab=_.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上投影_的乘积，或b的长度_与a在b方向上投影_的乘积.(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积_.,|a|b|cos,ab,|a|b|cos,|b|cos,|b|,|a|cos,Fs,(4)性质：若e是单位向量，则ea=ae=_；ab_；|a|=cos=_(|a|b|0)；|ab|_|a|b|.,|a|cos,ab=0,(5)运算律：交换律：ab=_.结合律：(a)b=_=_.分配律：a(b+c)=_.,ba,(ab),a(b),ab+ac,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同.()(2)向量的投影与向量的数量积和向量的线性运算的结果都是一个向量.()(3)设非零向量a与b的夹角为，cos0ab0.()(4)若ab=bc,则一定有a=c.(),【解析】(1)错误，两个向量夹角的范围是0，而直线倾斜角的范围是0，).(2)错误,向量的投影与向量的数量积结果是一个数量，而非向量.(3)正确,cos=故cos0ab0.(4)错误,向量b与向量a，c可能垂直,向量a，c可能方向相反.答案：(1)(2)(3)(4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若|a|=2，向量a与b的夹角为则a在b方向上的投影为_.(2)若|a|=1，|b|=4，a与b的夹角为则ab=_.(3)若|a|=2，|b|=1，ab=则a与b的夹角为_.,【解析】(1)由投影的定义得a在b方向上的投影为|a|cos=2=1.答案：1(2)由数量积的定义得:ab=|a|b|cos=14=-2.答案：-2(3)设a与b的夹角为，由ab=|a|b|cos，得cos=又0，所以=答案：,【要点探究】知识点1向量的数量积1.写法及与实数乘积的区别两向量a，b的数量积也称作内积，写成ab，其应与代数中的a，b的乘积ab区分开来，其中“”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号.在向量运算中既不能省略，也不能用“”代替.,2.运算的结果(1)向量线性运算的结果是一个向量，但两个向量的数量积是一个数量.(2)由于0180，所以ab可以为正数、负数和零，且当090时，ab0；当=90时，ab=0；当90180时，ab0.,(3)若a为零向量，则|a|=0，从而ab=0，故零向量与任一向量的数量积为0.(4)aa=a2=|a|2.(5)两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值.,【微思考】(1)影响数量积大小的因素有哪些？提示：影响数量积大小的因素有两个，向量的模及其夹角大小.(2)若ab=0，是否一定有ab?请说明理由.提示：一定,因a,b中至少有一个为零向量时，我们规定了零向量与任一向量垂直，因此一定正确.,【即时练】已知|a|=2,|b|=4，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为150时，分别求a与b的数量积.【解析】(1)当ab时，若a与b同向，即=0，则ab=|a|b|cos=8；若a与b反向，即=180，ab=|a|b|cos180=-8.(2)当ab时，=90，则ab=|a|b|cos90=0.(3)当a与b的夹角为150时，ab=|a|b|cos150,知识点2数量积的性质与运算律1.数量积五条性质的应用性质(1)可以帮助理解数量积的几何意义；性质(2)可以解决有关垂直的问题；性质(3)可以求向量的长度；性质(4)可以求两向量的夹角;性质(5)可以解决有关不等式的问题，当且仅当ab时，等号成立.,2.数量积运算遵循的运算律及常用公式(1)遵循的运算律：数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，不适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc).这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.,(2)常用公式及注意点：(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2;(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2;(a-b)2=|a|2-2ab+|b|2.注意：|a|2=aa,|b|2=bb.,【知识拓展】向量数量积与实数乘积相关结论比较,【微思考】(1)若ab0，a与b的夹角是锐角吗？若ab0，a与b的夹角是钝角吗？反过来呢？提示：不一定，可能为0.不一定，可能为180.反过来正确.,(2)若|ab|=|a|b|，是否一定有ab？请说明理由.提示：一定.因为ab=|a|b|cos，所以|ab|=|a|b|cos|.由已知得,|a|b|cos|=|a|b|,即|cos|=1，cos=1,又0,所以=0或，故ab.,【即时练】1.(2014西安高一检测)若e1,e2是两个平行的单位向量，则下面结果正确的是()A.e1e2=1B.e1e2=-1C.|e1e2|=1D.e1e21,2.设a,b,c是任意的非零向量，且两两不共线，给出下列说法：(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(bc)a-(ca)b与c不可能垂直；(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有()A.B.C.D.,【解析】1.选C.由于e1,e2是两个平行的单位向量，设其夹角为，则|cos|=1，所以|e1e2|=|cos|=1.,2.选D.(ab)c是与向量c平行的向量，(ca)b是与向量b平行的向量，因此(ab)c与(ca)b不一定相等，故不正确；因为a,b,c是任意的非零向量，且相互不共线，则根据三角形两边之差小于第三边可知正确；由于(bc)a-(ca)bc=(bc)(ac)-(ca)(bc)=0，因此(bc)a-(ca)b与c垂直，不正确；(3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2=9|a|2-4|b|2.正确，故选D.,【题型示范】类型一平面向量数量积的运算【典例1】(1)(2014咸阳高一检测)已知平面上三点A，B，C满足=2，则的值为_.(2)(2014合肥高一检测)已知向量a与b的夹角是120,且|a|=2,|b|=3，求：(a-2b)2;(2a-b)(a+3b).,【解题探究】1.题(1)中计算的关键是什么？2.解答题(2)的突破口是什么？【探究提示】1.判断ABC的形状，确定出相关向量的夹角.2.运用数量积的性质及运算律和相关公式，将待求式转化为a与b的数量积运算.,【自主解答】(1)由已知，所以ABC为直角三角形,且ACB=90,如图.从而sinABC=sinBAC=所以ABC=60,BAC=30.所以与的夹角为120,与的夹角为90,与的夹角为150.,故=答案：-4,(2)因为ab=|a|b|cos120=23=-3,所以(a-2b)2=a2-2a(2b)+(2b)2=|a|2-4ab+4|b|2=22-4(-3)+432=52.(2a-b)(a+3b)=2a2+6ab-ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=222+5(-3)-332=-34.,【延伸探究】在题(2)的条件下，若(3a+5b)(ma-b)=-45，则m的值如何？【解析】(3a+5b)(ma-b)=3ma2+(5m-3)ab-5b2=3m22+(5m-3)23-532=-3m-36=-45，解得m=3.,【方法技巧】1.求平面向量数量积的流程,2.形如(ma+nb)(ka+lb)的运算技巧及注意点(1)技巧：类似于实数多项式的运算，将运算转化为向量a,b的数量积运算.(2)注意点:a与b的数量积不可书写或认为是ab,a2=|a|2的应用.,【变式训练】1.已知正ABC的边长为2，设=a，=b，=c，则ab+bc+ca=_.【解析】a与b，b与c，a与c的夹角为120，所以原式=|a|b|cos120+|b|c|cos120+|a|c|cos120=223=-6.答案：-6【误区警示】本题求解时易将向量a,b，c夹角的大小定错而致误.,2.(2013新课标全国卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b，若bc=0，则t=_.【解析】由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,解得t|a|b|cos60+(1-t)|b|2=0,化简得t+(1-t)=0，所以t=2.答案：2,【补偿训练】1.已知ABC为等边三角形，AB=2.设点P,Q满足R.若则=_.2.已知|a|=|b|=3，|c|=且a+b+c=0，求ab+bc+ca,【解析】(1)因为所以=2(1+-2)-4+4(-1)=2(-2+-1).,又因为所以42-4+1=0，所以=答案：,(2)因为a+b+c=0，所以(a+b+c)2=0，即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0.又因为|a|=|b|=3,|c|=所以a2=3,b2=9,c2=12，所以ab+bc+ca=-12.,类型二向量的模的计算问题【典例2】(1)(2013浙江高考)设e1,e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x,yR.若e1,e2的夹角为则的最大值等于_.(2)已知向量a,b的夹角为45,且|a|=1,|2a-b|=则|b|=_.(3)已知a，b满足|a+b|=|a-b|,|a|=|b|=1，求|3a-2b|.,【解题探究】1.题(1)中求的最大值的突破口是什么？2.题(2)中如何将|2a-b|=用a与b的模及数量积表示？3.题(3)中向量的数量积与向量模如何转化？【探究提示】1.先将求的最大值转化为求的最大值，进而利用|b|2=b2转化为求关于x,y的函数的最值.2.利用|2a-b|2=(2a-b)2.3.|a|2=a2.,【自主解答】(1)=当x=0时，=0;当x0时，令则所以的最大值为2.答案：2,(2)|2a-b|=(2a-b)2=104+|b|2-4|b|cos45=10|b|=答案：,(3)由|a+b|=|a-b|得,|a+b|2=3|a-b|2,即(a+b)2=3(a-b)2,所以a2+2ab+b2=3(a2-2ab+b2),所以8ab=2a2+2b2=2|a|2+2|b|2=4,即ab=所以|3a-2b|=,【方法技巧】求向量的模的常见思路求向量的模是向量运算问题中的常见题型，解答这类问题时，可考虑先求向量的平方，应用向量的运算公式、法则求出其平方值，然后再利用公式|a|2=a2=aa，将其两边开平方即可求得该向量的模，即运用公式,【变式训练】(2014江西高考)已知单位向量e1,e2的夹角为,且cos=若向量a=3e1-2e2,则|a|=_.【解题指南】利用求解.【解析】aa=(3e1-2e2)2=912e1e2+4=912+4=9，故|a|=3.答案：3,【补偿训练】已知同一平面上的向量a,b，c两两所成的角相等，并且|a|=1，|b|=2,|c|=3，求|a+b+c|.【解析】(1)当向量a,b,c共线且同向时，所成的角均为0,所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6.,(2)当向量a,b,c不共线时，易知a,b,c皆为非零向量.设a,b,c所成的角均为，则3=360,即=120,所以ab=|a|b|cos120=-1.同理bc=-3,ca=由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=3,故|a+b+c|=综上所述，|a+b+c|=6或,类型三夹角和垂直问题【典例3】(1)(2014宝鸡高一检测)已知m,n是两个单位向量，其夹角为60，设a=2m+n,b=2n-3m，则a与b的夹角为_.(2)(2013安徽高考)若非零向量a，b满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a与b夹角的余弦值为_.(3)(2013山东高考)已知向量与的夹角为120，且若且则实数的值为_.,【解题探究】1.两个非零向量的夹角公式是什么？2.解答题(2)的关键是什么？3.解答题(3)的突破口是什么？【探究提示】1.cos=2.由已知得到ab与|b|(或|a|)的关系.3.将用与表示,并通过垂直条件列关于的方程求解.,【自主解答】(1)由已知|m|=|n|=1，mn=|m|n|cos60=所以ab=(2m+n)(2n-3m)=mn-6m2+2n2=-6+2=|a|2=a2=(2m+n)2=4m2+4mn+n2=7,|b|2=b2=(2n-3m)2=4n2-12nm+9m2=7.所以|a|=|b|=由ab=|a|b|cos得，所以cos=,又0,，所以=120.故a与b的夹角为120.答案：120,(2)由|a|=|a+2b|，等式两边平方得a2+4ab+4b2=a2ab=-b2，所以cosa,b=答案：,(3)向量与的夹角为120，且所以由得，即所以即493(1)=0，解得=答案：,【方法技巧】1.求向量夹角的解题流程及注意事项(1)解题流程：,(2)注意事项在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系式中，常利用消元思想计算cos的值.,2.两向量垂直的确定与应用(1)确定：通常利用两向量垂直的充要条件，即计算ab是否为0.(2)应用：若ab，则ab=0可求其中参数的值.,【变式训练】(2014南昌高一检测)已知a，b是两个非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直.试求a与b的夹角大小.【解析】因为a+3b与7a-5b垂直，所以(a+3b)(7a-5b)=0,即7a2+16ab-15b2=0.,又因为a-4b与7a-2b垂直，所以(a-4b)(7a-2b)=0，即7a2-30ab+8b2=0.-得46ab=23b2,即2ab=b2.代入可得a2=b2,即|a|=|b|.设a与b的夹角为，则cos=又因为0,，所以=,【补偿训练】1.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_.【解析】因为(a+b)(ka-b),所以(a+b)(ka-b)=0,即ka2+(k-1)ab-b2=0，(*),又因为a,b为两个不共线的单位向量,所以(*)式可化为1-k=(k-1)ab,若k-10，则ab=-1，这与a,b不共线矛盾;若k-1=0，则1-k=(k-1)ab恒成立.综上可知，k=1时符合题意.答案：1,2.已知|a|=5,|b|=4,|a+b|=求向量a与b的夹角.【解析】因为|a|=5,|b|=4,|a+b|=所以|a|2=25,|b|2=16,|a+b|2=21.又因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=41+2ab,所以ab=-10.,设a与b的夹角为,则cos=又因为0,所以=即a与b的夹角是,拓展类型数量积的综合应用【备选例题】(1)若a,b,c均为单位向量，且ab=0,(a-c)(b-c)0，则|a+b-c|的最大值为()A.-1B.1C.D.2(2)在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，AB=2，AD=3，则=_.,【解析】(1)选B.由(a-c)(b-c)0，得ab-ac-bc